ROZDZIAŁ III: Stany nieustalone Temat 8 : Stan ustalony i nieustalony w obwodach elektrycznych.

Transkrypt

1 OZDZIAŁ III: Stany niestalone Temat 8 : Stan stalony i niestalony w obwodach elektrycznych. Dotychczas rozpatrywane obwody elektryczne prd stałego i zmiennego rozpatrywane były w tzw. stanie stalonym. harakterystyczne dla tego stan jest to, e przy okrelonych wartociach napi i prdów ródłowych odpowied obwod (prdy i napicia na elementach) ma taki sam charakter jak wymszenie. Jeeli przykładowo działały w obwodzie wymszenia stałe, to przyjmowalimy, e prdy i napicia we wszystkich gałziach i napicia na elementach s równie stałe i nie zmieniaj si w czasie. Naley sobie zdawa spraw, e obwód elektryczny zawierajcy cewki i kondensatory, tzn. elementy zdolne do gromadzenia energii elektrycznej, po dołczeni do ródła energii nie moe natychmiast znale si w stanie stalonym. Elementy te przed dołczeniem do ródła mogły znajdowa si w stanie bezenergetycznym lb z elementami tymi mogła by zwizana pewna energia. Z przytoczonych rozwaa wynika, e zarówno w obwodzie, który zostaje dołczony do ródła energii, jak i w obwodzie, w którym nastpje zmiana strktry, powstaje stan niestalony. Pojcie stan stalonego i stan niestalonego odnosz si nie tylko do obwodów, w których działaj napicia i prdy ródłowe stałe w czasie. Bezporednio po dołczeni ródeł stałych lb zmiennych w czasie lb po dokonani zmiany strktry obwod, w obwodzie powstaje stan niestalony i w miar pływ czas nastpje stalanie si przebiegów napi i prdów. Poniewa w stanach niestalonych mog pojawi si przepicia jak i przetenia, znajomo zmiennoci prdów i napi w fnkcji czas ma istotne znaczenie. Z regły napicia i prdy w stanie niestalonym charakteryzj si inn zmiennoci w czasie ni w stanie stalonym.

2 Temat 9 : Warnki pocztkowe. Prawa komtacji. Stanem pocztkowym obwod nazywamy stan obwod w chwili, w której rozpoczynamy badanie zjawisk w tym obwodzie. W wikszoci przypadków przyjmje si jako stan pocztkowy stan w chwili t = 0. Stan pocztkowy jest przewanie stanem stalonym, poprzedzajcym czynnoci łczeniowe prowadzce do powstania stan niestalonego. Moe to by stan, w którym wszystkie napicia i prdy w obwodzie s równe zer. Mówimy wtedy, e stan pocztkowy jest zerowy, albo, e warnki pocztkowe s zerowe. Jeeli w chwili t = 0 na jakimkolwiek elemencie obwod wystpje napicie lb płynie prd, to warnki pocztkowe s niezerowe. ys Powstawanie stan niestalonego: a) obwód t przed komtacj; b) obwód t po komtacji. Zmiany stan zachodzce w obwodzie w pewnej okrelonej chwili nazywamy komtacj. Komtacja moe by wywołana zarówno zamykaniem wyłcznika, jak i jego otwieraniem. ys.9.2. Oznaczanie czynnoci: a) zamykanie wyłcznika w; b) otwieranie wyłcznika w. Z zamykaniem i otwieraniem wyłcznika w obwodzie z indkcyjnoci i w obwodzie z pojemnoci zwizane s dwa prawa fizyczne zwane prawami komtacji.

3 Pierwsze prawo komtacji: Prd w obwodzie z indkcyjnoci nie moe zmieni si skokiem i w chwili t przed komtacj ma tak sam warto jak w chwili t po komtacji. Pierwsze prawo komtacji nazywane jest te zasad cigłoci prd i strmienia magnetycznego w cewce. Poniewa strmie magnetyczny skojarzony z cewk wynosi = i, zatem zasada niezmiennoci prd w chwili komtacji jest równowana zasadzie niezmiennoci strmienia magnetycznego skojarzonego z cewk. Drgie prawo komtacji: Napicie na kondensatorze nie moe si zmieni skokiem i w chwili t przed komtacj ma tak sam warto jak w chwili t po komtacji. Drgie prawo komtacji nazywane jest te zasad cigłoci ładnk na pojemnoci. Poniewa ładnek zgromadzony na okładzinach kondensatora wynosi q=, zatem zasada niezmiennoci napicia na kondensatorze w chwili komtacji jest równowana zasadzie niezmiennoci ładnk zwizanego z kondensatorem.

