Matematyka finansowa DSFRiU

Transkrypt

1 Matematyka finansowa DSFRiU notatki do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania Podręczniki 1. M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa M.Sobczyk, Matematyka finansowa Podstawy teoretyczne, przykłady, zadania, Wydawnictwo Placet, Warszawa K. Piasecki, W. Ronka-Chmielowiec, Matematyka finansowa, Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa S. J. Garret, An Introduction to the Mathematics of Finance. A Deterministic Approach, Elsevier Ltd. Oxford M. Szałański, Matematyka finansowa wspomagana komputerowo, Wydawnictwo Naukowe Wydziału Zarządzania UW, Warszawa tcm pdf 1. Wstęp Aprecjacja kapitału Każdy (teoretyczny) inwestor kieruje się dwiema prostymi zasadami (przy zachowaniu zasady ceteris paribus [inne takie samo] przy pozostałych warunkach równych): preferencji czasowej i preferencji majątkowej: (a) zasada preferencji majątkowej z dwóch płatności następujących w tym samym czasie inwestor zawsze wybierze płatność o większej wartości nominalnej. (a) zasada preferencji czasowej z dwóch równych (nominalnie) płatności inwestor wybierze zawsze płatność dostępną wcześniej (wartość należności maleje wraz z wydłużaniem się czasu oczekiwania na należność), Z obu tych zasad wynika zasada aprecjacji kapitału: jeżeli dwie nierównoczesne płatności są równoważne to płatność późniejsza jest większa od płatności następującej wcześniej. Zatem, trzeba uznać za zasadę ogólną to, że kapitał zmienia się w czasie. 1

2 Pojęcia podstawowe Inwestycja rezygnacja z bieżącej konsumpcji na rzecz przyszłych i niepewnych korzyści. Inwestycje finansowe to inwestycje, których przedmiot inwestycji ma charakter niematerialny (tzw. instrument finansowy). Najważniejszymi cechami inwestycji finansowych są: dochód różnica między wartością końcową, a wartością początkową inwestycji. Miarą dochodu jest stopa rentowności (stopa zwrotu, stopa dochodu); ryzyko możliwość osiągnięcia wyniku inwestycji innego niż oczekiwany; płynność możliwość zamiany przedmiotu inwestycji, na gotówkę w krótkim okresie po oczekiwanej cenie. Instrument finansowy kontrakt zawierany między dwiema stronami określający zależność finansową, w której obie strony pozostają. instrumenty dłużne (wierzycielskie) jedna strona kontraktu pożycza kapitał drugiej stronie, zaś druga strona zobowiązuje się zwrócić dług i zapłacić odsetki (lokaty, kredyty); instrumenty udziałowe (własnościowe) jedna strona kontraktu sprzedaje drugiej stronie prawo własności przedsiębiorstwa (akcje); instrumenty pochodne (terminowe) dwie strony określają transakcję, do której może lub musi dojść w przyszłości między tymi stronami (opcje 1, kontrakty terminowe 2 ). Kapitał początkowy kapitał, który generuje odsetki. Odsetki to korzyść z kapitału (zapłata za udostępnienie środków finansowych). Odsetki stają się kapitałem dopiero po kapitalizacji, przedtem nie procentują. Kapitał końcowy kapitał początkowy wraz z odsetkami. Czas oprocentowania czas, w którym są generowane odsetki. Okresowa stopa procentowa stosunek odsetek do kapitału, który je wygenerował w ustalonym okresie. Zwykle wyrażamy ją w procentach (a więc pomnożone przez 100%) ale w obliczeniach oczywiście jest ułamkiem (oznaczamy tym samym symbolem). Okres kapitalizacji okres, po upływie którego odsetki, które narosły, doliczane są do depozytu, podlegając oprocentowaniu i zwiększając tym samym dochód inwestora. Standardowe oznaczenia F V (ang. future value) kapitał końcowy, wartość końcowa inwestycji; I (ang. interest) odsetki; P V (ang. present value, principal) kapitał początkowy, wartość początkowa inwestycji; i, r (ang. interest rate) stopa procentowa, stopa zwrotu, stopa rentowności; n liczba okresów kapitalizacji. 1 instrument pochodny o niesymetrycznym profilu wypłaty umowa dająca nabywcy opcji prawo, a wystawcy (sprzedającemu) obowiązek kupna/sprzedaży określonej ilości instrumentu bazowego w określonym terminie i po z góry ustalonej cenie 2 instrumenty pochodne o symetrycznym profilu wypłaty umowa zobowiązująca kupującego oraz sprzedającego (wystawcę) do zawarcia transakcji kupna/sprzedaży instrumentu bazowego w określonym czasie i po ustalonej cenie. 2

3 Rachunek czasu W obliczaniu odsetek trzeba obliczać okresy czasu. Najważniejsze rachunki dotyczą określania liczby dni między określonymi datami i zamiana liczby dni na liczbę lat. W praktyce stosuje się dwie miary: kalendarzową (miesiąc ma 31, 30 lub 28/29 dni, rok ma 365 dni nawet przestępny) i bankową (miesiące mają po 30 dni, rok ma 360 dni). Nie liczy się pierwszego dnia (np. dnia wpłaty na konto) ale liczy się dzień ostatni (np. dzień wypłaty z konta). W praktyce stosuje się trzy sposoby wyznaczania ułamka roku na podstawie liczby dni: obliczenia kalendarzowe liczba dni według kalendarza podzielona przez 365; obliczenia bankowe liczba dni bankowych podzielona przez 360; reguła bankowa liczba dni kalendarzowych podzielona przez 360. Obliczenia kalendarzowe i bankowe dają bardzo podobne wyniki, a reguła bankowa jest korzystniejsza dla wierzyciela, czyli zwykle banku udzielającego kredytu. Przykład. Ile lat minęło od 20 lutego 2012 do 18 maja 2014? Obliczenia liczby dni dokonujemy dzieląc czas na pełne miesiące i uzupełniając je dwoma miesiącami niepełnymi na początku i końcu okresu. obliczenia kalendarzowe: od 20 lutego 2012 do 1 marca dni, od 1 marca 2012 do 1 marca 2014 dwa lata = 730 dni, marzec 31 dni, kwiecień 30 dni i uzupełnienie maja dni czyli razem 818 dni, co daje 818/365 2,241 lat. obliczenia bankowe: niepełny luty: = 10, 26 miesięcy po 30 dni: = 780 i niepełny maj 18, razem = 808 dni. Liczba lat bankowych: 808/360 = 2,244. reguła bankowa: Liczba dni taka sama jak w obliczeniach kalendarzowych. Zatem liczba lat w regule bankowej: 818/360 = 2,272. Zadanie 1. Ile dni (a) kalendarzowych (b) bankowych upłynęło między 8 marca a 28 września 2014 roku, a ile między 10 stycznia a 20 maja 2016 roku? [(a) 204 i 131 (b) 200 i 130] Zadanie 2. Jaka data wykupu powinna zostać umieszczona na wekslu jeżeli został podpisany 7 września 2016 na 150 dni? [4 lutego 2017 roku] Zadanie 3. Jaka część roku upłynęła od 25 czerwca 2015 roku do 6 września tego samego roku, według obliczeń obliczeń kalendarzowych, (b) obliczeń bankowych, (c) reguły bankowej? (zaokrąglić do trzech miejsc po przecinku). [(a) 0,2, (b) 0,197, (c) 0,203] 3

