Spacery losowe i sieci elektryczne

Transkrypt

1 Uiwersytet Wrocªawsi Wydziaª Matematyi i Iformatyi Istytut Matematyczy specjalo± : zastosowaia rachuu prawdopodobie«stwa i statystyi Oliwier Bieraci Spacery losowe i sieci eletrycze Praca licecjaca apisaa pod ieruiem prof. dr hab. Dariusza Buraczewsiego Wrocªaw, Ro 08

2 Spis tre±ci Wst p 3 Wprowadzeie do sieci eletryczych 4. Sieci eletrycze Zwi zi pomi dzy sieciami eletryczymi, a ªa«cuchami Marowa Fucje harmoicze Prawdopodobie«stwo ucieczi i opór efetywy Reducja sieci eletryczych Czasy uderzeia i porycia Aaliza czasów porycia 8. Prosty spacer po Z Graf peªy rozmiaru Z ze ±rodiem wymiarowa osta Krata rozmiaru Bibliograa 7

3 Wst p Maj c day ªa«cuch Marowa, chcemy poza odpowiedzi a pytaia: jaie jest prawdopodobie«- stwo,»e spacer startuj cy z wierzchoªa x tra w wierzchoªe y, zaim dotrze do wierzchoªa z? Ile czasu potrzebujemy,»eby tra w wierzchoªe y? Ile czasu potrzeba, aby odwiedzi przyajmiej raz a»dy z wierzchoªów? Odpowiedzi a te pytaia mo»emy zale¹, szuaj c aalogii pomi dzy ªa«cuchami Marowa, a sieciami eletryczymi. Chcemy zdeiowa sie eletrycz, a ast pie zale¹ probabilistycze iterpretacje odpowiedich wielo±ci i zwi zi pomi dzy imi. W pierwszym rozdziale zdeiujemy sie eletrycz, przytaczaj c odpowiedie deicje i twierdzeia, zaczerpi te z literatury. W rozdziale drugim dooam samodzielej aalizy czasów porycia dla ilu szczególych przypadów grafów, bazuj c a teorii przedstawioej we wcze±iejszym rozdziale. 3

4 Wprowadzeie do sieci eletryczych. Sieci eletrycze Rozwa»my graf G = (V, E), wraz z ore±lo a im sieci eletrycz : Dla a»dej raw dzi e E daa jest jej przepustowo± (odutacja) C(e). Odwroto± przepustowo±ci azywamy oporem (rezystacj ) raw dzi R(e). Zaªadamy,»e C(e) [0, ]. Dla a»dego wierzchoªa x V day jest jego potecjaª v(x). Ró»ic potecjaªów mi dzy dwoma wierzchoªami x, y V azywamy api ciem U(x, y) = v(x) v(y). Je»eli e jest raw dzi wychodz c z wierzchoªa x sierowa do wierzchoªa y, mo»emy zapisa U(e) = U(x, y). Przez a»d raw d¹ e E pªyie pr d o at»eiu i(e). Je»eli e jest raw dzi ª cz c wierzchoªi x i y, to mo»emy zapisa i(e) = i(x, y). Powy»sze wielo±ci powi zae s ze sob ast puj cymi prawami: Prawo Ohma - dla a»dej raw dzi e E mamy R(e) = U(e) i(e) I Prawo Kirchhoa - dla a»dego wierzchoªa x V zachodzi i(x, y) = 0, y x gdzie y x ozacza sumowaie po tych wierzchoªach, tóre s poª czoe raw dzi z wierzchoªiem x.. Zwi zi pomi dzy sieciami eletryczymi, a ªa«cuchami Marowa Maj c da sie eletrycz mo»emy zdeiowa a iej spacer losowy w ast puj cy sposób. Niech x V. Wówczas dla y x ore±lamy: P (x, y) = C(x, y) C(x, y) := C(x, z) C(x) z x Dla daego ªa«cucha Marowa ie zawsze jeda jest mo»liwe ore±leie rówowa»ej sieci eletryczej. Jest to mo»liwe tylo w przypadu odwracalych spacerów losowych, tz. taich,»e dla dowolych x, y V speªioe jest π(x)p (x, y) = π(y)p (y, x) Wówczas mo»emy ore±li przepustowo±ci raw dzi: C(x, y) = π(x)p (x, y) Oczywi±cie mo»emy przemo»y przez staª wszystie przepustowo±ci w grae bez zmiay zachowaia ªa«cucha. Zauwa»my,»e warue odwracalo±ci gwaratuje,»e deicja przepustowo±ci ie zale»y od wyboru wierzchoªa, tz. C(x, y) = C(y, x). Warue odwracalo±ci jest speªioy przez a»dy prosty spacer losowy, tz. tai w tórym w a»dej chwili wychodzimy z daego wierzchoªa jed z raw dzi i wybór a»dej jest jedaowo prawdopodoby, czyli wszystie raw dzie maj jedaowe przepustowo±ci (i taie wªa±ie b dziemy rozwa»a w rozdziale ). 4

