Matematyka finansowa DSFRiU (niestacjonarne)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka finansowa DSFRiU (niestacjonarne)"

Transkrypt

1 Matematyka finansowa DSFRiU (niestacjonarne) notatki do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania Podręczniki 1. M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa M. Szałański, Matematyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe Wydziały Zarządzania UW, Warszawa K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje, PWN, Warszawa E. Nowak (red.), Matematyka i statystyka finansowa, Warszawa M. Szałański, Matematyka finansowa wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Naukowe Wydziału Zarządzania UW, Warszawa tcm pdf Pojęcie podstawowe Inwestycja rezygnacja z bieżącej konsumpcji na rzecz przyszłych i niepewnych korzyści. Inwestycje finansowe to inwestycje, których przedmiot inwestycji ma charakter niematerialny (tzw. instrument finansowy). Najważniejszymi cechami inwestycji finansowych są: dochód różnica między wartością końcową, a wartością początkową inwestycji. Miarą dochodu jest stopa rentowności (stopa zwrotu, stopa dochodu); ryzyko możliwość osiągnięcia wyniku inwestycji innego niż oczekiwany; płynność możliwość zamiany przedmiotu inwestycji, na gotówkę w krótkim okresie po oczekiwanej cenie. Instrument finansowy kontrakt zawierany między dwiema stronami określający zależność finansową, w której obie strony pozostają. instrumenty dłużne (wierzycielskie) jedna strona kontraktu pożycza kapitał drugiej stronie, zaś druga strona zobowiązuje się zwrócić dług i zapłacić odsetki (lokaty, kredyty); instrumenty udziałowe (własnościowe) jedna strona kontraktu sprzedaje drugiej stronie prawo własności przedsiębiorstwa (akcje); 1

2 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 2 instrumenty pochodne (terminowe) dwie strony określają transakcję, do której może lub musi dojść w przyszłości między tymi stronami (opcje 1, kontrakty terminowe 2 ). Kapitał początkowy kapitał, który generuje odsetki. Odsetki to korzyść z kapitału (zapłata za udostępnienie środków finansowych). Odsetki stają się kapitałem dopiero po kapitalizacji, przedtem nie procentują. Kapitał końcowy kapitał początkowy wraz z odsetkami. Czas oprocentowania czas, w którym są generowane odsetki. Okresowa stopa procentowa stosunek odsetek do kapitału, który je wygenerował w ustalonym okresie. Zwykle wyrażamy ją w procentach (a więc pomnożone przez 100%) ale w obliczeniach oczywiście jest ułamkiem (oznaczamy tym samym symbolem). Okres kapitalizacji okres, po upływie którego odsetki, które narosły, doliczane są do depozytu, podlegając oprocentowaniu i zwiększając tym samym dochód inwestora. Standardowe oznaczenia F V (ang. future value) kapitał końcowy, wartość końcowa inwestycji; I (ang. interest) odsetki; P V (ang. present value, principal) kapitał początkowy, wartość początkowa inwestycji; i, r (ang. interest rate) stopa procentowa, stopa zwrotu, stopa rentowności; n liczba okresów kapitalizacji. Rachunek czasu W obliczaniu odsetek trzeba obliczać okresy czasu. Najważniejsze rachunki dotyczą określania liczby dni między określonymi datami i zamiana liczby dni na liczbę lat. W praktyce stosuje się dwie miary: kalendarzową (miesiąc ma 31, 30 lub 28/29 dni, rok ma 365 lub 366 dni) i bankową (miesiące mają po 30 dni, rok ma 360 dni). Nie liczy się pierwszego dnia (np. dnia wpłaty na konto) ale liczy się dzień ostatni (np. dzień wypłaty z konta). Reguła bankowa obliczamy liczbę dni kalendarzowych i dzielimy przez liczbę dni w roku bankowym (korzystniejsza dla wierzyciela, czyli banku udzielającego kredytu). Przykład. Ile lat (według reguły bankowej) minie od 20 lutego 2012 do 18 maja 2014? Obliczenia liczby dni dokonujemy dzieląc czas na pełne miesiące i uzupełniając je dwoma miesiącami niepełnymi na początku i końcu okresu. obliczenia kalendarzowe: od 20 lutego 2012 do 1 marca dni, od 1 marca 2012 do 1 marca 2014 dwa lata = 730 dni, marzec 31 dni, kwiecień 30 dni i uzupełnienie maja dni czyli razem 818 dni, co daje 818/365 2,241 lat. obliczenia bankowe: niepełny luty: = 10, 26 miesięcy po 30 dni: = 780 i niepełny maj 18, razem = 808 dni. Liczba lat bankowych: 808/360 = 2, instrument pochodny o niesymetrycznym profilu wypłaty umowa dająca nabywcy opcji prawo, a wystawcy (sprzedającemu) obowiązek kupna/sprzedaży określonej ilości instrumentu bazowego w określonym terminie i po z góry ustalonej cenie 2 instrumenty pochodne o symetrycznym profilu wypłaty umowa zobowiązująca kupującego oraz sprzedającego (wystawcę) do zawarcia transakcji kupna/sprzedaży instrumentu bazowego w określonym czasie i po ustalonej cenie.

3 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 3 reguła bankowa: Liczba dni taka sama jak w obliczeniach kalendarzowych. Zatem liczba lat w regule bankowej: 818/360 = 2,272. Zadanie 1. Ile dni (a) kalendarzowych (b) bankowych upłynęło między 8 marca a 28 września 2014 roku, a ile upłynie między 10 stycznia a 20 maja 2016 roku? 1. Procent prosty Najprostszy sposób wyznaczenia stopy dochodu (stopy zwrotu z inwestycji finansowej), gdy inwestycja trwała n okresów jest obliczenie stosunku odsetek do kapitału początkowego i podzielenie tego stosunku przez liczbę okresów: r = F V P V. np V Prowadzi to do modelu oprocentowania prostego (odsetki nie są doliczane do kapitału, a więc nie generują odsetek). Zasada oprocentowania prostego Procent (odsetki) oblicza się od kapitału początkowego proporcjonalnie do długości czasu oprocentowania. Oprocentowanie proste stosuje się w bankowych transakcjach krótkoterminowych (poniżej jednego roku), poza sferą bankową niezależnie od czasu oprocentowania, do analizy transakcji z dyskontem handlowym. Z zasady oprocentowania prostego wynika, że odsetki w okresie n lat (które zależą od rocznej stopy procentowej i kapitału początkowego) można przedstawić jako: I n = P V rn. Stąd kapitał końcowy F V = P V + I n = P V + P V rn i model oprocentowania prostego (równanie wiążące cztery podstawowe wielkości) ma postać: F V = P V (1 + nr). Z tych wzorów można obliczyć wszystkie cztery wielkości ( klasyczne zagadnienia procentu prostego ): F V = P V (1 + nr), P V = F V 1 + nr, n = 1 ( ) F V r P V 1, r = 1 ( ) F V n P V 1. Jeżeli dany jest kapitał końcowy F V to kapitał początkowy nazywamy zdyskontowaną wartością kapitału czyli kapitał jaki trzeba złożyć by przy stopie procentowej r uzyskać wartość F V po n okresach kapitalizacji. Przykład. Mam zamiar wygrać jutro w Lotto 2 mln. zł i chcę ulokować je w banku na procent aby odsetki wydać na wakacjach za pół roku. (a) Bank oferuje stopę roczną 4,4%. Ile razem będę mógł wydać na wakacjach? F V = (1 + 0,044 0,5) = (b) W tych samych warunkach chcę uzyskać kwotę zł ile muszę włożyć na lokatę (wygrana plus dopłata)? P V = , ,044 0,5

4 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 4 (c) Chcę uzyskać kwotę taką jak wyżej także w ciągu pół roku z samej wygranej (bez dopłaty) jaką stopę procentową roczną muszę wynegocjować z bankiem? r = 1 ( ) , = 0,1, czyli r = 10%. (d) Nadal chcę uzyskać z samej wygranej taką kwotę jak poprzednio, ale wynegocjowałem stopę roczną 5,5% kiedy będę mógł jechać na wakacje? n = 1 ( ) , ,9091 roku, czyli n = 0, dni lub prawie 11 miesięcy. Zadanie 2. Obliczyć wartość kapitału końcowego, gdy kapitał początkowy 3000 zł jest oprocentowany według stopy 7% po okresie (a) 5 lat; (b) 240 dni. Zadanie 3. Odsetki od 3-letniej lokaty są naliczane z dołu (na koniec okresu oprocentowania). Po wpłacie zł po trzech latach odebrano zł. Jaka jest roczna stopa procentowa, zakładając, że była niezmienna? Zadanie 4. Przy jakiej stopie oprocentowania prostego wartość 4-letniej lokaty z odsetkami naliczanymi po terminie zwiększy się (a) o 26%, (b) o 1/4. Zadanie 5. Ile łącznie wyniesie koszt pożyczki 12 tyś. złotych na półtora roku, jezeli co kwartał trzeba zapłacić 3% pożyczonej kwoty? Zadanie 6. Po jakim czasie oprocentowania prostego przy rocznej stopie 7,2% wartość lokaty zł (a) podwoi się, (b) zwiększy się do zł, (b) zwiększy się ponad 25%. Oprocentowanie proste w podokresach Stopa podokresowa stopa procentowa ustalona dla określonej, ustalonej części roku. Przyjmuje się, że ustalona część roku dla wyznaczenia stopy podokresowej powinna być taka, by dla pewnego k, jej k-ta wielokrotność była równa jeden rok (choć możliwe są podokresy dłuższe niż rok). Zwykle stosuje się podokresy równe: półrocze (k = 2), kwartał (k = 4), miesiąc (k = 12), tydzień (k = 52), dzień (k = 365) (podokresowi równemu 2 lata odpowiada parametr k = 1 2 ). Jeżeli n jest okresem oprocentowania wyrażonym w latach, to m k = nk jest okresem wyrażonym w podokresach. Przy zastosowaniu stopy podokresowej model oprocentowania prostego jest następujący: F V = P V (1 + r k m k ). Równoważność stóp procentowych Stopy procentowe są równoważne jeżeli przy każdej z nich, kapitał początkowy P V generuje w czasie n odsetki o identycznej wartości. Niech r k1 i r k2 będą stopami podokresowymi. Wyprowadzimy wzór na ich równoważność. Najpierw obliczamy czas oprocentowania wyrażony w podokresach: m k1 = nk 1 i m k2 = nk 2. Stopy są równoważne gdy generują takie same odsetki, a więc gdy P V r k1 nk 1 = P V r k2 nk 2,

