Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice

Transkrypt

1 Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1

2 Přetvárná práce vnějších sil (1) F a b w w(b) Přetvárná práce v. s.: F df F dle Le d L e = F (w) d w, (1) L e = w 0 F (w) d w. (2) w dw w(b) 2

3 Přetvárná práce vnějších sil (2) Lineárně pružná odezva konstrukce: F F df dle Le w Clapeyronova věta: L e = 1 F w. (3) 2 dw w(b) 3

4 Přetvárná práce vnějších sil (3) Lagrangeova věta: Z (2) plyne: F = F (w) = d L e d w (4) a pro případ obecného počtu sil: F i = L e u i, (5) 4

5 Přetvárná práce vnějších sil (4) a F w Le * F b w(b) Doplňková (komplementární) přetvárná práce v. s.: d L e = w(f ) d F, (6) L e = F 0 w(f ) d F. (7) F df dle * Pro lineárně pružnou odezvu konstrukce: dw w(b) w L e = L e = 1 F w. (8) 2 5

6 Přetvárná práce vnějších sil (5) Přetvárná práce vnějších sil L e : práce vnějších sil vykonaná v průběhu zatěžování. Komplementární přetvárná práce vnějších sil L e : práce nutná k tomu, aby působení síly F na dráze w mělo statický charakter (možno představit jako práci brzdící síly působící proti F na dráze w); práce nutná k navrácení konstrukce do nedeformované polohy. L e + L e = F w. (9) 6

7 Přetvárná práce vnějších sil (6) Castiglianova věta: Z (7) plyne: w = w(f ) = d L e d F (10) a pro případ obecného počtu sil: w i = L e F i, (11) 7

8 Castiglianova metoda určování deformací Ze znalosti Castiglianovy věty w = d L e d F a znalosti Π i = L e lze psát: w i = Π i F i. (12) Dosazením za Π i a úpravou lze získat vztah pro výpočet deformace nosníku pod silou (bez vlivu práce posouvajících sil): w i = L 0 N E A N F i dx + L 0 M E I M F i dx (13) 8

9 Potenciální energie vnitřních sil Dokonale pružné těleso plně akumuluje energii odpovídající vykonané přetvárné práci: Π i = L e (14) 9

10 Přetvárná práce vnitřních sil Vnitřní síly brání deformaci, proto: L i = L e (15) a L i 0 (16) tedy: Π i = L i. (17) 10

11 Deformační energie (1) Příspěvek normálových napětí: σ dσ σ W* * dw dw W ε W σ = Wσ = ε 0 σ 0 σ(ε) d ε, (18) ε(σ) d σ. (19) Příspěvek smykových napětí: dε W ε = Wε = γ 0 τ 0 τ(γ) d γ, (20) γ(τ) d τ. (21) 11

12 Deformační energie (2) Lineárně pružná odezva materiálu: σ W* Příspěvek normálových napětí: σ dσ dw* dw W ε W σ = W σ = 1 2 σ ε. (22) Příspěvek smykových napětí: dε W ε = W ε = 1 2 τ γ. (23) 12

13 Deformační energie (3) Tedy potenciální energie vnitřních sil (pro lin. pružnou odezvu materiálu): Π i = = 1 2 (24) V (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ) d V. V maticovém zápisu: Π i = Π i = 1 2 V σt ε d V. (25) 13

14 Přímý prut (bez vlivu smyku) Normálové síly (σ = N A ): Π i,n = 1 2 V 1 E σ2 x dv = = 1 2 l N 2 E A d x (26) Momenty (σ = M y I ): Π i,m = 1 2 V 1 E σ2 x dv = = 1 2 l M 2 y E I d x (27) Tedy: Π i = 1 2 l N 2 E A d x l M 2 y E I d x (28) 14

15 Potenciální energie vnějších sil Potenciální energie vnějších sil (Π e ): a b F Π e = F w, (29) a pro obecné zatížení: F b w(b) Π e = n i=1 F i u i n i=1 d M j ϕ j c (30) q(x) w(x) d x. Obecný stav napjatosti tělesa: Π e = V XT u d V s pt u d S. (31) 15

