Matematyka finansowa DSFRiU

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka finansowa DSFRiU"

Transkrypt

1 Matematyka finansowa DSFRiU notatki do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania Podręczniki 1. M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa M. Szałański, Matematyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe Wydziały Zarządzania UW, Warszawa K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje, PWN, Warszawa E. Nowak (red.), Matematyka i statystyka finansowa, Warszawa M. Szałański, Matematyka finansowa wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Naukowe Wydziału Zarządzania UW, Warszawa tcm pdf Pojęcie podstawowe Inwestycja rezygnacja z bieżącej konsumpcji na rzecz przyszłych i niepewnych korzyści. Inwestycje finansowe to inwestycje, których przedmiot inwestycji ma charakter niematerialny (tzw. instrument finansowy). Najważniejszymi cechami inwestycji finansowych są: dochód różnica między wartością końcową, a wartością początkową inwestycji. Miarą dochodu jest stopa rentowności (stopa zwrotu, stopa dochodu); ryzyko możliwość osiągnięcia wyniku inwestycji innego niż oczekiwany; płynność możliwość zamiany przedmiotu inwestycji, na gotówkę w krótkim okresie po oczekiwanej cenie. Instrument finansowy kontrakt zawierany między dwiema stronami określający zależność finansową, w której obie strony pozostają. instrumenty dłużne (wierzycielskie) jedna strona kontraktu pożycza kapitał drugiej stronie, zaś druga strona zobowiązuje się zwrócić dług i zapłacić odsetki (lokaty, kredyty); instrumenty udziałowe (własnościowe) jedna strona kontraktu sprzedaje drugiej stronie prawo własności przedsiębiorstwa (akcje); 1

2 instrumenty pochodne (terminowe) dwie strony określają transakcję, do której może lub musi dojść w przyszłości między tymi stronami (opcje 1, kontrakty terminowe 2 ). Kapitał początkowy kapitał, który generuje odsetki. Odsetki to korzyść z kapitału (zapłata za udostępnienie środków finansowych). Odsetki stają się kapitałem dopiero po kapitalizacji, przedtem nie procentują. Kapitał końcowy kapitał początkowy wraz z odsetkami. Czas oprocentowania czas, w którym są generowane odsetki. Okresowa stopa procentowa stosunek odsetek do kapitału, który je wygenerował w ustalonym okresie. Zwykle wyrażamy ją w procentach (a więc pomnożone przez 100%) ale w obliczeniach oczywiście jest ułamkiem (oznaczamy tym samym symbolem). Okres kapitalizacji okres, po upływie którego odsetki, które narosły, doliczane są do depozytu, podlegając oprocentowaniu i zwiększając tym samym dochód inwestora. Standardowe oznaczenia F V (ang. future value) kapitał końcowy, wartość końcowa inwestycji; I (ang. interest) odsetki; P V (ang. present value, principal) kapitał początkowy, wartość początkowa inwestycji; i, r (ang. interest rate) stopa procentowa, stopa zwrotu, stopa rentowności; n liczba okresów kapitalizacji. Rachunek czasu W obliczaniu odsetek trzeba obliczać okresy czasu. Najważniejsze rachunki dotyczą określania liczby dni między określonymi datami i zamiana liczby dni na liczbę lat. W praktyce stosuje się dwie miary: kalendarzową (miesiąc ma 31, 30 lub 28/29 dni, rok ma 365 lub 366 dni) i bankową (miesiące mają po 30 dni, rok ma 360 dni). Nie liczy się pierwszego dnia (np. dnia wpłaty na konto) ale liczy się dzień ostatni (np. dzień wypłaty z konta). Reguła bankowa obliczamy liczbę dni kalendarzowych i dzielimy przez liczbę dni w roku bankowym (korzystniejsza dla wierzyciela, czyli banku udzielającego kredytu). Przykład. Ile lat (według reguły bankowej) minie od 20 lutego 2012 do 18 maja 2014? Obliczenia liczby dni dokonujemy dzieląc czas na pełne miesiące i uzupełniając je dwoma miesiącami niepełnymi na początku i końcu okresu. obliczenia kalendarzowe: od 20 lutego 2012 do 1 marca dni, od 1 marca 2012 do 1 marca 2014 dwa lata = 730 dni, marzec 31 dni, kwiecień 30 dni i uzupełnienie maja dni czyli razem 818 dni, co daje 818/365 2,241 lat. obliczenia bankowe: niepełny luty: = 10, 26 miesięcy po 30 dni: = 780 i niepełny maj 18, razem = 808 dni. Liczba lat bankowych: 808/360 = 2,244. reguła bankowa: Liczba dni taka sama jak w obliczeniach kalendarzowych. Zatem liczba lat w regule bankowej: 818/360 = 2, instrument pochodny o niesymetrycznym profilu wypłaty umowa dająca nabywcy opcji prawo, a wystawcy (sprzedającemu) obowiązek kupna/sprzedaży określonej ilości instrumentu bazowego w określonym terminie i po z góry ustalonej cenie 2 instrumenty pochodne o symetrycznym profilu wypłaty umowa zobowiązująca kupującego oraz sprzedającego (wystawcę) do zawarcia transakcji kupna/sprzedaży instrumentu bazowego w określonym czasie i po ustalonej cenie. 2

3 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 3 Zadanie 1. Ile dni (a) kalendarzowych (b) bankowych upłynęło między 8 marca a 28 września 2014 roku, a ile upłynie między 10 stycznia a 20 maja 2016 roku? 1. Procent prosty Najprostszy sposób wyznaczenia stopy dochodu (stopy zwrotu z inwestycji finansowej), gdy inwestycja trwała n okresów jest obliczenie stosunku odsetek do kapitału początkowego i podzielenie tego stosunku przez liczbę okresów: r = F V P V. np V Prowadzi to do modelu oprocentowania prostego (odsetki nie są doliczane do kapitału, a więc nie generują odsetek). Zasada oprocentowania prostego Procent (odsetki) oblicza się od kapitału początkowego proporcjonalnie do długości czasu oprocentowania. Oprocentowanie proste stosuje się w bankowych transakcjach krótkoterminowych (poniżej jednego roku), poza sferą bankową niezależnie od czasu oprocentowania, do analizy transakcji z dyskontem handlowym. Z zasady oprocentowania prostego wynika, że odsetki w okresie n lat (które zależą od rocznej stopy procentowej i kapitału początkowego) można przedstawić jako: I n = P V rn. Stąd kapitał końcowy F V = P V + I n = P V + P V rn i model oprocentowania prostego (równanie wiążące cztery podstawowe wielkości) ma postać: F V = P V (1 + nr). Z tych wzorów można obliczyć wszystkie cztery wielkości ( klasyczne zagadnienia procentu prostego ): F V = P V (1 + nr), P V = F V 1 + nr, n = 1 ( ) F V r P V 1, r = 1 ( ) F V n P V 1. Jeżeli dany jest kapitał końcowy F V to kapitał początkowy nazywamy zdyskontowaną wartością kapitału czyli kapitał jaki trzeba złożyć by przy stopie procentowej r uzyskać wartość F V po n okresach kapitalizacji. Przykład. Mam zamiar wygrać jutro w Lotto 2 mln. zł i chcę ulokować je w banku na procent aby odsetki wydać na wakacjach za pół roku. (a) Bank oferuje stopę roczną 4,4%. Ile razem będę mógł wydać na wakacjach? F V = (1 + 0,044 0,5) = (b) W tych samych warunkach chcę uzyskać kwotę zł ile muszę włożyć na lokatę (wygrana plus dopłata)? P V = , ,044 0,5

