Redukcja wariancji w metodach Monte-Carlo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Redukcja wariancji w metodach Monte-Carlo"

Transkrypt

1 Seminarium szkoleniowe 14 lutego 2006

2 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna

3 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna

4 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna

5 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna

6 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna

7 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna

8 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna

9 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna

10 Wprowadzenie Seminarium szkoleniowe Zadanie: Policzyć całkę zapisaną jako iloczyn funkcji o następującej postaci: E f h (X ) = h (x) f (x) dx, (1) gdzie f (x) jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa o nośniku χ. Oszacowanie metodą MC: Generujemy próbę X 1,..., X m zmiennych i.i.d. z rozkładu o gęstości f (x). Wówczas χ h f (X ) = 1 m m h (X j ) (2) j=1 przybliża, zgodnie z prawem wielkich liczb, wartość oczekiwaną E f h (X ).

11 Wprowadzenie Seminarium szkoleniowe Zadanie: Policzyć całkę zapisaną jako iloczyn funkcji o następującej postaci: E f h (X ) = h (x) f (x) dx, (1) gdzie f (x) jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa o nośniku χ. Oszacowanie metodą MC: Generujemy próbę X 1,..., X m zmiennych i.i.d. z rozkładu o gęstości f (x). Wówczas χ h f (X ) = 1 m m h (X j ) (2) j=1 przybliża, zgodnie z prawem wielkich liczb, wartość oczekiwaną E f h (X ).

12 Przykład Policzyć całkę gdzie I = 1 0 h (x) dx, h (x) = 0 dla x < 0 1 dla 0 x < dla 1 2 x < 1 0 dla x 1

13 Rozwiązanie metodą MC [ ) [ ) Losujemy punkty równomiernie z przedziału 0, 1 2, 1 2, 1. Niech H 1 = H 2 = 1/ /2 h (x) dx (3) h (x) dx. (4) Wówczas I = H 1 + H 2. Całkę (3) zapiszemy w postaci: H 1 = h (x) dp 1 gdzie P 1 jest rozkładem równomiernym na przedziale [ ) 0, 1 2.

14 Losując punkty równomiernie otrzymujemy: σ 2 H 1 = 1 0 ( ) h (x) 2 ( 1 dp ) h (x) 2 2 dp 1 = 0. Analogicznie wariancja σ 2 H 2 estymatora drugiej całki jest zerem. Wnioski Dla bezbłędnego oszacowania całki funkcji stałej wystarczy znajomość wartości tej funkcji w jednym punkcie przedziału całkowania. W ten sposób udało się zredukować wariancję estymatora całki I do zera.

15 Metoda losowania warstwowego Seminarium szkoleniowe Rozpatrujemy zadanie obliczenia całki I =... f (x 1,.x 2,..., x n ) dx 1 dx 2...dx n = Ω Ω fdx. Dzielimy Ω na rozłączne podzbiory Ω j,j = 1, 2,..., k i zapisujemy całkę I w postaci sumy całek: k I = I (j) j=1 gdzie I (j) = fdx. Ω j

16 Ω j miara (objętość) n wymiarowej warstwy Ω j. P j rozkład równomierny na Ω j, tzn.: P j = dx Ω j Wówczas: I (j) = Ω j fdp j. Ω j Î (j) = Ω j n j n j f (x ij ) gdzie x ij jest i tym punktem wylosowanym w j tej warstwie Ω j według rozkładu prawdopodobieństwa P j na tej warstwie. Losowanie w poszczególnych warstwach jest niezależne! i=1

17 Oszacowanie całki I k Î 3 = Î (j). (5) i=1 Właściwości estymatora Î3 Î3 jest nieobciążonym estymatorem całki I. Wariancja Î3 wynosi: σ 2 (Î3 ) k = i=1 Ω j σj 2 n j gdzie σ 2 j jest wariancją funkcji f na j tej warstwie: σj 2 = f 2 dp j Ej 2, E j = Ω j fdp j Ω j

18 Jeżeli σj 2 jest nieznane, to szacuje się je na podstawie wylosowanych punktów za pomocą wariancji sj 2 : gdzie s 2 j = 1 n j 1 n j ] 2 [f (x ij ) f j i=1 n j f j = 1 f (x ij ) n j i=1 jest wartością średnią funkcji f w punktach wylosowanych z j tej warstwy. Oszacowanie wariancji σ 2 (Î3 ) s 2 (Î3 ) k = i=1 Ω j 2 n j 1 { 1 n j n j } f 2 (x ij ) f 2 j. i=1

19 Losując N = n 1 + n n k punktów, chcemy tak dokonać podziału Ω na warstwy oraz tak ustalić liczby n 1, n 2,..., n k aby wariancja estymatora Î3 była najmniejsza. Zagadnienie to zwane jest w statystyce zagadnieniem optymalnej lokalizacji próby. Optymalny dobór warstw oraz liczb n 1, n 2,..., n k zależy oczywiście od funkcji f i obszaru całkowania Ω. Jednak przyjmując najbardziej uniwersalne metody doboru Ω j oraz n j można uzyskać znaczną redukcję wariancji estymatora Î3 w stosunku do wariancji estymatora wyznaczonego metodą podstawową.

