ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I"

Transkrypt

1 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1

2 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe Dzia l III. Ubezpieczenia osobowe 2

3 Art Przez umowe ubezpieczenia zak lad ubezpieczeń zobowiazuje sie spe lnić określone świadczenie w razie zajścia przewidzianego w umowie wypadku, a ubezpieczajacy zobowiazuje sie zap lacić sk ladke. 2 Świadczenie zak ladu ubezpieczeń polega w szczególności na zap lacie: 1) przy ubezpieczeniu majatkowym - określonego odszkodowania za szkode powsta l a wskutek przewidzianego w umowie wypadku; 2) przy ubezpieczeniu osobowym - umówionej sumy pienieżnej, renty lub innego świadczenia w razie zajścia przewidzianego w umowie wypadku w życiu osoby ubezpieczonej. 3

4 Art Przed zawarciem umowy ubezpieczenia zak lad ubezpieczeń ma obowiazek doreczyć ubezpieczajacemu tekst ogólnych warunków ubezpieczenia. 2. Ogólne warunki ubezpieczenia określaja w szczególności 1) przedmiot i zakres ubezpieczenia, 2) sposób zawierania umowy ubezpieczenia, 3) zakres i czas trwania odpowiedzialności zak ladu ubezpieczeń, 4) prawa i obowiazki stron umowy, 6) sposób ustalania i op lacania sk ladki ubezpieczeniowej lub op lat pobieranych przez zak lad ubezpieczeń oraz 4

5 metod ich indeksacji, a także ich wysokość, 8) tryb, warunki oraz sposób dokonywania zmiany umowy ubezpieczenia zawartej na czas nieokreślony, 9) sposób ustalania wysokości szkody oraz wyp laty odszkodowania lub innego świadczenia 12) sum e ubezpieczenia i warunki jej zmiany...

6 Art Ubezpieczajacy obowiazany jest podać do wiadomości zak ladu ubezpieczeń wszystkie znane sobie okoliczności, o które zak lad ubezpieczeń zapytywa l w formularzu oferty albo przed zawarciem umowy w innych pismach. 5

7 Art Sk ladke oblicza sie za czas trwania odpowiedzialności zak ladu ubezpieczeń. 2. Jeżeli nie umówiono sie inaczej, sk ladka powinna być zap lacona jednocześnie z zawarciem umowy ubezpieczenia, a jeżeli umowa dosz la do skutku przed doreczeniem dokumentu ubezpieczenia - w ciagu czternastu dni od jego doreczenia. 7

8 Art Jeżeli nie umówiono sie inaczej, zak lad ubezpieczeń obowiazany jest spe lnić świadczenie w terminie dni trzydziestu, liczac od daty otrzymania zawiadomienia o wypadku. 8

9 Art Roszczenia z umowy ubezpieczenia przedawniaja sie z up lywem lat trzech. 9

10 Art Ubezpieczenie osobowe może w szczególności dotyczyć: 1) przy ubezpieczeniu na życie - śmierci osoby ubezpieczonej lub dożycia przez nia oznaczonego wieku; 2) przy ubezpieczeniu nast epstw nieszcz eśliwych wypadków - uszkodzenia cia la, rozstroju zdrowia lub śmierci wskutek nieszcz eśliwego wypadku. 10

11 Art Ubezpieczony może wskazać jedna lub wiecej osób uprawnionych do otrzymania sumy ubezpieczenia na wypadek jego śmierci; może również zawrzeć umowe ubezpieczenia na okaziciela. 11

12 Ze wzgl edu na czas obj ety ubezpieczeniem wyróżnia si e najcz eściej: na ca le życie terminowe odroczone 12

13 Ze wzgl edu na moment wyp laty sumy ubezpieczenia: chwila śmierci koniec roku śmierci koniec miesiaca,..., w którym nastapi la śmierć ubezpieczonego koniec okresu obj etego ubezpieczeniem, w przypadku gdy ubezpieczony żyje (ubezpieczenie na dożycie). 13

