w ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "w ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I"

Transkrypt

1 Prezentacja wspó nansowana przez Uni ¾e Europejsk ¾a w ramach Europejskiego Funduszu Spo ecznego Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I

2 1 Co to jest analiza portfelowa? Analiza portfelowa zajmuje si ¾e optymalnym inwestowaniem w papiery wartościowe, g ównie w akcje. Analiza portfelowa ¾aczy w sobie elementy nauki o nansach, ekonomii zarz ¾adzania i matematyki (teoria optymalizacji, teoria prawdopodobieństwa, metody numeryczne). Optymalizacji dokonuje si ¾e pod wzgl ¾edem dwóch kryteriów: zysku (maksymalizacja) i ryzyka (minimalizacja) jest to przyk ad optymalizacji wielokryterialnej (wektorowej). Portfel papierów wartościowych jest to zestaw papierów wartościowych, które posiada inwestor.

3 2 Historia analizy portfelowej Twórc ¾a analizy portfelowej by ekonomista amerykański Harry Markowitz. Rozwin ¾a on teori ¾e alokacji środków nansowych w warunkach niepewności, która zajmuje si ¾e optymalizowaniem inwestycji w zale zności od spodziewanego zysku i ryzyka. Pierwsz ¾a publikacj ¾a z tej dziedziny by a praca: H. Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1 (1952), W 1963 r. William Sharpe opublikowa teori ¾e modelu jednowskaźnikowego b ¾ed ¾ac ¾a uproszczeniem teorii Markowitza. W 1990 r. H. Markowitz, W. Sharpe i M. Miller otrzymali nagrod ¾e Nobla, g ównie za prace z analizy portfelowej.

4 3 Cele analizy portfelowej Określenie charakterystyk papierów wartościowych (g ównie dotycz ¾acych zysku i ryzyka). Określenie kryteriów wyznaczania optymalnego sk adu portfela papierów wartościowych (np. dobrze jest inwestować w akcje ró znych rm i to takie, które nie sa¾ dodatnio skorelowane, tzn. nie obserwuje sie¾ zgodnych wahań ich kursów). Ocena posiadanego przez inwestora portfela w celu ewentualnej zmiany jego sk adu. (Z regu y inwestor nie pozbywa sie¾ posiadanego portfela, lecz zamierza dalej inwestować. Jednak, poniewa z zmieniaja¾ sie¾ warunki rynkowe, portfel ten po pewnym czasie mo ze ju z nie być optymalny).

5 4 De nicje papieru wartościowego De nicja 1. Papier wartościowy (security) jest to dokument (instrument - nansowy) potwierdzaj ¾acy jedn ¾a z trzech sytuacji: nabycie prawa do wspó w asności rmy, udzielenie kredytu rz ¾adowi, rmie lub instytucji, uzyskanie prawa do otrzymania w przysz ości pewnej wartości (najcz ¾eściej w postaci innego papieru wartościowego).

6 De nicja 2. Papier wartościowy to dokument lub zapis w systemie informatycznym na rachunku papierów wartościowych, który ucieleśnia prawa maj ¾atkowe w taki sposób, ze dane uprawnienia przys uguj ¾a osobie wskazanej jako uprawniona w treści dokumentu (choćby jako okaziciel), a przed o zenie go jest warunkiem koniecznym i wystarczaj ¾acym dla realizacji uprawnienia. Ponadto, zniszczenie lub utrata dokumentu powoduje utrat ¾e uprawnień dopóki nie zostanie wydane postanowienie o umorzeniu dokumentu.

7 5 Rodzaje papierów wartościowych 5.1 Akcje Akcja (stock, share) jest to dokument świadcz ¾acy o udziale jego w aściciela w kapitale spó ki akcyjnej. Posiadanie akcji zapewnia: prawo do dywidend, prawo do uczestnictwa w walnym zgromadzeniu akcjonariuszy, prawo do udzia u w maj ¾atku spó ki w przypadku jej likwidacji.

8 Akcje dziel ¾a si ¾e na zwyk e i uprzywilejowane. Uprzywilejowanie mo ze dotyczyć: g osu na zebraniach akcjonariuszy, pierwszeństwa w wyp acaniu dywidendy, pierwszeństwa w podziale maj ¾atku spó ki w przypadku jej likwidacji.

9 5.2 Obligacje Obligacja (bond) jest to papier wartościowy potwierdzaj ¾acy nabycie przez jego posiadacza prawa do otrzymania w określonym terminie sumy pieni ¾edzy określonej w obligacji oraz ewentualnie odsetek Obligacja zamienna daje jej nabywcy prawo do wymiany na inne papiery wartościowe danego emitenta w przysz ości i na z góry określonych warunkach.

10 Podzia obligacji ze wzgl ¾edu na okres do wykupu: krótkoterminowe (1-5 lat), średnioterminowe (5-12 lat), d ugoterminowe (powy zej 12 lat).

11 Podzia obligacji ze wzgl ¾edu na oprocentowanie: o sta ym oprocentowaniu, o zmiennym oprocentowaniu (mo ze być ustalane na pocz ¾atku lub na końcu okresu oprocentowania), zerokuponowe (bezodsetkowe) brak odsetek jest rekompensowany sprzeda z ¾a obligacji po cenie ni zszej od wartości nominalnej.

12 5.3 Prawa poboru i prawa do akcji Prawo poboru nowych akcji (PPA) ma zastosowanie w przypadku nowej emisji akcji przez spó k ¾e; oznacza przys uguj ¾ace dotychczasowym akcjonariuszom prawo pierwszeństwa do obj ¾ecia nowych akcji, które mo ze być przedmiotem obrotu gie dowego. Prawo do akcji (PDA) instrument nansowy umo zliwiaj ¾acy nabywcom akcji nowej emisji ich odsprzedanie, zanim zostan ¾a wprowadzone do obrotu gie dowego.

13 5.4 Warranty subskrypcyjne Warrant subskrypcyjny jest to dokument (certy kat), cz ¾esto do ¾aczony do akcji lub obligacji, daj ¾acy posiadaczowi ograniczone lub nieustaj ¾ace prawo kupna papierów wartościowych lub innych aktywów po ustalonej cenie lub prawo do subskrypcji przysz ych emisji obligacji tego samego emitenta.

14 5.5 Kwity depozytowe Kwit depozytowy jest to papier wartościowy wystawiony poza granicami kraju, dokumentuj ¾acy prawo w asności akcji spó ki zagranicznej. 5.6 Listy zastawne Listy zastawne s ¾a to d u zne papiery wartościowe, których podstaw ¾a s ¾a wierzytelności banków hipotecznych zabezpieczone hipotekami lub gwarancj ¾a określonych instytucji (m.in. Skarb Państwa i NBP). Emitent listów bank hipoteczny, zobowi ¾azuje si ¾e wobec ich posiadacza do spe nienia określonego świadczenia pieni ¾e znego wyp aty odsetek i wykupienia samego listu w sposób i w terminach określonych w warunkach emisji.

15 5.7 Certy katy inwestycyjne Certy kat inwestycyjny jest to papier wartościowy emitowany przez zamkni ¾ety fundusz inwestycyjny. Jest on papierem wartościowym na okaziciela, dlatego mo ze być notowany na gie dzie.

16 5.8 Pochodne papiery wartościowe (instrumenty pochodne) Instrument pochodny (derivative) jest to kontrakt nansowy, którego rozliczenie zale zy od innego instrumentu zwanego bazowym (np. akcji, indeksu, obligacji, stopy procentowej). G ówne rodzaje instrumentów pochodnych to: opcje (kupna lub sprzeda zy), kontrakty futures i forward. UWAGA. W niniejszym wyk adzie nie b ¾edziemy zajmować si ¾e instrumentami pochodnymi. B ¾edziemy rozwa zać g ównie akcje i obligacje.

17 6 Stopa zysku z inwestycji Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawow ¾a miar ¾a określaj ¾ac ¾a efektywność inwestycji, w szczególności inwestycji w papiery wartościowe. Określamy j ¾a wzorem gdzie: K p R := K k ; (1) K p K p > 0 kapita pocz ¾atkowy (zainwestowany na pocz ¾atku procesu inwestycji), K k kapita końcowy (posiadany na końcu inwestycji). Stop ¾e zysku R podaje si ¾e zwykle w procentach.

18 Przekszta caj ¾ac wzór (1), otrzymujemy wzór na kapita końcowy: K k = K p (1 + R): (2) Stwierdzenie 1. Dany jest skończony ciag ¾ inwestycji nansowych w przedzia- ach czasowych [t i 1 ; t i ], i = 1; ::; n, gdzie t 0 < t 1 < ::: < t n. Za ó zmy, ze kapita końcowy dla poprzedniego okresu jest kapita em poczatkowym ¾ dla nastepnego ¾ okresu. Je zeli R i jest stopa¾ zysku dla okresu [t i 1 ; t i ], to stopa zysku dla okresu [t 0 ; t n ] wynosi R = ny i=1 (1 + R i ) 1: (3) Dowód. Oznaczmy przez K i kapita posiadany w momencie t i, i = 0; 1; :::; n. Zgodnie z (2) K i = K i 1 (1 + R i ), i = 1; :::; n:

19 Zatem K 1 = K 0 (1 + R 1 ); K 2 = K 1 (1 + R 2 ) = K 0 (1 + R 1 )(1 + R 2 ); ::: K n = K 0 n Y i=1 (1 + R i ): (4) Poniewa z K n jest kapita em końcowym dla ca ego procesu inwestycji, wi ¾ec musi spe niać warunek (2), czyli K n = K 0 (1 + R): (5) Porównuj ¾ac wzory (4) i (5), otrzymujemy (3).

20 Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 za ó zmy dodatkowo, ze 1 + R i > 0. Liczb ¾e v uut Y n R := n (1 + R i ) 1 (6) i=1 nazywamy średni ¾a geometryczn ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji n- okresowej o stopach zysku R i, i = 1; :::; n. Sens liczby R jest nast ¾epuj ¾acy: jest ona taka, ze inwestycja n-okresowa o równych stopach zysku w poszczególnych okresach, wynosz ¾acych R, daje stop ¾e zysku R określon ¾a wzorem (3). Istotnie, stosuj ¾ac Stwierdzenie 1 do powy zszej sytuacji, otrzymamy R = ny i=1 (1 + R) 1 = (1 + R) n 1 = ny i=1 (1 + R i ) 1:

21 Stwierdzenie 2. Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 i warunku 1 + R i > 0 zachodzi nierówno sć R 1 n nx i=1 R i ; (7) tzn. srednia geometryczna stopa zysku nie przekracza sredniej arytmetycznej stóp zysku z poszczególnych okresów. Dowód. Stosujemy znan ¾a nierówność pomi ¾edzy średni ¾a geometryczn ¾a i arytmetyczn ¾a liczb dodatnich a 1 ; :::; a n : v u u Y t n n i=1 a i 1 n nx a i i=1 (równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby a i s ¾a równe).

