Wielki rozkład kanoniczny

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wielki rozkład kanoniczny"

Transkrypt

1 , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015

2 Podukład otwarty

3 Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R

4 Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany i zamknięty

5 Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany i zamknięty układ S wymienia z rezerwuarem cząstki i energię, tak aby ustalone były ich średnie wartości

6 Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany i zamknięty układ S wymienia z rezerwuarem cząstki i energię, tak aby ustalone były ich średnie wartości z uwagi na zmienną liczbę cząstek w układzie S potrzebny jest nowy formalizm!

7 Formalizm

8 Formalizm 1 Przestrzeń fazowa

9 Formalizm 1 Przestrzeń fazowa Ciąg przestrzeni fazowych odpowiadających wzrastającej liczbie cząstek Γ = {Γ 0, Γ 1, Γ 2,... } gdzie Γ N przestrzeń N-cząstkowa

10 Formalizm 1 Przestrzeń fazowa Ciąg przestrzeni fazowych odpowiadających wzrastającej liczbie cząstek Γ = {Γ 0, Γ 1, Γ 2,... } gdzie Γ N przestrzeń N-cząstkowa 2 Hamiltonian

11 Formalizm 1 Przestrzeń fazowa Ciąg przestrzeni fazowych odpowiadających wzrastającej liczbie cząstek Γ = {Γ 0, Γ 1, Γ 2,... } gdzie Γ N przestrzeń N-cząstkowa 2 Hamiltonian Ciąg Hamiltonianów odpowiadających wzrastającej liczbie cząstek H = {H 0, H 1, H 2,... } gdzie H N = N p 2 i 2m + i=1 i<j V( q i q j )

12 Formalizm 1 Przestrzeń fazowa Ciąg przestrzeni fazowych odpowiadających wzrastającej liczbie cząstek Γ = {Γ 0, Γ 1, Γ 2,... } gdzie Γ N przestrzeń N-cząstkowa 2 Hamiltonian Ciąg Hamiltonianów odpowiadających wzrastającej liczbie cząstek H = {H 0, H 1, H 2,... } gdzie H N = N p 2 i 2m + i=1 i<j V( q i q j ) 3 Stan układu

13 Formalizm 1 Przestrzeń fazowa Ciąg przestrzeni fazowych odpowiadających wzrastającej liczbie cząstek Γ = {Γ 0, Γ 1, Γ 2,... } gdzie Γ N przestrzeń N-cząstkowa 2 Hamiltonian Ciąg Hamiltonianów odpowiadających wzrastającej liczbie cząstek H = {H 0, H 1, H 2,... } gdzie H N = N p 2 i 2m + i=1 i<j V( q i q j ) 3 Stan układu ρ = {ρ 0, ρ 1, ρ 2,... } ciąg nieujemnych funkcji

14 Formalizm

15 Formalizm 4 Unormowanie 1 = Γ ρ dγ def = N=0 gdzie dq N dp N = dq 1... dq N dp 1... dp N oraz ρ N (q N, p N ) = ρ N (q 1,..., q N, p 1,..., p N ) 1 ρ N (q N! N, p N )dq N dp N Γ N

16 Formalizm 4 Unormowanie 1 = Γ ρ dγ def = N=0 gdzie dq N dp N = dq 1... dq N dp 1... dp N oraz ρ N (q N, p N ) = ρ N (q 1,..., q N, p 1,..., p N ) 5 Obserwable 1 ρ N (q N! N, p N )dq N dp N Γ N f = {f 0, f 1, f 2,... } ciąg zmiennych losowych na Γ f N (q N, p N ) = f N (q 1,..., q N, p 1,..., p N )