14 Sk ladka netto to kwota, która przeci etnie powinna wytarczyć na wyp laty z tytu lu ubezpieczenia. Sk ladka brutto, czyli kwota faktycznie pobierana od ubezpieczonego z tytu lu ubezpieczenia, powinna pokryć także koszt prowadzenia dzia lalności przez zak lad ubezpieczeń, może także zawierać narzut na ryzyko. 14

15 Niech b(t) bedzie suma ubezpieczenia, która za lad ubezpieczeniowy zobowiazuje sie wyp lacić z tytu lu umowy ubezpieczenia, jeżeli p latność nastapi w momencie t. Na przyk lad, jeżeli umowa przewiduje wyp late, jeżeli śmierć osoby ubezpieczonej nastapi w ciagu roku od momentu zawarcia umowy, to b(t) = 1, t < 1, 0, t 1. Funkcje b(t) nazywa sie funkcja korzyści. 15

16 Wartość obecna wyp laty z(t) = b(t)v t gdzie v = i = e δ v czynnik dyskonta odpowiadajacy technicznej stopie procentowej i δ nat eżenie oprocentowania. 16

17 Za lóżmy, że dany jest portfel n takich samych ubezpieczeń osób o takim samym statusie. Niech Z k bedzie zmienna losowa, której wartościa jest wartość obecna wyp laty z tytu lu ubezpieczenia. Twierdzenie 1 (Ko lmogorow) Niech X n : Ω R bedzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozk ladzie i takim, że E X 1 <. Wówczas P { ω : 1 lim n n n k=1 } X k = EX 1 = 1. 17

18 Zatem 1 n jeżeli n. n k=1 Z k 1 E(Z 1 ), Wniosek Średnia wyp lata wynosi EZ Sk ladka netto = wartość oczekiwana obecnej wartości wyp laty z tytu lu ubezpieczenia. 18

19 Ubezpieczenie x-latka na ca le życie p latne w momencie śmierci. Jednorazowa sk ladka netto Ā x = E [ v T ] x = Uwaga 0 vt f x (t)dt f x (t) = t p x µ [x]+t. 19

20 Ubezpieczenie terminowe x-latka z okresem ubezpieczenia n-lat p latne w momencie śmierci Funkcja korzyści b(t) = 1, t n 0, t > n. Jednorazowa sk ladka netto Ā 1x: n = n 0 vt tp x µ [x]+t dt = n 0 vt f x (t)dt. 20

21 Czyste ubezpieczenie na dożycie x-latka Funkcja korzyści b(t) = 1, t n, 0, t < n. Obecna wartość wyp laty Z = v n χ Tx n Jednorazowa sk ladka netto Ā x: 1 n = v n np x. 21

22 Odroczone ubezpieczenie na ca le życie x-latka z okresem odroczenia m-lat p latne w momencie śmierci Funkcja korzyści b(t) = 0, t m, 1, t > m. Jednorazowa sk ladka netto m Āx = m vt f x (t)dt = Ā x Ā 1x: m. 22

23 Ubezpieczenie bezterminowe z rosnac a suma ubezpieczenia p latne w momencie śmierci Funkcja korzyści b(t) = t (ĪĀ) x = 0 tvt f x (t)dt 23

24 Ubezpieczenie terminowe malejace skokowo Funkcja korzyści b(t) = n t, t n, 0, t > n. Jednorazowa sk ladka netto (DĀ) 1x: n = n 0 vt (n t ) t p x µ [x]+t dt. 24

25 Ubezpieczenie x-latka na ca le życie p latne na koniec roku śmierci ubezpieczonego Wartość obecna wyp laty Z = v Kx+1. Jednorazowa sk ladka netto A x = E [ v K x+1 ] = = = k=0 k=0 k=0 v k+1 P (K x = k) v k+1 P (k T x < k + 1) v k+1 kp x q [x]+k. 25