4 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 4 (c) Chcę uzyskać kwotę taką jak wyżej także w ciągu pół roku z samej wygranej (bez dopłaty) jaką stopę procentową roczną muszę wynegocjować z bankiem? r = 1 ( ) , = 0,1, czyli r = 10%. (d) Nadal chcę uzyskać z samej wygranej taką kwotę jak poprzednio, ale wynegocjowałem stopę roczną 5,5% kiedy będę mógł jechać na wakacje? n = 1 ( ) , ,9091 roku, czyli n = 0, dni lub prawie 11 miesięcy. Zadanie 2. Obliczyć wartość kapitału końcowego, gdy kapitał początkowy 3000 zł jest oprocentowany według stopy 7% po okresie (a) 5 lat; (b) 240 dni. Zadanie 3. Odsetki od 3-letniej lokaty są naliczane z dołu (na koniec okresu oprocentowania). Po wpłacie zł po trzech latach odebrano zł. Jaka jest roczna stopa procentowa, zakładając, że była niezmienna? Zadanie 4. Przy jakiej stopie oprocentowania prostego wartość 4-letniej lokaty z odsetkami naliczanymi po terminie zwiększy się (a) o 26%, (b) o 1/4. Zadanie 5. Ile łącznie wyniesie koszt pożyczki 12 tys. złotych na półtora roku, jezeli co kwartał trzeba zapłacić 3% pożyczonej kwoty? Zadanie 6. Po jakim czasie oprocentowania prostego przy rocznej stopie 7,2% wartość lokaty zł (a) podwoi się, (b) zwiększy się do zł, (b) zwiększy się ponad 25%. Oprocentowanie proste w podokresach Stopa podokresowa stopa procentowa ustalona dla określonej, ustalonej części roku. Przyjmuje się, że ustalona część roku dla wyznaczenia stopy podokresowej powinna być taka, by dla pewnego k, jej k-ta wielokrotność była równa jeden rok (choć możliwe są podokresy dłuższe niż rok). Zwykle stosuje się podokresy równe: półrocze (k = 2), kwartał (k = 4), miesiąc (k = 12), tydzień (k = 52), dzień (k = 365) (podokresowi równemu 2 lata odpowiada parametr k = 1 2 ). Jeżeli n jest okresem oprocentowania wyrażonym w latach, to m k = nk jest okresem wyrażonym w podokresach. Przy zastosowaniu stopy podokresowej model oprocentowania prostego jest następujący: F V = P V (1 + r k m k ). Równoważność stóp procentowych Stopy procentowe są równoważne jeżeli przy każdej z nich, kapitał początkowy P V generuje w czasie n odsetki o identycznej wartości. Niech r k1 i r k2 będą stopami podokresowymi. Wyprowadzimy wzór na ich równoważność. Najpierw obliczamy czas oprocentowania wyrażony w podokresach: m k1 = nk 1 i m k2 = nk 2. Stopy są równoważne gdy generują takie same odsetki, a więc gdy P V r k1 nk 1 = P V r k2 nk 2,

5 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 5 a stąd r k1 k 1 = r k2 k 2. Z tego wzoru można obliczyć stopę procentową r k2 równoważną stopie procentowej r k1 : r k2 = r k1 k 1 k 2. Podstawiając odpowiednie wartości możemy znaleźć stopę roczną równoważną stopie podokresowej r = kr k (bo stopę roczną można traktować jako stopę podokresową z parametrem 1). Zadanie 7. Spłata 40 dniowej pożyczki 5000 zł wyniosła 5200 zł. Obliczyć stopę oprocentowania prostego tej pożyczki oraz równoważną stopę roczną, przy założeniu czasu według reguły bankowej. Zadanie 8. Podokresowe stopy oprocentowania prostego (a) 3,75%, (b) 60%, (c) 1,25%, (d) 17,5% są równoważne rocznej stopie 15%. Jakich podokresów dotyczą te stopy? Zadanie 9. Ile trzeba wpłacić na lokatę (a) roczną, (b) półroczną, (c) miesięczną aby w każdym przypadku odebrać kwotę 1200 zł, jeżeli okresowa stopa oprocentowania każdej lokaty jest proporcjonalna do kwartalnej stopy 2,7%? Zadanie 10. Za zakupy u detalisty mogę zapłacić dziś 150 zł, albo za miesiąc 150,45 zł. Za zakupy u hurtownika mogę zapłacić za kwartał 8072,00 zł lub dziś 8000,00. (a) Jakie stopy podokresowe stosowane są przez tych dwóch sprzedawców w obliczaniu kredytu kupieckiego? Czy są on równoważne? (b) Jakie są roczne stopy procentowe równoważne stopom podokresowym z części (a)? [(a) i 12 = 0,3%, i 4 = 0,9%, są równoważne, (b) równoważna stopa roczna i = 3,6%] Zadanie 11. Jeżeli pożyczę w Abanku zł to za 5 miesięcy muszę oddać 3 060, a jeżeli pożyczę w Bbanku to za dwa kwartały muszę oddać (w obu wypadkach jest naliczane oprocentowanie proste). Jakimi stopami podokresowymi posługują się te banki? Czy te stopy są równoważne? 2. Dyskonto handlowe Dyskontowanie (rzeczywiste) jest procesem odwrotnym do oprocentowania. Jest to obliczenie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego. Różnicę między kapitałem końcowym a początkowym nazywamy dyskontem (o tyle trzeba pomniejszyć kapitał końcowy aby otrzymać kapitał początkowy). P V = F V 1 + rn, D = F V P V = F V rn 1 + rn gdzie D jest dyskontem (równym odsetkom). Dyskonto handlowe proste Dyskontem handlowym nazywa się opłatę za pożyczkę obliczoną na postawie kwoty, którą dłużnik zwróci po określonym czasie, i zapłaconą w chwili otrzymania pożyczki (odsetki płatne z góry). Roczna stopa obliczania nazywa się stopą dyskontową. Przykład. (a) Obliczenia odsetkowe: pożycz 100 zł, za rok oddam ci o 20% więcej : teraz dostaję 100 zł, za rok oddaję 100(1 + 0, 2) = 120 zł. (b) Obliczenia dyskontowe: za rok mogę oddać ci 120 zł, daj mi teraz o 20% mniej : za rok oddaję 120 zł, a teraz dostaję 120 0, = = 96 zł.

6 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 6 Zasada dyskonta handlowego prostego. Dyskonto jest obliczane od kwoty, którą dłużnik zwróci po określonym czasie, jest proporcjonalne do tego czasu i jest odejmowane od tej kwoty w chwili udzielania pożyczki. Dyskonto od kwoty F V (końcowej) za czas n przy dane stopie dyskontowej d oblicza się jako D = F V dn i model dyskonta handlowego prostego ma postać P V = F V D = F V F V dn, czyli P V = F V (1 dn). Z tego modelu wynikają wzory na kapitał końcowy, stopę dyskontową i czas oprocentowania: F V = P V 1 dn, d = 1 ( 1 P V ), n = 1 ( 1 P V ), n F V d F V albo Przykład. F V = P V 1 dn, d = D F V n, n = D F V d. (a) Za pół roku wygram kumulację 10 mln. zł, ile teraz pożyczki mogę dostać przy rocznej stopie dyskontowej 12%? P V = (1 6 0, 12 ) = ,94 = (b) Teraz chcę zł ile oddam po pół roku ze stopą dyskontową 12%? F V = ,12 12 = ,94 = ,87 (c) Teraz chcę zł, a za pół roku dam , jaka musi być stopa dyskontowa? d = ,5 = 0,095 czyli 9,5% (d) Chcę spłacić zł kwotą zł ze stopą dyskontową 10%, kiedy mam spłacić pożyczkę? n = ,1 0,4 czyli ok. 5 miesięcy Zadanie 12. Pożyczkę 5600 zł spłacono po 3 miesiącach kwotą 5900 zł. Jeżeli opłatą za pożyczkę były (a) odsetki płatne z dołu, obliczyć stopę procentową, [21,43%] (b) odsetki płatne z góry, obliczyć stopę dyskontową. [20,34%] Zadanie 13. Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na zakup surowców w kwocie Jaka powinna być wartość nominalna weksla poręczającego transakcję, jeżeli strony zgodziły się na stopę dyskontową d = 11%. [25161,29] Zadanie 14. Za towar kupiony w hurtowni trzeba zapłacić w ciągu 28 dni, ale jeżeli zapłaci się w ciągu 7 dni to otrzymuje się rabat w wysokości 3%. Przy jakiej stopie dyskontowej d warto wziąć pożyczkę by skorzystać z rabatu przy odsetkach płatnych z góry [d < 51, 43%], a z dołu [i < 53, 02%].

7 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 7 Równoważność stóp procentowej i dyskontowej Przykład. Otrzymujemy atrakcyjną ofertę: lokata dwuletnia oprocentowana procentem prostym ze stopą roczną 10%. Aby z niej skorzystać bierzemy 1000 zł pożyczki, na dwa lata z oprocentowaniem prostym i stopą dyskontową także 10%, i wpłacamy na lokatę. Czy to się opłaca? Podstawiamy podane wartości do równań dla lokaty (oprocentowanie): i pożyczki (dyskontowanie): F V = P V (1 + rn) = 1000(1 + 0,1 2) = 1200 F V = P V 1 dn = ,1 2 = , 8 = Jak widać na takim działaniu, przy równych stopach procentowej i dyskontowej, nie można zarobić. Jaka więc powinna być zależność tych stóp procentowych? Roczna stopa procentowa i roczna stopa dyskontowa są równoważne w okresie n jeżeli dyskonto i odsetki obliczone w tym czasie dla tej samej pożyczki są równe. Czyli F V dn = P V rn lub Stąd mamy związek równoważnych stóp procentowych r = P V F V dn = P V rn lub F V dn = 1 dn 1 + rn rn. d 1 dn lub d = r 1 + rn oraz n = 1 d 1 r. Zauważmy, że stopy procentowa i dyskontowa są równoważne tylko w konkretnym ustalonym okresie oprocentowania (równoważność zależy od n). Przykład. Obliczmy stopę procentową na jaką trzeba ulokować pieniądze w poprzednim przykładzie by nie stracić na tej operacji. Podstawiamy do wzoru stopę dyskontową 10% i okres 2 lata: r = d 1 dn = 0,1 1 0,1 2 = 0,125. Czyli stopa procentowa równoważna stopie dyskontowej 10% w okresie 2 lat jest równa 12,5%. Zadanie 15. Opłata za 6-cio miesięczny kredyt w wysokości 10 tys. zł ma postać dyskonta obliczanego przy stopie d równoważnej stopie i = 12,75% w okresie 6 miesięcy. (a) Ile wynosi ta opłata? [599,29] (b) Ile wyniosłaby ta opłata przy kredycie krótszym o 3 miesiące? [309] Weksle Obliczanie oprocentowania od kwoty końcowej kapitału, czyli oprocentowanie antycypatywne ma zastosowanie przede wszystkim do weksli 3. Weksle są narzędziem rozliczeń krótkoterminowych. Zwykle są poręczeniem za kredyt, czyli pełnią funkcję płatniczą (ale wręczenie weksla nie jest zapłatą!). Matematyczne zasady w rachunku weksli są takie jak zasady dyskonta handlowego prostego, a czas nalicza się według reguły bankowej. Obowiązuje następująca terminologia: 3 Weksel to dokument, w którym trasnat zobowiązuje się bezwarunkowo, że trasat wypłaci remitentowi sumę wekslową dokładnie określonego dnia i w określonym miejscu. Prawo wekslowe w Polsce jest regulowane ustawą z 1936 roku!