17 Formalizm 4 Unormowanie 1 = Γ ρ dγ def = N=0 gdzie dq N dp N = dq 1... dq N dp 1... dp N oraz ρ N (q N, p N ) = ρ N (q 1,..., q N, p 1,..., p N ) 5 Obserwable 1 ρ N (q N! N, p N )dq N dp N Γ N f = {f 0, f 1, f 2,... } ciąg zmiennych losowych na Γ f N (q N, p N ) = f N (q 1,..., q N, p 1,..., p N ) 6 Wartość średnia obserwabli f ρ = def = f ρ dγ Γ 1 ρ N (q N! N, p N )f N (q N, p N )dq N dp N Γ N N=0

18 Stan równowagi

19 Stan równowagi 7 Entropia S = k Γ ρ ln ρ dγ def = k N=0 1 ρ N ln ρ N dq N! N dp N Γ N

20 Stan równowagi 7 Entropia S = k Γ ρ ln ρ dγ def = k N=0 1 ρ N ln ρ N dq N! N dp N Γ N 8 Stan równowagi określony jest przez rozkład reprezentatywny makrostanu K H,N = {ρ ; unormowane, H ρ = U, N ρ = N }

21 Stan równowagi 7 Entropia S = k Γ ρ ln ρ dγ def = k N=0 1 ρ N ln ρ N dq N! N dp N Γ N 8 Stan równowagi określony jest przez rozkład reprezentatywny makrostanu i ma on postać K H,N = {ρ ; unormowane, H ρ = U, N ρ = N } ρ = {ρ 0, ρ 1,..., ρ N,...} gdzie ρ N = Z 1 e β(µn H N ) oraz 1 Z(β, µ) = e β(µn HN ) dq N! N dp N = Γ N N=0 jest wielką sumą statystyczną Z N (β)e βµn N=0

22 Mnożniki Lagrange a. Równanie stanu

23 Mnożniki Lagrange a. Równanie stanu Mnożniki Lagrange a β, µ są związane z U oraz N relacjami ln Z β ln Z µ = U µn = βn

24 Mnożniki Lagrange a. Równanie stanu Mnożniki Lagrange a β, µ są związane z U oraz N relacjami ln Z β ln Z µ = U µn = βn Równanie stanu zależność p(v, T )

25 Mnożniki Lagrange a. Równanie stanu Mnożniki Lagrange a β, µ są związane z U oraz N relacjami ln Z β ln Z µ = U µn = βn Równanie stanu zależność p(v, T ) gdzie z = e βµ. p = kt V ln Z(z, T, V ), N = z ln Z(z, T, V ), z

26 Wielka suma statystyczna dla gazu doskonałego

27 Wielka suma statystyczna dla gazu doskonałego Z(z, β, V ) = = Z N (β, V )z N = N=0 N=0 [ 1 V N! ( 2mπ β N=0 V N N! ) 3/2z ] N = exp [ V ( ) 2mπ 3N/2z N β ( ) 2mπ 3/2z ] β

28 Wielka suma statystyczna dla gazu doskonałego Z(z, β, V ) = = Z N (β, V )z N = N=0 N=0 [ 1 V N! ( 2mπ β N=0 V N N! ) 3/2z ] N = exp [ V ( ) 2mπ 3N/2z N β ( ) 2mπ 3/2z ] β oraz ln Z β ln Z µ = µ ln Z + 3 2β ln Z = βz ln Z = β ln Z z

29 Wielka suma statystyczna dla gazu doskonałego Z(z, β, V ) = = Z N (β, V )z N = N=0 N=0 [ 1 V N! ( 2mπ β N=0 V N N! ) 3/2z ] N = exp [ V ( ) 2mπ 3N/2z N β ( ) 2mπ 3/2z ] β oraz ln Z β ln Z µ = µ ln Z + 3 2β ln Z = βz ln Z = β ln Z z Równanie stanu i równanie energetyczne pv = N kt, U = 3 2 N kt

30 Przykład Prawdopodobieństwo znalezienia dokładnie N cząstek gazu doskonałego w układzie otwartym, w którym średnia liczba cząstek wynosi N dane jest przez

31 Przykład Prawdopodobieństwo znalezienia dokładnie N cząstek gazu doskonałego w układzie otwartym, w którym średnia liczba cząstek wynosi N dane jest przez rozkład Poissona P (N) = N N N! e N

32 Granica termodynamiczna

33 Granica termodynamiczna Granica energii swobodnej 1 f(t, v) = kt lim N 1 ln ZN (T, V ), N 1/v = N/V jest koncentracją cząstek (stała przy przejściu granicznym), f(t, v) jest energią swobodną przypadającą na jedną cząstkę w granicy termodynamicznej.