22 Niech a i := 1 + R i, wówczas v uut Y n R = n i=1(1 + R i ) 1 1 n 0 = + n 1 nx R i A i=1 1 = 1 n nx i=1 nx (1 + R i ) 1 i=1 R i :

23 7 Zasada obliczania procentu sk adanego Szczególnym przypadkiem wzoru (4) jest zasada obliczania procentu sk adanego. Dotyczy ona np. oprocentowanych lokat bankowych, w których jest sta a stopa procentowa, a odsetki s ¾a kapitalizowane po up ywie ka zdego roku: gdzie: K n = K 0 (1 + R) n ; (8) R stopa procentowa (b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku dla ka zdego roku), K 0 kapita pocz ¾atkowy, K n kapita po n latach (wartość przysz a sumy K 0 po n latach).

24 W przypadku, gdy odsetki s ¾a dodawane do kapita u m razy w ci ¾agu roku (przy tej samej rocznej stopie procentowej R), mamy nast ¾epuj ¾acy wzór na wartość przysz ¾a sumy K 0 po n latach: K n = K R m mn : (9) Wzór (9) przybiera konkretne postacie w zale zności od cz ¾estości kapitalizacji odsetek: kwartalna: K n = K R 4 4n miesi ¾eczna: K n = K R 12 12n dzienna: K n = K R n

25 hipotetyczna ci ¾ag a : K n = K 0 lim m! R mn m! 3 m=r Rn = K 0 lim m!1 m=r = K 0 lim x Rn = K x!1 0 e x Rn ; gdzie e 2; 7183 podstawa logarytmu naturalnego. Uwaga: wzrost cz ¾estości kapitalizacji odsetek ma niewielki wp yw na wzrost wartości przysz ej kapita u.

26 8 Zasada dyskonta Zasada dyskonta jest to zasada procentu sk adanego przedstawiona w odwrotnej postaci. Przekszta caj ¾ac wzór (7), otrzymujemy K 0 = K n (1 + R) n; (10) gdzie K 0 nazywamy wartości ¾a bie z ¾ac ¾a sumy pieni ¾edzy K n uzyskiwanej w przysz ości (inaczej: wartości ¾a zdyskontowan ¾a na okres bie z ¾acy). Stop ¾e procentow ¾a R nazywamy tu stop ¾a dyskontow ¾a. Interpretacja: wartość bie z ¾aca K 0 wskazuje, jak ¾a sum ¾e nale zy zainwestować na n lat, przy za o zeniu stopy procentowej R oraz rocznej kapitalizacji odsetek, aby otrzymać sum ¾e równ ¾a K n.

27 9 Efektywna stopa procentowa W celu wyrównania efektu śródrocznej kapitalizacji odsetek (m razy w ci ¾agu roku) nale zy powi ¾ekszyć stop ¾e procentow ¾a R wyst ¾epuj ¾ac ¾a w (9) do wartości zwanej efektywn ¾a stop ¾a procentow ¾a, oznaczanej R ef. Zatem efektywna stopa procentowa spe nia równanie K 0 (1 + R ef ) n = K m R mn : St ¾ad wynika, ze R ef = 1 + R m m 1: (11)

28 10 Renta p atna z do u Rozwa zamy sytuacj ¾e, gdy pod koniec okresu (np. roku) p acona jest sta a suma pieni ¾e zna, przy czym po zap aceniu jej wartość jest kapitalizowana. Tak ¾a sta ¾a p atność nazywamy rent ¾a p atn ¾a z do u (annuity-immediate). Wartość przysz a takiej renty po n okresach dana jest wzorem P n = P nx i=1 (1 + R) i 1 ; (12) gdzie R > 0 jest stop ¾a procentow ¾a obowi ¾azuj ¾ac ¾a w pojedynczym okresie. Wartość przysz a P n jest sum ¾a wartości przysz ych kolejnych wp at zapisanych w odwrotnej kolejności, np. ostatni sk adnik sumy: P (1 + R) n 1 dotyczy pierwszej wp aty, która w pierwszym okresie nie daje odsetek.

29 W celu uproszczenia wzoru (12), skorzystamy ze wzoru na sum ¾e cz ¾eściow ¾a sze-regu geometrycznego o wyrazie pocz ¾atkowym a 2 R i ilorazie q 6= 1: nx i=1 aq i 1 = a(1 qn ) : (13) 1 q Przekszta caj ¾ac (12) zgodnie z (13) przy a = 1 i q = 1 + R, otrzymujemy P n = P 1 (1 + R)n 1 (1 + R) = P R [(1 + R)n 1]: (14) Wartość bie z ¾aca renty p atnej z do u jest dana wzorem (wynikaj ¾acym z poprzedniego) P = P n R (1 + R) n 1 : (15)

30 11 Renta p atna z góry Rozwa zamy sytuacj ¾e podobn ¾a do poprzedniej, z t ¾a ró znic ¾a, ze sta a kwota p acona jest na pocz ¾atku ka zdego okresu (i w tym momencie jest kapitalizowana). Tak ¾a sta ¾a p atność nazywamy rent ¾a p atn ¾a z góry (annuity-due). Wzór na wartość przysz ¾a po n latach ma teraz postać P n = P nx i=1 (1 + R) i : (16) W celu jego uproszczenia korzystamy z (13) przy a = q = 1 + R: P n = P (1 + R) 1 (1 + R)n 1 (1 + R) = P R (1 + R)[(1 + R)n 1]: (17) Wartość bie z ¾aca renty p atnej z góry jest dana wzorem P = P n R (1 + R)[(1 + R) n 1] : (18)

31 12 Określanie wartości papierów wartościowych Za ó zmy najpierw, ze inwestor zatrzyma papier wartościowy przez rok. Oznaczmy: P wartość papieru wartościowego w momencie zakupu, czyli kapita (pocz ¾atkowy) zainwestowany w zakup. Oznaczmy t ¾e wartość. C wp ywy gotówkowe z tytu u posiadania papieru wartościowego (zak adamy dla uproszczenia, ze uzyskiwane s ¾a dok adnie po up ywie roku), R stopa zysku papieru wartościowego.

32 Ze wzoru (2) wynika, ze C = P (1 + R), czyli P = C 1 + R : (19) Interpretacja: wartość papieru wartościowego jest to zdyskontowany przychód z tytu u posiadania papieru wartościowego, przy czym stop ¾a dyskontow ¾a jest stopa zysku.

33 Uogólnienie. Rozwa zamy papier wartościowy, z tytu u którego otrzymujemy wp ywy przez n kolejnych okresów. Uogólniaj ¾ac wzór (19), otrzymujemy gdzie: P = nx i=1 C i (1 + R) i; (20) P wartość papieru wartościowego, C i dochód z tytu u posiadania papieru wartościowego, uzyskany w i-tym okresie, R stopa dyskontowa, b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku osi ¾aganego w pojedynczym okresie.

34 De nicja. Wartość papieru wartościowego jest to suma zdyskontowanych na okres bie z ¾acy wp ywów uzyskiwanych z tytu u posiadania tego papieru wartościowego, przy czym stopa dyskontowa jest równa jego stopie zysku. Sposoby korzystania ze wzoru (20): 1. Jeśli stopa zysku R jest znana (na podstawie stóp zysku papierów wartościowych podobnego typu), to mo zna porównać wartość P z cen ¾a rynkow ¾a papieru wartościowego w celu podj ¾ecia decyzji co do zakupu (zakup jest op acalny, jeśli cena nie przekracza P ). 2. Mo zna przyj ¾ać jako P cen ¾e rynkow ¾a papieru wartościowego i rozwi ¾azać równanie (20) wzgl ¾edem R w celu wyznaczenia stopy zysku. Wymaga to stosowania metod przybli zonych. Znaj ¾ac R, mo zna podj ¾ać decyzj ¾e o zakupie (np. porównuj ¾ac R ze stop ¾a zysku, czyli oprocentowaniem, lokat bankowych).

35 13 Określanie wartości obligacji o sta ym oprocentowaniu Rozwa zmy obligacj ¾e z n-letnim terminem wykupu, o wartości nominalnej M. Za ó zmy, ze odsetki p acone po up ywie ka zdego roku wynosz ¾a C. Zatem oprocentowanie obligacji wynosi C=M. Stosuj ¾ac (20), otrzymujemy wzór na wartość obligacji: gdzie P = nx i=1 C (1 + R) i + M (1 + R) n; (21) P ni=1 C (1+R) i zdyskontowany przychód z odsetek, M (1+R) n zdyskontowany przychód z wykupu obligacji.

36 W (21) wyst ¾epuj ¾a dwie ró zne stopy procentowe: 1. C=M stopa procentowa określaj ¾aca oprocentowanie odsetek od obligacji (jest sta a i znana w momencie zakupu). 2. R stopa dyskontowa b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku obligacji (zwana tak ze stop ¾a rentowności). Wartość R jest zmienna w czasie, gdy z zale zy od ceny rynkowej. W praktyce P jest cen ¾a rynkow ¾a i jest znana, a nieznana jest stopa zysku R.

37 14 Określanie wartości akcji zwyk ych Zysk z tytu u posiadania akcji pochodzi z dwóch źróde : 1. z dywidendy p aconej w danym okresie, 2. z przyrostu kapita u w danym okresie (wynikaj ¾acego z przyrostu ceny akcji). Za ó zmy najpierw, ze posiadacz akcji sprzeda j ¾a po up ywie n lat. Wówczas z (20) otrzymujemy P = nx i=1 D i (1 + R) i + P n (1 + R) n; (22)

38 gdzie P wartość akcji w chwili obecnej, P n wartość akcji po n latach, D i dywidenda wyp acona w i-tym roku (dla uproszczenia zak adamy, ze jest wyp acana z końcem roku), R stopa zysku akcji, b ¾ed ¾aca stop ¾a dyskontow ¾a, P ni=1 D i (1+R) i zdyskontowany przychód z dywidend, P n (1+R) n zdyskontowany przychód ze sprzeda zy akcji.

39 Za ó zmy teraz, ze nabywca akcji b ¾edzie j ¾a zawsze posiada. Wówczas znika ostatni sk adnik po prawej stronie (22), a zamiast skończonej sumy rozwa zamy jej wartość graniczn ¾a (o ile istnieje): P = lim n!1 nx i=1 D i (1 + R) i = 1 X i=1 Wzór (23) nazywamy modelem zdyskontowanych dywidend. D i (1 + R) i: (23) Uwagi. 1) Zbie zność szeregu w (23) ma miejsce np. wtedy, gdy istnieje taka sta a A > 0, ze D i D 1 A i 1, i = 2; 3; ::: oraz < 1. Wówczas lim n!1 nx i=1 D i (1 + R) i lim n!1 D 1 nx i=1 A 1+R A i 1 (1 + R) i = D 1 1X i=1 A i 1 (1 + R) i; gdzie szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie (0; 1), a wi ¾ec zbie znym. A 1+R 2

40 2) We wzorze (23) wyd u zenie horyzontu czasowego inwestowania do nieskończoności (co jest oczywiście jedynie przybli zeniem rzeczywistej sytuacji) powoduje, ze nie rozpatrujemy przyrostu kapita u z powodu zmian cen akcji. Nie ma on znaczenia, gdy nieplanuje si ¾e sprzeda zy akcji. Jedynym źród em dochodu z akcji staje si ¾e dywidenda. Praktyczne zastosowanie wzoru (23). Dla wykorzystania tego wzoru niezb ¾edna jest znajomość dywidend otrzymywanych w przysz ości z tytu u posiadania akcji. Na podstawie badań empirycznych zosta y zaproponowane ró zne modele kszta towania si ¾e wartości dywidend.

