ψ x < a/2 2mE ψ x > a/2

Transkrypt

1 Studnia prostok tna - stany zwi zane Szukaj c stanów zwi zanych w studni prostok tnej wygodnie jest umie±ci j symetrycznie wzgl dem x = 0, gdy» wiadomo wtedy,»e funkcje falowe musz by parzyste lub nieparzyste. Przyjmujemy zatem potencjaª V 0 x < a/ V (x) = 0 x > a/ gdzie a > 0 i V 0 > 0 s szeroko±ci i gª boko±ci studni. Równanie Schrödingera przybiera posta : dx = m(e+v 0) ψ x < a/ me ψ x > a/ Poszukujemy stanów zwi zanych, czyli o energiach V 0 < E < 0. Wprowadzamy nast puj ce oznaczenia dobrane tak, aby dla rozwa»anych energii wyra»enia podpierwiastkowe byªy dodatnie: mv0 K = k = me m(e + V0 ) κ = (1) Wida,»e: k + κ = K () W j zyku tych oznacze«równanie Schrödingera wygl da nast puj co: dx = κ ψ x < a/ k ψ x > a/ Jego ogólnym rozwi zaniem znikaj cym w ±, jest Le kx x < a/ C cos κx + S sin κx a/ < x < a/ Re kx a/ < x (3) Szukamy najpierw stanów parzystych. Funkcj parzyst postaci (3) mo»na zapisa jako: C cos κx x < a/ Ae k x x > a/ Pochodn tej funkcji jest: dx = κc sin κx x < a/ ksgn(x)ae k x x > a/ Zauwa»my,»e wystarczy speªni warunki zszycia funkcji i pochodnej w a/, gdy» w a/ b d one automatycznie speªnione ze wzgl du na parzysto±. Warunki te s nast puj ce: C cos κa/ = Ae ka/ κc sin κa/ = kae ka/ Podstawiaj c po prawej stronie drugiego równania zamiast Ae ka/ lew stron pierwszego równania dostajemy po prostych przeksztaªceniach warunek kwantyzacji ka = κa κa tan

2 Jest on o tyle niewygodny,»e zarówno k jak i κ s niewiadome, bo zale» od E. Wyra»aj c ze zwi zku () k przez κ i znane K dostajemy (Ka ) ( κa ) κa κa = tan (4) Jest to ju» równanie na jedn niewiadom κ. Szukaj c rozwi za«nieparzystych post pujemy analogicznie. Funkcja falowa ma posta : S sin κx x < a/ sgn(x)ae k x x > a/ za± jej pochodna dx = κs cos κx x < a/ kae k x x > a/ W pochodnej dla x > a/ pomin li±my delt Diraca δ(x) pojawiaj c si z ró»niczkowania sgn(x), poniewa» jest ona osadzona poza przedziaªem x > a/. Warunki zszycia w a/ to S sin κa/ = Ae ka/ κs cos κa/ = kae ka/ co prowadzi do czyli (Ka ) ka = κa κa cot ( κa ) κa κa = cot (5) Warunki kwantyzacji (4,5) dane s równaniami przest pnymi, czyli nie da si ich rozwi za analitycznie. Zilustrujemy ich rozwi zania gracznie wykre±laj c obie strony ka»dego warunku w funkcji κa/ i patrz c, kiedy ich wykresy si przecinaj. Z denicji (1) wielko± κa/ jest nieujemna, podobnie jak lewa strona obu warunków, równa ka/. Nale»y wi c patrze tylko na przeci cia w pierwszej wiartce ukªadu wspóªrz dnych, pami taj c te»,»e κa/ zmienia si od 0 do Ka/. Odpowiedni rysunek jest nast puj cy: 3/ n = 0 n = 1 n = n = 3 Wartość funkcji / 0 0 / Ka/ 3/ κa/

3 Wykresem lewej strony warunków (4,5) jest oczywi±cie wiartka okr gu o promieniu Ka/. Wykresy prawych stron narysowane zostaªy lini ci gªa dla stanów parzystych i przerywan dla nieparzystych. Kolejne gaª zie tych wykresów i odpowiadaj ce im poziomy energetyczne numerujemy liczb kwantow n = 0,,... dla stanów parzystych i n = 1, 3,... dla nieparzystych, jak zaznaczono na rysunku. Zgodnie z denicj (1) energia jest rosn c funkcj κa/. Z rysunku wida zatem,»e stanem podstawowym jest stan parzysty o n = 0, potem nast puje stan nieparzysty o n = 1 itd. Wida,»e liczba stanów zwi zanych zale»y od promienia okr gu, czyli Ka/. Stan podstawowy istnieje zawsze, czyli niezale»nie od szeroko±ci i gªeboko±ci studni. Stan o danej liczbie kwantowej n istnieje dla Ka/ n/, czyli n Ka Dla danego K liczba kwantowa n najwy»szego stanu jest zatem cz ±ci caªkowit Ka/, czyli liczba stanów zwi zanych N = n + 1 wynosi ( ) Ka N = 1 + Entièr Studnia prostok tna - rozpraszanie Rozwa»aj c rozpraszanie na studni prostok tnej fali padaj cej z lewej strony wygodnie jest umie- ±ci lew ±cian studni w x = 0, gdy» upraszcza to warunki zszycia na tej ±cianie. Przyjmujemy wi c potencjaª V 0 0 < x < a V (x) = 0 w pozostaªych punktach gdzie a > 0 i V 0 > 0 s szeroko±ci i gª boko±ci studni. Równanie Schrödingera przybiera posta dx = m(e+v 0) ψ 0 < x < a me ψ w pozostaªych punktach Poszukujemy stanów rozproszeniowych, czyli o energiach E > 0. Wprowadzamy nast puj ce oznaczenia dobrane tak, aby dla rozwa»anych energii wyra»enia podpierwiastkowe byªy dodatnie: mv0 me m(e + V0 ) K = k = κ = (6) Wida,»e κ k = K W j zyku tych oznacze«równanie Schrödingera zapisuje si jako dx = κ ψ 0 < x < a k ψ w pozostaªych punktach Jego rozwi zania opisuj ce rozpraszanie fali nadbiegaj cej z lewej strony maj posta e ikx + re ikx x < 0 C cos κx + S sin κx 0 < x < a te ikx a < x

