p q, czyli p2 = 2q 2 gdzie p, q s wzgl dnie pierwsze. Mamy w takiej sytuacji trzy mo»liwo±ci: 2 = i) obie liczby p, q s nieparzyste;

Transkrypt

1 Liczby rzeczywiste. Dlaczego nie wystarczaj liczby wymierne Analiza zajmuje si problemami, w których pojawia si przej±cie graniczne. Przykªadami takich problemów w matematyce b d¹ zyce mog by :. Poj cie pr dko±ci chwilowej w mechanice. Je»eli mamy do czynienia z ruchem jednostajnym, to okre±lenie pr dko±ci nie sprawia kªopotu: Pr dko± jest to iloraz przebytej drogi i czasu: v = s t Je±li jednak w przeci gu czasu t pr dko± si zmienia, to powy»sza denicja daje pr dko± ±redni na odcinku czasu t. Dopóki mamy do czynienia ze sko«czonymi odcinkami czasu t, dopóty u»ywaj c powy»szej denicji mo»emy mówi jedynie o pr dko±ciach ±rednich. Z drugiej strony, intuicyjnie czujemy,»e istnieje co± takiego jak pr dko± chwilowa pr dko± w danej konkretnej chwili czasu np. gdy jad c samochodem rzucamy okiem na pr dko±ciomierz), a nie jedynie pr dko± ±rednia na jakim± odcinku czasu. Pojawia si wi c potrzeba nale»ytej denicji pr dko±ci chwilowej.. Dªugo± krzywej. Nie nastr cza problemów zmierzenie dªugo±ci odcinka linii prostej. Ale jak zmierzy dªugo± krzywej, nie b d cej prost? Recept na rozwi zanie przybli»one jest zast pienie krzywej przez ªaman zªo»on z odcinków i zsumowanie ich dªugo±ci. Post puj c w ten sposób, mierzymy dªugo± krzywej z pewnym bª dem, który mo»na uczyni dowolnie maªym, ale który jest sko«czony, je±li dªugo±ci odcinków ªamanej s niezerowe. Znów czujemy,»e takie poj cie, jak dªugo± krzywej, jest dobrze okre±lone np. dªugo± w»a ogrodowego albo nitki ma okre±lon warto± ). Chcieliby±my nada dokªadniejsze znaczenie powiedzeniu: "d»ymy z dªugo±ci odcinka ªamanej do zera, a jednocze±nie z ilo±ci tych odcinków do niesko«czonos i, i to co otrzymamy W GRANICY, to dªugo± krzywej." Ale jak to porz dnie zdeniowa? Zanim zaczniemy powy»sze problemy analizowa, zastanówmy si, jakich liczb b dziemy u»ywa. Liczby: naturalne N i caªkowite Z s w oczywisty sposób zbyt ubogie, aby przy ich u»yciu analizowa poj cie granicy np. nie jest w wielu przypadkach wykonalne dzielenie). Nast pnym nasuwaj cym

2 si kandydatem s liczby wymierne Q. Takie wielko±ci, jak dªugo±, poªo»enie itd. mo»na z dowoln dokªadno±ci okre±li u»ywaj c liczb wymiernych. Okazuje si jednak»e,»e w zbiorze liczb wymiernych s luki. Pozostaj c przy mierzeniu odlegªo±ci: istniej dobrze okre±lone obiekty, np. dªugo± przek tnej kwadratu o boku, które nie s liczbami wymiernymi. Powoduje to,»e granica ci gu liczb wymiernych mo»e nie by liczb wymiern i do uprawiania analizy trzeba mie wi kszy zbiór liczbowy zbiór liczb rzeczywistych R. Zacznijmy od pokazania,»e dªugo± przek tnej kwadratu o boku dªugo±ci, tzn., nie jest liczb wymiern. Przyjmijmy,»e jest przeciwnie; wtedy mo»emy zapisa j w postaci uªamka nieskracalnego: = p q, czyli p = q gdzie p, q s wzgl dnie pierwsze. Mamy w takiej sytuacji trzy mo»liwo±ci: i) obie liczby p, q s nieparzyste; ii) p jest parzysta, q jest nieparzysta; iii) p jest nieparzysta, q jest parzysta. Patrz c na sytuacj i) mamy: p = q, czyli p jest parzysta, a wi c p te» jest parzysta wbrew zaªo»eniu. W sytuacji ii): Skoro p jest parzysta, to zapiszmy: p = p i równo± p = q jest równowa»na 4p = q, czyli p = q, co znaczy,»e q jest parzysta wbrew zaªo»eniu. Wreszcie w iii) mamy: p = q znaczy,»e p jest parzysta znów w sprzeczno±ci z zaªo»eniem. Stwierdzili±my wi c,»e nie istnieje uªamek p p q taki,»e q =, co znaczy,»e nie jest liczb wymiern tzn. jest liczb niewymiern. Uzupeªniaj c liczby wymierne o liczby niewymierne, otrzymamy zbiór liczb rzeczywistych R. Dziaªania na nich s takie same, jak na liczbach wymiernych, a ró»nica pomi dzy zbiorami Q a R le»y w tym,»e dla R speªniona jest zasada ci gªo±ci Dedekinda.. Zasada ci gªo±ci Dedekinda) Zasada ci gªo±ci zbioru R zasada Dedekinda) mówi,»e: Mo»na j uwa»a za jeden z aksjomatów liczb rzeczywistych. Wszystkie aksjomaty razem s dla podsumowania zebrane w Subsec..5

3 Je±li podzielimy R na dwa podzbiory A oraz B: A B = R w taki sposób,»e a A b B : a < b, ) st d od razu wynika,»e A B = ), to albo w zbiorze A istnieje najwi ksza liczba, albo w zbiorze B istnieje najmniejsza liczba. Zakªadamy tu,»e»aden ze zbiorów A, B nie jest pusty. Ka»dy taki sposób podziaªu R na dwa podzbiory nazywamy przekrojem Dedekinda. Wªasno± ci gªo±ci mówi,»e nie mo»e wyst pi "luka" w "przekroju", który wªa±nie zdeniowali±my. Na tym polega ró»nica mi dzy zbiorami Q a R: w zbiorze R nie mog istnie luki, a w Q mog. Przykªad takiej luki: Podzielmy zbiór Q na dwie cz ±ci A i B: Do A zaliczymy liczby mniejsze od, a do B liczby wi ksze od. Speªniony jest tu warunek ), ale w cz ±ci A nie istnieje liczba najwi ksza, a w cz ±ci B nie istnieje liczba najmniejsza. Wynika to z mo»- liwo±ci przybli»ania z góry i z doªu z dowoln dokªadno±ci przez liczby wymierne; przykªad ci gu takich przybli»e«z góry i z doªu: l n rozwini cie dziesi tne do ntego miejsca; u n = l n + 0 n..3 Warto± bezwzgl dna Przypomnimy tu wªasno±ci warto±ci bezwzgl dnej liczby rzeczywistej a R, które b d wykorzystywane w ró»nych miejscach. Def. Warto±ci bezwzgl dn moduª) liczby a R nazywamy liczb nieujemn a R {0} okre±lan przez warunki: Je±li a 0, to a = a; Je±li a < 0, to a = a. Od razu z denicji wynika,»e Maj miejsce nast puj ce wzory: a R : a 0, oraz a = a. ). Dla dowolnej liczby a R zachodzi a = a ; 3) Dow. Dla a 0 mamy a = a) = a = a. Dla a < 0 mamy: a = a, a = a. 3