5 .3 Fucje harmoicze Rozwa»amy graf spójy G = (V, E) z prawdopodobie«stwami przej± P (x, y). Zbiór wierzchoªów V dzielimy a dwa rozª cze zbiory: w trze (D) oraz brzeg (B), w tai sposób, aby a»dy wierzchoªe z brzegu byª poª czoy raw dzi z co ajmiej jedym wierzchoªiem z w trza grafu. Deicja Fucja f jest harmoicza a D, je»eli dla a»dego x D f(x) = y x P (x, y)f(y). Fat Dla fucji f 0 : B R istieje jej jedozacze rozszerzeie do fucji f : V R harmoiczej a D. Przedstawmy B jao sum rozª czych zbiorów A i Z: B = A Z. Rozwa»my fucj ρ : V R, ta»e dla a»dego x V, ρ(x) ozacza prawdopodobie«stwo,»e spacer losowy startuj cy z x tra w A zaim tra w Z. Zaªadamy,»e ρ A oraz ρ Z 0. Oczywi±cie fucja ρ jest harmoicza a D. Šatwo poaza,»e fucja potecjaªu v zdeiowaa a brzegu B, jest harmoicza a D. Niech v A oraz v Z 0. Z jedozaczo±ci rozszerzeia wyia,»e v ρ. Co za tym idzie, potecjaª daego wierzchoªa ozacza prawdopodobie«stwo,»e startuj cy z iego spacer losowy uderzy w A, zaim uderzy w Z..4 Prawdopodobie«stwo ucieczi i opór efetywy Zaªó»my,»e A = {a} oraz Z = {z} i poªó»my api cie v(a) =, v(z) = 0. Rozwa»my pr d i wpªywaj cy do uªadu w pucie a. Wówczas: i = i(a, x) = v(a) v(x) = ( v(x))c(a, x) = C(a) R(a, x) x a x a x a( ) v(x)p (a, x) x a Poiewa» v(x) ozacza prawdopodobie«stwo powrotu do a zaim dotrzemy do z to i C(a) ozacza prawdopodobie«stwo,»e po wyj±ciu z a tramy w z przed powrotem do a. Nazwiemy t warto± prawdopodobie«stwem ucieczi i ozaczymy p esc. Zdeiujmy teraz opór efetywy i efetyw przepustowo± jao R e = = C e i Ituicyjie mo»emy my±le o uªadzie ja o du»ym oporiu. Opór efetywy zostaª zdeioway w tai sposób, aby byªo speªioe prawo Ohma: v(a) v(z) = = i R e Zwró my uwag,»e opór efetywy deiujemy dla uªadu, gdzie api cie pomi dzy putami a i z wyosi. Zaªó»my teraz,»e do api cie podª czoo w tai sposób,»e przez uªad pªyie pr d jedostowy, tz. v(z) = 0, a v(a) jest odpowiedio dobra warto±ci. Poowie speªioe jest prawo Ohma, zatem soro v(z) = 0, a i =, to v(a) = v(a) v(z) = ir e = R e. Zauwa»my,»e poiewa» C(a) jest staª, to opór efetywy jest odwrotie proporcjoaly do prawdopodobie«stwa ucieczi. Zastaówmy si teraz, co staie si w przypadu, gdy zwi szymy opór pewej raw dzi. Ituicyjie mo»e si wydawa,»e p esc powio zmale. Odpowied¹ przyosi ast puj ce twierdzeie: Twierdzeie(Prawo mootoiczo±ci Rayleigha) Je»eli zwi szymy rezystacje poszczególych oporiów w uªadzie, to efetywy opór tego uªadu mo»e jedyie wzros. Je»eli opory malej - rezystacja efetywa mo»e tylo male. 5

