Model Pasywnego Trasera w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

Transkrypt

1 w Lokalnie Ergodycznym Środowisku Tymoteusz Chojecki UMCS, Lublin Tomasz Komorowski IMPAN, Warszawa Kościelisko, 10 września 2016, XLV Konferencja Zastosowań Matematyki T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

2 Zawartość Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego Główny Wynik Uwagi o dowodzie T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

3 Zawartość Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego Główny Wynik Uwagi o dowodzie T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

4 Zawartość Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego Główny Wynik Uwagi o dowodzie T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

5 Zawartość Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego Główny Wynik Uwagi o dowodzie T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

6 Zawartość Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego Główny Wynik Uwagi o dowodzie T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

7 Transport w skomplikowanym ośrodku. Turbulentna dyfuzja Turbulentny przepływ - transport masy, ciepła lub pędu w płynie w warunkach w pełni rozwiniętej turbulencji. liczba Reynoldsa Re = UL ν. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

8 założenie stacjonarności i ergodyczności - własności statystyczne nie zależą od przesunięć w czasie i przestrzeni Twierdzenie ergodyczne - w badaniu asymptotyki konieczne jest uśrednianie. Badamy pola lokalnie ergodyczne. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

9 [Taylor 20] Traser X (t) Pole losowe V (t, x) dx (t) dt X (0) = 0. = V (t, X (t)), Interpretacja fizyczna T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

10 Skalowanie dyfuzyjne Obserwacje zewnętrzne Dynamika procesu Skalowanie dyfuzyjne X ε (t) := εx (t/ε 2 ) dx ε (t) dt X ε (0) = 0. = 1 ( t ε V ε 2, X ε ) (t) ε T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

11 Klasyczne pytania Podstawowe pytania PWL - Istnienie granicy v := lim t + X (t)/t p.p, (dryf Stokes a). CTG X (t) v t t N(0, κ), t +? Macierz kowariancji κ = [κ i,j ], i, j = 1,... d jest nazywana turbulentną dyfuzyjnością. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

12 Klasyczne pytania Podstawowe pytania PWL - Istnienie granicy v := lim t + X (t)/t p.p, (dryf Stokes a). CTG X (t) v t t N(0, κ), t +? Macierz kowariancji κ = [κ i,j ], i, j = 1,... d jest nazywana turbulentną dyfuzyjnością. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

13 Zastosowanie w teorii homogenizacji Równanie Transportu. 1 ( t ε V ε 2, x ) x Φ ε (t, x) + t Φ ε (t, x) = 0, ε Φ ε (0, x) = Φ 0 (x). Φ 0, Φ ε (t, x) - pasywny skalar Badamy ε 0 Metoda charakterystyk, symetria rozkładu V (t, x) = lim EΦ ε(t, x) = lim EΦ 0 (Xx ε (t)), ε 0 ε 0 T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

14 Pola Lokalnie Ergodyczne Pole Nieściśliwe Gaussowskie Markowowskie Lokalnie Ergodyczne [Rodes 09, Olla,Siri 04]. dx ε (t) = 1 ( t dt ε W ε 2, X ε ) (t), X ε (t), ε X ε (0) = 0. (1) parametr lokalnej stacjonarności Pole W (t, x, εy) stacjonarne i ergodyczne dla ustalonego y. ε 1. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

15 Konstrukcja Pola Lokalnie Ergodycznego N N liczba modów, d-wymiar. W l (t, x, εy) := N j=1 gdzie procesy quasi-periodyczne po x ā (l) j (t; x, εy), l = 1,..., d, (t, x, y) R R 2d, ā j (t, x; y) := a j (t; y) cos(k j x) + b j (t; y) sin(k j x), j = 1,..., N, Stacjonarne procesy Ornsteina-Uhlenbecka a j (t; y), b j (t; y) T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

16 Procesy Ornsteina-Uhlenbecka Stacjonarne, d-wymiarowe [Komorowski, Fannjiang 99, Carmona, Xu 96] da j (t; y) = α j (y)a j (t; y)dt + 2α j (y)σ j (y)dw j,a (t), db j (t; y) = α j (y)b j (t; y)dt + 2α j (y)σ j (y)dw j,b (t), Miara niezmiennicza ν,y (da, db). w j,a (t), w j,b (t), t 0 - niezależne, standardowe d-wymiarowe ruchy Browna. funkcje α j (y), σ j (y), y R d. Przerwa Spektralna dla 1 j N, y R d 0 < α < min(α j (y), σ j (y)) < max(α j (y), σ j (y)) < σ. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

17 Miara niezmiennicza ν,y (da, db) = Γ (a, b; y)dadb, gdzie N Γ (a, b; y) = Zy 1 exp a 2 j 2σ 2 j=1 j N exp b 2 j 2σ 2 j=1 j, gdzie Z y = (2π) Nd N j=1 σ 2 j. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

18 Główny Wynik Twierdzenie Proces X ε (t) X (t), gdy ε 0 słabo w C[0, ; R d ], gdzie X (t) dyfuzją, której generator wyraża się wzorem d { Lf (x) = yq f (x) w(a, b) y χ q (a, b, x) q=1 R 2S + { dαi (x) ( Θ i (a, b, x), Θ i (a, b, x) ) } ] } (a j, b j ) ν,x(da, db) dx n n,j Z d q=1 R 2S 2 y q f (x) j Z + ( b,j χ q (a, b, x)) 2 ]} ν,x (da, db). { 2α i (x) (σ j (x)) 2 [ ( a,j χ q (a, b, x)) 2 T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

19 Korektory czynnik 1/ε równania (1). Korektory - równanie Poissona L y χ q (a, b; y) = w q (a, b), q = 1,..., d. Wyrazy zawierające pochodne po y procesów a j (t; y), b j (t; y). T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

20 Opis dowodu Ciasność Problem Martyngałowy Stroocka-Varadhana. Twierdzenie Ergodyczne T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

21 Twierdzenie Ergodyczne Oznaczmy F (y) := F (a, b; y)ν,y (da, db). Pole Losowe F (t, x, y) := F (a(t; y), b(t; y); y), t 0, x, y R d. (2) Twierdzenie Ergodyczne Dla pola F zdefiniowanego w (2) i funkcji F spełniającej pewne dodatkowe założenia o tempie wzrostu, oraz dla dowolnego T > 0 zachodzi lim E ε 0 + T 0 ( t F ε 2, X ε ) (t) T, X ε (t) dt ε 0 F (X ε (t))dt = 0. T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

22 Bibliografia Carmona, R., Xu, L., Homogenization For Time Dependent 2-d Incompressible Gaussian Flows. Preprint (1996). Fannjiang, A., Komorowski, T., Turbulent Diffusion in Markovian Flows, Ann. of Appl. Prob. 9, , (1999). Monin, A. S., Yaglom A. M., Statistical Fluid Mechanics of Turbulence, Vols I,II, MIT Press Cambridge,(1971), (1975). Olla, S., Siri, P., Homogenization of a bond diffusion in a locally ergodic random environment, Stochastic Processes and their Applications 109, pp , Rhodes, R., Diffusion in a locally stationary random environment, Probab. Theory Related Fields 143 (2009), no. 3-4, T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

23 Dziękuję za uwagę :) T. Komorowski, T. Chojecki w Lokalnie Ergodycznym Środowisku