20 Najprostszy przypadek Ω podzielono na jednakowo duże warstwy: Ω 1 = Ω 2 =... = Ω k = Ω /k. Z każdej warstwy losuje się jednakową liczbę punktów: otrzymujemy: n 1 = n 2 =... = n k = N/k = m σ 2 (Î31 Î 31 = Ω N ) = Ω 2 kn k j=1 i=1 k j=1 m f (x ij ) σ 2 j.

21 Niech E będzie średnią wartością funkcji f na Ω. W metodzie podstawowej mamy: Î 2 = Ω N N f (x i ) i=1 Można wykazać, że: σ 2 (Î2 ) = Ω 2 N σ2 f. σ 2 (Î2 ) = Ω 2 kn k j=1 Ωj σ 2j + Ω 2 N k j=1 Ω j (E j E) 2 dp σ 2 (Î31 ).

22 Wnioski Wariancja nawet najprostszego estymatora Î31 nigdy nie jest większa od σ 2 {Î2} uzyskanego metodą podstawową. Stosując losowanie warstwowe zmniejszamy wariancję o wielkość Ω 2 kj=1 N (E j E) 2 dp, która jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego j mamy (E j E) 2 dp = 0. Ω j Korzyść z zastosowania losowania warstwowego jest tym większa, im bardziej wartości średnie E j funkcji na poszczególnych warstwach będą różniły się między sobą.

23 Wnioski Wariancja nawet najprostszego estymatora Î31 nigdy nie jest większa od σ 2 {Î2} uzyskanego metodą podstawową. Stosując losowanie warstwowe zmniejszamy wariancję o wielkość Ω 2 kj=1 N (E j E) 2 dp, która jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego j mamy (E j E) 2 dp = 0. Ω j Korzyść z zastosowania losowania warstwowego jest tym większa, im bardziej wartości średnie E j funkcji na poszczególnych warstwach będą różniły się między sobą.

24 Wnioski Wariancja nawet najprostszego estymatora Î31 nigdy nie jest większa od σ 2 {Î2} uzyskanego metodą podstawową. Stosując losowanie warstwowe zmniejszamy wariancję o wielkość Ω 2 kj=1 N (E j E) 2 dp, która jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego j mamy (E j E) 2 dp = 0. Ω j Korzyść z zastosowania losowania warstwowego jest tym większa, im bardziej wartości średnie E j funkcji na poszczególnych warstwach będą różniły się między sobą.

25 Metoda średniej ważonej Policzyć całkę I = b Niech g będzie taką funkcją, że: a f (x) dx. (6) g (x) > 0 dla a x b, oraz b a g (x) dx = 1. Funkcję g można traktować jako gęstość pewnej zmiennej losowej. Wówczasz całkę (6) można zapisać w postaci: I = b gdzie dp = g (x) dx. a f (x) b g (x) g (x) dx lub I = f (x) g (x) dp a

26 Algorytm Wylosować na przedziale (a, b) punkt x i zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa P Obliczyć wartość f (x i ) /g (x i ) funkcji podcałkowej w tym punkcie Powtórzyć obliczenia dla i = 1, 2,..., N i obliczyć wartość średnią 1 N f (x i ) /g (x i ). (7) N i=1 Wielkość (7) przyjąć jako oszacowanie całki I

27 Algorytm Wylosować na przedziale (a, b) punkt x i zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa P Obliczyć wartość f (x i ) /g (x i ) funkcji podcałkowej w tym punkcie Powtórzyć obliczenia dla i = 1, 2,..., N i obliczyć wartość średnią 1 N f (x i ) /g (x i ). (7) N i=1 Wielkość (7) przyjąć jako oszacowanie całki I

28 Algorytm Wylosować na przedziale (a, b) punkt x i zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa P Obliczyć wartość f (x i ) /g (x i ) funkcji podcałkowej w tym punkcie Powtórzyć obliczenia dla i = 1, 2,..., N i obliczyć wartość średnią 1 N f (x i ) /g (x i ). (7) N i=1 Wielkość (7) przyjąć jako oszacowanie całki I

29 Algorytm Wylosować na przedziale (a, b) punkt x i zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa P Obliczyć wartość f (x i ) /g (x i ) funkcji podcałkowej w tym punkcie Powtórzyć obliczenia dla i = 1, 2,..., N i obliczyć wartość średnią 1 N f (x i ) /g (x i ). (7) N i=1 Wielkość (7) przyjąć jako oszacowanie całki I

30 Problem Dobór funkcji g tak, aby wariancja σf 2 /g = b a była jak najmniejsza. ( ) f (x) 2 g(x) g (x) dx I 2 Najbardziej ogólne rozwiązanie Wybrać funkcję g w taki sposób, aby f /g była jak najbardziej stała na całym obszarze całkowania (a, b). Funkcja g powinna więc jakoś naśladować f. Uwaga Jeżeli funkcja g jest zbyt skomplikowana, to wygenerowanie liczb losowych o gęstości g będzie trudne.