5 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 5 a stąd r k1 k 1 = r k2 k 2. Z tego wzoru można obliczyć stopę procentową r k2 równoważną stopie procentowej r k1 : r k2 = r k1 k 1 k 2. Podstawiając odpowiednie wartości możemy znaleźć stopę roczną równoważną stopie podokresowej r = kr k (bo stopę roczną można traktować jako stopę podokresową z parametrem 1). Zadanie 7. Spłata 40 dniowej pożyczki 5000 zł wyniosła 5200 zł. Obliczyć stopę oprocentowania prostego tej pożyczki oraz równoważną stopę roczną, przy założeniu czasu według reguły bankowej. Zadanie 8. Podokresowe stopy oprocentowania prostego (a) 3,75%, (b) 60%, (c) 1,25%, (d) 17,5% są równoważne rocznej stopie 15%. Jakich podokresów dotyczą te stopy? Zadanie 9. Ile trzeba wpłacić na lokatę (a) roczną, (b) półroczną, (c) miesięczną aby w każdym przypadku odebrać kwotę 1200 zł, jeżeli okresowa stopa oprocentowania każdej lokaty jest proporcjonalna do kwartalnej stopy 2,7%? Zadanie 10. Za zakupy u detalisty mogę zapłacić dziś 150 zł, albo za miesiąc 150,45 zł. Za zakupy u hurtownika mogę zapłacić za kwartał 8072,00 zł lub dziś 8000,00. (a) Jakie stopy podokresowe stosowane są przez tych dwóch sprzedawców w obliczaniu kredytu kupieckiego? Czy są on równoważne? (b) Jakie są roczne stopy procentowe równoważne stopom podokresowym z części (a)? [(a) i 12 = 0,3%, i 4 = 0,9%, są równoważne, (b) równoważna stopa roczna i = 3,6%] 2. Dyskontowanie Dyskontowanie (rzeczywiste) jest procesem odwrotnym do oprocentowania. Jest to obliczenie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego. Różnicę między kapitałem końcowym a początkowym nazywamy dyskontem (o tyle trzeba pomniejszyć kapitał końcowy aby otrzymać kapitał początkowy). P V = F V 1 + rn, D = F V P V = F V rn 1 + rn gdzie D jest dyskontem (równym odsetkom). Dyskonto handlowe proste Dyskontem handlowym nazywa się opłatę za pożyczkę obliczoną na postawie kwoty, którą dłużnik zwróci po określonym czasie, i zapłaconą w chwili otrzymania pożyczki (odsetki płatne z góry). Roczna stopa obliczania nazywa się stopą dyskontową. Przykład. (a) Obliczenia odsetkowe: pożycz 100 zł, za rok oddam ci o 20% więcej : teraz dostaję 100 zł, za rok oddaję 100(1 + 0, 2) = 120 zł. (b) Obliczenia dyskontowe: za rok mogę oddać ci 120 zł, daj mi teraz o 20% mniej : za rok oddaję 120 zł, a teraz dostaję 120 0, = = 96 zł. Zasada dyskonta handlowego prostego. Dyskonto jest obliczane od kwoty, którą dłużnik zwróci po określonym czasie, jest proporcjonalne do tego czasu i jest odejmowane od tej kwoty w chwili udzielania pożyczki.

6 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 6 Dyskonto od kwoty F V (końcowej) za czas n przy dane stopie dyskontowej d oblicza się jako D = F V dn i model dyskonta handlowego prostego ma postać P V = F V D = F V F V dn, czyli P V = F V (1 dn). Z tego modelu wynikają wzory na kapitał końcowy, stopę dyskontową i czas oprocentowania: albo Przykład. F V = P V 1 dn, d = 1 ( 1 P V ), n = 1 ( 1 P V ), n F V d F V F V = P V 1 dn, d = D F V n, n = D F V d. (a) Za pół roku wygram kumulację 10 mln. zł, ile teraz pożyczki mogę dostać przy rocznej stopie dyskontowej 12%? P V = (1 6 0, 12 ) = ,94 = (b) Teraz chcę zł ile oddam po pół roku ze stopą dyskontową 12%? F V = ,12 12 = ,94 = ,87 (c) Teraz chcę zł, a za pół roku dam , jaka musi być stopa dyskontowa? d = ,5 = 0,095 czyli 9,5% (d) Chcę spłacić zł kwotą zł ze stopą dyskontową 10%, kiedy mam spłacić pożyczkę? n = ,1 0,4 czyli ok. 5 miesięcy Przykład. Podane wzory można wykorzystać do obliczenia ile należy zapłacić, jeżeli spłata ma nastąpić po terminie pożyczki. Na przykład kwotę 1000 zł spłacamy 2 lata po przyjęciu pożyczki przy oprocentowaniu kredytu w wysokości 10%. Podstawiamy podane wartości do równania: 1000 = F V (1 2 0, 1) i obliczamy F V = 1000 = ,8 Zauważmy, że gdyby przy tym samym oprocentowaniu 10 % złożyć 1000 na lokatę, to po dwóch latach otrzymalibyśmy (w przypadku procentu prostego) F V = P V (1+nd) = 1000(1+2 0,1) = ,2 = 1200, a więc mniej niż musimy spłacić. Zadanie 11. Pożyczkę 5600 zł spłacono po 3 miesiącach kwotą 5900 zł. Jeżeli opłatą za pożyczkę były (a) odsetki płatne z dołu, obliczyć stopę procentową, [21,43%] (b) odsetki płatne z góry, obliczyć stopę dyskontową. [20,34%]

7 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 7 Zadanie 12. Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na zakup surowców w kwocie Jaka powinna być wartość nominalna weksla poręczającego transakcję, jeżeli strony zgodziły się na stopę dyskontową d = 11%. [25161,29] Zadanie 13. Za towar kupiony w hurtowni trzeba zapłacić w ciągu 28 dni, ale jeżeli zapłaci się w ciągu 7 dni to otrzymuje się rabat w wysokości 3%. Przy jakiej stopie dyskontowej d warto wziąć pożyczkę by skorzystać z rabatu przy odsetkach płatnych z góry [d < 51, 43%], a z dołu [i < 53, 02%]. Równoważność stóp procentowej i dyskontowej Roczna stopa procentowa i roczna stopa dyskontowa są równoważne w okresie n jeżeli dyskonto i odsetki obliczone w tym czasie dla tej samej pożyczki są równe. Czyli F V dn = P V in lub Stąd mamy związek równoważnych stóp procentowych P V d 1 dn = P V i. i = d 1 dn lub d = i 1 + in oraz n = 1 d 1 i. Zadanie 14. Opłata za 6-cio miesięczny kredyt w wysokości 10 tyś. zł ma postać dyskonta obliczanego przy stopie d równoważnej stopie i = 12,75% w okresie 6 miesięcy. (a) Ile wynosi ta opłata? [599,29] (b) Ile wyniosłaby ta opłata przy kredycie krótszym o 3 miesiące? [309]