4 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 4 2. Procent prosty Najprostszy sposób wyznaczenia stopy dochodu (stopy zwrotu z inwestycji finansowej), gdy inwestycja trwała n okresów jest obliczenie stosunku odsetek do kapitału początkowego i podzielenie tego stosunku przez liczbę okresów: r = F V P V. np V Prowadzi to do modelu oprocentowania prostego (odsetki nie są doliczane do kapitału, a więc nie generują odsetek). Zasada oprocentowania prostego Procent (odsetki) oblicza się od kapitału początkowego proporcjonalnie do długości czasu oprocentowania. Oprocentowanie proste stosuje się w bankowych transakcjach krótkoterminowych (poniżej jednego roku), poza sferą bankową niezależnie od czasu oprocentowania, do analizy transakcji z dyskontem handlowym. Z zasady oprocentowania prostego wynika, że odsetki w okresie n lat (które zależą od rocznej stopy procentowej i kapitału początkowego) można przedstawić jako: I n = P V rn. Stąd kapitał końcowy F V = P V + I n = P V + P V rn i model oprocentowania prostego (równanie wiążące cztery podstawowe wielkości) ma postać: F V = P V (1 + nr). Z tych wzorów można obliczyć wszystkie cztery wielkości ( klasyczne zagadnienia procentu prostego ): F V = P V (1 + nr), P V = F V 1 + nr, n = 1 ( ) F V r P V 1, r = 1 ( ) F V n P V 1. Jeżeli dany jest kapitał końcowy F V to kapitał początkowy nazywamy zdyskontowaną wartością kapitału czyli kapitał jaki trzeba złożyć by przy stopie procentowej r uzyskać wartość F V po n okresach kapitalizacji. Przykład. Mam zamiar wygrać jutro w Lotto 2 mln. zł i chcę ulokować je w banku na procent aby odsetki wydać na wakacjach za pół roku. (a) Bank oferuje stopę roczną 4,4%. Ile razem będę mógł wydać na wakacjach? F V = (1 + 0,044 0,5) = (b) W tych samych warunkach chcę uzyskać kwotę zł ile muszę włożyć na lokatę (wygrana plus dopłata)? P V = , ,044 0,5 (c) Chcę uzyskać kwotę taką jak wyżej także w ciągu pół roku z samej wygranej (bez dopłaty) jaką stopę procentową roczną muszę wynegocjować z bankiem? r = 1 ( ) , = 0,1, czyli r = 10%.

5 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 5 (d) Nadal chcę uzyskać z samej wygranej taką kwotę jak poprzednio, ale wynegocjowałem stopę roczną 5,5% kiedy będę mógł jechać na wakacje? n = 1 ( ) , ,9091 roku, czyli n = 0, dni lub prawie 11 miesięcy. Zadanie 4. Obliczyć wartość kapitału końcowego, gdy kapitał początkowy 3000 zł jest oprocentowany według stopy 7% po okresie (a) 5 lat; (b) 240 dni. Zadanie 5. Odsetki od 3-letniej lokaty są naliczane z dołu (na koniec okresu oprocentowania). Po wpłacie zł po trzech latach odebrano zł. Jaka jest roczna stopa procentowa, zakładając, że była niezmienna? Zadanie 6. Przy jakiej stopie oprocentowania prostego wartość 4-letniej lokaty z odsetkami naliczanymi po terminie zwiększy się (a) o 26%, (b) o 1/4. Zadanie 7. Ile łącznie wyniesie koszt pożyczki 12 tys. złotych na półtora roku, jeżeli co kwartał trzeba zapłacić 3% pożyczonej kwoty? Zadanie 8. Po jakim czasie oprocentowania prostego przy rocznej stopie 7,2% wartość lokaty zł (a) podwoi się, (b) zwiększy się do zł, (b) zwiększy się ponad 25%. Oprocentowanie proste w podokresach Stopa podokresowa to stopa procentowa ustalona dla określonej, ustalonej części roku. Przyjmuje się, że ustalona część roku dla wyznaczenia stopy podokresowej powinna być taka, by dla pewnego k, jej k-ta wielokrotność była równa jeden rok (choć możliwe są podokresy dłuższe niż rok). Zwykle stosuje się podokresy równe: półrocze (k = 2), kwartał (k = 4), miesiąc (k = 12), tydzień (k = 52), dzień (k = 365) (podokresowi równemu 2 lata odpowiada parametr k = 1 2 ). Jeżeli n jest okresem oprocentowania wyrażonym w latach, to m k = nk jest okresem wyrażonym w podokresach. Przy zastosowaniu stopy podokresowej model oprocentowania prostego jest następujący: F V = P V (1 + r k m k ). Równoważność stóp procentowych Stopy procentowe są równoważne jeżeli przy każdej z nich, taki sam kapitał początkowy generuje w tym samym czasie odsetki o identycznej wartości. Niech r k1 i r k2 będą stopami podokresowymi. Wyprowadzimy wzór na ich równoważność. Najpierw obliczamy czas oprocentowania wyrażony w podokresach: m k1 = nk 1 i m k2 = nk 2. Stopy są równoważne gdy generują takie same odsetki w tym samym czasie, a więc gdy P V r k1 nk 1 = P V r k2 nk 2, a stąd r k1 k 1 = r k2 k 2. Z tego wzoru można obliczyć stopę procentową r k2 r k1 : r k2 = r k1 k 1 k 2. równoważną stopie procentowej

6 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 6 Podstawiając odpowiednie wartości możemy znaleźć stopę roczną równoważną stopie podokresowej r = kr k (bo stopę roczną można traktować jako stopę podokresową z parametrem 1). Zadanie 9. Spłata 40 dniowej pożyczki 5000 zł wyniosła 5200 zł. Obliczyć stopę oprocentowania prostego tej pożyczki oraz równoważną stopę roczną, przy założeniu czasu według reguły bankowej. Zadanie 10. Podokresowe stopy oprocentowania prostego (a) 3,75%, (b) 60%, (c) 1,25%, (d) 17,5% są równoważne rocznej stopie 15%. Jakich podokresów dotyczą te stopy? Zadanie 11. Ile trzeba wpłacić na lokatę (a) roczną, (b) półroczną, (c) miesięczną aby w każdym przypadku odebrać kwotę 1200 zł, jeżeli okresowa stopa oprocentowania każdej lokaty jest proporcjonalna do kwartalnej stopy 2,7%? Zadanie 12. Za zakupy u detalisty mogę zapłacić dziś 150 zł, albo za miesiąc 150,45 zł. Za zakupy u hurtownika mogę zapłacić za kwartał 8072,00 zł lub dziś 8000,00. (a) Jakie stopy podokresowe stosowane są przez tych dwóch sprzedawców w obliczaniu kredytu kupieckiego? Czy są on równoważne? (b) Jakie są roczne stopy procentowe równoważne stopom podokresowym z części (a)? [(a) i 12 = 0,3%, i 4 = 0,9%, są równoważne, (b) równoważna stopa roczna i = 3,6%] Zadanie 13. Jeżeli pożyczę w Abanku zł to za 5 miesięcy muszę oddać 3 060, a jeżeli pożyczę w Bbanku to za dwa kwartały muszę oddać (w obu wypadkach jest naliczane oprocentowanie proste). Jakimi stopami podokresowymi posługują się te banki? Czy te stopy są równoważne?

7 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 7 3. Dyskonto handlowe Dyskontowanie (rzeczywiste) jest procesem odwrotnym do oprocentowania. Jest to obliczenie wartości kapitału początkowego na podstawie kapitału końcowego. Różnicę między kapitałem końcowym a początkowym nazywamy dyskontem (o tyle trzeba pomniejszyć kapitał końcowy aby otrzymać kapitał początkowy). P V = F V 1 + rn, D = F V P V = F V rn 1 + rn gdzie D jest dyskontem (równym odsetkom). Dyskonto handlowe proste Dyskontem handlowym nazywa się opłatę za pożyczkę obliczoną na postawie kwoty, którą dłużnik zwróci po określonym czasie, i zapłaconą w chwili otrzymania pożyczki (odsetki płatne z góry). Roczna stopa obliczania nazywa się stopą dyskontową. Przykład. (a) Obliczenia odsetkowe: pożycz 100 zł, za rok oddam ci o 20% więcej : teraz dostaję 100 zł, za rok oddaję 100(1 + 0, 2) = 120 zł. (b) Obliczenia dyskontowe: za rok mogę oddać ci 120 zł, daj mi teraz o 20% mniej : za rok oddaję 120 zł, a teraz dostaję 120 0, = = 96 zł. Zasada dyskonta handlowego prostego. Dyskonto jest obliczane od kwoty, którą dłużnik zwróci po określonym czasie, jest proporcjonalne do tego czasu i jest odejmowane od tej kwoty w chwili udzielania pożyczki. Dyskonto od kwoty F V (końcowej) za czas n przy danej stopie dyskontowej d oblicza się jako i model dyskonta handlowego prostego ma postać D = F V dn P V = F V D = F V F V dn, czyli P V = F V (1 dn). Z tego modelu wynikają wzory na kapitał końcowy, stopę dyskontową i czas oprocentowania: F V = P V 1 dn, d = 1 ( 1 P V ), n = 1 ( 1 P V ), n F V d F V albo Przykład. F V = P V 1 dn, d = D F V n, n = D F V d. (a) Za pół roku wygram kumulację 10 mln. zł, ile teraz pożyczki mogę dostać przy rocznej stopie dyskontowej 12%? P V = (1 6 0, 12 ) = ,94 = (b) Teraz chcę zł ile oddam po pół roku ze stopą dyskontową 12%? F V = ,12 12 = ,94 = ,87

