Klasa 3.Graniastosłupy.

Transkrypt

1 Klasa 3.Graniastosłupy. 1. Uzupełnij nazwy odcinków oznaczonych literami: a b c d e Oblicz wysokość słupa w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o objętości 3,5 m 3, jeśli jego krawędź podstawy ma długość 0,5 m. 3. Siatkami sześcianów nie są: A. I i IV B. II i IV C. II i III D. I i III 4. Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 6 dm. Objętość tego sześcianu wynosi: A. 6 dm 3 B. 0,125 dm 3 C. 1,5 dm 3 D. 18 dm 3 5. Jaką co najmniej wysokość musi mieć prostopadłościenne akwarium o podstawie 25 cm 0,3 m, aby mogło pomieścić 24 litrów wody? 6. Ile litrów wody pomieści basen, którego kształt i wymiary podano na rysunku? 7. Trójkąt równoboczny o polu 4 3 cm 2 jest podstawą graniastosłupa prawidłowego. Wysokość tej bryły jest równa obwodowi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa. 8. Obwód jednej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 20 cm, a suma długości wszystkich krawędzi tej bryły jest równa 52 cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa. 9. Firma na zamówienie wykonała 300 sztuk betonowych słupów w kształcie graniastosłupów prostych o wysokościach 10 m oraz podstawach w kształcie trapezu równoramiennego przedstawionego na rysunku. Ile metrów sześciennych betonu użyto do wykonania tego zamówienia? 10. Ile metrów sześciennych zaprawy cementowej należy wylać na podłogę w salonie, którego plan przedstawiony jest na rysunku, by uzyskać siedmiocentymetrową warstwę? 11. Rysunek przedstawia szałas w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Ile metrów sześciennych powietrza jest w tym szałasie? Przyjmij, że 3 1, 7.

2 12. Pole powierzchni sześcianu wynosi 150 cm 2. Jaką objętość ma bryła powstała z dwóch takich sześcianów? 13. Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o polu podstawy 4 3 i wysokości 5 wynosi: A B C D Oblicz pola powierzchni graniastosłupów prawidłowych: a) b) c) 15. Oceń prawdziwość zdań dotyczących przedstawionego na rysunku graniastosłupa prawidłowego czworokątnego. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Powierzchnia boczna stanowi 80% powierzchni całkowitej tej bryły. Suma długości wszystkich krawędzi bocznych jest mniejsza niż suma długości wszystkich krawędzi podstawy. Ten graniastosłup można rozciąć na dwa sześciany każdy o objętości 64 cm 3. Pole jednej ściany bocznej jest 2 razy większe od pola jednej podstawy. 16. Oblicz objętość narysowanego obok graniastosłupa trójkątnego. 17. Przekątne ścian bocznych narysowanego obok graniastosłupa prostego trójkątnego tworzą kąt 60. Oblicz jego objętość. Klasa 3. Ostrosłupy. 1. Siatkę ostrosłupa czworokątnego przedstawia rysunek:

