Ryzyko inwestycji nansowych

Transkrypt

1 Marcin Studniarski Ryzyko inwestycji nansowych (semestr letni 2015/16)

2 1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagro zenie; mo zliwość straty, szkody, nieosi ¾agni ¾ecia zamierzonego celu dzia ania. 2. Neutralna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagro zenie, ale jednocześnie szansa; mo zliwość uzyskania efektu ró zni ¾acego si ¾e od zamierzonego celu (efekt ten mo ze być gorszy lub lepszy od oczekiwanego).

3 1.2 Rodzaje ryzyka 1. Ryzyko rynkowe - wynika ze zmian cen na rynkach nansowych i towarowych (koncepcja neutralna). 2. Ryzyko kredytowe - wynika z mo zliwości niedotrzymania warunków kontraktu przez osob ¾e lub instytucj ¾e, której udzielono kredytu. 3. Ryzyko operacyjne - ryzyko straty wynikaj ¾acej z nieprawid owo dzia aj ¾acych procesów wewn ¾etrznych, ludzi i systemów informatycznych (koncepcja negatywna). 4. Ryzyko p ynności - ryzyko nieoczekiwanego spadku p ynności nansowej podmiotu gospodarczego (p ynność oznacza zdolność podmiotu do regulowania zobowi ¾azań w terminie) (koncepcja neutralna lub negatywna).

4 5. Ryzyko prawne - ryzyko uchwalenia nowych aktów prawnych maj ¾acych wp yw na sytuacj ¾e danego podmiotu gospodarczego (koncepcja neutralna). 6. Ryzyko biznesu - ryzyko spowodowane zmianami warunków ekonomicznych prowadzenia dzia alności gospodarczej przez podmiot (koncepcja neutralna lub negatywna). 7. Ryzyko wydarzeń - ryzyko wyst ¾apienia wydarzeń losowych maj ¾acych wp yw na sytuacj ¾e podmiotu gospodarczego (np. powódź, po zar, napad na bank) (koncepcja negatywna).

5 1.3 Podzia ryzyka rynkowego 1. Ryzyko kursu walutowego 2. Ryzyko stopy procentowej 3. Ryzyko cen akcji 4. Ryzyko cen towarów (tak ze nieruchomości)

6 1.4 Podzia ryzyka kredytowego 1. Ryzyko niedotrzymania warunków - ryzyko niedokonania przez drug ¾a stron ¾e p atności wynikaj ¾acych z kontraktu (koncepcja negatywna). 2. Ryzyko wiarygodności kredytowej - mo zliwość zmiany wiarygodności kredytowej drugiej strony (koncepcja neutralna).

7 2 De nicja papieru wartościowego Papier wartościowy (security) jest to dokument (instrument nansowy) potwierdzaj ¾acy jedn ¾a z trzech sytuacji: nabycie prawa do wspó w asności rmy, udzielenie kredytu rz ¾adowi, rmie lub instytucji, uzyskanie prawa do otrzymania w przysz ości pewnej wartości (najcz ¾eściej w postaci innego papieru wartościowego).

8 3 Rodzaje papierów wartościowych 3.1 Akcje Akcja (stock, share) jest to dokument świadcz ¾acy o udziale jego w aściciela w kapitale spó ki akcyjnej. Posiadanie akcji zapewnia: prawo do dywidend, prawo do uczestnictwa w walnym zgromadzeniu akcjonariuszy, prawo do udzia u w maj ¾atku spó ki w przypadku jej likwidacji.

9 Akcje dziel ¾a si ¾e na zwyk e i uprzywilejowane. Uprzywilejowanie mo ze dotyczyć: g osu na zebraniach akcjonariuszy, pierwszeństwa w wyp acaniu dywidendy, pierwszeństwa w podziale maj ¾atku spó ki w przypadku jej likwidacji.

10 3.2 Obligacje Obligacja (bond) jest to papier wartościowy potwierdzaj ¾acy nabycie przez jego posiadacza prawa do otrzymania w określonym terminie sumy pieni ¾edzy określonej w obligacji oraz ewentualnie odsetek. Obligacja zamienna daje jej nabywcy prawo do wymiany na inne papiery wartościowe danego emitenta w przysz ości i na z góry określonych warunkach. Podzia obligacji ze wzgl ¾edu na okres do wykupu: krótkoterminowe (1-5 lat),

11 średnioterminowe (5-12 lat), d ugoterminowe (powy zej 12 lat). Podzia obligacji ze wzgl ¾edu na oprocentowanie: o sta ym oprocentowaniu, o zmiennym oprocentowaniu (mo ze być ustalane na pocz ¾atku lub na końcu okresu oprocentowania), zerokuponowe (bezodsetkowe) brak odsetek jest rekompensowany sprzeda z ¾a obligacji po cenie ni zszej od wartości nominalnej.

12 4 Stopa zysku z inwestycji Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawow ¾a miar ¾a określaj ¾ac ¾a efektywność inwestycji. Określamy j ¾a wzorem gdzie: K p R := K k ; (1) K p K p > 0 kapita pocz ¾atkowy (zainwestowany na pocz ¾atku procesu inwestycji), K k kapita końcowy (posiadany na końcu inwestycji). Stop ¾e zysku R podaje si ¾e zwykle w procentach.

13 Przekszta caj ¾ac wzór (1), otrzymujemy wzór na kapita końcowy: K k = K p (1 + R): (2) Stwierdzenie 1. Dany jest skończony ciag ¾ inwestycji nansowych w przedzia ach czasowych [t i 1 ; t i ], i = 1; ::; n, gdzie t 0 < t 1 < ::: < t n. Za ó zmy, ze kapita końcowy dla poprzedniego okresu jest kapita em poczatkowym ¾ dla nastepnego ¾ okresu. Je zeli R i jest stopa¾ zysku dla okresu [t i 1 ; t i ], to stopa zysku dla okresu [t 0 ; t n ] wynosi R = ny i=1 (1 + R i ) 1: (3)

14 Dowód. Oznaczmy przez K i kapita posiadany w momencie t i, i = 0; 1; :::; n. Zgodnie z (2) Zatem K i = K i 1 (1 + R i ), i = 1; :::; n: K 1 = K 0 (1 + R 1 ); K 2 = K 1 (1 + R 2 ) = K 0 (1 + R 1 )(1 + R 2 ); ::: K n = K 0 n Y i=1 (1 + R i ): (4) Poniewa z K n jest kapita em końcowym dla ca ego procesu inwestycji, wi ¾ec musi spe niać warunek (2), czyli Porównuj ¾ac wzory (4) i (5), otrzymujemy (3). K n = K 0 (1 + R): (5)

15 Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 za ó zmy dodatkowo, ze 1 + R i > 0. Liczb ¾e v uut Y n R := n (1 + R i ) 1 (6) i=1 nazywamy średni ¾a geometryczn ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji n- okresowej o stopach zysku R i, i = 1; :::; n. Sens liczby R jest nast ¾epuj ¾acy: jest ona taka, ze inwestycja n-okresowa o równych stopach zysku w poszczególnych okresach, wynosz ¾acych R, daje stop ¾e zysku R określon ¾a wzorem (3). Istotnie, stosuj ¾ac Stwierdzenie 1 do powy zszej sytuacji, otrzymamy R = ny i=1 (1 + R) 1 = (1 + R) n 1 = ny i=1 (1 + R i ) 1:

16 Stwierdzenie 2. Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 i warunku 1 + R i > 0 zachodzi nierówno sć R 1 n nx i=1 R i ; (7) tzn. srednia geometryczna stopa zysku nie przekracza sredniej arytmetycznej stóp zysku z poszczególnych okresów. Zadanie 1. Udowodnić Stwierdzenie 2.

17 5 Zasada obliczania procentu sk adanego Szczególnym przypadkiem wzoru (4) jest zasada obliczania procentu sk adanego. Dotyczy ona np. oprocentowanych lokat bankowych, w których jest sta a stopa procentowa, a odsetki s ¾a kapitalizowane po up ywie ka zdego roku: gdzie: K n = K 0 (1 + R) n ; (8) R stopa procentowa (b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku dla ka zdego roku), K 0 kapita pocz ¾atkowy, K n kapita po n latach (wartość przysz a sumy K 0 po n latach).