8 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 8 (c) Teraz chcę zł, a za pół roku dam , jaka musi być stopa dyskontowa? d = ,5 = 0,095 czyli 9,5% (d) Chcę spłacić zł kwotą zł ze stopą dyskontową 10%, kiedy mam spłacić pożyczkę? n = ,1 0,4 czyli ok. 5 miesięcy Zadanie 14. Pożyczkę 5600 zł spłacono po 3 miesiącach kwotą 5900 zł. Jeżeli opłatą za pożyczkę były (a) odsetki płatne z dołu, obliczyć stopę procentową, (b) odsetki płatne z góry, obliczyć stopę dyskontową. [(a) 21,43%, (b) 20,34%] Zadanie 15. Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na zakup surowców w kwocie Jaka powinna być wartość nominalna weksla poręczającego transakcję, jeżeli strony zgodziły się na stopę dyskontową d = 11%. [25161,29] Zadanie 16. Za towar kupiony w hurtowni trzeba zapłacić w ciągu 28 dni, ale jeżeli zapłaci się w ciągu 7 dni to otrzymuje się rabat w wysokości 3%. Przy jakiej stopie dyskontowej d warto wziąć pożyczkę by skorzystać z rabatu przy odsetkach płatnych (a) z góry, (b) z dołu. [(a) d < 51, 43%, (b) i < 53, 02%] Równoważność stóp procentowej i dyskontowej Przykład. Otrzymujemy atrakcyjną ofertę: lokata dwuletnia oprocentowana procentem prostym ze stopą roczną 10%. Aby z niej skorzystać bierzemy 1000 zł pożyczki, na dwa lata z oprocentowaniem prostym i stopą dyskontową także 10%, i wpłacamy na lokatę. Czy to się opłaca? Podstawiamy podane wartości do równań dla lokaty (oprocentowanie): i pożyczki (dyskontowanie): F V = P V (1 + rn) = 1000(1 + 0,1 2) = 1200 F V = P V 1 dn = ,1 2 = , 8 = Jak widać na takim działaniu, przy równych stopach procentowej i dyskontowej, nie można zarobić. Jaka więc powinna być zależność tych stóp procentowych? Roczna stopa procentowa i roczna stopa dyskontowa są równoważne w okresie n jeżeli dyskonto i odsetki obliczone w tym czasie dla tej samej pożyczki są równe. Czyli F V dn = P V rn lub P V F V dn = P V rn lub F V dn = 1 dn 1 + rn rn. Stąd mamy związek równoważnych stóp procentowej i dyskontowej r = d 1 dn lub d = r 1 + rn oraz n = 1 d 1 r.

9 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 9 Zauważmy, że stopy procentowa i dyskontowa są równoważne tylko w konkretnym ustalonym okresie oprocentowania (równoważność zależy od n). Przykład. Obliczmy stopę procentową na jaką trzeba ulokować pieniądze w poprzednim przykładzie by nie stracić na tej operacji. Podstawiamy do wzoru stopę dyskontową 10% i okres 2 lata: r = d 1 dn = 0,1 1 0,1 2 = 0,125. Czyli stopa procentowa równoważna stopie dyskontowej 10% w okresie 2 lat jest równa 12,5%. Zadanie 17. Opłata za 6-cio miesięczny kredyt w wysokości 10 tys. zł ma postać dyskonta obliczanego przy stopie d równoważnej stopie i = 12,75% w okresie 6 miesięcy. (a) Ile wynosi ta opłata? (b) Ile wyniosłaby ta opłata przy kredycie krótszym o 3 miesiące? [(a) 599,29, (b) 309] Zadanie 18. Pożyczka w kwocie 2700 otrzymana 1 stycznia, oprocentowana stopą roczną 14,4% będzie spłacona 3 ratami na koniec lipca, listopada i grudnia. Każda rata zawiera aktualne odsetki za okres od ostatniej spłaty do chwili płatności oraz jedną trzecią kwoty pożyczki. Wyznaczyć raty przyjmując bankowe zasady obliczania czasu. Zadanie 19. Miesięczna stopa oprocentowania ROR wynosi 3%, Odsetki są kapitalizowane na koniec miesiąca, a w trakcie miesiąca nalicza się odsetki proste. Obliczyć saldo ROR na koniec kwietnia jeżeli: saldo na koniec marca wynosi 300 zł, 4 i 26 kwietnia wpłacono na rachunek po zł, a 12 kwietnia wypłacono z rachunku 900 zł. [1 625,80] Zadanie 20. Kwota 12 tys. zł pożyczona 12 maja będzie zwrócona 23 grudnia tego samego roku wraz z odsetkami prostymi obliczonymi przy rocznej stopie 13%. Ile wyniosą odsetki w każdym wariancie obliczania czasu? Zadanie 21. Oblicz 13% odsetek na koniec roku (czas według zasady bankowej) z konta, na którym miały miejsce następujące operacje (saldo na początek roku 0): Data Wpłata Wypłata 10 stycznia lutego marca czerwca października listopada 2000 [372,99] Zadanie 22. Linia lotnicza planuje zakup nowych samolotów. Zamierza zebrać $ 800 mln za pomocą obligacji. Obligacje mają być 10-cio letnie z kwartalnym kuponem obliczanym według oprocentowania prostego ze stopą kwartalną 2%. Ile odsetek kwartalnie będzie płaciła ta linia lotnicza? Ile odsetek zapłaci za całą pożyczkę?