8 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 8 wartość nominalna weksla kwota pożyczki F V wartość dyskonta weksla zapłata za pożyczkę, dyskonto D wartość aktualna weksla kwota pożyczki pomniejszona o dyskonto P V czas wykupu weksla czas pożyczki, czas oprocentowania n Przykład. Zobowiązanie do zapłaty za zakupione towary o wartości 9 210,71 zł ma postać weksla podpisanego dnia 5 marca 2014 roku na sumę zł z terminem wykupu 16 maja (a) Nazwij wszystkie elementy tego weksla (wartość nominalną, wartość dyskonta, wartość aktualną oraz czas wykupu). (b) Oblicz czas wykupu weksla. [72 dni] (c) Oblicz (roczną) stopę dyskontową, według której obliczono ten weksel. [8,5%] (d) Oblicz stopę równoważną oprocentowania w tym samym czasie. [8,65%] Zadanie 16. Malkolm Merlot 7 marca 2014 roku bierze pożyczkę w wysokości 9300,00 zł podpisując weksel na kwotę nominalną zł z datą wykupu 3 lipca (a) Jaka jest stopa dyskontowa tej transakcji? [21,36%] (b) Jaka jest stopa procentowa równoważna tej stopie dyskontowej? [22,97%] Zadanie 17. Jeżeli wystawię weksel na kwotę płatny za pół roku obliczony według rocznej stopy dyskontowej 4,6% i będę obracał otrzymanymi pieniędzmi tak, że nadwyżka nad kapitał początkowy będzie wynosiła 365 zł, to czy wystarczy mi na spłacenie weksla? Jaka będzie różnica? [NIE zabraknie 3 zł.] Zadanie 18. Podpisuję weksel na kwotę zł płatny za pół roku obliczony według rocznej stopy 3,8%. Za otrzymane pieniądze kupuję złoto, na którym przez pół roku zarabiam 4%. Ile złotych mi zostanie po spłacie weksla? Zadanie 19. Bony skarbowe to inaczej weksle skarbowe. Są to krótkoterminowe papiery wartościowe emitowane przez Skarb Państwa. Sprzedaż odbywa się na podstawie aukcji ofert. Publikowana jest liczba bonów, każdy po i termin wykupu (zwykle 4, 8, 13, 26 lub 52 tygodnie). Zakłada się sprzedaż z dyskontem, a więc chętni składają oferty zakupu z podaniem liczby bonów i ceny jednostkowej bonu. Wygrywa najwyższa cena, większa od ustalonego (ale utajnionego) pułapu. Bank BAB złożył zamówienie na 400 mln zł wartości nominalnej bonów 8 tygodniowych z ceną 9818 zł za 10 tys. zł wartości nominalnej. ( ) (a) Jaką stopę dyskontową założył bank BAB składając ofertę? [d = P V F V = 0,117 czyli 11,7%] (b) Jaką będzie roczna stopa zysku tego banku jeżeli ich oferta będzie zaakceptowana i nie nastąpi redukcja zakupu? [ ,119 czyli 11,9%] Zadanie 20. Jaką cenę zakupu 26-tygodniowych bonów skarbowych powinien zgłosić bank BAB w ofercie przetargowej, aby osiągnąć rentowność tej inwestycji w skali roku na poziomie przynajmniej 10%?

9 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 9 3. Oprocentowanie składane Zasada oprocentowania składanego Odsetki kapitalizuje się na koniec każdego okresu kapitalizacji. Stąd wynika model oprocentowania składanego. W obliczaniu oprocentowania mamy 4 wielkości: K 0 kapitał początkowy, i stopa procentowa (i od ang. interest; zwykle podawana w procentach i 100% ale wykorzystywana jako ułamek), n liczba okresów kapitalizacji i S n kapitał po n okresach kapitalizacji przy procencie składanym. W tym przypadku n musi być liczba całkowitą dodatnią. Model oprocentowania składanego ma postać: Z tych wzorów można obliczyć wszystkie wielkości: S n = K 0 (1 + i) n, I n = K 0 ((1 + i) n 1). K 0 = S Sn n ln K, n = 0 (1 + i) n ln(1 + i), i = n Sn K 0 1 Zadanie 21. Kwotę 8 tys. zdeponowano w banku na 9% rocznie z rocznym okresem kapitalizacji. Jaka jest wartość depozytu po 6 latach, ile odsetek ten kapitał wygenerował? A gdy kwota 20 tys, 8%, 10 lat, a kwota 25 tys., 6,6% 15 lat. Zadanie 22. Po ilu latach oprocentowania przy rocznej stopie 4,5% wartość kapitału 8000 przekroczy 10 tys. zł? [6 lat] Zadanie 23. Jeżeli ma zamienić się w w ciągu 5 lat na jaki procent trzeba ulokować te kwotę zakładając kapitalizację kwartalną? (podać stopę nominalną) Zadanie 24. Jaką kwotę trzeba ulokować w banku na 8% aby za 12 lat mieć ?[79422,75] Przykład. Po jakim czasie kapitał podwaja swoją wartość w oprocentowaniu składanym? Podstawiamy do wzoru n = ln 2K 0 K 0 ln(1 + i) = ln 2 ln(1 + i) Na podstawie tego wzoru można ułożyć tabelę zależności czasu podwojenia kapitału od stopy oprocentowania: stopa i liczba lat do podwojenia 70/i stopa i liczba lat do podwojenia 70/i 1 69, 66 70, , 71 1, , 27 7, , 47 1, , 80 3, , 31 1, , 64 2, , 18 0, , 06 1, , 08 0, 78 Reguła 70 W oprocentowaniu składanym ze stopą i kapitał podwaja się po około 70 i latach.

10 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 10 Kapitalizacja W oprocentowaniu składanym wielkość odsetek zależy nie tylko od stopy procentowej ale także od długości okresu kapitalizacji (liczby okresów kapitalizacji w ciągu czasu oprocentowania). Zwykle przyjmuje się liczbę okresów kapitalizacji taką, by rok stanowił całkowitą wielokrotność okresu kapitalizacji (półrocze, kwartał, miesiąc itp.). Jeżeli w roku jest k okresów kapitalizacji (k N) i stopą procentową dla tego okresu kapitalizacji (stopą podokresową) jest i k to stopę procentową proporcjonalną do stopy podokresowej i k nazywamy nominalna stopą procentową. Nominalną stopę procentową dla podokresowej stopy i k obliczamy ze wzoru i nom = k i k. Model oprocentowania składanego dla stopy podokresowej i k w czasie n lat ma postać ( S n = K 0 (1 + i k ) m k lub S n = K i nom k gdzie m k = nk jest liczbą okresów kapitalizacji). Oczywiście stopa nominalna nie jest równoważna stopie podokresowej, to znaczy, że w tym samym czasie stopy te dają różne odsetki (stopa podokresowa daje większe odsetki). Stopę równoważną stopie podokresowej w okresie n nazywamy stopą efektywną. Aby wyrazić stopę efektywną w okresie n lat za pomocą stopy podokresowej trzeba porównać kapitał końcowy po tym okresie obliczony dla stopy podokresowej i dla stopy rocznej. K 0 (1 + i) n = K 0 (1 + i k ) nk. Stąd, wykonując dzielenie i pierwiastkowanie otrzymujemy i = (1 + i k ) k 1. (gdzie k jest liczba podokresów w roku). Jak widać stopa efektywna zależy od stopy podokresowej i liczby podokresów w roku, ale nie zależy od długości okresu oprocentowania. Stosunek kapitału po n + 1 latach do kapitału po n latach jest stały ) nk S n+1 S n = K 0(1 + i k ) (n+1)k K 0 (1 + i k ) nk = (1 + i k ) k = ρ k i jest nazywany rocznym czynnikiem oprocentowującym (ang. future value interest factor FVIF ). Zauważmy, że roczna stopa efektywna to roczny czynnik oprocentowujący pomniejszony o 1: i = ρ k 1 lub inaczej: czynniki oprocentowujące obliczone dla stopy efektywnej (traktowanej jak stopa roczna) i stopy podokresowej mają taką samą wartość: ρ 1 = 1 + i ef = (1 + i k ) k = ρ k. Zadanie 25. Jaką kwotę trzeba ulokować w banku na 8% aby za 12 lat mieć ? A gdyby kapitalizacja była półroczna? ciągła? [79422,75, 78024,29, 76578,58] Zadanie 26. Jak często trzeba kapitalizować odsetki od kapitału aby w ciągu 2 lat przy stopie procentowej 6% wygenerował odsetki co najmniej 1520 zł (podać najdłuższy okres kapitalizacji) [co 2 miesiące - 6 kapitalizacji w roku] Zadanie 27. Jakie będą odsetki z 1 USD ulokowanego na 8 lat z roczną stopą procentową 12% gdy kapitalizacja jest (a) półroczna, (b) kwartalna, (c) dwumiesięczna.