8 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 8 3. Rachunek rentowy Definicja. Rentą kapitałową nazywamy ciąg wypłat, które powtarzają się w równych odstępach w określonym przedziale czasu (systematycznie uzyskiwane dochody z kapitału, które nie wymagają pracy). Przykład. Renty: comiesięczne wypłaty wynagrodzenia, kwartalne płatności z tytułu spłaty długu, miesięczne wpłaty na rachunek w kasie mieszkaniowej, roczna dywidenda z tytułu posiadania akcji, systematyczne wpłaty na rachunek oszczędnościowy. Poszczególne płatności w ramach renty to raty, okres między kolejnymi płatnościami okres bazowy. Renta prosta to renta, w której okres bazowy pokrywa się z okresem kapitalizacji odsetek. Renta zwykła lub płatna z dołu, postnumerando to renta, w której raty następują na koniec okresu, a renta płatna z góry, prenumerando to taka, w której płatności następują na początku okresu bazowego. Renta czasowa lub skończona to renta o skończonej ustalonej liczbie rat, renta wieczysta to renta o nieskończonej (nieokreślonej) liczbie lat. Renta zwykła, prosta i skończona to renta. Główne zadanie rachunku rentowego to wycena renty czyli określenie kapitału równoważnego rencie. Wycena na moment t to suma wszystkich rat zaktualizowanych na moment t. Definicja. Wartość początkowa renty to wycena na moment 0, czyli suma wartości wszystkich rat zaktualizowana na moment początkowy renty. Wartość końcowa renty to wycena na moment n (koniec okresu wypłacania renty), czyli suma wartości wszystkich rat zaktualizowana na moment końcowy n. Oznaczenia: R j rata płatna w momencie j, dla j = 1, 2,..., n, i stopa procentowa okresu bazowego, P V wartość początkowa renty (presnet value); F V wartość końcowa renty (future value). Przyjmujemy, że jednostką czasową jest okres bazowy. Dla uproszczenia przyjmujemy, że badamy renty płatne z dołu (postnumerando) i oprocentowane stałą stopą procentową (nie dyskontową). Obliczamy wartość początkową renty. Pierwsza rata zostaje zapłacona po okresie bazowym od chwili początkowej, a więc gdyby bank miał te pieniądze na początku, a wypłacił dopiero po tym okresie to w chwili wypłaty miałby R 1 = R(1 + i), zatem w chwili początkowej wartość tej raty to R = R 1 (1 + i) 1. Podobnie rozumując dla raty drugiej możemy stwierdzić, że jej wartość w chwili początkowej to R 2 (1+i) 2 bo została wypłacona po dwóch okresach bazowych. Analogicznie jest dla każdej raty, a więc n P V = R j (1 + i) j. Obliczenie wartości końcowej jest analogiczne. Jeżeli rata R 1 została wypłacona po pierwszym okresie bazowym, a wszystkich okresów bazowych jest n to wartość pierwszej raty na końcu okresu wypłaty renty jest równa R 1 (1 + i) n 1 bo kwota ta nie procentowała przez pierwszy okres. Analogicznie jest dla wszystkich rat (ostatnia n-ta rata nie procentuje). Zatem n F V = R j (1 + j) n j. Porównując te wzory (i zasadę ich tworzenia) łatwo zauważyć, że P V (1 + i) n = F V Istotnie n P V (1 + i) n = (1 + i) n n n R j (1 + i) j = R j (1 + i) j (1 + i) n = R j (1 + i) n 1 = F V.

9 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 9 Raty równe Przyjmujemy teraz, że wszystkie raty renty są równe, czyli R 1 = R 2 =... = R n = R. W przypadku rat równych wartość początkową renty możemy zapisać w postaci n P V = R (1 + i) j. i=1 Składniki sumy tworzą ciąg geometryczny o n wyrazach. Pierwszym wyrazem i ilorazem tego ciągu jest (1 + i) 1, załóżmy, że i 0, wtedy (1 + i) 1 1 i wtedy n (1 + i) j = i 1 (1 + i) n 1 (1 + i) 1 (1 + i) n =. 1 i Otrzymane wyrażenie (zależne od liczby rat i stopy procentowej) oznacza się znakiem a n i i nazywa czynnikiem dyskontującym renty, często stosuje się oznaczenie P V IF A (present value interest factor of annuity) i tak się nazywają zwykle funkcje w arkuszach kalkulacyjnych: PVIFA(n,i). Korzystając z oznaczenia mamy więc P V = R a n i. Dla wartości końcowej renty mamy F V = (1 + i) n P V = (1 + i) n n 1 (1 + i) n R a n i = R(1 + i) i = R (1 + i)n 1 i = R s n i. Gdzie wyrażenie (1+i)n 1 oznaczyliśmy symbolem s i n i, jest to czynnik oprocentowujący rentę oznaczany także F V IF A (future value intrest factor of annuity) i taka jest funkcja w arkuszu kalkulacyjnym FVIFA(n,i). Zatem mamy F V = R s n i. Wartości a n i i s n i możemy interpretować jako wartość początkową i końcową renty jednostkowej o n ratach i stopie oprocentowania i dla okresu bazowego. Przykład. Na koniec każdego kwartału wpłacamy 500 zł na rachunek oprocentowany stopą i 4 = 0,5%. Po dwóch latach będziemy mieli zatem F V = 500 s 8 0,5% = 500 (1 + 0,005)8 1 0, ,70 a trzymając pieniądze w domu: = 4000, lub wpłacając na początku 4000 mielibyśmy po dwóch latach ok. 4162,83 (kapitalizacja kwartalna). Przykład. Wuj z Ameryki wpłacił na konto oprocentowane nominalną stopą roczną 6% z kapitalizacją miesięczną zł. Ile miesięcznie można pobierać by starczyło na studia licencjackie (3 lata): R = P V = a 36 0,5% a 36 0,5% 32, ,43 Ile powinien wpłacić by można było pobierać zł miesięcznie? P V = Ra 36 0,5% = ,871 =

10 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 10 Równanie bankierów Gdy ustalona jest stała rata renty i jej wartość początkowa to w każdej chwili (po dokonaniu k-tej płatności) można wycenić rentę. Wycena polega na obliczeniu jej wartości w chwili wyceny, a wiec wartość początkową aktualizujemy na daną chwilę i podobnie aktualizujemy wszystkie wypłacone raty. Różnica jest właśnie wyceną renty, a równanie, które pozwala ją obliczyć nazywa się równaniem bankierów: WR = P V (1 + i) k Rs k i = P V (1 + i) k R (1 + i)k 1 i gdzie k jest momentem (numerem płatności) po którym następuje wycena renty (WR). Zadanie 15. Malinowski planuje wykupić ubezpieczenie na życie, takie by przez 20 lat po jego śmierci rodzina otrzymywała (realne) 2 tyś. miesięcznie (pierwsza wypłata miesiąc po śmierci). Jaka kwota powinna zostać zgromadzona przed śmiercią Malinowskiego jeżeli można przyjąć, że kwota ta będzie oprocentowana według stopy nominalnej 10% rocznie? [ ,24 zł] Zadanie 16. Kwiatkowski inwestuje w biznes, który przynosi 8% rocznie, wpłacając 5 tys. rocznie. Jaki będzie jego majątek za 10 lat? [72 432,81] Zadanie 17. Rodzice zbierają pieniądze na posag (wykształcenie) dziecka. Chcą wpłacać 800 zł co pół roku począwszy od szóstego miesiąca życia dziecka. Jaki będzie posag gdy dziecko osiągnie pełnoletność jeżeli wkład jest oprocentowany według rocznej stopy nominalnej równej 6% (kapitalizacja półroczna)? [50 620, 76 zł] Zadanie 18. Czy wpłacając przez rok miesięcznie po 200 zł na rachunek oszczędnościowy oprocentowany nominalną stopą 12% z kapitalizacją kwartalną, będzie można kupić coś za 2500 zł? [tak, zgromadzi się 2510,18] Podstawowe zagadnienia renty Wzory na wartość początkową i końcowa renty P V = Ra n i, F V = Rs n i, F V = (1 + i) n P V wiążą cztery parametry: wartość początkową (końcową) renty, stała ratę, liczbę rat i stopę procentową (w okresie bazowym). Zatem można obliczyć każdą z tych wartości znając trzy pozostałe. Najłatwiejsze jest obliczenie wielkości raty gdy znana jest wartość początkowa lub końcowa renty, liczba rat i stopa procentowa: R = P V a n i, Obliczenie liczby rat wymaga użycia logarytmów: R = F V s n i. n = ln (1 i P V ) R, n = ln (1 + i F V ) R ln (1 + i) ln (1 + i). Natomiast nie da się wyprowadzić wzoru na obliczanie stopy procentowej, gdy rat będzie więcej niż 5 (dla 3 i 4 także jest to bardzo skomplikowane). Zatem w takim przypadku należy używać urządzeń technicznych (np. funkcja RATE w Excelu, ale można też szukaj wyniku ).

11 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 11 Inne funkcje Excella: PV wartość początkowa, FV wartość końcowa, NPER liczba rat, PMT wysokość raty. Zadanie 19. W jakich równych ratach miesięcznych trzeba spłacać pożyczkę w wysokości 350 tys. zaciągniętą na 6 lat z oprocentowaniem nominalnym 9% rocznie? [6 308,94 zł] Zadanie 20. Główną wygraną na loterii można podjąć albo od razu w kwocie 100 tys. USD albo w 12 rocznych ratach po 10 tys. USD. Jakie warunki powinny decydować o wyborze wariantu (bierzemy pod uwagę tylko wielkość kwoty)? [Kwoty są równoważne ( = P V ) przy stopie procentowej i = 2,92%, zatem pierwszy wariant należy wybrać gdy można pieniądze ulokować na procent wyższy niż i.] Zadanie 21. Ile lat muszę oszczędzać na zegarek naręczny Patek Philipe za 250 tys. zł jeżeli stać mnie by rocznie odkładać 2070 zł na 5%? [40 lat (i zostanie 55 zł)] Renta wieczysta Ponieważ liczba rat renty wieczystej nie jest oznaczona to należy przypuszczać, że jest nieskończona. W takim przypadku wycenę renty, czyli jej wartość początkową obliczamy na podstawie granicy. P V = lim n (Ra n i ) = R lim n a n i = R lim n 1 (1 + i) n i (1+i) n 1 1 = R lim n i = R i. Jeżeli liczba rat renty skończonej jest bardzo duża (np. wypłata emerytury miesięcznie przez 30 lat) to jej wartość można przybliżać rentą wieczystą. W takim przypadku musimy obliczyć względny błąd aproksymacji: P V P V P V = R i Ra n i Ra n i = 1 ia n i 1 = 1 (1 + i) n 1. Warto zwrócić uwagę, że błąd aproksymacji zależy tylko od liczby rat i stopy procentowej, a nie od wielkości raty. Zadanie 22. Malkolm Dzikowski wygrał w Lotto 2,5 mln. zł i ulokował je w banku na 3%. Ile, rocznie może wypłacać do końca życia? Odp.: 75 tyś. zł Zadanie 23. Na jaki procent powinien Pan Malkolm Dzikowski ulokować swoją wygraną by móc wypłacać do końca życia 12 tyś. miesięcznie? Odp.: 0,48% miesięcznie z kapitalizacją miesięczną, co jest równoważne: 5,9% rocznie