3 2. Wysokość narysowanego ostrosłupa oznaczono literą: A. d B. a C. b D. c 3. Uzupełnij nazwy odcinków oznaczonych literami: a b c d e Ostrosłup czworokątny prawidłowy o krawędzi podstawy 16 cm ma krawędź boczną równą 17 cm. Oblicz długość przekątnej podstawy oraz wysokość ściany bocznej. 5. Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 10 cm, a przekątna podstawy ma długość 16 cm. Jaką wysokość ma ten ostrosłup? 6. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 228 cm 2. Jeżeli krawędź jego podstawy ma 6 cm, to pole jednej ściany bocznej tej bryły wynosi: A. 38 cm 2 B. 48 cm 2 C. 55,5 cm 2 D. 192 cm 2 7. Ostrosłup prawidłowy czworokątny i graniastosłup prawidłowy czworokątny mają takie same podstawy, a wysokość ostrosłupa jest dwa razy krótsza od wysokości graniastosłupa. Ile razy objętość ostrosłupa jest mniejsza od objętości graniastosłupa? A. 8 razy B. 6 razy C. 4 razy D. 2 razy 8. Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości równej długości obwodu podstawy. 9. Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 8 cm ma wysokość równą wysokości trójkąta będącego jego podstawą. Oblicz objętość tego ostrosłupa. 10. Czy na oklejenie wszystkich ścian danej bryły wystarczy papieru z arkusza o wymiarach 5 cm 0,25 m? Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. sześcian o krawędzi 2,5 cm TAK NIE czworościan foremny o krawędzi 5 cm TAK NIE graniastosłup prawidłowy trójkątny o wysokości 8 cm i krawędzi podstawy 5 cm 11. Ile wody zmieści naczynie w kształcie czworościanu foremnego o krawędzi 8 2 cm? TAK NIE A cm 3 B cm3 C. 512 cm 3 D cm3 12. Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny, którego pole jednej ściany bocznej jest równe polu podstawy. Oceń prawdziwość zdań dotyczących tej bryły. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Wysokość ściany bocznej jest 3 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Pole podstawy stanowi siódmą część pola powierzchni całkowitej bryły. Suma długości wszystkich krawędzi bocznych tej bryły jest równa 3 107a, gdzie a jest długością krawędzi podstawy.

4 13. Podaj długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej możliwie najmniejszego namiotu w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, o którym wiadomo, że na jego podłodze można położyć oszczep długości 3 m oraz postawić pionowo dzidę długości 2 m. Pomiń pozostałe wymiary dzidy i oszczepu. Klasa 3. Przykłady brył obrotowych. 1. Która z narysowanych figur jest stożkiem? 2. Pole przekroju osiowego stożka o średnicy podstawy 5 cm i wysokości 10 cm wynosi: A. 50 cm 2 B. 25 cm 2 C. 100π cm 2 D. 36π cm 2 3. Stożek ma wysokość 8 cm, a promień jego podstawy jest równy 4 cm. Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi: A. 32 cm 2 B. 16 cm 2 C. 64 cm 2 D. 128π cm 2 4. Prostokąt obraca się wokół zaznaczonej osi. Promień podstawy walca powstałego w wyniku tego obrotu wynosi: A. 1 cm B. 6 cm C. 2 cm D. 4 cm 5. Przekrojem osiowym pewnego stożka jest trójkąt równoramienny o podstawie 12 cm i polu 48 cm 2. Oceń prawdziwość zdań dotyczących tej bryły. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Promień podstawy stożka ma 6 cm. Tworząca stożka ma 8 cm długości. 6. Wysokość stożka, którego promień podstawy ma 12 cm, a tworząca jest od promienia o 8 cm dłuższa, wynosi: A cm B. 16cm C cm D cm 7. Oblicz długość przekątnej przekroju osiowego walca, który powstał w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach 5 cm 6 cm wokół krótszego boku. 8. Kąt rozwarcia stożka ma 60, a tworząca stożka ma długość 6 cm. Oblicz wysokość stożka i długość promienia podstawy. 9. Pole koła, które obracane wokół średnicy utworzy kulę o promieniu 12 cm, wynosi: A. 144π cm 2 B. 36π cm 2 C. 24π cm 2 D. 576π cm Rysunek obok przedstawia przekrój osiowy pewnego walca. Oblicz promień i wysokość tego walca. 11. Czy długopis o długości 13 cm można zmieścić w blaszanym piórniku w kształcie walca o średnicy 5 cm i wysokośći 12 cm? Pomiń pozostałe wymiary długopisu. Odpowiedź uzasadnij. 12. Oblicz obwód półkola, które w wyniku obrotu wokół średnicy utworzy kulę o średnicy 6 cm. 13. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Tworząca każdego stożka jest dłuższa od promienia podstawy stożka. Obwód koła będącego przekrojem osiowym kuli o promieniu 2 wynosi 2π. Wysokość każdego walca jest większa od promienia podstawy walca.