10 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 10 Weksle Obliczanie oprocentowania od kwoty końcowej kapitału, czyli oprocentowanie antycypatywne ma zastosowanie przede wszystkim do weksli 3. Weksle są narzędziem rozliczeń krótkoterminowych. Zwykle są poręczeniem za kredyt, czyli pełnią funkcję płatniczą (ale wręczenie weksla nie jest zapłatą!). Matematyczne zasady w rachunku weksli są takie jak zasady dyskonta handlowego prostego, a czas nalicza się według reguły bankowej. Na wekslu zostają wpisane tylko: wartość nominalna weksla, tzw. kwota wekslowa, czyli kwota pożyczki, termin wykupu weksla, czyli data, z którą kończy się czas oprocentowania oraz dane odbiorcy i wystawcy weksla oraz podpis wystawcy. Na wekslu nie umieszcza się ani stopy procentowej ani wartości dyskonta ani kwoty, którą wystawca otrzymał za weksel, może także nie być daty wystawienia weksla. Przykład. Zobowiązanie do zapłaty za zakupione towary o wartości 9 210,71 zł ma postać weksla podpisanego dnia 5 marca 2014 roku na sumę zł z terminem wykupu 16 maja Czas oprocentowania wykupu weksla, to liczba dni między datą podpisania, a datą wykupu, w tym przypadku to 72 dni lub 0,2 roku (według reguły bankowej). Roczna stopa dyskontowa d będzie zatem rozwiązaniem równania: P V = F V (1 dn) czyli 9 210,71 = 9 370,00 (1 0,2d), zatem będzie równa 8,5%. Równoważną jej stopę procentową obliczamy ze wzoru r = r = 0, ,085 0,2 = 0,0865. d, czyli 1 dn Zatem stopa dyskontowa 8,5% jest równoważna w okresie 0,2 roku (72 dni) stopie procentowej 8,65%. Zadanie 23. Hipolit Kwas 7 marca 2016 roku wziął pożyczkę w wysokości 9300,00 zł podpisując weksel na kwotę nominalną ,00 zł z datą wykupu 3 lipca (a) Jaka jest stopa dyskontowa tej transakcji? (b)jaka jest stopa procentowa równoważna tej stopie dyskontowej? [(a) 21,36%, (b) 22,97%] Zadanie 24. Jeżeli wystawię weksel na kwotę płatny za pół roku obliczony według rocznej stopy dyskontowej 4,6% i będę obracał otrzymanymi pieniędzmi tak, że nadwyżka nad kapitał początkowy będzie wynosiła 365 zł, to czy wystarczy mi na spłacenie weksla? Jaka będzie różnica? [Nie, zabraknie 3 zł.] Zadanie 25. Podpisuję weksel na kwotę zł płatny za pół roku obliczony według rocznej stopy 3,8%. Za otrzymane pieniądze kupuję złoto, na którym przez pół roku zarabiam 4%. Ile złotych mi zostanie po spłacie weksla? Zadanie 26. Bony skarbowe to inaczej weksle skarbowe. Są to krótkoterminowe papiery wartościowe emitowane przez Skarb Państwa. Sprzedaż odbywa się na podstawie aukcji ofert. Publikowana jest liczba bonów, każdy po i termin wykupu (zwykle 4, 8, 13, 26 lub 52 tygodnie). Zakłada się sprzedaż z dyskontem, a więc chętni składają oferty zakupu z podaniem liczby bonów i ceny jednostkowej bonu. Wygrywa najwyższa cena, większa od ustalonego (ale utajnionego) pułapu. Bank BAB złożył zamówienie na 400 mln zł wartości nominalnej bonów 8 tygodniowych z ceną 9818 zł za 10 tys. zł wartości nominalnej. (a) Jaką stopę dyskontową założył bank BAB składając ofertę? (b) Jaką będzie roczna stopa zysku tego banku jeżeli ich oferta będzie zaakceptowana i nie nastąpi redukcja zakupu? 3 Weksel to dokument, w którym trasnat zobowiązuje się bezwarunkowo, że trasat wypłaci remitentowi sumę wekslową dokładnie określonego dnia i w określonym miejscu. Prawo wekslowe w Polsce jest regulowane ustawą z 1936 roku!

11 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 11 ( [(a) d = P V F V ) = 0,117 czyli 11,7%, (b) ,119 czyli 11,9%] Zadanie 27. Jaką cenę zakupu 26-tygodniowych bonów skarbowych powinien zgłosić bank BAB w ofercie przetargowej, aby osiągnąć rentowność tej inwestycji w skali roku na poziomie przynajmniej 10%?

12 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW Oprocentowanie składane Zasada oprocentowania składanego Odsetki kapitalizuje się na koniec każdego okresu kapitalizacji. Stąd wynika model oprocentowania składanego. W obliczaniu oprocentowania mamy 4 wielkości: P V kapitał początkowy, i stopa procentowa (i od ang. interest; zwykle podawana w procentach i 100% ale wykorzystywana jako ułamek), n liczba okresów kapitalizacji i F V kapitał po n okresach kapitalizacji przy procencie składanym. W tym przypadku n musi być liczba całkowitą dodatnią. Model oprocentowania składanego ma postać: Z tych wzorów można obliczyć wszystkie wielkości: F V = P V (1 + i) n, I = P V ((1 + i) n 1). F V = P V (1 + i), n = ln P V F V n ln(1 + i), P V i = n F V 1 Zadanie 28. Kwotę 8 tys. zdeponowano w banku na 9% rocznie z rocznym okresem kapitalizacji. Jaka jest wartość depozytu po 6 latach, ile odsetek ten kapitał wygenerował? A gdy kwota 20 tys, 8%, 10 lat, a kwota 25 tys., 6,6% 15 lat. Zadanie 29. Po ilu latach oprocentowania przy rocznej stopie 4,5% wartość kapitału 8000 przekroczy 10 tys. zł? [6 lat] Zadanie 30. Jeżeli ma zamienić się w w ciągu 5 lat na jaki procent trzeba ulokować te kwotę zakładając kapitalizację kwartalną? (podać stopę nominalną) Zadanie 31. Jaką kwotę trzeba ulokować w banku na 8% aby za 12 lat mieć ? [79422,75] Przykład. Po jakim czasie kapitał podwaja swoją wartość w oprocentowaniu składanym? Podstawiamy do wzoru 2P V ln P V n = ln(1 + i) = ln 2 ln(1 + i) Na podstawie tego wzoru można ułożyć tabelę zależności czasu podwojenia kapitału od stopy oprocentowania: stopa i liczba lat do podwojenia 70/i stopa i liczba lat do podwojenia 70/i 1 69, 66 70, , 71 1, , 27 7, , 47 1, , 80 3, , 31 1, , 64 2, , 18 0, , 06 1, , 08 0, 78 Reguła 70 W oprocentowaniu składanym ze stopą i kapitał podwaja się po około 70 i latach.

13 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 13 Kapitalizacja W oprocentowaniu składanym wielkość odsetek zależy nie tylko od stopy procentowej ale także od długości okresu kapitalizacji (liczby okresów kapitalizacji w ciągu czasu oprocentowania). Zwykle przyjmuje się liczbę okresów kapitalizacji taką, by rok stanowił całkowitą wielokrotność okresu kapitalizacji (półrocze, kwartał, miesiąc itp.). Jeżeli w roku jest k okresów kapitalizacji (k N) i stopą procentową dla tego okresu kapitalizacji (stopą podokresową) jest i k to stopę procentową proporcjonalną do stopy podokresowej i k nazywamy nominalna stopą procentową. Nominalną stopę procentową dla podokresowej stopy i k obliczamy ze wzoru i nom = k i k. Model oprocentowania składanego dla stopy podokresowej i k w czasie n lat ma postać F V = P V (1 + i k ) m k lub F V = P V ( 1 + i nom k gdzie m k = nk jest liczbą okresów kapitalizacji). Oczywiście stopa nominalna nie jest równoważna stopie podokresowej, to znaczy, że w tym samym czasie stopy te dają różne odsetki (stopa podokresowa daje większe odsetki). Stopę równoważną stopie podokresowej w okresie n nazywamy stopą efektywną. Aby wyrazić stopę efektywną w okresie n lat za pomocą stopy podokresowej trzeba porównać kapitał końcowy po tym okresie obliczony dla stopy podokresowej i dla stopy rocznej. P V (1 + i) n = P V (1 + i k ) nk. Stąd, wykonując dzielenie i pierwiastkowanie otrzymujemy i = (1 + i k ) k 1. (gdzie k jest liczba podokresów w roku). Jak widać stopa efektywna zależy od stopy podokresowej i liczby podokresów w roku, ale nie zależy od długości okresu oprocentowania. Stosunek kapitału po n + 1 latach do kapitału po n latach jest stały ) nk F V n+1 F V n = P V (1 + i k) (n+1)k P V (1 + i k ) nk = (1 + i k ) k = ρ k i jest nazywany rocznym czynnikiem oprocentowującym (ang. future value interest factor FVIF ). Zauważmy, że roczna stopa efektywna to roczny czynnik oprocentowujący pomniejszony o 1: i = ρ k 1 lub inaczej: czynniki oprocentowujące obliczone dla stopy efektywnej (traktowanej jak stopa roczna) i stopy podokresowej mają taką samą wartość: ρ 1 = 1 + i ef = (1 + i k ) k = ρ k. Zadanie 32. Jaką kwotę trzeba ulokować w banku na 8% aby za 12 lat mieć ? A gdyby kapitalizacja była półroczna? ciągła? [79422,75, 78024,29, 76578,58] Zadanie 33. Jak często trzeba kapitalizować odsetki od kapitału aby w ciągu 2 lat przy stopie procentowej 6% wygenerował odsetki co najmniej 1520 zł (podać najdłuższy okres kapitalizacji) [co 2 miesiące - 6 kapitalizacji w roku] Zadanie 34. Jakie będą odsetki z 1 USD ulokowanego na 8 lat z roczną stopą procentową 12% gdy kapitalizacja jest (a) półroczna, (b) kwartalna, (c) dwumiesięczna.