12 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW Spłaty długów i kredytów Rozpatrujemy tylko spłaty zgodne, to znaczy: okresy stopy procentowej, kapitalizacji i spłat są równe. Przyjmujemy, że odsetki są obliczane tylko od aktualnej wartości długu i są spłacane ratalnie. Zasada równoważności długu i rat Dług o wartości K 0 w momencie 0 jest równoważny ciągowi rat R j płatnych w momentach j = 1, 2,..., N jeżeli kapitały wzajemnie sobie przekazane przez wierzyciela i dłużnika są równoważne. Zasada ta mówi, że wszystkie raty umarzają dług (czyli po wpłacie ostatniej raty dług jest spłacony w całości). Fakt spłacenia długu K za pomocą rat R 1, R 2,..., R N wyraża się za pomocą równości kapitału zaktualizowanego na moment N sumie wszystkich rat zaktualizowanych na ten sam moment. N K N = K 0 (1 + i) N = R j (1 + i) N j lub, aktualizując na moment 0: N K 0 = R j (1 + i) j Przykład. Obliczamy brakującą ratę drugą R 2, zakładając, że znamy wszystkie pozostałe: (1 + i) N R 2 = K 0 (1 + i) R (1 + i) N 1 N 2 1 (1 + i) R (1 + i) N 3 N 2 3 (1 + i)... R N 2 N Stąd po wykonaniu dzielenia mamy R 2 = K 0 (1 + i) 2 R 1 (1 + i) R 3 (1 + i) 1... R N (1 + i) 2 N (1 + i) N N (1 + i) N 2. czyli aktualizujemy dług i wszystkie raty na moment 2 (czyli chwilę wpłaty brakującej raty) i odejmujemy raty od długu. Zadanie 24. Kredyt K 0 = 950 zł jest spłacany ratami R 1 = 280 zł, R 2 = R 3 = 300 zł i R 4 = 150 zł. Okresowa stopa procentowa wynosi i = 2,5% (oprocentowanie składane). (a) Czy raty są równoważne kredytowi? (b) Jaka powinna być pierwsza rata by była równoważność? (c) Przy jakiej stopie procentowej pożyczka jest równoważna ratom? [(a) nie, (b) 256,23, (c) 3,59%] Zadanie 25. Znaleźć brakującą ratę gdy pożyczka zł udzielona na początku roku będzie spłacana trzema ratami R 1, R 2 i R 4 na koniec odpowiednio pierwszego, drugiego i czwartego kwartału. Wiemy, że R 1 = 2000 zł i R 2 = zł oraz kwartalna stopa procentowa wynosi 6%. Jaka jest wysokość R 4? [5000 = , , , R 4 1,06 4 i stąd R 4 = 1008,99] Można wyróżnić dwa scenariusze spłat uzgodnione między wierzycielem a dłużnikiem: (a) ustala się raty łączne: A 1, A 2,... A N czyli kwoty jakie będą wpłacane w kolejnych okresach. Często taka umowa wymaga raty równej (annuitetowej). (b) ustala się raty kapitałowe: T 1, T 2,... T N zakładamy, że każda rata zawiera ustaloną (dla danej raty) część kapitału i doliczamy do niej odsetki za jeden okres do następnej spłaty. (gdzie N to liczba rat).

13 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 13 Rata równa Wyznaczymy ratę równą dla kredytu K 0, tj. wartość R taką, że R 1 = R 2 =... = R N = R. Ponieważ kapitał K 0 i ciąg N rat o wartościach R są równoważne (z chwilą wpłacenia ostatniej raty dług został całkowicie spłacony) to, korzystając z własności równoważności mamy N K 0 = R(1 + i) j a stąd N N K 0 = R(1 + i) j = R (1 + i) j = Ra N i i stąd można wyznaczyć wartość raty: Tak określoną ratę nazywamy ratą annuitetową. Równa rata kapitałowa R = K 0 a N i Przy równej racie kapitałowej wielkość tej raty obliczamy dzieląc kwotę kredytu S 0 przez liczbę rat N: T = S 0. Ponieważ przyjęliśmy, że odsetki są spłacane w każdej racie, to ratę łączną obliczamy jako sumę N raty kapitałowej T i odsetek od długu za jeden okres (do następnej spłaty): A n = T + S n 1 i = T + (S 0 (n 1)T )i. Przykład. Ułożyć plan spłaty kredytu z równą roczną ratą kapitałową na okres 4 lat ze stopą procentową 7%. Okres Kapitał Rata kapitałowa Odsetki Rata łączna ,07 = = ,07 = = ,07 = = ,07 = = 535 Zadanie 26. Wyznaczyć roczną ratę równą (a) dla kredytu Mini Ratka : , oprocentowanie 7,77%, 60 rat miesięcznych (ale... prowizja, ubezpieczenie itp. daje RRSO 21,87% i wprawdzie płacimy podaną ratę za kredyt ale na rękę dostajemy ,47). (b) dla kredytu (oprocentowanie dyskursywne złożone) w wysokości pobranego na okres 6 lat przy stałej stopie procentowej 12%; (c) dla spłaty (oprocentowanie antycypacyjne złożone) w wysokości płatnej za 15 lat przy stałej stopie dyskontowej 4%. [(a) 302,50, (b) 8 512,90; (c) kapitał początkowy ok , rata ok (ok ,32)] Zadanie 27. Ułożyć plan spłaty kredytu w wysokości zł, spłacany w 12 miesięcznych ratach, oprocentowany 10% w skali roku ze stałą ratą kapitałową. Jaka byłaby w tych samych warunkach rata równa? [raty: 2 200,00, 2 183,33, 2 166,67, 2 150,00, 2 133,33, 2 116,67, 2 100,00, 2 083,33, 2 066,67, 2 050,00, 2 033,33, 2 016,67; rata równa: 2 109,98]

14 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW Inflacja Inflacja to wzrost ogólnego poziomu cen mierzony stosunkiem cen towarów i dóbr konsumpcyjnych należących do ustalonego koszyka w danym momencie do cen tych dóbr w okresie bazowym (zwykle w roku poprzednim). Inflacja może mieć skutki złe (spada realna wartość płacy, a więc rosną koszty utrzymania) i dobre (zmniejsza się zadłużenie, a więc rośnie zasobność portfela). Przyczyny inflacji (według tradycyjnej teorii monetarnej). Prawdziwe jest równanie (czasami nazywane równaniem Fishera): M V = P Q gdzie M ilość pieniędzy w obiegu, V prędkość obiegu pieniądza (w danym okresie), P cena produktu i Q ilość produktu. W tym równaniu tradycyjnie, w teorii przyjmuje się, że Q i V są stałe. wtedy wraz ze wzrostem ilości pieniądza (M) rośnie cena produktu (P ). Takie teorie są wprawdzie krytykowane bo, jak twierdzą krytycy, masa pieniądza wywiera wpływ na wielkość produkcji (powoduje wzrost gospodarczy, który przekłada się na zwiększenie zatrudnienia, a więc zwiększenie produkcji). Z matematycznego punktu widzenia inflacja jest oprocentowaniem składanym bo nawarstwia się w kolejnych okresach. Ponieważ inflacja zwykle nie jest stała w ciągu roku powinno się w obliczeniach stosować model zmiennej stopy inflacji. Na chwilę, dla uproszczenia załóżmy jednak, że stopa inflacji i inf jest stałą stopą roczną. Podobnie jak w przypadku czynnika oprocentowania wprowadzamy czynnik inflacji, czyli wyrażenie 1 + i inf : stosunek poziomu cen przyszłych do cen wyjściowych. Uwzględnienie inflacji wymaga rozróżnienia kapitału nominalnego (F V ) czyli kapitału wyrażonego w jednostkach pieniężnych zgodnie z obliczeniami oprocentowania oraz realnej wartości kapitału (F V real ) kapitału przeliczonego na aktualną siłę nabywczą. Możemy zatem rozpatrywać stopę nominalną r nom (lub po prostu r) oraz stopę realną r real oprocentowania. Stopy te i stopę inflacji wiąże wzór Fishera 1 + r nom = (1 + r real )(1 + i inf ). Wynika on z prostej obserwacji, że wartość realna kapitału po okresie oprocentowania to zdyskontowana (dyskontem realnym ze stopą równą stopie inflacji) wartość nominalna tego kapitału, gdzie modyfikatorem jest czynnik inflacji: F V real = F V 1 + i inf czyli F V real = P V 1 + r nom 1 + i inf lub P V (1 + r real ) = P V 1 + r nom 1 + i inf. Z tej zależności wynika, że czynnik oprocentowania realnego jest ilorazem czynnika nominlanego i czynnika inflacji: Stąd można wyznaczyć stopę realną: 1 + r real = 1 + r nom 1 + i inf. r real = 1 + r nom 1 + i inf 1 = r nom i inf 1 + i inf. Stąd wynika, że jeżeli inflacja jest dodatnia to stopa realna jest mniejsza niż różnica stopy nominalnej i stopy inflacji (wydaje się paradoksalne). Gdy stopa inflacji nie jest stała to stosuje się takie same wzory i rozważania jak dla stopy oprocentowania składanego. Zatem, jeżeli przez n 1 okresów stopa inflacji była równa i 1, przez n 2 okresów była równa i 2 itd. aż do n p okresów ze stopą inflacji i p gdzie p k=1 n k = n to w ciągu n okresów (zakładamy stopę inflacji zgodną ze stopą oprocentowania r) łączna stopa inflacji wynosi i inf = (1 + i 1 ) n 1 (1 + i 2 ) n 2... (1 + i p ) np 1, a kapitał realny na koniec tego okresu obliczymy ze wzoru F V real = P V (1 + r)n (1 + r) n = P V 1 + i inf (1 + i 1 ) n 1 (1 + i2 ) n 2... (1 + ip ). np