6 .5 Reducja sieci eletryczych Sompliowae uªady oporiów mo»emy reduowa do prostszych, orzystaj c z prostych fatów. Š czeie szeregowe- uªad oporiów o oporach R,..., R poª czoych szeregowo mo»emy zast pi jedym o oporze R = R R Š czeie rówolegªe- uªad oporiów o oporach R,..., R poª czoych rówolegle mo»emy zast pi jedym o oporze R speªiaj cym R = R R Lub zapisuj c w j zyu odutacji: C = C C. Trasformacja gwiazda-trój t - przedstawioe a rysuu uªady raw dzi mo»a rówowa»ie zamieia, przy czym warto±ci ich oporów obliczamy a podstawie poi»szych wzorów (podaych dla R oraz R a, ale aalogiczych dla pozostaªych warto±ci). R a = R R 3 R + R + R 3 R = R ar b + R b R c + R c R a R a Rysue : Trój t i gwiazda.6 Czasy uderzeia i porycia Deicja Niech G = (V, E), oraz a, z V. Niech X t b dzie spacerem losowym po V, startuj cym w a oraz τ z = mi{t : X t = z}. czasem uderzeia w z spaceru startuj cego z a azywamy warto± E a τ z czasem porycia grafu G azywamy warto± Eσ, gdzie σ = max x V τ x ; warto± t ozaczamy E[Cov] Do obliczaia czasów uderzeia, oraz szacowaia czasów porycia pomoce s ast puj ce twierdzeia. Twierdzeie Day jest ªa«cuch Marowa z przestrzei staów V oraz miar stacjoar π(x). Do wierzchoªów a, z V podª czoo api cie w tai sposób,»e v(z) = 0, a v(a) dobrao ta, aby przez uªad pªy ª pr d o at»eiu. Wówczas E a τ z = x V π(x)v(x) Twierdzeie (Góre ograiczeie a czas porycia) Dla so«czoego, iereduowalego ªa«cucha Marowa z -elemetow przestrzei staów V zachodzi ( ) ( E[Cov] max E aτ b + a,b V ) 6

7 Twierdzeie 3 (Dole ograiczeie a czas porycia) Dla so«czoego, iereduowalego ªa«cucha Marowa z przestrzei staów V zachodzi ( ) ( E[Cov] max A V ta mi + ) , A gdzie t A mi = mi a,b A,a b E a τ b 7