4 . Dla dowolnej liczby a R zachodzi nierówno± a a a ; 4) Dow. Dla a 0: Po lewej stronie pierwszej nierówno±ci mamy liczb 0, po prawej za± liczb 0. W drugiej nierównos i mamy równo±. Dla a < 0: Zgodnie z denicj warto±ci bezwzgl dnej zachodzi a = a, wi c w pierwszej nierówno±ci mamy równo±. W drugiej nierówno±ci: Po lewej stronie mamy liczb mniejsz od zera, po prawej liczb wi ksz od zera. 3. Dla dowolnych liczb a, b R zachodzi nierówno± a + b a + b ; 5) Dow. Je±li która± z liczb a, b jest równa zeru, to mamy równo±. Je±li obie liczby s wi ksze od zera, to mamy równo±. Je±li obie liczby s mniejsze od zera, to mamy równo±. Je±li a > 0, b < 0 i a + b > 0, to a + b = a + b < a < a + b = a + b. Je±li a > 0, b < 0 i a + b < 0, to a + b = a b < b = b < a + b. 4. Dla dowolnych liczb a, b R zachodz nierówno±ci a b a b a + b ; 6) Dow. Drug z powy»szych nierówno±ci otrzymuje si przez wzi cie b zamiast b w 5). Pierwsza za± jest równowa»na a a b + b i znów otrzymuje si j z 5), je±li zamieni a + b a tzn. a a b. 5. Dla dowolnych liczb a, b R zachodzi równo± ab = a b 7) Dow. Dla a, b 0, mamy a = a, b = b i ab = ab = a b. Dla a > 0, b < 0 jest: a = a, b = b i ab = a b ) = a b < 0, sk d ab = ) ) a b = a b. Dla a < 0, b < 0: a = a, b = b i ab = ab = a ) b ) = a b. 4

5 6. Dla dowolnych liczb a, b R: z nierówno±ci a c i b d wynika, że a + b c + d 8) Ten wzór mo»na nazwa wzorem na "dodawanie pod znakiem warto±ci bezwzgl dnej". Dow. Wynika on z 5), poniewa»: a + b a + b c + d. 7. Mamy te» równowa»no± trzech nierówno±ci: a < b b < a < b a < b i a < b. 9).4 Zbiory ograniczone. Kres górny i dolny zbioru Niech Z R. Przypomnijmy denicj zbioru ograniczonego z góry: Def. Mówimy,»e Z R jest ograniczony z góry, je±li M R : z Z : M z. 0) Ka»de M, speªniaj ce 0), nazywamy ograniczeniem górnym. Je±li M ograniczenie górne, to M + m, gdzie m > 0, równie» jest ograniczeniem górnym. Mamy wi c caªy zbiór ogranicze«górnych; oznaczmy go M. Zachodzi Tw. Niech Z R zbiór ograniczony z góry. Wtedy w zbiorze M ogranicze«górnych zbioru Z istnieje liczba najmniejsza. Nazywamy j kresem górnym zbioru Z i oznaczamy sup Z a czytamy: supremum Z). Dow. W dowodzie posªu»ymy si zasad ci gªo±ci Dedekinda. Podzielmy wszystkie liczby rzeczywiste na dwie klasy podzbiory R): Do drugiej klasy II zaliczamy liczby M, speªniaj ce: z Z : M z. Tak wi c II to zbiór ogranicze«górnych zbioru Z. Poniewa» zbiór Z jest ograniczony z góry, to II jest niepusty i ró»ny od R. Do pierwszej klasy zaliczmy wszystkie pozostaªe liczby, tzn. I = R \ II. Zbiór I równie» jest niepusty.) Zapiszmy równowa»n denicj I: Do I nale» elementy M takie,»e z Z : M z), tzn. z Z : M < z. Z zasady ci gªo±ci wynika,»e: Analogicznie deniujemy zbiór ograniczony z doªu 5

6 i) albo w klasie I istnieje element najwi kszy, ii) albo w klasie II istnieje element najmniejszy. Poka»emy,»e mo»liwo± i) nie zachodzi. Przyjmijmy,»e jest przeciwnie, tzn.»e w klasie I istnieje element najwi kszy; nazwijmy go a. Ale wtedy, z denicji klasy I: x Z : x > a. Oznaczmy teraz przez a jak kolwiek liczb le» c pomi dzy a oraz x; we¹my np. a = x + a). Wtedy a < x. Czy a II? Gdyby tak byªo, to z denicji II musiaªby zachodzi warunek: z Z : z a, a tymczasem dla z = x Z mamy x > a. Znaczy to,»e a II, wi c a I. Ale mamy te»: a > a, co znaczy,»e a NIE JEST elementem najwi kszym w klasie I wbrew zaªo»eniu. Otrzymali±my sprzeczno±, co dowodzi,»e zachodzi mo»liwo± ii), tzn. w klasie II istnieje element najmniejszy. Mamy bli¹niacze twierdzenie: Tw. Je±li zbiór Z R jest ograniczony z doªu, to w±ród ogranicze«dolnych zbioru Z istnieje liczba najwi ksza, zwana kresem dolnym zbioru Z i oznaczamy inf Z a czytamy: inmum Z). Dow. jest równie» bli¹niaczy. Uwaga. Kresy zbioru nie musz do niego nale»e. Np. kresami przedziaªu otwartego ]a, b[: a < x < b s liczby a kres dolny) i b kres górny), nie nale» ce do ]a, b[..5 Aksjomatyka liczb rzeczywistych Podsumujmy znane wªasno±ci liczb rzeczywistych. Mo»na je te» uzna za aksjomaty, które deniuj liczby rzeczywiste; wszystkie znane nam wªasno±ci liczb rzeczywistych mo»na z nich wyprowadzi.. W R mamy dziaªanie dodawania +. Jest ono przemienne: x+y = y+x oraz ª czne: x + y) + z = x + y + z) x, y, z R.. Istnieje element neutralny 0 dla dodawania, tzn. x R: x + 0 = x. 3. Dla ka»dego elementu x istnieje element przeciwny x: x + x) = W R mamy dziaªanie mno»enia. Jest ono przemienne: x y = y x oraz ª czne: x y) z = x y z) x, y, z R. 5. Istnieje element neutralny dla mno»enia, tzn. x R: x = x. 6