18 W przypadku, gdy odsetki s ¾a dodawane do kapita u m razy w ci ¾agu roku (przy tej samej rocznej stopie procentowej R), mamy nast ¾epuj ¾acy wzór na wartość przysz ¾a sumy K 0 po n latach: K n = K R m mn : (9) Wzór (9) przybiera konkretne postacie w zale zności od cz ¾estości kapitalizacji odsetek: kwartalna: K n = K R 4 4n miesi ¾eczna: K n = K R 12 12n dzienna: K n = K R n

19 ci ¾ag a: K n = K 0 lim 1 + R m!1 m 2 mn! 3 m=r Rn = K 0 lim m!1 m=r = K 0 lim x Rn = K x!1 0 e x Rn ; (10) gdzie e 2; 7183 podstawa logarytmu naturalnego. Uwaga: wzrost cz ¾estości kapitalizacji odsetek ma niewielki wp yw na wzrost wartości przysz ej kapita u.

20 6 Zasada dyskonta Zasada dyskonta jest to zasada procentu sk adanego przedstawiona w odwrotnej postaci. Przekszta caj ¾ac wzór (8), otrzymujemy K 0 = K n (1 + R) n; (11) gdzie K 0 nazywamy wartości ¾a bie z ¾ac ¾a sumy pieni ¾edzy K n uzyskiwanej w przysz ości (inaczej: wartości ¾a zdyskontowan ¾a na okres bie z ¾acy). Stop ¾e procentow ¾a R nazywamy tu stop ¾a dyskontow ¾a. Interpretacja: wartość bie z ¾aca K 0 wskazuje, jak ¾a sum ¾e nale zy zainwestować na n lat, przy za o zeniu stopy procentowej R oraz rocznej kapitalizacji odsetek, aby otrzymać sum ¾e równ ¾a K n.

21 Zadanie 2. Za ó zmy, ze roczna stopa procentowa jest sta a w czasie i jest liczb ¾a dodatni ¾a. Niech P (K; n) oznacza wartość w momencie 0 kwoty K uzyskiwanej na koniec n-tego roku, zaś F (K; n) oznacza wartość na koniec n-tego roku kwoty K uzyskiwanej w momencie 0. Wiedz ¾ac, ze P (1; n) + P (1; 2n) = 1, obliczyć F (1; 2n). Zadanie 3. Niech M j oznacza wartość odsetek za rok j = 1; 2; :::; n generowanych przez kapita K przy kapitalizacji rocznej i rocznej stopie procentowej równej R > 0. Wykazać, ze nx j=1 M j = K [(1 + R) n 1] :

22 7 Efektywna stopa procentowa W celu wyrównania efektu śródrocznej kapitalizacji odsetek (m razy w ci ¾agu roku) nale zy powi ¾ekszyć stop ¾e procentow ¾a R wyst ¾epuj ¾ac ¾a w (9) do wartości zwanej efektywn ¾a stop ¾a procentow ¾a, oznaczanej R ef. Zatem efektywna stopa procentowa spe nia równanie K 0 (1 + R ef ) n = K m R mn : St ¾ad wynika, ze R ef = 1 + R m m 1: (12)

23 8 Określanie wartości papierów wartościowych Za ó zmy najpierw, ze inwestor zatrzyma papier wartościowy przez rok. Oznaczmy: P wartość papieru wartościowego w momencie zakupu, czyli kapita (pocz ¾atkowy) zainwestowany w zakup. C wp ywy gotówkowe z tytu u posiadania papieru wartościowego (zak adamy dla uproszczenia, ze uzyskiwane s ¾a dok adnie po up ywie roku), R stopa zysku papieru wartościowego.

24 Ze wzoru (2) wynika, ze C = P (1 + R), czyli P = C 1 + R : (13) Interpretacja: wartość papieru wartościowego jest to zdyskontowany przychód z tytu u posiadania papieru wartościowego, przy czym stop ¾a dyskontow ¾a jest stopa zysku. Uogólnienie. Rozwa zamy papier wartościowy, z tytu u którego otrzymujemy wp ywy przez n kolejnych okresów. Uogólniaj ¾ac wzór (13), otrzymujemy gdzie: P = nx i=1 C i (1 + R) i; (14)

25 P wartość papieru wartościowego, C i dochód z tytu u posiadania papieru wartościowego, uzyskany w i-tym okresie, R stopa dyskontowa, b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku osi ¾aganego w pojedynczym okresie. De nicja. Wartość papieru wartościowego jest to suma zdyskontowanych na okres bie z ¾acy wp ywów uzyskiwanych z tytu u posiadania tego papieru wartościowego, przy czym stopa dyskontowa jest równa jego stopie zysku. Sposoby korzystania ze wzoru (14):

26 1. Jeśli stopa zysku R jest znana (na podstawie stóp zysku papierów wartościowych podobnego typu), to mo zna porównać wartość P z cen ¾a rynkow ¾a papieru wartościowego w celu podj ¾ecia decyzji co do zakupu (zakup jest op acalny, jeśli cena nie przekracza P ). 2. Mo zna przyj ¾ać jako P cen ¾e rynkow ¾a papieru wartościowego i rozwi ¾azać równanie (14) wzgl ¾edem R w celu wyznaczenia stopy zysku. Wymaga to stosowania metod przybli zonych. Znaj ¾ac R, mo zna podj ¾ać decyzj ¾e o zakupie (np. porównuj ¾ac R ze stop ¾a zysku, czyli oprocentowaniem, lokat bankowych).

27 9 Określanie wartości obligacji o sta ym oprocentowaniu Rozwa zmy obligacj ¾e z n-letnim terminem wykupu, o wartości nominalnej M. Za ó zmy, ze odsetki p acone po up ywie ka zdego roku wynosz ¾a C. Zatem oprocentowanie obligacji wynosi C=M. Stosuj ¾ac (14), otrzymujemy wzór na wartość obligacji: gdzie P = nx i=1 C (1 + R) i + M (1 + R) n; (15) P ni=1 C (1+R) i zdyskontowany przychód z odsetek,

28 M (1+R) n zdyskontowany przychód z wykupu obligacji. W (15) wyst ¾epuj ¾a dwie ró zne stopy procentowe: 1. C=M stopa procentowa określaj ¾aca oprocentowanie odsetek od obligacji (jest sta a i znana w momencie zakupu). 2. R stopa dyskontowa b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku obligacji (zwana tak ze stop ¾a rentowności). Wartość R jest zmienna w czasie, gdy z zale zy od ceny rynkowej. W praktyce P jest cen ¾a rynkow ¾a i jest znana, a nieznana jest stopa zysku R.

29 10 Określanie wartości akcji zwyk ych Zysk z tytu u posiadania akcji pochodzi z dwóch źróde : 1. z dywidendy p aconej w danym okresie, 2. z przyrostu kapita u w danym okresie (wynikaj ¾acego z przyrostu ceny akcji). Za ó zmy najpierw, ze posiadacz akcji sprzeda j ¾a po up ywie n lat. Wówczas z (14) otrzymujemy P = nx i=1 D i (1 + R) i + P n (1 + R) n; (16)

30 gdzie P wartość akcji w chwili obecnej, P n wartość akcji po n latach, D i dywidenda wyp acona w i-tym roku (dla uproszczenia zak adamy, ze jest wyp acana z końcem roku), R stopa zysku akcji, b ¾ed ¾aca stop ¾a dyskontow ¾a, P ni=1 D i (1+R) i zdyskontowany przychód z dywidend, P n (1+R) n zdyskontowany przychód ze sprzeda zy akcji.

31 Za ó zmy teraz, ze nabywca akcji b ¾edzie j ¾a zawsze posiada. Wówczas znika ostatni sk adnik po prawej stronie (16), a zamiast skończonej sumy rozwa zamy jej wartość graniczn ¾a (o ile istnieje): P = lim n!1 nx i=1 D i (1 + R) i = 1 X i=1 Wzór (17) nazywamy modelem zdyskontowanych dywidend. D i (1 + R) i: (17) Uwagi. 1) Zbie zność szeregu w (17) ma miejsce np. wtedy, gdy istnieje taka sta a A > 0, ze D i D 1 A i 1, i = 2; 3; ::: oraz < 1. Wówczas lim n!1 nx i=1 D i (1 + R) i lim n!1 D 1 nx i=1 A 1+R A i 1 (1 + R) i = D 1 1X i=1 A i 1 (1 + R) i; gdzie szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie (0; 1), a wi ¾ec zbie znym. A 1+R 2

32 2) We wzorze (17) wyd u zenie horyzontu czasowego inwestowania do nieskończoności (co jest oczywiście jedynie przybli zeniem rzeczywistej sytuacji) powoduje, ze nie rozpatrujemy przyrostu kapita u z powodu zmian cen akcji. Nie ma on znaczenia, gdy nieplanuje si ¾e sprzeda zy akcji. Jedynym źród em dochodu z akcji staje si ¾e dywidenda.