5 14. Obracając koło o polu 64π cm 2 wokół jego średnicy, otrzymano kulę. Obwód koła wielkiego tej kuli wynosi: A. 16π cm B. 8π cm C. 8 cm D. 1024π cm 15. Jaki warunek musi spełniać miara kąta rozwarcia stożka, aby promień podstawy stożka był: a) równy wysokości stożka, b) dłuższy od wysokości tego stożka. Odpowiedź uzasadnij. Klasa 3. Walec. 1. Oblicz pole powierzchni bocznej walca otrzymanego w wyniku obrotu kwadratu o boku długości 5 m wokół boku. 2. Która bryła ma większą objętość: A walec powstały w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach 4 cm i 5 cm wokół prostej zawierającej dłuższy bok, czy B walec powstały w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach 4 cm i 5 cm wokół prostej zawierającej krótszy bok? Odpowiedź uzasadnij. 3. Pole powierzchni całkowitej walca o średnicy 6 cm i wysokości 9 cm wynosi: A. 90π cm 2 B. 81π cm 2 C. 108π cm 2 D. 72π cm 2 4. Z kostki sześciennej wycięto walec, którego podstawa jest kołem wpisanym w ścianę sześcianu (zob. rysunek). Jaki procent objętości sześcianu stanowi objętość wyciętego walca? Wynik podaj z dokładnością do 1%. Przyjmij, że π = 3, Wysokość i promień podstawy walca są równe 4. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Pole powierzchni całkowitej walca jest dwukrotnie większe od pola jednej podstawy. Objętość walca jest równa 128π. Pole przekroju osiowego walca jest równe 32. Pole powierzchni bocznej walca jest równe 32π. 6. Oblicz objętość walca o promieniu podstawy 8 cm i przekątnej przekroju osiowego 20 cm. 7. Promień podstawy walca o objętości 150π cm 3 i wysokości 3 cm ma długość: A. 5 2 cm B cm C. 50π cm D. 50 cm 8. Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej 12 2 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca. 9. Do menzurki w kształcie walca częściowo wypełnionej solanką dolano 0,27 litra wody. Poziom roztworu podniósł się o 10 cm. Oblicz średnicę menzurki. Przyjmij, że π 3. *10. Prostokąt o wymiarach 1 dm 5 dm obraca się dookoła prostej równoległej do jego krótszego boku i odległej od niego o 2 dm. Oblicz objętość otrzymanej bryły. Rozważ wszystkie przypadki. *11. Wnętrze naczynia ma kształt walca o promieniu podstawy 5 cm i wysokości 20 cm. Naczynie do połowy wypełniono wodą, a następnie na jego dnie postawiono metalowy walec o promieniu podstawy 2 cm i wysokości 11 cm. Czy cały ten walec jest zanurzony w wodzie? Odpowiedź uzasadnij.