34 Granica termodynamiczna Granica energii swobodnej 1 f(t, v) = kt lim N 1 ln ZN (T, V ), N 1/v = N/V jest koncentracją cząstek (stała przy przejściu granicznym), f(t, v) jest energią swobodną przypadającą na jedną cząstkę w granicy termodynamicznej. Ciśnienie w granicy termodynamicznej p = f v = 1 β v [ lim N ] 1 N ln ZN.

35 Równoważność opisów

36 Równoważność opisów Twierdzenie van Hove p = 1 β v [ lim N ] 1 N ln ZN = 1 [ ] 1 β lim V V ln Z.

37 Równoważność opisów Twierdzenie van Hove p = 1 β v [ lim N ] 1 N ln ZN = 1 [ ] 1 β lim V V ln Z. Równanie stanu w granicy termodynamicznej, czyli zależność p(v, T ), ma tę samą postać w ramach formalizmu kanonicznego jak i wielkiego formalizmu kanonicznego dla tego samego modelu

38 Równoważność opisów Twierdzenie van Hove p = 1 β v [ lim N ] 1 N ln ZN = 1 [ ] 1 β lim V V ln Z. Równanie stanu w granicy termodynamicznej, czyli zależność p(v, T ), ma tę samą postać w ramach formalizmu kanonicznego jak i wielkiego formalizmu kanonicznego dla tego samego modelu Opisy te są równoważne w granicy termodynamicznej

39 Przejścia fazowe

40 Przejścia fazowe Przejście fazowe nieciągłości różnych wielkości termodynamicznych podczas przechodzenia procesu przez punkt krytyczny

41 Przejścia fazowe Przejście fazowe nieciągłości różnych wielkości termodynamicznych podczas przechodzenia procesu przez punkt krytyczny Teoria przejść fazowych Yanga-Lee na gruncie wielkiego rozkładu kanonicznego Model twardych kul z energią potencjalną V( q ij ) = { dla qij < a, ε ij dla a q ij b, 0 dla q ij > b,

42 Teoria Yanga-Lee

43 Teoria Yanga-Lee Wielka suma statystyczna Z(β, µ, V ) = M N=0 Z (0) N (β, V )QN (β, V )eβµn, jest wielomianem stopnia M w zmiennej z = e βµ Z(z, T, V ) = M N=0 Z (0) N (T, V ) QN (T, V )zn, M oznacza maksymalną liczbę twardych kul, które mieszczą się w skończonej objętości V

44 Teoria Yanga-Lee Wielka suma statystyczna Z(β, µ, V ) = M N=0 Z (0) N (β, V )QN (β, V )eβµn, jest wielomianem stopnia M w zmiennej z = e βµ Z(z, T, V ) = M N=0 Z (0) N (T, V ) QN (T, V )zn, M oznacza maksymalną liczbę twardych kul, które mieszczą się w skończonej objętości V Zapiszmy Z(z) = M i=0 gdzie z i są pierwiastkami wielomianu Z (1 z z i ),

45 Pierwiastki Z(z, T, V )

46 Pierwiastki Z(z, T, V ) Pierwiastki z i są rzeczywiste i ujemne lub zespolone Jeśli są zespolone, to występują parami: liczba zespolona i sprzężona do niej