4 Temat 10 : Stan niestalony w kładzie szeregowym, Załómy, e do gałzi, w której s połczone szeregowo elementy, doprowadzono w chwili t = 0 napicie stałe. Odpowiada to zamknici wyłcznika W w chwili t = 0 w obwodzie jak na rys Stan pocztkowy obwod jest zerowy, tzn. w chwili t = 0 z elementem indkcyjnym nie jest zwizana adna energia. ys Dwójnik szeregowy, włczony na napicie stałe. Po zamknici wyłcznika W w obwodzie powstaje stan niestalony. Wyznaczony przebieg prd i w fnkcji czas zmienia si od zera do wartoci stalonej i = gdy w obwodzie prd stałego w stanie stalonym napicie na elemencie indkcyjnym jest równe zer. Zgodnie z drgim prawem Kirchhoffa w obwodzie z powyszego rysnk bilans napi ma posta: di = i + dt Po przekształceniach (rachnek całkowy), ostatecznie otrzymjemy, e dla dowolnej chwili t > 0 otrzymjemy: lb i e = (1) = i 1 e (2)

5 Pierwsza składowa prawej strony równania (1) jest nazywana składow stalon prd, a drga jest nazywana składow przejciow prd. Składowa przejciowa prd ma w chwili t = 0 warto i w miar pływ czas asymptotycznie dy do zera. Na rysnk 10.2a przedstawiony został przebieg fnkcji czas składowej stalonej i, składowej przejciowej i p oraz prd wypadkowego i = i +i p Prd wypadkowy dy asymptotycznie do prd stalonego i ma charakter krzywej wykładniczej. ys.10.2 Przebiegi czasowe prd i napi w dwójnik szeregowym, włczonym na napicie stałe: a) przebieg prd; b) przebiegi napi i Jeeli mamy wyznaczony prd w stanie niestalonym, to moemy równie wyznaczy napicie na rezystancji i napicie na indkcyjnoci. Napicie na rezystancji: = i = e = e Napicie na indkcyjnoci: = di dt = e

6 Temat 11 : Stan niestalony w kładzie szeregowym, Załómy, e do gałzi, w której s połczone szeregowo elementy, doprowadzono w chwili t = 0 napicie stałe. Odpowiada to zamknici wyłcznika W w chwili t = 0 w obwodzie jak na rys Stan pocztkowy obwod jest zerowy, tzn. w chwili t = 0 napicie na pojemnoci = 0, a zatem z elementem pojemnociowym nie jest zwizana adna energia. ys.11.1 Dwójnik szeregowy, włczony na napicie stałe. Po zamknici wyłcznika W w obwodzie powstaje stan niestalony. Wyznaczony przebieg napicia w fnkcji czas bdzie zmieniał si od zera do wartoci stalonej wynoszcej = Oznacza to, e z biegiem czas napicie na kondensatorze osignie warto napicia ródła. Proces zachodzcy w rozpatrywanym obwodzie nazywamy procesem ładowania kondensatora przez rezystor ze ródła napicia stałego. Zgodnie z drgim prawem Kirchhoffa w obwodzie z powyszego rysnk bilans napi ma posta: Prd ładowania kondensatora: i = i + dq dt = (1) d = dt gdy dq = d (q = ). Ładnek elementarny jest proporcjonalny do napicia elementarnego.