31 Zagadnienie doboru wag Można wykazać, że: ( b 2 ( b 2 σf 2 /g f (x) dx) f (x) dx). a a Najmnieszają możliwą wariancją do uzyskania jest zatem ( b 2 ( b 2 σ0 2 = f (x) dx) f (x) dx). a a Taką wariancję uzyskuje się wtedy, gdy g (x) = λ f (x), gdzie λ jest dowolną stałą.

32 Jeżeli funkcja f jest nieujemna na przedziale całkowania, to uzyskamy σ0 2 = 0 wtedy, gdy waga g (x) = λf (x). Stała musi być wyznaczona z warunku b a g (x) dx = 1, czyli: λ = b a 1. f (x) dx UWAGA Chociaż teoretycznie wariancja estymatora f (X ) /g (X ) może być zredukowana do zera, jednak praktycznie jest to niemożliwe, ponieważ do skonstruowania takiej wagi potrzebna jest stała λ, której znajomość jest równoważna znajomości wartości obliczanej całki!

33 W przypadku bardziej skomplikowanych funkcji podcałkowych oraz bardziej skomplikowanych obszarów całkowania wybór wag g nie jest sprawą łatwą. Możliwe rozwiązania problemu Konstrukcja wag przez aproksymację wielomianami Bernsteina Metoda adaptacyjna Metoda sekwencyjna

34 W przypadku bardziej skomplikowanych funkcji podcałkowych oraz bardziej skomplikowanych obszarów całkowania wybór wag g nie jest sprawą łatwą. Możliwe rozwiązania problemu Konstrukcja wag przez aproksymację wielomianami Bernsteina Metoda adaptacyjna Metoda sekwencyjna

35 W przypadku bardziej skomplikowanych funkcji podcałkowych oraz bardziej skomplikowanych obszarów całkowania wybór wag g nie jest sprawą łatwą. Możliwe rozwiązania problemu Konstrukcja wag przez aproksymację wielomianami Bernsteina Metoda adaptacyjna Metoda sekwencyjna

36 Metoda adaptacyjna doboru wag 1. Początkowo wybieramy dowolną wagę g Losujemy według tego rozkładu n 0 punktów. 3. Korzystając z wyników dotychczasowych obliczeń wybieramy nową lepszą wagę g Analogicznie wybiera się następne wagi g 2, g 3,..., przy czym każda następna waga jest lepsza od poprzedniej w tym sensie, że: σ 2 f /g 0 σ 2 f /g 1...

37 Metoda adaptacyjna doboru wag 1. Początkowo wybieramy dowolną wagę g Losujemy według tego rozkładu n 0 punktów. 3. Korzystając z wyników dotychczasowych obliczeń wybieramy nową lepszą wagę g Analogicznie wybiera się następne wagi g 2, g 3,..., przy czym każda następna waga jest lepsza od poprzedniej w tym sensie, że: σ 2 f /g 0 σ 2 f /g 1...

38 Metoda adaptacyjna doboru wag 1. Początkowo wybieramy dowolną wagę g Losujemy według tego rozkładu n 0 punktów. 3. Korzystając z wyników dotychczasowych obliczeń wybieramy nową lepszą wagę g Analogicznie wybiera się następne wagi g 2, g 3,..., przy czym każda następna waga jest lepsza od poprzedniej w tym sensie, że: σ 2 f /g 0 σ 2 f /g 1...

39 Metoda adaptacyjna doboru wag 1. Początkowo wybieramy dowolną wagę g Losujemy według tego rozkładu n 0 punktów. 3. Korzystając z wyników dotychczasowych obliczeń wybieramy nową lepszą wagę g Analogicznie wybiera się następne wagi g 2, g 3,..., przy czym każda następna waga jest lepsza od poprzedniej w tym sensie, że: σ 2 f /g 0 σ 2 f /g 1...

40 Metoda adaptacyjna doboru wag jest szczególnie efektywna, jeżeli wagi g i wybiera się z pewnej rodziny rozkładów różniących się między sobą tylko wartościami parametrów. Niech: ( α (i) = α (i) ) 1, α(i) 2,..., α(i) m wektor parametrów wyznaczających g i. σ 2 ( α (i)) wariancja estymatora f (X ) /g i (X ). Zadanie Wyznacz taki punktu α (opt) w m wymiarowej przestrzeni parametrów rozkładów g i, dla którego wariancja σ 2 ( α (i)) osiąga minimum.

41 Metoda zmiennych kontrolnych Zaobserwowaliśmy już, że błąd oszacowania całki jest tym mniejszy im funkcja podcałkowa jest bardziej stała. Technika losowania warstwowego rozbija obszar całkowania na podobszary, w których funkcja f jest mniej zmienna. Technika średniej ważonej polega na takim doborze wag dla funkcji podcałkowej f, żeby iloraz f /g był funkcją możliwie stałą na obszarze całkowania. Technika zmiennych kontrolnych polega na doborze takiej funkcji g, żeby różnica (f g) była możliwie stała.