14 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 14 Stopa zmienna w oprocentowaniu składanym Załóżmy, że dla kolejnych lat j = 1, 2,..., n dane są efektywne (albo roczne) stopy procentowe: i (1), i (2),..., i (n). Zatem w roku j-tym roczny czynnik oprocentowujący ma postać (1 + i (j) ), a wartość kapitału w kolejnych latach wynosi F V 1 = P V (1 + i (1) ), F V 2 = P V (1 + i (1) )(1 + i (2) ), F V 3 = P V (1 + i (1) )(1 + i (2) )(1 + i (3) ),... F V n = P V (1 + i (1) )(1 + i (2) )(1 + i (3) )..., (1 + i (n) ). Stąd łatwo wyprowadzić model oprocentowania rocznego przy stopie zmiennej w czasie: n n F V = P V (1 + i (1) )(1 + i (2) )(1 + i (3) )..., (1 + i (n) ) = P V (1 + i (j) ), I = P V (1 + i (j) ) 1 czyli Stopa przeciętna daje takie same odsetki w tym samym czasie, zatem spełnia równość n P V (1 + ī) n = P V (1 + i (j) ) j=1 j=1 n 1 + ī = n (1 + i (j) ) j=1 a więc czynnik oprocentowujący jest średnią geometryczną czynników oprocentowujących w poszczególnych latach, a wzór na stopę przeciętną ma postać: n ī = n (1 + i (j) ) 1. j=1 j=1 Zadanie 35. Czy wartość kapitału 8,5 tys. zł kapitalizowana na koniec każdego roku gdy dzisiejsze oprocentowanie 2,5% będzie rosło w skali 0,25 punktu procentowego rocznie, ale nie więcej niż do 3,5% przekroczy po pięciu latach 10 tys.? [nie, oprocentowanie w kolejnych latach 2,75%, 3%, 3,25%, 3,5%, 3,5% i wartość kapitału 9949,67] Zadanie 36. O ile musi wzrosnąć w trzecim roku oprocentowanie czteroletniej lokaty aby osiągnąć co najmniej 5900 zł jeżeli przez pierwsze dwa lata kapitał 5000 wygenerował 366,48 zł odsetek? [pierwsze dwa lata 3,6%, a więc kolejne dwa lata trzeba 4,9% (co daje 5905,28) czyli wzrost o 1,3 punktu procentowego, albo przez stopę równoważną] Zadanie 37. Bank BAA proponuje lokaty trzyletnie progresywną: w pierwszym roku oprocentowanie 5% i co rok wzrasta o 1 punkt procentowy, i stabilną: stale 6%. Którą wybrać? [stopa równoważna progresywnej: 5,997%, a więc są równoważne - różnica przy kapitale 10 tys. 1 zł i 6 groszy] Zadanie 38. Są trzy banki BAA, BAB, BAC, które przyjmują pieniądze tylko na 1 rok i oferują oprocentowanie, odpowiednio 3,5%, 4%, 3% rocznie. W jakiej kolejności lokować pieniądze w tych bankach by uzyskać jak najwięcej? [nie ma znaczenia - stopa przeciętna zależy od iloczynu czynników oprocentowujących, a mnożenie jest przemienne]

15 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW Kapitalizacja ciągła Łatwo zauważyć, że przy tej samej stopie nominalnej im częściej następuje kapitalizacja tym szybciej rośnie kapitał, czyli kapitał rośnie tym bardziej im krótszy jest czas kapitalizacji. Graniczną wartość otrzymamy gdy maksymalnie skrócimy czas kapitalizacji, czyli gdy k. Wielkość kapitału oczywiście zależy od czynnika oprocentowującego, a więc zbadajmy granicę: ( lim ρ k = lim (1 + i k ) k = lim 1 + i ) k nom = e inom k k k k Mówimy wtedy o ciągłej kapitalizacji odsetek lub o oprocentowaniu ciągłym. Mamy zatem następujący model oprocentowania ciągłego S n = K 0 e icn, I n = K o (e icn 1) gdzie i c jest stopą nominalną oprocentowania ciągłego. Rozważmy teraz równoważność stóp procentowych: rocznej stopy oprocentowania składanego i nominalnej stopy oprocentowania ciągłego. Oczywiście stopa nominalna oprocentowania ciągłego nie jest rozwiązaniem. Skonstruujemy najpierw roczny czynnik oprocentowujący w oprocentowaniu ciągłym, czyli stosunek kapitału po okresie n + 1 do kapitału po okresie n: ρ c = K 0e icn+1 K 0 e icn = eicn e ic e icn = e ic. Z rozważań nad stopą efektywną wynika, że stopa roczna będzie równoważna stopie oprocentowania ciągłego, gdy odpowiednie czynniki oprocentowujące będą równe, czyli ī jest roczną stopą równoważną stopie oprocentowania ciągłego i c gdy 1 + ī = e ic. Zadanie 39. Jakie największe i najmniejsze odsetki wygeneruje kapitał 5000 zł w ciągu 5 lat z roczną stopą procentową wynoszącą 5%? 10% [1420,13 i 1250; 3243,61 i 2500] Zadanie 40. Czy można tak dobrać okres kapitalizacji by kapitał 4500 zł wygenerował w ciągu 3 lat odsetki co najmniej 1250 zł przy rocznej stopie procentowej 8%? Zadanie 41. Na jaki procent (a) miesięczny (b) kwartalny (c) roczny trzeba złożyć lokatę by po roku otrzymać największe możliwe odsetki przy rocznej stopie nominalnej 6%? [(a) ok. 0,5%, (b) ok. 1,51%, (c) ok. 6,18%] Zadanie 42. Jaka jest roczna stopa oprocentowania równoważna nominalnej stopie oprocentowania ciągłego 10%? [10,5% - na 10 tys, 2 ciągu 5 lat różnica tylko ok. 13 zł]] Zadanie 43. Jaką stopę oprocentowania rocznego trzeba zastosować by wygenerować takie same odsetki jak trzyletnia lokata kapitalizowana w sposób ciągły ze stopą nominalną 4,25% rosnącą co rok o 0,25 punktu procentowego? [4,6% - stopa równoważna stopie przeciętnej (czyli średniej arytmetycznej) stóp 4,25%, 4,5%, 4,75%]