8 Aaliza czasów porycia. Prosty spacer po Z Chcemy zale¹ czas porycia Z dla prostego spaceru losowego. Rozwa»amy zbiór wierzchoªów V = {0,,..., } oraz spacer X, tai»e X 0 = 0 oraz P[X + = X + ] = P[X + = X ] = dla dowolego, gdzie + oraz s dziaªaiami odpowiedio dodawaia i odejmowaia modulo. Rysue : Z dla = 6 Sorzystamy ajpierw z oszacowa«przytoczoych w poprzedim rozdziale, a ast pie porówamy je z rzeczywistym czasem porycia obliczoym elemetarymi metodami. Sorzystamy z fatu,»e dla prostego spaceru losowego X t po Z startuj cego z zera oraz τ = mi{t : X t = a X t = b} dla a, b > 0 mamy Eτ = ab. Aby zale¹ góre ograiczeie musimy obliczy max a,b V E a τ b. Oczywi±cie warto± E a τ b jest tym wi sza, im bardziej odlegªe od siebie s puty a i b. Dla parzystych ajbardziej odlegªe s puty 0 i, wówczas aby obliczy max a,b V E a τ b mo-»emy zauwa»y,»e spacer po Z startuj cy z zera zatrzymyway w momecie uderzeia w jest aalogiczy do spaceru po Z, startuj cego z zera i zatrzymywaego w momecie uderzeia w lub w. Zatem max a,b V E a τ b = 4 Dla ieparzystych ajbardziej odlegªe s puty 0 i, wówczas max a,b V E a τ b = ( )(+) 4. Wówczas (zaªadaj c a momet dla uproszczeia,»e ) otrzymujemy: E[Cov] 4 = log Aby zale¹ dole ograiczeie rozwa»amy warto±ci t A mi dla A V. Poiewa» istota problemu stwarza oieczo± rozwa»eia wszystich mo»liwych zbiorów A i zalezieie optymalego ie jest ªatwe, ograiczymy si do ituicyjych spostrze»e«, tóre pozwol wybra rozs dy zbiór A, daj cy pewe oszacowaie z doªu. Poiewa» t A mi jest fucj wyª czie ajmiejszej odlegªo±ci pomi dzy putami w A, to bardziej optymale s zbiory, gdzie wierzchoªi s od siebie rówo odlegªe. Po drugie, poiewa» wraz ze wzrostem liczby wierzchoªów w A ograiczeie ro±ie jedyie logarytmiczie, to wydaje si by rozs diejszym wybieraie zbioru A, tóry ma maªo wierzchoªów, ale o du»ych odlegªo±ciach mi dzy imi. Sprawd¹my zatem ograiczeie dla A - zbioru dwóch ajbardziej oddaloych wierzchoªów (zaªadamy dla uproszczeia,»e ). Mamy wtedy E[Cov] 4 Dla porówaia obliczymy E[Cov] elemetarymi metodami. Zaczyamy spacer z zera i ore±lamy czas zatrzymaia τ - chwila w tórej po raz pierwszy odwiedzili±my a»dy wierzchoªe co ajmiej raz (tz. E[Cov] = Eτ). Niech X t startuje z zera, tz. X 0 = 0. Je»eli ozaczymy przez τ czas potrzeby do odwiedzeia owego wierzchoªa to oczywi±cie τ =, wi c Eτ =. Zaªó»my bez straty ogólo±ci»e drugim odwiedzoym przez as wierzchoªiem jest i ozaczmy przez τ 3 czas potrzeby do odwiedzeia olejego owego wierzchoªa. Musi im by albo, albo, a czas potrzeby a dotarcie do 8

9 iego to (z fatu) Eτ 3 =, gdy» jest to sytuacja aalogicza do prostego spaceru po Z startuj cego z 0 i zatrzymywaego w lub. Aalogiczie, zaªó»my,»e odwiedzili±my ju» ró»ych wierzchoªów i przez τ ozaczmy czas potrzeby do odwiedzeia olejego. Oczywi±cie ju» odwiedzoe przez as wierzchoªi zajduj si obo siebie (tz. je»eli dwa wierzchoªi x, y zostaªy przez as odwiedzoe, to zostaªy rówie» odwiedzoe wszystie wierzchoªi a jedym z ªuów pomi dzy x i y). Bez straty ogólo±ci mo»emy zaªo»y»e odwiedzili±my wierzchoªi od 0 do i zajdujemy si w. Przeprowadzaj c aalogicze rozumowaie ja wcze±iej wiosujemy,»e czas potrzeby do odwiedzeia lub wyosi Eτ =. Nietrudo spostrzec,»e: E[Cov] = Eτ = τ = = ( ) = = ( ).. Graf peªy rozmiaru Rozwa»amy prosty spacer losowy po grae peªym z wierzchoªami. Ka»de dwa wierzchoªi poª czoe s ze sob raw dzi. Rysue 3: Graf peªy rozmiaru 6 Zauwa»my,»e warto± E a τ b dla ró»ych a, b ie zale»y od wyboru putów. Zmiea τ b ma rozªad geometryczy z parametrem, zatem E aτ b =. Góre ograiczeie a czas porycia ma zatem posta E[Cov] ( ) log W przypadu dolego ograiczeia, iezale»ie od wyboru zbioru A mamy t A mi = = mi E aτ b = mi =, a,b A,a b a,b A,a b zatem wybieramy zbiór z ajwi sz liczba elemetów (czyli A = V ). Wówczas: E[Cov] ( ) = log. Poiewa» dole i góre ograiczeia porywaj si, to wiosujemy,»e jest to doªady czas porycia. Obliczmy dla porówaia doªad warto± E[Cov] elemetarymi metodami. Zaªó»my,»e startujemy z dowolego wierzchoªa i ozaczmy przez τ czas potrzeby a odwiedzeie olejego. Oczywi±cie τ =. Maj c odwiedzoe ró»e wierzchoªi, ozaczmy przez τ 3 czas potrzeby a odwiedzeie trzeciego. W a»dej chwili prawdopodobie«stwo traeia w owy wierzchoªe jest taie samo i wyosi, zatem zmiea τ 3 ma rozªad geometryczy z taim wªa±ie parametrem. Zatem Eτ 3 =. Aalogiczie, gdy odwiedzili±my ju» ró»ych wierzchoªów i przez τ ozaczymy czas potrzeby do odwiedzeia olejego, to τ ma rozªad geometryczy z parametrem +, zatem Eτ = +. Nietrudo spostrzec,»e: E[Cov] = τ = = = + = ( ). Oczywi±cie wyi porywa si z wcze±iejszymi szacowaiami. 9 =