26 Ubezpieczenie terminowe x-latka m-letnie p latne na koniec roku śmierci Jednorazowa sk ladka netto A 1x: m = m 1 k=0 v k+1 P (K x = k) Odroczone ubezpieczenie na ca le życie x-latka z odroczeniem m-lat p latne na koniec roku śmierci Jednorazowa sk ladka netto m A x = A x A 1x: m = k=m v k+1 P (K x = k) 26

27 Ubezpieczenie o rosnacej sumie ubezpieczenia Wartość obecna wyp laty Z = (K + 1)v K+1 Jednorazowa sk ladka netto (IA) x = k=0 (k + 1)v k+1 kp x q [x]+k. 27

28 Przypadek ubezpieczenia p latnego na koniec m-tej cz eści roku Przypomnijmy S x (m) = ms x + 1, m gdzie S x = T x K x = T x T x. A (m) x JSN w ubezpieczeniu na ca le życie x- latka o sta lej sumie ubezpieczenia i p latności na koniec m-tego okresu roku śmierci. 28

29 Obserwacja 1 Przy za lożeniu HU zachodzi zwiazek A (m) x = i i (m)a x gdzie i (m) jest nominalna stopa procentowa, która przy kapitalizacji m razy w roku daje efektywna stope i. Dowód: A (m) x = E [ v K x+s x (m) ] [ = E v K x +1 v S(m) x 1 ] Przypomnijmy, że K x oraz S (m) x sa niezależnymi zmiennymi losowymi, jeżeli zachodzi HU. Z tego wynika, że v Kx+1, v S(m) x 1 sa niezależnymi zmiennymi losowymi. Zatem A (m) x = E [ v K x+1 ] E [ v S(m) x 1 ] = A x E [ v S(m) x 1 ]. 29

30 Pozostaje wi ec wyznaczyć Zauważmy, że E [ v S(m) x 1 ] = E [ v S(m) x 1 ]. = 1 m = 1 m m k=1 m v k m 1 P (S (m) x = k m ) k=1 m 1 k=0 (1 + i) 1 k m (1 + i) k m = 1 (1 + i) 1 m(1 + i) m 1 1 = i i (m). 30

31 Pytanie 1 Jak doskonale wiemy parametry rozk ladu zmiennej T x, a wi ec również K x możemy odczytać z TTŻ. Skad bierze sie wartość v? 31

32 Pytanie 2 Jakie jest prawdopodobieństwo, że zebrane sk ladki nie wystarcza na wyp laty? Powiedzmy, że interesuje nas A 1 30: x = 1 1, 05 q 30 = 0, wtedy, gdy i = 0, 05 i suma ubezpieczenia wynosi PLN. Wówczas sk ladka wyniesie 175,20PLN. W sytuacji jednego ubezpieczonego odpowiednie prawdopodobieństwo wynosi q 30. W sytuacji 100 takich samych ubezpieczeń prawdopodobieństwo bankructwa 100q

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie

Bardziej szczegółowo

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia. Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy 1 Matematyka aktuarialna 1. matematyka w ubezpieczeniach, 2. dok ladniej, matematyka ubezpieczeń na życie, 3. czasami szerzej,

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki. 1 Zadanie (29) zawar l umowe kredytu w momencie ukończenia

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio

Bardziej szczegółowo

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 4: UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia na życie

Ubezpieczenia na życie ROZDZIAŁ 4 Ubezpieczenia na życie Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub w ratach), a w zamian za to ubezpieczyciel

Bardziej szczegółowo

3 Ubezpieczenia na życie

3 Ubezpieczenia na życie 3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2 Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - Ubezpieczenia Ŝyciowe 2 Składki netto w ubezpieczeniach Ŝyciowych Zakład ubezpieczeniowy pobiera za ubezpieczenia składkę brutto, składającą się ze składki netto