33 11 Określanie wartości przedsi ¾ebiorstwa Wartość przedsi ¾ebiorstwa (np. spó ki, banku, zak adu ubezpieczeń) jest to wartość obecna (bie z ¾aca) przysz ych przep ywów pieni ¾e znych do przedsi ¾ebiorstwa. Wyra za j ¾a wzór podobny do (17): gdzie P = 1X i=1 C i (1 + R) i; (18) P wartość przedsi ¾ebiorstwa, C i przep yw pieni ¾e zny w okresie i, R stopa dyskontowa.

34 Sumowanie nieskończone wynika z za o zenia, ze przedsi ¾ebiorstwo b ¾edzie funkcjonowa o stale (przez czas nieokreślony). 12 Zale zność stopy zysku od sposobu kapitalizacji Przedstawimy teraz trzy ró zne wzory na stop ¾e zysku z inwestycji trwaj ¾acej n okresów jednostkowych (najcz ¾eściej s ¾a to lata). Ró znice wynikaj ¾a z odmiennych sposobów kapitalizacji odsetek. Uwaga: n nie musi być liczb ¾a naturaln ¾a.

35 12.1 Prosta stopa zysku Prosta stopa zysku odpowiada kapitalizacji okresowej, tzn. odsetki s ¾a kapitalizowane jeden raz na zakończenie ca ego procesu inwestycji. Sytuacj ¾e t ¾e opisuje szczególny przypadek wzoru (9), gdy m = 1=n: K n = K 0 (1 + nr): (19) Wyznaczaj ¾ac st ¾ad R, otrzymujemy wzór na prost ¾a stop ¾e zysku: R = 1 n K n K 0 1! : (20)

36 12.2 Efektywna stopa zysku Efektywna stopa zysku odpowiada kapitalizacji rocznej, któr ¾a opisuje wzór (8). St ¾ad otrzymujemy wzór na efektywn ¾a stop ¾e zysku: R = K n K 0! 1=n 1: (21)

37 12.3 Logarytmiczna stopa zysku Logarytmiczna stopa zysku odpowiada kapitalizacji ci ¾ag ej. stronami wzór (10), otrzymujemy Logarytmuj ¾ac ln K n = ln K 0 + Rn: St ¾ad dostajemy wzór na logarytmiczn ¾a stop ¾e zysku: R = 1 n (ln K n ln K 0 ) = 1 n ln K n K 0 : (22)

38 13 Przestrzeń probabilistyczna Niech b ¾edzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nale z ¾acym do tzw. klasy zdarzeń F, gdzie F 2. Zak adamy, ze F jest -cia em podzbiorów, tzn. spe nia nast ¾epuj ¾ace warunki: S1. F 6= ;. S2. Je zeli A 2 F, to na 2 F. S3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; :::, to S 1 i=1 A i 2 F. Z powy zszych warunków wynika, ze do F nale z ¾a zdarzenia: pewne) i ; (zdarzenie niemo zliwe). (zdarzenie

39 Najmniejsze -cia o zawieraj ¾ace wszystkie zbiory otwarte w R n nazywamy - cia em zbiorów borelowskich w R n i oznaczamy B(R n ). Prawdopodobieństwem nazywamy dowoln ¾a funkcj ¾e P : F! R spe niaj ¾ac ¾a warunki: A1. P (A) 0 dla ka zdego A 2 F, A2. P () = 1, A3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz A i \ A j = ; dla i 6= j, to P 0 1 1[ A i A = i=1 i=1 P (A i ): (23)

40 Przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a nazywamy trójk ¾e (; F; P ), gdzie jest dowolnym zbiorem, F jest -cia em podzbiorów, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F. W asności prawdopodobieństwa. Je zeli (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a i zbiory A; B; A 1 ; :::; A n nale z ¾a do F, to spe nione s ¾a poni zsze warunki: W1. P (;) = 0. W2. Je zeli A i \ A j = ; dla i 6= j, to P S ni=1 A i = P ni=1 P (A i ). W3. P (na) = 1 P (A). W4. Je zeli A B, to P (BnA) = P (B) P (A).

41 W5. Je zeli A B, to P (A) P (B). W6. P (A) 1. W7. P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B). W8. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to X!2 P (f!g) = 1: (24) Zadanie 4. Udowodnić w asności W1 W8.

42 Zadanie 5. Eksperci wskazali na 5 mo zliwych stanów gospodarki w ci ¾agu najbli zszego roku oraz na prawdopodobieństwa ich wyst ¾apienia: stan gospodarki skrót prawdopodobieństwo du zy rozwój DRO 0; 1 niewielki rozwój NRO 0; 25 stagnacja STA 0; 2 niewielka recesja NRE 0; 35 du za recesja DRE 0; 1 Zde niować przestrzeń probabilistyczn ¾a tak, aby zdarzeniami elementarnymi by y stany gospodarki, a ich prawdopodobieństwami liczby wymienione w powy zszej tabeli. Wykazać, ze przestrzeń ta spe nia warunki (A1) (A3). Zde niować zdarzenia: rozwój i brak rozwoju oraz obliczyć ich prawdopodobieństwa.

43 14 Zmienne losowe Niech (; F; P ) b ¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Zmienn ¾a losow ¾a (wektorem losowym) o wartościach w R n nazywamy odwzorowanie X :! R n takie, ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w R n zbiór X 1 (A) nale zy do F. Zadanie 6. Wykazać, ze X jest zmienn ¾a losow ¾a wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka zdego uk adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy X 1 (( 1; 1 ] ::: ( 1; n ]) 2 F: Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to ka zda funkcja X :! R n jest zmienn ¾a losow ¾a.

44 Rozk adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :! R n nazywamy funkcj ¾e P X : B(R n )! R dan ¾a wzorem P X (B) := P (X 1 (B)) dla B 2 B(R n ): (25) Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozk ad dyskretny, je zeli istnieje taki zbiór przeliczalny S R n, ze P X (S) = 1. Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to mo zna przyj ¾ać S := X() (zbiór skończony) i wtedy P X (S) = P X (X()) = P (X 1 (X())) = P () = 1: Zatem ka zda zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk ad dyskretny.

45 14.1 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk adzie dyskretnym Wartości ¾a oczekiwan ¾a (lub średni ¾a) zmiennej losowej X :! R o rozk adzie dyskretnym, przyjmuj ¾acej skończenie wiele wartości, nazywamy liczb ¾e EX := X i2i x i P (X = x i ); (26) gdzie X() = fx i g i2i, I skończony zbiór indeksów, a P (X = x i ) jest skróconym zapisem wyra zenia P (f! 2 : X(!) = x i g). Wartości ¾a oczekiwan ¾a wektora losowego X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n, gdzie wszystkie zmienne losowe X i przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości, nazywamy wektor EX := (EX 1 ; :::; EX n ): (27)

46 14.2 Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku ogólnym W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :! R mówimy, ze ma ona wartość oczekiwan ¾a, je zeli jest ca kowalna, tzn. Z jxj dp < 1: Wówczas wartości ¾a oczekiwan ¾a zmiennej losowej X nazywamy liczb ¾e EX := Z XdP: (28) De nicja (28) jest uogólnieniem de nicji (26). W ogólnym przypadku do zde niowania wartości oczekiwanej wektora losowego u zywamy wzoru (27) przy za- o zeniu, ze wszystkie wspó rz ¾edne maj ¾a wartość oczekiwan ¾a.

47 Ze wzoru (27) i z podstawowych w asności ca ki wynika nast ¾epuj ¾ace twierdzenie. Twierdzenie 1. Niech X i Y bed ¾ a¾ zmiennymi losowymi na o warto sciach w R. Za ó zmy, ze istnieja¾ warto sci oczekiwane EX i EY. Wówczas: (a) Je sli X 0, to EX 0. (b) jexj E jxj. (c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto sć oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey. (29)

48 15 Prognozowanie stopy zysku z inwestycji 15.1 Metoda 1 na podstawie danych z przesz ości W metodzie tej wykorzystuje si ¾e dane z pewnej ilości okresów poprzedzaj ¾acych okres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest określona wzorem R i = P i P i 1 + D i P i 1 ; (30) gdzie P i, P i 1 oznaczaj ¾a wartości akcji odpowiednio w okresach i, i 1, a D i dywidend ¾e wyp acan ¾a w okresie i.