16 Potenciální energie systému (1) Potenciální energie vnějších sil (Π e ): Π e = (L e + L e). (32) Při lineárně pružné odezvě materiálu: Π e = 2 L e. (33) tedy Π e 0. (34) 16

17 Potenciální energie systému (2) Π = Π e + Π i. (35) Dosazením za Π e a Π i : tedy Π = Π e + Π i = (L e + L e) + L e = L e, (36) Π 0. (37) 17

18 Potenciální energie systému (3) (Lagrangeův) princip minima celkové potenciální energie: Π = Π e + Π i = min. (38) Ze všech možných deformačních stavů tělesa (které neporušují jeho spojitost a respektují okrajové podmínky) nastane právě ten, při kterém je potenciální energie systému minimální. 18

19 Variační úloha hledáme neznámou funkci (nikoli jen hodnotu), funkce musí splňovat určité okrajové nebo počáteční podmínky, hledaná funkce musí splňovat podmínku extrému nějaké veličiny. 19

20 Variační úlohy v teorii pružnosti Protože platí (38): Π = Π i + Π e = min, (39) tedy hodnota potenciální energie je extrémní (minimální). Z matematiky: pro extrém veličiny Π platí: Π = 0, (40) čehož využívají variační metody (např Ritzova metoda). 20

21 Ritzova metoda (1) 1. Aproximace řešení volíme ve tvaru: w n (x) = n i=1 a i ψ i, (41) kde a i... neznámé konstanty, ψ i... aproximační funkce. 2. Vyjádříme Π pomocí w n (x). 3. Sestavení a vyřešení n rovnic: Π a i = 0. (42) 4. Dosazení vypočtených a i do (47). 21

22 Rizova metoda (2) bázové funkce Bázové (aproximační) funkce ψ musí vyhovovat okrajovým podmínkám úlohy. y Např. při výpočtu průhybu musí platit: x ψ(a) = 0 (protože w(a)=0), a w(x) ψ(x) b ψ(b) = 0 (protože w(b)=0). 22

23 Shrnutí: Protože platí: N M = (E A) du dx, (43) = (E I y ) d2 w dx 2, (44) tedy potenciální energie vnitřních sil (bez vlivu smyku): Π i = 1 2 L 0 E Au 2 dx L 0 E I w 2 dx. (45) 23

24 Příklad 1 (1) Stanovte funkci osové deformace zadaného nosníku (viz schéma). Předpokládejte, že součin E A je po celé délce nosníku konstantní. F L Volba aproximace: u(x) = a 1 ψ 1 = a 1 x, tj. ψ 1 = x. 24

25 Příklad 1 (2) Okrajové podmínky: u(a) = w(x = 0) = 0... ψ 1 (a) = x = 0 u(b) = w(x = L) 0... ψ 1 (b) = x = L L 0 ψ( x) L x 25

26 Příklad 1 (3) Vyjádření Π e : Π e = F u L 0 q u(x)dx. Přitom F působí v bodě x = L: Π e = F u = F a 1 ψ 1 = F a 1 x = F L a 1. 26

27 Příklad 1 (4) Derivace funkce u = a 1 ψ 1 : u = [a 1 x] = a 1. Vyjádření Π i : Π i = 1 2 L 0 E A(u ) 2 dx = 1 2 L 0 E Aa2 E A a12 1dx = 2 L 0 dx Π i = E A a2 1 2 [x] L 0 = E A L 2 a

28 Příklad 1 (4) Vyjádření Π: Π = Π e + Π i = F L a 1 + E A L 2 a 2 1. Sestavení rovnic(e) Π a i = 0 : F L + E A L a 1 = 0 Výpočet a 1 : a 1 = F E A 28