Bardziej szczegółowo

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego

Bardziej szczegółowo

KODEKS CYWILNY z dnia 23 kwietnia 1964r. (Dz. U. Nr 16, poz. 93 z późn. zm.) KSIĘGA TRZECIA ZOBOWIĄZANIA. Tytuł XXVII. UMOWA UBEZPIECZENIA

KODEKS CYWILNY z dnia 23 kwietnia 1964r. (Dz. U. Nr 16, poz. 93 z późn. zm.) KSIĘGA TRZECIA ZOBOWIĄZANIA. Tytuł XXVII. UMOWA UBEZPIECZENIA KODEKS CYWILNY z dnia 23 kwietnia 1964r. (Dz. U. Nr 16, poz. 93 z późn. zm.) KSIĘGA TRZECIA ZOBOWIĄZANIA Tytuł XXVII. UMOWA UBEZPIECZENIA Rozdział 1 Przepisy ogólne Art. 805. 1. Przez umowę ubezpieczenia

Bardziej szczegółowo

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1 1. W populacji B natężenie wymierania µ ( B ) x jest większe od natężenia wymierania ( A) µ x w populacji A, jednostajnie o µ > 0, dla każdego wieku x tzn. ( B) ( A) µ µ x = µ. Niech ponadto x M( s) oznacza

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii przeżywalności

Elementy teorii przeżywalności Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 8 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 3 lat 3. P-two, że noworodek

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia życiowe

Ubezpieczenia życiowe Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ubezpieczenia życiowe 1. Z historii ubezpieczeń W uproszczeniu mówiąc mamy dwa tradycyjne modele ubezpieczeń. Pierwszy ma źródło w towarzystwach

Bardziej szczegółowo

Umowa ubezpieczenia. Główne źródła opracowania prezentacji: 1. Kidyba, Prawo handlowe, C.H.Beck 2016 r.

Umowa ubezpieczenia. Główne źródła opracowania prezentacji: 1. Kidyba, Prawo handlowe, C.H.Beck 2016 r. Umowa ubezpieczenia Główne źródła opracowania prezentacji: 1. Kidyba, Prawo handlowe, C.H.Beck 2016 r. 1 Przez umowę ubezpieczenia ubezpieczyciel zobowiązuje się, w zakresie działalności swego przedsiębiorstwa,

Bardziej szczegółowo

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 31

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza 1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym

Bardziej szczegółowo

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

USTAWA z dnia 13 kwietnia 2007 r. o zmianie ustawy Kodeks cywilny oraz o zmianie niektórych innych ustaw 1)

USTAWA z dnia 13 kwietnia 2007 r. o zmianie ustawy Kodeks cywilny oraz o zmianie niektórych innych ustaw 1) Kancelaria Sejmu s. 1/11 USTAWA z dnia 13 kwietnia 2007 r. Opracowano na podstawie: Dz.U. z 2007 r. Nr 82, poz. 557. o zmianie ustawy Kodeks cywilny oraz o zmianie niektórych innych ustaw 1) Art. 1. W

Bardziej szczegółowo

LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r.

LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci

1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci 1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci + t µ + t A + B 2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że z grupy tej nikt nie umrze w ciągu najbliższych 5 lat, jeśli

Bardziej szczegółowo

Obliczanie skãladek ubezpieczeniowych. oznaczaj ac, dãlugo s c _zycia noworodka. De nicja 1 Czas prze_zycia T(x) dla x-latka okre slony jest wzorem

Obliczanie skãladek ubezpieczeniowych. oznaczaj ac, dãlugo s c _zycia noworodka. De nicja 1 Czas prze_zycia T(x) dla x-latka okre slony jest wzorem Obliczanie skãladek ubezpizeniowych Nih x oznacza wiek osoby. Nih X b edzie, zmienn losow oznaczaj ac, dãlugo s c _zycia noworodka. De nicja Czas prze_zycia T(x) dla x-latka okre slony jest wzorem T(x)