42 Metoda zmiennych kontrolnych Zaobserwowaliśmy już, że błąd oszacowania całki jest tym mniejszy im funkcja podcałkowa jest bardziej stała. Technika losowania warstwowego rozbija obszar całkowania na podobszary, w których funkcja f jest mniej zmienna. Technika średniej ważonej polega na takim doborze wag dla funkcji podcałkowej f, żeby iloraz f /g był funkcją możliwie stałą na obszarze całkowania. Technika zmiennych kontrolnych polega na doborze takiej funkcji g, żeby różnica (f g) była możliwie stała.

43 Metoda zmiennych kontrolnych Zaobserwowaliśmy już, że błąd oszacowania całki jest tym mniejszy im funkcja podcałkowa jest bardziej stała. Technika losowania warstwowego rozbija obszar całkowania na podobszary, w których funkcja f jest mniej zmienna. Technika średniej ważonej polega na takim doborze wag dla funkcji podcałkowej f, żeby iloraz f /g był funkcją możliwie stałą na obszarze całkowania. Technika zmiennych kontrolnych polega na doborze takiej funkcji g, żeby różnica (f g) była możliwie stała.

44 Obliczyć całkę I = b a f (x) dx = b a b [f (x) g (x)] dx + g (x) dx. a Jeżeli funkcja g będzie wybrana tak, aby b a g (x) dx mogła być dokładnie obliczona, to dla oszacowania Î = 1 N N [f (x i ) g (x i )] + γ i=1 gdzie γ = b a g (x) dx, otrzymamy wariancję (Î ) σ 2 = σf 2 g /N = 1 ( b ) b 2 [f (x) g (x)] 2 dx [f (x) g (x)] dx N a a

45 Powyższe zadanie sprowadza się do obliczenia całki b a [f (x) g (x)] dx. Najprostszy estymator: różnica f (X ) g (X ), gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie równomiernym na przedziale (a, b). Wariancja estymatora f (X ) g (X ): σ 2 f g = σ 2 [f (X ) g (X )] = σ 2 [f (X )] + σ 2 [g (X )] 2cov [f (X ), g (X )] Jeżeli zmienne losowe są silnie dodatnio skorelowane, to ich kowariancja jest duża i dodatnia. Wówczas wariancja σ 2 f g jest mała.

46 Powyższe zadanie sprowadza się do obliczenia całki b a [f (x) g (x)] dx. Najprostszy estymator: różnica f (X ) g (X ), gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie równomiernym na przedziale (a, b). Wariancja estymatora f (X ) g (X ): σ 2 f g = σ 2 [f (X ) g (X )] = σ 2 [f (X )] + σ 2 [g (X )] 2cov [f (X ), g (X )] Jeżeli zmienne losowe są silnie dodatnio skorelowane, to ich kowariancja jest duża i dodatnia. Wówczas wariancja σ 2 f g jest mała.

47 Powyższe zadanie sprowadza się do obliczenia całki b a [f (x) g (x)] dx. Najprostszy estymator: różnica f (X ) g (X ), gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie równomiernym na przedziale (a, b). Wariancja estymatora f (X ) g (X ): σ 2 f g = σ 2 [f (X ) g (X )] = σ 2 [f (X )] + σ 2 [g (X )] 2cov [f (X ), g (X )] Jeżeli zmienne losowe są silnie dodatnio skorelowane, to ich kowariancja jest duża i dodatnia. Wówczas wariancja σ 2 f g jest mała.

48 Proponowana metoda będzie opłacalna wtedy, gdy ρ 1 1 l. gdzie ρ jest współczynnikiem korelacji zmiennych f i g notomiast l jest pewną stałą (jeżeli przyjmiemy, że obliczenie funkcji g jest równie pracochłonne jak obliczenie funkcji f to l = 2). Definicja zmiennej kontrolnej Zmienną losową g (X ) o takich własnościach, że współczynnik korelacji ρ pomiędzy zmiennymi f (X ) i g (X ) spełnia warunek ρ > 1 1 l całka b a g (x) dx jest znana nazywamy zmienną kontrolną dla f (X ).

49 Metoda zmiennych antytetycznych Przypuśćmy, że do obliczenia całki I = b a f (x) dx (8) dysponujemy dwoma estmatorami nieobciążonymi f 1 (ζ) oraz f 2 (η) gdzie ζ i η są pewnymi zmiennymi losowymi. Wówczas F 2 = 1 2 (f 1 + f 2 ) jest również estymatorem nieobciążonym całki (8). Wariancja estymatora F 2 σ 2 (F 2 ) = 1 4 σ2 (f 1 ) σ2 (f 2 ) cov (f 1, f 2 ).