29 Příklad 1 (5) Výsledek (dosazením a i do u(x)): u(x) = a 1 ψ 1 = F E A x. Protažení v x = L: u(l) = F L E A. Výpočet vnitřních sil (normálová síla): N(x) = E A u = E A [ F ] E A x = F 29

30 Příklad 2 (1) Stanovte funkci průhybu prostého nosníku (viz schéma). y Výsledek: a q w(x) L b x q w(x) = 24 E I x(l3 2 L x 2 + x 3 ) w max = 5 q l 4 384E I Volba aproximace (jen 1. člen řady): w(x) = a 1 ψ 1 = a 1 sin( π x L ), tj. ψ 1 = sin( π x L ). 30

31 Příklad 2 (2) Okrajové podmínky: w(a) = w(x = 0) = 0... ψ 1 (a) = sin( π 0 L ) = 0 w(b) = w(x = L) = 0... ψ 1 (b) = sin( π L L ) = 0 Vyjádření Π e : Π e = L 0 q w(x)dx = L 0 q a 1 sin( π x L )dx Π e = q a 1 [ L π cos(π x L ) ]L 0 = 2 q L π a 1 31

32 Příklad 2 (3) Vyjádření Π i : w = w = a 1 π 2 [ a 1 sin( π x L ) ] = a1 π L cos(π x L ) L 2 sin(π x L ) Π i = 1 2 L 0 E Iw 2 dx = 1 2 L 0 a 1 π 2 L 2 sin(π x L ) 2 dx =... = π4 4 E I L 3 a2 1 32

33 Příklad 2 (4) Vyjádření Π: Π = Π e + Π i = 2 q L π a 1 + π4 4 E I L 3 a2 1 Sestavení rovnic(e) Π a i = 0 : Π a 1 = 2 π q L + π4 4 E I L 3 2 a 1 = 0 Výpočet a 1 : a 1 = 4 q L4 π 5 E I 33

34 Příklad 2 (5) Výsledek (dosazením a i do w(x)): w(x) = a 1 ψ 1 = 4 q L4 π 5 E I sin(π x L ) Výpočet vnitřních sil (moment): M(x) = E I w = E I π a 2 x 1 L 2sin(π L ) = 4 q L2 π 3 sin( π x L ) 34

35 Doplnění: doplňková potenciální energie Castiglianův princip minima doplňkové potenciální energie: Π = Π i = min. (46) Je analogický Lagrangeovu principu, avšak je definován pro doplňkovou potenciální energie (systém ji nabývá z doplňkové práce sil). 35

36 Ritzova metoda pro tenké desky Potenciální energie vnitřních sil: Π i = 1 2 b a d c 2 w x w y 2 2 dxdy Potenciální energie vnějších sil: Π e = b a d c p(x, y) w(x, z)dxdy 36

37 Aplikace Ritzovy metody na desce 1. Aproximace řešení volíme ve tvaru: w n (x, y) = n i=1 m j=1 a i,j ψ i,j (x, z) (47) kde a i,j... neznámé konstanty, ψ i... aproximační funkce. 2. Vyjádříme Π pomocí w n (x, z). 3. Sestavení a vyřešení n rovnic: Π a i = 0. (48) 4. Dosazení vypočtených a i do (47). 37

38 Ritzova metoda příklad 3 (1) Stanovte rovnici průhybové plochy desky po obvodě prostě podepřené a rozměrech a b a tloušt ce t. Deska je zatížena zatížením popsaným funkcí p(x, y) = p. y, j b a x, i 38

39 Ritzova metoda příklad 3 (2) Volba w n (x, y): w n (x, y) = n i=1 m j=1 a 1,1 sin i π x a sin j π y, b Derivace: w x = a π 1,1 a 2 w x 2 2 w y 2 cos πx a sin πy b = a 1,1 ( π a )2 sin πx a = a 1,1 ( π b )2 sin πx a πy sin b πy sin b 39