41 14.1 Model sta ej wartości dywidendy Zak ada si ¾e, ze rma nie rozwija si ¾e, osi ¾aga sta ¾a (w przybli zeniu) wartość dochodów, a zatem wyp aca sta ¾a dywidend ¾e. Dla wyprowadzenia wzoru na wartość akcji w tym przypadku, skorzystamy ze wzoru na sum ¾e nieskończonego szeregu geometrycznego o wyrazie pocz ¾atkowym a 2 R i ilorazie q 2 ( 1; 1): 1X i=1 aq i 1 = a 1 q : (24) Podstawiaj ¾ac sta ¾a wartość D zamiast D i do (23), a nast ¾epnie stosuj ¾ac (24) dla a = q = 1 1+R, otrzymamy P = D 1X i=1 1 (1 + R) i = D 1 W tym modelu stopa zysku akcji R = D P 1 1+R 1 1+R = D 1 1+R R 1+R = D R : (25) jest sta a i równa stopie dywidendy.

42 14.2 Model sta ego wzrostu dywidendy (model Gordona Shapiro) Zak ada si ¾e, ze rma rozwija si ¾e w sta ym tempie, a zatem wyst ¾epuje sta e roczne tempo (stopa) wzrostu dywidendy, które oznaczamy g, przy czym 0 < g < R. Jeśli wi ¾ec przez D 1 oznaczymy dywidend ¾e p acon ¾a w pierwszym roku, to dywidenda p acona w i-tym roku wyra za si ¾e wzorem D i = D 1 (1 + g) i 1 : Uwzgl ¾edniaj ¾ac powy zsze w (23), a nast ¾epnie stosuj ¾ac (24) dla a = 1 1+R i q = 1+g 1+R, otrzymamy P = D 1 1 X i=1 (1 + g) i 1 (1 + R) i = D R 1+g 1+R 1+R R g 1+R = D 1 1 = D 1 R g : (26)

43 Jeśli chcemy wyznaczyć stop ¾e zysku akcji, to przekszta camy (26) do postaci R = D 1 P + g: Zatem stopa zysku akcji jest sum ¾a bie z ¾acej stopy dywidendy D 1 =P i tempa wzrostu dywidendy g. W praktyce g wyznacza si ¾e na podstawie danych z przesz ości, korzystaj ¾ac ze wzoru gdzie: g = r t r e ; r t wspó czynnik zatrzymania, tj. udzia zysku zatrzymanego (nie wyp aconego w formie dywidendy, a wi ¾ec przeznaczonego na rozwój) w ca ości zysku rmy, r e stopa zwrotu z zatrzymanych dochodów (mo zna j ¾a oszacować jako przeci ¾etn ¾a stop ¾e zwrotu z inwestycji dokonanych przez rm ¾e w przesz ości).

44 14.3 Model dwóch faz Model ten wynika z obserwacji, ze wiele rm w pocz ¾atkowym okresie istnienia rozwija si ¾e szybko, a po osi ¾agni ¾eciu dojrza ości rozwój jest wolniejszy. Zak ada si ¾e, ze: 1. przez N lat dywidenda rośnie w tempie g 1, 2. nast ¾epnie dywidenda rośnie zawsze w tempie g 2, gdzie g 2 < g 1.

45 14.4 Model trzech faz W modelu tym wyst ¾epuj ¾a nast ¾epuj ¾ace fazy rozwoju rmy: 1. wzrost dywidendy w sta ym tempie g 1 przez N 1 lat, 2. wzrost dywidendy w zmiennym (malej ¾acym) tempie g 2 przez N 2 lat, 3. wzrost dywidendy w sta ym tempie g 3 przez N 3 lat, przy czym g 3 < g 2 < g 1.

46 15 Przestrzeń probabilistyczna Niech b ¾edzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nale z ¾acym do tzw. klasy zdarzeń F, gdzie F 2. Zak adamy, ze F jest -cia em podzbiorów, tzn. spe nia nast ¾epuj ¾ace warunki: S1. F 6= ;. S2. Je zeli A 2 F, to na 2 F. S3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; :::, to S 1 i=1 A i 2 F. Z powy zszych warunków wynka, ze do F nale z ¾a zdarzenia: (zdarzenie pewne) i ; (zdarzenie niemo zliwe).

47 Najmniejsze -cia o zawieraj ¾ace wszystkie zbiory otwarte w R n nazywamy - cia em zbiorów borelowskich w R n i oznaczamy B(R n ). Prawdopodobieństwem nazywamy dowoln ¾a funkcj ¾e P : F! R spe niaj ¾ac ¾a warunki: A1. P (A) 0 dla ka zdego A 2 F, A2. P () = 1, A3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz A i \ A j = ; dla i 6= j, to P 0 1 1[ A i A = i=1 i=1 P (A i ):

48 Przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a nazywamy trójk ¾e (; F; P ), gdzie jest dowolnym zbiorem, F jest -cia em podzbiorów, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F. W asności prawdopodobieństwa. Je zeli (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a i zbiory A; B; A 1 ; :::; A n nale z ¾a do F, to spe nione s ¾a poni zsze warunki: W1. P (;) = 0. W2. Je zeli A i \ A j = ; dla i 6= j, to P S ni=1 A i = P ni=1 P (A i ). W3. P (na) = 1 P (A). W4. Je zeli A B, to P (BnA) = P (B) P (A).

49 W5. Je zeli A B, to P (A) P (B). W6. P (A) 1. W7. P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B). Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to z równości = [ f!g oraz z warunków A2 i W2 wynika, ze X!2 P (f!g) = P [!2 1 f!ga = P () = 1: (27)

50 16 Zmienne losowe Niech (; F; P ) b ¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Zmienn ¾a losow ¾a (wektorem losowym) o wartościach w R n nazywamy odwzorowanie X :! R n takie, ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w R n zbiór X 1 (A) nale zy do F. Mo zna wykazać, ze X jest zmienn ¾a losow ¾a wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka zdego uk adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy X 1 (( 1; 1 ] ::: ( 1; n ]) 2 F: Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to ka zda funkcja X :! R n jest zmienn ¾a losow ¾a.

51 Rozk adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :! R n nazywamy funkcj ¾e P X : B(R n )! R dan ¾a wzorem P X (B) := P (X 1 (B)) dla B 2 B(R n ): (28) Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozk ad dyskretny, je zeli istnieje taki zbiór przeliczalny S R n, ze P X (S) = 1. Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to mo zna przyj ¾ać S := X() (zbiór skończony) i wtedy P X (S) = P X (X()) = P (X 1 (X())) = P () = 1: Zatem ka zda zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk ad dyskretny.

52 16.1 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk adzie dyskretnym Wartości ¾a oczekiwan ¾a (lub średni ¾a) zmiennej losowej X :! R o rozk adzie dyskretnym, przyjmuj ¾acej skończenie wiele wartości, nazywamy liczb ¾e EX := X i2i x i P (X = x i ); (29) gdzie X() = fx i g i2i, I skończony zbiór indeksów, a P (X = x i ) jest skróconym zapisem wyra zenia P (f! 2 : X(!) = x i g). Wartości ¾a oczekiwan ¾a wektora losowego X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n, gdzie wszystkie zmienne losowe X i przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości, nazywamy wektor EX := (EX 1 ; :::; EX n ): (30)

53 16.2 Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku ogólnym W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :! R mówimy, ze ma ona wartość oczekiwan ¾a, je zeli jest ca kowalna, tzn. Z jxj dp < 1: Wówczas wartości ¾a oczekiwan ¾a zmiennej losowej X nazywamy liczb ¾e EX := Z XdP: (31) De nicja (31) jest uogólnieniem de nicji (29). W ogólnym przypadku do zde niowania wartości oczekiwanej wektora losowego u zywamy wzoru (30) przy za- o zeniu, ze wszystkie wspó rz ¾edne maj ¾a wartość oczekiwan ¾a.

54 Ze wzoru (30) i z podstawowych w asności ca ki wynika nast ¾epuj ¾ace twierdzenie. Twierdzenie 1. Niech X i Y bed ¾ a¾ zmiennymi losowymi na o warto sciach w R. Za ó zmy, ze istnieja¾ warto sci oczekiwane EX i EY. Wówczas: (a) Je sli X 0, to EX 0. (b) jexj E jxj. (c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto sć oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey. (32)

55 17 Prognozowanie stopy zysku z inwestycji 17.1 Metoda 1 na podstawie danych z przesz ości W metodzie tej wykorzystuje si ¾e dane z pewnej ilości okresów poprzedzaj ¾acych okres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest określona wzorem R i = P i P i 1 + D i P i 1 ; (33) gdzie P i, P i 1 oznaczaj ¾a wartości akcji odpowiednio w okresach i, i 1, a D i dywidend ¾e wyp acan ¾a w okresie i.

56 Wzór (33) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (1), gdzie kapita pocz ¾atkowy K p przyjmujemy jako równy P i 1, a kapita końcowy K k jako równy P i + D i. Jeśli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prognozowania stopy zysku w nadchodz ¾acym okresie (o tej samej d ugości) mo zemy u zyć średniej arytmetycznej R = 1 n nx i=1 albo średniej geometrycznej określonej wzorem (6). R i (34)

57 17.2 Metoda 2 wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku Korzystaj ¾ac z analiz ekspertów dotycz ¾acych sytuacji danej rmy oraz ca ej gospodarki, mo zna próbować ocenić mo zliwe stopy zysku w ró znych sytuacjach oraz prawdopodobieństwa ich wyst ¾apienia. Wówczas do prognozowania przysz ej stopy zysku u zywamy oczekiwanej stopy zysku. Metod ¾e t ¾e nazywamy prognozowaniem ekspertowym. Oczekiwan ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczb ¾e ER := nx i=1 p i R i ; (35) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n liczba mo zliwych ró znych scenariuszy rozwoju.

58 18 Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej Niech X :! R b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a. Jeśli E h (X EX) 2i < 1, to t ¾e liczb ¾e nazywamy wariancj ¾a zmiennej losowej X i oznaczamy Var X = D 2 X := E h (X EX) 2i : (36) Wariancj ¾e mo zna inaczej zapisać nast ¾epuj ¾aco: Var X = E(X 2 ) (EX) 2 : (37) Dowód (37). Var X := E[(X EX) 2 ] = E[X 2 2XEX + (EX) 2 ] = E(X 2 ) (EX) 2.

59 Ze wzorów (36) i (29) wynika, ze jeśli X przyjmuje skończon ¾a ilość wartości x i, i 2 I, to Var X = X i2i P (X = x i )(x i EX) 2 : (38) W asności wariancji. Jeśli X jest zmienn ¾a losow ¾a, dla której E(X 2 ) < 1, to istnieje Var X i spe nia warunki (a) Var X 0. (b) Var(X) = 2 Var X (c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R). ( 2 R). (d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta a z prawdopodobieństwem 1.