10 .3 Z ze ±rodiem Rozwa»amy prosty spacer losowy po grae ja a rysuu poi»ej. Aby wyzaczy góre oszacowaie a czas porycia, ale»y zale¹ E a τ b dla a, b - przeciwlegªych wierzchoªów a wielo cie. Rysue 4: Z 6 ze ±rodiem Zaªó»my dla uproszczeia,»e rozwa»amy tylo parzyste warto±ci. Poiewa» rozwa»amy prosty spacer losowy, to wszystie raw dzie maj jedaow przepustowo± (w dalszych rozwa»aiach wyzaczymy jej doªad warto± ). Sorzystamy z twierdzeia. Podª czamy api cie do putów a i b, ta»e v(b) = 0, a v(a) jest dobrae ta, aby przez uªad pªy ª pr d jedostowy, tz. v(a) = R e. Zauwa»my,»e warto±ci v(x) zmieiaj si liiowo wraz ze zmia v(a) (co wyia z wªaso±ci fucji harmoiczych), zatem mo»emy przyj v(a) = i orzystaj c z twierdzeia powiedzie,»e: E a τ b = R e π(x)v(x) x V Ozaczmy put ±rodowy jao s. Zauwa»my,»e π przyjmuje tylo dwie warto±ci (wyia to z symetrii) - ozaczmy je jao π s dla putu ±rodowego oraz π b dla a»dego z putów brzegowych. Speªiaj oe uªad rówa«: { πs = π b 3 π s + π b = Rówaia wyiaj bezpo±redio z wªaso±ci miary stacjoarej. Rozwi zaiem uªadu jest: { πs = 4 π b = 3 4 Z symetrii wyia poadto,»e v(s) =, zatem: E a τ b = R e x V,x s v(x) Aby wyzaczy t sum, ozaczmy warto±ci ja a rysuu i zauwa»my,»e poiewa» v(x) jest harmoicza, to otrzymujemy uªad rówa«: v 0 = v = ( 3 v0 + v + ) v = ( 3 v + v 3 + )... v = ( 3 v + v + ) v = 0 Ozaczmy v = v v. Wówczas poprzez zsumowaie wszystich rówa«stroami, dodaie i odj cie poszczególych sªadiów otrzymujemy: v = ( 3 + v v v + v v 0 v + ) 3 0