16 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW Inflacja Inflacja to wzrost ogólnego poziomu cen mierzony stosunkiem cen towarów i dóbr konsumpcyjnych należących do ustalonego koszyka w danym momencie do cen tych dóbr w okresie bazowym (zwykle w roku poprzednim). Inflacja może mieć skutki złe (spada realna wartość płacy, a więc rosną koszty utrzymania) i dobre (zmniejsza się zadłużenie, a więc rośnie zasobność portfela). Z matematycznego punktu widzenia inflacja jest oprocentowaniem składanym bo nawarstwia się w kolejnych okresach. Ponieważ inflacja zwykle nie jest stała w ciągu roku powinno się w obliczeniach stosować model zmiennej stopy inflacji. Na chwilę, dla uproszczenia załóżmy jednak, że stopa inflacji i inf jest stałą stopą roczną. Podobnie jak w przypadku czynnika oprocentowania wprowadzamy czynnik inflacji, czyli wyrażenie 1 + i inf : stosunek poziomu cen przyszłych do cen wyjściowych. Uwzględnienie inflacji wymaga rozróżnienia kapitału nominalnego (F V ) czyli kapitału wyrażonego w jednostkach pieniężnych zgodnie z obliczeniami oprocentowania oraz realnej wartości kapitału (F V real ) kapitału przeliczonego na aktualną siłę nabywczą. Możemy zatem rozpatrywać stopę nominalną r nom (lub po prostu r) oraz stopę realną r real oprocentowania. Stopy te i stopę inflacji wiąże wzór Fishera 1 + r nom = (1 + r real )(1 + i inf ). Wynika on z prostej obserwacji 4, że wartość realna kapitału po okresie oprocentowania to zdyskontowana (dyskontem realnym ze stopą równą stopie inflacji) wartość nominalna tego kapitału, gdzie modyfikatorem 4 Można także wyprowadzić wzór Fishera z założenia o stabilności gospodarki. Przyjmuje się (w tradycyjnej teorii monetarnej), że w stabilnej gospodarce prawdziwe jest równanie (czasami nazywane równaniem Fishera): M V = P T. W tym równaniu lewa strona opisuje sferę finansową: M ilość pieniądza w gospodarce i V prędkość obiegu pieniądza, a prawa strona opisuje realną gospodarkę: P indeks cen i T wolumen transakcji (określa to poziom aktywności gospodarczej). Przyjmijmy, że na początku roku (dla uproszczenia) obserwujemy wartości M 0, P 0 i T 0 dotyczące roku poprzedniego, które oczywiście spełniają równanie Fishera: M 0 V = P 0 T 0. Można przyjąć, że prędkość obiegu pieniądza jest stała (co wynika z przyzwyczajeń ludzi, bezwładności systemu bankowego i innych podobnych przyczyn). Na koniec roku obserwowane wielkości przyjmują wartości P 1 i T 1. Zmiany zachodzące w gospodarce można opisać za pomocą dwóch wskaźników: stopy wzrostu realnego (przyrostu gospodarczego) i real oraz stopy inflacji i inf : i real = T 1 T 0 T 0, i I = P 1 P 0 P 0. Ilość pieniądza w gospodarce na końcu roku wynika z równania Fishera: M 1 V = P 1 T 1. Ta ilość pieniądza jest równoważna M 0, obliczmy więc stopę aprecjacji kapitału: Z określenia stóp wzrostu realnego i inflacji mamy i = M 1 M 0 M 0. T 1 = T 0 i real + T 0 = T 0 (i real + 1) i P 1 = P 0 i inf + P 0 = P 0 (i inf + 1), a z równania Fishera M 0 = P 0 T 0 i M 1 = P 1 T 1. V V Podstawiając tak wyznaczone wielkości do wzoru na stopę zmiany kapitału otrzymujemy Stąd otrzymujemy wzór Fishera i = P 1 T 1 P 0 T 0 P 0 T 0 = P 0(i inf + 1)T 0 (i real + 1) P 0 T 0 P 0 T 0 = (i inf + 1)(i real + 1) 1.

17 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 17 jest czynnik inflacji: F V real = F V 1 + i inf czyli F V real = P V 1 + r nom 1 + i inf lub P V (1 + r real ) = P V 1 + r nom 1 + i inf. Z tej zależności wynika, że czynnik oprocentowania realnego jest ilorazem czynnika nominlanego i czynnika inflacji: Stąd można wyznaczyć stopę realną: 1 + r real = 1 + r nom 1 + i inf. r real = 1 + r nom 1 + i inf 1 = r nom i inf 1 + i inf. Stąd wynika, że jeżeli inflacja jest dodatnia to stopa realna jest mniejsza niż różnica stopy nominalnej i stopy inflacji (wydaje się paradoksalne). Gdy stopa inflacji nie jest stała to stosuje się takie same wzory i rozważania jak dla stopy oprocentowania składanego. Zatem, jeżeli przez n 1 okresów stopa inflacji była równa i 1, przez n 2 okresów była równa i 2 itd. aż do n p okresów ze stopą inflacji i p gdzie p k=1 n k = n to w ciągu n okresów (zakładamy stopę inflacji zgodną ze stopą oprocentowania r) łączna stopa inflacji wynosi i inf = (1 + i 1 ) n 1 (1 + i 2 ) n 2... (1 + i p ) np 1, a kapitał realny na koniec tego okresu obliczymy ze wzoru F V real = P V (1 + r)n (1 + r) n = P V 1 + i inf (1 + i 1 ) n 1 (1 + i2 ) n 2... (1 + ip ). np W takim przypadku można mówić o przeciętnej stopie inflacji: Waloryzacja i inf śr = n (1 + i 1 ) n 1 (1 + i2 ) n 2... (1 + ip ) np 1. W matematyce finansowej (w obliczeniach) łatwym i eleganckim sposobem uwzględnienia inflacji jest waloryzacja kapitału o czynnik inflacji przed oprocentowaniem. Jest to wykorzystanie wzoru na kapitał realny z uwzględnieniem inflacji: F V real = P V (1 + r), 1 + i inf P V gdzie jest właśnie waloryzacją kapitału. Wtedy nominalna stopa procentowa r oznacza stopę rzeczywistego pomnożenia kapitału (ale kapitał jest mniejszy 1+i inf zwaloryzowany). Przykład. Nakłady na pewne działania z tym roku wzrosły o 10%, a inflacja roczna wynosi 5%. O ile, realnie wzrosły nakłady? Korzystamy ze wzoru na stopę realną i otrzymujemy r real = r nom i inf 1 + i inf = 0,1 0, ,05 0,048 Realne nakłady wzrosły tylko o około 4,8%. Przykład. Uznano, że przy inflacji na poziomie 5% pożyczka zostanie po dwóch latach spłacona kwotą Obliczamy realną roczną stopę oprocentowania tej pożyczki. Dwuletni czynnik nominalny dla

18 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 18 tej pożyczki wynosi ρ 2 nom = = 1,1429 Zatem roczna stopa nominalna spełnia równanie (1 + r nom) 2 = 1,1429 a więc wynosi r nom 0,069 czyli 6,9%. Przy rocznej stopie inflacji 5% stopa realna wynosi czyli około 1,8%. r real = 0,069 0, ,05 0,018 Przykład. Oprocentowanie kwartalnej lokaty bankowej w wysokości zł wynosi 3% (kwartalnie). Jeżeli inflacja jest na poziomie 1,5% kwartalnie, to nominalna kwota lokaty na koniec kwartału wynosi (1 + 0,03) = zł, czyli odsetki wyniosły 300 zł. Realna wartość tej lokaty na koniec kwartału wynosi /(1 + 0,015) = ,78. Realna wartość odsetek jest równa 300/1,015 = 295,57. Zatem na koniec kwartału realny przyrost lokaty to tylko 147,78 zł, choć realna wartość dopisanych odsetek jest większa. Wynika to z tego, że z powodu inflacji stracił wartość także ulokowany kapitał. Zadanie 44. Ceny rosną ze średnią stopą inflacji 3% rocznie, obliczane (i zmieniane) kwartalnie. Jaka będzie cena samochodu Smart Fortwo za dwa lata? Aktualna cena [42357,79] Zadanie 45. (Pieniądze w skarpecie). Inflacja w Polsce za rok 2012 wyniosła 3,7%, a za rok ,9%. Gdyby ktoś 1 stycznia 2012 dostał banknot 100 zł i przechował go w portfelu do 31 grudnia 2013 roku to ile realnie miałby pieniędzy? [96,43 po roku, 95,57 po drugim roku] Zadanie 46. Przed rokiem płaca pewnego robotnika wynosiła 800 zł, a pewnego urzędnika 2500 zł. W ciągu tego roku obaj otrzymali podwyżkę 100 zł. Inflacja roczna utrzymała się na poziomie 5%. O ile realnie wzrosła płaca każdego z tych pracowników? [ ,14; ,19] Zadanie 47. Inflacja kwartalna (rok do roku): kwartał I 1,7% 2,1% II 1,3% 1,5% III 0,5% 0,4% IV 0,4% 1,3%.//// Jaka była roczna inflacja w tych latach? [2012 2,92%, ,56%] Zadanie 48. W ciągu roku stopa inflacji malała z 2,5% w pierwszym kwartale co kwartał o 0,5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną i przeciętną stopę inflacji w tym roku. [roczna: i inf = 7,179%, przeciętna i inf śr = 1,748%] Zadanie 49. Płaca pracownika w I kwartale wynosiła 1400 zł. miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0,8 stopy inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach stopa inflacji była równa odpowiednio 4%, 3%, 1% i 3%. Wyznaczyć: (a) płacę pracownika w I kwartale następnego roku i (b) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku. [(a) (1444,80, 1479,48, 1491,31) 1527,10, wzrost nominalny r = 1527, = 0,0908 = 9,08%, wzrost realny r real = 0,0908 0, ,1144 = 0,0212 = 2,12% (i inf śr = 11,44%)]