60 Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek z wariancji: X = DX = p Var X: (39) 19 Ryzyko papieru wartościowego Ryzyko w analizie portfelowej oznacza niepewność wyst ¾apienia oczekiwanej sytuacji w procesie inwestowania. Określa ono tak ze skal ¾e zró znicowania (rozproszenia) prognozy lub danych historycznych. Miarami ryzyka zwi ¾azanego z inwestowaniem w papiery wartościowe s ¾a wariancja i odchylenie standardowe papieru wartościowego.

61 19.1 Prognozowanie ekspertowe W przypadku prognozowania ekspertowego wariancj ¾e papieru wartościowego de niujemy nast ¾epuj ¾aco: V := nx i=1 p i (R i ER) 2 ; (40) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, ER oczekiwana stopa zysku z inwestycji, dana wzorem (35). Im mniejsza wartość V, tym mniejsze ryzyko osi ¾agni ¾ecia oczekiwanej stopy zysku. Najmniejsz ¾a mo zliw ¾a do osi ¾agni ¾ecia wartości ¾a jest 0. Wyst ¾epuje ona wtedy, gdy wszystkie mo zliwe scenariusze rozwoju charakteryzuj ¾a si ¾e jednakow ¾a stop ¾a zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta ym oprocentowaniu.

62 19.2 Prognozowanie ryzyka na podstawie wartości historycznych stóp zysku Zak ada si ¾e, ze rozk ad przysz ych stóp zysku b ¾edzie si ¾e charakteryzowa takim samym ryzykiem, jakie wyst ¾epowa o w dotychczasowych notowaniach. Wariancj ¾e dotychczasowych stóp zysku oblicza si ¾e wed ug wzoru V := 1 n nx i=1 (R i R) 2 ; (41) gdzie n liczba okresów, z których pochodz ¾a dane, R i stopy zysku uzyskane w kolejnych okresach, R średnia historyczna stopa zysku, dana wzorem (34). Poniewa z nie s ¾a określone prawdopodobieństwa wyst ¾apienia poszczególnych stóp zysku R i, przyjmuje si ¾e, ze s ¾a one jednakowe i wynosz ¾a 1=n. Wówczas ER = R zgodnie z wzorem (35), a zatem (41) jest szczególnym przypadkiem (40), gdzie p i = 1=n dla i = 1; :::; m.

63 W przypadku ma ej liczby danych (n 30) do prognozowania wariancji stopy zysku stosuje si ¾e wyra zenie ^V := 1 n 1 nx i=1 (R i R) 2 : (42) Sens u zycia tego wzoru wynika z faktu, ze ^V jest tzw. estymatorem nieobcia zonym ¾ wariancji, co wyjaśnimy dok adniej w dalszej cz ¾eści wyk adu. W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy zysku przyjmujemy pierwiastek z odpowiedniego wyra zenia, tzn. p V lub p ^V.

64 20 Niezale zność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1 ; :::; X n o wartościach w R, określone na zbiorze, gdzie (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, nazywamy niezale znymi, je zeli dla dowolnych zbiorów B 1 ; :::; B n 2 B(R) zachodzi równość P (X 1 2 B 1 ; :::; X n 2 B n ) = P (X 1 2 B 1 ) ::: P (X n 2 B n ): (43) W powy zszym wzorze wyra zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra zenia P f! 2 : X 1 (!) 2 B 1 ^ ::: ^ X n (!) 2 B n g; podobna uwaga dotyczy wyra zeń po prawej stronie.

65 Twierdzenie 2. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n sa¾ niezale zne i maja¾ warto sć oczekiwana, ¾ to istnieje warto sć oczekiwana iloczynu Q n i=1 X i i zachodzi równo sć E 0 1 ny X i A = i=1 i=1 EX i : (44) Dowód przeprowadzimy dla przypadku dwóch zmiennych losowych X, Y przyjmuj ¾acych skończenie wiele wartości. Za ó zmy, ze X() = fx i g i2i, Y () = fy j g j2j, gdzie I, J skończone zbiory indeksów. Poniewa z zbiory jednoelementowe fx i g i fy j g s ¾a borelowskie, wi ¾ec z (43) otrzymujemy P (X = x i ; Y = y j ) = P (X = x i )P (Y = y j ) (i 2 I, j 2 J).

66 St ¾ad na podstawie (29) X j2j = X X i2i j2j 0 E(XY ) = X i2i = x i y j P (X = x i ; Y = y j ) x i y j P (X = x i )P (Y = y j X i2i x i P (X = x i ) X y j P (Y = y j ) A = EX EY. j2j

67 Twierdzenie 3. Przy za o zeniach Twierdzenia 2 zachodzi równo sć Var 0 1 X i A = i=1 nx i=1 Var X i : (45) Dowód (dla dwóch zmiennych losowych X, Y ). Korzystaj ¾ac kolejno ze wzorów (37), (32), (44) i ponownie z (37), otrzymujemy Var(X + Y ) = E h (X + Y ) 2i [E (X + Y )] 2 = E X 2 + 2XY + Y 2 [EX + EY ] 2 = E(X 2 ) + 2E (XY ) + E(Y 2 ) (EX) 2 2EX EY (EY ) 2 = E(X 2 ) (EX) 2 + E(Y 2 ) (EY ) 2 = Var X + Var Y.

68 21 Kowariancja i wspó czynnik korelacji zmiennych losowych Kowariancj ¾a ca kowalnych zmiennych losowych X i Y, spe niaj ¾acych warunek E jxy j < 1, nazywamy liczb ¾e Cov(X; Y ) := E [(X EX) (Y EY )] : (46) Z powy zszej de nicji i z Twierdzenia 1(c) otrzymujemy Cov(X; Y ) = E [XY (EX)Y X(EY ) + EX EY ] = E(XY ) 2EX EY + E(EX EY ) = E(XY ) EX EY; (47) gdzie ostatnia równość wynika z faktu, ze wartość oczekiwana zmiennej losowej o sta ej wartości jest równa tej sta ej.

69 Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi; w przeciwnym przypadku skorelowanymi. Korzystaj ¾ac z nierówności Schwarza dla ca ek, mo zna wykazać nast ¾epuj ¾ac ¾a nierówność: jcov(x; Y )j p Var X Var Y ; (48) przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1 zmienne losowe X i Y zwi ¾azane s ¾a zale zności ¾a liniow ¾a, tzn. istniej ¾a takie liczby a, b 2 R, ze P fy = ax + bg = 1: (49) Wspó czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczb ¾e (X; Y ) := Cov(X; Y ) X Y = Cov(X; Y ) p Var X Var Y : (50)

70 Z nierówności (48) wynika, ze j(x; Y )j 1, a równość zachodzi tylko w przypadku liniowej zale zności mi ¾edzy zmiennymi X i Y. Z Twierdzenia 2 i z równości (47) wynika, ze jeśli zmienne losowe X i Y s ¾a niezale zne i maj ¾a wartość oczekiwan ¾a, to s ¾a nieskorelowane. Za ó zmy teraz, ze zmienne losowe X i Y przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości i ze dany jest rozk ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X; Y ), tzn. dane s ¾a skończone ci ¾agi liczbowe x 1 ; :::; x n i y 1 ; :::; y n oraz ci ¾ag liczb dodatnich p 1 ; :::; p n takie, ze nx i=1 p i = 1 oraz P (X = x i ; Y = y i ) = p i, i = 1; :::; n: (51)

71 Wówczas, korzystaj ¾ac z wzoru (29) na wartość oczekiwan ¾a, mo zemy zapisać wzór (46) w postaci Cov(X; Y ) = nx i=1 p i (x i EX) (y i EY ) : (52) 22 Korelacja papierów wartościowych Rozwa zmy teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y s ¾a odpowiednio stopy zysku R A i R B akcji A i B. Niech A i B oznaczaj ¾a odpowiednio odchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B. W przypadku akcji za o zenie ich dodatniości jest na ogó spe nione.

72 W przypadku prognozowania ekspertowego, jako szczególny przypadek wzoru (52), otrzymujemy nast ¾epuj ¾ac ¾a de nicj ¾e: Kowariancj ¾a akcji (ogólniej: inwestycji nansowych) A i B nazywamy liczb ¾e gdzie: Cov(R A ; R B ) := nx i=1 p i RA;i ER A RB;i ER B ; (53) R A;i stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B), p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n ilość mo zliwych sytuacji.

73 Korzystaj ¾ac ze wzorów (40), (50) i (53), otrzymujemy de nicj ¾e wspó czynnika korelacji akcji A i B: A;B : = Cov(R A; R B ) A B P ni=1 p i RA;i ER A RB;i ER B = q Pni=1 p i (R A;i ER A ) 2q P (54) ni=1 p i (R B;i ER B ) 2: Jeśli korelacj ¾e określa si ¾e na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku (R A;i ; R B;i ), i = 1; :::; n, to wzory określaj ¾ace kowariancj ¾e i wspó czynnik korelacji akcji A i B przyjmuj ¾a postać Cov(R A ; R B ) := 1 n nx i=1 RA;i ~R A RB;i ~R B ; (55)

74 gdzie ~R A, ~R B średnie arytmetyczne odpowiednio wielkości R A;i, R B;i (i = 1; :::; n), A;B : = Cov(R A; R B ) A B P ni=1 RA;i ~R A RB;i ~R B = q Pni=1 (R A;i ~R A ) 2q P (56) ni=1 (R B;i ~R B ) 2: W przypadku ma ej liczby danych, wspó czynnik 1=n wyst ¾epuj ¾acy w (55) i (niejawnie) w (56) mo ze być zast ¾apiony przez 1=(n 1), podobnie jak przy obliczaniu wariancji akcji.

75 Mówimy, ze akcje (inwestycje nansowe) A i B s ¾a (a) dodatnio skorelowane, jeśli A;B > 0, (b) ujemnie skorelowane, jeśli A;B < 0, (c) nieskorelowane, jeśli A;B = 0, (d) doskonale (dok adnie) dodatnio skorelowane, jeśli A;B = 1, (e) doskonale (dok adnie) ujemnie skorelowane, jeśli A;B = 1. Uwaga. Wspó czynnik korelacji jest miar ¾a zale zności liniowej (por. wzór (49)), tj. miar ¾a skupiania si ¾e punktów (R A;i ; R B;i ) (w uk adzie wspó rz ¾ednych na p aszczyźnie) wokó linii prostej.