15 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 15 W takim przypadku można mówić o przeciętnej stopie inflacji: Waloryzacja i inf śr = n (1 + i 1 ) n 1 (1 + i2 ) n 2... (1 + ip ) np 1. W matematyce finansowej (w obliczeniach) łatwym i eleganckim sposobem uwzględnienia inflacji jest waloryzacja kapitału o czynnik inflacji przed oprocentowaniem. Jest to wykorzystanie wzoru na kapitał realny z uwzględnieniem inflacji: F V real = P V (1 + r), 1 + i inf P V gdzie jest właśnie waloryzacją kapitału. Wtedy nominalna stopa procentowa r oznacza stopę rzeczywistego pomnożenia kapitału (ale kapitał jest mniejszy - 1+i inf zwaloryzowany). Przykład. Nakłady na pewne działania z tym roku wzrosły o 10%, a inflacja roczna wynosi 5%. O ile, realnie wzrosły nakłady? Korzystamy ze wzoru na stopę realną i otrzymujemy r real = r nom i inf 1 + i inf = Realne nakłady wzrosły tylko o około 4,8%. 0,1 0, ,05 0,048 Przykład. Uznano, że przy inflacji na poziomie 5% pożyczka zostanie po dwóch latach spłacona kwotą Obliczamy realną roczną stopę oprocentowania tej pożyczki. Dwuletni czynnik nominalny dla tej pożyczki wynosi ρ 2 nom = 8000 = 1,1429 Zatem roczna stopa nominalna spełnia równanie (1 + r 7000 nom) 2 = 1,1429 a więc wynosi r nom 0,069 czyli 6,9%. Przy rocznej stopie inflacji 5% stopa realna wynosi czyli około 1,8%. r real = 0,069 0, ,05 0,018 Przykład. Oprocentowanie kwartalnej lokaty bankowej w wysokości zł wynosi 3% (kwartalnie). Jeżeli inflacja jest na poziomie 1,5% kwartalnie, to nominalna kwota lokaty na koniec kwartału wynosi (1 + 0,03) = zł, czyli odsetki wyniosły 300 zł. Realna wartość tej lokaty na koniec kwartału wynosi /(1 + 0,015) = ,78. Realna wartość odsetek jest równa 300/1,015 = 295,57. Zatem na koniec kwartału realny przyrost lokaty to tylko 147,78 zł, choć realna wartość dopisanych odsetek jest większa. Wynika to z tego, że z powodu inflacji stracił wartość także ulokowany kapitał. Zadanie 28. Ceny rosną ze średnią stopą inflacji 3% rocznie, obliczane (i zmieniane) kwartalnie. Jaka będzie cena samochodu Smart Fortwo za dwa lata? Aktualna cena [42357,79] Zadanie 29. (Pieniądze w skarpecie). Inflacja w Polsce za rok 2012 wyniosła 3,7%, a za rok ,9%. Gdyby ktoś 1 stycznia 2012 dostał banknot 100 zł i przechował go w portfelu do 31 grudnia 2013 roku to ile realnie miałby pieniędzy? [96,43 po roku, 95,57 po drugim roku] Zadanie 30. Przed rokiem płaca pewnego robotnika wynosiła 800 zł, a pewnego urzędnika 2500 zł. W ciągu tego roku obaj otrzymali podwyżkę 100 zł. Inflacja roczna utrzymała sie na poziomie 5%. O ile realnie wzrosła płaca każdego z tych pracowników? [ ,14; ,19] Zadanie 31. Inflacja kwartalna (rok do roku):

16 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 16 Jaka była roczna inflacja w tych latach? kwartał I 1,7% 2,1% II 1,3% 1,5% III 0,5% 0,4% IV 0,4% 1,3% [2012 2,92%, ,56%] Zadanie 32. W ciągu roku stopa inflacji malała z 2,5% w pierwszym kwartale co kwartał o 0,5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną i przeciętną stopę inflacji w tym roku. [roczna: i inf = 7,179%, przeciętna i inf śr = 1,748%] Zadanie 33. Płaca pracownika w I kwartale wynosiła 1400 zł. miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0,8 stopy inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach stopa inflacji była równa odpowiednio 4%, 3%, 1% i 3%. Wyznaczyć: (a) płacę pracownika w I kwartale następnego roku i (b) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku. [(a) (1444,80, 1479,48, 1491,31) 1527,10, wzrost nominalny r = 1527, = 0,0908 = 9,08%, wzrost realny r real = 0,0908 0, ,1144 = 0,0212 = 2,12% (i inf śr = 11,44%)] Zadanie 34. Lokata: 13% w skali roku, kapitalizacja kwartalna, składana z dołu. Inflacja w kolejnych kwartałach: 5%, 3%, 2% i 4%. Jaka jest realna stopa procentowa tej lokaty? [r efektywna = (1 + 0,13 4 )4 1 = 13,65% i inf = 14,73%, r real efektywna = 0,94%] Zadanie 35. inwestujemy 5000 zł chcąc uzyskać stopę realną równą r real = 10%. Spłata ma nastąpić za dwa lata, a inflację przewidujemy na poziomie 2% rocznie. (a) Jaką kwotę powinniśmy otrzymać? (b) Jeżeli otrzymamy umówiona kwotę, a inflacja w pierwszym roku utrzyma się na poziomie 1,0%, a w drugim wzrośnie do 2,5% to jaka będzie nasza stopa realna? [(a) nominaly czynnik oprocentowania 1 + r = (1 + r real )(1 + i inf ) = 1,122 i wtedy F V = 6 294,42, (b) przeciętny czynnik inflacji 1 + i inf śr = 1,175 i stopa realna r real = r i inf śr 1+i inf śr = 8,9%]

17 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW Obliczenia handlowe Koszty jednostkowe Metoda obliczenia kosztów jednostkowych za pomocą równej raty polega na rozłożeniu wszystkich kosztów na równe raty w całym horyzoncie czasowym inwestycji. Dzięki temu można obliczyć stosunek kosztów do liczby wyprodukowanych towarów i w ten sposób porównywać inwestycje. Metoda ta ma zastosowanie do porównywania inwestycji o różnych horyzontach czasowych. Przykład. Porównać inwestycje A i B dane następującymi założeniami Charakterystyka inwestycji Inwestycja A Inwestycja B Koszty zakupu Okres użytkowania 12 lat 10 lat Wartość resztowa Wydajność na rok (w sztukach) Roczny koszt użytkowania Aby rozstrzygnąć, która z tych inwestycji jest korzystniejsza przy stopie procentowej i = 5% trzeba wykonać odpowiednie obliczenia. (a) Inwestycja A (1 + 0, 05) 12 = c A a 12 5% Zatem roczna rata za użytkowanie tej maszyny wynosi około ,15 zł, a koszty jednostkowe , ,26 (b) Inwestycja B (1 + 0, 05) 10 = c B a 10 5% Zatem roczna rata za użytkowanie tej maszyny wynosi około ,92 zł, a koszty jednostkowe , ,53 Zatem lepszą, korzystniejszą inwestycją jest inwestycja B bo jednostkowe koszty produkcji są niższe. Zadanie 36. Cukiernia zastanawia się nad nabyciem maszyny do lodów. Cena z montażem wynosi zł. Okres używania przewiduje się na 10 lat. Wartość maszyny po tym okresie wynosi zł. Co 3 lata jest potrzebna konserwacja, pierwsza kosztuje zł, druga i trzecia po zł. Miesięczne wydatki (personel, prąd, koszty przeglądu) wynoszą Aktualna stopa procentowa i = 5%. Ile dochodu musi przynieść miesięczna sprzedaż lodów, żeby pokryć wydatki? Ile porcji lodów (po 5 zł) trzeba sprzedać dziennie, żeby pokryć koszty inwestycji i surowców? [13421,43; 90 (89,47)] Zadanie 37. Obliczyć koszt jednostkowy wyprodukowania piłeczki do golfa jeżeli maszyna do produkcji piłeczek kosztuje zł, może pracować przez 8 lat i wtedy będzie miała wartość resztową zł, w każdym miesiącu maszyna ta może wyprodukować 800 sztuk piłeczek, miesięczny koszt eksploatacji, materiałów i pracy wynosi zł. Przyjąć stałą roczną stopę procentową równą 4,7%. [109,50]