7 6. Dla ka»dego elementu x 0 istnieje element przeciwny x : x x =. Uwaga. Zbiór z tak okre±lonymi dziaªaniami nazywa si ciaªem. Zatem R jest ciaªem. 7. Istnieje w R relacja mniejszo±ci <, tzn. ka»de dwie ró»ne liczby x, y R speªniaj : albo x < y, albo y < x. Relacja ta jest przechodnia, tzn. je»eli x < y i y < z, to x < z. Zachodzi te»: jeśli x < y, to x + z < y + z i, je±li te» z > 0, to xz < yz. Uwaga. Wszystkie powy»sze aksjomaty s te» speªnione przez liczby wymierne. Zakªadamy wi c, prócz wszystkich powy»szych, jeszcze 8. aksjomat ci gªo±ci Dedekinda. Ci gi. Podstawowe denicje Def. Ci giem nazywamy funkcj na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporz dkowanie ka»dej liczbie naturalnej jakiej± liczby rzeczywistej. Mówimy wtedy o ci gu o wyrazach rzeczywistych; analogicznie mo»emy mówi o ci gu o wyrazach naturalnych, caªkowitych, wymiernych,...) Zazwyczaj ci g zapisujemy w postaci: a, a,..., a n,... lub {a n }. Przykªadami ci gów, które Czytelnik dobrze zna a jeªi nie, to niniejszym poznaje), jest ci g arytmetyczny: a n = A + Bn, ) tu A, B s pewnymi liczbami rzeczywistymi) oraz ci g geometryczny: a n = aq n ) tu q 0, a liczby rzeczywiste). Najcz ±ciej deniujemy ci g przez jawnie, wzorem a n = fn) dla pewnej funkcji f w ten sposób jest zdeniowane s ci gi powy»ej, np. ci g ): tu fn) = A + Bn). Drugim cz sto spotykanym sposobem jest denicja rekurencyjna, w której zadaje si pierwszy wyraz ci gu oraz formuª : a n = F a n ), gdzie F jest pewn funkcj. Np. ci g ) mo»na równowa»nie zada 7

8 jako: a = a, a n = qa n. Tutaj ªatwo jest przej± od postaci rekurencyjnej do postaci jawnej; na ogóª jest to jednak znacznie trudniejsze p. zadanie o ci gu Fibonacciego). Dla wielu ci gów nie potramy poda jawnego wzoru na n ty wyraz; np. jest tak z ci giem liczb pierwszych wiemy,»e jest ich niesko«czenie wiele; stanowi podzbiór N, wi c mo»na je ustawi w ci g. Ale jawnej postaci takiego ci gu nie potramy poda ). Def. Ci g {a n } nazywamy rosn cym odpowiednio: niemalej cym), je±li n N : a n < a n+ odpowiednio, je±li n N : a n a n+ ). Analogicznie Def. Ci g {a n } nazywamy malej cym odpowiednio: nierosn cym), je±li n N : a n > a n+ odpowiednio, je±li n N : a n a n+ ). Ci gi rosn ce i malej ce obejmujemy wspóln nazw ci gów monotonicznych. Przykª. Ci g liczb nieparzystych jest rosn cy; ci g {,,,, 3, 3,...} nie jest rosn cy, ale jest niemalej cy; ci g {,,,,... } nie jest ani niemalej cy ani nierosn cy.. Granica ci gu Def. Liczb g nazywamy granic ci gu niesko«czonego {a n }, je±li ɛ>0 M N : n>m : a n g < ɛ. 3) Uwaga. Ostatni warunek mo»na te» tak wypowiedzie,»e pocz wszy od liczby M, wszystkie nast pnie wyrazy ci gu mieszcz si mi dzy g ɛ a g + ɛ. Je»eli g jest granic ci gu {a n }, to oznaczamy to: g = lim n a n. Przykª. Poka»emy,»e granic ci gu a n = n jest g = 0. Niech b dzie dana jaka± liczba ɛ > 0. Musimy tak dobra M, aby dla n > M zachodziªa nierówno± a n g = n < ɛ Za M we¹my dowoln liczb naturaln wi ksz ni» ɛ. Gdyby kto± chciaª konkretniej, we¹my: [ ] M = +, ɛ 8

9 gdzie u»yli±my oznaczenia: Niech x R; wtedy: [x] cz ± caªkowita x, tzn. najwi ksza liczba caªkowita nie wi ksza od x. Mamy wi c: M > = ɛ M < ɛ, a to znaczy,»e dla dowolnego n > M zachodzi nierówno± n < M < ɛ, czyli n < ɛ, co nale»aªo pokaza. Przykª. Granic ci gu staªego: n N a n = a jest liczba a: lim n a n = a, 4) bo dla ka»dego n mamy a n a = 0 i nierówno± 3) zachodzi dla ka»dego wska¹nika n oraz dla ka»dego ɛ > 0. Przykª. a n = n + n + ; poka»emy,»e lim n a n =. Przykª. poka»emy,»e Przykª. poka»emy,»e Przykª. Niech 0 < q < i niech a n = n ; lim a n n = 0. a n = n 3 + ; lim a n n = 0. a n = q n ; poka»emy,»e Przykª. lim a n n = 0. a n = log n ; 9

10 poka»emy,»e lim a n n = 0. Ci g posiadaj cy granic nazywany jest zbie»nym. Ci g rozbie»ny to taki, który granicy nie posiada. Przykª. Ci g a n = n nie posiada granicy, tzn. jest rozbie»ny. Zaªó»my bowiem,»e posiada granic g. We»my ɛ =. W denicji zbie»no±ci ci gu jest warunek,»e a n g < ɛ dla ka»dego ɛ; je±li poka»emy,»e warunek ten nie jest speªniony dla jakiegokolwiek ɛ, to tym samym poka»emy,»e ci g jest rozbie»ny). Przypu± my,»e ci g a n = n jest zbie»ny do granicy n. Dla dostatecznie du»ych n musi wi c by speªniony warunek: a n g = n g <, co jest niemo»liwe, bo warunek ten mo»e by speªniony co najwy»ej dla trzech warto±ci n dla liczby naturalnej n g, najbli»szej g, oraz n g ±. Doszli±my do sprzeczno±ci tzn. pokazali±my,»e ci g a n = n nie posiada granicy, jest wi c rozbie»ny. Przykª. ci g oscyluj cy: a n = ) n jest rozbie»ny. Wystarczy wzi ɛ = 4 i warunek 3) nie b dzie speªniony dla»adnego g. Bo albo nierówno± a n g < ɛ nie b dzie speªniona nigdy, albo b dzie speªniona dla co drugiej liczby naturalnej ale nie b dzie speªniona dla ka»dej liczby naturalnej). Mo»na zada pytanie, czy je±li ci g jest zbie»ny, to czy posiada tylko jedn granic, czy mo»e posiada ich wiele? Okazuje si,»e zachodzi ta pierwsza mo»liwo± : Tw. Ci g zbie»ny posiada tylko jedn granic. Dow. Przypu± my,»e jest przeciwnie i»e ci g a n posiada dwie granice g i g, przy czym g g, czyli g g > 0. We¹my ɛ = 4 g g. Z denicji granicy istniej takie dwie liczby M, M,»e dla n > M zachodzi nierówno± a dla n > M zachodzi nierówno± a n g < ɛ, 5) a n g < ɛ. 6) Oznaczmy przez M wi ksz z liczb M, M zapisujemy to jako: M = maxm, M )). Wtedy dla ka»dego n > M b d speªnione jednocze±nie obie nierówno±ci 5) i 6). Dodajmy je stronami, wykorzystuj c "dodawanie pod znakiem warto±ci bezwzgl dnej" 8), zmieniaj c uprzednio znak w nierówno±ci 5). Otrzymujemy: g g < ɛ; ale uprzednio wzi li±my g g = 4ɛ, czyli 4ɛ < ɛ doszli±my wi c do sprzeczno±ci. 0