76 23 Model wartości kapita u w czasie Rozwa zamy kapita K, którego wartość w momencie t oznaczamy przez K(t), przy czym czas jest wyra zony w latach. Kapita K mo zna zatem traktować jako funkcj ¾e K : R! R. Zak adamy, ze znana jest wartość K(t 0 ) kapita u K w momencie t 0, przy czym K(t 0 ) > 0. W celu aktualizacji wartości tego kapita u na dowolnie wybrany moment t A odleg y od t 0 o ca kowit ¾a ilość lat, mo zemy zastosować wzór (8) na obliczanie procentu sk adanego (jeśli t A > t 0 ) albo zasad ¾e dyskonta (10) (jeśli t A < t 0 ). Przy obecnych oznaczeniach daje to odpowiednio K(t A ) = K(t 0 )(1 + R) t A t 0, dla t A t 0 > 0; (57) K(t A ) = K(t 0 ) (1 + R) t 0 t A = K(t 0 )(1 + R) t A t 0, dla t A t 0 < 0: (58)

77 Wzory (57) i (58) mo zna uogólnić w ten sposób, ze dla dowolnego momentu czasowego t, bez wzgl ¾edu na to, czy jest on wcześniejszy czy późniejszy ni z t 0, wartość kapita u zaktualizowana na moment t wynosi K(t) = K(t 0 )(1 + R) t t 0, t 2 R: (59)

78 24 Estymatory nieobci ¾a zone Rozwa zamy model doświadczenia polegaj ¾acy na n-krotnej realizacji pewnego doświadczenia losowego, którego modelem jest zmienna losowa X (o wartościch rezczywistych). Modelem takiej n-krotnej realizacji tego doświadczenia jest n-wymiarowy wektor losowy (X 1 ; :::; X n ), gdzie X 1 ; :::; X n s ¾a niezale znymi zmiennymi losowymi, z których ka zda ma taki sam rozk ad prawdopodobieństwa jak X. Taki wektor losowy (X 1 ; :::; X n ) nazywamy n-elementow ¾a prób ¾a losow ¾a (prost ¾a) zmiennej losowej X. Niech! 2 b ¾edzie zdarzeniem elementarnym, w wyniku którego obserwujemy x 1 = X 1 (!); :::; x n = X n (!). Wówczas wektor (x 1 ; :::; x n ) nazywamy realizacj ¾a próby losowej (X 1 ; :::; X n ) odpowiadaj ¾ac ¾a zdarzeniu elementarnemu!.

79 Statystyk ¾a nazywamy ka zd ¾a funkcj ¾e rzeczywist ¾a U n = '(X 1 ; :::; X n ) wektora losowego (X 1 ; :::; X n ) stanowi ¾acego prób ¾e wyjściowej zmiennej losowej X. Statystyk ¾a nazywa si ¾e tak ze realizacj ¾e u n = '(x 1 ; :::; x n ) zmiennej losowej U n. Za ó zmy teraz, ze rozklad zmiennej losowej X zale zy od parametru 2 R. Wówczas rozk ad danej statystyki U n na ogó tak ze zale zy od, pomimo tego, ze sama statystyka nie jest funkcj ¾a. Obserwacje statystyki U n mo zna zatem wykorzystać do wnioskowania o parametrze. Zmienn ¾a losow ¾a (statystyk¾e) U n = '(X 1 ; :::; X n ), której realizacj ¾e przyjmujemy jako ocen ¾e parametru, nazywamy estymatorem parametru. Estymator U n = '(X 1 ; :::; X n ) parametru nazywamy nieobci ¾a zonym, je zeli EU n = ; w przeciwnym przypadku estymator U n nazywamy obci ¾a zonym.

80 Statystyk ¾e X := 1 n nazywamy średni ¾a z próby, a statystyk¾e nx i=1 X i (60) wariancj ¾a z próby. S 2 := 1 n nx i=1 (X i X) 2 (61)

81 Stwierdzenie 3. Średnia z próby jest estymatorem nieobcia zonym ¾ warto sci oczekiwanej EX. Dowód. Korzystaj ¾ac z liniowości wartości oczekiwanej (wzór (32)) oraz z faktu, ze zmienne losowe X 1 ; :::; X n maj ¾a ten sam rozk ad (a wi ¾ec i wartość oczekiwan ¾a) co X, otrzymujemy E X = 1 n nx i=1 EX i = 1 nex = EX. (62) n

82 Stwierdzenie 4. Var X. Wariancja z próby jest estymatorem obcia zonym ¾ wariancji Dowód. Z de nicji S 2 = 1 nx i X) n i=1(x 2 = 1 nx (Xi 2 2X i X + X 2 ) n i=1 = 1 nx Xi 2 2 X 1 nx X i + 1 nx X 2 n i=1 n i=1 n i=1 = 1 nx Xi 2 2 X 2 + X 2 = 1 nx Xi 2 X 2 : n i=1 n i=1 St ¾ad, poniewa z X i maj ¾a ten sam rozk ad co X, otrzymujemy 0 E(S 2 ) = 1 n 1 nx Xi 2 i=1 A E( X 2 ) = E(X 2 ) E( X 2 ): (63)

83 Zgodnie z (37) i (62) mamy E(X 2 ) = Var X + (EX) 2 ; (64) E( X 2 ) = Var X + (E X) 2 = Var X + (EX) 2 : (65) Ponadto na mocy (60), w asności (b) wariancji oraz Twierdzenia 3 0 Var X = 1 n Ze wzorów (63) (66) dostajemy 1 nx X i i=1 E(S 2 ) = Var X Var X = A = 1 n 2 n Var X = 1 n 1 1 n Var X = n 1 n Var X. (66) Var X; co oznacza, ze S 2 jest estymatorem obci ¾a zonym parametru Var X.

84 Wniosek. Statystyka ^S 2 := n n 1 S2 = 1 n 1 nx i=1 jest estymatorem nieobcia zonym ¾ wariancji Var X. (X i X) 2 Powy zszy wniosek uzasadnia stosowanie wzoru (42) do prognozowania wariancji stopy zysku w przypadku ma ej liczby danych.

85 25 Wariancja sumy zmiennych losowych Dotychczas podaliśmy wzór na wariancj ¾e sumy zmiennych losowych jedynie w przypadku zmiennych losowych niezale znych (wzór (45)). Obecnie podamy wzór dla przypadku ogólnego. Twierdzenie 4. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja¾ wariancje, ¾ to istnieje te z wariancja sumy P n i=1 X i i zachodzi rowno sć Var 0 1 nx X i A = i=1 i=1 Var X i + 2 X 1i<jn Cov(X i ; X j ): (67)

86 Dowód. Korzystaj ¾ac kolejno z (37), (32), ponownie z (37) oraz z (47), otrzymujemy = nx i=1 Var 0 1 X i i=1 A = E h E(X 2 i ) (EX i ) 2i + 2 = nx i=1 Var X i nx 4@ X i A 7 nx i=1 i=1 X 1i<jn X 1i<jn h E(Xi X j ) EX i Cov(X i ; X j ). 12 A EX i EX j i Wniosek. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maj ¾ a wariancj ¾ e i s ¾ a parami nieskorelowane, to zachodzi równo sć (45).

87 26 Portfel dwóch akcji Niech P oznacza portfel, w którym udzia y akcji A i B wynosz ¾a odpowiednio u A i u B. Udzia y te rozumiemy w sensie wartościowym, a nie ilościowym, co ilustruje poni zszy przyk ad. Przyk ad. Inwestor posiada portfel, w sk ad którego wchodzi 10 akcji Exbudu (typ A) oraz 20 akcji Wedla (typ B). Aktualna cena jednej akcji Exbudu wynosi 45 z 50 gr, a jednej akcji Wedla 16 z 50 gr. Wobec tego udzia y tych akcji w portfelu wynosz ¾a: u A = 10 45; ; ; 5 t 0; 58; u B = 20 16; ; ; 5 t 0; 42:

88 Ogólnie, udzia y akcji w portfelu s ¾a liczbami z przedzia u [0; 1], które sumuj ¾a si ¾e do jedności. Jest to równowa zne warunkom: u A 0, u B 0, u A + u B = 1: (68) Oznaczmy oczekiwane stopy zysku akcji A i B odpowiednie przez R A i R B. Mog ¾a to być równie z średnie historyczne stopy zysku obliczone na podstawie wcześniejszych notowań. Wówczas oczekiwana stopa zysku portfela P jest dana wzorem: ER P = E(u A R A + u B R B ) = u A ER A + u B ER B : (69) Zatem oczekiwana stopa zysku portfela jest średni ¾a wa zon ¾a oczekiwanych stóp zysku obu akcji, przy czym wagami s ¾a udzia y tych akcji w portfelu.

89 Korzystaj ¾ac z wzoru (67), mo zemy wyznaczyć wariancj ¾e (stopy zysku) portfela P : gdzie: Var R P = Var(u A R A ) + Var(u B R B ) + 2 Cov(u A R A ; u B R B ) = u 2 A Var(R A) + u 2 B Var(R B) + 2u A u B Cov(R A ; R B ); (70) Var(R A ), Var(R B ) wariancje odpowiednio akcji A i B, Cov(R A ; R B ) kowariancja akcji A i B.

90 Przechodz ¾ac do ryzyka opisanego za pomoc ¾a odchylenia standardowego, otrzymujemy z wzoru (70) q q P = Var R P = u 2 A 2 A + u2 B 2 B + 2u Au B A B A;B ; (71) gdzie: P odchylenie standardowe (ryzyko) portfela P, A, B ryzyko odpowiednio akcji A i B, A;B wspó czynnik korelacji akcji A i B. Analizuj ¾ac wzory (69) i (71) widzimy, ze wartości ER P i P zale z ¾a od udzia ów poszczególnych akcji w portfelu oraz (w przypadku P ) od korelacji mi ¾edzy akcjami. Omówimy teraz ró zne przypadki w zale zności od wartości A;B.

91 26.1 Przypadek A;B = 1 (doskona a korelacja dodatnia) Wzór (71) przyjmuje wówczas postać P = = q u 2 A 2 A + u2 B 2 B + 2u Au B A B q (u A A + u B B ) 2 = u A A + u B B : (72) Geometrycznie oznacza to na p aszczyźnie, gdzie portfelowi P odpowiada para ( P ; ER P ) ze wszystkie portfele utworzone przez akcje A i B le z ¾a na odcinku ¾acz ¾acym punkty ( A ; ER A ) i ( B ; ER B ). Jest to przypadek ma o interesuj ¾acy dla inwestora, poniewa z nie mo zna uzyskać ryzyka portfela mniejszego ni z minf A ; B g.

92 26.2 Przypadek A;B = 1 (doskona a korelacja ujemna) Wzór (71) przyjmuje postać P = = q u 2 A 2 A + u2 B 2 B 2u A u B A B q (u A A u B B ) 2 = ju A A u B B j : (73) Tutaj istnieje szansa na to, ze P < minf A ; B g. W szczególności, mo zna uzyskać wartość P = 0, jeśli u A A = u B B : (74) Uwzgl ¾edniaj ¾ac równość u A + u B = 1, czyli u A = 1 u B, otrzymujemy z (74) (1 u B ) A = u B B : Przekszta ćmy ten wzór w celu wyznaczenia u B : A u B A = u B B, A = u B ( A + B ):

93 St ¾ad u B = A A + B, u A = B A + B : (75) Zatem udzia y akcji A i B w portfelu o zerowym ryzyku s ¾a dane wzorami (75). Oczekiwana stopa zysku takiego portfela wynosi ER P = u A ER A + u B ER B = BER A + A ER B A + B : (76)

94 26.3 Przypadek A;B = 0 (brak korelacji) Wzór (71) przyjmuje postać P = q u 2 A 2 A + u2 B 2 B : (77) Analiza wzoru (77) wykazuje, ze istnieje mo zliwość cz ¾eściowej redukcji ryzyka portfela w stosunku do ryzyka akcji wchodz ¾acych w jego sk ad. Aby znaleźć udzia y akcji tworz ¾ace portfel minimalnego ryzyka, nale zy rozwi ¾azać równanie d P du A = d du A q u 2 A 2 A + u2 B 2 B Mamy d P du A = 0 () u A 2 A 2 B + u A 2 B = 0 () = 0: (78) u A = 2 B 2 A +, st ¾ad u B = 2 B 2 A 2 A + : (79) 2 B

95 Minimalne ryzyko tego portfela osi ¾agane przy udzia ach określonych wzorami (79) wynosi, zgodnie z (77), v q u 2 A 2 B (2 A + 2 B ) P = t 4 B 2 A + 4 A 2 B ( 2 A + 2 B )2 = 2 A + 2 B Oczekiwana stopa zysku tego portfela wynosi ER P = 2 B ER A + 2 A ER B 2 A + 2 B = q A B 2 A + : (80) 2 B : (81)

96 27 Korelacja graniczna Analizuj ¾ac wzór (71) określaj ¾acy ryzyko portfela dwóch akcji w ogólnym przypadku, mo zna postawić pytanie, dla jakich wartości A;B jest mo zliwe obni zenie ryzyka portfela poni zej minf A ; B g. Okazuje si ¾e, ze jest to mo zliwe dla wartości A;B mniejszych od tzw. korelacji granicznej: gr := min ( A ; ) B : (82) B A Stwierdzenie 5. Je sli A;B < gr, to istnieja¾ takie udzia y u A, u B, ze P < minf A ; B g. Je sli A;B gr, to minimalna¾ warto scia¾ P jest minf A ; B g.