50 Uogólnione na przypadek wielu estymatorów całki I Do obliczenia całki (8) dysponujemy m nieobciążonymi estymatorami f 1 (ζ 1 ), f 2 (ζ 2 ),..., f m (ζ m ), gdzie ζ 1, ζ 2,..., ζ m są pewnymi zmiennymi losowymi. Wówczas: F m (ζ 1, ζ 2,..., ζ m ) = 1 m (f 1 (ζ 1 ) + f 2 (ζ 2 ) f m (ζ m )) jest również nieobciążonym estymatorem całki I, a jego wariancja σ 2 (F m ) = 1 m m 2 σ 2 (f i ) + 2 m 2 cov (f i, f j ) i=1 i<j Zadanie Wprowadzić takie zależności między zmiennymi ζ 1, ζ 2,..., ζ m aby wariancja σ 2 (F m ) była możliwie najmniejsza.

51 Przykłady najczęściej używanych estymatorów zbudowanych na koncepcji zmiennych antytetycznych 1) Zakładamy, że funkcja f w całce I = b a f (x) dx jest malejąca. Budujemy estymator: f 2 (ς) = 1 [f (ς) + f (1 ς)]. (9) 2

52 Niech gdzie I (2) = b a f 2 (x) dx f 2 (x) = 1 [f (x) + f (1 x)]. 2 Wówczas: I (2) = I f 2 jest bardziej stała na przedziale (a, b) niż funkcja f σ 2 {f 2 } σ 2 {f } całka I (2) = b a f 2 (x) dx w przypadku losowania tej samej liczby punktów będzie szacowała dokładniej niż całka I = b a f (x) dx.

53 2) Dla funkcji monotonicznej na przedziale (a, b) można skonstruować bardziej ogólny estymator I α f (X ) = αf (αx ) + (1 α) f [1 (1 α) X ]) (10) gdzie 0 < α < 1, X U (a, b). Niech σ 2 [I α f (X )] = V (α). Wówczas mamy V (α) = b a { } αf (αx) + (1 α) f [1 (1 α) x] 2 dx I 2 Problem Dobrać optymalne α, tak aby σ 2 [I α f (X )] osiągała minimum. Wariancja V (α) osiąga minimum gdy dv (α) /dα = 0. Komentarz Wyznaczenie optymalnej wartości α 0 może być zadaniem bardzo trudnym (nawet trudniejszym niż obliczenie całki I ).

54 Metoda regresji Seminarium szkoleniowe Przypuśćmy, że do obliczenia całki I = b a f (x) dx (11) dysponujemy m estymatorami nieobciążonym Î1,..., Îm. Wówczas estymator Î = a 1Î a mîm gdzie a a m = 1, jest również) estymatorem nieobciążonym całki I. Wariancja estymatora σa (Î 2 zależy od odpowiedniego doboru współczynników a i. Zadanie ) Dobrać a 1,..., a m tak, aby σa (Î 2 była najmniejsza.

55 Niech V = (v ij ), gdzie (v ij ) = cov (Îi Îj), oznacza macierz kowariancji estymatorów I j. Wówczas: a i = 1 v m v ij j=1 gdzie v ij są elementami macierzy V 1, natomiast v suma wszystkich elementów macierzy V 1 : v = m i=1 j=1 Wariancja najlepszego estymatora m v ij. (Î ) σ 2 = 1 v.

56 Oszacowania kowariancji estymatorów Îj. v ij = 1 N 1 N ) (Îik (Îjk Îj.) Îi. k=1 gdzie Îik jest wartością estymatora Îi w k tym punkcie, k = 1,...N, oraz Îi. = 1 N N Îik k=1 Czasami wygodniejszy jest rachunkowo wzór: v ij = 1 N 1 N k=1 ÎikÎjk 1 ( N ) ( N ) N 1 Îik Îjk k=1 k=1

57 Uwagi końcowe Metody regresji daje się łatwo stosować przy obliczaniu całek wielokrotnych. Umiejętność skonstruowania kilku estymatorów nieobciążonych obliczanej całki, pozwala za pomocą regresji stworzyć taką liniową kombinację tych estymatorów, która prowadzi do estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. Fakt, że skonstruowanie nieobciążonych estymatorów nie jest zbyt kłopotliwe, czyni tę metodę uniwersalną i wygodną.

58 Uwagi końcowe Metody regresji daje się łatwo stosować przy obliczaniu całek wielokrotnych. Umiejętność skonstruowania kilku estymatorów nieobciążonych obliczanej całki, pozwala za pomocą regresji stworzyć taką liniową kombinację tych estymatorów, która prowadzi do estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. Fakt, że skonstruowanie nieobciążonych estymatorów nie jest zbyt kłopotliwe, czyni tę metodę uniwersalną i wygodną.