11 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 11 Stopa zmienna w oprocentowaniu składanym Załóżmy, że dla kolejnych lat j = 1, 2,..., n dane są efektywne (albo roczne) stopy procentowe: i (1), i (2),..., i (n). Zatem w roku j-tym roczny czynnik oprocentowujący ma postać (1 + i (j) ), a wartość kapitału w kolejnych latach wynosi S 1 = K 0 (1 + i (1) ), S 2 = K 0 (1 + i (1) )(1 + i (2) ), S 3 = K 0 (1 + i (1) )(1 + i (2) )(1 + i (3) ),... S n = K 0 (1 + i (1) )(1 + i (2) )(1 + i (3) )..., (1 + i (n) ). Stąd łatwo wyprowadzić model oprocentowania rocznego przy stopie zmiennej w czasie: czyli S n = K 0 (1 + i (1) )(1 + i (2) )(1 + i (3) )..., (1 + i (n) n n ) = K 0 (1 + i (j) ), I n = K 0 (1 + i (j) ) 1 Stopa przeciętna daje takie same odsetki w tym samym czasie, zatem spełnia równość K 0 (1 + ī) n = K 0 n (1 + i (j) ) n 1 + ī = n (1 + i (j) ) a więc czynnik oprocentowujący jest średnią geometryczną czynników oprocentowujących w poszczególnych latach, a wzór na stopę przeciętną ma postać: n ī = n (1 + i (j) ) 1. Zadanie 28. Czy wartość kapitału 8,5 tys. zł kapitalizowana na koniec każdego roku gdy dzisiejsze oprocentowanie 2,5% będzie rosło w skali 0,25 punktu procentowego rocznie, ale nie więcej niż do 3,5% przekroczy po pięciu latach 10 tys.? [nie, oprocentowanie w kolejnych latach 2,75%, 3%, 3,25%, 3,5%, 3,5% i warttość kapitału 9949, 67] Zadanie 29. O ile musi wzrosnąć w trzecim roku oprocentowanie czteroletniej lokaty aby osiągnąć co najmniej 5900 zł jeżeli przez pierwsze dwa lata kapitał 5000 wygenerował 366,48 zł odsetek? [pierwsze dwa lata 3,6%, a więc kolejne dwa lata trzeba 4,9% (co daje 5905,28) czyli wzrost o 1,3 punktu procentowego, albo przez stopę równoważną] Zadanie 30. Bank BAA proponuje lokaty trzyletnie progresywną: w pierwszym roku oprocentowanie 5% i co rok wzrasta o 1 punkt procentowy, i stabilną: stale 6%. Którą wybrać? [stopa równoważna progresywnej: 5,997%, a więc są równoważne - różnica przy kapitale 10 tys. 1 zł i 6 groszy] Zadanie 31. Są trzy banki BAA, BAB, BAC, które przyjmują pieniądze tylko na 1 rok i oferują oprocentowanie, odpowiednio 3,5%, 4%, 3% rocznie. W jakiej kolejności lokować pieniądze w tych bankach by uzyskać jak najwięcej? [nie ma znaczenia - stopa przeciętna zależy od iloczynu czynników oprocentowujących, a mnożenie jest przemienne]

12 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 12 Kapitalizacja ciągła Łatwo zauważyć, że przy tej samej stopie nominalnej im częściej następuje kapitalizacja tym szybciej rośnie kapitał, czyli kapitał rośnie tym bardziej im krótszy jest czas kapitalizacji. Graniczną wartość otrzymamy gdy maksymalnie skrócimy czas kapitalizacji, czyli gdy k. Wielkość kapitału oczywiście zależy od czynnika oprocentowującego, a więc zbadajmy granicę: ( lim ρ k = lim (1 + i k ) k = lim 1 + i ) k nom = e inom k k k k Mówimy wtedy o ciągłej kapitalizacji odsetek lub o oprocentowaniu ciągłym. Mamy zatem następujący model oprocentowania ciągłego S n = K 0 e icn, I n = K o (e icn 1) gdzie i c jest stopą nominalną oprocentowania ciągłego. Rozważmy teraz równoważność stóp procentowych: rocznej stopy oprocentowania składanego i nominalnej stopy oprocentowania ciągłego. Oczywiście stopa nominalna oprocentowania ciągłego nie jest rozwiązaniem. Skonstruujemy najpierw roczny czynnik oprocentowujący w oprocentowaniu ciągłym, czyli stosunek kapitału po okresie n + 1 do kapitału po okresie n: ρ c = K 0e icn+1 K 0 e icn = eicn e ic e icn = e ic. Z rozważań nad stopą efektywną wynika, że stopa roczna będzie równoważna stopie oprocentowania ciągłego, gdy odpowiednie czynniki oprocentowujące będą równe, czyli ī jest roczną stopą równoważną stopie oprocentowania ciągłego i c gdy 1 + ī = e ic. Zadanie 32. Jakie największe i najmniejsze odsetki wygeneruje kapitał 5000 zł w ciagu 5 lat z roczną stopą procentową wynoszącą 5%? 10% [1420,13, 1250; 3243,61, 2500] Zadanie 33. Czy można tak dobrać okres kapitalizacji by kapitał 4500 zł wygenerował w ciagu 3 lat odsetki co najmniej 1250 zł przy rocznej stopie procentowej 8%? Zadanie 34. Na jaki procent (a) miesięczny (b) kwartalny (c) roczny trzeba złożyć lokatę by po roku otrzymać największe możliwe odsetki przy rocznej stopie nominalnej 6%? [(a) ok. 0,5%, (b) ok. 1,51%, (c) ok. 6,18%] Zadanie 35. Jaka jest roczna stopa oprocentowania równoważna nominalnej stopie oprocentowania ciągłego 10%? [10,5% - na 10 tys, 2 ciągu 5 lat różnica tylko ok. 13 zł] Zadanie 36. Jaką stopę oprocentowania rocznego trzeba zastosować by wygenerować takie same odsetki jak trzyletnia lokata kapitalizowana w sposób ciągły ze stopą nominalną 4,25% rosnącą co rok o 0,25 punktu procentowego? [4,6% - stopa równoważna stopie przeciętnej (czyli średeniej arytmetycznej) stóp 4,25%, 4,5%, 4,75%]