97 W szczególności, jeśli ryzyko obu akcji jest jednakowe ( A = B ), to dowolna korelacja poza idealn ¾a dodatni ¾a (gdzie A;B = 1) powoduje obni zenie ryzyka portfela. 28 Zbiór portfeli dwóch akcji na p aszczyźnie Wszystkie portfele dwóch akcji A i B, przy dowolnej ich korelacji, mieszcz ¾a si ¾e wewn ¾atrz trójk ¾ata, którego wierzcho kami s ¾a punkty A = ( A ; ER A ), B = ( B ; ER B ) i portfel zerowego ryzyka P 0 = (0; ER P0 ) (ten ostatni istnieje dla A;B = 1).

98 29 Portfel wielu akcji model Markowitza Oznaczmy: m liczba rm, których akcje s ¾a w portfelu (ponumerowanych od 1 do m), n j ilość j-tych akcji znajduj ¾acych si ¾e w portfelu. Zak adamy, ze n j (j = 1; :::; m) s ¾a liczbami nieujemnymi. Aby portfel by niepusty, trzeba za o zyć, ze n j > 0 dla pewnego j. Liczby n j wyznaczaj ¾a sk ad ilościowy portfela. Nas interesuje sk ad procentowy (wartościowy) portfela, tzn. jaki jest stosunek wartości j-tych akcji w portfelu do ¾acznej wartości wszystkich akcji znajduj ¾acych si ¾e w tym portfelu.

99 W celu wyznaczenia sk adu procentowego oznaczmy: p j cena rynkowa j-tej akcji (p j > 0). Wówczas udzia procentowy (w sensie wartości) j-tej akcji w portfelu określa liczba u j := n jp j P mi=1 n i p i, j = 1; :::; m: (83) Uwaga. atwo sprawdzić, ze u j 0; j = 1; :::; m; mx j=1 u j = 1 (84) (tzw. równanie bud zetowe).

100 Stwierdzenie 6. Weźmy dowolne liczby u j spe niajace ¾ (84). Wówczas istnieja¾ takie liczby nieujemne n 1 ; :::; n m, wyznaczone z dok adno scia¾ do proporcjonalno sci, ze spe nione sa¾ równo sci (83). Dowód. atwo sprawdzić, ze: (a) odwzorowanie (n 1 ; :::; n m ) 7! (n 1 p 1 ; :::; n m p m ) przekszta ca zbiór na siebie; R m + nf0g = f(n 1; :::; n m ) : n i 0, i = 1; :::; mgnf(0; :::; 0)g (b) odwzorowanie (y 1 ; :::; y m ) 7! y1 Pmi=1 y i ; :::; Pmi=1 y m y i przekszta ca zbiór R m + nf0g na zbiór n (u 1 ; :::; u m ) 2 R m + : P m j=1 u j = 1 o.

101 Z powy zszych w asności (a), (b) wynika istnienie liczb n 1 ; :::; n m spe niaj ¾acych równości (83). Dowód jednoznaczności: za ó zmy, ze u j = n jp j P mi=1 n i p i = ^n jp j P mi=1 ^n i p i, j = 1; :::; m: Wówczas ^n j = n j P mi=1 ^n i p i P mi=1 n i p i! = n j ; gdzie wspó czynnik proporcjonalności, niezale zny od j. Uwaga. W teorii mo zemy traktować liczby u j spe niaj ¾ace za o zenia Stwierdzenia 6 jako udzia y j-tych akcji w portfelu, o ile dopuścimy mo zliwość posiadania przez inwestora dowolnych cz ¾eści tych akcji (za o zenie nieskończonej podzielności papierów wartościowych).

102 Zbiór P m := 8 < : u = (u 1; :::; u m ) 2 R m : u i 0, i = 1; :::; m, mx j=1 u j = 1 (85) nazywamy zbiorem portfeli m-sk adnikowych. Wspó rz ¾edna u j wektora u oznacza udzia j-tych papierów wartościowych w portfelu u. Zbiór P m jest sympleksem m-wymiarowym o wierzcho kach (0; ::; 0; 1 i ; 0; :::; 0), i = 1; :::; m, gdzie 1 i oznacza jedynk¾e na i-tym miejscu. 9 = ; Dla dowolnego portfela u 2 P m przyjmujemy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia: R j stopa zysku z inwestycji w j-te papiery wartościowe, R = (R 1 ; :::; R m ) wektor (losowy) stóp zysku,

103 = ( 1 ; :::; m ) wektor oczekiwanych stóp zysku, gdzie i := E(R i ) (i = 1; :::; m), K p kapita pocz ¾atkowy inwestora, K p;j := u j K p wartościowe, cz ¾eść kapita u pocz ¾atkowego zainwestowana w j-te papiery K k kapita końcowy inwestora, K k;j kapita końcowy w j-tych papierach wartościowych. Ze wzoru (2) otrzymujemy K k;j = K p;j (1 + R j ), j = 1; :::; m.

104 Stop ¾e zysku portfela u de niujemy, zgodnie z wzorem (1), jako zmienn ¾a losow ¾a o wartościach rzeczywistych: K p R(u) := K k : (86) K p W dalszym ci ¾agu symbolem hx; yi b ¾edziemy oznaczać iloczyn skalarny w przestrzeni R m : hx; yi := mx i=1 x i y i dla x = (x 1 ; :::; x m ), y = (y 1 ; :::; y m ): (87) Stwierdzenie 7. Zachodzi równo sć R(u) = hu; Ri : (88)

105 Dowód. P mj=1 K k;j P mj=1 K p;j R(u) = K k K p = P K mj=1 p K p;j P mj=1 P K p;j (1 + R j ) mj=1 P K mj=1 p;j K p;j R j = P mj=1 = K p;j = K p P m j=1 u j R j K p P mj=1 u j = mx j=1 u j R j = hu; Ri. P mj=1 K p;j Oczekiwana stopa zysku portfela u jest dana wzorem ER(u) = E mx j=1 u j R j 1 A = mx j=1 u j j = hu; i : (89)

106 30 Macierz kowariancji wektora losowego Niech X :! R m b ¾edzie wektorem losowym. Jeśli istniej ¾a wariancje Var X j, j = 1; :::; m, to macierz C := [c ij ] m i;j=1, gdzie c ij = Cov(X i ; X j ); (90) nazywamy macierz ¾a kowariancji wektora losowego X = (X 1 ; :::; X m ). Istnienie kowariancji Cov(X i ; X j ) dla dowolnej pary (i; j) wynika z przyj ¾etego za o zenia i ze wzoru (48).

107 Stwierdzenie 8. Macierz kowariancji ma nastepuj ¾ ace ¾ w asno sci: (a) jest symetryczna, tzn. c ij = c ji dla dowolnej pary (i; j), (b) jest nieujemnie określona, tzn. ucu T = mx i;j=1 u i u j c ij 0 dla ka zdego u 2 R m : (91) Dowód. (a) wynika ze wzoru (46). (b) Rozwa zmy zmienn ¾a losow ¾a Y := P m i=1 u i X i. Jeśli EX i = i (i = 1; :::; m), to EY = P m i=1 u i i oraz 0 Var Y = E h (Y EY ) 2i = E 20 6 mx 4@ i=1 u i (X i i ) 1 A23 7 5

108 = E 2 mx 4 i;j=1 u i u j (X i i )(X j j ) = mx i;j=1 3 5 = mx i;j=1 u i u j E h (X i i )(X j j ) i u i u j Cov(X i ; X j ) = ucu T. (92) Stosuj ¾ac cz ¾eść (b) powy zszego dowodu do zmiennej losowej R(u) określonej wzorem (88) (gdzie u 2 R m + ), otrzymujemy Wniosek. Wariancja stopy zysku portfela u 2 P m jest dana wzorem Var R(u) = ucu T ; (93) gdzie C jest macierza¾ kowariancji wektora stóp zysku R = (R 1 ; :::; R m ).

109 Ryzyko portfela u jest określone jako odchylenie standardowe q (u) = Var R(u): (94) Mówimy, ze macierz C jest dodatnio określona, je zeli ucu T > 0 dla ka zdego u 2 R m nf0g: (95) Uwaga. Cz ¾esto w literaturze macierz nieujemnie określon ¾a nazywa si ¾e macierz ¾a dodatnio okre slona. ¾ Wówczas macierz spe niaj ¾ac ¾a warunek (95) nazywa si ¾e macierz ¾a scísle dodatnio okre slona. ¾

110 Stwierdzenie 9. Macierz kowariancji C wektora losowego X nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja¾ takie liczby u 1 ; :::; u m nie wszystkie równe zeru, ze zmienna losowa P m i=1 u i X i jest sta a z prawdopodobieństwem jeden. Dowód. Zaprzeczenie warunku (95) oznacza, ze istnieje taki wektor u 6= 0, ze ucu T = 0. Na mocy (92) jest to równowa zne warunkowi E 20 6 mx 4@ 1 A23 mx 7 u i X i u i i 5 = 0: (96) i=1 i=1 Wiadomo, ze wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa jest równa zeru z prawdopodobieństwem 1. Zatem warunek (96) oznacza, ze P m i=1 u i X i jest z prawdopodobieństwem 1 równa sta ej P m i=1 u i i.

111 Wniosek. Macierz kowariancji C nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych X i zale zy (z prawdopodobieństwem jeden) w sposób liniowy od pozosta ych zmiennych losowych. Dowód. Na mocy Stwierdzenia 9 macierz C nie jest ściśle dodatnio określona, 9u 6= 0, P m i=1 u i X i = z prawdopodobieństwem 1, gdzie jest pewn ¾a sta ¾a. Wybieraj ¾ac spośród liczb u i jedn ¾a ró zn ¾a od zera (oznaczmy j ¾a u s ), otrzymamy równowa zny warunek (tak ze z prawdopodobieństwem 1) X s = 1 u s 0 X u i X i + A. i6=s Uwaga. W przypadku macierzy kowariancji wektora stóp zysku portfela u 2 P m sytuacja opisana w powy zszym wniosku oznacza, ze jeden z papierów wartościowych znajduj ¾acych si ¾e w portfelu mo zna usun ¾ać, zast ¾epuj ¾ac go kombinacj ¾a pozosta ych papierów wartościowych.