11 Uwaga. W denicji granicy mo»na zast pi > przez, a < przez ; ani istnienie granicy, ani jej warto± je±li istnieje) si nie zmieni przy takiej zamianie..3 Ci gi ograniczone Def.. Ci g a, a,... nazywamy ograniczonym z góry, je±li istnieje taka liczba M,»e n N : a n < M.. Ci g a, a,... nazywamy ograniczonym z doªu, je±li istnieje taka liczba M,»e n N : a n > M. 3. Ci g a, a,... nazywamy ograniczonym, je±li jest jednocze±nie ograniczony z góry i z doªu. Równowa»nie mo»na powiedzie,»e dla ci gu ograniczonego zachodzi: M>0 : n N : a n < M. Sytuacje te mo»na zilustrowa gracznie: W pierwszym przypadku, wszystkie wyrazy ci gu le» poni»ej prostej y = M; w drugim powy»ej prostej y = M ; i w trzecim wszystkie wyrazy ci gu le» pomi dzy prostymi y = M a y = M. Przykªady. Ci g a n = ) n jest ograniczony. Ci g liczb naturalnych jest ograniczony z doªu. Ci g a n = ) n n nie jest ograniczony z góry ani z doªu. Tw. Ka»dy ci g zbie»ny jest ograniczony. Dow. Ci g {a n } z zaªo»enia jest zbie»ny jego granic nazwijmy g), wi c warunek 3) deniuj cy zbie»no± ci gu zachodzi dla ka»dego ɛ, w szczególno±ci dla ɛ =. Istnieje wi c taka liczba M,»e dla n > M mamy: a n g <. Korzystaj c z pierwszej z nierówno±ci 6) mamy: a n g a n g <, z czego wynika a n < +g. Oznaczmy przez C najwi ksz spo±ród M + liczb: a, a,..., a M, g+. Pami taj c,»e g+ jest wi ksze od a M+, a M+,..., mamy: n N : C > a n. Ci g {a n } jest wi c ograniczony.

12 .4 Dziaªania algebraiczne na ci gach i ich granicach Tw. Zakªadamy,»e ci gi {a n },{b n } s zbie»ne. Zachodz wtedy nast puj ce wzory: lim a n n + b n ) = n lim a n + n lim b n ; 7) lim n n b n ) = n lim a n n lim b n ; 8) lim n nb n ) = n lim a n n lim b n ; 9) ) an lim = lim a n n n b n lim b 0) n n ta ostatnia równo± ma miejsce przy zaªo»eniu,»e n lim b n 0). Dow. 7). Oznaczmy: g = n lim a n oraz h = n lim b n. We¹my jakie± ɛ > 0. Istnieje wi c taka liczba M,»e n>m a n g < ɛ oraz b n h < ɛ Dodaj c do siebie te dwie nierówno±ci pod znakiem warto±ci bezwzgl dnej, otrzymamy n>m a n + b n ) g + h) < ɛ. A to znaczy,»e ci g a n + b n jest zbie»ny do granicy g + h. CBDO Wniosek. W szczególno±ci, je±li b n jest ci giem staªym: b n = c dla ka»dego n, to mamy, z wzorów 4) i 7) lim a n n + c) = c + n lim a n. ) Dow. 9). Oszacujmy najsampierw ró»nic a n b n gh. Mamy: a n b n gh = a n b n a n h + a n h gh = a n b n h) + ha n g). Poniewa» ci g {a n } jest ograniczony jako ci g zbie»ny, to istnieje taka liczba A,»e a n < A dla ka»dego n. Stosuj c wzory na warto± bezwzgl dn sumy i iloczynu, mamy a n b n gh a n b n h) + ha n g) A b n h + h a n g Teraz: we¹my drug liczb peªni c analogiczn rol jak ɛ) η > 0. Dla niej dobieramy takie M,»e dla n > M mamy: a n g < η oraz b n h < η. Mamy wi c a n b n gh < Aη + h η = A + h )η.

13 Na razie nic nie zakªadali±my o liczbie η. Uczynimy to teraz, bior c: η = W ten sposób mamy: n>m : a n b n gh < ɛ Tak wi c!!! Udowodnili±my wzór 9). W szczególno±ci, bior c b n = c, otrzymujemy ɛ A+ h. oraz, bior c c =, St d wynika wzór 8): lim ca n n) = c n lim a n, ) lim a n n) = n lim a n. 3) lim a n n b n ) = n lim a n + b n )) = n lim a n + n lim b n ) = n lim a n n lim b n. Dow. 0). Najsampierw udowodnimy nast puj cy szczególny przypadek wzoru 0): lim = je±li lim n b n lim n b n 0) 4) n b n Dow. 4). Najpierw zauwa»my,»e dla dostatecznie du»ych n zachodzi nierówno± b n 0, a nawet mocniejsza: Dla dostatecznie du»ych n mamy: b n > h h. We»my bowiem za ɛ w denicji granicy ci gu. Wtedy istnieje takie M,»e n>m mamy b n h < h. St d h b n h b n < h, co daje b n > h. Aby udowodni 4), oszacujmy teraz ró»nic b n h = h b n hb = h b n n h b n. Zauwa»my,»e dla dostatecznie du»ych n mamy St d h b n < η oraz b n > h, tzn. b n < h. b n h < η h. Bior c teraz η = ɛh, otrzymamy,»e dla dostatecznie du»ych n b n h < ɛ, 3