13 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW Inflacja Inflacja to wzrost ogólnego poziomu cen mierzony stosunkiem cen towarów i dóbr konsumpcyjnych należących do ustalonego koszyka w danym momencie do cen tych dóbr w okresie bazowym (zwykle w roku poprzednim). Inflacja może mieć skutki złe (spada realna wartość płacy, a więc rosną koszty utrzymania) i dobre (zmniejsza się zadłużenie, a więc rośnie zasobność portfela). Przyczyny inflacji (według tradycyjnej teorii monetarnej) prawdziwe jest równanie (czasami nazywane równaniem Fishera): M V = P Q gdzie M ilość pieniędzy w obiegu, V prędkość obiegu pieniądza (w danym okresie), P cena produktu i Q ilość produktu. W tym równaniu tradycyjnie, w teorii przyjmuje się, że Q i V są stałe. wtedy wraz ze wzrostem ilości pieniądza (M) rośnie cena produktu (P ). Takie teorie są wprawdzie krytykowane bo, jak twierdzą krytycy, masa pieniądza wywiera wpływ na wielkość produkcji (powoduje wzrost gospodarczy, który przekłada się na zwiększenie zatrudnienia, a więc zwiększenie produkcji). Z matematycznego punktu widzenia inflacja jest oprocentowaniem składanym bo nawarstwia się w kolejnych okresach. Ponieważ inflacja zwykle nie jest stała w ciągu roku powinno się w obliczeniach stosować model zmiennej stopy inflacji. Na chwilę, dla uproszczenia załóżmy jednak, że stopa inflacji i inf jest stałą stopą roczną. Podobnie jak w przypadku czynnika oprocentowania wprowadzamy czynnik inflacji, czyli wyrażenie 1 + i inf : stosunek poziomu cen przyszłych do cen wyjściowych. Uwzględnienie inflacji wymaga rozróżnienia kapitału nominalnego (F V ) czyli kapitału wyrażonego w jednostkach pieniężnych zgodnie z obliczeniami oprocentowania oraz realnej wartości kapitału (F V real ) kapitału przeliczonego na aktualną siłę nabywczą. Możemy zatem rozpatrywać stopę nominalną r nom (lub po prostu r) oraz stopę realną r real oprocentowania. Stopy te i stopę inflacji wiąże wzór Fishera 1 + r nom = (1 + r real )(1 + i inf ). Wynika on z prostej obserwacji, że wartość realna kapitału po okresie oprocentowania to zdyskontowana (dyskontem realnym ze stopą równą stopie inflacji) wartość nominalna tego kapitału, gdzie modyfikatorem jest czynnik inflacji: F V real = F V 1 + i inf czyli F V real = P V 1 + r nom 1 + i inf lub P V (1 + r real ) = P V 1 + r nom 1 + i inf. Z tej zależności wynika, że czynnik oprocentowania realnego jest ilorazem czynnika nominlanego i czynnika inflacji: Stąd można wyznaczyć stopę realną: 1 + r real = 1 + r nom 1 + i inf. r real = 1 + r nom 1 + i inf 1 = r nom i inf 1 + i inf. Stąd wynika, że jeżeli inflacja jest dodatnia to stopa realna jest mniejsza niż różnica stopy nominalnej i stopy inflacji (wydaje się paradoksalne). Gdy stopa inflacji nie jest stała to stosuje się takie same wzory i rozważania jak dla stopy oprocentowania składanego. Zatem, jeżeli przez n 1 okresów stopa inflacji była równa i 1, przez n 2 okresów była równa i 2 itd. aż do n p okresów ze stopą inflacji i p gdzie p k=1 n k = n to w ciągu n okresów (zakładamy stopę inflacji zgodną ze stopą oprocentowania r) łączna stopa inflacji wynosi i inf = (1 + i 1 ) n 1 (1 + i 2 ) n 2... (1 + i p ) np 1, a kapitał realny na koniec tego okresu obliczymy ze wzoru F V real = P V (1 + r)n (1 + r) n = P V 1 + i inf (1 + i 1 ) n 1 (1 + i2 ) n 2... (1 + ip ). np

14 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 14 W takim przypadku można mówić o przeciętnej stopie inflacji: Waloryzacja i inf śr = n (1 + i 1 ) n 1 (1 + i2 ) n 2... (1 + ip ) np 1. W matematyce finansowej (w obliczeniach) łatwym i eleganckim sposobem uwzględnienia inflacji jest waloryzacja kapitału o czynnik inflacji przed oprocentowaniem. Jest to wykorzystanie wzoru na kapitał realny z uwzględnieniem inflacji: F V real = P V (1 + r), 1 + i inf P V gdzie jest właśnie waloryzacją kapitału. Wtedy nominalna stopa procentowa r oznacza stopę rzeczywistego pomnożenia kapitału (ale kapitał jest mniejszy - 1+i inf zwaloryzowany). Przykład. Nakłady na pewne działania z tym roku wzrosły o 10%, a inflacja roczna wynosi 5%. O ile, realnie wzrosły nakłady? Korzystamy ze wzoru na stopę realną i otrzymujemy r real = r nom i inf 1 + i inf = Realne nakłady wzrosły tylko o około 4,8%. 0,1 0, ,05 0,048 Przykład. Uznano, że przy inflacji na poziomie 5% pożyczka zostanie po dwóch latach spłacona kwotą Obliczamy realną roczną stopę oprocentowania tej pożyczki. Dwuletni czynnik nominalny dla tej pożyczki wynosi ρ 2 nom = 8000 = 1,1429 Zatem roczna stopa nominalna spełnia równanie (1 + r 7000 nom) 2 = 1,1429 a więc wynosi r nom 0,069 czyli 6,9%. Przy rocznej stopie inflacji 5% stopa realna wynosi czyli około 1,8%. r real = 0,069 0, ,05 0,018 Przykład. Oprocentowanie kwartalnej lokaty bankowej w wysokości zł wynosi 3% (kwartalnie). Jeżeli inflacja jest na poziomie 1,5% kwartalnie, to nominalna kwota lokaty na koniec kwartału wynosi (1 + 0,03) = zł, czyli odsetki wyniosły 300 zł. Realna wartość tej lokaty na koniec kwartału wynosi /(1 + 0,015) = ,78. Realna wartość odsetek jest równa 300/1,015 = 295,57. Zatem na koniec kwartału realny przyrost lokaty to tylko 147,78 zł, choć realna wartość dopisanych odsetek jest większa. Wynika to z tego, że z powodu inflacji stracił wartość także ulokowany kapitał. Zadanie 37. Ceny rosną ze średnią stopą inflacji 3% rocznie, obliczane (i zmieniane) kwartalnie. Jaka będzie cena samochodu Smart Fortwo za dwa lata? Aktualna cena [42357,79] Zadanie 38. (Pieniądze w skarpecie). Inflacja w Polsce za rok 2012 wyniosła 3,7%, a za rok ,9%. Gdyby ktoś 1 stycznia 2012 dostał banknot 100 zł i przechował go w portfelu do 31 grudnia 2013 roku to ile realnie miałby pieniędzy? [96,43 po roku, 95,57 po drugim roku] Zadanie 39. Przed rokiem płaca pewnego robotnika wynosiła 800 zł, a pewnego urzędnika 2500 zł. W ciągu tego roku obaj otrzymali podwyżkę 100 zł. Inflacja roczna utrzymała sie na poziomie 5%. O ile realnie wzrosła płaca każdego z tych pracowników? [ ,14; ,19] Zadanie 40. Inflacja kwartalna (rok do roku):

15 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 15 Jaka była roczna inflacja w tych latach? kwartał I 1,7% 2,1% II 1,3% 1,5% III 0,5% 0,4% IV 0,4% 1,3% [2012 2,92%, ,56%] Zadanie 41. W ciągu roku stopa inflacji malała z 2,5% w pierwszym kwartale co kwartał o 0,5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną i przeciętną stopę inflacji w tym roku. [roczna: i inf = 7,179%, przeciętna i inf śr = 1,748%] Zadanie 42. Płaca pracownika w I kwartale wynosiła 1400 zł. miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0,8 stopy inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach stopa inflacji była równa odpowiednio 4%, 3%, 1% i 3%. Wyznaczyć: (a) płacę pracownika w I kwartale następnego roku i (b) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku. [(a) (1444,80, 1479,48, 1491,31) 1527,10, wzrost nominalny r = 1527, = 0,0908 = 9,08%, wzrost realny r real = 0,0908 0, ,1144 = 0,0212 = 2,12% (i inf śr = 11,44%)] Zadanie 43. Lokata: 13% w skali roku, kapitalizacja kwartalna, składana z dołu. Inflacja w kolejnych kwartałach: 5%, 3%, 2% i 4%. Jaka jest realna stopa procentowa tej lokaty? [r efektywna = (1 + 0,13 4 )4 1 = 13,65% i inf = 14,73%, r real efektywna = 0,94%] Zadanie 44. inwestujemy 5000 zł chcąc uzyskać stopę realną równą r real = 10%. Spłata ma nastąpić za dwa lata, a inflację przewidujemy na poziomie 2% rocznie. (a) Jaką kwotę powinniśmy otrzymać? (b) Jeżeli otrzymamy umówiona kwotę, a inflacja w pierwszym roku utrzyma się na poziomie 1,0%, a w drugim wzrośnie do 2,5% to jaka będzie nasza stopa realna? [(a) nominaly czynnik oprocentowania 1 + r = (1 + r real )(1 + i inf ) = 1,122 i wtedy F V = 6 294,42, (b) przeciętny czynnik inflacji 1 + i inf śr = 1,175 i stopa realna r real = r i inf śr 1+i inf śr = 8,9%]