49 Wzór (30) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (1), gdzie kapita pocz ¾atkowy K p przyjmujemy jako równy P i 1, a kapita końcowy K k jako równy P i + D i. Jeśli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prognozowania stopy zysku w nadchodz ¾acym okresie (o tej samej d ugości) mo zemy u zyć średniej arytmetycznej R = 1 n nx i=1 albo średniej geometrycznej określonej wzorem (6). R i (31)

50 15.2 Metoda 2 wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku Korzystaj ¾ac z analiz ekspertów dotycz ¾acych sytuacji danej rmy oraz ca ej gospodarki, mo zna próbować ocenić mo zliwe stopy zysku w ró znych sytuacjach oraz prawdopodobieństwa ich wyst ¾apienia. Wówczas do prognozowania przysz ej stopy zysku u zywamy oczekiwanej stopy zysku. Metod ¾e t ¾e nazywamy prognozowaniem ekspertowym. Oczekiwan ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczb ¾e ER := nx i=1 p i R i ; (32) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n liczba mo zliwych ró znych scenariuszy rozwoju.

51 16 Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej Niech X :! R b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a. Jeśli E h (X EX) 2i < 1, to t ¾e liczb ¾e nazywamy wariancj ¾a zmiennej losowej X i oznaczamy Var X = D 2 X := E h (X EX) 2i : (33) Wariancj ¾e mo zna inaczej zapisać nast ¾epuj ¾aco: Var X = E(X 2 ) (EX) 2 : (34) Dowód (34). Var X := E[(X EX) 2 ] = E[X 2 2XEX + (EX) 2 ] = E(X 2 ) (EX) 2.

52 Ze wzorów (33) i (26) wynika, ze jeśli X przyjmuje skończon ¾a ilość wartości x i, i 2 I, to Var X = X i2i P (X = x i )(x i EX) 2 : (35) W asności wariancji. Jeśli X jest zmienn ¾a losow ¾a, dla której E(X 2 ) < 1, to istnieje Var X i spe nia warunki (a) Var X 0. (b) Var(X) = 2 Var X (c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R). ( 2 R). (d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta a z prawdopodobieństwem 1.

53 Zadanie 7. Udowodnić powy zsze w asności (a) (d), wraz ze zdaniem je poprzedzaj ¾acym. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek z wariancji: X = DX = p Var X: (36)

54 17 Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja neutralna) Ryzyko inwestycji nansowej oznacza niepewność wyst ¾apienia oczekiwanej sytuacji w procesie inwestowania. Określa ono tak ze skal ¾e zró znicowania (rozproszenia) prognozy lub danych historycznych. Miarami ryzyka zwi ¾azanego z inwestowaniem w papiery wartościowe s ¾a wariancja i odchylenie standardowe papieru wartościowego.

55 17.1 Prognozowanie ekspertowe W przypadku prognozowania ekspertowego wariancj ¾e papieru wartościowego de niujemy nast ¾epuj ¾aco: V := nx i=1 p i (R i ER) 2 ; (37) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, ER oczekiwana stopa zysku z inwestycji, dana wzorem (32). Im mniejsza wartość V, tym mniejsze ryzyko osi ¾agni ¾ecia oczekiwanej stopy zysku. Najmniejsz ¾a mo zliw ¾a do osi ¾agni ¾ecia wartości ¾a jest 0. Wyst ¾epuje ona wtedy, gdy wszystkie mo zliwe scenariusze rozwoju charakteryzuj ¾a si ¾e jednakow ¾a stop ¾a zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta ym oprocentowaniu.

56 17.2 Prognozowanie ryzyka na podstawie wartości historycznych stóp zysku Zak ada si ¾e, ze rozk ad przysz ych stóp zysku b ¾edzie si ¾e charakteryzowa takim samym ryzykiem, jakie wyst ¾epowa o w dotychczasowych notowaniach. Wariancj ¾e dotychczasowych stóp zysku oblicza si ¾e wed ug wzoru V := 1 n nx i=1 (R i R) 2 ; (38) gdzie n liczba okresów, z których pochodz ¾a dane, R i stopy zysku uzyskane w kolejnych okresach, R średnia historyczna stopa zysku, dana wzorem (31). Poniewa z nie s ¾a określone prawdopodobieństwa wyst ¾apienia poszczególnych stóp zysku R i, przyjmuje si ¾e, ze s ¾a one jednakowe i wynosz ¾a 1=n. Wówczas ER = R zgodnie z wzorem (32), a zatem (38) jest szczególnym przypadkiem (37), gdzie p i = 1=n dla i = 1; :::; m.

57 W przypadku ma ej liczby danych (n 30) do prognozowania wariancji stopy zysku stosuje si ¾e wyra zenie ^V := 1 n 1 nx i=1 (R i R) 2 : (39) Sens u zycia tego wzoru wynika z faktu, ze ^V jest tzw. estymatorem nieobcia zonym ¾ wariancji, co jest wyjaśnione dok adniej w moich materia ach z analizy portfelowej (dost ¾epnych na stronie internetowej). W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy zysku przyjmujemy pierwiastek z odpowiedniego wyra zenia, tzn. p V lub p ^V.

58 18 Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja negatywna) Jeśli ryzyko rozwa zane jest w kategoriach zagro zenia, to pod uwag ¾e bierze si ¾e tylko ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zysku. Wówczas zamiast wariancji rozwa za si ¾e semiwariancj ¾e stopy zysku określon ¾a nast ¾epuj ¾aco: gdzie d i := SV := nx i=1 ( Ri ER; gdy R i ER < 0; 0; gdy R i ER 0: p i d 2 i ; (40) (41)

59 Odpowiednikiem odchylenia standardowego jest semiodchylenie standardowe stopy zysku: s := p SV : (42)

60 19 Wp yw zmiany kursu walutowego na stop ¾e zysku Ryzyko kursu walutowego wyst ¾epuje wtedy, gdy podmiot ma aktywa lub zobowi ¾azania wyra zone w walucie obcej. Rozwa zamy ogóln ¾a sytuacj ¾e, gdy w czasie mo ze si ¾e zmieniać zarówno wartość kapita u (aktywów, zobowi ¾azań) w walucie obcej, jak i kurs tej waluty. Interesuje nas wp yw obu tych zmian na wartość kapita u wyra zon ¾a w walucie krajowej. Dla uproszczenia b ¾edziemy rozwa zać euro i z ote. B ¾edziemy korzystać z ogólnego wzoru (2) na kapita końcowy przy inwestycji jednookresowej. Wprowadźmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia: K p;e kapita pocz ¾atkowy wyra zony w euro, K p;z kapita pocz ¾atkowy wyra zony w z otych,

61 K k;e kapita końcowy wyra zony w euro, K k;z kapita końcowy wyra zony w z otych, c p kurs euro (tj. wartość 1 euro wyra zona w z otych) w momencie pocz ¾atkowym, c k kurs euro w momencie końcowym, R e procentowa zmiana wartości kapita u wyra zonego w euro (stopa zysku), R z procentowa zmiana wartości kapita u wyra zonego w z otych (stopa zysku), R c procentowa zmiana kursu euro.

62 Stwierdzenie 3. Przy powy zszych za o zeniach stopa zysku w z otych wyra za sie¾ wzorem R z = R e + R c + R e R c : (43) Dowód. Z (2) i z de nicji kursu walutowego wynikaj ¾a nast ¾epuj ¾ace zale zności: K k;z = K p;z (1 + R z ); (44) K k;e = K p;e (1 + R e ); (45) K p;z = K p;e c p ; (46) K k;z = K k;e c k : (47) Ponadto z de nicji R c mamy c k = c p (1 + R c ): (48)

63 Stosuj ¾ac kolejno wzory (44), (47), (45), (48) i (46), otrzymujemy K p;z (1 + R z ) = K k;z = K k;e c k = K p;e (1 + R e )c p (1 + R c ) Dziel ¾ac (49) stronami przez K p;z, dostajemy = K p;z (1 + R e )(1 + R c ): (49) 1 + R z = (1 + R e )(1 + R c ) = 1 + R e + R c + R e R c ; sk ¾ad wynika (43).

64 20 Niezale zność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1 ; :::; X n o wartościach w R, określone na zbiorze, gdzie (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, nazywamy niezale znymi, je zeli dla dowolnych zbiorów B 1 ; :::; B n 2 B(R) zachodzi równość P (X 1 2 B 1 ; :::; X n 2 B n ) = P (X 1 2 B 1 ) ::: P (X n 2 B n ): (50) W powy zszym wzorze wyra zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra zenia P f! 2 : X 1 (!) 2 B 1 ^ ::: ^ X n (!) 2 B n g; podobna uwaga dotyczy wyra zeń po prawej stronie.

