X Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów. Etap II

Transkrypt

1 X rocławski Konkurs Matematczn dla uczniów klas I-III gimnazjów rok szkoln 04/05 Etap II Zadanie Uczniowie otrzmali z prac klasowej ocen,, 4 i 5. Ocen, i 5 ło tle samo, a czwórek ło więcej niż wszstkich pozostałch ocen. ięcej niż trójkę otrzmało mniej niż 0 uczniów. Ilu uczniów otrzmało trójkę, jeśli klasówkę pisało nie mniej niż uczniów. Zadanie trójkącie ok ma długość cm oraz ok ma długość cm. Gd na oku zaznaczono punkt D w odległości cm od wierzchołka, to okazało się, że miara kąta D jest dwa raz większa niż miara kąta. Olicz długość oku. Zadanie Maszna wkonuje daną pracę w czasie raz dłuższm niż maszn i pracujące jednocześnie. Maszna wkonuje tę pracę w czasie 5 raz dłuższm niż maszn i pracujące jednocześnie. Ile raz szciej wkona tę pracę maszna niż jednocześnie pracujące maszn i? Zadanie 4 ielokąt foremn o n okach nazwam krótko n-kątem foremnm. Funkcja f każdej liczie naturalnej n większej od przporządkowuje liczę wrażającą pole pierścienia kołowego ograniczonego okręgiem opisanm na n-kącie foremnm o oku długości, a okręgiem wpisanm w ten n-kąt. Uzasadnij, że funkcja f dla wszstkich argumentów przjmuje tę samą wartość. Zadanie 5. znacz wszstkie par (p,q) licz pierwszch spełniające równanie p =q +. Zadanie 6 Dan jest kąt o mierze 60 oraz punkt P leżąc wewnątrz tego kąta. Odległości punktu P od ramion tego kąta są równe a i. Udowodnij, że odległość punktu P od wierzchołka kąta jest równa a a.

2 Przkładowe rozwiązania Zadanie Uczniowie otrzmali z prac klasowej ocen,, 4 i 5. Ocen, i 5 ło tle samo, a czwórek ło więcej niż wszstkich pozostałch ocen. ięcej niż trójkę otrzmało mniej niż 0 uczniów. Ilu uczniów otrzmało trójkę, jeśli klasówkę pisało nie mniej niż uczniów. x licza trójek (dwójek, piątek), licza czwórek. Na podstawie warunków zadania otrzmujem: x x x 0 Licza x >, o w przeciwnm wpadku < 9 i 9 wkluczają się Z pierwszego i trzeciego równania wnika, że > x, zatem > 6. arunki x >, > 6 i x + < 0 spełniają licz x = i = 7 Odpowiedź: Dwóch uczniów otrzmało trójkę. Zadanie trójkącie ok ma długość cm oraz ok ma długość cm. Gd na oku zaznaczono punkt D w odległości cm od wierzchołka, to okazało się, że miara kąta D jest dwa raz większa niż miara kąta. Olicz długość oku. Oznaczm przez α miarę kąta. Miara kąta D jest równa α. Kąt D jako przległ do kąta D ma miarę 80 α i stąd miara kąta D jest równa: 80 (α + 80 α) = α = oraz D = a stąd długość odcinka D jest równa gdż: D = D = =.

3 Trójkąt D jest równoramienn, więc długość odcinka D też jest równa. Niech E ędzie wsokością trójkąta poprowadzoną z wierzchołka. Oznaczm: h = E oraz x = DE. ted E = x. Trójkąt E i DE są prostokątne więc z twierdzenia Pitagorasa wnika, że: h = ( x) oraz h = x. czli ( x) = x x = 4 h = x 5 h 4 Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta E oliczam długość oku : = (x + ) + h = 0 Odpowiedź: Długość oku jest równa 0. Zadanie Maszna wkonuje daną pracę w czasie raz dłuższm niż maszn i pracujące jednocześnie. Maszna wkonuje tę pracę w czasie 5 raz dłuższm niż maszn i pracujące jednocześnie. Ile raz szciej wkona tę pracę maszna niż jednocześnie pracujące maszn i? Oznaczm odpowiednio przez,, wdajności maszn, i. ówczas 5 ( 9 9 ( ) ) Odpowiedź: Maszna wkona pracę w czasie raz krótszm niż maszn i pracujące jednocześnie.

4 Zadanie 4 ielokąt foremn o n okach nazwam krótko n-kątem foremnm. Funkcja f każdej liczie naturalnej n większej od przporządkowuje liczę wrażającą pole pierścienia kołowego ograniczonego okręgiem opisanm na n-kącie foremnm o oku długości, a okręgiem wpisanm w ten n-kąt. Uzasadnij, że funkcja f dla wszstkich argumentów przjmuje tę samą wartość. n - licza naturalna większa od. Rozważm n-kąt foremn o oku długości., - dowolne dwa sąsiednie wierzchołki tego n-kąta. O - wspóln środek okręgu opisanego na n-kącie i okręgu wpisanego w ten n-kąt. R - promień okręgu opisanego na n-kącie. r - promień okręgu wpisanego w ten n-kąt. ówczas trójkąt o wierzchołkach O, jest trójkątem równoramiennm, w którm: O = O = R =. Promień r okręgu wpisanego w n-kąt foremn jest prostopadł do oku w punkcie stczności, więc promień ten stanowi wsokość trójkąta równoramiennego O. Niech M ędzie środkiem oku. ted OM = r. Trójkąt OM jest trójkątem prostokątnm, w którm przprostokątne mają długości OM = r, M = oraz przeciwprostokątna ma długość O = R. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OM wnika, że R r =. oec tego pole pierścienia ograniczonego okręgami opisanm i wpisanm w ten n-kąt jest równe: f(n) = πr πr = π(r r ) f(n) = π(r r ) Ponieważ R r =, otrzmujem: f(n) = π f(n) = π Z powższch oliczeń wnika, że pole pierścienia nie zależ od licz n i jest równe π. To oznacza, że funkcja f dla każdego argumentu n przjmuje tę samą wartość π.

5 Zadanie 5. znacz wszstkie par (p, q) licz pierwszch spełniające równanie p =q +. Rozwiązanie Licza q + jest liczą nieparzstą, więc licza p musi ć liczą nieparzstą. Przjmijm p = n +, gdzie n jest dodatnią licza całkowitą. ted p = 4n + 4n + = q +, skąd 4n + 4n = q n + n = q n(n + ) = q. Lewa strona ostatniej równości, jako iloczn dwóch kolejnch licz całkowitch, jest liczą parzstą, stad prawa strona tej równości też jest liczą parzstą. Zachodzi to tlko dla licz pierwszej q =. Dane w zadaniu równanie przjmuje więc postać p = + = 49, czli p = 7. Odpowiedź: Równanie spełnia tlko jedna para licz pierwszch: (p, q) = (7, ). Zadanie 6 Dan jest kąt o mierze 60 oraz punkt P leżąc wewnątrz tego kąta. Odległości punktu P od ramion tego kąta są równe a i. Udowodnij, że odległość punktu P od wierzchołka kąta jest równa a a. Rozwiązanie Niech ędzie punktem przecięcia prostej P i ramienia S kąta. Trójkąt S jest połową trójkąta równoocznego. Trójkąt P także jest połową trójkąta równoocznego, stąd P = a. Zatem = a + a S Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta PS otrzmujm x S To kończ dowód. a 4a 4 ( ) a a