14 sk d wynika ju» wzór 0). Wzór 0) wynika z 9)4): Uwagi. lim n a n b n = lim n a n ) = lim b n a nn lim n n a n = lim b n lim n b n. W zaªo»eniach przy wyprowadzaniu powy»szych wzorów zakªadali±my,»e ci gi {a n } i {b n } s zbie»ne. Zaªo»enie to jest istotne; mo»e si zdarzy,»e ci g {a n } + {b n } jest zbie»ny, mimo»e ci gi oddzielnie {a n } i {b n } s rozbie»ne we¹my np. ci gi: a n = n, b n = n).. W denicji ci gu zakªadali±my,»e numeracja elementów zaczyna si od. Denicj t mo»na bezkarnie zmieni, zakªadaj c,»e ci g zaczyna si od dowolnej liczby naturalnej n St d wynika prosta do zobaczenia wªa±ciwo± ci gów: Odrzucenie sko«- czonej ilo±ci pocz tkowych wyrazów ci gu nie ma wpªywu na zbie»no± ci gu ani na warto± jego granicy. Analogicznie, mo»na do ci gu doª - czy dowoln sko«czon ilo± wyrazów. Przykª.. Ci g a n = 3n+ 8n 5. Ci g b n = n +n+ 9n 5n 3 3. Ci g c n = n n 4 n.5 Kolejne wªasno±ci rachunkowe granicy Stw. Niech ci g {a n } b dzie zbie»ny. Wówczas zbie»ny jest ci g { a n } i zachodzi lim a n n = n lim a n. 5) Dow. Niech n lim a n = g. Mamy wtedy a n g < ɛ dla dostatecznie du»ych n. Zatem a n g a n g < ɛ oraz g a n a n g < ɛ, gdzie korzystali±my z 6). St d wynika, z u»yciem wzoru 9): a n g < ɛ. Czyli zachodzi 5). 4

15 CBDO Stw. Zaªó»my,»e ci gi {a n } i {b n } s zbie»ne oraz n a n b n. 3 Zachodzi wtedy: lim a n n n lim b n. 6) W szczególno±ci, je±li ci g {c n } jest zbie»ny, to warunek c n 0 poci ga za sob lim n c n 0. 7) Dow. Poka»emy najsampierw ostatni wzór. Niech lim n c n = h. Przypu± my,»e h < 0, tzn. h > 0. Z zaªo»enia c n jest zbie»ny do h, i w denicji zbie»no±ci c n we¹my ɛ = h. Wtedy, dla dostatecznie du»ych n mamy: c n h < h, a st d c n h < h, a st d c n < 0 wbrew zaªo»eniu. Teraz poka»emy,»e z 7) wynika 6). We¹my mianowicie b n a n = c n. Poniewa» a n b n, to c n 0, a wi c, po przej±ciu do granicy: lim n c n 0. A na mocy 8): zatem lim c n n = n lim b n n lim a n, lim b n n n lim a n czyli n lim a n n lim b n. CBDO Uwaga. W nierówno±ci 6) nie mo»na zast pi nierówno±ci przez >, i analogicznie w 7) nie mo»na zast pi przez <. Np. ci g {c n } = n speªnia nierówno± : c n > 0, a mamy n lim c n = 0. Mo»na t sytuacj obrazowo wyrazi mówi c,»e nierówno±ci i "zachowuj si przy przej±ciu do granicy", natomiast nierówno±ci > i < nie maj tej wªasno±ci. Tw. o trzech ci gach) 4. Je±li a n c n b n i n lim a n = n lim b n, to ci g {c n } jest zbie»ny i zachodzi: n lim c n = n lim a n = n lim b n. Dow. Niech n lim a n = g = n lim b n i niech ɛ > 0. Dla dostatecznie du»ych n mamy wi c a n g < ɛ oraz b n g < ɛ. czyli Na mocy zaªo»enia a n g < ɛ; g a n < ɛ; b n g < ɛ; g b n < ɛ a n g c n g b n g, a»e wybieramy co potrzebne) ɛ < a n g i b n g < ɛ, 3 Zgodnie z uwag poczynion niedawno, teza jest prawdziwa, je±li warunek "dla ka»dego n" zast pi przez "dla ka»dego n > n 0 ", n 0 >. 4 Nazwa wªoska: 'O policjantach prowadz cych aresztowanego', nazwa hiszpa«ska: 'O kanapce'. Skojarzenie wykªadowcy: 'Mi dzy mªotem a kowadªem' 5

16 wi c sk d lim n c n = g. ɛ < c n g < ɛ czyli c n g < ɛ, Przykªady, w tym dwie wa»ne granice. CBDO lim n n a = dla a > 8) n i st d te» dla 0 < a analogicznie: n lim a =. n Bo: We¹my najsampierw przypadek a >. Dla dowolnego n mamy: a >. Oznaczmy: A n = n a 9) tak wi c A n > 0). Przepiszmy to jako: n a = + A n i, po podniesieniu do n tej pot gi: a = + A n ) n. Korzystamy teraz z nierówno±ci Bernoulliego i mamy: sk d a = + A n ) n + na n, 0 A n a n Gdy n, to oba skrajne ci gi d» do zera, i z tw. o 3 ci gach wynika,»e te» lim n A n = 0, i na mocy denicji 9) A n znaczy to,»e lim n n a =.. Przykªad na wykorzystanie tw. o 3 ci gach: lim n n 5 7 n n + 0. Oszacujmy wyra»enie pod pierwiastkiem: sk d 7 n 5 7 n n n n n = 6 7 n, n 7n = 7 n 5 7 n n + 0 n 6 7 n = n 6 7; granica ci gu po lewej stronie nierówno±ci to 7, granica ci gu po prawej n stronie to 7 n lim 6 = 7 p. granica z przykª.), zatem n 5 7n n + 0 = 7. lim n 6

17 3. lim n n n =. 30) Post pmy na pocz tek podobnie jak w przykª. above, i zdeniujmy: B n = n n 3) Mamy oczywi±cie B n 0. Po przeniesieniu jedynki na lew stron i podniesieniu do n tej pot gi mamy: n = + B n ) n. Oszacowanie takie, jak w przykª., jest zbyt sªabe. Ale u»yjmy nast puj cej nierówno±ci: n : x 0 : + x) n + nn ) x której dowód wynika ªatwo ze wzoru dwumiennego Newtona: + x) n = + n x + n x + + n x k + + n k n x n... z zaªo»enia, wszystkie wyrazy po prawej stronie s dodatnie. Odrzucamy po prawej wszystkie wyrazy oprócz pierwszych trzech... + x) n + n x + n x + nn ) x. odrzucili±my tu jeszcze wyraz proporcjonalny do x). Bior c teraz B n zamiast x, mamy sk d n = + B n ) n + nn ) Bn = Bn n, 0 B n n Gdy n, to ci gi po lewej i prawej stronie d» do 0, zatem ±rodkowy te», i ze wzgl du na denicj 3) ci gu {B n } mamy» dany wynik 30). Wniosek z tw. o 3 ci gach). Je±li lim i lim n a n = 0. Dow. Mamy: n a n = 0, to ci g {a n } jest zbie»ny a n a n a n i lim n a n ) = 0 = lim a n. CBDO 7