65 Twierdzenie 2. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n sa¾ niezale zne i maja¾ warto sć oczekiwana, ¾ to istnieje warto sć oczekiwana iloczynu Q n i=1 X i i zachodzi równo sć E 0 1 ny X i A = i=1 i=1 EX i : (51) Dowód przeprowadzimy dla przypadku dwóch zmiennych losowych X, Y przyjmuj ¾acych skończenie wiele wartości. Za ó zmy, ze X() = fx i g i2i, Y () = fy j g j2j, gdzie I, J skończone zbiory indeksów. Poniewa z zbiory jednoelementowe fx i g i fy j g s ¾a borelowskie, wi ¾ec z (50) otrzymujemy P (X = x i ; Y = y j ) = P (X = x i )P (Y = y j ) (i 2 I, j 2 J).

66 St ¾ad na podstawie (26) X j2j = X X i2i j2j 0 E(XY ) = X i2i = x i y j P (X = x i ; Y = y j ) x i y j P (X = x i )P (Y = y j X i2i x i P (X = x i ) X y j P (Y = y j ) A = EX EY. j2j

67 Twierdzenie 3. Przy za o zeniach Twierdzenia 2 zachodzi równo sć Var 0 1 X i A = i=1 nx i=1 Var X i : (52) Dowód (dla dwóch zmiennych losowych X, Y ). Korzystaj ¾ac kolejno ze wzorów (34), (29), (51) i ponownie z (34), otrzymujemy Var(X + Y ) = E h (X + Y ) 2i [E (X + Y )] 2 = E X 2 + 2XY + Y 2 [EX + EY ] 2 = E(X 2 ) + 2E (XY ) + E(Y 2 ) (EX) 2 2EX EY (EY ) 2 = E(X 2 ) (EX) 2 + E(Y 2 ) (EY ) 2 = Var X + Var Y.

68 21 Kowariancja i wspó czynnik korelacji zmiennych losowych Kowariancj ¾a ca kowalnych zmiennych losowych X i Y, spe niaj ¾acych warunek E jxy j < 1, nazywamy liczb ¾e Cov(X; Y ) := E [(X EX) (Y EY )] : (53) Z powy zszej de nicji i z Twierdzenia 1(c) otrzymujemy Cov(X; Y ) = E [XY (EX)Y X(EY ) + EX EY ] = E(XY ) 2EX EY + E(EX EY ) = E(XY ) EX EY; (54) gdzie ostatnia równość wynika z faktu, ze wartość oczekiwana zmiennej losowej o sta ej wartości jest równa tej sta ej.

69 Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi; w przeciwnym przypadku skorelowanymi. Korzystaj ¾ac z nierówności Schwarza dla ca ek, mo zna wykazać nast ¾epuj ¾ac ¾a nierówność: jcov(x; Y )j p Var X Var Y ; (55) przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1 zmienne losowe X i Y zwi ¾azane s ¾a zale zności ¾a liniow ¾a, tzn. istniej ¾a takie liczby a, b 2 R, ze P fy = ax + bg = 1: (56) Wspó czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczb ¾e (X; Y ) := Cov(X; Y ) X Y = Cov(X; Y ) p Var X Var Y : (57)

70 Z nierówności (55) wynika, ze j(x; Y )j 1, a równość zachodzi tylko w przypadku liniowej zale zności mi ¾edzy zmiennymi X i Y. Uwaga. Z Twierdzenia 2 i z równości (54) wynika, ze jeśli zmienne losowe X i Y s ¾a niezale zne i maj ¾a wartość oczekiwan ¾a, to s ¾a nieskorelowane. Podać przyk ad zmiennych losowych X, Y zale znych i niesko- Zadanie 8. relowanych. Za ó zmy teraz, ze zmienne losowe X i Y przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości i ze dany jest rozk ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X; Y ), tzn. dane s ¾a skończone ci ¾agi liczbowe x 1 ; :::; x n i y 1 ; :::; y n oraz ci ¾ag liczb dodatnich p 1 ; :::; p n takie, ze nx i=1 p i = 1 oraz P (X = x i ; Y = y i ) = p i, i = 1; :::; n: (58)

71 Wówczas, korzystaj ¾ac z wzoru (26) na wartość oczekiwan ¾a, mo zemy zapisać wzór (53) w postaci Cov(X; Y ) = nx i=1 p i (x i EX) (y i EY ) : (59) 22 Korelacja papierów wartościowych Rozwa zmy teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y s ¾a odpowiednio stopy zysku R A i R B akcji A i B. Niech A i B oznaczaj ¾a odpowiednio odchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B. W przypadku akcji za o zenie ich dodatniości jest na ogó spe nione.

72 W przypadku prognozowania ekspertowego, jako szczególny przypadek wzoru (59), otrzymujemy nast ¾epuj ¾ac ¾a de nicj ¾e: Kowariancj ¾a akcji (ogólniej: inwestycji nansowych) A i B nazywamy liczb ¾e gdzie: Cov(R A ; R B ) := nx i=1 p i RA;i ER A RB;i ER B ; (60) R A;i stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B), p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n ilość mo zliwych sytuacji.

73 Wspó czynnikiem korelacji akcji (ogólniej: inwestycji nansowych) A i B nazywamy liczb ¾e gdzie: A;B : = Cov(R A; R B ) A B P ni=1 p i RA;i ER A RB;i ER B = q Pni=1 p i (R A;i ER A ) 2q P (61) ni=1 p i (R B;i ER B ) 2; R A;i stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B), p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n ilość mo zliwych sytuacji.

74 Jeśli korelacj ¾e określa si ¾e na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku (R A;i ; R B;i ), i = 1; :::; n, to wzory określaj ¾ace kowariancj ¾e i wspó czynnik korelacji przyjmuj ¾a postać Cov(R A ; R B ) := 1 n nx i=1 RA;i ~R A RB;i ~R B ; (62) gdzie ~R A, ~R B średnie arytmetyczne odpowiednio wielkości R A;i, R B;i (i = 1; :::; n), A;B : = Cov(R A; R B ) A B P ni=1 RA;i ~R A RB;i ~R B = q Pni=1 (R A;i ~R A ) 2q P (63) ni=1 (R B;i ~R B ) 2: W przypadku ma ej liczby danych, wspó czynnik 1=n wyst ¾epuj ¾acy w (62) i (niejawnie) w (63) mo ze być zast ¾apiony przez 1=(n 1), podobnie jak przy obliczaniu wariancji akcji.

75 Mówimy, ze akcje (inwestycje nansowe) A i B s ¾a (a) dodatnio skorelowane, jeśli A;B > 0, (b) ujemnie skorelowane, jeśli A;B < 0, (c) nieskorelowane, jeśli A;B = 0, (d) doskonale (dok adnie) dodatnio skorelowane, jeśli A;B = 1, (e) doskonale (dok adnie) ujemnie skorelowane, jeśli A;B = 1. Uwaga. Wspó czynnik korelacji jest miar ¾a zale zności liniowej (por. wzór (56)), tj. miar ¾a skupiania si ¾e punktów (R A;i ; R B;i ) (w uk adzie wspó rz ¾ednych na p aszczyźnie) wokó linii prostej.

76 Zadanie 9. Dane s ¾a dwie akcje A i B o oczekiwanych stopach zysku odpowiednio ER A = 10% i ER B = 18% oraz odchyleniach standardowych odpowiednio A = 15% i B = 30%. Wspó czynnik korelacji akcji A i B wynosi 0,1. Wyznaczyć udzia y u dla A oraz 1 u dla B, które de niuj ¾a portfel z o zony z A i B o najmniejszym mo zliwym odchyleniu standardowym. Ile wynosi wartość tego odchylenia standardowego? Jaka jest oczekiwana stopa zysku z tego portfela? 23 Wariancja sumy zmiennych losowych Dotychczas podaliśmy wzór na wariancj ¾e sumy zmiennych losowych jedynie w przypadku zmiennych losowych niezale znych (wzór (52)). Obecnie podamy wzór dla przypadku ogólnego.