47 Pierwiastki Z(z, T, V ) Pierwiastki z i są rzeczywiste i ujemne lub zespolone Jeśli są zespolone, to występują parami: liczba zespolona i sprzężona do niej Na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z pierwiastki te mogą znajdować się wszędzie za wyjątkiem półprostej Re z > 0. W granicy termodynamicznej przy V ilość pierwiastków rośnie

48 Pierwiastki Z(z, T, V ) Pierwiastki z i są rzeczywiste i ujemne lub zespolone Jeśli są zespolone, to występują parami: liczba zespolona i sprzężona do niej Na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z pierwiastki te mogą znajdować się wszędzie za wyjątkiem półprostej Re z > 0. W granicy termodynamicznej przy V ilość pierwiastków rośnie Przejście fazowe pojawia się w punkcie krytycznym z 0, jeśli punkt skupienia z 0 leży na półosi Re z > 0. Yang i Lee pokazli, że koncentracja 1/v ma nieciągłość w punkcie z 0

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię

Bardziej szczegółowo

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek prawdopodobieństwa

1 Rachunek prawdopodobieństwa 1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const

Bardziej szczegółowo

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Zespół kanoniczny Zespół mikrokanoniczny jest (przynajmniej w warstwie

Bardziej szczegółowo

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[

Bardziej szczegółowo

r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC

r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC VIII.1 Pojęcia mikrostanu i makrostanu układu N punktów materialnych. Prawdopodobieństwo termodynamiczne. Entropia. VIII. Rozkład Boltzmanna VIII.3 Twierdzenie o wiriale Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Uwagi

Bardziej szczegółowo

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny 1 Rozkład Mikrokanoniczny (przypomnienie) S= k B ln( (E,V,{x i },{N j }) ) Z fenomenologii: Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego

Bardziej szczegółowo

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Statystyki kwantowe. P. F. Góra Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis układu

Termodynamiczny opis układu ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych FIZYKA STATYSTYCZA Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych elementów takich jak atomy czy cząsteczki. Badanie ruchów pojedynczych cząstek byłoby bardzo trudnym

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). 15.1. Termodynamiczny opis układu Opis

Bardziej szczegółowo

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia)

Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Szczególna i ogólna teoria względności (wybrane zagadnienia) Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Szczególna Teoria Względności

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Wstęp do astrofizyki I

Wstęp do astrofizyki I Wstęp do astrofizyki I Wykład 13 Tomasz Kwiatkowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Fizyki Instytut Obserwatorium Astronomiczne Tomasz Kwiatkowski, OA UAM Wstęp do astrofizyki I, Wykład

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

Podstawy termodynamiki

Podstawy termodynamiki Podstawy termodynamiki Organizm żywy z punktu widzenia termodynamiki Parametry stanu Funkcje stanu: U, H, F, G, S I zasada termodynamiki i prawo Hessa II zasada termodynamiki Kierunek przemian w warunkach

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

Fizyka statystyczna.  This Book Is Generated By Wb2PDF. using http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju

Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Wykład II Przejścia fazowe 1 Termodynamiczny opis przejść fazowych pierwszego rodzaju Woda występuje w trzech stanach skupienia jako ciecz, jako gaz, czyli para wodna, oraz jako ciało stałe, a więc lód.

Bardziej szczegółowo

Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej

Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej Skrypt do wykładu i ćwiczeń rachunkowych dla kierunku Fotonika (rok III, semestr 5) na Wydziale Fizyki PW Warszawa 2016 Spis treści 1. Termodynamika klasyczna,

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana Konrad Jachyra I IM gr V lab MODEL STATYCZNY Model statystyczny hipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub

Bardziej szczegółowo

Termodynamika statystyczna A. Wieloch Zakład Fizyki Gorącej Materii IFUJ

Termodynamika statystyczna A. Wieloch Zakład Fizyki Gorącej Materii IFUJ Termodynamika statystyczna A. Wieloch Zakład Fizyki Gorącej Materii IFUJ Kraków 15.02.2006 Literatura: A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki : tom 2, część 2 oraz tom 1, PWN 1991. F. Reif:

Bardziej szczegółowo

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA Przedmiotem badań są własności układów makroskopowych w zaleŝności od temperatury. Układ makroskopowy Np. 1 mol substancji - tyle składników ile w 12 gramach węgla C 12 N

Bardziej szczegółowo

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a

3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a 3 Potencjały termodynamiczne i transformacja Legendre a literatura: Ingarden, Jamiołkowski i Mrugała, Fizyka Statystyczna i ermodynamika, 9 W.I Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, 14 3.1

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA

Bardziej szczegółowo

Elementy fizyki statystycznej

Elementy fizyki statystycznej 5-- lementy fizyki statystycznej ermodynamika Gęstości stanów Funkcje rozkładu Gaz elektronów ermodynamika [K] 9 wszechświat tuż po powstaniu ermodynamika to dział fizyki zajmujący się energią termiczną

Bardziej szczegółowo

Teoria kinetyczno cząsteczkowa

Teoria kinetyczno cząsteczkowa Teoria kinetyczno cząsteczkowa Założenie Gaz składa się z wielkiej liczby cząstek znajdujących się w ciągłym, chaotycznym ruchu i doznających zderzeń (dwucząstkowych) Cel: Wyprowadzić obserwowane (makroskopowe)

Bardziej szczegółowo

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI Procesy odwracalne i nieodwracalne termodynamicznie, samorzutne i niesamorzutne Proces nazywamy termodynamicznie odwracalnym, jeśli bez spowodowania zmian w otoczeniu możliwy

Bardziej szczegółowo

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1 8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI Procesy odwracalne i nieodwracalne termodynamicznie, samorzutne i niesamorzutne Proces nazywamy termodynamicznie odwracalnym, jeśli bez spowodowania zmian w otoczeniu możliwy

Bardziej szczegółowo

Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej

Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Rafał Topolnicki rtopolnicki@o2.pl KNF Migacz Uniwersytet Wrocławski Wrocław, 27 maja 2010 Od termodynamiki klasycznej do nieekstensywnej Wrocław, 27 maja

Bardziej szczegółowo

Ą Ż Ł ś ż ńż ż ż ś ź ź ć ź ś ń ż ć ź ź ź ż ź ś ź ń ź Ę ż ź ź ź ż ż ś ń ż ż ś ż ź ż ź źń ż ż ż ź ś ś ż ś ż ż Ż Ł ń ż ś ż ń ź ź ż żń ść ż ż ń ń ń ń ń ż ś ź ż ń ż ś ń ż ć ż ś ż ż ć ń ż ż ź ż ć ż ż ś ż ż ć

Bardziej szczegółowo

Ę ć ń ż ć Ń ń ż ć ć ń ż ć ń ź ń Ę Ń ń ń ż ć ż ć ć Ń ż ć ń ć ż ń ż ć ć Ń ż ć Ń ż Ń Ń Ń ż ż Ń ż ż Ń ń ź Ń ń Ń ń ń Ą ń ń ź ń Ń Ń ć Ę ż Ń ż ć ć ć Ę ńż ń Ą ć ć Ę ż ż ć ż ć Ń ż Ń ż Ń ż ż ń ć ń Ń ń Ę ż Ł Ń ż

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Temperatura jest wspólną własnością dwóch ciał, które pozostają ze sobą w równowadze termicznej.

Temperatura jest wspólną własnością dwóch ciał, które pozostają ze sobą w równowadze termicznej. 1 Ciepło jest sposobem przekazywania energii z jednego ciała do drugiego. Ciepło przepływa pod wpływem różnicy temperatur. Jeżeli ciepło nie przepływa mówimy o stanie równowagi termicznej. Zerowa zasada

Bardziej szczegółowo

Zasady termodynamiki

Zasady termodynamiki Zasady termodynamiki Energia wewnętrzna (U) Opis mikroskopowy: Jest to suma średnich energii kinetycznych oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych i wewnątrzcząsteczkowych. Opis makroskopowy: Jest

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych

9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych 9 Rozkład kanoniczny 9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych Jest to funkcja rozkładu w stanie równowagi termodynamicznej, dla układu mogącego wymieniać ciepło z otoczeniem. Układ znajduje się w

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html GAZY DOSKONAŁE Przez

Bardziej szczegółowo

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 3

Termodynamika Część 3 Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego.