59 Uwagi końcowe Metody regresji daje się łatwo stosować przy obliczaniu całek wielokrotnych. Umiejętność skonstruowania kilku estymatorów nieobciążonych obliczanej całki, pozwala za pomocą regresji stworzyć taką liniową kombinację tych estymatorów, która prowadzi do estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. Fakt, że skonstruowanie nieobciążonych estymatorów nie jest zbyt kłopotliwe, czyni tę metodę uniwersalną i wygodną.

60 Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Rozważamy zagadnienie obliczenia całki I = f (x 1,..., x n ) dx 1...dx n (12) 0 Całkę (12) zapisywać będziemy krótko w postaci I = J f (x) dx gdzie x = (x 1,..., x n ) natomiast J jest kostką jednostkową (0 x 1 1,..., 0 x n 1) w n wymiarowej przestrzeni liczb rzeczywistych.

61 Stosując metodę zmiennej kontrolnej z funkcją g zadanie obliczenia całki I = [f (x) g (x)] dx + g (x) dx J J sprowadza się do obliczenia metodą MC całki [f (x) g (x)] dx. J Jako funkcji kontrolnej g użyjemy teraz wielomianu Bernsteina funkcji f : B f m (x) = B f m 1,m 2,...,m n (x 1,..., x n ) = gdzie m 1 m 2 v 1 =0 v 2 =0 p q,r (x) =... m n v n=0 f ( v1, v 2,..., v ) n n m 1 m 2 m n k=1 ( ) r x q (1 x) r q, 0 q r. q p vk,m k (x k )

62 B f m (x) dobrze przybliża f B f m (x) przy m zbiega do funkcji f w każdym punkcie jej ciągłości. jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu p funkcji f i pochodne te są ciągłe, to pochodne wielomianu B f m (x) są zbieżne do pochodnych funkcji f. Całka J Bf m (x) może być łatwo obliczona, ponieważ: B f m (x) = m 1 m 2... m n f ( v1, v 2,..., v ) n m 1 m 2 m n J v 1 =0 v 2 =0 v n=0 n 1 S p vk,m k (x k ) dx k = k=1 0 n k=1 gdzie S = m 1 m2 v 1 =0 v 2 =0... ( ) m n v f v1 n=0 m 1, v 2 m 2,..., vn m n. (13) (m k + 1)

63 B f m (x) dobrze przybliża f B f m (x) przy m zbiega do funkcji f w każdym punkcie jej ciągłości. jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu p funkcji f i pochodne te są ciągłe, to pochodne wielomianu B f m (x) są zbieżne do pochodnych funkcji f. Całka J Bf m (x) może być łatwo obliczona, ponieważ: B f m (x) = m 1 m 2... m n f ( v1, v 2,..., v ) n m 1 m 2 m n J v 1 =0 v 2 =0 v n=0 n 1 S p vk,m k (x k ) dx k = k=1 0 n k=1 gdzie S = m 1 m2 v 1 =0 v 2 =0... ( ) m n v f v1 n=0 m 1, v 2 m 2,..., vn m n. (13) (m k + 1)

64 B f m (x) dobrze przybliża f B f m (x) przy m zbiega do funkcji f w każdym punkcie jej ciągłości. jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu p funkcji f i pochodne te są ciągłe, to pochodne wielomianu B f m (x) są zbieżne do pochodnych funkcji f. Całka J Bf m (x) może być łatwo obliczona, ponieważ: B f m (x) = m 1 m 2... m n f ( v1, v 2,..., v ) n m 1 m 2 m n J v 1 =0 v 2 =0 v n=0 n 1 S p vk,m k (x k ) dx k = k=1 0 n k=1 gdzie S = m 1 m2 v 1 =0 v 2 =0... ( ) m n v f v1 n=0 m 1, v 2 m 2,..., vn m n. (13) (m k + 1)

65 B f m (x) dobrze przybliża f B f m (x) przy m zbiega do funkcji f w każdym punkcie jej ciągłości. jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu p funkcji f i pochodne te są ciągłe, to pochodne wielomianu B f m (x) są zbieżne do pochodnych funkcji f. Całka J Bf m (x) może być łatwo obliczona, ponieważ: B f m (x) = m 1 m 2... m n f ( v1, v 2,..., v ) n m 1 m 2 m n J v 1 =0 v 2 =0 v n=0 n 1 S p vk,m k (x k ) dx k = k=1 0 n k=1 gdzie S = m 1 m2 v 1 =0 v 2 =0... ( ) m n v f v1 n=0 m 1, v 2 m 2,..., vn m n. (13) (m k + 1)

66 Całka I = f (x 1,..., x n ) dx 1...dx n może być również obliczona metodą średniej ważonej I = J f (x) g (x) dp gdzie P jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej o gęstości g. Załóżmy, że f (x) ε > 0. Mamy zatem: inf J f (x) = µ > 0 Wówczas wielomian Bernsteina funkcji f jest również nieujemny na kostce J.