77 Twierdzenie 4. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja¾ wariancje, ¾ to istnieje te z wariancja sumy P n i=1 X i i zachodzi równo sć Var 0 1 nx X i A = i=1 i=1 Var X i + 2 X 1i<jn Cov(X i ; X j ): (64) Zadanie 10. Udowodnić Twierdzenie 4. Wskazówka: skorzystać kolejno z (34), (29), ponownie z (34) oraz z (54). Wniosek. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maj ¾ a wariancj ¾ e i s ¾ a parami nieskorelowane, to zachodzi równo sć (52).

78 24 Portfel wielu akcji Oznaczmy: m liczba rm, których akcje s ¾a w portfelu (ponumerowanych od 1 do m), n j ilość j-tych akcji znajduj ¾acych si ¾e w portfelu. Zak adamy, ze n j (j = 1; :::; m) s ¾a liczbami nieujemnymi. Aby portfel by niepusty, trzeba za o zyć, ze n j > 0 dla pewnego j. Liczby n j wyznaczaj ¾a sk ad ilościowy portfela. Nas interesuje sk ad procentowy (wartościowy) portfela, tzn. jaki jest stosunek wartości j-tych akcji w portfelu do ¾acznej wartości wszystkich akcji znajduj ¾acych si ¾e w tym portfelu.

79 W celu wyznaczenia sk adu procentowego oznaczmy: p j cena rynkowa j-tej akcji (p j > 0). Wówczas udzia procentowy (w sensie wartości) j-tej akcji w portfelu określa liczba u j := n jp j P mi=1 n i p i, j = 1; :::; m: (65) Uwaga. atwo sprawdzić, ze u j 0; j = 1; :::; m; mx j=1 u j = 1 (66) (tzw. równanie bud zetowe).

80 Zbiór P m := 8 < : u = (u 1; :::; u m ) 2 R m : u i 0, i = 1; :::; m, mx j=1 u j = 1 (67) nazywamy zbiorem portfeli m-sk adnikowych. Wspó rz ¾edna u j wektora u oznacza udzia j-tych papierów wartościowych w portfelu u. Zbiór P m jest sympleksem m-wymiarowym o wierzcho kach (0; ::; 0; 1 i ; 0; :::; 0), i = 1; :::; m, gdzie 1 i oznacza jedynk¾e na i-tym miejscu. Zadanie 11. Wykazać, ze zbiór P m jest wypuk y, tzn. wraz z dowolnymi dwoma punktami zawiera odcinek je ¾acz ¾acy. Dla dowolnego portfela u 2 P m przyjmujemy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia: 9 = ; R j stopa zysku z inwestycji w j-te papiery wartościowe,

81 R = (R 1 ; :::; R m ) wektor (losowy) stóp zysku, = ( 1 ; :::; m ) wektor oczekiwanych stóp zysku, gdzie i := E(R i ) (i = 1; :::; m), K p kapita pocz ¾atkowy inwestora, K p;j := u j K p wartościowe, cz ¾eść kapita u pocz ¾atkowego zainwestowana w j-te papiery K k kapita końcowy inwestora, K k;j kapita końcowy w j-tych papierach wartościowych. Ze wzoru (2) otrzymujemy K k;j = K p;j (1 + R j ), j = 1; :::; m.

82 Stop ¾e zysku portfela u de niujemy, zgodnie z wzorem (1), jako zmienn ¾a losow ¾a o wartościach rzeczywistych: K p R(u) := K k : (68) K p W dalszym ci ¾agu symbolem hx; yi b ¾edziemy oznaczać iloczyn skalarny w przestrzeni R m : hx; yi := mx i=1 x i y i dla x = (x 1 ; :::; x m ), y = (y 1 ; :::; y m ): (69) Stwierdzenie 4. Zachodzi równo sć R(u) = hu; Ri : (70)

83 Dowód. P mj=1 K k;j P mj=1 K p;j R(u) = K k K p = P K mj=1 p K p;j P mj=1 P K p;j (1 + R j ) mj=1 P K mj=1 p;j K p;j R j = P mj=1 = K p;j = K p P m j=1 u j R j K p P mj=1 u j = mx j=1 u j R j = hu; Ri. P mj=1 K p;j Oczekiwana stopa zysku portfela u jest dana wzorem ER(u) = E mx j=1 u j R j 1 A = mx j=1 u j j = hu; i : (71)

84 Zadanie 12. Odwzorowaniem Markowitza nazywamy odwzorowanie M : P m! R + R określone wzorem M(u) := ((u); ER(u)): (72) Zbiorem mo zliwości nazywamy zbiór wartości odwzorowania M: M(P m ) = f((u); ER(u)) : u 2 P m g: (73) Pokazać na przyk adzie, ze zbiór mo zliwości mo ze nie być zbiorem wypuk ym w R 2.

85 25 Macierz kowariancji wektora losowego Niech X :! R m b ¾edzie wektorem losowym. Jeśli istniej ¾a wariancje Var X j, j = 1; :::; m, to macierz C := [c ij ] m i;j=1, gdzie c ij = Cov(X i ; X j ); (74) nazywamy macierz ¾a kowariancji wektora losowego X = (X 1 ; :::; X m ). Istnienie kowariancji Cov(X i ; X j ) dla dowolnej pary (i; j) wynika z przyj ¾etego za o zenia i ze wzoru (55).

86 Stwierdzenie 5. Macierz kowariancji ma nastepuj ¾ ace ¾ w asno sci: (a) jest symetryczna, tzn. c ij = c ji dla dowolnej pary (i; j), (b) jest dodatnio określona, tzn. ucu T = mx i;j=1 u i u j c ij 0 dla ka zdego u 2 R m : (75) Dowód. (a) wynika ze wzoru (53).

87 (b) Rozwa zmy zmienn ¾a losow ¾a Y := P m i=1 u i X i. Jeśli EX i = i (i = 1; :::; m), to EY = P m i=1 u i i oraz 0 Var Y = E h (Y EY ) 2i = E 20 6 mx 4@ i=1 u i (X i i ) 1 A = E 2 mx 4 i;j=1 u i u j (X i i )(X j j ) = mx i;j=1 3 5 = mx i;j=1 u i u j E h (X i i )(X j j ) i u i u j Cov(X i ; X j ) = ucu T. (76)

88 Stosuj ¾ac cz ¾eść (b) powy zszego dowodu do zmiennej losowej R(u) określonej wzorem (70) (gdzie u 2 R m + ), otrzymujemy Wniosek. Wariancja stopy zysku portfela u 2 P m jest dana wzorem Var R(u) = ucu T ; (77) gdzie C jest macierza¾ kowariancji wektora stóp zysku R = (R 1 ; :::; R m ). Zadanie 13. Dane s ¾a trzy akcje, których stopy zysku s ¾a równe odpowiednio R 1, R 2 i R 3. Macierz kowariancji wektora stóp zysku R jest nast ¾epuj ¾aca: Znaleźć portfel o minimalnej wariancji stopy zysku (czyli o minimalnym ryzyku)

89 Ryzyko portfela u jest określone jako odchylenie standardowe q (u) = Var R(u): (78) Mówimy, ze macierz C jest ściśle dodatnio określona, je zeli ucu T > 0 dla ka zdego u 2 R m nf0g: (79) Stwierdzenie 6. Macierz kowariancji C wektora losowego X nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾ a takie liczby u 1 ; :::; u m nie wszystkie równe zeru, ze zmienna losowa P m i=1 u i X i jest sta a z prawdopodobieństwem jeden.

90 Dowód. Zaprzeczenie warunku (79) oznacza, ze istnieje taki wektor u 6= 0, ze ucu T = 0. Na mocy (76) jest to równowa zne warunkowi E 20 6 mx 4@ 1 A23 mx 7 u i X i u i i 5 = 0: (80) i=1 i=1 Wiadomo, ze wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa jest równa zeru z prawdopodobieństwem 1. Zatem warunek (80) oznacza, ze P m i=1 u i X i jest z prawdopodobieństwem 1 równa sta ej P m i=1 u i i. Wniosek. Macierz kowariancji C nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych X i zale zy (z prawdopodobieństwem jeden) w sposób liniowy od pozosta ych zmiennych losowych.

91 Dowód. Na mocy Stwierdzenia 6 macierz C nie jest dodatnio określona, 9u 6= 0, P m i=1 u i X i = z prawdopodobieństwem 1, gdzie jest pewn ¾a sta ¾a. Wybieraj ¾ac spośród liczb u i jedn ¾a ró zn ¾a od zera (oznaczmy j ¾a u s ), otrzymamy równowa zny warunek (tak ze z prawdopodobieństwem 1) X s = 1 u s 0 X u i X i + A. i6=s Uwaga. W przypadku macierzy kowariancji wektora stóp zysku portfela u 2 P m sytuacja opisana w powy zszym wniosku oznacza, ze jeden z papierów wartościowych znajduj ¾acych si ¾e w portfelu mo zna usun ¾ać, zast ¾epuj ¾ac go kombinacj ¾a pozosta ych papierów wartościowych.