18 .6 Podci gi Def. Niech b dzie dany ci g a, a,..., a n,... oraz ci g rosn cy liczb naturalnych m, m,..., m k,.... Ci g a m, a m,..., a mk,... nazywamy podci giem ci gu {a n }. Przykª. Ci g a, a 4,..., a n,... jest podci giem ci gu a, a,..., a n,.... Natomiast ci g a, a, a 4, a 3,... nie jest podci giem {a n }, poniewa» wska¹niki nie tworz tu ci gu rosn cego. W my±l powy»szej denicji, ka»dy ci g jest swoim wªasnym podci giem. Ponadto podci g {a mkl } podci gu {a mk } jest podci giem ci gu {a n }. Obrazowo mo»na powiedzie,»e podci g a m, a m,..., a mk,... ci gu {a n } otrzymuje si przez skre±lenie w ci gu {a n } pewnej ilo±ci wyrazów, sko«czonej lub niesko«czonej), których wska¹niki s ró»ne od m, m,..., m k,.... Stw. Zachodzi ogólny wzór dotycz cy wska¹ników dowolnego podci gu m k k. 3) Dow. Jest tak dla n =, tzn. m bo m jest liczb naturaln ). Stosuj c indukcj zaªó»my,»e dla jakiego± n zachodzi wzór 3). Mamy wtedy: m n+ > m n > n, a zatem m n+ n, wi c teza zachodzi te» dla n +. W ten sposób mamy prawdziwo± tezy dla dowolnego n. CBDO Tw. Podci g ci gu zbie»nego {a n } jest zbie»ny do tej samej granicy co {a n }. Tzn. jeśli n lim a n = g, to równie» n lim a mn = g. Dow. We¹my ɛ > 0. Istnieje wtedy takie M,»e dla n > M speªniona jest nierówno± a n g < ɛ. Poniewa», na mocy 3) jest m n n > M, to równie» a mn g < ɛ, a to znaczy,»e n lim a mn = g. CBDO Tw. Bolzano Weierstrassa). Z ka»dego ci gu ograniczonego {x n } mo»- na wybra podci g zbie»ny. Dow. Niech ci g {a n } b dzie ograniczony. Istnieje wi c taka liczba M,» n N : M < a n < M. Oznaczmy teraz przez Z zbiór liczb x takich,»e nierówno± : x < a n jest speªniona dla niesko«czenie wielu n. Zbiór Z jest niepusty, poniewa» liczba 8

19 M Z jako»e nierówno± M < a n jest speªniona dla ka»dego n). Zbiór Z jest te» ogranicznony z góry: Nie nale»y bowiem do Z»adna liczba wi ksza od M nierówno± M < a n nie jest speªniona dla»adnego n i tym bardziej dla dowolnego x > M). Zbiór Z jest niepusty i ograniczony z góry, wi c istnieje kres górny tego zbioru. Oznaczmy go przez g. Z denicji kresu górnego wynika,»e dla ka»dego ɛ > 0 istnieje niesko«czenie wiele n takich,»e g ɛ a n g + ɛ, poniewa»: liczba g ɛ Z, g + ɛ Z. Wyka»emy obecnie,»e g jest granic pewnego podci gu ci gu {a n }. Musimy wi c znale¹ ci g liczb naturalnych {m n } : m < m < m 3... w taki sposób, aby n lim a mn = g. W tym celu, we¹my najpierw ɛ =. Istnieje wtedy niesko«czenie wiele n N takich,»e g < a n < g +. Oznaczmy przez m któr kolwiek z tych liczb niech to b dzie np. pierwsza z tych liczb). Mamy w ten sposób g < a m < g +. We¹my teraz ɛ =. Tu znów istnieje niesko«czenie wiele liczb n takich,»e g < a n < g +. Skoro jest ich niesko«czenie wiele, to s w±ród nich liczby wi ksze od m. We¹my któr kolwiek spo±ród nich i oznaczmy przez m. Mamy wi c g < a m < g +, m < m. Trzeci krok jest analogiczny: Znajdujemy m 3 takie,»e g 3 < a m 3 < g + 3, m < m 3 i dalej post pujemy rekurencyjnie: Maj c m k, znajdujemy w opisany wy»ej sposób m k+ takie,»e g k + < a m k < g + k +, m k < m k+ 33) 9

20 Z twierdzenia o trzech ci gach wynika teraz,»e lim g ) = g = lim n n n g + ). n Ci g m, m, m 3,... z konstrukcji jest rosn cy, wi c ci g a m, a m, a m3,... jest podci giem ci gu {a n }. Ze wzoru 33) wida,»e lim n a mn = g. CBDO Poni»sze twierdzenie jest wnioskiem z tw. BW. Tw. Ka»dy ci g ograniczony: nierosn cy lub niemalej cy, jest zbie»ny. Przy tym: Dla ci gu niemalej cego: a a... mamy: k N : a k n lim a n ; Dla ci gu nierosn cego: a a... mamy: k N : a k n lim a n. Dow. Dla ustalenia uwagi rozpatrzmy {a n } ci g niemalej cy. Oznaczmy przez Z zbiór wartos i tego ci gu, a przez g kres górny tego zbioru: g = sup Z. Mamy wi c n N : g a n ; jednocze±nie ɛ>0 k N : g ɛ < a k poniewa» nierówno±, b d ca zaprzeczeniem: k N : g ɛ a k, nie mo»e by speªniona na podstawie denicji kresu górnego). Poniewa» ci g {a n } jest niemalej cy, to nierówno± : n > M poci ga za sob : a M a n, a st d g ɛ < a n. A wi c ɛ>0 M : n>m zachodzi g ɛ < a n g, skąd a n g < ɛ; ta ostatnia nierówno± oznacza,»e g = lim n a n. To byª dowód dla ci gów niemalej cych. Dla nierosn cych jest analogiczny. Przykª. zastosowa«powy»szego twierdzenia) CBDO. We¹my c > 0 i okre±lmy ci g {x n } nast puj cym wzorem rekurencyjnym: tzn. x = c, x = x = c, x n+ = c + x n, c + c, x 3 = c + c + c,... Nie jest ªatwo poda wzór ogólny na n-ty wyraz ci gu, ale proste jest policzenie jego granicy. Aby to zrobi,»auwa»my najsampierw,»e ci g {x n } jest rosn cy. Jest on równie» ograniczony z góry. Poka»emy indukcyjnie,»e takim ograniczeniem górnym jest liczba c +. Istotnie, i) dla n =, 0