18 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 18 Zadanie 38. Obliczyć koszt jednostkowy wyprodukowania filtra oleju jeżeli maszyna do produkcji takich filtrów kosztuje zł, może pracować przez 7 lat i wtedy będzie miała wartość resztową zł, w każdym miesiącu maszyna ta może wyprodukować 1200 sztuk filtrów, miesięczny koszt eksploatacji, materiałów i pracy wynosi zł. Przyjąć stałą roczną stopę procentową równą 3,3%. [27,22] Marża Marża określa nadwyżkę uzyskiwaną ze sprzedaży dobra ponad bezpośrednie koszty jego uzyskania. Marża może być wyrażona kwotowo lub procentowo. Marża wyrażona kwotowo: marża = cena sprzedaży koszt sprzedanego dobra Przykład. Cena zakupu towaru: 80, cena sprzedaży towaru: 100. Marża: = 20 Marża wyrażona procentowo: to stosunek marży kwotowej do ceny sprzedaży lub kosztu towaru bądź produktu. Występują dwa sposoby procentowego określania marży zależnie od tego czy wylicza się ją w odniesieniu do ceny sprzedaży czy do kosztu sprzedawanego towaru odpowiednio określa się ją jako marżę w stu lub marżę od sta. Marża w stu. Przy wyliczaniu marży metodą w stu, jako wartość odniesienia wykorzystujemy cenę sprzedaży (nazwa w stu pochodzi od tego, że marża jest zawarta w wartości wykorzystywanej jako odniesienie, czyli w 100%). Przykład. Cena zakupu towaru: 80, marża kwotowa: 20, cena sprzedaży (odniesienia): = 100 (to jest 100% w których marża jest już zawarta). Marża procentowa w stu jest równa 20/ % = 20% Marża od sta. Przy wyliczaniu marży metodą od sta, jako wartość odniesienia wykorzystujemy koszt (nazwa od sta pochodzi od tego, że marża nie jest zaliczona do 100% wartości wykorzystywanej jako odniesienie, czyli do kosztu). Marża od sta nazywana jest często narzutem. Przykład. Cena zakupu towaru: 80 (100% nie zawiera w sobie marży), marża kwotowa: 20, cena sprzedaży: 100. Marża procentowa od sta jest równa 20/80 100% = 25%. Przejście pomiędzy marżami w stu i od sta: marża od sta = marża w stu = marża w stu (1 marża w stu) marża od sta (1 + marża od sta) Marża wyrażona procentowo jest bardzo popularnym miernikiem, ponieważ pokazuje ona rentowność sprzedaży. Pozwala ona na łatwe porównywanie ze sobą zyskowności sprzedaży towarów o rożnych cenach. Przy wyliczaniu marży bierze się pod uwagę jedynie bezpośrednie koszty związane ze sprzedawanym dobrem. Dopiero z uzyskanej marży przedsiębiorstwo pokrywa koszty pośrednie związane z działalnością. W przypadku działalności handlowej, marża będzie różnicą pomiędzy ceną sprzedaży towaru a ceną jego zakupu. W przypadku działalności produkcyjnej i usługowej, marżę oblicza się jako różnicę między ceną sprzedaży a bezpośrednim kosztem wytworzenia produktu bądź usługi. W przypadku działalności kredytowej, marża obliczana jest inaczej niż w przypadku sprzedaży towarów, dóbr i usług. W działalności kredytowej marżę określa się jako różnicę w oprocentowaniu udzielonego kredytu a kosztem pozyskania środków na jego udzielenie (oprocentowaniem, na jakie pożyczkodawca zaciągnął pożyczkę na udzielenie kredytu).

19 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 19 więc: W przypadku kredytów udzielanych przez banki konstrukcja oprocentowania jest następująca: oprocentowanie kredytu = stopa bazowa + marża banku marża = oprocentowanie kredytu stopa bazowa Stopa bazowa jest to oprocentowanie, po jakim bank może pożyczyć środki na rynku międzybankowym. Stopa ta zależna jest od waluty w jakiej udzielony jest kredyt: Kredyt udzielony w PLN WIBOR 3 Kredyt udzielony w EUR EURIBOR Kredyt udzielony w CHF LIBOR Stopa ta określona jest dla różnych okresów od jednodniowych aż do jednego roku. W przypadku kredytów najczęściej wykorzystuje się stopy trzymiesięczne. Marża jako wskaźnik finansowy W przypadku analizy finansowej, marża oznacza wskaźnik finansowy wyliczany na podstawie danych zawartych w sprawozdaniu finansowym spółki. Analiza finansowa rozszerza jednak pojęcie marży na marżę brutto i netto. Marżę jako wskaźnik finansowy wylicza się wykorzystując dane zawarte w wariancie kalkulacyjnym rachunku zysków i strat. marża brutto = marża netto = zysk brutto ze sprzedaży przychody ze sprzedaży zysk ze sprzedaży przychody ze sprzedaży Marża netto nie jest precyzyjnie marżą zgodnie z pierwszą przedstawioną definicją, bierze ona bowiem pod uwagę również koszty sprzedaży i koszty ogólnego zarządu, a wiec koszty niezwiązane bezpośrednio z nabyciem lub wytworzeniem sprzedanych produktów. Zastosowanie marży netto jest jednak szerokie, gdyż mierzy ona rentowność sprzedaży biorąc pod uwagę wszystkie koszty niezbędne do dokonania sprzedaży. Narzut Narzut jest to różnica między ceną, a kosztem wytworzenia (zakupu), wynikająca z dodatkowych obciążeń kosztowych. Narzut kwotowy jest tym samym co marża kwotowa. Narzut procentowy to marża procentowa od sta. 3 WIBOR (ang. Warsaw Interbank Offered Rate) referencyjna wysokość oprocentowania kredytów na polskim rynku międzybankowym. Wyznaczana jest jako średnia arytmetyczna wielkości oprocentowania podawanych przez największe banki działające w Polsce, które są uczestnikami panelu WIBOR, po odrzuceniu wielkości skrajnych. Banki podają stawki oprocentowania (w ujęciu rocznym), po jakich są gotowe pożyczyć pieniądze innym bankom, o godz. 11:00 każdego dnia roboczego. Proces wyznaczania wartości WIBOR nazywany jest fixingiem WIBOR.

20 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 20 Kalkulacja ceny Kalkulacja ceny metodą narzutu na koszty opiera się na obliczeniu ceny jednostkowej jako sumy kosztu jednostkowego zmiennego oraz odpowiedniej części kosztów stałych i powiększeniu tej ceny o narzut (procentowo) do ceny zbytu: C z = C kj (1 + n k ) = (K jz + K s L j )(1 + n k ) gdzie: C z cena zbytu, C kj całkowity koszt jednostkowy, n k narzut na koszty, K jz koszt jednostkowy zmienny, K s koszt stały, L j liczba jednostek. Przykład. W każdym roku produkujemy długopisów. Koszt wyprodukowania jednego długopisu to 11 zł, a koszty zarządzania firmą to rocznie. Ustalamy narzut (czyli zysk z produkcji) w wysokości 25%. Jaka jest cena zbytu? Całkowity koszt jednostkowy (z uwzględnieniem kosztów stałych) C kj = 11 + = 16. Cena zbytu C z = 16 (1 + 0,25) = 16 1,25 = 20. W tym przypadku marża w stu jest równa = 0,2 czyli 20%. 20 Zadanie 39. Producent szklanek do... soków produkuje miesięcznie naczyń, a koszt wyprodukowania jednej szklanki wynosi 0,45 zł. Roczne koszty stałe firmy to zł. Zarząd firmy ustalił narzut producenta w wysokości 20%. Szklanki sprzedaje detalista Piękne naczynia po 1,50 za sztukę. Obliczyć marżę w stu detalisty jeżeli narzut hurtownika to 30%. Jaki narzut stosuje detalista? [cena zbytu producenta 0,9, cena u hurtownika 1,17, narzut detalisty ok. 28,21%, marża w stu detalisty 22%] Zadanie 40. Jaki jest całkowity koszt jednostkowy towaru, sprzedawanego w detalu po 142,50, gdy marża (w stu) producenta wynosi 36%, narzut hurtownika 25% i narzut detalisty 52%? Jaka jest marża w stu hurtownika? [całkowity koszt jesdnostkowy 48,00 zł, cena producenta 75,00, marża hurtownika w stu 20%, cena hurtowa 93,75 zł.] Skonto i rabat Skonto to procentowe zmniejszenie sumy należności, przyznawane nabywcy towaru na warunkach kredytowych, w razie zapłaty należności gotówką przed umówionym terminem. Przykład. Sprzedawca ustala termin płatności np. na 30 dni, ale jeżeli nabywca ureguluje należność w terminie np. 15 dni, to suma należności jest obniżana np. o 4%. Rabat (opust) zniżka oznaczona procentowo lub kwotowo od ustalonej ceny określonego towaru. Udzielana najczęściej nabywcom płacącym gotówką, kupującym duże ilości towaru jednorazowo lub w określonym czasie. Zadanie 41. Detalista z poprzedniego zadania postanowił sprzedawać szklanki po 1,56 (jaką ma teraz marżę w stu?) oraz udzielać rabatu przy zakupach powyżej 100. Jaki może być rabat, aby narzut wynosił 30%? Czy zamiast rabatu dodanie do każdych 100 szklanek 3 gratis będzie korzystniejsze dla detalisty? [marża w stu 25%, gdy narzut 30% to cena 1,521, a więc przy 100 szklankach rabat może być 3,90 zł, tak - dodanie trzech szklanek po cenie 1,17 to 3,51, a więc taniej o 39 gr.] Zadanie 42. Producent materiałów biurowych oszacował koszt wytworzenia 100 sztuk pisaków na 21,50 zł, koszty stałe roczne przypadające na te pisaki na zł, jeżeli produkuje 8000 pisaków miesięcznie.