16 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW Wartość kapitału w czasie Przykład. 1 stycznia 2015 roku kapitał ma wartość K = 1000 zł. Przy oprocentowaniu prostym ze stopą roczną i = 25% 1 stycznia 2016 roku kapitał ten będzie miał wartość K 1 = K(1+0,25) = ,25 = 1250 zł. 1 stycznia 2014 roku miał wartość K 0 = K/(1 + 0,25) = 1000/1,25 = 800 zł. Gdyby 1 stycznia 2013 roku ten kapitał został wpłacony na 2 letnią lokatę oprocentowaną według modelu prostego to 1 stycznia 2016 wart byłby 800(1 + 0,25 2) = 1200 zł. Natomiast gdyby kapitał 1250 zł zdyskontować ze stopą procentową r = 25% przez dwa lata według modelu prostego to otrzymalibyśmy kapitał początkowy 1250/(1 + 0,25 2) = 1250/1,5 = 833,33. Czyli zł 1000 zł 1250 zł 800 zł 1200 zł 833,33 zł 1250 zł Powodem tych różnic jest składanie operacji oprocentowania w pierwszym wierszu (odsetki procentują). Aktualizacja wartości kapitału to obliczenie wartości kapitału, znanego w danym momencie, w dowolnym innym momencie. Jeżeli obliczamy wartość kapitału w przyszłości to mówimy o Future Value i oznaczamy F V. Wartość obecną nazywamypresent Value i oznaczamy P V. Obliczenie F V przy danej P V to oprocentowanie, a obliczenie P V gdy dana jest F V to dyskontowanie rzeczywiste. (nie mylić z dyskontowaniem handlowym). Przykład. Mam teraz w banku 500 zł na lokacie rocznej oprocentowanej 10%, za rok dostanę 550 zł. Jaki kapitał mam teraz? Ile będę miał za rok? Za rok będę miał 500 zł lokaty plus 10% czyli 550 zł oraz 550 nowej wpłaty, czyli razem 1100 zł. Teraz mam 500 zł lokaty i 550 zdyskontowane na dziś, czyli 550/(1 + 0,1) = 500. Razem dziś mam 1000 zł. Trzeba zwrócić uwagę, że ani dziś ani za rok nie będę miał 1050 zł co wynika z prostego dodania kwot nominalnych. Wartość kapitału w czasie wyrażamy jako funkcję K(t) gdzie t R jest czasem wyrażonym w latach. Przyjmujemy, że K(t 0 ) > 0 to znana wartość kapitału w czasie t 0. Będziemy rozważać oprocentowanie składane (dlaczego wyjaśnienie później) z roczną stopą procentową r > 0 oraz rocznym okresem kapitalizacji. Korzystamy zatem z modelu: F V = P V (1 + r) n, P V = F V (1 + r) n = F V (1 + r) n. Jeżeli t > t 0 to K(t) jest wartością przyszłą (F V ) kapitału aktualnego K(t 0 ) (czyli K(t 0 ) to P V ), a czas oprocentowania wynosi t t 0 i wtedy K(t) = K(t 0 )(1 + r) t t 0. Jeżeli natomiast t < t 0 to K(t) jest wartością aktualną dla wartości przyszłej K(t 0 ) z czasem oprocentowania t 0 t, zatem K(t) = K(t 0 )(1 + r) (t 0 t) = K(t 0 )(1 + r) t t 0. Zatem wartość kapitału K(t 0 ) zaktualizowana na dowolny moment t, wcześniejszy, późniejszy lub nawet równy t 0, jest równa K(t) = K(t 0 )(1 + r) t t 0 gdzie t R. Jest to model wartości kapitału w czasie przy stopie oprocentowania rocznego r. Ten model ma trzy własności. (a) Model nie zmienia się, jeżeli wartość początkową kapitału K(t 0 ) zamienimy na wartość tego kapitału zaktualizowaną na dowolny moment t 1. Dla kapitału początkowego K(t 1 ) w momencie t 1 model ma postać K(t) = K(t 1 )(1 + r) t t 1, a ponieważ wiemy, że K(t 1 ) = K(t 0 )(1 + r) t 1 t 0 to K(t) = K(t 1 )(1 + r) t t 1 = K(t 0 )(1 + r) t 1 t 0 (1 + r) t t 1 = K(t 0 )(1 + r) t t 0.

17 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 17 (b) Aktualizacja kapitału z t 0 na moment t 2 jest złożeniem aktualizacji z t 0 na t 1 i z momentu t 1 na moment t 2 : K(t 2 ) = K(t 0 )(1 + r) t 1 t 0 (1 + r) t 2 t 1. (c) Model jest addytywny ze względu na kapitał, czyli jeżeli m K(t 0 ) = K j (t 0 ) i K j (t) = K j (t 0 )(1 + r) t t 0 dla j = 1, 2,..., m to m K(t) = K j (t 0 )(1 + r) t t 0 = K(t 0 )(1 + r) t t 0. Ten model jest tylko modelem formalnym dla t / Z bo zakładamy kapitalizację roczną. Aby mieć dokładny opis wartości kapitału w dowolnej chwili musimy posłużyć się kapitalizacją ciągłą, a więc stworzyć podobny model dla kapitalizacji ciągłej. Przyjmijmy zatem, że dana jest stopa nominalna oprocentowania rocznego z kapitalizacją ciągła i c > 0 oraz kapitał na chwilę t 0 : K(t 0 ). Podobnie jak dla kapitalizacji rocznej gdy t > t 0 F V obliczamy jako oprocentowanie P V, a gdy t < t 0 P V obliczmy dyskontując K(t 0 ) traktowane jako F V : { K(t0 )e K(t) = ic(t t 0) dla t > t 0 K(t 0 )e ic(t 0 t) dla t < t 0 Stąd model dla kapitalizacji ciągłej K(t) = K(t 0 )e ic(t t 0) dla t R. Jest to model wartości kapitału w czasie przy stopie oprocentowania ciągłego i c. Jeżeli przyjmiemy stopy równoważne oprocentowania rocznego r oraz oprocentowania ciągłego i c, czyli takie, że 1 + r = e ic to otrzymamy identyczne modele, z tym, że model oprocentowania ciągłego lepiej odpowiada logice kapitalizacji w dowolnym momencie. Praktycznie modele najczęściej są wykorzystywane gdy przyjmuje się t 0 = 0, wtedy K(t) = K(0)(1 + r) t lub K(t) = K(0)e ict przy założeniu, że stopy r i i c są równoważne. Model wartości kapitału w czasie jest wykorzystywany do wyceny rent, modelowania spłaty długów i analizy inwestycji finansowych. Ma także zastosowania bezpośrednie. Przykład. Koszty produkcji pewnych towarów modeluje funkcja ϕ(t), gdzie t to czas w latach (przyjmijmy, że funkcja kosztów jest ciągła), czyli ϕ(t) określa koszt poniesiony dokładnie w chwili t. Łączne koszty poniesione w pewnym okresie: [0, T ] to oczywiście suma kosztów ponoszonych w każdej chwili tego okresu, czyli całka: T ϕ(t) dt. 0 Tak byłoby w istocie gdyby kapitał nie zmieniał się w czasie. Jednak tak nie jest, a więc gdy okres jest długi to trzeba uwzględnić zmiany kapitału, a więc koszty uaktualnić na ten sam moment T, czyli funkcję kosztu zastąpić funkcją ϕ(t)(1+r) T t (koszty z każdej chwili aktualizujemy na moment T koniec okresu). Zatem łączny koszt na moment T jest równy Φ(T ) = T 0 ϕ(t)(1 + i) T t dt.

18 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 18 Ten sam koszt zaktualizowany na moment 0 wyraża się wzorem T Φ(0) = Φ(T )(1 + i) 0 T = (1 + i) T ϕ(t)(1 + i) T t dt = Korzystając z modelu oprocentowania ciągłego możemy zamienić podane całki na Φ(T ) = T 0 0 ϕ(t)e ic(t t) dt i Φ(0) = T 0 T 0 ϕ(t)e ict dt. ϕ(t)(1 + i) t dt. Zasada równoważności kapitałów Kapitały K 1 i K 2 są równoważne w chwili t jeżeli ich wartości zaktualizowane na moment t są równe. Niech kapitały K 1 i K 2 będą równoważne w chwili t. Wtedy, ponieważ K 1 (t) = K(t 1 )(1 + r) t t 1 K 2 (t) = K(t 2 )(1 + r) t t 2 to ich równoważność prowadzi do równania i a stąd otrzymujemy K(t 1 )(1 + r) t t 1 = K(t 2 )(1 + r) t t 2 K(t 1 )(1 + r) t 1 = K(t 2 )(1 + r) t 2 (po podzieleniu obu stron przez (1 + r) t ). Analogicznie dla oprocentowania ciągłego, dla kapitałów równoważnych w chwili t mamy K(t 1 )e ict 1 = K(t 2 )e ict 2. W obu przypadkach warunek równoważności nie zawiera t, a więc można mówić po prostu o kapitałach równoważnych. Uwaga: kapitały równoważne przy danej stopie procentowej nie są równoważne przy innej stopie procentowej. Przykład. W chwili 0 dany jest kapitał 600 jednostek pieniężnych. Przyjmujemy stopę procentową 10% i oprocentowanie proste. Wtedy kapitał początkowy zaktualizowany na chwilę 2 ma wartość K(1) = K(0)(1 + 2i) = 720, a w chwili 2 wartość K( 2) = K(0)/(1 + 2i) = 500. Jednak kapitał K( 2) zaktualizowany na chwilę 2, ma wartość K(2) = K( 2)(1 + 4r) = 500( ,1) = = K(2). Zatem w tym modelu nie można mówić o jednolitej wartości kapitału w czasie, ani o równoważności kapitałów - dlatego model oprocentowania prostego nie nadaje się do budowy ogólnego, uniwersalnego modelu zmiany kapitału w czasie. Zadanie 45. (a) Jaką wartość po 8 latach będzie miał kapitał oprocentowany stopą roczną 8%, który dwa lata temu miał wartość 2000? [2000(1 + 0, 08) 8 ( 2) 4317, 85] (b) Jaką wartość przed czterema laty miał kapitał, który za 10 lat będzie wart 17206,40 przy oprocentowaniu 12% rocznie? [17206, 4(1 + 0, 12) , 77]