Bardziej szczegółowo

KLAUZULA UBEZPIECZENIA KOSZTÓW OPIEKI NAD DZIEåMI LUB OSOBAMI NIESAMODZIELNYMI POLSKA

KLAUZULA UBEZPIECZENIA KOSZTÓW OPIEKI NAD DZIEåMI LUB OSOBAMI NIESAMODZIELNYMI POLSKA KLAUZULA UBEZPIECZENIA KOSZTÓW OPIEKI NAD DZIEåMI LUB OSOBAMI NIESAMODZIELNYMI POLSKA KLAUZULA UBEZPIECZENIA KOSZTÓW OPIEKI NAD DZIEåMI LUB OSOBAMI NIESAMODZIELNYMI POLSKA 1 1. Ta klauzula rozszerza umow

Bardziej szczegółowo

LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.

LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski

Matematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski Matematyka ubezpieczeń na życie Piotr Kowalski 27 stycznia 212 Spis treści 1 Elementy matematyki finansowej 1 1.1 Oznaczenia.............................. 1 1.2 Związki................................

Bardziej szczegółowo

LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r.

LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

DODATKOWE KLAUZULE UMOWNE

DODATKOWE KLAUZULE UMOWNE Załącznik Nr 26 do Uchwały nr 61/2007 Zarządu PTU S.A. z dnia 01 sierpnia 2007 roku DODATKOWE KLAUZULE UMOWNE do Ogólnych Warunków Ubezpieczenia odpowiedzialności cywilnej przewoźnika drogowego w ruchu

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje

Bardziej szczegółowo

LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r.

LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.

XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych r. . W populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym ω = 50, dzieckiem jest się do wieku d. W wieku d rozpoczyna się pracę i pracuje się do wieku p.w wieku p przechodzi

Bardziej szczegółowo

1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: =

1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: = . Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: ~ 0,9g( t) 0 t < 50 g ( t) =,2 g( t) 50 t. opisuje ona śmiertelność

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.

LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ), Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:

Bardziej szczegółowo

Umowa ubezpieczenia oprac. Tomasz A. Winiarczyk

Umowa ubezpieczenia oprac. Tomasz A. Winiarczyk Umowa ubezpieczenia oprac. Tomasz A. Winiarczyk ubezpieczenie urządzenie gospodarcze, zapewniające pokrycie pewnych potrzeb majątkowych, wywołanych u pewnych jednostek przez odznaczające się pewna prawidłowością

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś

Bardziej szczegółowo

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r.

LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.

LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Sprawdź, czy wektor x 0 = (0,5,,0,0) jest rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego: Zminimalizować 3x 1 +x +x 3 +4x 4 +6x 5, przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia gospodarcze (majątkowe i osobowe) są jeszcze niedocenianym elementem działalności wielu zamawiających.

Ubezpieczenia gospodarcze (majątkowe i osobowe) są jeszcze niedocenianym elementem działalności wielu zamawiających. Ubezpieczenia gospodarcze (majątkowe i osobowe) są jeszcze niedocenianym elementem działalności wielu zamawiających. Ubezpieczenia gospodarcze (majątkowe i osobowe) są jeszcze niedocenianym elementem działalności

Bardziej szczegółowo

XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.

XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych r. 1. W danej populacji intensywność śmiertelności zmienia się skokowo w rocznicę narodzin i jest stała aż do następnych urodzin. Jaka jest oczekiwana liczba osób z kohorty miliona 60-latków, które umrą po

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.

Bardziej szczegółowo

LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r.

LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 28

Bardziej szczegółowo

OCHRONNE UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE NORDEA MAX

OCHRONNE UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE NORDEA MAX OCHRONNE UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE NORDEA MAX PRZEDMIOT UBEZPIECZENIA Życie ubezpieczonego Umowa ubezpieczenia może być zawarta w dwóch wariantach: wariant I na jedno życie wariant II na dwa życia 2 ZAKRES

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenie odpowiedzialności cywilnej funkcjonariuszy publicznych opis warunków ubezpieczenia oferowanych przez STU ERGO HESTIA S.A.