40 Ritzova metoda příklad 3 (3) Potenciální energie vnitřních a vnějších sil: Π i = 1 2 D a2 1,1 = 1 8 D a2 1,1 π2 π2 a 2 + π2 b 2 a b 0 a 2 + π2 b 2 a b 0 sin2 πx a sin2 πy b dxdy Π e a b = 0 0 p(x, y)w n(x, y)dxdy (49) a b πx πy = a 1,1 p sin sin 0 0 a b dxdy 4 a b = p a 1,1 π 2 40

41 Ritzova metoda příklad 3 (3) Celková potenciální energie: Π = 1 8 D a2 1,1 π2 a 2 + π2 4 a b b 2 a b p a 1,1 π 2 Soustava rovnic Π a 1,1 = 0: 1 4 a 1,1 π2 a 2 + π2 b 2 a b p 4 a b π 2 = 0 Hodnota neznámé konstanty a 1,1 : a 1,1 = 16p π 2 D 1 1 a b 2 41

42 Ritzova metoda příklad 3 (4) Výsledná aproximace průhybu: w n (x, y) = 10 p π 6 D ( 1 a 2+ 1 ) sin πx b 2 a sin πy b Dále je možné stanovit momenty, posouvající síly,... 42

43 Ritzova metoda pro stěny (1) Řešení využívající Airyho funkci F silová varianta. Protože platí: Π = min. (50) variujeme kde volíme: Π (F a ) a i = 0, (51) F a = a i ψ i (52) 43

44 Ritzova metoda pro stěny (2) Poznámka: uvedené řešení platí pro obě varianty rovinného problému: roviná napjatost ( stěny ) i rovinná deformace. 44

45 Ritzova metoda příklad 4 (1) Stanovte rozložení napětí uvnitř stěny na obrázku. y σ x x σ x b b l l σ x = p(1 y2 b 2), p [ MN m 2 ] 45

46 Ritzova metoda příklad 4 (2) Volba aproximace Airyho funkce: F = F o + F 1 Tzv. primární stav (σ x ve všech příčných řezech je rovno napětím v koncových řezech a σ y = τ xy = 0): F o = p 2 y2 (1 y2 6b 2) F o splňuje okrajové podmínky, protože: σ x,o = 2 F o y 2 = p(1 y2 b 2), σ y,o = 2 F o x 2 = 0, τ xy,o = 2 F o x y = 0 46

47 Ritzova metoda příklad 4 (3) Zvolíme: F 1 = a 1 ψ(x, y) = a 1 (l 2 x 2 ) 2 (b 2 y 2 ) 2 F 1 neovlivňuje okrajové podmínky: F 1 (x = 0) = 0 F 1 (x = l) = 0 47

48 Ritzova metoda příklad 4 (4) Napětí: σ x σ y τ xy = 2 F o y 2 = 4 a 1l 2 b 4 (1 x2 l 2 )2 ( y2 b 2) = 2 F o x 2 = 4 a 1b 2 l 4 ( x2 y2 )(1 l2 = 2 F o x y = 16 a 1l 3 b 3x l l 2 )2 x2 y2 (1 )(1 l2 l 2 ) 48

49 Ritzova metoda příklad 4 (5) Doplňková potenciání energie: Π = Π i = h 2E l l b b (σ2 x + 2τ 2 xy + σ 2 y)dydx Dosadíme napětí σ x, σ y, τ xy a výsledek variujeme podle a 1 : Π a 1 = 0 49

50 Ritzova metoda příklad 4 (6) Po úpravě rovnice Π a 1 = 0: a b 2 49 l b2 l 2 = p l 4 b 2 a 1 = p l 4 b 2 ( b2 l b2 l 2 ) F = F o +F 1 p 2 y2 (1 y2 6b 2)+ p l 4 b 2 ( b2 l b2 l 2 ) (l 2 x 2 ) 2 (b 2 y 2 ) 2 50

51 Ritzova metoda příklad 4 (7) Průběh napětí v x = 0 pro poměr l b = 1, 0: l l x y b l/b = 1,0 0.83p 0,34p σx b 51