7 Podstawiajc powysze do wzor (1) otrzymamy: d dt = + Po przekształceniach (rachnek całkowy), ostatecznie otrzymjemy, e dla dowolnej chwili t > 0 otrzymjemy: albo = e 1 e 1 1 = Przez analogi do obwod z indkcyjnoci wprowadzamy pojcie stałej czasowej obwod z pojemnoci, przy czym dla obwod z pojemnoci stała czasowa = Po wprowadzeni stałej czasowej powysze równania moemy zapisa w postaci: albo 1 τ = e (2) 1 e 1 = τ Pierwsza składowa prawej strony równania (2) jest składow stalon napicia na kondensatorze, a drga składow przejciow napicia. Składowa przejciowa ma w chwili t = 0 warto i w miar pływ czas asymptotycznie dy do zera. Na rysnk 11.2a przedstawiony został przebieg fnkcji czas składowej stalonej, składowej przejciowej p oraz napicia wypadkowego na kondensatorze. = + p Napicie ładowania kondensatora asymptotycznie dy do wartoci napicia stalonego i ma charakter krzywej wykładniczej.

8 a) b) c) ys Przebiegi czasowe napi i prd ładowania kondensatora przez rezystancj ze ródła napicia stałego: a) przebieg napicia na pojemnoci; b) przebieg prd ładowania; c) przebieg napicia na rezystancji. W cel wyznaczenia przebieg prd ładowania kondensatora korzystamy ze wzor: i d = = e dt 1 τ Prd ładowania kondensatora ma najwiksz warto w chwili t = 0, wynoszcej. ezystor o rezystancji ogranicza wic prd w pierwszej chwili. Im wiksza jest rezystancja w obwodzie ładowania i im wiksza jest pojemno ładowanego kondensatora, tym wolniej przebiega proces ładowania.

9 Temat 12 : Stała czasowa. Wpływ stałej czasowej na kształt napi i prdów. Z równania i e = (1) wynika, e w zalenoci od wartoci rezystancji i indkcyjnoci zanikanie składowej przejciowej w fnkcji czas moe by szybsze lb wolniejsze. W cel zbadania tego zagadnienia wprowadza si wielko fizyczn zwan stał czasow, okrelon wzorem: τ = Stała czasowa jest mierzona w sekndach. Po wzgldnieni powyszego wzor i wstawieni do równania (1) otrzymjemy: i = oraz t i = 1 e τ Jak wida, stała czasowa jest to czas, po pływie którego warto bezwzgldna składowej przejciowej maleje e razy. W chwili t = 0 składowa przejciowa prd ma warto =. W cel wyznaczenia wartoci składowej przejciowej prd po pływie czas równego jednej stałej czasowej podstawimy t=, a wic otrzymamy i e 1 p = = e W ten sposób otrzymalimy potwierdzenie powyszej definicji. W ten sam sposób mona wyznaczy warto składowej przejciowej prd po pływie czas t = 2, t=3 itd. zas t i p 100% ,78 13,53 4,98 1,83 0,674 0,248 0,091 i Z przytoczonych danych wynika, e po czasie 5 składowa przejciowa prd stanowi mniej ni 1% składowej stalonej. W praktyce przyjmje si, e po obwód znajdje si w stanie stalonym. e t τ i p

10 Stał czasow mona zdefiniowa równie w inny sposób. Mona dowodni, e jeli poprowadzimy styczn do krzywej prd w chwili t = 0, to przetnie ona asymptot prd po czasie. ys Wyznaczanie graficzne stałej czasowej. Z rys wida, e twierdzenie jest słszne dla stycznej do krzywej w dowolnym pnkcie. Stała czasowa jest to czas, po pływie którego prd niestalony osignłby warto stalon, gdyby jego narastanie miało charakter liniowy, czyli prdko zwikszania si prd była stała i równa prdkoci zwikszania si w chwili pocztkowej. Od wartoci stałej czasowej, a wic od wartoci parametrów obwod zaley czas trwania stan niestalonego. Im bowiem wiksza jest stała czasowa, tym łagodniej narasta prd. Na rys przedstawione s trzy krzywe prd dla rónych wartoci, a wic dla rónych stosnków do. ys Wpływ wartoci stałej czasowej na przebieg prd w stanie stalonym. Jeeli załoymy, e rezystancja obwod jest stała, a indkcyjno moe si zmienia, to w miar zwikszania wzrasta stała czasowa i narastanie prd jest wolniejsze. Std wniosek: obwody o dej indkcyjnoci wolno osigaj wartoci stalone.