Wykład z modelowania matematycznego. Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji

Bardziej szczegółowo

Warunki równowagi. Rozkłady: kanoniczny, wielki kanoniczny, izobaryczno-izotermiczny

Warunki równowagi. Rozkłady: kanoniczny, wielki kanoniczny, izobaryczno-izotermiczny Warunki równowagi. Rozkłady: kanoniczny, wielki kanoniczny, izobaryczno-izotermiczny 1 Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego nie są łatwe. Wprowadzimy teraz inne rozkłady, przy pomocy

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych

4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych 4 Przekształcenia pochodnych termodynamicznych 4.1 Relacje Maxwella Pierwsza zasada termodynamiki może być zapisana w postaci niezależnej od reprezentacji jako warunek znikania formy Pfaffa: Stąd musi

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1. 1. W p r owadze n ie 1 Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE 1.1. WPROWADZENIE SYGNAŁ nośnik informacji ANALIZA SYGNAŁU badanie, którego celem jest identyfikacja własności, cech, miar sygnału; odtwarzanie

Bardziej szczegółowo

Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów

Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów opis makroskopowy równowaga termodynamiczna temperatura opis mikroskopowy średnia energia kinetyczna molekuł Równowaga termodynamiczna A B A

Bardziej szczegółowo

dn dt C= d ( pv ) = d dt dt (nrt )= kt Przepływ gazu Pompowanie przez przewód o przewodności G zbiornik przewód pompa C A , p 1 , S , p 2 , S E C B

dn dt C= d ( pv ) = d dt dt (nrt )= kt Przepływ gazu Pompowanie przez przewód o przewodności G zbiornik przewód pompa C A , p 1 , S , p 2 , S E C B Pompowanie przez przewód o przewodności G zbiornik przewód pompa C A, p 2, S E C B, p 1, S C [W] wydajność pompowania C= d ( pv ) = d dt dt (nrt )= kt dn dt dn / dt - ilość cząstek przepływających w ciągu

Bardziej szczegółowo

Teoria kinetyczna gazów

Teoria kinetyczna gazów Teoria kinetyczna gazów Mikroskopowy model ciśnienia gazu wzór na ciśnienie gazu Mikroskopowa interpretacja temperatury Średnia energia cząsteczki gazu zasada ekwipartycji energii Czy ciepło właściwe przy

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki

Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Temodynamika

Bardziej szczegółowo

czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma

czyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Termodynamika cz. 2. Gaz doskonały. Gaz doskonały... Gaz doskonały... Notes. Notes. Notes. Notes. dr inż. Ireneusz Owczarek

Termodynamika cz. 2. Gaz doskonały. Gaz doskonały... Gaz doskonały... Notes. Notes. Notes. Notes. dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Gaz doskonały Definicja makroskopowa (termodynamiczna)

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach

Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach Detekcja rozkładów o ciężkich ogonach J. Śmiarowska, P. Jamer Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska 24 kwietnia 2012 J. Śmiarowska, P. Jamer (Politechnika Warszawska) Detekcja

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r= Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29

Spis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29 Przedmowa... XI 1. Obraz makroskopowy... 1 1.1. Termodynamika... 1 1.2. Parametry termodynamiczne... 2 1.3. Granica termodynamiczna... 3 1.4. Procesy termodynamiczne... 4 1.5. Klasycznygazdoskonały...