Marcin Studniarski. Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I. semestr letni 2018/19.

Marcin Studniarski. Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I. semestr letni 2018/19. Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I semestr letni 2018/19 http://math.uni.lodz.pl/~marstud/dydaktyka.htm 1 Co to jest analiza portfelowa? Analiza portfelowa zajmuje si ¾e optymalnym

Bardziej szczegółowo

Marcin Studniarski. Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I. semestr letni 2011/12.

Marcin Studniarski. Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I. semestr letni 2011/12. Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść I semestr letni 2011/12 http://math.uni.lodz.pl/~marstud/dydaktyka.htm 1 Co to jest analiza portfelowa? Analiza portfelowa zajmuje si ¾e optymalnym

Bardziej szczegółowo

Ocena ryzyka kredytowego

Ocena ryzyka kredytowego Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr letni 2013/14) 1 Informacje wst epne Celem tego rozdzia u jest powtórzenie pewnych wiadomości

Bardziej szczegółowo

Ryzyko inwestycji nansowych

Ryzyko inwestycji nansowych Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ryzyko inwestycji nansowych (semestr letni 2015/16) 1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja

Bardziej szczegółowo

Ryzyko inwestycji nansowych

Ryzyko inwestycji nansowych Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ryzyko inwestycji nansowych (semestr zimowy 2010/11) 1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja

Bardziej szczegółowo

Wyk ady z analizy portfelowej, cz¾eść I

Wyk ady z analizy portfelowej, cz¾eść I Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cześć I (semestr letni 2007/08) Wyk ady sa udost epniane na stronie: http://math.uni.lodz.pl/marstud/ Pytania prosz e kierować na adres: marstud@math.uni.lodz.pl

Bardziej szczegółowo

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych

Bardziej szczegółowo

Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.

Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu

Bardziej szczegółowo

Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody".

Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski Matematyka w ekonomii. Modele i metody. Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody". Przyk ad. Za ó zmy, ze w chwili t = 0 populacja liczy P 0 osób. Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = 00, a roczna

Bardziej szczegółowo

Ryzyko inwestycji nansowych

Ryzyko inwestycji nansowych Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ryzyko inwestycji nansowych (semestr zimowy 2012/13) 1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja

Bardziej szczegółowo

Ocena ryzyka kredytowego

Ocena ryzyka kredytowego Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr zimowy 2017/18) Uwaga Niniejszy materia nie stanowi ca ości wyk adu i nie wystarcza do przygotowania

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych.

Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj 2013 1 / 11 Przyjmijmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia:

Bardziej szczegółowo

1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości

1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki matematycznej Adam Kiersztyn 2 godziny lekcyjne 2011-10-23 8.20-9.50 1 Rozk ad normalny Jednym z najwa

Bardziej szczegółowo

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 8.03.014 - godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Obligacje. nazywamy papier warto sciowy maj acy, po_zyczki przez instytucj e, obligacj e, u jej nabywcy.

Obligacje. nazywamy papier warto sciowy maj acy, po_zyczki przez instytucj e, obligacj e, u jej nabywcy. Obligacje De nicja Obligacj nazywamy papier warto sciowy maj acy, charakter wierzycielski. Obligacj jest zaci agni, eciem, po_zyczki przez instytucj e, sprzedaj ac, obligacj e, u jej nabywcy. Sprzedaj

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe

Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec

Bardziej szczegółowo

1 Poj ¾ecie szeregu czasowego

1 Poj ¾ecie szeregu czasowego Studia podyplomowe w zakresie przetwarzania, zarz¾adzania i statystycznej analizy danych Analiza szeregów czasowych 24.11.2013-2 godziny konwersatorium autor: Adam Kiersztyn 1 Poj ¾ecie szeregu czasowego

Bardziej szczegółowo

Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 2012 r.

Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 2012 r. Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 01 r. W pustych kratkach obok liter A) B) C) D) nale zy wpisać s owo TAK lub NIE. Zadanie zostanie uznane za rozwiazane, jeśli wszystkie cztery odpowiedzi sa poprawne.

Bardziej szczegółowo

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" t "1%/4( " +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0  + 42 + 1 +! ! 1! !1!!!!42 %  t 1%/4(  +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 Matematyka finansowa 09.12.2000 r. 10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" * t "1%/4( " + i 10%. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 10 Matematyka finansowa 24.03.2001

Bardziej szczegółowo

1 Miary asymetrii i koncentracji

1 Miary asymetrii i koncentracji Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki opisowej Adam Kiersztyn 3 godziny lekcyjne 2011-10-22 10.10-12.30 1 Miary asymetrii i koncentracji

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Statystyka finansowa

Statystyka finansowa Statystyka finansowa Rynki finansowe Rynek finansowy rynek na którym zawierane są transakcje finansowe polegające na zakupie i sprzedaży instrumentów finansowych Instrument finansowy kontrakt pomiędzy

Bardziej szczegółowo

1 Regresja liniowa cz. I

1 Regresja liniowa cz. I Regresja liniowa cz. I. Model statystyczny Model statystyczny to zbiór za o zeń. Wprowadzamy model, który mo zliwie najlepiej opisuje ineresujacy ¾ nas fragment rzeczywistość. B ¾edy modelu wynikaja¾ z

Bardziej szczegółowo

INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK

INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK INFORMACJE O INSTRUMENTACH FINANSOWYCH WCHODZĄCYCH W SKŁAD ZARZADZANYCH PRZEZ BIURO MAKLERSKIE PORTFELI Z UWZGLĘDNIENIEM ZWIĄZANYCH Z NIMI RYZYK Akcje Akcje są papierem wartościowym reprezentującym odpowiedni

Bardziej szczegółowo

OGŁOSZENIE. o zmianach statutu Allianz Fundusz Inwestycyjny Otwarty

OGŁOSZENIE. o zmianach statutu Allianz Fundusz Inwestycyjny Otwarty OGŁOSZENIE z dnia 13 listopada 2015 roku o zmianach statutu Allianz Fundusz Inwestycyjny Otwarty Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych Allianz Polska S.A. z siedzibą w Warszawie niniejszym informuje o dokonaniu

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Eugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej

Eugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej Eugeniusz Gostomski Ryzyko stopy procentowej 1 Stopa procentowa Stopa procentowa jest ceną pieniądza i wyznacznikiem wartości pieniądza w czasie. Wpływa ona z jednej strony na koszt pozyskiwania przez

Bardziej szczegółowo

Metody oceny opãlacalno sci inwestycji

Metody oceny opãlacalno sci inwestycji Metody oceny opãlacalno sci inwestycji Podstawowym warunkiem sukcesu rmy jest jej rozw oj. Do rozwoju rmy konieczne s a, wãla sciwe decyzje inwestycyjne. Jednymi z najwa_zniejszych s a, inwestycje polegaj

Bardziej szczegółowo

O zgodności procedur jednoczesnego testowania zastosowanych do problemu selekcji zmiennych w modelu liniowym

O zgodności procedur jednoczesnego testowania zastosowanych do problemu selekcji zmiennych w modelu liniowym O zgodności procedur jednoczesnego testowania zastosowanych do problemu selekcji zmiennych w modelu liniowym Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyki SGGW Wis a 2010 Plan referatu 1. Modele liniowe

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa. O Autorach. Wstęp. Część I. Finanse i system finansowy

Spis treści. Przedmowa. O Autorach. Wstęp. Część I. Finanse i system finansowy Spis treści Przedmowa O Autorach Wstęp Część I. Finanse i system finansowy Rozdział 1. Co to są finanse? 1.1. Definicja pojęcia finanse 1.2. Dlaczego należy studiować finanse? 1.3. Decyzje finansowe gospodarstw

Bardziej szczegółowo

Wyniki finansowe funduszy inwestycyjnych i towarzystw funduszy inwestycyjnych w 2011 roku 1

Wyniki finansowe funduszy inwestycyjnych i towarzystw funduszy inwestycyjnych w 2011 roku 1 Warszawa, 26 czerwca 2012 r. Wyniki finansowe funduszy inwestycyjnych i towarzystw funduszy inwestycyjnych w 2011 roku 1 W końcu 2011 r. na polskim rynku finansowym funkcjonowały 484 fundusze inwestycyjne

Bardziej szczegółowo

Proste Procesy Stochastyczne i ich zastosowania.

Proste Procesy Stochastyczne i ich zastosowania. Proste Procesy Stochastyczne i ich zastosowania. Pawe J. Szab owski March 27 Pawe J. Szab owski () Wyk ad 1 March 27 1 / 17 Plan wyk adu: 1-3. Wst ¾ep i preliminaria- przyk ady szeregów czasowych.. Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA

ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA Andrzej FRYSZKOWSKI SZCZECIN, 27 MARCA 2014 Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA 2014 1 / 25 BROSZURA OMG I (2005/2006) (opracowanie: Joanna

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

1 Wieloczynnikowa analiza wariancji

1 Wieloczynnikowa analiza wariancji Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Statystyczna analiza danych Adam Kiersztyn 5 godzin lekcyjnych 2012-02-04 13.00-17.00 1 Wieloczynnikowa analiza wariancji

Bardziej szczegółowo

1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach

1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach 1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach Czasami chcemy rekodować jedynie cz ¾eść danych zawartych w pewnym zbiorze. W takim przypadku stosujemy rekodowanie z zastosowaniem warunku

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ

DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Warszawa, dnia 6 czerwca 2016 r. Poz. 789 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 25 maja 2016 r. w sprawie rocznych i półrocznych sprawozdań ubezpieczeniowego

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe zasady obliczania wysokości. i pobierania opłat giełdowych. (tekst jednolity)

Szczegółowe zasady obliczania wysokości. i pobierania opłat giełdowych. (tekst jednolity) Załącznik do Uchwały Nr 1226/2015 Zarządu Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. z dnia 3 grudnia 2015 r. Szczegółowe zasady obliczania wysokości i pobierania opłat giełdowych (tekst jednolity)

Bardziej szczegółowo

1 Analiza wariancji H 1 : 1 6= 2 _ 1 6= 3 _ 1 6= 4 _ 2 6= 3 _ 2 6= 4 _ 3 6= 4

1 Analiza wariancji H 1 : 1 6= 2 _ 1 6= 3 _ 1 6= 4 _ 2 6= 3 _ 2 6= 4 _ 3 6= 4 Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Statystyczna analiza danych Adam Kiersztyn 5 godzin lekcyjnych 2012-02-04 13.00-17.00 1 Analiza wariancji Na wst¾epie zapoznamy

Bardziej szczegółowo

prawozdanie jednostkowe jest za cznikiem do sprawozdania po

prawozdanie jednostkowe jest za cznikiem do sprawozdania po prawozdanie jednostkowe jest za cznikiem do sprawozdania po Nowe Miasto i Wilda w Poznaniu, Wydzia VIII dowego, KRS 0000001132, NIP 778 13 14 701 Kapita zak adowy 13.202.000,00 PLN (wp acony w ca o 1)

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

Smart Beta Święty Graal indeksów giełdowych?

