Redukcja wariancji w metodach Monte-Carlo
|
|
- Aleksandra Stefaniak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Seminarium szkoleniowe 14 lutego 2006
2 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna
3 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna
4 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna
5 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna
6 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna
7 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna
8 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna
9 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda regresji Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Metoda sekwencyjna
10 Wprowadzenie Seminarium szkoleniowe Zadanie: Policzyć całkę zapisaną jako iloczyn funkcji o następującej postaci: E f h (X ) = h (x) f (x) dx, (1) gdzie f (x) jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa o nośniku χ. Oszacowanie metodą MC: Generujemy próbę X 1,..., X m zmiennych i.i.d. z rozkładu o gęstości f (x). Wówczas χ h f (X ) = 1 m m h (X j ) (2) j=1 przybliża, zgodnie z prawem wielkich liczb, wartość oczekiwaną E f h (X ).
11 Wprowadzenie Seminarium szkoleniowe Zadanie: Policzyć całkę zapisaną jako iloczyn funkcji o następującej postaci: E f h (X ) = h (x) f (x) dx, (1) gdzie f (x) jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa o nośniku χ. Oszacowanie metodą MC: Generujemy próbę X 1,..., X m zmiennych i.i.d. z rozkładu o gęstości f (x). Wówczas χ h f (X ) = 1 m m h (X j ) (2) j=1 przybliża, zgodnie z prawem wielkich liczb, wartość oczekiwaną E f h (X ).
12 Przykład Policzyć całkę gdzie I = 1 0 h (x) dx, h (x) = 0 dla x < 0 1 dla 0 x < dla 1 2 x < 1 0 dla x 1
13 Rozwiązanie metodą MC [ ) [ ) Losujemy punkty równomiernie z przedziału 0, 1 2, 1 2, 1. Niech H 1 = H 2 = 1/ /2 h (x) dx (3) h (x) dx. (4) Wówczas I = H 1 + H 2. Całkę (3) zapiszemy w postaci: H 1 = h (x) dp 1 gdzie P 1 jest rozkładem równomiernym na przedziale [ ) 0, 1 2.
14 Losując punkty równomiernie otrzymujemy: σ 2 H 1 = 1 0 ( ) h (x) 2 ( 1 dp ) h (x) 2 2 dp 1 = 0. Analogicznie wariancja σ 2 H 2 estymatora drugiej całki jest zerem. Wnioski Dla bezbłędnego oszacowania całki funkcji stałej wystarczy znajomość wartości tej funkcji w jednym punkcie przedziału całkowania. W ten sposób udało się zredukować wariancję estymatora całki I do zera.
15 Metoda losowania warstwowego Seminarium szkoleniowe Rozpatrujemy zadanie obliczenia całki I =... f (x 1,.x 2,..., x n ) dx 1 dx 2...dx n = Ω Ω fdx. Dzielimy Ω na rozłączne podzbiory Ω j,j = 1, 2,..., k i zapisujemy całkę I w postaci sumy całek: k I = I (j) j=1 gdzie I (j) = fdx. Ω j
16 Ω j miara (objętość) n wymiarowej warstwy Ω j. P j rozkład równomierny na Ω j, tzn.: P j = dx Ω j Wówczas: I (j) = Ω j fdp j. Ω j Î (j) = Ω j n j n j f (x ij ) gdzie x ij jest i tym punktem wylosowanym w j tej warstwie Ω j według rozkładu prawdopodobieństwa P j na tej warstwie. Losowanie w poszczególnych warstwach jest niezależne! i=1
17 Oszacowanie całki I k Î 3 = Î (j). (5) i=1 Właściwości estymatora Î3 Î3 jest nieobciążonym estymatorem całki I. Wariancja Î3 wynosi: σ 2 (Î3 ) k = i=1 Ω j σj 2 n j gdzie σ 2 j jest wariancją funkcji f na j tej warstwie: σj 2 = f 2 dp j Ej 2, E j = Ω j fdp j Ω j
18 Jeżeli σj 2 jest nieznane, to szacuje się je na podstawie wylosowanych punktów za pomocą wariancji sj 2 : gdzie s 2 j = 1 n j 1 n j ] 2 [f (x ij ) f j i=1 n j f j = 1 f (x ij ) n j i=1 jest wartością średnią funkcji f w punktach wylosowanych z j tej warstwy. Oszacowanie wariancji σ 2 (Î3 ) s 2 (Î3 ) k = i=1 Ω j 2 n j 1 { 1 n j n j } f 2 (x ij ) f 2 j. i=1
19 Losując N = n 1 + n n k punktów, chcemy tak dokonać podziału Ω na warstwy oraz tak ustalić liczby n 1, n 2,..., n k aby wariancja estymatora Î3 była najmniejsza. Zagadnienie to zwane jest w statystyce zagadnieniem optymalnej lokalizacji próby. Optymalny dobór warstw oraz liczb n 1, n 2,..., n k zależy oczywiście od funkcji f i obszaru całkowania Ω. Jednak przyjmując najbardziej uniwersalne metody doboru Ω j oraz n j można uzyskać znaczną redukcję wariancji estymatora Î3 w stosunku do wariancji estymatora wyznaczonego metodą podstawową.
20 Najprostszy przypadek Ω podzielono na jednakowo duże warstwy: Ω 1 = Ω 2 =... = Ω k = Ω /k. Z każdej warstwy losuje się jednakową liczbę punktów: otrzymujemy: n 1 = n 2 =... = n k = N/k = m σ 2 (Î31 Î 31 = Ω N ) = Ω 2 kn k j=1 i=1 k j=1 m f (x ij ) σ 2 j.
21 Niech E będzie średnią wartością funkcji f na Ω. W metodzie podstawowej mamy: Î 2 = Ω N N f (x i ) i=1 Można wykazać, że: σ 2 (Î2 ) = Ω 2 N σ2 f. σ 2 (Î2 ) = Ω 2 kn k j=1 Ωj σ 2j + Ω 2 N k j=1 Ω j (E j E) 2 dp σ 2 (Î31 ).
22 Wnioski Wariancja nawet najprostszego estymatora Î31 nigdy nie jest większa od σ 2 {Î2} uzyskanego metodą podstawową. Stosując losowanie warstwowe zmniejszamy wariancję o wielkość Ω 2 kj=1 N (E j E) 2 dp, która jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego j mamy (E j E) 2 dp = 0. Ω j Korzyść z zastosowania losowania warstwowego jest tym większa, im bardziej wartości średnie E j funkcji na poszczególnych warstwach będą różniły się między sobą.
23 Wnioski Wariancja nawet najprostszego estymatora Î31 nigdy nie jest większa od σ 2 {Î2} uzyskanego metodą podstawową. Stosując losowanie warstwowe zmniejszamy wariancję o wielkość Ω 2 kj=1 N (E j E) 2 dp, która jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego j mamy (E j E) 2 dp = 0. Ω j Korzyść z zastosowania losowania warstwowego jest tym większa, im bardziej wartości średnie E j funkcji na poszczególnych warstwach będą różniły się między sobą.
24 Wnioski Wariancja nawet najprostszego estymatora Î31 nigdy nie jest większa od σ 2 {Î2} uzyskanego metodą podstawową. Stosując losowanie warstwowe zmniejszamy wariancję o wielkość Ω 2 kj=1 N (E j E) 2 dp, która jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego j mamy (E j E) 2 dp = 0. Ω j Korzyść z zastosowania losowania warstwowego jest tym większa, im bardziej wartości średnie E j funkcji na poszczególnych warstwach będą różniły się między sobą.
25 Metoda średniej ważonej Policzyć całkę I = b Niech g będzie taką funkcją, że: a f (x) dx. (6) g (x) > 0 dla a x b, oraz b a g (x) dx = 1. Funkcję g można traktować jako gęstość pewnej zmiennej losowej. Wówczasz całkę (6) można zapisać w postaci: I = b gdzie dp = g (x) dx. a f (x) b g (x) g (x) dx lub I = f (x) g (x) dp a
26 Algorytm Wylosować na przedziale (a, b) punkt x i zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa P Obliczyć wartość f (x i ) /g (x i ) funkcji podcałkowej w tym punkcie Powtórzyć obliczenia dla i = 1, 2,..., N i obliczyć wartość średnią 1 N f (x i ) /g (x i ). (7) N i=1 Wielkość (7) przyjąć jako oszacowanie całki I
27 Algorytm Wylosować na przedziale (a, b) punkt x i zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa P Obliczyć wartość f (x i ) /g (x i ) funkcji podcałkowej w tym punkcie Powtórzyć obliczenia dla i = 1, 2,..., N i obliczyć wartość średnią 1 N f (x i ) /g (x i ). (7) N i=1 Wielkość (7) przyjąć jako oszacowanie całki I
28 Algorytm Wylosować na przedziale (a, b) punkt x i zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa P Obliczyć wartość f (x i ) /g (x i ) funkcji podcałkowej w tym punkcie Powtórzyć obliczenia dla i = 1, 2,..., N i obliczyć wartość średnią 1 N f (x i ) /g (x i ). (7) N i=1 Wielkość (7) przyjąć jako oszacowanie całki I
29 Algorytm Wylosować na przedziale (a, b) punkt x i zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa P Obliczyć wartość f (x i ) /g (x i ) funkcji podcałkowej w tym punkcie Powtórzyć obliczenia dla i = 1, 2,..., N i obliczyć wartość średnią 1 N f (x i ) /g (x i ). (7) N i=1 Wielkość (7) przyjąć jako oszacowanie całki I
30 Problem Dobór funkcji g tak, aby wariancja σf 2 /g = b a była jak najmniejsza. ( ) f (x) 2 g(x) g (x) dx I 2 Najbardziej ogólne rozwiązanie Wybrać funkcję g w taki sposób, aby f /g była jak najbardziej stała na całym obszarze całkowania (a, b). Funkcja g powinna więc jakoś naśladować f. Uwaga Jeżeli funkcja g jest zbyt skomplikowana, to wygenerowanie liczb losowych o gęstości g będzie trudne.
31 Zagadnienie doboru wag Można wykazać, że: ( b 2 ( b 2 σf 2 /g f (x) dx) f (x) dx). a a Najmnieszają możliwą wariancją do uzyskania jest zatem ( b 2 ( b 2 σ0 2 = f (x) dx) f (x) dx). a a Taką wariancję uzyskuje się wtedy, gdy g (x) = λ f (x), gdzie λ jest dowolną stałą.
32 Jeżeli funkcja f jest nieujemna na przedziale całkowania, to uzyskamy σ0 2 = 0 wtedy, gdy waga g (x) = λf (x). Stała musi być wyznaczona z warunku b a g (x) dx = 1, czyli: λ = b a 1. f (x) dx UWAGA Chociaż teoretycznie wariancja estymatora f (X ) /g (X ) może być zredukowana do zera, jednak praktycznie jest to niemożliwe, ponieważ do skonstruowania takiej wagi potrzebna jest stała λ, której znajomość jest równoważna znajomości wartości obliczanej całki!
33 W przypadku bardziej skomplikowanych funkcji podcałkowych oraz bardziej skomplikowanych obszarów całkowania wybór wag g nie jest sprawą łatwą. Możliwe rozwiązania problemu Konstrukcja wag przez aproksymację wielomianami Bernsteina Metoda adaptacyjna Metoda sekwencyjna
34 W przypadku bardziej skomplikowanych funkcji podcałkowych oraz bardziej skomplikowanych obszarów całkowania wybór wag g nie jest sprawą łatwą. Możliwe rozwiązania problemu Konstrukcja wag przez aproksymację wielomianami Bernsteina Metoda adaptacyjna Metoda sekwencyjna
35 W przypadku bardziej skomplikowanych funkcji podcałkowych oraz bardziej skomplikowanych obszarów całkowania wybór wag g nie jest sprawą łatwą. Możliwe rozwiązania problemu Konstrukcja wag przez aproksymację wielomianami Bernsteina Metoda adaptacyjna Metoda sekwencyjna
36 Metoda adaptacyjna doboru wag 1. Początkowo wybieramy dowolną wagę g Losujemy według tego rozkładu n 0 punktów. 3. Korzystając z wyników dotychczasowych obliczeń wybieramy nową lepszą wagę g Analogicznie wybiera się następne wagi g 2, g 3,..., przy czym każda następna waga jest lepsza od poprzedniej w tym sensie, że: σ 2 f /g 0 σ 2 f /g 1...
37 Metoda adaptacyjna doboru wag 1. Początkowo wybieramy dowolną wagę g Losujemy według tego rozkładu n 0 punktów. 3. Korzystając z wyników dotychczasowych obliczeń wybieramy nową lepszą wagę g Analogicznie wybiera się następne wagi g 2, g 3,..., przy czym każda następna waga jest lepsza od poprzedniej w tym sensie, że: σ 2 f /g 0 σ 2 f /g 1...
38 Metoda adaptacyjna doboru wag 1. Początkowo wybieramy dowolną wagę g Losujemy według tego rozkładu n 0 punktów. 3. Korzystając z wyników dotychczasowych obliczeń wybieramy nową lepszą wagę g Analogicznie wybiera się następne wagi g 2, g 3,..., przy czym każda następna waga jest lepsza od poprzedniej w tym sensie, że: σ 2 f /g 0 σ 2 f /g 1...
39 Metoda adaptacyjna doboru wag 1. Początkowo wybieramy dowolną wagę g Losujemy według tego rozkładu n 0 punktów. 3. Korzystając z wyników dotychczasowych obliczeń wybieramy nową lepszą wagę g Analogicznie wybiera się następne wagi g 2, g 3,..., przy czym każda następna waga jest lepsza od poprzedniej w tym sensie, że: σ 2 f /g 0 σ 2 f /g 1...
40 Metoda adaptacyjna doboru wag jest szczególnie efektywna, jeżeli wagi g i wybiera się z pewnej rodziny rozkładów różniących się między sobą tylko wartościami parametrów. Niech: ( α (i) = α (i) ) 1, α(i) 2,..., α(i) m wektor parametrów wyznaczających g i. σ 2 ( α (i)) wariancja estymatora f (X ) /g i (X ). Zadanie Wyznacz taki punktu α (opt) w m wymiarowej przestrzeni parametrów rozkładów g i, dla którego wariancja σ 2 ( α (i)) osiąga minimum.
41 Metoda zmiennych kontrolnych Zaobserwowaliśmy już, że błąd oszacowania całki jest tym mniejszy im funkcja podcałkowa jest bardziej stała. Technika losowania warstwowego rozbija obszar całkowania na podobszary, w których funkcja f jest mniej zmienna. Technika średniej ważonej polega na takim doborze wag dla funkcji podcałkowej f, żeby iloraz f /g był funkcją możliwie stałą na obszarze całkowania. Technika zmiennych kontrolnych polega na doborze takiej funkcji g, żeby różnica (f g) była możliwie stała.
42 Metoda zmiennych kontrolnych Zaobserwowaliśmy już, że błąd oszacowania całki jest tym mniejszy im funkcja podcałkowa jest bardziej stała. Technika losowania warstwowego rozbija obszar całkowania na podobszary, w których funkcja f jest mniej zmienna. Technika średniej ważonej polega na takim doborze wag dla funkcji podcałkowej f, żeby iloraz f /g był funkcją możliwie stałą na obszarze całkowania. Technika zmiennych kontrolnych polega na doborze takiej funkcji g, żeby różnica (f g) była możliwie stała.
43 Metoda zmiennych kontrolnych Zaobserwowaliśmy już, że błąd oszacowania całki jest tym mniejszy im funkcja podcałkowa jest bardziej stała. Technika losowania warstwowego rozbija obszar całkowania na podobszary, w których funkcja f jest mniej zmienna. Technika średniej ważonej polega na takim doborze wag dla funkcji podcałkowej f, żeby iloraz f /g był funkcją możliwie stałą na obszarze całkowania. Technika zmiennych kontrolnych polega na doborze takiej funkcji g, żeby różnica (f g) była możliwie stała.
44 Obliczyć całkę I = b a f (x) dx = b a b [f (x) g (x)] dx + g (x) dx. a Jeżeli funkcja g będzie wybrana tak, aby b a g (x) dx mogła być dokładnie obliczona, to dla oszacowania Î = 1 N N [f (x i ) g (x i )] + γ i=1 gdzie γ = b a g (x) dx, otrzymamy wariancję (Î ) σ 2 = σf 2 g /N = 1 ( b ) b 2 [f (x) g (x)] 2 dx [f (x) g (x)] dx N a a
45 Powyższe zadanie sprowadza się do obliczenia całki b a [f (x) g (x)] dx. Najprostszy estymator: różnica f (X ) g (X ), gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie równomiernym na przedziale (a, b). Wariancja estymatora f (X ) g (X ): σ 2 f g = σ 2 [f (X ) g (X )] = σ 2 [f (X )] + σ 2 [g (X )] 2cov [f (X ), g (X )] Jeżeli zmienne losowe są silnie dodatnio skorelowane, to ich kowariancja jest duża i dodatnia. Wówczas wariancja σ 2 f g jest mała.
46 Powyższe zadanie sprowadza się do obliczenia całki b a [f (x) g (x)] dx. Najprostszy estymator: różnica f (X ) g (X ), gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie równomiernym na przedziale (a, b). Wariancja estymatora f (X ) g (X ): σ 2 f g = σ 2 [f (X ) g (X )] = σ 2 [f (X )] + σ 2 [g (X )] 2cov [f (X ), g (X )] Jeżeli zmienne losowe są silnie dodatnio skorelowane, to ich kowariancja jest duża i dodatnia. Wówczas wariancja σ 2 f g jest mała.
47 Powyższe zadanie sprowadza się do obliczenia całki b a [f (x) g (x)] dx. Najprostszy estymator: różnica f (X ) g (X ), gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie równomiernym na przedziale (a, b). Wariancja estymatora f (X ) g (X ): σ 2 f g = σ 2 [f (X ) g (X )] = σ 2 [f (X )] + σ 2 [g (X )] 2cov [f (X ), g (X )] Jeżeli zmienne losowe są silnie dodatnio skorelowane, to ich kowariancja jest duża i dodatnia. Wówczas wariancja σ 2 f g jest mała.
48 Proponowana metoda będzie opłacalna wtedy, gdy ρ 1 1 l. gdzie ρ jest współczynnikiem korelacji zmiennych f i g notomiast l jest pewną stałą (jeżeli przyjmiemy, że obliczenie funkcji g jest równie pracochłonne jak obliczenie funkcji f to l = 2). Definicja zmiennej kontrolnej Zmienną losową g (X ) o takich własnościach, że współczynnik korelacji ρ pomiędzy zmiennymi f (X ) i g (X ) spełnia warunek ρ > 1 1 l całka b a g (x) dx jest znana nazywamy zmienną kontrolną dla f (X ).
49 Metoda zmiennych antytetycznych Przypuśćmy, że do obliczenia całki I = b a f (x) dx (8) dysponujemy dwoma estmatorami nieobciążonymi f 1 (ζ) oraz f 2 (η) gdzie ζ i η są pewnymi zmiennymi losowymi. Wówczas F 2 = 1 2 (f 1 + f 2 ) jest również estymatorem nieobciążonym całki (8). Wariancja estymatora F 2 σ 2 (F 2 ) = 1 4 σ2 (f 1 ) σ2 (f 2 ) cov (f 1, f 2 ).
50 Uogólnione na przypadek wielu estymatorów całki I Do obliczenia całki (8) dysponujemy m nieobciążonymi estymatorami f 1 (ζ 1 ), f 2 (ζ 2 ),..., f m (ζ m ), gdzie ζ 1, ζ 2,..., ζ m są pewnymi zmiennymi losowymi. Wówczas: F m (ζ 1, ζ 2,..., ζ m ) = 1 m (f 1 (ζ 1 ) + f 2 (ζ 2 ) f m (ζ m )) jest również nieobciążonym estymatorem całki I, a jego wariancja σ 2 (F m ) = 1 m m 2 σ 2 (f i ) + 2 m 2 cov (f i, f j ) i=1 i<j Zadanie Wprowadzić takie zależności między zmiennymi ζ 1, ζ 2,..., ζ m aby wariancja σ 2 (F m ) była możliwie najmniejsza.
51 Przykłady najczęściej używanych estymatorów zbudowanych na koncepcji zmiennych antytetycznych 1) Zakładamy, że funkcja f w całce I = b a f (x) dx jest malejąca. Budujemy estymator: f 2 (ς) = 1 [f (ς) + f (1 ς)]. (9) 2
52 Niech gdzie I (2) = b a f 2 (x) dx f 2 (x) = 1 [f (x) + f (1 x)]. 2 Wówczas: I (2) = I f 2 jest bardziej stała na przedziale (a, b) niż funkcja f σ 2 {f 2 } σ 2 {f } całka I (2) = b a f 2 (x) dx w przypadku losowania tej samej liczby punktów będzie szacowała dokładniej niż całka I = b a f (x) dx.
53 2) Dla funkcji monotonicznej na przedziale (a, b) można skonstruować bardziej ogólny estymator I α f (X ) = αf (αx ) + (1 α) f [1 (1 α) X ]) (10) gdzie 0 < α < 1, X U (a, b). Niech σ 2 [I α f (X )] = V (α). Wówczas mamy V (α) = b a { } αf (αx) + (1 α) f [1 (1 α) x] 2 dx I 2 Problem Dobrać optymalne α, tak aby σ 2 [I α f (X )] osiągała minimum. Wariancja V (α) osiąga minimum gdy dv (α) /dα = 0. Komentarz Wyznaczenie optymalnej wartości α 0 może być zadaniem bardzo trudnym (nawet trudniejszym niż obliczenie całki I ).
54 Metoda regresji Seminarium szkoleniowe Przypuśćmy, że do obliczenia całki I = b a f (x) dx (11) dysponujemy m estymatorami nieobciążonym Î1,..., Îm. Wówczas estymator Î = a 1Î a mîm gdzie a a m = 1, jest również) estymatorem nieobciążonym całki I. Wariancja estymatora σa (Î 2 zależy od odpowiedniego doboru współczynników a i. Zadanie ) Dobrać a 1,..., a m tak, aby σa (Î 2 była najmniejsza.
55 Niech V = (v ij ), gdzie (v ij ) = cov (Îi Îj), oznacza macierz kowariancji estymatorów I j. Wówczas: a i = 1 v m v ij j=1 gdzie v ij są elementami macierzy V 1, natomiast v suma wszystkich elementów macierzy V 1 : v = m i=1 j=1 Wariancja najlepszego estymatora m v ij. (Î ) σ 2 = 1 v.
56 Oszacowania kowariancji estymatorów Îj. v ij = 1 N 1 N ) (Îik (Îjk Îj.) Îi. k=1 gdzie Îik jest wartością estymatora Îi w k tym punkcie, k = 1,...N, oraz Îi. = 1 N N Îik k=1 Czasami wygodniejszy jest rachunkowo wzór: v ij = 1 N 1 N k=1 ÎikÎjk 1 ( N ) ( N ) N 1 Îik Îjk k=1 k=1
57 Uwagi końcowe Metody regresji daje się łatwo stosować przy obliczaniu całek wielokrotnych. Umiejętność skonstruowania kilku estymatorów nieobciążonych obliczanej całki, pozwala za pomocą regresji stworzyć taką liniową kombinację tych estymatorów, która prowadzi do estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. Fakt, że skonstruowanie nieobciążonych estymatorów nie jest zbyt kłopotliwe, czyni tę metodę uniwersalną i wygodną.
58 Uwagi końcowe Metody regresji daje się łatwo stosować przy obliczaniu całek wielokrotnych. Umiejętność skonstruowania kilku estymatorów nieobciążonych obliczanej całki, pozwala za pomocą regresji stworzyć taką liniową kombinację tych estymatorów, która prowadzi do estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. Fakt, że skonstruowanie nieobciążonych estymatorów nie jest zbyt kłopotliwe, czyni tę metodę uniwersalną i wygodną.
59 Uwagi końcowe Metody regresji daje się łatwo stosować przy obliczaniu całek wielokrotnych. Umiejętność skonstruowania kilku estymatorów nieobciążonych obliczanej całki, pozwala za pomocą regresji stworzyć taką liniową kombinację tych estymatorów, która prowadzi do estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. Fakt, że skonstruowanie nieobciążonych estymatorów nie jest zbyt kłopotliwe, czyni tę metodę uniwersalną i wygodną.
60 Aproksymacja za pomocą wielomianów Bernsteina Rozważamy zagadnienie obliczenia całki I = f (x 1,..., x n ) dx 1...dx n (12) 0 Całkę (12) zapisywać będziemy krótko w postaci I = J f (x) dx gdzie x = (x 1,..., x n ) natomiast J jest kostką jednostkową (0 x 1 1,..., 0 x n 1) w n wymiarowej przestrzeni liczb rzeczywistych.
61 Stosując metodę zmiennej kontrolnej z funkcją g zadanie obliczenia całki I = [f (x) g (x)] dx + g (x) dx J J sprowadza się do obliczenia metodą MC całki [f (x) g (x)] dx. J Jako funkcji kontrolnej g użyjemy teraz wielomianu Bernsteina funkcji f : B f m (x) = B f m 1,m 2,...,m n (x 1,..., x n ) = gdzie m 1 m 2 v 1 =0 v 2 =0 p q,r (x) =... m n v n=0 f ( v1, v 2,..., v ) n n m 1 m 2 m n k=1 ( ) r x q (1 x) r q, 0 q r. q p vk,m k (x k )
62 B f m (x) dobrze przybliża f B f m (x) przy m zbiega do funkcji f w każdym punkcie jej ciągłości. jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu p funkcji f i pochodne te są ciągłe, to pochodne wielomianu B f m (x) są zbieżne do pochodnych funkcji f. Całka J Bf m (x) może być łatwo obliczona, ponieważ: B f m (x) = m 1 m 2... m n f ( v1, v 2,..., v ) n m 1 m 2 m n J v 1 =0 v 2 =0 v n=0 n 1 S p vk,m k (x k ) dx k = k=1 0 n k=1 gdzie S = m 1 m2 v 1 =0 v 2 =0... ( ) m n v f v1 n=0 m 1, v 2 m 2,..., vn m n. (13) (m k + 1)
63 B f m (x) dobrze przybliża f B f m (x) przy m zbiega do funkcji f w każdym punkcie jej ciągłości. jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu p funkcji f i pochodne te są ciągłe, to pochodne wielomianu B f m (x) są zbieżne do pochodnych funkcji f. Całka J Bf m (x) może być łatwo obliczona, ponieważ: B f m (x) = m 1 m 2... m n f ( v1, v 2,..., v ) n m 1 m 2 m n J v 1 =0 v 2 =0 v n=0 n 1 S p vk,m k (x k ) dx k = k=1 0 n k=1 gdzie S = m 1 m2 v 1 =0 v 2 =0... ( ) m n v f v1 n=0 m 1, v 2 m 2,..., vn m n. (13) (m k + 1)
64 B f m (x) dobrze przybliża f B f m (x) przy m zbiega do funkcji f w każdym punkcie jej ciągłości. jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu p funkcji f i pochodne te są ciągłe, to pochodne wielomianu B f m (x) są zbieżne do pochodnych funkcji f. Całka J Bf m (x) może być łatwo obliczona, ponieważ: B f m (x) = m 1 m 2... m n f ( v1, v 2,..., v ) n m 1 m 2 m n J v 1 =0 v 2 =0 v n=0 n 1 S p vk,m k (x k ) dx k = k=1 0 n k=1 gdzie S = m 1 m2 v 1 =0 v 2 =0... ( ) m n v f v1 n=0 m 1, v 2 m 2,..., vn m n. (13) (m k + 1)
65 B f m (x) dobrze przybliża f B f m (x) przy m zbiega do funkcji f w każdym punkcie jej ciągłości. jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu p funkcji f i pochodne te są ciągłe, to pochodne wielomianu B f m (x) są zbieżne do pochodnych funkcji f. Całka J Bf m (x) może być łatwo obliczona, ponieważ: B f m (x) = m 1 m 2... m n f ( v1, v 2,..., v ) n m 1 m 2 m n J v 1 =0 v 2 =0 v n=0 n 1 S p vk,m k (x k ) dx k = k=1 0 n k=1 gdzie S = m 1 m2 v 1 =0 v 2 =0... ( ) m n v f v1 n=0 m 1, v 2 m 2,..., vn m n. (13) (m k + 1)
66 Całka I = f (x 1,..., x n ) dx 1...dx n może być również obliczona metodą średniej ważonej I = J f (x) g (x) dp gdzie P jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej o gęstości g. Załóżmy, że f (x) ε > 0. Mamy zatem: inf J f (x) = µ > 0 Wówczas wielomian Bernsteina funkcji f jest również nieujemny na kostce J.
67 Niech B f m (x) = n k=1 (m k + 1) Bm f (x) S Ponieważ B f m (x) > 0 oraz J B f m (x) dx = 1, to wielomian B f m (x) można traktować jako gęstość pewnych zmiennych losowych. Niech w (x) = f (x) B f m (x). Wówczas sprowadzamy zadanie obliczenia całki I do zadania w (x) dp J gdzie P jest rozkładem prawdopodobieństwa o gęstości B f m (x).
68 Algorytm Losujemy punkt x = (x 1,..., x n ) zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa o gęstości B f m (x). Obliczamy wartość funkcji w w wylosowanym punkcie. Powtarzamy N razy operacje 1,2. Za oszacowanie całki Iprzyjmujemy średnią wartość w (x) natomiast wariancję tych wartości za oszacowanie wariancji estymatora.
69 Algorytm Losujemy punkt x = (x 1,..., x n ) zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa o gęstości B f m (x). Obliczamy wartość funkcji w w wylosowanym punkcie. Powtarzamy N razy operacje 1,2. Za oszacowanie całki Iprzyjmujemy średnią wartość w (x) natomiast wariancję tych wartości za oszacowanie wariancji estymatora.
70 Algorytm Losujemy punkt x = (x 1,..., x n ) zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa o gęstości B f m (x). Obliczamy wartość funkcji w w wylosowanym punkcie. Powtarzamy N razy operacje 1,2. Za oszacowanie całki Iprzyjmujemy średnią wartość w (x) natomiast wariancję tych wartości za oszacowanie wariancji estymatora.
71 Algorytm Losujemy punkt x = (x 1,..., x n ) zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa o gęstości B f m (x). Obliczamy wartość funkcji w w wylosowanym punkcie. Powtarzamy N razy operacje 1,2. Za oszacowanie całki Iprzyjmujemy średnią wartość w (x) natomiast wariancję tych wartości za oszacowanie wariancji estymatora.
72 Problem losowania według rozkładu o gęstości B f m (x). Gęstość B f m (x) zapiszemy w postaci: gdzie m 1 v 1 =0 B f m (x) =... m n v n=0 m 1 v 1 =0... m n v n=0 p (v 1,..., v n ) n B mk,v k (x k ) k=1 ( ) p (v 1,..., v n ) = f v1 m 1,..., vn m n p (v 1,..., v n ) = 1 B m,v (x) = S (m + 1)! v! (m v)! x v (1 x) m v B m,v (x) jest gęstością z rozkładu beta z parametrami (v + 1, m v + 1), p (v 1,..., v n ) rozkład prawd. na zbiorze indeksów (v 1,..., v n ).
73 Algorytm Zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa p (v 1,..., v n ) wylosować punkty (v 1,..., v n ) ze zbioru indeksów (0 v 1 m 1,..., 0 v n m n ) Wygenerować n niezależnych zmiennych losowych (X 1,..., X n ) o rozkładzie beta z gęstościami odpowiednio równymi B m1,v 1 (x 1 ), B m2,v 2 (x 2 ),..., B mn,v n (x n ). Tak wylosowana zmienna losowa ma rozkład o gęstości B f m (x).
74 Metody sekwencyjne Seminarium szkoleniowe Rozważamy zadanie obliczenia całki b a f (x) dx W poprzednio rozważanych przypadkach : wybieraliśmy pewien estymator ψ (X ), np. f (X ), gdzie X U (a, b) lub f (X ) /g (X ), gdzie X g, itd. Losowaliśmy N punktów x 1,..., x N zgodnie z ustalonym rozkładem prawdopodobieństwa i obliczaliśmy wartość ψ (x i ) dla każdego wylosowanego punktu. N i=1 średnia ψ(x i ) N stanowiła oszacowanie całki I.
75 Rozważać będziemy teraz przypadek kiedy estymator ψ będzie się zmieniał w toku obliczeń. Wówczas sposób postępowania jest następujący: wybrać ciąg {ψ n }, n = 1, 2,... estymatorów wylosować ciąg punktów {x n }. Każdy z tych punktów może być losowany według innego rozkładu prawdopodobieństwa P n obliczyć wartości ψ 1 (x 1 ), ψ 2 (x 2 )... kolejnych estymatorów w kolejno wylosowanych punktach pewną funkcję Ψ n (ψ 1,..., ψ n ) przyjąć za oszacowanie całki w n tym kroku obliczeń.
76 Rozważać będziemy teraz przypadek kiedy estymator ψ będzie się zmieniał w toku obliczeń. Wówczas sposób postępowania jest następujący: wybrać ciąg {ψ n }, n = 1, 2,... estymatorów wylosować ciąg punktów {x n }. Każdy z tych punktów może być losowany według innego rozkładu prawdopodobieństwa P n obliczyć wartości ψ 1 (x 1 ), ψ 2 (x 2 )... kolejnych estymatorów w kolejno wylosowanych punktach pewną funkcję Ψ n (ψ 1,..., ψ n ) przyjąć za oszacowanie całki w n tym kroku obliczeń.
77 Rozważać będziemy teraz przypadek kiedy estymator ψ będzie się zmieniał w toku obliczeń. Wówczas sposób postępowania jest następujący: wybrać ciąg {ψ n }, n = 1, 2,... estymatorów wylosować ciąg punktów {x n }. Każdy z tych punktów może być losowany według innego rozkładu prawdopodobieństwa P n obliczyć wartości ψ 1 (x 1 ), ψ 2 (x 2 )... kolejnych estymatorów w kolejno wylosowanych punktach pewną funkcję Ψ n (ψ 1,..., ψ n ) przyjąć za oszacowanie całki w n tym kroku obliczeń.
78 Rozważać będziemy teraz przypadek kiedy estymator ψ będzie się zmieniał w toku obliczeń. Wówczas sposób postępowania jest następujący: wybrać ciąg {ψ n }, n = 1, 2,... estymatorów wylosować ciąg punktów {x n }. Każdy z tych punktów może być losowany według innego rozkładu prawdopodobieństwa P n obliczyć wartości ψ 1 (x 1 ), ψ 2 (x 2 )... kolejnych estymatorów w kolejno wylosowanych punktach pewną funkcję Ψ n (ψ 1,..., ψ n ) przyjąć za oszacowanie całki w n tym kroku obliczeń.
79 Funkcję ψ n nazywamy estymatorem pierwotnym, natomiast funkcję Ψ n estymatorem wtórnym. Metodą sekwencyjną będziemy nazywali taką metodę, według której, na każdym kroku obliczeń estymator ψ n lub rozkład P n zależą od wyników poprzednich obliczeń. Problem doboru ψ n, Ψ n oraz P n. Za dobry będziemy uważali taki wybór ψ n i Ψ n oraz P n dla którego: ciąg wariancji σ 2 (ψ n (X )) estymatorów pierwotnych jest zbieżny do nieujemnej stałej σ 2, ciąg estymatorów wtórnych Ψ n jest zbieżny do szacowanej całki I.
80 Jeżeli estymatory wtórne otrzymujemy za pomocą formuły liniowej w której v 1 = 1, 0 < v n < 1, czyli gdzie w (n) n Ψ n = v n ψ n + (1 v n ) Ψ n 1 Ψ n = = v n, w (n) m = v m n to można udowodnić, że: n m=1 r=m+1 w m (n) ψ m (1 v r ), m < n, 0 w (n) m 1, ciąg estymatorów Ψ n jest zbieżny do I z prawdopodobieństwem 1 ciąg wariancji σ 2 (ψ n (X )) estymatorów pierwotnych zbiega do 0.
81 Dziękuję za uwagę :-)
1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo
1 Wykład 4. Proste Prawa wielkich liczb, CTG i metody Monte Carlo 1.1 Rodzaje zbieżności ciagów zmiennych losowych Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenia probabilistyczna na której określony jest ciag {X
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoMetoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10
Metoda Monte Carlo Jerzy Mycielski grudzien 2012 Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien 2012 1 / 10 Przybliżanie całek Powiedzmy, że mamy do policzenia następującą całkę: b f (x) dx = I a Założmy,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoPobieranie prób i rozkład z próby
Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoCałkowanie metodą Monte Carlo
Całkowanie metodą Monte Carlo Plan wykładu: 1. Podstawowa metoda Monte Carlo 2. Metody MC o zwiększonej efektywności a) losowania ważonego b) zmiennej kontrolnej c) losowania warstwowego d) obniżania krotności
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoOznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji
Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowoIV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 14 18 stycznia 2010 Model statystyczny ROZKŁAD DWUMIANOWY ( ) {0, 1,, n}, {P θ, θ (0, 1)}, n ustalone P θ {K = k} = ( ) n θ k (1 θ) n k, k k = 0, 1,, n Geneza: Rozkład Bernoulliego
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 15. Obliczanie całek metodami Monte Carlo Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoZawansowane modele wyborów dyskretnych
Zawansowane modele wyborów dyskretnych Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Zawansowane modele wyborów dyskretnych grudzien 2013 1 / 16 Model efektów
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 5 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.medexp3.dta przygotuj model regresji kwantylowej 1. Przygotuj model regresji kwantylowej w którym logarytm wydatków
Bardziej szczegółowoMetoda reprezentacyjna
Metoda reprezentacyjna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki Populacja, cecha, parametr, próba Metoda reprezentacyjna Przedmiotem rozważań metody reprezentacyjnej są metody
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoPDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoSpis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla
Bogumiła Koprowska Elżbieta Kukla 1 Wstęp Czym są efekty losowe? Przykłady Model mieszany 2 Estymacja Jednokierunkowa klasyfikacja (ANOVA) Metoda największej wiarogodności (ML) Metoda największej wiarogodności
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoREGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarygodności
Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoWykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoAlgorytm Metropolisa-Hastingsa
Seminarium szkoleniowe, 25 kwietnia 2006 Plan prezentacji 1 Problem Metoda MCMC 2 Niezależny algorytm Metropolisa-Hastingsa Bła dzenie losowe Zbieżność procedury Metropolisa-Hastingsa Problem Metoda MCMC
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3 11.03.2016 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Wykłady z poprzednich lat (dr inż. H. Zbroszczyk): http://www.if.pw.edu.pl/~gos/student
Bardziej szczegółowoPróbkowanie. Wykład 4 Próbkowanie i rozkłady próbkowe. Populacja a próba. Błędy w póbkowaniu, cd, Przykład 1 (Ochotnicy)
Wykład 4 Próbkowanie i rozkłady próbkowe µ = średnia w populacji, µ=ey, wartość oczekiwana zmiennej Y σ= odchylenie standardowe w populacji, σ =(Var Y) 1/2, pierwiastek kwadratowy wariancji zmiennej Y,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowoWykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap
Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap Magdalena Frąszczak Wrocław, 21.02.2018r Tematyka Wykładów: Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoMetody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne.
Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II
WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Bardziej szczegółowoŚrednie. Średnie. Kinga Kolczyńska - Przybycień
Czym jest średnia? W wielu zagadnieniach praktycznych, kiedy mamy do czynienia z jakimiś danymi, poszukujemy liczb, które w pewnym sensie charakteryzują te dane. Na przykład kiedy chcielibyśmy sklasyfikować,
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Bardziej szczegółowo