21 mamy x = c < c +. ii) Zaªó»my,»e nierówno± x n < c + jest speªniona dla jakiego± n i sprawd¹my, czy jest speªniona dla n +. Mamy: x n+ = c + x n < c + + c < c + + c = + c zatem iii) nierówno± x n < c + jest speªniona dla dowolnego n. Pokazali±my,»e ci g {x n } jest monotoniczny rosn cy) i ograniczony, zatem zgodnie z Tw. powy»ej jest zbie»ny do sko«czonej) granicy g. Aby j okre±li, napiszmy równo± : x n+ = c + x n w postaci x n+ = c + x n i przejd¹my w niej do granicy lim n. Mamy: g = c + g = g = ± + 4c g nie mo»e by ujemne jako granica ci gu o wyrazach dodatnich), wi c g = + +4c.. Niech Czytelnik Czytelniczka) spróbuje pokaza,»e w ogólniejszej sytacji: y = a > 0, y n+ = c + y n, ci g {y n } jest równie» zbie»ny i jego granica jest równa jak poprzednio: lim y n n = + +4c niezale»nie od tego, jak wybierzemy "punkt startowy" a. 3. Przykªad ci gu, który ªatwo zdeniowa, ale nieªatwo policzy granic. We¹my dwie liczby dodatnie a, b, przy czym a > b. Utwórzmy ±redni arytmetyczn a i geometryczn b tych liczb: a = a + b, b = a b. Zachodzi nierówno± : a > b 5 czyli mamy nierówno±ci: 5 Mamy bowiem, dla a > b: a > a > b > b a + b) ab = a ) ab + b = a ) b 0

22 Dla liczb a, b znowu tworzymy obie ±rednie: Mamy a = a + b, b = a b. a > a > a > b > b > b itd. Tak wi c tworzymy dwa ci gi {a n }, {b n } okre±lone rekurencyjnie: Analogicznie jak poprzednio, mamy a n+ = a n + b n, b n+ = a n b n. a n > a n+ > b n+ > b n czyli ci g {a n } jest malej cy, za± ci g {b n } rosn cy. Jednocze±nie oba s ograniczone: Ci g {a n } jest ograniczony z doªu przez b, a ci g {b n } z góry przez a. Oba ci gi s wi c zbie»ne i oba maj granice sko«czone) Przejd¹my teraz w równo±ci α = lim n a n, β = lim n b n. do granicy lim n ; otrzymamy α = α + β a n+ = a n + b n = α = β. Ile wynosi ta wspólna) granica? granic t nazywa si te» ±redni arytmetycznogeometryczn liczb a i b). Okazuje si,»e granica ta wyra»a si przez tzw. caªk eliptyczn..7 Warunek i twierdzenie Cauchy'ego Tw. Ci g {a n } jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy ɛ>0 M N : n>m : a n a M < ɛ. 34) Uwaga. Warunek 34) nazywa si warunkiem Cauchy'ego; niedªugo poznamy równowa»n jego posta. Dow. o = Ci g {a n } jest zbie»ny; oznaczmy: lim n a n = g. Niech dane b dzie ɛ > 0. Istnieje wi c takie M,»e dla n M zachodzi a n g < ɛ.

23 Nierówno± ta zachodzi w szczególno±ci dla n = M, tzn. a M g = g a n < ɛ. Dodaj c obie te nierówno±ci pod znakiem warto±ci bezwzgl dnej, otrzymujemy 34). o = Zaªó»my teraz,»e warunek Cauchy'ego 34) jest speªniony. Nale»y st d dowie±,»e ci g jest zbie»ny. Najsampierw udowodnimy,»e jest ograniczony. B dziemy to robi analogicznie jak kilka stron temu przy dowodzie,»e ci g zbie»ny jest ograniczony). We¹my mianowicie ɛ =. Istnieje wi c takie M,»e dla n > M mamy a n a M <. St d a n a M a n a M <, a wi c a n < a M +. Oznaczmy przez s liczb wi ksz od ka»dej spo±ród M nast puj cych liczb: a, a,..., a M, a M +, tzn. s = max{ a, a,..., a M, }. Mamy wi c n N : s > a n. To dowodzi,»e ci g {a n } jest ograniczony. Skoro tak, to na mocy tw. Bolzano-Weierstrassa wynika,»e ci g ten zawiera podci g zbie»ny. Oznaczmy ten podci g {a mn } i niech jego granica wynosi: n lim a mn = γ. Udowodnimy,»e γ = n lim a n. Niech b dzie dane ɛ > 0. Poniewa» jest speªniony warunek Cauchy'ego, to istnieje takie M,»e dla n > M speªniona jest nierówno± a n a M < ɛ. 35) 3 Poniewa» lim n a mn = γ, to istnieje takie M,»e dla n > M mamy a mn γ < ɛ. 36) 3 Mo»na tu dobra M tak, by M > M. W ten sposób, dla n > M obie nierówno±ci 35) i 36) b d speªnione jednocze±nie. Ponadto, poniewa» m n > n > M, to mo»na w 35) zast pi n przez m n. W ten sposób mamy a mn a M < ɛ. 37) 3 Dodaj c do siebie nierówno± i 35),36) i 37), i zmieniwszy uprzednio znak pod moduªem w lewej cz ±ci 37), otrzymujemy nierówno± a n γ < ɛ, która jest speªniona dla ka»dego n > M. A to oznacza,»e n lim a n = γ. Uwagi. CBDO. W tw. Cauchy'ego mo»na zast pi znak ">" w nierówno±ci n > M, oraz "<" w warunku Cauchy'ego 34), przez i odpowiednio. 3

24 . Warunek Cauchy'ego 34) mo»na sformuªowa równowa»nie: ɛ>0 M N : n,m>m : a n a m < ɛ. 38) Dow. Z warunku Cauchy'ego 34) wynika bowiem,»e istnieje takie M,»e dla n > M i dla m > M zachodz nierówno±ci a n a M < ɛ i a m a M < ɛ. Dodaj c je pod znakiem warto±ci bezwzgl dnej otrzymamy 38)..8 Ci gi rozbie»ne do Def. Mówimy,»e ci g {a n } jest rozbie»ny do, je±li r>0 M N n>m : a n > r. CBDO Zapisujemy to symbolicznie jako równo± : n lim a n =. Mówimy te»,»e ci g a n posiada granic niewªa±ciw równ niesko«czono±ci). Mo»na obrazowo powiedzie,»e ci g rozbie»ny do to taki, którego dostatecznie dalekie wyrazy s dowolnie du»e. Analogicznie okre±lamy rozbie»no± do : Mówimy,»e ci g b n jest rozbie»ny do, je±li ci g b n jest rozbie»ny do. Przykª. n lim n = ; n lim n =. Tw. Ci g niemalej cy {a n } nieograniczony z góry jest rozbie»ny do. Dow. Poniewa» ci g {a n } jest nieograniczony z góry, wi c r R M : a M > r. Poniewa» ci g {a n } jest niemalej cy, to dla n > M mamy a n a M, zatem a n > r. Tak wi c lim n a n =. CBDO Analogicznie dla ci gów nierosn cych: je±li ci g {b n } jest nieograniczony z doªu, to ma granic niewªa±ciw. Przyjmuj c powy»sz terminologi, mo»emy przeformuªowa twierdzenie o tym,»e ka»dy ci g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny: Rozszerzamy to do postaci: Ka»dy ci g monotoniczny posiada granic wªa±ciw lub niewªa±ciw w zale»no±ci od tego, czy jest ograniczony, czy nieograniczony). Tw. X Je±li n lim a n = ±, to n lim a n = 0. Dow. Niech lim n a n = i niech ɛ > 0. Bior c r = ɛ, widzimy,»e istnieje takie M,»e dla n > M zachodzi a n > r = ɛ, tzn. a n < ɛ, a to oznacza,»e ) = 0. lim n a n 4