Bardziej szczegółowo

Formalizm skrajnych modeli reakcji

Formalizm skrajnych modeli reakcji Formalizm skrajnych modeli reakcji Reakcje wprost czyli reakcje bezpośredniego oddziaływania opisywane są w ramach formalizmu, który rozwiązuje równanie Schroedingera dla oddziałujących jąder atomowych

Bardziej szczegółowo

Jednostki podstawowe. Tuż po Wielkim Wybuchu temperatura K Teraz ok. 3K. Długość metr m

Jednostki podstawowe. Tuż po Wielkim Wybuchu temperatura K Teraz ok. 3K. Długość metr m TERMODYNAMIKA Jednostki podstawowe Wielkość Nazwa Symbol Długość metr m Masa kilogramkg Czas sekunda s Natężenieprąduelektrycznego amper A Temperaturatermodynamicznakelwin K Ilość materii mol mol Światłość

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12

Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12 Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12 atomu węgla 12 C. Mol - jest taką ilością danej substancji,

Bardziej szczegółowo

powierzchnia rozdziału - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki

powierzchnia rozdziału - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki Przejścia fazowe. powierzchnia rozdziału - skokowa zmiana niektórych parametrów na granicy faz. kropeki wody w atmosferze - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki Przykłady przejść fazowych:

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 2

Termodynamika Część 2 Termodynamika Część 2 Równanie stanu Równanie stanu gazu doskonałego Równania stanu gazów rzeczywistych rozwinięcie wirialne równanie van der Waalsa hipoteza odpowiedniości stanów inne równania stanu Równanie

Bardziej szczegółowo

Kinetyczna teoria gazów Termodynamika. dr Mikołaj Szopa Wykład

Kinetyczna teoria gazów Termodynamika. dr Mikołaj Szopa Wykład Kinetyczna teoria gazów Termodynamika dr Mikołaj Szopa Wykład 7.11.015 Kinetyczna teoria gazów Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika Termodynamika klasyczna opisuje tylko wielkości makroskopowe takie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Rozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 3 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA 3.1 Wstęp Metoda ta umożliwia opis układu złożonego z wielu jonów i elektronów w stanie podstawowym. Hamiltonian układu

Bardziej szczegółowo

Kacper Kulczycki. Dynamika molekularna atomów oddziałujących siłami van der Waalsa

Kacper Kulczycki. Dynamika molekularna atomów oddziałujących siłami van der Waalsa Kacper Kulczycki Dynamika molekularna atomów oddziałujących siłami van der Waalsa Warszawa 2007 Spis treści: Spis treści 1 Wstęp 2 Teoria 2 Algorytm 3 Symulacje 4 Wyniki 24 Wnioski 47 1 Wstęp Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9 Przegląd niektórych danych doświadczalnych o produkcji hadronów. Rozpraszanie elastyczne. Rozkłady krotności

Rozdział 9 Przegląd niektórych danych doświadczalnych o produkcji hadronów. Rozpraszanie elastyczne. Rozkłady krotności Rozdział 9 Przegląd niektórych danych doświadczalnych o produkcji hadronów. Rozpraszanie elastyczne. Rozkłady krotności Krotności hadronów a + b c 1 + c +...+ c i +...+ c N Reakcje ekskluzywne: wszystkie

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Modelu Standardowego

Wstęp do Modelu Standardowego Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że 4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy

Bardziej szczegółowo

Podstawowe prawa opisujące właściwości gazów zostały wyprowadzone dla gazu modelowego, nazywanego gazem doskonałym (idealnym).

Podstawowe prawa opisujące właściwości gazów zostały wyprowadzone dla gazu modelowego, nazywanego gazem doskonałym (idealnym). Spis treści 1 Stan gazowy 2 Gaz doskonały 21 Definicja mikroskopowa 22 Definicja makroskopowa (termodynamiczna) 3 Prawa gazowe 31 Prawo Boyle a-mariotte a 32 Prawo Gay-Lussaca 33 Prawo Charlesa 34 Prawo

Bardziej szczegółowo