11 Poiewa» v 0 =, v = 0, a v + v = co wyia z symetrii, to: Poiewa» x V,x s v(x) = v v 0 v to: v = + x V,x s v(x) = Podstawiaj c otrzymay wyi do wcze±iejszego wyra»eia otrzymujemy: E a τ b = 7 8 R e W celu wyzaczeia oporu efetywego musimy zale¹ doªad warto± przepustowo±ci raw dzi. Zgodie z deicj z rozdziaªu. ore±lamy dla raw dzi ª cz cych ±rode s z zew trzymi wierzchoªami b (a za razem dla wszystich iych) przepustowo± C = π s P (s, b) = 4 = 4 Poiewa» obliczeie doªadej warto±ci oporu efetywego jest trude dla du»ych, oszacujemy go reurecyjie. Zaªó»my dla uproszczeia,»e rozwa»amy tylo parzyste warto±ci. Dla uªatwieia zapisu zaªó»my,»e przepustowo±ci s jedostowe. Ozaczmy efetywy opór grafu rozmiaru jao R (to zaczy grafu posiadaj cego w sumie + wierzchoªów). Chcemy wyzaczy warto± R +. Zauwa»- my po pierwsze,»e przy rozwa»aiu R mo»emy uto»sami wierzchoªi le» ce po przeciwych stroach pioowej osi, aby otrzyma prostszy graf, co przedstawia rysue. Poiewa» otrzymali±my poª czeia rówolegªe pomi dzy putami, to drogi pomi dzy poszczególymi putami maj przepustowo±ci rówe sumie wcze±iejszych. Na a»dym z rysuów ozaczoo przy raw dziach ich przepustowo±ci. Rozwa»my teraz podobie zreduoway graf rozmiaru +. Poprzez rozdzieleie jedej raw dzi a dwie poª czoe rówolegle, a ast pie zastosowaie trasformacji gwiazda-trój t, otrzymujemy ast puj cy uªad: Z prawa mootoiczo±ci Rayleigha wyia,»e usui cie dowolej raw dzi powoduje wzrost oporu efetywego. Usu«my wi c "przeszadzaj c w obliczeiach" raw d¹, a pozostaªe dwie poª czoe szeregowo - zreduujmy.

12 Zauwa»my teraz,»e wew trz otrzymaego uªadu mo»emy dostrzec graf rozmiaru, tóry zgodie z zaªo»eiem ma opór efetywy R. Mo»emy zatem zast pi go jed raw dzi o przepustowo±ci R, co po zastosowaiu olejej reducji prowadzi as do rezultatu: R + R + 5 Poiewa» jeda zaªo»yli±my jedostowe przepustowo±ci, a aprawd raw dzie maj przepustowo±ci 4(+), to: 8( + ) R + R + 5 Rozwa»my teraz ci g ore±loy reurecyjie: Q 4 = R 4 oraz Q + = Q dla 4. Dla a»dego zachodzi wtedy Q R. Mo»emy wyzaczy bezpo±redio wzór a Q : Q = R =4, ( + ) = R ( + ) = R ( ) Pozostaje am wyzaczy R 4. Rozwa»my Z 4 ze ±rodiem i zaªó»my,»e raw dzie maj jedostowe przepustowo±ci. Z symetrii wyia,»e trzy puty maj potecjaª, wi c mo»emy usu raw dzie mi dzy imi, poiewa» ie popªyie przez ie pr d. Nast pie zauwa»amy olejo szeregowe i rówolegªe poª czeia raw dzi: = Zatem opór tego uªadu wyosi 3. Poiewa» aprawd raw dzie maj przepustowo±ci 6 (co wyia z wcze±iejszych oblicze«), to wszystie opory maj 0-rotie wi sze warto±ci, tz. R 4 = Ostateczie otrzymujemy oszacowaie z góry a czas porycia grafu: E[Cov] 7 8 ( ( )) log =