Smart Beta Święty Graal indeksów giełdowych? Smart Beta Święty Graal indeksów giełdowych? Agenda Smart Beta w Polsce Strategie heurystyczne i optymalizacyjne Strategie fundamentalne Portfel losowy 2 Agenda Smart Beta w Polsce Strategie heurystyczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 2.06.2001 r.

Matematyka finansowa 2.06.2001 r. Matematyka finansowa 2.06.2001 r. 3. Inwe 2!%3'(!!%3 $'!%4&!! &,'! * "! &,-' ryzyko inwestycji odchyleniem standardowym stopy zwrotu ze swojego portfela. Jak *!&! $!%3$! %4 A.,. B. spadnie o 5% C. spadnie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Warszawska Giełda Towarowa S.A.

Warszawska Giełda Towarowa S.A. KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Formularz SAB-Q IV / 98

Formularz SAB-Q IV / 98 Formularz SAB-Q IV / 98 (dla bank w) Zgodnie z 46 ust. 1 pkt 2 Rozporz dzenia Rady Ministr w z dnia 22 grudnia 1998 r. (Dz.U. Nr 163, poz. 1160) Zarz d Sp ki: Bank Handlowy w Warszawie SA podaje do wiadomoci

Bardziej szczegółowo

Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI

Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI Co ma najwyższy potencjał zysku w średnim terminie? Typy inwestycyjne na 12 miesięcy Subfundusz UniStrategie Dynamiczny UniKorona Pieniężny

Bardziej szczegółowo

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar przy zastosowaniu programu EXCEL

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar przy zastosowaniu programu EXCEL Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 9.03.2014-3 godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar

Bardziej szczegółowo

GRUPA KAPITAŁOWA POLIMEX-MOSTOSTAL SKRÓCONE SKONSOLIDOWANE SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA OKRES 12 MIESIĘCY ZAKOŃCZONY DNIA 31 GRUDNIA 2006 ROKU

GRUPA KAPITAŁOWA POLIMEX-MOSTOSTAL SKRÓCONE SKONSOLIDOWANE SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA OKRES 12 MIESIĘCY ZAKOŃCZONY DNIA 31 GRUDNIA 2006 ROKU GRUPA KAPITAŁOWA POLIMEX-MOSTOSTAL SKRÓCONE SKONSOLIDOWANE SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA OKRES 12 MIESIĘCY ZAKOŃCZONY DNIA 31 GRUDNIA 2006 ROKU Warszawa 27 lutego 2007 SKONSOLIDOWANE RACHUNKI ZYSKÓW I STRAT

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Zadanie 1 Procent składany

Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Zadanie 1 Procent składany Zadanie 1 Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał

Bardziej szczegółowo

Polecenie 2.W spółce akcyjnej akcja na okaziciela oznacza ograniczoną zbywalność. Polecenie 5. Zadaniem controllingu jest pomiar wyniku finansowego

Polecenie 2.W spółce akcyjnej akcja na okaziciela oznacza ograniczoną zbywalność. Polecenie 5. Zadaniem controllingu jest pomiar wyniku finansowego Polecenie 1. Spółka z ograniczoną odpowiedzialnością jest podmiotem w pełni bezosobowym. Polecenie 2.W spółce akcyjnej akcja na okaziciela oznacza ograniczoną zbywalność Polecenie 3.W WZA osobą najważniejszą

Bardziej szczegółowo

1 Próba a populacja. Nasze rozwa zania zaczniemy od przedyskutowania podstawowych poj ¾eć statystycznych,

1 Próba a populacja. Nasze rozwa zania zaczniemy od przedyskutowania podstawowych poj ¾eć statystycznych, Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 9.03.04 - godziny konwersatorium autor Adam Kiersztyn Próba a populacja Nasze rozwa zania zaczniemy

Bardziej szczegółowo

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci 56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH

IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH 4.1. Wprowadzenie Uk³ad równañ liniowych gdzie A oznacza dan¹ macierz o wymiarze n n, a b dany n-elementowy wektor, mo e byæ rozwi¹zany w skoñczonej liczbie kroków za pomoc¹

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG

PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG WYPŁACALNOŚCI (MB) Próg rentowności (BP) i margines bezpieczeństwa Przychody Przychody Koszty Koszty całkowite Koszty stałe Koszty zmienne BP Q MB Produkcja gdzie: BP próg rentowności

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Zadanie 1 Inwestor rozważa nabycie obligacji wieczystej (konsoli), od której będzie otrzymywał na koniec każdego półrocza kupon w wysokości 80 zł. Wymagana przez inwestora stopa zwrotu w terminie do wykupu

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

FZ KPT Sp. z o.o. Prognoza finansowa na lata 2010-2014

FZ KPT Sp. z o.o. Prognoza finansowa na lata 2010-2014 FZ KPT Sp. z o.o. Prognoza finansowa na lata 2010-2014 Wst p Niniejsze opracowanie prezentuje prognoz Rachunku zysków i strat oraz bilansu maj tkowego Spó ki Fundusz Zal kowy KPT na lata 2009-2014. Spó

Bardziej szczegółowo

Regulamin Programu Motywacyjnego II. na lata 2013-2015. współpracowników. spółek Grupy Kapitałowej Internet Media Services SA

Regulamin Programu Motywacyjnego II. na lata 2013-2015. współpracowników. spółek Grupy Kapitałowej Internet Media Services SA Załącznik do Uchwały nr 5 Nadzwyczajnego Walnego Zgromadzenia Internet Media Services SA z dnia 9 stycznia 2013 roku Regulamin Programu Motywacyjnego II na lata 2013-2015 dla członków Zarządu, menedżerów,

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

WSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ

WSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

2) Drugim Roku Programu rozumie się przez to okres od 1 stycznia 2017 roku do 31 grudnia 2017 roku.

2) Drugim Roku Programu rozumie się przez to okres od 1 stycznia 2017 roku do 31 grudnia 2017 roku. REGULAMIN PROGRAMU OPCJI MENEDŻERSKICH W SPÓŁCE POD FIRMĄ 4FUN MEDIA SPÓŁKA AKCYJNA Z SIEDZIBĄ W WARSZAWIE W LATACH 2016-2018 1. Ilekroć w niniejszym Regulaminie mowa o: 1) Akcjach rozumie się przez to

Bardziej szczegółowo

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta

2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta 2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta Pieniężny Pomiar Korzyści z Handlu Możesz kupić tyle benzyny ile chcesz, po cenie 2zł za litr. Jaka jest najwyższa cena, jaką zapłacisz za 1 litr benzyny?

Bardziej szczegółowo

dr hab. Renata Karkowska 1

dr hab. Renata Karkowska 1 dr hab. Renata Karkowska 1 Miary zmienności: obrazują zmiany cen, stóp zwrotu instrumentów finansowych, opierają się na rozproszeniu ich rozkładu, tym samym uśredniają ryzyko: wariancja stopy zwrotu, odchylenie

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono

Bardziej szczegółowo

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść II

Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść II Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cz ¾eść II (semestr letni 2009/10) Wyk ady s ¾a udost ¾epniane na stronie: http://math.uni.lodz.pl/marstud/ Pytania prosz ¾e kierować na adres: marstud@math.uni.lodz.pl

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z walnego zgromadzenia akcjonariuszy spółki z portfela. Spółka: Ciech SA. Rodzaj walnego zgromadzenia: Nadzwyczajne

Sprawozdanie z walnego zgromadzenia akcjonariuszy spółki z portfela. Spółka: Ciech SA. Rodzaj walnego zgromadzenia: Nadzwyczajne Sprawozdanie z walnego zgromadzenia akcjonariuszy spółki z portfela Spółka: Ciech SA Rodzaj walnego zgromadzenia: Nadzwyczajne Data walnego zgromadzenia: 7 lipca 2014 roku Uchwały podjęte przez W Liczba

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011

Matematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011 Matematyka II De nicje, twierdzenia 2 czerwca 20 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz. 2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

SKONSOLIDOWANY BILANS Nota 2004 2003 A k t y w a I. Aktywa trwałe 75 405 64 124 1. Wartości niematerialne i prawne, w tym:1 663 499 wartość firmy 0 2. Wartość firmy jednostek podporządkowanych 2 3 363

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

USŁUGA ZARZĄDZANIA. Indywidualnym Portfelem Instrumentów Finansowych. oferowana przez BZ WBK Asset Management S.A.

USŁUGA ZARZĄDZANIA. Indywidualnym Portfelem Instrumentów Finansowych. oferowana przez BZ WBK Asset Management S.A. USŁUGA ZARZĄDZANIA Indywidualnym Portfelem Instrumentów Finansowych oferowana przez BZ WBK Asset Management S.A. Poznań 2012 Na czym polega usługa Zarządzania Portfelem Usługa Zarządzania Portfelem (asset

Bardziej szczegółowo

Być albo nie być produktów strukturyzowanych na polskim

Być albo nie być produktów strukturyzowanych na polskim Być albo nie być produktów strukturyzowanych na polskim rynku Wall Street 2009 Robert Raszczyk Główny Specjalista Dział Instrumentów Finansowych, GPW Zakopane, 06.06.2009 Program Czy wciąż potrzebna edukacja?

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego w rachunku oszczędnościowo-rozliczeniowym sporządzony na podstawie reprezentatywnego przykładu

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego w rachunku oszczędnościowo-rozliczeniowym sporządzony na podstawie reprezentatywnego przykładu Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego w rachunku oszczędnościowo-rozliczeniowym sporządzony na podstawie reprezentatywnego przykładu Imię, nazwisko (nazwa) i adres (siedziba) kredytodawcy

Bardziej szczegółowo

USŁUGA ZARZÑDZANIA. BZ WBK Asset Management SA. Indywidualnym Portfelem Instrumentów Finansowych. oferowana przez

USŁUGA ZARZÑDZANIA. BZ WBK Asset Management SA. Indywidualnym Portfelem Instrumentów Finansowych. oferowana przez USŁUGA ZARZÑDZANIA Indywidualnym Portfelem Instrumentów Finansowych oferowana przez BZ WBK Asset Management SA Poznaƒ 2011 Na czym polega usługa Zarzàdzania Portfelem Usługa Zarzàdzania Portfelem (Asset

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zaj ecia 5 Natalia Nehrebeceka 04 maja, 2010 Plan zaj eć 1 Rachunek prawdopodobieństwa Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania kredytów Rybnickiego Banku Spółdzielczego (obowiązuje dla kredytów udzielonych od dnia 05.03.2015 1 )

Tabela oprocentowania kredytów Rybnickiego Banku Spółdzielczego (obowiązuje dla kredytów udzielonych od dnia 05.03.2015 1 ) Załącznik do uchwały zarządu nr 204 /2015 z dnia 30.12.2015 r. wchodzi w życie z dniem 01.01.2016. r. Tabela kredytów Rybnickiego Banku Spółdzielczego (obowiązuje dla kredytów udzielonych od dnia 05.03.2015

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Matematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Matematyka finansowa Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku

Bardziej szczegółowo