92 26 Inny wzór na wariancj ¾e portfela Rozwa zamy portfel m papierów wartościowych. Niech i := p Var R i oznacza odchylenie standardowe i-tego papieru (i = 1; :::; m). Dotychczas wspó czynnik korelacji i-tego i j-tego papieru by określony tylko wtedy, gdy oba odchylenia standardowe by y ró zne od zera. Obecnie przyjmujemy ij := gdzie c ij = Cov(R i ; R j ). 8 < : c ij i j gdy i 6= 0 6= j ; 0 w przeciwnym przypadku. (81) Stwierdzenie 7. Dla dowolnego portfela u 2 P m Var R(u) = mx i=1 2 m 1 i u2 i + 2 X i=1 mx j=i+1 ij i j u i u j : (82)

93 Dowód. Korzystaj ¾ac z wzorów (77), (75) oraz z symetrii macierzy kowariancji, otrzymujemy Var R(u) = mx i;j=1 u i u j c ij = mx i=1 c ii u 2 m 1 i + 2 X i=1 mx j=i+1 u i u j c ij : (83) Dla i 6= j mamy ma podstawie (81) i (55) c ij = ij i j, natomiast dla i = j mamy c ii = Cov(R i ; R i ) = E h (R i i ) 2i = Var R i = 2 i : Podstawiaj ¾ac te równości do (83), otrzymujemy (82).

94 27 Ryzyko inwestowania w obligacje Ryzyko inwestowania w obligacje jest na ogó mniejsze ni z ryzyko inwestowania w akcje, ale mimo to nie nale zy go zaniedbywać. Ryzyko to pochodzi z kilku źróde i dlatego mo zemy mówić o kilku rodzajach ryzyka, które teraz kolejno omówimy Ryzyko niedotrzymania warunków Ryzyko niedotrzymania warunków (inaczej: ryzyko kredytowe) wyst ¾epuje wtedy, gdy emitent obligacji nie dotrzymuje warunków umowy, tzn. nie wyp aca odsetek lub nie wykupuje obligacji w terminie. Przyczyn ¾a mo ze być np. upad ość rmy. Jest to szczególny przypadek ryzyka kredytowego, które b ¾edzie omawiane w dalszej cz ¾eści wyk adu.

95 27.2 Ryzyko stopy procentowej Ryzyko stopy procentowej (inaczej: ryzyko zmiany ceny, ryzyko okresu posiadania lub ryzyko rynkowe) wyst ¾epuje wtedy, gdy posiadacz obligacji zamierza j ¾a sprzedać przed terminem wykupu. Cena typowej obligacji zmienia si ¾e przeciwnie do zmian stóp procentowych (rynkowych). Kiedy stopy te rosn ¾a, to cena obligacji spada i na odwrót. Jeśli inwestor jest zmuszony sprzedać obligacj ¾e przed dat ¾a wykupu, wzrost stóp spowoduje strat ¾e kapita ow ¾a, gdy z sprzeda on obligacje po cenie ni zszej od ceny nabycia. Wra zliwość ceny obligacji na zmiany stóp rynkowych zale zy od okresu do wykupu (im d u zszy, tym wi ¾eksza wra zliwość) i oprocentowania (im wy zsze, tym mniejsza wra zliwość).

96 27.3 Ryzyko reinwestowania Stopa zysku z obligacji R (patrz wzór (15)) obliczana jest przy za o zeniu, ze otrzymane odsetki s ¾a reinwestowane przy stopie procentowej równej R. Dodatkowy dochód z reinwestycji odsetek zale zy zarówno od poziomu stóp procentowych, jak i obranej przez inwestora strategii. Zmienność stopy reinwestycji powodowana uktuacjami rynkowych stóp procentowych zwana jest w aśnie ryzykiem reinwestowania. Ryzyko jest tym wy zsze, im d u zszy jest okres posiadania obligacji.

97 27.4 Ryzyko przedterminowego wykupu Ten rodzaj ryzyka wyst ¾epuje w przypadku obligacji z opcj ¾a wykupu na z ¾adanie, które daj ¾a emitentowi prawo z ¾adania wykupu przed ustalonym terminem. Emitent wykupuje obligacje z regu y wtedy, gdy spadn ¾a stopy procentowe (bo b ¾edzie móg po zyczyć taniej pieni ¾adze gdzie indziej), wi ¾ec inwestor nara za si ¾e na ryzyko reinwestycji, czyli b ¾edzie musia uzyskane pieni ¾adze zainwestować przy ni zszych stopach.

98 27.5 Ryzyko in acji W przypadku wzrostu stopy in acji wartość posiadanej obligacji mo ze znacznie spaść. Takie ryzyko istnieje przy obligacjach o sta ym oprocentowaniu eliminuje je indeksowanie (dostosowanie) obligacji do in acji b ¾adź rynkowych stóp procentowych, które rosn ¾a wraz z podwy zszaniem si ¾e in acji Ryzyko kursu walutowego Ryzyko to wyst ¾epuje w przypadku obligacji nominowanych w walutach obcych. Odsetki i kapita otrzymane z takich obligacji s ¾a obarczone du z ¾a niepewności ¾a, gdy z ich wartość zale zy od kursu walutowego, obowi ¾azuj ¾acego w momencie dokonywania p atności.

99 27.7 Ryzyko p ynności Ryzyko p ynności określa stopień trudności, z jak ¾a mo zemy sprzedać posiadane obligacje bez utraty wartości w stosunku do bie z ¾acej ceny rynkowej. Podstawow ¾a miar ¾a tego ryzyka jest rozpi ¾etość (spread) mi ¾edzy oferowanymi na rynku cenami kupna i sprzeda zy papierów wartościowych. Im wi ¾eksza rozpi ¾etość, tym wi ¾eksze ryzyko p ynności. Ryzyko p ynności nie wyst ¾epuje w przypadku inwestorów, którzy trzymaj ¾a obligacje do momentu wykupu.

100 27.8 Ryzyko zmienności Ryzyko zmienności oznacza stopień, w jakim zmiana zakresu wahań stóp procentowych mo ze mieć niekorzystny wp yw na cen ¾e obligacji. Dotyczy to g ównie obligacji z wbudowanymi opcjami dodatkowymi (im wy zsza oczekiwana zmienność stóp, tym wi ¾eksza wartość tych opcji). W przypadku obligacji z opcj ¾a wykupu na z ¾adanie, wzrost zmienności skutkuje spadkiem ceny obligacji, gdy z powoduje on wzrost wartości prawa do wykupu, które zosta o przekazane emitentowi przez inwestora.

101 28 Dystrybuanta zmiennej losowej Dystrybuant ¾a zmiennej losowej X :! R nazywamy funkcj ¾e F : R! [0; 1] określon ¾a wzorem F (t) := P (X t): (84) Stwierdzenie 8. Dystrybuanta F zmiennej losowej X ma nastepuj ¾ ace ¾ w asno sci: (a) F jest niemalejaca. ¾ (b) F jest prawostronnie ciag a. ¾ (c) lim t! 1 F (t) = 0, lim t!+1 F (t) = 1.

102 Zadanie 14. Udowodnić Stwierdzenie 8. Stwierdzenie 9. Je zeli funkcja F : R! [0; 1] spe nia warunki (a) (c) Stwierdzenia 8, to jest dystrybuanta¾ pewnej zmiennej losowej; jej rozk ad jest wyznaczony jednoznacznie. Zadanie 15. Udowodnić Stwierdzenie 9. Stwierdzenie 10. ka zdego t 2 R, Je zeli F jest dystrybuanta¾ zmiennej losowej X, to dla P (X < t) = F (t ) := lim s!t F (s): (85)

103 Dowód. Istnienie granicy lewostronnej F (t ) wynika z monotoniczności funkcji F. Korzystaj ¾ac ze znanej w asności, ze prawdopodobieństwo sumy wst ¾epuj ¾acego ci ¾agu zdarzeń jest równe granicy ich prawdopodobieństw, otrzymujemy P (X < t) = P 1[ n=1 = lim n!1 F t X t 1 n 1 n 1 A = lim n!1 P X t = F (t ): (86) Niech X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a n-wymiarow ¾a (wektorem losowym). Rozk ad prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest zde niowany ogólnie wzorem (25). Rozk ad ten nazywamy rozk adem ¾acznym wektora losowego X. Gdy znamy rozk ad ¾aczny, to znamy tak ze rozk ad ka zdej wspó rz ¾ednej: 1 n P (X j 2 B) = P (X 1 2 R; :::; X j 1 2 R; X j 2 B; X j+1 2 R; :::; X n 2 R): (87)

104 Rozk ady (87) nazywamy rozk adami brzegowymi wektora losowego X. Dystrybuant ¾a wektora losowego X nazywamy funkcj ¾e F : R n! [0; 1] określon ¾a wzorem F (t 1 ; :::; t n ) := P (X 1 t 1 ; :::; X n t n ): (88) Dystrybuantami brzegowymi F 1 ; :::; F n nazywamy dystrybuanty odpowiednio zmiennych losowych X 1 ; :::; X n.