13 .4 -wymiarowa osta Rozwa»amy prosty spacer po -wymiarowej ostce, tz. {0, }. Dowoly put mo»emy uto»sami z -elemetowym ci giem zerojedyowym, a w a»dym rou z jedostajym prawdopodobie«stwem losujemy jed ze wspóªrz dych i zamieiamy 0 a lub a 0. Rysue 5: Trójwymiarowa osta Aby wyzaczy dole ograiczeie a czas porycia musimy wyzaczy max a,b V E a τ b. W tym przypadu masimum jest realizowae dla a =< 0,..., 0 > oraz b =<,..., >. Sorzystamy z twierdzeia. Do putów a i b podª czamy api cie, ta aby v(b) = 0, a przez uªad pªy ª pr d jedostowy. Musimy w tym celu obliczy opór efetywy uªadu. Poiewa» mamy do czyieia z prostym spacerem losowym, to a»da raw d¹ ma jedaow przepustowo± : C(x, y) = π(x)p (x, y). Miara stacjoara a {0, } jest jedostaja, wi c π(x) =. Poadto z a»dego putu wychodzi raw dzi, zatem P (x, y) =. St d C(x, y) =. Rozwa»my a {0, } orm x = dla x =< x,..., x >. Z symetrii wyia,»e je»eli x = y, to v(x) = v(y), poiewa» puty te maj ta sam liczb jedye a wspóªrz dych, a co za tym idzie prawdopodobie«stwo uderzeia w a przed uderzeiem w b jest dla tych putów taie samo. Mo»emy zatem uto»sami wierzchoªi o rówych ormach, reduuj c problem do spaceru po zbiorze {0,,..., }. Otrzymujemy uªad, w tórym mamy + putów z wieloma raw dziami ª cz cymi oleje poziomy. Poiewa» s to poª czeia rówolegªe mo»emy zast pi raw dzie mi dzy poziomami i jed raw dzi o przepustowo±ci b d cej sum tamtych. Na poziomie uto»samiamy ze sob ( ) wierzchoªów (jest ich tyle gdy» a tyle sposobów mo»emy rozmie±ci jedye a miejscach) i z a»dego z ich mo»emy a poziom przej± raw dziami (gdy» przej±cie a i»szy poziom ast puje po zamiaie jedyi a zero, a w a»dym pucie jest jedye). Zatem przepustowo± mi dzy poziomami i wyosi ( ). Otrzymujemy uªad poª czoy szeregowo, zatem opór efetywy uªadu wyosi: R e = = = x i ( ) Je»eli poªo»ymy v(a) = R e to przez uªad popªyie pr d o at»eiu, wi c mo»emy sorzysta z twierdzeia. W dalszym tou rozumowaia ie uto»samiamy ju» wierzchoªów o taiej samej ormie. Poiewa» miara stacjoara a {0, } jest jedostaja, to: E a τ b = x V π(x)v(x) = Zauwa»my teraz,»e z symetrii wyia,»e dla x, y {0, }, taich»e dla a»dego i zachodzi x i +y i =, mamy v(x) = v(a) v(y), czyli v(x) + v(y) = v(a). Poiewa» dla a»dego x istieje doªadie jede tai y, to wierzchoªi mo»emy dobra parami, ta aby ich potecjaªy sumowaªy si do v(a). Poiewa» wszystich wierzchoªów jest, to: E a τ b = x V x V v(x) v(x) = v(a) = R e = 3 ( ) =

14 Zatem góre ograiczeie a czas porycia ma posta : E[Cov] ( ) W sumie = ( ) pierwszy i ostati sªadi wyosz zawsze, atomiast pozostaªe sªadii s rz du lub i»szego, wi c asymptotyczie suma ta zachowuje si ja. Ostatia suma zachowuje si ja log, czyli log. Asymptotyczie zatem: E[Cov] = = ( ) = =. log Bior c A jao zbiór dwóch ajbardziej odlegªych wierzchoªów otrzymujemy te» pewe ograiczeie z doªu: E[Cov] ( ) = Jest oo jeda oczywiste, jao»e graf ma wierzchoªów..5 Krata rozmiaru Rozwa»amy prosty spacer losowy po racie ja a rysuu poi»ej. Aby zale¹ oszacowaie z góry a czas porycia, ale»y wyzaczy E a τ b, gdzie a i b s przeciwlegªymi aro»iami wadratu. Rysue 6: Krata rozmiaru 5 Poiewa» jest to prosty spacer losowy, to wszystie raw dzie maj jedaow przepustowo± - ozaczmy j przez C. Z iterpretacji probabilistyczej wyia,»e potecjaªy putów, tóre le» a jedej prostej (ja a rysuu poi»ej) s taie same, zatem mo»emy uto»sami te wierzchoªi i azwa je olejymi poziomami 0,,...,, wg rysuu. Reduujemy spacer do spaceru po zbiorze {0,..., }. Gdy zajdujemy si w daej chwili a poziomie, to w olejym rou zajdziemy si a poziomie lub + (poza przypadami brzegowymi). Aby obliczy przepustowo±ci pomi dzy olejymi poziomami, ale»y zauwa»y,»e uto»samieie 4