67 Niech B f m (x) = n k=1 (m k + 1) Bm f (x) S Ponieważ B f m (x) > 0 oraz J B f m (x) dx = 1, to wielomian B f m (x) można traktować jako gęstość pewnych zmiennych losowych. Niech w (x) = f (x) B f m (x). Wówczas sprowadzamy zadanie obliczenia całki I do zadania w (x) dp J gdzie P jest rozkładem prawdopodobieństwa o gęstości B f m (x).

68 Algorytm Losujemy punkt x = (x 1,..., x n ) zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa o gęstości B f m (x). Obliczamy wartość funkcji w w wylosowanym punkcie. Powtarzamy N razy operacje 1,2. Za oszacowanie całki Iprzyjmujemy średnią wartość w (x) natomiast wariancję tych wartości za oszacowanie wariancji estymatora.

69 Algorytm Losujemy punkt x = (x 1,..., x n ) zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa o gęstości B f m (x). Obliczamy wartość funkcji w w wylosowanym punkcie. Powtarzamy N razy operacje 1,2. Za oszacowanie całki Iprzyjmujemy średnią wartość w (x) natomiast wariancję tych wartości za oszacowanie wariancji estymatora.

70 Algorytm Losujemy punkt x = (x 1,..., x n ) zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa o gęstości B f m (x). Obliczamy wartość funkcji w w wylosowanym punkcie. Powtarzamy N razy operacje 1,2. Za oszacowanie całki Iprzyjmujemy średnią wartość w (x) natomiast wariancję tych wartości za oszacowanie wariancji estymatora.

71 Algorytm Losujemy punkt x = (x 1,..., x n ) zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa o gęstości B f m (x). Obliczamy wartość funkcji w w wylosowanym punkcie. Powtarzamy N razy operacje 1,2. Za oszacowanie całki Iprzyjmujemy średnią wartość w (x) natomiast wariancję tych wartości za oszacowanie wariancji estymatora.

72 Problem losowania według rozkładu o gęstości B f m (x). Gęstość B f m (x) zapiszemy w postaci: gdzie m 1 v 1 =0 B f m (x) =... m n v n=0 m 1 v 1 =0... m n v n=0 p (v 1,..., v n ) n B mk,v k (x k ) k=1 ( ) p (v 1,..., v n ) = f v1 m 1,..., vn m n p (v 1,..., v n ) = 1 B m,v (x) = S (m + 1)! v! (m v)! x v (1 x) m v B m,v (x) jest gęstością z rozkładu beta z parametrami (v + 1, m v + 1), p (v 1,..., v n ) rozkład prawd. na zbiorze indeksów (v 1,..., v n ).

73 Algorytm Zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa p (v 1,..., v n ) wylosować punkty (v 1,..., v n ) ze zbioru indeksów (0 v 1 m 1,..., 0 v n m n ) Wygenerować n niezależnych zmiennych losowych (X 1,..., X n ) o rozkładzie beta z gęstościami odpowiednio równymi B m1,v 1 (x 1 ), B m2,v 2 (x 2 ),..., B mn,v n (x n ). Tak wylosowana zmienna losowa ma rozkład o gęstości B f m (x).

74 Metody sekwencyjne Seminarium szkoleniowe Rozważamy zadanie obliczenia całki b a f (x) dx W poprzednio rozważanych przypadkach : wybieraliśmy pewien estymator ψ (X ), np. f (X ), gdzie X U (a, b) lub f (X ) /g (X ), gdzie X g, itd. Losowaliśmy N punktów x 1,..., x N zgodnie z ustalonym rozkładem prawdopodobieństwa i obliczaliśmy wartość ψ (x i ) dla każdego wylosowanego punktu. N i=1 średnia ψ(x i ) N stanowiła oszacowanie całki I.

75 Rozważać będziemy teraz przypadek kiedy estymator ψ będzie się zmieniał w toku obliczeń. Wówczas sposób postępowania jest następujący: wybrać ciąg {ψ n }, n = 1, 2,... estymatorów wylosować ciąg punktów {x n }. Każdy z tych punktów może być losowany według innego rozkładu prawdopodobieństwa P n obliczyć wartości ψ 1 (x 1 ), ψ 2 (x 2 )... kolejnych estymatorów w kolejno wylosowanych punktach pewną funkcję Ψ n (ψ 1,..., ψ n ) przyjąć za oszacowanie całki w n tym kroku obliczeń.

76 Rozważać będziemy teraz przypadek kiedy estymator ψ będzie się zmieniał w toku obliczeń. Wówczas sposób postępowania jest następujący: wybrać ciąg {ψ n }, n = 1, 2,... estymatorów wylosować ciąg punktów {x n }. Każdy z tych punktów może być losowany według innego rozkładu prawdopodobieństwa P n obliczyć wartości ψ 1 (x 1 ), ψ 2 (x 2 )... kolejnych estymatorów w kolejno wylosowanych punktach pewną funkcję Ψ n (ψ 1,..., ψ n ) przyjąć za oszacowanie całki w n tym kroku obliczeń.