21 DSFRiU (niestacjonarne) matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 21 Hurtownik, który rozprowadza te pisaki w cenie 98,00 za 100 sztuk pobiera narzut 40%. Jaka jest marża w stu producenta? [30%] Zadanie 43. Jaka powinna być cena kalkulatora graficznego jeżeli marża w stu detalisty jest równa 35%, detalista kupuje towar u hurtownika, który pobiera narzut 30%, a producent szacuje koszty jednostkowe na 11,67 zł, produkuje 120 kalkulatorów miesięcznie, wydaje na zarządzanie firmą rocznie i określił swój narzut na 25%. [550,00]

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa DSFRiU

Matematyka finansowa DSFRiU Matematyka finansowa DSFRiU notatki do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania Podręczniki 1. M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe

Bardziej szczegółowo

I = F P. P = F t a(t) 1

I = F P. P = F t a(t) 1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1.

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1. Grupy 1-2 Zadanie 1. Sprawdźcie ofertę dowolnych 5 banków i wybierzcie najlepszą ofertę oszczędnościową (lokatę lub konto oszczędnościowe). Obliczcie, jaki zwrot przyniesie założenie jednej takiej lokaty

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Maciej Wolny I. Kalkulacja wartości pieniądza w czasie... 1 II. Nominalna, efektywna i realna stopa procentowa... 4 III. Spłata kredytów w równych i różnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

Forward Rate Agreement

Forward Rate Agreement Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie

Bardziej szczegółowo

Obowiązuje od 01.02.2016 r.

Obowiązuje od 01.02.2016 r. KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie limitu

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 25 października 2011 1 Kontrakty OIS 2 Struktura kontraktu IRS Wycena kontraktu IRS 3 Struktura kontraktu

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów konta Konto osobiste konta 0,50% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 12.08.2013 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

b) PLN/szt. Jednostkowa marża na pokrycie kosztów stałych wynosi 6PLN na każdą sprzedają sztukę.

b) PLN/szt. Jednostkowa marża na pokrycie kosztów stałych wynosi 6PLN na każdą sprzedają sztukę. Poniżej znajdują się przykłady rozwiązań tylko niektórych, spośród prezentowanych na zajęciach, zadań. Wszystkie pochodzą z podręcznika autorstwa Kotowskiej, Sitko i Uziębło. Kolokwium swoim zakresem obejmuje

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto osobiste konta 0,25% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 16.12.2014 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo

1 Inflacja. wzrost ceny jednego produktu nie musi prowadzić do inflacji; spadek ceny jednego produktu może wystąpić przy istnieniu inflacji;

1 Inflacja. wzrost ceny jednego produktu nie musi prowadzić do inflacji; spadek ceny jednego produktu może wystąpić przy istnieniu inflacji; 1 Inflacja Inflacja to wzrost ogólnego poziomu cen. Miarą inflacji jest indeks cen dóbr konsumpcyjnych, równy stosunkowi cen dóbr należących do reprezentatywnego koszyka w danym okresie czasu cen tych

Bardziej szczegółowo

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień)

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 06. Rola współczynnika procentowego i współczynnika dyskontowego

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto osobiste Tabela oprocentowania dla konsumentów konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor:

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Inwestowanie w obligacje

Inwestowanie w obligacje Inwestowanie w obligacje Ile zapłacić za obligację aby uzyskać oczekiwaną stopę zwrotu? Jaką stopę zwrotu uzyskamy kupując obligację po danej cenie? Jak zmienią się ceny obligacji, kiedy Rada olityki ieniężnej

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 17.05.2003

Matematyka finansowa 17.05.2003 1. Na początku roku (w chwili t = 0 ) portfel pewnego funduszu inwestycyjnego składa się z 40% obligacji typu I oraz 60% obligacji typu II. O obligacjach typu I oraz typu II wiadomo, że: (i) obligacja

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Temat spotkania: Matematyka finansowa dla liderów Temat wykładu: Matematyka finansowa wokół nas Prowadzący: Szkoła Główna Handlowa w Warszawie 14 października 2014 r. Matematyka finansowa dla liderów Po

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI 3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub

Bardziej szczegółowo

Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w styczniu 2014 r.

Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w styczniu 2014 r. Informacja prasowa Warszawa, 13 lutego 2014 r. Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w styczniu 2014 r. W styczniu 2014 roku inwestorzy kupili obligacje skarbowe o łącznej wartości 256,2 mln zł to trzeci

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor: Tytuł:

Bardziej szczegółowo

Funkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl

Funkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Funkcje w MS Excel Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Plan prezentacji Wprowadzenie Funkcje matematyczne Funkcje logiczne Funkcje finansowe Podsumowanie 2/27 Wprowadzenie Funkcje: Są elementami

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

ZASADY I TERMINY KAPITALIZACJI ODSETEK

ZASADY I TERMINY KAPITALIZACJI ODSETEK OPROCENTOWANIE ŚRODKÓW PIENIĘŻNYCH W WALUTACH WYMIENIALNYCH GROMADZONYCH NA RACHUNKACH BANKOWYCH I KREDYTÓW W WALUTACH WYMIENIALNYCH UDZIELANYCH PRZEZ PKO BANK POLSKI S.A. KLIENTOM RYNKU DETALICZNEGO:

Bardziej szczegółowo

Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne.

Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne. Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne dr Adam Salomon Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Podręcznik

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo

USTAWA z dnia 5 grudnia 2002 r. o dopłatach do oprocentowania kredytów mieszkaniowych o stałej stopie procentowej. Rozdział 1 Przepisy ogólne

USTAWA z dnia 5 grudnia 2002 r. o dopłatach do oprocentowania kredytów mieszkaniowych o stałej stopie procentowej. Rozdział 1 Przepisy ogólne Kancelaria Sejmu s. 1/7 USTAWA z dnia 5 grudnia 2002 r. Opracowano na podstawie: Dz.U. 2002 r. Nr 230, poz. 1922. o dopłatach do oprocentowania kredytów mieszkaniowych o stałej stopie procentowej Rozdział

Bardziej szczegółowo

Obliczenia, Kalkulacje...

Obliczenia, Kalkulacje... Obliczenia, Kalkulacje... 1 Bilans O D P I E R W S Z E G O E T A T U D O W Ł A S N E J F I R M Y To podstawowy dokument przedstawiający majątek przedsiębiorstwa. Bilans to zestawienie dwóch list, które

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DEPOZYTÓW I KREDYTÓW

TABELA OPROCENTOWANIA DEPOZYTÓW I KREDYTÓW Załącznik Nr 1 do Uchwały Nr 02/III/2014 Zarządu Banku Spółdzielczego w Mszanie Dolnej z dnia 05-03-2014r. Bank Spółdzielczy w Mszanie Dolnej TABELA OPROCENTOWANIA DEPOZYTÓW I KREDYTÓW W BANKU SPÓŁDZIELCZYM

Bardziej szczegółowo

Praktyczne Seminarium Inwestowania w Nieruchomości

Praktyczne Seminarium Inwestowania w Nieruchomości Praktyczne Seminarium Inwestowania w Nieruchomości Kalkulator finansowy 10BII pierwsze kroki www.edukacjainwestowania.pl Kalkulator finansowy 10BII, oprócz typowych funkcji matematycznych i statystycznych,

Bardziej szczegółowo

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego).

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego). Kontrakt terminowy (z ang. futures contract) to umowa pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do kupna, a druga do sprzedaży, w określonym terminie w przyszłości (w tzw. dniu wygaśnięcia)

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA DEPOZYTÓW I KREDYTÓW

TABELA OPROCENTOWANIA DEPOZYTÓW I KREDYTÓW Załącznik Nr 1 do Uchwały Nr 01/III/2015 Zarządu Banku Spółdzielczego w Mszanie Dolnej z dnia 04 marca 2015r. Bank Spółdzielczy w Mszanie Dolnej TABELA OPROCENTOWANIA DEPOZYTÓW I KREDYTÓW W BANKU SPÓŁDZIELCZYM

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w sierpniu 2014 r.

Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w sierpniu 2014 r. Informacja prasowa Warszawa, 15 września 2014 r. Wyniki sprzedaży obligacji skarbowych w sierpniu 2014 r. Sierpień był kolejnym miesiącem, w którym wartość sprzedaży obligacji Skarbu Państwa wzrosła. Wciąż

Bardziej szczegółowo

ZESTAW ZADAŃ Konkurs Finanse w matematyce

ZESTAW ZADAŃ Konkurs Finanse w matematyce ZESTAW ZADAŃ Konkurs Finanse w matematyce 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Cena wymurowania pierwszego metra komina to 540zł. Każdy następny metr jest droższy o 90zł. Zatem wybudowanie komina o wysokości 20m

Bardziej szczegółowo

Tabela Oprocentowania Produktów Bankowych Spółdzielczego Banku Rozwoju

Tabela Oprocentowania Produktów Bankowych Spółdzielczego Banku Rozwoju Załącznik do Uchwały nr 36/2012 Zarządu Spółdzielczego Rozwoju z dnia 24.05.2012 r. Tabela Oprocentowania Spółdzielczego Rozwoju (obowiązuje od 18.06.2012 r.) Lp. KLIENCI INDYWIDUALNI Nazwa produktu I.