19 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 19 Zadanie 46. (a) Czy kapitał K 1 taki, że K 1 ( 1) = 9000 jest równoważny kapitałowi K 2 takiemu, że K 2 (6) = 12664, przy stopie procentowej 5%? Czy jest im równoważny kapitał K 3 taki, że K 3 (4, 5) = 11770, 19? [tak, tak] (b) Czy kapitały K 1 i K 2 są równoważne przy stopie procentowej oprocentowania ciągłego 4,5% jeżeli K 1 ( 2) = 3052, 53 i K 2 (3, 5) = 3909, 74, a kapitały K 1 i K 3 gdy K 3 (1) = 3561, 85 [tak, nie] Zadanie 47. (a) Przy jakiej stopie procentowej rocznej kapitały K 1 i K 2 są równoważne jeżeli K 1 (1) = i K 2 (5) = 14904? [4%] (b) Przy jakiej stopie procentowej ciągłej kapitały K 1 i K 2 są równoważne jeżeli K 1 (0,5) = 90 i K 2 (4) = 100? [ln K1 K 2 /(0,5 4) 3%] Zadanie 48. Kredyt 3400 wzięty przed 2 laty będzie spłacony w dwóch ratach: 2100 dziś i reszta za dwa lata. Jaka będzie druga rata gdy oprocentowanie roczne wynosi 9%? A gdyby to było oprocentowanie ciągłe (z taką samą stopą nominalną jak podana stopa roczna)? [3400(1 + 0, 09) (1 + 0, 09) , 37; 3400e 0, e 0, , 16] Zadanie 49. Nowy samochód (VW Polo najtańszy ale z pakietem klimatyzacja+system audio) kosztuje zł. Sprzedawca oferuje możliwość zapłaty w ratach 4 25%, czyli co pół roku jedną czwartą ceny (pierwsza wpłata za pół roku i potem regularnie co pół roku), albo, w przypadku zapłaty gotówką, rabat na ubezpieczenie AC (2% ceny samochodu). Zakładając, że mogę zapłacić całą kwotę już dziś, który wariant mam wybrać? (pieniądze mogę ulokować w PKO na lokacie oprocentowanej stopą roczną nominalną 1,7% z kapitalizacją miesięczną). [kwota na dziś: cała spłata odliczając rabat: ,00, zaktualizowana na dziś suma wpłat: ,91] Zadanie 50. Czy kredyt spłacany w trzech rocznych ratach: zł przez pierwsze dwa lata i zł w trzecim roku jest równoważny kredytowi spłacanemu w czterech malejących rocznych ratach, z których pierwsza jest równa 2 500, a każda następna jest mniejsza od poprzedniej o 500 zł? Przyjmujemy oprocentowanie roczne takie jak Mini Ratka, czyli 7,77%. [tak oba zaktualizowane na początek mają wartość 6495,31 zł.] Zadanie 51. Niech kapitały K 1 i K 2 będą równoważne. (a) Wykazać, że dla dowolnego α R i α > 0 kapitały K 1 = αk 1 i K 2 = αk 2 są równoważne. (b) Czy dla dowolnego α R i α > 0 kapitały K 1 = α + K 1 i K 2 = α + K 2 są równoważne?

20 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW Rachunek rentowy Definicja. Rentą kapitałową nazywamy ciąg wypłat, które powtarzają się w równych odstępach w określonym przedziale czasu (systematycznie uzyskiwane dochody z kapitału, które nie wymagają pracy). Przykład. Renty: comiesięczne wypłaty wynagrodzenia, kwartalne płatności z tytułu spłaty długu, miesięczne wpłaty na rachunek w kasie mieszkaniowej, roczna dywidenda z tytułu posiadania akcji, systematyczne wpłaty na rachunek oszczędnościowy. Poszczególne płatności w ramach renty to raty, okres między kolejnymi płatnościami okres bazowy. Renta prosta to renta, w której okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek. Renta zwykła lub płatna z dołu, postnumerando to renta, w której raty następują na koniec okresu, a renta płatna z góry, prenumerando to taka, w której płatności następują na początku okresu bazowego. Renta czasowa lub skończona to renta o skończonej ustalonej liczbie rat, renta wieczysta to renta o nieskończonej (nieokreślonej) liczbie lat. Renta zwykła, prosta i skończona to renta. Główne zadanie rachunku rentowego to wycena renty czyli określenie kapitału równoważnego rencie. Wycena na moment t to suma wszystkich rat zaktualizowanych na moment t. Definicja. Wartość początkowa renty to wycena na moment 0, czyli suma wartości wszystkich rat zaktualizowana na moment początkowy renty. Wartość końcowa renty to wycena na moment n (koniec okresu wypłacania renty), czyli suma wartości wszystkich rat zaktualizowana na moment końcowy n. Oznaczenia: R j rata płatna w momencie j, dla j = 1, 2,..., n, i stopa procentowa okresu bazowego, P V wartość początkowa renty (presnet value); F V wartość końcowa renty (future value). Przyjmujemy, że jednostką czasową jest okres bazowy. Dla uproszczenia przyjmujemy, że badamy renty płatne z dołu (postnumerando) i oprocentowane stałą stopą procentową (nie dyskontową). Obliczamy wartość początkową renty. Pierwsza rata zostaje zapłacona po okresie bazowym od chwili początkowej, a więc gdyby bank miał te pieniądze na początku, a wypłacił dopiero po tym okresie to w chwili wypłaty miałby R 1 = R(1 + i), zatem w chwili początkowej wartość tej raty to R = R 1 (1 + i) 1. Podobnie rozumując dla raty drugiej możemy stwierdzić, że jej wartość w chwili początkowej to R 2 (1+i) 2 bo została wypłacona po dwóch okresach bazowych. Analogicznie jest dla każdej raty, a więc n P V = R j (1 + i) j. Obliczenie wartości końcowej jest analogiczne. Jeżeli rata R 1 została wypłacona po pierwszym okresie bazowym, a wszystkich okresów bazowych jest n to wartość pierwszej raty na końcu okresu wypłaty renty jest równa R 1 (1 + i) n 1 bo kwota ta nie procentowała przez pierwszy okres. Analogicznie jest dla wszystkich rat (ostatnia n-ta rata nie procentuje). Zatem n F V = R j (1 + j) n j. Porównując te wzory (i zasadę ich tworzenia) łatwo zauważyć, że P V (1 + i) n = F V Istotnie n P V (1 + i) n = (1 + i) n n n R j (1 + i) j = R j (1 + i) j (1 + i) n = R j (1 + i) n 1 = F V.

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa DSFRiU (niestacjonarne)

Matematyka finansowa DSFRiU (niestacjonarne) Matematyka finansowa DSFRiU (niestacjonarne) notatki do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania Podręczniki 1. M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa,

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

I = F P. P = F t a(t) 1

I = F P. P = F t a(t) 1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Maciej Wolny I. Kalkulacja wartości pieniądza w czasie... 1 II. Nominalna, efektywna i realna stopa procentowa... 4 III. Spłata kredytów w równych i różnych

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1.

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1. Grupy 1-2 Zadanie 1. Sprawdźcie ofertę dowolnych 5 banków i wybierzcie najlepszą ofertę oszczędnościową (lokatę lub konto oszczędnościowe). Obliczcie, jaki zwrot przyniesie założenie jednej takiej lokaty

Bardziej szczegółowo

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej

Bardziej szczegółowo

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Forward Rate Agreement

Forward Rate Agreement Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

1 Inflacja. wzrost ceny jednego produktu nie musi prowadzić do inflacji; spadek ceny jednego produktu może wystąpić przy istnieniu inflacji;

1 Inflacja. wzrost ceny jednego produktu nie musi prowadzić do inflacji; spadek ceny jednego produktu może wystąpić przy istnieniu inflacji; 1 Inflacja Inflacja to wzrost ogólnego poziomu cen. Miarą inflacji jest indeks cen dóbr konsumpcyjnych, równy stosunkowi cen dóbr należących do reprezentatywnego koszyka w danym okresie czasu cen tych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Temat spotkania: Matematyka finansowa dla liderów Temat wykładu: Matematyka finansowa wokół nas Prowadzący: Szkoła Główna Handlowa w Warszawie 14 października 2014 r. Matematyka finansowa dla liderów Po

Bardziej szczegółowo

Inwestowanie w obligacje

Inwestowanie w obligacje Inwestowanie w obligacje Ile zapłacić za obligację aby uzyskać oczekiwaną stopę zwrotu? Jaką stopę zwrotu uzyskamy kupując obligację po danej cenie? Jak zmienią się ceny obligacji, kiedy Rada olityki ieniężnej

Bardziej szczegółowo

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień)

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 06. Rola współczynnika procentowego i współczynnika dyskontowego

Bardziej szczegółowo

Praktyczne Seminarium Inwestowania w Nieruchomości

Praktyczne Seminarium Inwestowania w Nieruchomości Praktyczne Seminarium Inwestowania w Nieruchomości Kalkulator finansowy 10BII pierwsze kroki www.edukacjainwestowania.pl Kalkulator finansowy 10BII, oprócz typowych funkcji matematycznych i statystycznych,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 17.05.2003

Matematyka finansowa 17.05.2003 1. Na początku roku (w chwili t = 0 ) portfel pewnego funduszu inwestycyjnego składa się z 40% obligacji typu I oraz 60% obligacji typu II. O obligacjach typu I oraz typu II wiadomo, że: (i) obligacja

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Wstęp Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć oraz zaleŝności z zakresu zarządzania finansami w szczególności

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor:

Bardziej szczegółowo

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI 3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Analiza opłacalności inwestycji v.