15 wierzchoªów powoduje»e raw dzie mi dzy poziomami tworz poª czeie rówolegªe, wi c mo»emy zsumowa ich przepustowo±ci, tz. zast pi je jed raw dzi o przepustowo±ci b d cej sum tamtych. Przepustowo± mi dzy poziomem, a wyosi dla oraz symetryczie w przypadu. Warto±ci (uormowae, tz. ie uwzgl diaj ce warto±ci C) przedstawia rysue poi»ej: Aby obliczy E a τ b, sorzystamy z twierdzeia. Musimy wyzaczy miar stacjoar oraz potecjaªy poszczególych putów gdy przez uªad pªyie pr d jedostowy. Ozaczmy miar stacjoar a poziomie przez π. Zauwa»my,»e z symetrii wyia,»e π = π. Oczywi±cie jej warto±ci speªiaj ast puj cy uªad rówa«: π 0 = +4 π π = π π π = 4 +4 π π 3... π = π π +... π = π + π + = π π π = π π + π = Z pierwszego rówaia wyia,»e π = 3π 0, ast pie z drugiego - π = 5π 0, z trzeciego - π 3 = 7π 0 itd. Wysuwamy hipotez π = ( + )π 0 dla. Sprawdzamy, czy speªioa jest rówo± : π = π π + = ( )π ( + 3)π 0 = ( + )π 0 Zatem π = (+)π 0 dla. Natomiast π = π 0. Pozostaje wyliczy warto± π 0 z ostatiego rówaia: = [π ] π = [( + )π 0 ] π 0 S d: π 0 = ( =0 ( [ + ] ) = + =0 Mo»emy teraz wyzaczy warto± C: =0 ) = =0 C = π 0 P (0, ) = π 0 = ( + 4 ( + + ) ) ( ) = ( + + ) W celu wyzaczeia oporu efetywego zauwa»my,»e raw dzie tworz uªad szeregowy. Wtedy: R e = = C = C = log Aby wyzaczy E a τ b podª czamy api cie do putów a i b, ta»e v(b) = 0, a v(a) = R e - wtedy przez uªad pªyie pr d jedostowy i mo»emy sorzysta z twierdzeia. Zauwa»my ajpierw,»e z symetrii wyia,»e v() = oraz»e dla mamy v() = v(a) v( ), zatem: E a τ z = =0 π()v() = π()v() + π()v() + 5 =0 =+ π()v() =

16 = π()v()+ =0 π()v() + =0 =0 π( )v( ) = π()v() + =0 =0 π()v() + =0 π()[v(a) v()] = = π()v() + π()v(a) = π 0 + v(a)π 0 [ + ] = π 0 + v(a)π 0 = + R e ( + + ) Ostateczie ograiczeie z góry a czas porycia grafu ma posta : E[Cov] + R e ( + + ) + log ( log ( log ) + + ) = Z drugiej stroy atomiast, poiewa» graf ma wierzchoªów, to:. E[Cov] 6

17 Bibliograa. R. Lyos, Y. Peres, Probability o trees ad etwors, wyd. z 7 lipca 00r.. P. Doyle, J. Sell, Radom wals ad electric etwors, wyd. z 5 lipca 006r. 3. D. Buraczewsi, P.Dyszewsi Spacery losowe, D. Levi, Y. Peres, E. Wilmer, Marov Chais ad Mixig Times, 009 7