19 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 19 Zadanie 50. Lokata: 13% w skali roku, kapitalizacja kwartalna, składana z dołu. Inflacja w kolejnych kwartałach: 5%, 3%, 2% i 4%. Jaka jest realna stopa procentowa tej lokaty? [r efektywna = (1 + 0,13 4 )4 1 = 13,65% i inf = 14,73%, r real efektywna = 0,94%] Zadanie 51. inwestujemy 5000 zł chcąc uzyskać stopę realną równą r real = 10%. Spłata ma nastąpić za dwa lata, a inflację przewidujemy na poziomie 2% rocznie. (a) Jaką kwotę powinniśmy otrzymać? (b) Jeżeli otrzymamy umówiona kwotę, a inflacja w pierwszym roku utrzyma się na poziomie 1,0%, a w drugim wzrośnie do 2,5% to jaka będzie nasza stopa realna? [(a) nominaly czynnik oprocentowania 1 + r = (1 + r real )(1 + i inf ) = 1,122 i wtedy F V = 6 294,42, (b) przeciętny czynnik inflacji 1 + i inf śr = 1,175 i stopa realna r real = r i inf śr 1+i inf śr = 8,9%]

20 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW Wartość kapitału w czasie Przykład. 1 stycznia 2015 roku kapitał ma wartość K = 1000 zł. Przy oprocentowaniu prostym ze stopą roczną i = 25% 1 stycznia 2016 roku kapitał ten będzie miał wartość K 1 = K(1+0,25) = ,25 = 1250 zł. 1 stycznia 2014 roku miał wartość K 0 = K/(1 + 0,25) = 1000/1,25 = 800 zł. Gdyby 1 stycznia 2013 roku ten kapitał został wpłacony na 2 letnią lokatę oprocentowaną według modelu prostego to 1 stycznia 2016 wart byłby 800(1 + 0,25 2) = 1200 zł. Natomiast gdyby kapitał 1250 zł zdyskontować ze stopą procentową r = 25% przez dwa lata według modelu prostego to otrzymalibyśmy kapitał początkowy 1250/(1 + 0,25 2) = 1250/1,5 = 833,33. Czyli zł 1000 zł 1250 zł 800 zł 1200 zł 833,33 zł 1250 zł Powodem tych różnic jest składanie operacji oprocentowania w pierwszym wierszu (odsetki procentują). Aktualizacja wartości kapitału to obliczenie wartości kapitału, znanego w danym momencie, w dowolnym innym momencie. Jeżeli obliczamy wartość kapitału w przyszłości to mówimy o Future Value i oznaczamy F V. Wartość obecną nazywamypresent Value i oznaczamy P V. Obliczenie F V przy danej P V to oprocentowanie, a obliczenie P V gdy dana jest F V to dyskontowanie rzeczywiste. (nie mylić z dyskontowaniem handlowym). Przykład. Mam teraz w banku 500 zł na lokacie rocznej oprocentowanej 10%, za rok dostanę 550 zł. Jaki kapitał mam teraz? Ile będę miał za rok? Za rok będę miał 500 zł lokaty plus 10% czyli 550 zł oraz 550 nowej wpłaty, czyli razem 1100 zł. Teraz mam 500 zł lokaty i 550 zdyskontowane na dziś, czyli 550/(1 + 0,1) = 500. Razem dziś mam 1000 zł. Trzeba zwrócić uwagę, że ani dziś ani za rok nie będę miał 1050 zł co wynika z prostego dodania kwot nominalnych. Wartość kapitału w czasie wyrażamy jako funkcję K(t) gdzie t R jest czasem wyrażonym w latach. Przyjmujemy, że K(t 0 ) > 0 to znana wartość kapitału w czasie t 0. Będziemy rozważać oprocentowanie składane (dlaczego wyjaśnienie później) z roczną stopą procentową r > 0 oraz rocznym okresem kapitalizacji. Korzystamy zatem z modelu: F V = P V (1 + r) n, P V = F V (1 + r) n = F V (1 + r) n. Jeżeli t > t 0 to K(t) jest wartością przyszłą (F V ) kapitału aktualnego K(t 0 ) (czyli K(t 0 ) to P V ), a czas oprocentowania wynosi t t 0 i wtedy K(t) = K(t 0 )(1 + r) t t 0. Jeżeli natomiast t < t 0 to K(t) jest wartością aktualną dla wartości przyszłej K(t 0 ) z czasem oprocentowania t 0 t, zatem K(t) = K(t 0 )(1 + r) (t 0 t) = K(t 0 )(1 + r) t t 0. Zatem wartość kapitału K(t 0 ) zaktualizowana na dowolny moment t, wcześniejszy, późniejszy lub nawet równy t 0, jest równa K(t) = K(t 0 )(1 + r) t t 0 gdzie t R. Jest to model wartości kapitału w czasie przy stopie oprocentowania rocznego r. Ten model ma trzy własności. (a) Model nie zmienia się, jeżeli wartość początkową kapitału K(t 0 ) zamienimy na wartość tego kapitału zaktualizowaną na dowolny moment t 1. Dla kapitału początkowego K(t 1 ) w momencie t 1 model ma postać K(t) = K(t 1 )(1 + r) t t 1, a ponieważ wiemy, że K(t 1 ) = K(t 0 )(1 + r) t 1 t 0 to K(t) = K(t 1 )(1 + r) t t 1 = K(t 0 )(1 + r) t 1 t 0 (1 + r) t t 1 = K(t 0 )(1 + r) t t 0.