Analiza opłacalności inwestycji v. Analiza opłacalności inwestycji v. 2.0 Michał Strzeszewski, 1997 1998 Spis treści 1. Cel artykułu...1 2. Wstęp...1 3. Prosty okres zwrotu...2 4. Inflacja...2 5. Wartość pieniądza w czasie...2 6. Dyskontowanie...3

Bardziej szczegółowo

Funkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl

Funkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Funkcje w MS Excel Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Plan prezentacji Wprowadzenie Funkcje matematyczne Funkcje logiczne Funkcje finansowe Podsumowanie 2/27 Wprowadzenie Funkcje: Są elementami

Bardziej szczegółowo

STOPA DYSKONTOWA 1+ =

STOPA DYSKONTOWA 1+ = Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Obowiązuje od 01.02.2016 r.

Obowiązuje od 01.02.2016 r. KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie limitu

Bardziej szczegółowo

EFEKTYWNE OSZCZĘDZANIE Jędrzej Stachura 18.10.2014

EFEKTYWNE OSZCZĘDZANIE Jędrzej Stachura 18.10.2014 EFEKTYWNE OSZCZĘDZANIE Jędrzej Stachura 18.10.2014 Jak oszczędzać pieniądze? Przykładowe sposoby na zaoszczędzenie pieniędzy Zmień przekonania, zostań freeganem Za każdym razem gaś światło w pokoju Co

Bardziej szczegółowo

Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w styczniu 2014 r.

Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w styczniu 2014 r. Informacja prasowa Warszawa, 13 lutego 2014 r. Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w styczniu 2014 r. W styczniu 2014 roku inwestorzy kupili obligacje skarbowe o łącznej wartości 256,2 mln zł to trzeci

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa

Matematyka finansowa Matematyka finansowa 26 kwietnia 2013 roku 1. Stopy procentowe. NSP - nominalna stopa procentowa - zwykle określona w skali roku. Jeśli rok dzieli się na n równych podokresów (miesięcy, kwartałów, tygodni,

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor: Tytuł:

Bardziej szczegółowo

b) PLN/szt. Jednostkowa marża na pokrycie kosztów stałych wynosi 6PLN na każdą sprzedają sztukę.

b) PLN/szt. Jednostkowa marża na pokrycie kosztów stałych wynosi 6PLN na każdą sprzedają sztukę. Poniżej znajdują się przykłady rozwiązań tylko niektórych, spośród prezentowanych na zajęciach, zadań. Wszystkie pochodzą z podręcznika autorstwa Kotowskiej, Sitko i Uziębło. Kolokwium swoim zakresem obejmuje

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów konta Konto osobiste konta 0,50% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 12.08.2013 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego).

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego). Kontrakt terminowy (z ang. futures contract) to umowa pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do kupna, a druga do sprzedaży, w określonym terminie w przyszłości (w tzw. dniu wygaśnięcia)

Bardziej szczegółowo

1. Spłata długów. Są także kredyty preferencyjne udzielane przez banki zgodnie z projek-

1. Spłata długów. Są także kredyty preferencyjne udzielane przez banki zgodnie z projek- 1. Spłata długów Kredyt i pożyczka bywają traktowane jako synonimy, ale w sensie prawno-- ekonomicznym bardzo się różnią. Mianowicie: Pożyczka jest instytucją prawa cywilnego i może jej udzielać tylko

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto osobiste konta 0,25% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 16.12.2014 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w sierpniu 2014 r.

Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w sierpniu 2014 r. Informacja prasowa Warszawa, 15 września 2014 r. Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w sierpniu 2014 r. Sierpień był kolejnym miesiącem, w którym wartość sprzedaży obligacji Skarbu Państwa wzrosła. Wciąż

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto osobiste Tabela oprocentowania dla konsumentów konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa V. Ciągi

Matematyka podstawowa V. Ciągi Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2

Bardziej szczegółowo

ZESTAW ZADAŃ Konkurs Finanse w matematyce

ZESTAW ZADAŃ Konkurs Finanse w matematyce ZESTAW ZADAŃ Konkurs Finanse w matematyce 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Cena wymurowania pierwszego metra komina to 540zł. Każdy następny metr jest droższy o 90zł. Zatem wybudowanie komina o wysokości 20m

Bardziej szczegółowo

Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne.

Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne. Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne dr Adam Salomon Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Podręcznik

Bardziej szczegółowo

Wartość pieniądza w czasie (time value of money)

Wartość pieniądza w czasie (time value of money) Opracował Marcin Reszka Doradca Inwestycyjny nr 335 marcin@reszka.edu.pl Zeszyt I Wartość pieniądza w czasie (time value of money) Wszystkie prawa zastrzeżone. Nie zezwala się na kopiowania bez pisemnej

Bardziej szczegółowo

Matematyka Ekonomiczna

Matematyka Ekonomiczna Matematyka Ekonomiczna Dr. hab. David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Wtorek 11-13, Czwartek 11-13 28 września

Bardziej szczegółowo

Podstawy finansów i inwestowania w biznesie. Wykład 6

Podstawy finansów i inwestowania w biznesie. Wykład 6 Podstawy finansów i inwestowania w biznesie Wykład 6 Plan wykładu Cechy inwestycji finansowych: dochód ryzyko płynność Depozyty bankowe Fundusze inwestycyjne 2015-11-05 2 Najważniejszymi cechami inwestycji

Bardziej szczegółowo

Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych

Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych Dynamiczne formuły oceny opłacalności inwestycji tonażowych są oparte na założeniu zmiennej (malejącej z upływem czasu) wartości pieniądza. Im

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 25 października 2011 1 Kontrakty OIS 2 Struktura kontraktu IRS Wycena kontraktu IRS 3 Struktura kontraktu

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ 1 DEFINICJA RYZYKA STOPY PROCENTOWEJ Ryzyko stopy procentowej to niebezpieczeństwo negatywnego wpływu zmian rynkowej stopy procentowej na sytuację finansową banku

Bardziej szczegółowo

1 Wstęp. arytmetykę finansową (problemy związane z oprocentowaniem i dyskontowaniem, w szczególności plany spłaty kredytów);

1 Wstęp. arytmetykę finansową (problemy związane z oprocentowaniem i dyskontowaniem, w szczególności plany spłaty kredytów); Wstęp Zastosowania matematyki w ekonomii obejmują cały szereg zagadnień, poczynając od prostych operacji arytmetycznych. Dzięki matematyce ekonomiści są w stanie opisywać złożone zjawiska i formułować

Bardziej szczegółowo

2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła

2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła 2. Funkcja akumulacji i wartość przyszła Zadanie 1 An investment of $10000 is made into a fund at time t=0. The fund develops the following balances over the next 4 years: F (0) = 10000, F (1) = 10600,

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie Finansami

Zarządzanie Finansami Studium Podyplomowe Zarządzanie w przemyśle naftowym i gazowniczym Rok Akademicki 2009/2010 Zarządzanie Finansami dr inż. Piotr Kosowski Materiały dla uczestników studium WARTOŚD PIENIĄDZA W CZASIE Wartośd

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Ćwiczenia II Stopy Procentowe

Inżynieria finansowa Ćwiczenia II Stopy Procentowe Inżynieria finansowa Ćwiczenia II Stopy Procentowe Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 11 października 2011 Zadanie 2.1 Oprocentowanie 3M pożyczki wynosi 5.00% (ACT/365). Natomiast, 3M bon skarbowy

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.

Bardziej szczegółowo

Ministerstwo Finansów ul. Świętokrzyska 12 00-916 Warszawa. Opodatkowanie przychodów (dochodów) z kapitałów pieniężnych. www.finanse.mf.gov.

Ministerstwo Finansów ul. Świętokrzyska 12 00-916 Warszawa. Opodatkowanie przychodów (dochodów) z kapitałów pieniężnych. www.finanse.mf.gov. Ministerstwo Finansów ul. Świętokrzyska 12 00-916 Warszawa Opodatkowanie przychodów (dochodów) z kapitałów pieniężnych www.finanse.mf.gov.pl 1 2 Ministerstwo Finansów Opodatkowanie przychodów (dochodów)

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki efektywności inwestycji

Wskaźniki efektywności inwestycji Wskaźniki efektywności inwestycji Efektywność inwestycji Realizacja przedsięwzięć usprawniających użytkowanie energii najczęściej wymaga poniesienia nakładów finansowych na zakup materiałów, urządzeń,

Bardziej szczegółowo