25 Uwaga. Twierdzenie odwrotnie nie jest prawdziwe: Je±li ci g {a n } d»y do 0, to ci g { a n } nie musi by rozbie»ny do + lub. Jest tak np. z ci giem a n = )n n, zbie»nym do zera: Ci g a n =,, 3, 4,... ) nie jest rozbie»ny do ani do. Naturalne jest oczekiwa,»e suma i iloczyn ci gów rozbie»nych do te» s rozbie»ne do. Tak te» jest w istocie. Poka»emy tu nieco wzmocnione wersje tych stwierdze«. Tw. XX Je±li n lim a n =, a ci g {b n } jest ograniczony z doªu, to lim a n n + b n ) =. Dow. Niech M b dzie staª ograniczaj c ci g {b n } od doªu: n N M < b n. Poniewa» n lim a n =, to dla danego dowolnego) r istnieje taka liczba k,»e dla n > k zachodzi a n > r M. St d a n + b n > r, a to znaczy,»e lim a n n + b n ) =. Tw. XXX Je±li n lim a n = oraz ci g {b n } jest ograniczony z doªu przez dodatni staª c: n N b n c > 0, to n lim a n b n ) =. Dow. We¹my jak ± dowoln ) liczb r. Z zaªo»enia o rozbie»no±ci {a n } do ) istnieje takie k N,»e dla n > k mamy a n > r c. Mno» c obie strony tej nierówno±ci przez strony nierówno±ci b n c, otrzymujemy a n b n > r, co znaczy,»e n lim a n b n ) =. Mamy te» analogon nierówno±ci 6): Tw. XXXX Je±li lim n a n = oraz n N : a n b n, to n lim b n =. Dow. Je±li a n > r, to tym bardziej b n > r..9 Przykªady, w tym granice wa»nych ci gów Przykª.. Je±li c > 0, to n lim cn =. Wynika to natychmiast z tw. XXX. Przykª. Je±li a >, to n lim a n =. We¹my c = a ; mamy: c > 0. Na mocy nierówno±ci Bernoulliego mamy: a n = + c) n + cn, i z Przykª. oraz tw. XXXX mamy n lim a n =. Przykª. 3 Je±li q <, to n lim q n = 0. Rozpatrzmy najsampierw przypadek 0 < q <. Wówczas q >, a wi c ) n lim n q =. St d na mocy Tw. X mamy n lim q n = 0. Gdy za± mamy q <, to wtedy n lim q n = 0, ale wtedy z Tw.... wynika,»e równie» n lim q n = 0. 5

26 Przykª. 4 Je±li q <, to lim + q + n q + + q n ) = q Wynika to z równo±ci: + q + q + + q n = qn+ q co sprawdzamy, mno» c obie strony równo±ci przez q; zakªadamy przy tym,»e q ) oraz dopiero co pokazanego faktu,»e n lim q n = 0..0 Liczba e Wprowadzimy teraz wa»n w analizie i nie tylko) liczb, zwan e, wykorzystuj c przy tym poznane uprzednio twierdzenia dotycz ce granic ci gów. Rozwa»my ci g e n = + n) n 39) Stw. Ci g {e n } jest rosn cy. Dow. Rozwi«my wyra»enie na e n korzystaj c ze wzoru dwumiennego Newtona: e n = + ) n = + n n n + nn ) nn )n ) + n 3 n nn )... n k + ) nn )... n n + ) k nk n ) = ! n 3! n n + )... k ) + + )... n ). 40) k! n n n! n n Je±li teraz przejdziemy od e n do e n+, to w wyra»eniu powy»ej przyb dzie jeszcze jeden dodatni wyraz, a ka»dy z ju» istniej cych si zwi kszy, bo dowolny czynnik w nawiasach postaci: s ) ) n zmieni si na s n+. St d wynika,»e e n+ > e n, czyli ci g {e n } jest ci giem rosn cym. Poka»emy dalej,»e zachodzi te» Stw. Ci g {e n } jest ograniczony z góry. ) ) n n CBDO 6

27 Dow. Ka»dy z czynników w nawiasach w 40) jest mniejszy od, zatem zamieniaj c wszystkie czynniki w nawiasach na zwi kszamy to wyra»enie. Mamy wi c: e n < +! + 3! + + n! E n 4) a ci g {E n } jest ograniczony z góry, bo jego dowolny wyraz jest mniejszy od 3, jak to wynika z nast puj cego oszacowania: E n = = + n n < + = 3. Ci g {e n } jest zatem monotoniczny rosn cy) i ograniczony, a wi c zbie»ny. Granic ci gu {e n } oznaczamy jako e: e = n lim e n = n lim + n) n ).0. Inna posta liczby e Powró my do równo±ci 40). We¹my jak ± liczb naturaln k < n i pomi«my w równo±ci 40) wszystkie wyrazy poza k pierwszymi. Pomini te wyrazy s dodatnie. Otrzymujemy wi c nierówno± e n > +! ) + ) ) + + ). n 3! n n k! n czyli mamy oszacowanie ci gu {e n } od doªu. Przejd¹my teraz do granicy n 6 Ka»dy z nawiasów wtedy d»y do ; mamy wi c e +! + 3! + + k! = E k. Nierówno± ta jest prawdziwa przy dowolnym k N. W poª czeniu z nierówno±ci ) mamy wi c e n < E n e, sk d wynika na podstawie twierdzenia o trzech ci gach»e równie¹ n e = n lim E n = + n lim k= k! Jest to inna, równowa»na 4) a ªatwiejsza do wylicze«, posta liczby e. 6 Pami tajmy,»e k jest dowolne, ale ustalone, gdy przechodzimy do granicy n. 43) 7

28 Poka»emy jeszcze,»e lim n = n n) e. 44) Mamy bowiem: a wi c lim n = n n) bo lim n n = n n + n ) n = = ) n = n lim n + n lim + ) =. n n +, n ) n lim n + n ) = e, To tyle na razie o ci gach i ich granicach. Do tematu b dziemy w miar potrzeby powraca ; kilka ciekawych granic pojawi si, gdy b dzie troch wi cej o funkcjach log i exp 8