6 Klasa 3. Stożek. 1. Objętość stożka o wysokości h i promieniu podstawy r obliczysz za pomocą wzoru: A. πr 2 h B. 2πrh C. 1 3 πr2 h D. πrl 2. Stożek o objętości 18 3π cm 3 i promieniu 3 cm ma wysokość: A. 2 cm B. 6 3 cm C cm D. 3 3 cm 3. Kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy wynosi 45, a długość promienia podstawy jest równa 3 cm. Oblicz objętość stożka. 4. Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem 60, promień podstawy stożka ma 6 3 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka. 5. Stożek o promieniu 6 cm i wysokości 2 3 ma pole powierzchni bocznej równe: A. 12 3π cm 2 B. 24 3π cm 2 C. 12( )π cm 2 D. 18 3π cm 2 6. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 12 cm. Oceń prawdziwość zdań. Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe 72π cm 2. Tworząca tego stożka jest równa średnicy podstawy. Objętość tego stożka jest równa 216 3π cm Kwadrat obracający się wokół prostej zawierającej jego przekątną wyznacza w przestrzeni bryłę o objętości 0,018π dm 3. Przekątna tego kwadratu jest równa: A. 0,6 dm B. 1,2 dm C. 0,3 2 dm D. 0,6 3 2 dm 8. Objętość 18 2π ma stożek o: A. promieniu podstawy 3 i wysokości 2 2 C. promieniu podstawy 3 i tworzącej 6 2 B. promieniu podstawy 3 2 i kącie rozwarcia 90 D. średnicy podstawy 6 i tworzącej 6 9. Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka na płaszczyźnie otrzymamy półkole o promieniu 20 cm. Oblicz objętość tego stożka. 10. Powierzchnię boczną stożka tworzy wycinek koła o polu 75π cm 2 i kącie środkowym 120. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka. 11. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu trapezu prostokątnego o podstawach 2 cm i 6 cm oraz wysokości 3 cm wokół dłuższej podstawy. *12. Oblicz objętość stożka ściętego przedstawionego na rysunku. *13. Przedstawiony na rysunku obok trapez równoramienny obracamy wokół dłuższej podstawy. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły. 2 cm 5 cm 8 cm

7 *14. Bryłę B 1 otrzymano, obracając trójkąt równoramienny o kącie między ramionami równym 120 wokół prostej zawierającej podstawę. Bryłę B 2 otrzymano, obracając taki sam trójkąt, ale wokół prostej równoległej do podstawy i przechodzącej przez przeciwległy wierzchołek. Która z tych brył ma większą objętość? Ile razy? *15. Wykaż, że objętość bryły powstałej poprzez obrót trójkąta prostokątnego równoramiennego wokół jego przyprostokątnej jest większa niż objętość bryły powstałej w wyniku obrotu tego samego trójkąta wokół jego przeciwprostokątnej. *16. Kiedy otrzymamy bryłę o większej objętości: obracając trójkąt prostokątny o kątach ostrych 30 i 60 wokół dłuższej przyprostokątnej czy wokół przeciwprostokątnej? Klasa 3. Kula. 1. Pole powierzchni kuli o promieniu 9 cm jest równe: A. 18π cm 2 B. 162π cm 2 C. 81π cm 2 D. 324π cm 2 2. Oblicz pole powierzchni kuli o promieniu 2,5 dm. 3. Czy do pudełka, którego wnętrze ma kształt walca o promieniu podstawy 10 cm i wysokości 16 cm, można całkowicie schować kulę o objętości 972π cm 3? Wybierz poprawną odpowiedź i jedno jej uzasadnienie. objętość walca jest większa od objętości kuli. TAK, NIE, ponieważ promień kuli jest mniejszy od wysokości walca. promień kuli jest większy od promienia podstawy walca. wysokość walca jest mniejsza od średnicy kuli. 4. Metalową kulę o średnicy 20 cm przetopiono na jednakowe stożki o promieniach 5 cm i wysokościach 4 cm. Ile takich stożków otrzymano? 5. Obracając się wokół prostej, ćwiartka koła (patrz rysunek) wyznaczyła w przestrzeni pewną bryłę. Objętość tej bryły wynosi: A π cm3 B π cm3 C π cm3 D. 125π cm 3 6. Pole koła wielkiego kuli K 1 jest równe 64π cm 2, a powierzchnia kuli K 2 jest równa 196π cm 2. Która kula ma większą objętość? 7. Czy kulę o objętości 36π cm 3 można przełożyć przez otwór o opisanym kształcie? Wstaw znak X w odpowiednią kratkę. Prostokąt o wymiarach 5 cm i 7 cm. TAK NIE Kwadrat o boku 6,5 cm. TAK NIE Trójkąt równoboczny o wysokości 10 cm. TAK NIE Koło o promieniu 2 cm. TAK NIE 8. Kulę przecięto płaszczyzną w odległości 8 cm od środka kuli i otrzymano koło o promieniu 6 cm. Oblicz pole powierzchni tej kuli.