Bardziej szczegółowo

USTAWA z dnia 5 grudnia 2002 r. o dopłatach do oprocentowania kredytów mieszkaniowych o stałej stopie procentowej. Rozdział 1 Przepisy ogólne

USTAWA z dnia 5 grudnia 2002 r. o dopłatach do oprocentowania kredytów mieszkaniowych o stałej stopie procentowej. Rozdział 1 Przepisy ogólne Kancelaria Sejmu s. 1/1 USTAWA z dnia 5 grudnia 2002 r. o dopłatach do oprocentowania kredytów mieszkaniowych o stałej stopie procentowej Opracowano na podstawie: z 2002 r. Nr 230, poz. 1922, z 2004 r.

Bardziej szczegółowo

I. KLIENCI DETALICZNI 1. Rachunki oszczędnościowo-rozliczeniowe, oszczędnościowe, płatne na każde żądanie w złotych

I. KLIENCI DETALICZNI 1. Rachunki oszczędnościowo-rozliczeniowe, oszczędnościowe, płatne na każde żądanie w złotych Załącznik nr 3 do uchwały nr 1/17/2015 Zarządu Banku Spółdzielczego z dnia 31 sierpnia 2015 r. Stawki oprocentowania rachunków w stosunku rocznym obowiązujące od dnia 01 września 2015 roku I. KLIENCI DETALICZNI

Bardziej szczegółowo

Dz.U. 2002 Nr 230 poz. 1922 USTAWA. z dnia 5 grudnia 2002 r. o dopłatach do oprocentowania kredytów mieszkaniowych o stałej stopie procentowej

Dz.U. 2002 Nr 230 poz. 1922 USTAWA. z dnia 5 grudnia 2002 r. o dopłatach do oprocentowania kredytów mieszkaniowych o stałej stopie procentowej Dz.U. 2002 Nr 230 poz. 1922 USTAWA z dnia 5 grudnia 2002 r. Opracowano na podstawie: t.j. Dz. U. z 2014 r. poz. 711, z 2015 r. poz. 1582. o dopłatach do oprocentowania kredytów mieszkaniowych o stałej

Bardziej szczegółowo

B. Zobowiązania i rezerwy na zobowiązania

B. Zobowiązania i rezerwy na zobowiązania 1 Zadanie.2.1 - Sporządzanie Bilansu Przedsiębiorstwo X działające w formie spółki z ograniczoną odpowiedzialnością na koniec okresu sprawozdawczego (31.12.20A1) posiadało: środki pieniężne na rachunku

Bardziej szczegółowo

KOMUNIKAT z dnia 17.08.2015 r. dotyczący oprocentowania rachunków bankowych Meritum Banku

KOMUNIKAT z dnia 17.08.2015 r. dotyczący oprocentowania rachunków bankowych Meritum Banku KOMUNIKAT z dnia 17.08.2015 r. dotyczący oprocentowania rachunków bankowych I. Rachunki oszczędnościowo-rozliczeniowe i oszczędnościowe dla Klientów Indywidualnych Nazwa Konto z Gwarancją Konto Oszczędnościowe

Bardziej szczegółowo

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Wstęp Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć oraz zaleŝności z zakresu zarządzania finansami w szczególności

Bardziej szczegółowo

Portfele Comperii - wrzesień 2011

Portfele Comperii - wrzesień 2011 1 S t r o n a Portfele Comperii - wrzesień 2011 Czym są Portfele Comperii? Portfele Comperii (dawniej zwane Wskaźnikami Comperii ) to analiza ukazująca, jak w ostatnich kilku tygodniach (a także miesiąc

Bardziej szczegółowo

ZYSK BRUTTO, KOSZTY I ZYSK NETTO

ZYSK BRUTTO, KOSZTY I ZYSK NETTO ZYSK BRUTTO, KOSZTY I ZYSK NETTO MARŻA BRUTTO Marża i narzut dotyczą tego ile właściciel sklepu zarabia na sprzedaży 1 sztuki pojedynczej pozycji. Marża brutto i zysk brutto odnoszą się do tego ile zarabia

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz: 65 % liczby 80, 28 % liczby 12,4, 4,6 % liczby 32 3

Zadanie 1. Oblicz: 65 % liczby 80, 28 % liczby 12,4, 4,6 % liczby 32 3 Zadanie 1. Oblicz: 65 % liczby 80, 28 % liczby 12,4, 4,6 % liczby 32 3 2. Odp.: 52; 3,472; 1 377/450 Zadanie 2. Oblicz: 40 % z 28 % liczby 38, 24,6 % z 15 % liczby 27,4. Odp.: 4,256; 1,01106 Zadanie 3.

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania. produktów bankowych. w Banku Spółdzielczym w Krotoszynie

Tabela oprocentowania. produktów bankowych. w Banku Spółdzielczym w Krotoszynie Tabela oprocentowania produktów bankowych w Banku Spółdzielczym w Krotoszynie Obowiązuje od dnia 05 marca 05 r. (aktualizacja wg stanu na dzień 03 sierpnia 05 r.) Spis treści I. Zasady stosowania oprocentowania

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa

Matematyka finansowa Matematyka finansowa 26 kwietnia 2013 roku 1. Stopy procentowe. NSP - nominalna stopa procentowa - zwykle określona w skali roku. Jeśli rok dzieli się na n równych podokresów (miesięcy, kwartałów, tygodni,

Bardziej szczegółowo

1. Spłata długów. Są także kredyty preferencyjne udzielane przez banki zgodnie z projek-

1. Spłata długów. Są także kredyty preferencyjne udzielane przez banki zgodnie z projek- 1. Spłata długów Kredyt i pożyczka bywają traktowane jako synonimy, ale w sensie prawno-- ekonomicznym bardzo się różnią. Mianowicie: Pożyczka jest instytucją prawa cywilnego i może jej udzielać tylko

Bardziej szczegółowo

Informacja prasowa Warszawa, 4 grudnia 2015 r.

Informacja prasowa Warszawa, 4 grudnia 2015 r. Informacja prasowa Warszawa, 4 grudnia 2015 r. Wyniki sprzedaży obligacji oszczędnościowych w listopadzie 2015 r. Polacy po raz kolejny docenili emisję specjalną Listopadową 11 W listopadzie sprzedano

Bardziej szczegółowo

Regulamin Transakcji Swap Procentowy

Regulamin Transakcji Swap Procentowy Regulamin Transakcji Swap Procentowy 1. 1. Regulamin Transakcji Swap Procentowy zwany dalej Regulaminem SP określa szczegółowe zasady i tryb zawierania oraz rozliczania Transakcji Swap Procentowy na podstawie

Bardziej szczegółowo

KARTY KREDYTOWE. Oprocentowani e w skali roku Stopa redyskonta weksli (12) + 8,00% stała marża (Z) Stopa redyskonta. 8,00% stała.

KARTY KREDYTOWE. Oprocentowani e w skali roku Stopa redyskonta weksli (12) + 8,00% stała marża (Z) Stopa redyskonta. 8,00% stała. Załącznik nr 6 do Uchwały Nr 1/31/12/2015 Zarządu Banku Spółdzielczego w Lubaczowie z dnia 31 grudnia 2015 r. Tabela onia kredytów w Banku Spółdzielczym w Lubaczowie I. KREDYTY DLA OSÓB FIZYCZNYCH KREDYTY

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA KREDYTÓW I DEPOZYTÓW W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W TYCHACH

TABELA OPROCENTOWANIA KREDYTÓW I DEPOZYTÓW W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W TYCHACH Załącznik do Uchwały nr 51/2014 Zarządu Banku Spółdzielczego w Tychach z dnia 22.08.2014 r. TABELA OPROCENTOWANIA KREDYTÓW I DEPOZYTÓW W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W TYCHACH Rozdział I. Oprocentowanie produktów

Bardziej szczegółowo

NAKŁADY W RAMACH PRZEDSIĘWZIĘCIA

NAKŁADY W RAMACH PRZEDSIĘWZIĘCIA NAKŁADY W RAMACH PRZEDSIĘWZIĘCIA NAKŁADY KWOTA I. Wydatki w ramach kredytu/pożyczki : z tego: II. Nakłady w ramach środków własnych: z tego: SUMA NAKŁADOW (I+II) ŹRÓDŁA FINANSOWANIA: 1. Środki własne 2.

Bardziej szczegółowo

Analiza opłacalności inwestycji v.

Analiza opłacalności inwestycji v. Analiza opłacalności inwestycji v. 2.0 Michał Strzeszewski, 1997 1998 Spis treści 1. Cel artykułu...1 2. Wstęp...1 3. Prosty okres zwrotu...2 4. Inflacja...2 5. Wartość pieniądza w czasie...2 6. Dyskontowanie...3

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania produktów bankowych

Tabela oprocentowania produktów bankowych Załącznik nr 1 do Uchwały Zarządu BS nr 15/2015 z dnia 26-02-2015 r. Tabela oprocentowania produktów bankowych w Banku Spółdzielczym w Międzyrzecu Podlaskim Tekst jednolity Zmiany: Uchwała nr 20/2015 z

Bardziej szczegółowo