Ubezpieczenie odpowiedzialności cywilnej funkcjonariuszy publicznych opis warunków ubezpieczenia oferowanych przez STU ERGO HESTIA S.A. Ubezpieczenie odpowiedzialności cywilnej funkcjonariuszy publicznych opis warunków ubezpieczenia oferowanych przez STU ERGO HESTIA S.A. Definicje 1. za Ustawę uważa się Ustawę z dnia 20 stycznia 2011 o

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

I. Postanowienia typowe (zgodne z art. 12a ustawy o działalności ubezpieczeniowej)

I. Postanowienia typowe (zgodne z art. 12a ustawy o działalności ubezpieczeniowej) Ogólne Warunki Ubezpieczenia na Życie z Ubezpieczeniowym Funduszem Kapitałowym ze Składką Jednorazową Multiportfel Asas/Multiportfel Protekt Skandia Życie TU S.A. data wejścia w życie - 10 sierpnia 2007

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka Biomatematyka Niech X n oznacza proporcję pozycji w nici DNA, które po n replikacjach są obsadzone takimi samymi nukleotydami, jak w chwili początkowej, tak więc X 0 = 1. Zakładamy, że w każdej replikacji

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być

Bardziej szczegółowo

LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

4. Ubezpieczenie Życiowe

4. Ubezpieczenie Życiowe 4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego

Bardziej szczegółowo

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Metody aktuarialne - opis przedmiotu

Metody aktuarialne - opis przedmiotu Metody aktuarialne - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Metody aktuarialne Kod przedmiotu 11.5-WK-MATP-MA-W-S14_pNadGenEJ6TV Wydział Kierunek Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r. 1. Niech oznacza przeciętne dalsze trwanie życia w ciągu najbliższego roku obliczone przy założeniu hipotezy interpolacyjnej o stałym natężeniu wymierania między wiekami całkowitymi. Podobnie niech oznacza

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka Biomatematyka W 200-elementowej próbie losowej z diploidalnej populacji wystąpiło 89 osobników genotypu AA, 57 osobników genotypu Aa oraz 54 osobników genotypu aa. Na podstawie tych danych (a) dokonaj

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

2a. Przeciętna stopa zwrotu

2a. Przeciętna stopa zwrotu 2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

do Regulaminu ZFŚS Komendy Portu Wojennego Świnoujście Dofinansowanie do urlopów pracowników, tzw. wczasy pod gruszą

do Regulaminu ZFŚS Komendy Portu Wojennego Świnoujście Dofinansowanie do urlopów pracowników, tzw. wczasy pod gruszą Załącznik nr 1 do Regulaminu ZFŚS Komendy Portu Wojennego Świnoujście Dofinansowanie do urlopów pracowników, tzw. wczasy pod gruszą Lp. Średni dochód netto na osobę w rodzinie Kwota dofinansowania do urlopu

Bardziej szczegółowo

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej 5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do ubezpieczeƒ podró nych POLSKA

Wprowadzenie do ubezpieczeƒ podró nych POLSKA Wprowadzenie do ubezpieczeƒ podró nych POLSKA Witaj mi oêniku podró y, cieszymy si, e kupi eê nasze ubezpieczenie. Wiemy, e podczas swojej podró y chcesz si cieszyç wolnym czasem a bezpieczeƒstwo jest

Bardziej szczegółowo

Maciej Kaczmarek Ruslan Tykhoniuk Adam Wojszczyk Piotr Zajączkowski

Maciej Kaczmarek Ruslan Tykhoniuk Adam Wojszczyk Piotr Zajączkowski Maciej Kaczmarek Ruslan Tykhoniuk Adam Wojszczyk Piotr Zajączkowski Ujęcie prawne Umowny obowiązek dokonania świadczenia przez ubezpieczyciela na rzecz ubezpieczającego (tj. osoby zawierającej z ubezpieczycielem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Aktuariat i matematyka finansowa. Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life