105 29 Kwantyle Niech X :! R b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a i niech 2 (0; 1). Liczb ¾e q 2 R nazywamy -kwantylem zmiennej losowej X je zeli P (X < q) P (X q): (89) Przy pomocy dystrybuanty F zmiennej losowej X warunek (89) mo zna zapisać nast ¾epuj ¾aco: F (q ) F (q): (90)

106 Dolnym i górnym -kwantylem zmiennej losowej X nazywamy odpowiednio liczby q (X) i q + (X) określone wzorami: q (X) := inf fx 2 R : P (X x) g = sup fx 2 R : P (X x) < g ; (91) q + (X) := inf fx 2 R : P (X x) > g = sup fx 2 R : P (X x) g : (92) W dalszym ci ¾agu b ¾edziemy pomijać (X) przy symbolach kwantyli, jeśli nie b ¾edzie w ¾atpliwości, o jak ¾a zmienn ¾a losow ¾a chodzi. Uwaga. Drugie równości we wzorach (91) i (92) wynikaj ¾a z faktu, ze oba rozwa zane zbiory s ¾a niepuste i w sumie daj ¾a zbiór R.

107 Zadanie 16. Wykazać, ze dla ustalonej liczby 2 (0; 1), zbiór wszystkich - kwantyli zmiennej losowej X jest przedzia em domkni ¾etym [q ; q + ]. Przedzia ten sk ada si ¾e z jednego punktu dla wszystkich liczb poza zbiorem co najwy zej przeliczalnym. Zadanie 17. Wykazać, ze równość q = q + zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy P (X x) = dla co najwy zej jednej wartości x. W przypadku, gdy q < q +, mamy fx : P (X x) = g = ( [q ; q + ); gdy P (X = q + ) > 0; [q ; q + ]; gdy P (X = q + ) = 0: (93)

108 30 Transformata dystrybuantowa i jej w asności Niech (; F; P ) b ¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, X :! R zmienn ¾a losow ¾a o dystrybuancie F, zaś V :! (0; 1) zmienn ¾a losow ¾a o rozk adzie jednostajnym (V s U(0; 1)), niezale zn ¾a od X. De niujemy zmody kowan ¾a dystrybuant ¾e ^F : R 2! R wzorem ^F (x; ) := P (X < x) + P (X = x): (94) De niujemy tak ze (uogólnion ¾a) transformat ¾e dystrybuantow ¾a U :! R, b ¾ed ¾ac ¾a now ¾a zmienn ¾a losow ¾a, nast ¾epuj ¾aco: U := ^F (X; V ): (95) Zadanie 18. Wykazać, ze jeśli dystrybuanta F jest ci ¾ag a, to ^F (x; ) F (x) oraz U = F (X) s U(0; 1).

109 Uwaga. Ta ostatnia w asność zachodzi te z w ogólnym przypadku dla zmiennej losowej U określonej wzorem (95). Stwierdzenie 11. U = F (X ) + V (F (X) F (X )): (96) Dowód. Korzystaj ¾ac z (95) i (94), a nast ¾epnie z (85), otrzymujemy dla dowolnego! 2, U(!) = ^F (X(!); V (!)) = P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!)) = F (X(!) ) + V (!)[P (X X(!)) P (X < X(!))] = F (X(!) ) + V (!)[F (X(!)) F (X(!) )]: Uogólniona¾ funkcje¾ odwrotna¾ do dystrybuanty F de niujemy nast ¾epuj ¾aco: F (u) := inf fx 2 R : F (x) ug ; u 2 (0; 1): (97)

110 Dla 2 (0; 1) niech q (X) oznacza dolny -kwantyl zmiennej losowej X, tzn. q (X) := sup fx : P (X x) < g : (98) Stwierdzenie 12. Je zeli P (X = q (X)) = 0, to P (X q (X)) =. Dowód. Z za o zenia i z (85) mamy 0 = P (X = q (X)) = P (X q (X)) P (X < q (X)) = F (q (X)) F (q (X) ); (99) zatem dystrybuanta F jest lewostronnie ci ¾ag a w punkcie q (X). Z wzorów (84) i (98) wynika, ze q (X) = sup fx : F (x) < g : (100)

111 St ¾ad dla dowolnego t > q (X) mamy F (t), a zatem, na podstawie Stwierdzenia 8(b), F (q (X)) = F (q (X)+) : (101) Ponadto z de nicji kresu górnego i ze Stwierdzenia 8(a) wynika, ze F (s) < dla dowolnego s < q (X). St ¾ad i z lewostronnej ci ¾ag ości F w punkcie q (X) wynika, ze F (q (X)), co w po ¾aczeniu z (101) daje tez ¾e Stwierdzenia 12. Twierdzenie 5. Niech U bedzie ¾ transformata¾ dystrybuantowa¾ okre slona¾ wzorem (95). Wówczas (a) U s U(0; 1), (b) X = F (U) z prawdopodobieństwem 1.

112 31 Kopu y i twierdzenie Sklara De nicja. Funkcj ¾e C : [0; 1] n! [0; 1] nazywamy kopu ¾a, je zeli jest ona dystrybuant ¾a pewnego wektora losowego U = (U 1 ; :::; U n ) :! [0; 1] n takiego, ze zmienne losowe U i (i = 1; :::; n) maj ¾a rozk ad jednostajny. Kopu a spe nia zatem warunek C(u 1 ; :::; u n ) = P (U 1 u 1 ; :::; U n u n ): (102)

113 Stwierdzenie 13. Funkcja C : [0; 1] n! [0; 1] jest kopu ¾ a wtedy i tylko wtedy, gdy posiada nastepuj ¾ ace ¾ w asno sci: 1) C(u 1 ; :::; u n ) jest niemalejaca ¾ wzgledem ¾ ka zdej zmiennej u i ; 2) C(1; :::; 1; u i ; 1; :::; 1) = u i dla wszystkich i 2 f1; :::; ng, u i 2 [0; 1]; 3) Dla wszystkich (a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n ) 2 [0; 1] n takich, ze a i b i (i = 1; :::; n), zachodzi nierówno sć 2X i 1 =1 2X i n =1 gdzie u j;1 = a j, u j;2 = b j dla j 2 f1; :::; ng. ( 1) i 1+:::+i n C(u 1;i1 ; :::; u n;in ) 0; (103) Zadanie 19. Dla n = 2 udowodnić, ze ka zda kopu a spe nia warunki 1) 3) Stwierdzenia 13.

114 Warunek (103) dla n = 2 mo zna zapisać w postaci C(b 1 ; b 2 ) C(b 1 ; a 2 ) C(a 1 ; b 2 ) + C(a 1 ; a 2 ) 0: (104) Warunek ten oznacza, ze prawdopodobieństwo P (U i 2 [a i ; b i ], i = 1; 2) jest zawsze nieujemne, tzn. kopu a nie mo ze przypisywać ujemnej wartości prawdopodobieństwa zdarzeniu, ze wartości wektora losowego U le z ¾a w danym prostok ¾acie o bokach równoleg ych do osi wspó rz ¾ednych. Istotnie, mamy P (a 1 U 1 b 1 ; a 2 U 2 b 2 ) = P (U 1 b 1 ; U 2 b 2 ) P (U 1 b 1 ; U 2 a 2 ) P (U 1 a 1 ; U 2 b 2 ) + P (U 1 a 1 ; U 2 a 2 ) = C(b 1 ; b 2 ) C(b 1 ; a 2 ) C(a 1 ; b 2 ) + C(a 1 ; a 2 ); przy czym z ci ¾ag ości dystrybuanty rozk adu jednostajnego wynika, ze mo zemy wsz ¾edzie pisać nierówności.