21 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 21 (b) Aktualizacja kapitału z t 0 na moment t 2 jest złożeniem aktualizacji z t 0 na t 1 i z momentu t 1 na moment t 2 : K(t 2 ) = K(t 0 )(1 + r) t 1 t 0 (1 + r) t 2 t 1. (c) Model jest addytywny ze względu na kapitał, czyli jeżeli m K(t 0 ) = K j (t 0 ) i K j (t) = K j (t 0 )(1 + r) t t 0 j=1 dla j = 1, 2,..., m to m K(t) = K j (t 0 )(1 + r) t t 0 = K(t 0 )(1 + r) t t 0. j=1 Ten model jest tylko modelem formalnym dla t / Z bo zakładamy kapitalizację roczną. Aby mieć dokładny opis wartości kapitału w dowolnej chwili musimy posłużyć się kapitalizacją ciągłą, a więc stworzyć podobny model dla kapitalizacji ciągłej. Przyjmijmy zatem, że dana jest stopa nominalna oprocentowania rocznego z kapitalizacją ciągła i c > 0 oraz kapitał na chwilę t 0 : K(t 0 ). Podobnie jak dla kapitalizacji rocznej gdy t > t 0 F V obliczamy jako oprocentowanie P V, a gdy t < t 0 P V obliczmy dyskontując K(t 0 ) traktowane jako F V : { K(t0 )e K(t) = ic(t t 0) dla t > t 0 K(t 0 )e ic(t 0 t) dla t < t 0 Stąd model dla kapitalizacji ciągłej K(t) = K(t 0 )e ic(t t 0) dla t R. Jest to model wartości kapitału w czasie przy stałej stopie oprocentowania ciągłego i c 5. Jeżeli przyjmiemy stopy równoważne oprocentowania rocznego r oraz oprocentowania ciągłego i c, czyli takie, że 1 + r = e ic to otrzymamy identyczne modele, z tym, że model oprocentowania ciągłego lepiej odpowiada logice kapitalizacji w dowolnym momencie. Praktycznie modele najczęściej są wykorzystywane gdy przyjmuje się t 0 = 0, wtedy K(t) = K(0)(1 + r) t lub K(t) = K(0)e ict przy założeniu, że stopy r i i c są równoważne. Model wartości kapitału w czasie jest wykorzystywany do wyceny rent, modelowania spłaty długów i analizy inwestycji finansowych. Ma także zastosowania bezpośrednie. Przykład. Koszty produkcji pewnych towarów modeluje funkcja ϕ(t), gdzie t to czas w latach (przyjmijmy, że funkcja kosztów jest ciągła), czyli ϕ(t) określa koszt poniesiony dokładnie w chwili t. Łączne koszty poniesione w pewnym okresie: [0, T ] to oczywiście suma kosztów ponoszonych w każdej chwili tego okresu, czyli całka: T ϕ(t) dt. 0 Tak byłoby w istocie gdyby kapitał nie zmieniał się w czasie. Jednak tak nie jest, a więc gdy okres jest długi to trzeba uwzględnić zmiany kapitału, a więc koszty uaktualnić na ten sam moment T, czyli 5 Ten model wynika z rozważań o uniwersalnym modelu zmiany wartości kapitału w czasie. Przyjmując jako podstawowy postulat zasadę spójności: jeżeli kapitał K 0 w chwili t 0 jest równoważny kapitałowi K 1 w chwili t 1, a ten z kolei jest równoważny kapitałowi K 2 w chwili t 2 to kapitał K 0 jest także równoważny kapitałowi K 2. Z tej zasady i założenia, że funkcja zmiany kapitału w czasie jest ciągła wynika model K(t) = K 0 e ic(t t0) (gdy stopa procentowa i c jest stała) jako rozwiązanie odpowiedniego równania różniczkowego.

22 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 22 funkcję kosztu zastąpić funkcją ϕ(t)(1+r) T t (koszty z każdej chwili aktualizujemy na moment T koniec okresu). Zatem łączny koszt na moment T jest równy Φ(T ) = T 0 ϕ(t)(1 + i) T t dt. Ten sam koszt zaktualizowany na moment 0 wyraża się wzorem T Φ(0) = Φ(T )(1 + i) 0 T = (1 + i) T ϕ(t)(1 + i) T t dt = Korzystając z modelu oprocentowania ciągłego możemy zamienić podane całki na Φ(T ) = T 0 0 ϕ(t)e ic(t t) dt i Φ(0) = T 0 T 0 ϕ(t)e ict dt. ϕ(t)(1 + i) t dt. Zasada równoważności kapitałów Kapitały K 1 i K 2 są równoważne w chwili t jeżeli ich wartości zaktualizowane na moment t są równe. Niech kapitały K 1 i K 2 będą równoważne w chwili t. Wtedy, ponieważ K 1 (t) = K(t 1 )(1 + r) t t 1 K 2 (t) = K(t 2 )(1 + r) t t 2 to ich równoważność prowadzi do równania i a stąd otrzymujemy K(t 1 )(1 + r) t t 1 = K(t 2 )(1 + r) t t 2 K(t 1 )(1 + r) t 1 = K(t 2 )(1 + r) t 2 (po podzieleniu obu stron przez (1 + r) t ). Analogicznie dla oprocentowania ciągłego, dla kapitałów równoważnych w chwili t mamy K(t 1 )e ict 1 = K(t 2 )e ict 2. W obu przypadkach warunek równoważności nie zawiera t, a więc można mówić po prostu o kapitałach równoważnych. Uwaga: kapitały równoważne przy danej stopie procentowej nie są równoważne przy innej stopie procentowej. Przykład. W chwili 0 dany jest kapitał 600 jednostek pieniężnych. Przyjmujemy stopę procentową 10% i oprocentowanie proste. Wtedy kapitał początkowy zaktualizowany na chwilę 2 ma wartość K(1) = K(0)(1 + 2i) = 720, a w chwili 2 wartość K( 2) = K(0)/(1 + 2i) = 500. Jednak kapitał K( 2) zaktualizowany na chwilę 2, ma wartość K(2) = K( 2)(1 + 4r) = 500( ,1) = = K(2). Zatem w tym modelu nie można mówić o jednolitej wartości kapitału w czasie, ani o równoważności kapitałów - dlatego model oprocentowania prostego nie nadaje się do budowy ogólnego, uniwersalnego modelu zmiany kapitału w czasie. Zadanie 52. (a) Jaką wartość po 8 latach będzie miał kapitał oprocentowany stopą roczną 8%, który dwa lata temu miał wartość 2000? [2000(1 + 0, 08) 8 ( 2) 4317, 85]

23 DSFRiU matematyka finansowa, do użytku wewnętrznego Wydział Zarządzania UW 23 (b) Jaką wartość przed czterema laty miał kapitał, który za 10 lat będzie wart 17206,40 przy oprocentowaniu 12% rocznie? [17206, 4(1 + 0, 12) , 77] Zadanie 53. (a) Czy kapitał K 1 taki, że K 1 ( 1) = 9000 jest równoważny kapitałowi K 2 takiemu, że K 2 (6) = 12664, przy stopie procentowej 5%? Czy jest im równoważny kapitał K 3 taki, że K 3 (4, 5) = 11770, 19? [tak, tak] (b) Czy kapitały K 1 i K 2 są równoważne przy stopie procentowej oprocentowania ciągłego 4,5% jeżeli K 1 ( 2) = 3052, 53 i K 2 (3, 5) = 3909, 74, a kapitały K 1 i K 3 gdy K 3 (1) = 3561, 85 [tak, nie] Zadanie 54. (a) Przy jakiej stopie procentowej rocznej kapitały K 1 i K 2 są równoważne jeżeli K 1 (1) = i K 2 (5) = 14904? [4%] (b) Przy jakiej stopie procentowej ciągłej kapitały K 1 i K 2 są równoważne jeżeli K 1 (0,5) = 90 i K 2 (4) = 100? [ln K1 K 2 /(0,5 4) 3%] Zadanie 55. Kredyt 3400 wzięty przed 2 laty będzie spłacony w dwóch ratach: 2100 dziś i reszta za dwa lata. Jaka będzie druga rata gdy oprocentowanie roczne wynosi 9%? A gdyby to było oprocentowanie ciągłe (z taką samą stopą nominalną jak podana stopa roczna)? [3400(1 + 0, 09) (1 + 0, 09) , 37; 3400e 0, e 0, , 16] Zadanie 56. Nowy samochód (VW Polo najtańszy ale z pakietem klimatyzacja+system audio) kosztuje zł. Sprzedawca oferuje możliwość zapłaty w ratach 4 25%, czyli co pół roku jedną czwartą ceny (pierwsza wpłata za pół roku i potem regularnie co pół roku), albo, w przypadku zapłaty gotówką, rabat na ubezpieczenie AC (2% ceny samochodu). Zakładając, że mogę zapłacić całą kwotę już dziś, który wariant mam wybrać? (pieniądze mogę ulokować w PKO na lokacie oprocentowanej stopą roczną nominalną 1,7% z kapitalizacją miesięczną). [kwota na dziś: cała spłata odliczając rabat: ,00, zaktualizowana na dziś suma wpłat: ,91] Zadanie 57. Czy kredyt spłacany w trzech rocznych ratach: zł przez pierwsze dwa lata i zł w trzecim roku jest równoważny kredytowi spłacanemu w czterech malejących rocznych ratach, z których pierwsza jest równa 2 500, a każda następna jest mniejsza od poprzedniej o 500 zł? Przyjmujemy oprocentowanie roczne takie jak Mini Ratka, czyli 7,77%. [tak oba zaktualizowane na początek mają wartość 6495,31 zł.] Zadanie 58. Niech kapitały K 1 i K 2 będą równoważne.