Aktuariat i matematyka finansowa. Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life Aktuariat i matematyka finansowa Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life Budowa składki ubezpieczeniowej Składka ubezpieczeniowa cena jaką ubezpieczający płaci za ochronę ubezpieczeniowa

Bardziej szczegółowo

dr Hubert Wiśniewski 1

dr Hubert Wiśniewski 1 dr Hubert Wiśniewski 1 Agenda: 1. Rodzaje i czynniki ryzyka w przedsiębiorstwie ubezpieczeniowym. 2. Miary ryzyka przedsiębiorstwa ubezpieczeniowego. 3. Zarządzanie ryzykiem ubezpieczeniowym w przedsiębiorstwie

Bardziej szczegółowo

4. Ubezpieczenie Życiowe

4. Ubezpieczenie Życiowe 4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego

Bardziej szczegółowo

LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r.

LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Aktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia

Aktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Aktuariat i matematyka finansowa Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Tworzenie rezerw i ich wysokość wpływa na Obliczanie zysku dla potrzeb podatkowych, Sprawozdawczość dla udziałowców,

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych

Bardziej szczegółowo

Umowy Dodatkowe. Przewodnik Ubezpieczonego

Umowy Dodatkowe. Przewodnik Ubezpieczonego Umowy Dodatkowe Przewodnik Ubezpieczonego Umowy dodatkowe sà uzupe nieniem umowy ubezpieczenia na ycie. Za cz sto niewielkà sk adk mo esz otrzymaç dodatkowà ochron. Dzi ki temu Twoja umowa ubezpieczenia

Bardziej szczegółowo

XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.

XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

WARTA GWARANCJA Lokata Ubezpieczeniowa

WARTA GWARANCJA Lokata Ubezpieczeniowa WARTA GWARANCJA Lokata Ubezpieczeniowa Ogólne Warunki Ubezpieczenia POSTANOWIENIA OGÓLNE 1 1. Niniejsze ogólne warunki ubezpieczenia WARTA GWARANCJA Lokata Ubezpieczeniowa (OWU) stosuje się w umowach ubezpieczenia

Bardziej szczegółowo

ROZPORZÑDZENIE MINISTRA FINANSÓW. z dnia 7 listopada 2001 r.

ROZPORZÑDZENIE MINISTRA FINANSÓW. z dnia 7 listopada 2001 r. Dziennik Ustaw Nr 135 10543 Poz. 1518 1518 ROZPORZÑDZENIE MINISTRA FINANSÓW z dnia 7 listopada 2001 r. w sprawie informacji, jakie powinien zawieraç wniosek o przyrzeczenie podpisania Umowy DOKE, oraz

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Piotr Szczepankowski Poziom studiów (I lub II stopnia): I stopnia

Bardziej szczegółowo

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r.

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Rozdział V: Istotne dla stron postanowienia umowy: UMOWA GENERALNA NA ZADANIE A+B - UMOWA GENERALNA NA ZADANIE C

Rozdział V: Istotne dla stron postanowienia umowy: UMOWA GENERALNA NA ZADANIE A+B - UMOWA GENERALNA NA ZADANIE C Powiatowy Zarząd Dróg w Kędzierzynie - Koźlu PZD.272.9.2014 Rozdział V: Istotne dla stron postanowienia umowy: UMOWA GENERALNA NA ZADANIE A+B - UMOWA GENERALNA NA ZADANIE C Powiatowy Zarząd Dróg w Kędzierzynie

Bardziej szczegółowo

1. Przyszła długość życia x-latka

1. Przyszła długość życia x-latka Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której

Bardziej szczegółowo

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i

Bardziej szczegółowo