77 Rozważać będziemy teraz przypadek kiedy estymator ψ będzie się zmieniał w toku obliczeń. Wówczas sposób postępowania jest następujący: wybrać ciąg {ψ n }, n = 1, 2,... estymatorów wylosować ciąg punktów {x n }. Każdy z tych punktów może być losowany według innego rozkładu prawdopodobieństwa P n obliczyć wartości ψ 1 (x 1 ), ψ 2 (x 2 )... kolejnych estymatorów w kolejno wylosowanych punktach pewną funkcję Ψ n (ψ 1,..., ψ n ) przyjąć za oszacowanie całki w n tym kroku obliczeń.

78 Rozważać będziemy teraz przypadek kiedy estymator ψ będzie się zmieniał w toku obliczeń. Wówczas sposób postępowania jest następujący: wybrać ciąg {ψ n }, n = 1, 2,... estymatorów wylosować ciąg punktów {x n }. Każdy z tych punktów może być losowany według innego rozkładu prawdopodobieństwa P n obliczyć wartości ψ 1 (x 1 ), ψ 2 (x 2 )... kolejnych estymatorów w kolejno wylosowanych punktach pewną funkcję Ψ n (ψ 1,..., ψ n ) przyjąć za oszacowanie całki w n tym kroku obliczeń.

79 Funkcję ψ n nazywamy estymatorem pierwotnym, natomiast funkcję Ψ n estymatorem wtórnym. Metodą sekwencyjną będziemy nazywali taką metodę, według której, na każdym kroku obliczeń estymator ψ n lub rozkład P n zależą od wyników poprzednich obliczeń. Problem doboru ψ n, Ψ n oraz P n. Za dobry będziemy uważali taki wybór ψ n i Ψ n oraz P n dla którego: ciąg wariancji σ 2 (ψ n (X )) estymatorów pierwotnych jest zbieżny do nieujemnej stałej σ 2, ciąg estymatorów wtórnych Ψ n jest zbieżny do szacowanej całki I.

80 Jeżeli estymatory wtórne otrzymujemy za pomocą formuły liniowej w której v 1 = 1, 0 < v n < 1, czyli gdzie w (n) n Ψ n = v n ψ n + (1 v n ) Ψ n 1 Ψ n = = v n, w (n) m = v m n to można udowodnić, że: n m=1 r=m+1 w m (n) ψ m (1 v r ), m < n, 0 w (n) m 1, ciąg estymatorów Ψ n jest zbieżny do I z prawdopodobieństwem 1 ciąg wariancji σ 2 (ψ n (X )) estymatorów pierwotnych zbiega do 0.

81 Dziękuję za uwagę :-)

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 14 18 stycznia 2010 Model statystyczny ROZKŁAD DWUMIANOWY ( ) {0, 1,, n}, {P θ, θ (0, 1)}, n ustalone P θ {K = k} = ( ) n θ k (1 θ) n k, k k = 0, 1,, n Geneza: Rozkład Bernoulliego

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarogodności

Metoda największej wiarogodności Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Metoda reprezentacyjna

Metoda reprezentacyjna Metoda reprezentacyjna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki Populacja, cecha, parametr, próba Metoda reprezentacyjna Przedmiotem rozważań metody reprezentacyjnej są metody

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Dane zbierane podczas pomiarów zawsze układają się w pewien określony sposób. To w jaki, zależy przede wszystkim od zjawiska, które jest obserwowane. Sposób, w jaki układają

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową

Bardziej szczegółowo

Próbkowanie. Wykład 4 Próbkowanie i rozkłady próbkowe. Populacja a próba. Błędy w póbkowaniu, cd, Przykład 1 (Ochotnicy)

Próbkowanie. Wykład 4 Próbkowanie i rozkłady próbkowe. Populacja a próba. Błędy w póbkowaniu, cd, Przykład 1 (Ochotnicy) Wykład 4 Próbkowanie i rozkłady próbkowe µ = średnia w populacji, µ=ey, wartość oczekiwana zmiennej Y σ= odchylenie standardowe w populacji, σ =(Var Y) 1/2, pierwiastek kwadratowy wariancji zmiennej Y,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne.

Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę.

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Mikroekonometria 6 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Metody symulacyjne Monte Carlo Metoda Monte-Carlo Wykorzystanie mocy obliczeniowej komputerów, aby poznać charakterystyki zmiennych losowych poprzez

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Statystyka w przykładach

Statystyka w przykładach w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Układy stochastyczne

Układy stochastyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.

Bardziej szczegółowo

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model

Bardziej szczegółowo

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p. Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki wielowymiarowej

Elementy statystyki wielowymiarowej Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Elementy statystyki wielowymiarowej 1.1 Kowariancja i współczynnik korelacji 1.2 Macierz kowariancji 1.3 Dwumianowy rozkład normalny 1.4 Analiza składowych

Bardziej szczegółowo

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach. Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.. Metoda odwracania Niech X oznacza zmienna losowa o dystrybuancie F. Oznaczmy F (t) = inf (x : t F (x)). Uwaga Zauważmy, że t [0, ] : F ( F (t)

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo