TERMODYNAMIKA MODELU FALICOVA KIMBALLA SYMULACJE MONTE CARLO

Transkrypt

1 TERMODYNAMIKA MODELU FALICOVA KIMBALLA SYMULACJE MONTE CARLO Katarzyna Czajka, Maciej M. Maśka Zakład Fizyki Teoretycznej, Instytut Fizyki Uniwersytet Ślaski Kazimierz 2005

2 PLAN Model Falicova-Kimballa Symulacje Monte Carlo Klasyczny algorytm Metropolisa Algorytm Metropolisa dla modelu FK Funkcja korelacyjna Ciepło właściwe i podatność CDW Wyniki dla modelu FK na sieci kwadratowej ρ = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju Funkcja korelacyjna, ciepło właściwe Rozkłady jonów i elektronów Wyznaczanie gęstości stanów Oddziaływanie NNN ρ 0.5 silne oddziaływanie słabe oddziaływanie Inne wymiki Podsumowanie

3 MODEL FALICOVA KIMBALLA wędrowne fermiony zlokalizowane (klasyczne) czastki jony oddziaływanie jedynie pomiędzy czastkami wędrownymi i zlokalizowanymi

4 MODEL FALICOVA KIMBALLA Hamiltonian: H = i,j t ij c i c j + U i n i w i c i (c i) operatory kreacji (anihilacji) elektronu, n i = c i c i liczba obsadzeń i tego węzła, t ij całka przeskoku pomiędzy węzłami i oraz j U oddziaływanie kulombowskie na węźle, w i = {1, 0} w zależności, czy w i tym węźle znajduje się masywna czastka

5 MODEL FALICOVA KIMBALLA Hamiltonian: H = i,j t ij c i c j + U i n i w i c i (c i) operatory kreacji (anihilacji) elektronu, n i = c i c i liczba obsadzeń i tego węzła, t ij całka przeskoku pomiędzy węzłami i oraz j U oddziaływanie kulombowskie na węźle, w i = {1, 0} w zależności, czy w i tym węźle znajduje się masywna czastka Konfiguracja masywnych czastek minimalizuje: w T = 0 energię stanu podstawowego w T > 0 energię swobodna układu EFEKTY WIELOCIAŁOWE

6 PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)]

7 PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)] Bezspinowa wersja jako przybliżenie modelu Hubbarda [Hubbard, Proc. R. Soc. London, Ser. A 276, 238 (1963)]

8 PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Bezspinowa wersja jako przybliżenie modelu Hubbarda [Hubbard, Proc. R. Soc. London, Ser. A 276, 238 (1963)] Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)]

9 PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Bezspinowa wersja jako przybliżenie modelu Hubbarda [Hubbard, Proc. R. Soc. London, Ser. A 276, 238 (1963)] Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)] Przejście fazowe α γ w cerze (Ce) [Ramirez, Falicov, PRB 3, 2425 (1971)] Statyczna podatność dla spontanicznej polaryzacji [Subrshmsnym, Barma J.Phys.C 21, L19 (1988)] Uporzadkowanie CDW [van Dongen, Vollhardt, PRL 65, 1663 (1990)] Optyczna przewodność [Moeller, Ruckenstein, PRB 46, 7427 (1992)] Rozwinięcie funkcji spektralnej f [Brandt, Urbanek, Z. Phys. B: Condens. Matter 89, 297 (1992)] Podatność ładunkowa [Freerics, Miller, PRB 62, (2000)] Zjawisko Ramana [Freerics, Davereaux, Condens. Matter Phys. 4, 149 (2001)] Wiele, wiele innych...

10 DOKŁADNE WYNIKI Dla U model FK można mapować na model Isinga Dokładne rozwiazanie w przestrzeni nieskończenie wymiarowej Dla symetrycznego przypadku, gdy koncentracja jonów i elektronów wynosi 0.5 w stanie podstawowym jony tworza konfigurację szachownicy, dla każdej wartości oddziaływania kulombowskiego Periodyczne uporzadkowanie oraz separacja fazowa, dla szczególnych wartości koncentacji jonow i elektronów

11 METODY ANALIZY MODELU MFT [Falicov, Kimball PRL 22,997 (1969), Ramirez PRB 2,3383 (1970)] CPA [Plischke, PRL 28, 361 (1972)] DMFT [Schiller PRB 60, (1999), Shvaika PRB 67, (2003)] (dokładne rozwiazanie w d ) DCA [Hettler, Mukherjee, Jarrel PRB 61, (2000)] Monte Carlo

12 KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

13 KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

14 KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

15 KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

16 KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

17 KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

18 KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

19 KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

20 METODA SYMULACJI a Punktem wyjścia jest suma statystyczna: Z = C Tr e e β(h(c) µn) H(C) Hamiltonian FK dla ustalonej jonowej konfiguracji C C sumowanie po jonowych konfiguracjach Tr e ślad po fermionowych stopniach swobody β = (k B T ) 1 N operator całkowitej liczby elektronów Dla konfiguracji jonów C hamiltonian H(C) jest diagonalizowany numerycznie. Sumę statyczna można wtedy zapisać jako: Z = C n (1 + e β(e n(c) µ) ), gdzie E n (C) jest n-ta wartościa własna hamiltonianu H(C) a M.Maśka, K.Czajka cond-mat/

21 Wprowadzajac energię swobodna METODA SYMULACJI cd. F e (C) = 1 β suma statystyczna przyjmuje postać n log(1 + e β(e n(c) µ) ) Z = C e βf e(c) Wagi statystyczne można obliczyć ze wzoru: w(c) = 1 Z e βf e(c) MOŻNA STOSOWAĆ KLASYCZNY SCHEMAT METROPOLISA, ZASTEPUJ AC ENERGIE WEWNETRZN A PRZEZ ENERGIE SWOBODNA ELEKTRONÓW

22 ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

23 ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

24 ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

25 ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

26 ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

27 ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

28 ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

29 ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

30 ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

31 WYZNACZNIE FUNKCJI KORELACYJNEJ Funkcja korelacyjna gęstość gęstość dla jonów: g n = 1 4N N i=1 τ 1,τ 2 =±n w(r i )w(r i + τ 1 x + τ 2 y) w(r i ) = w i, 0.5 k B T/t = 0.03 k B T/t = 0.06 g(n) x, y wektory jednostowe wzdłuż osi x i y. 0.4 g n n n

32 WYZNACZNIE FUNKCJI KORELACYJNEJ Funkcja korelacyjna gęstość gęstość dla jonów: g n = 1 4N N i=1 τ 1,τ 2 =±n w(r i )w(r i + τ 1 x + τ 2 y) w(r i ) = w i, x, y wektory jednostowe wzdłuż osi x i y. g n k B T/t = 0.03 k B T/t = 0.06 g(n) G(n) G n Zrenormalizowana funkcja G n : n n G n = ( 1) n 4(g n ρ 2 i ) ρ i koncentracja jonów.

33 CIEPŁO WŁAŚCIWE I PODATNOŚĆ Ciepło właściwe można otrzymać z fluktuacji energii wewnętrznej Podatność CDW C V = E T = E2 E 2 k B T 2 χ = g2 1 g 1 2 k B T... oznacza uśrednianie po konfiguracjach zaakceptowanych w algorytmie Metropolisa.

34 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Ciepło właściwe, podatność CDW i funkcja korelacyjna C V, χ [arb. units] U/t = 20 C V χ C V, χ [arb. units] U/t = 1 C V χ G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 4 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 C V, χ [arb. units] U/t = 0.01 C V χ G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 C V, χ [arb. units] U/t = C V χ G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0000 0,0002 0,0004 k B T/t G 1 G 10 G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0, , ,00004 k B T/t G 1 G 10

35 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k T/t = 0.05 B C v [arb.units] G 1 1 0,8 0,6 0,4 0, ,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 3 k B T/t = P(E) ,7040-0,7020-0,7000-0,6980-0,6960-0,6940 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

36 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k BT/t = C v [arb.units] G 1 1 0,8 0,6 0,4 0, ,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 1 P(E) 0,5 0-0,704-0,702-0,7-0,698-0,696-0,694 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

37 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k BT/t = C v [arb.units] G 1 1 0,8 0,6 0,4 0, ,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 1 P(E) 0,5 0-0,704-0,702-0,7-0,698-0,696-0,694 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

38 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k BT/t = C v [arb.units] G 1 1 0,8 0,6 0,4 0, ,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 1 P(E) 0,5 0-0,704-0,702-0,700-0,698-0,696-0,694 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

39 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k BT/t = C v [arb.units] ,5 G 1 1 0,8 0,6 0,4 0, ,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 1,0 P(E) 0,5 0,0-0,704-0,702-0,700-0,698-0,696-0,694 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

40 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.08 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

41 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.06 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

42 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.05 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

43 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.04 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

44 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.02 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

45 SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

46 SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

47 SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

48 SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

49 SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

50 SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

51 SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

52 SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski 0.06 Diagram fazowy, U/t = 1 k B T c /t T c [arb. units] t /t t /t

53 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

54 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

55 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

56 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

57 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

58 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

59 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

60 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

61 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

62 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

63 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

64 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

65 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

66 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

67 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

68 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

69 INNE WYNIKI OTRZYMANE PREZENTOWANA METODA Funkcje spektralne dla elektronów wędrownych Gęstości stanów dużo dokładniejsze niż otrzymane metoda DCA [cond-mat/ ] Przejście fazowe dla modelu FK na sieci trójkatnej [Phisica B (w druku)] Diagram fazowy w modelu FK [cond-mat/ ] Separacja fazowa na sieci heksagonalnej

70 ZAMIAST PODSUMOWANIA Rola niejednorodności w układach silnie skorelowanych: tlenki metali przejściowych statyczne lub dynamiczne niejednorodności kolosalny magnetoopór w manganitach klastery magnetyczne wstęgi w nikletach niejednorodności w nadprzewodnikach wysokotemperaturowych: pseudoszczelina nadprzewodnictwo indukowane niejednorodnościami magnetyczna separacja fazowa w tlenkach kobaltu rozcieńczone półprzewodniki magnetyczne spintronika! koegzystancja faz AF i SC lub SDW i SC w nadprzewodnikach organicznych współzawodnictwo/koegzystencja AF i SC w układach ciężkofermionowych Inhomogeneity-induced superconductivity? J. Eroles et. al. Europhys. Lett. 50, 540 (2000)

71 ************************************************************

72 SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Funkcje spektralne U/t =1 / B / = (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = (, ) (0, ) (0,0) (, ) U/t =8 / B / = (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = (, ) (0, ) (0,0) (, )

73 GESTOŚĆ STANÓW ρ i = ρ e = 0.5 [Hettler, Mukherjee, Jarrel, Krishnamurthy, PRB 61, (2000)]

74 DIAGRAM FAZOWY ρ i = ρ e = 0.5 0,10 U/t = 1 0,08 C V [arb. units] 2D Ising k B T c /t* 0,06 0,04 0 0,05 0,1 k B T/t 0,02 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 U/(U+t*) t = 2 2t wyniki dla d dla sieci Bethe go wyniki dla d dla sieci hiperkubicznej [L. Cheng, J. K. Freericks, B. A. Jones, PRB 68, (2003)] wyniki otrzymane z zamykania się szczeliny w gęstości stanów [P. de Vries, K. Michelson, H. de Raedt, Z. Phys. B 92, 353 (1993)]

75 SIEĆ TRÓJKATNA Frustracja sieć kwadratowa sieć trójkatna? wezel zajety przez domieszke pusty wezel Dla sieci kwadratowej stanem podstawowym jest szachownica Dla sieci trójkatnej, gdy U brak uporzadkowania dalekozasięgowego (model Isinga) Czy w przypadku słabego oddziaływania kulombowskiego dla sieci trójkatnej w MFK może istnieć uporzadkowanie dalekozasięgowe? M.Maśka, K.Czajka Physica B (w druku)

76 A: k T/t B = A SIEĆ TRÓJKATNA FRUSTRATED BOND GRAPH (FB-graph) B B: k T/t B = U/t = A B 20 OCCUPIED UNOCCUPIED 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 k B T/t C: k T/t B =0.005 D: k T/t B =0.3 U/t =10 C D 80 D C OCCUPIED UNOCCUPIED k B T/t

77 SIEĆ TRÓJKATNA PDF Pair distribution function PDF daje prawdopodobieństwo znalezienia domieszki w danej odległości od innej domieszki U/t = 1 k B T/t = k B T/t = 0.05 U/t = 10 k B T/t = k B T/t = 0.5 PDF distance distance Słabe oddziaływanie: Oscylacje PDF maja większy zasięg Możliwe uporzadkowanie dalekiego zasięgu w niskich temperaturach!

78 SIEĆ TRÓJKATNA Ciepło właściwe i gęstość stanów U/t=1 U/t= U/t= Schottky 0.15 Schottky C V k B T/t k B T/t k B T/t DOS ω ω ω Ostry pik w cieple właściwym typu Isinga dla słabych oddziaływań U T c obniża się wraz ze wzrostem oddziaływania U i daży do zera, gdy U Pik Schotky ego w C v dla średnich i silnych oddziaływań U