4 Funkcj wewn trz studni przyj li±my w postaci trygonometrycznej, a nie wykªadniczej, gdy» upraszacza to warunki zszycia w x = 0. Pochodn tej funkcji jest ik(e ikx re ikx ) x < 0 dx = κ( C sin κx + S cos κx) 0 < x < a ikte ikx a < x Warunki zszycia odpowiednio funkcji i pochodnej w x = 0 oraz x = a s nast puj ce. W x = 0: W x = a: 1 + r = C ik(1 r) = κs (7) C cos κa + S sin κa = te ika κ( C sin κa + S cos κa) = ikte ika (8) Z (7) wyznaczamy C oraz S i wstawiamy do równa«(8), które przyjmuj posta (1 + r) cos κa + ik κ (1 r) sin κa = teika (9) κ( (1 + r) sin κa + ik κ (1 r) cos κa) = ikteika (10) Nast pnie po prawej stronie (10) zamiast te ika podstawiamy lew stron (9) i otrzymujemy κ ( (1 + r) sin κa + ikκ ) (1 r) cos κa = ik ((1 + r) cos κa + ikκ ) (1 r) sin κa (11) Mno»ymy to równanie przez κ, przenosimy wyrazy z r na jedn, a wyrazy bez r na drug stron i dostajemy st d wspóªczynnik odbicia r = (κ k ) sin κa (κ + k ) sin κa + iκk cos κa Podstawiaj c go do (9) wyliczamy wspóªczynnik transmisji t = e ika iκk (κ + k ) sin κa + iκk cos κa Pr d fali padaj cej, odbitej i przepuszczonej wynosi odpowiednio j i = k m j r = k m r j t = k m t Prawdopodobie«stwa odbicia i transmisji s zatem równe [ ( K R = 1 + κk ) ] 1 [ ( ) K ] 1 sin κa T = 1 + sin κa κk

5 Studnia delta Diraca - stany zwi zane Potencjaª studni delta Diraca ma posta V (x) = gδ(x) gdzie g > 0. Równanie Schrödingera mo»na zatem zapisa nast puj co: dx = me mg ψ(x) δ(x)ψ(x) Szukamy stanów zwi zanych, czyli o energiach E < 0. Wprowadzamy oznaczenia k = me K = mg (1) dobrane tak, aby wyra»enie podpierwiastkowe oraz K byªy dodatnie. W j zyku tych oznacze«równanie Schrödingera przyjmuje posta dx = k ψ(x) Kδ(x)ψ(x) (13) Poniewa» delta znika wsz dzie poza zerem, wi c dla x < 0 oraz x > 0 w równaniu Schrödingera zostaje tylko pierwszy czªon i jego rozwi zaniami znikaj cymi w ± s funkcje Le kx x < 0 (14) Re kx 0 < x Wida st d,»e w studni delta Diraca nie ma stanów nieparzystych. Funkcje nieparzyste postaci (14) s bowiem nieci gªe w zerze, czyli nie s dobrymi funkcjami falowymi. Przechodzimy wi c do stanów parzystych. Funkcj parzyst postaci (14) mo»na zapisa jako Ae k x (15) Chcemy teraz podstawi t funkcj do równania Schrödingera (13) aby zobaczy, kiedy speªnia ona to równanie. eby to zrobi, obliczmy najpierw kolejne wyrazy tego równania. Liczymy najpierw drug pochodn, dx = kasgn(x)e k x a nast pnie Podstawiaj c (15,16,17) do (13) otrzymujemy dx = ka(δ(x) k)e k x (16) δ(x) ψ(0)δ(x) = Aδ(x) (17) ka(δ(x) k)e k x = k Ae k x KAδ(x) Wyrazy bez delty upraszczaj si, za± przyrównuj c wspóªczynniki przy delcie po lewej i prawej stronie otrzymujemy warunek kwantyzacji k = K/ W studni delta Diraca stnieje zatem tylko jeden, parzysty stan zwi zany. Korzystaj c z denicji (1) znajdujemy jego energi E = mg