Motywacja symetria jako zjawisko powszechne w przyrodzie uwzględnienie symetrii układu fizycznego upraszcza obliczenia jego właściwości ogranicza

Transkrypt

1 Motywacja symetria jako zjawisko powszechne w przyrodzie uwzględnienie symetrii układu fizycznego upraszcza obliczenia jego właściwości ogranicza klasę rozwiązań problemu do tych o określonej symetrii teoria grup matematyczny opis symetrii

2 Wstęp do teorii grup - podstawowe definicje i twierdzenia

3 Grupa G zbiór elementów {X i } z działaniem, posiadający określone własności: wynik działania na elementach grupy też jest elementem grupy (zamknięcie) istnieje element neutralny E dla każdego elementu grupy X i istnieje element -1 odwrotny X i działanie jest łączne Rząd grupy g liczba różnych elementów grupy.

4 Klasyfikacja grup ze względu na rząd grupy: skończone i nieskończone ze względu na przemienność działania: abelowe (przemienne) i nieabelowe Tabela działania w pierwszych: wierszu i kolumnie zawiera elementy grupy, a na przecięciu wynik działania między danymi elementami grupy; jeśli jest niesymetryczna, to grupa jest nieabelowa; każdy element grupy występuje w każdym wierszu i kolumnie dokładnie raz. Dwie grupy równoliczne są równoważne, jeśli między ich elementami występuje odpowiedniość jeden do jednego (izomorfizm), a ich tabliczki działań są identyczne.

5 Przykłady grup liczby całkowite z dodawaniem (nieskończona) wynik dodawania jest liczbą całkowitą element neutralny 0 element odwrotny do a (-a) dodawanie jest łączne i przemienne (grupa abelowa) liczby rzeczywiste dodatnie z mnożeniem (nieskończona) wynik mnożenia jest liczbą rzeczywistą dodatnią element neutralny 1 element odwrotny do a a -1 mnożenie jest łączne i przemienne (grupa abelowa)

6 Operacja symetrii przekształcenie, względem którego obiekt jest niezmienniczy (przechodzi sam w siebie) Elementy symetrii: n-krotne osie obrotu C n (obroty o kąt 2π/n) płaszczyzny odbicia σ σ h płaszczyzna do osi najwyższej symetrii σ v płaszczyzna przechodząca przez oś najwyższej symetrii σ h płaszczyzna przechodząca przez oś symetrii i dwusieczną kąta między osiami dwukrotnymi do tej osi

7 Elementy symetrii (cd.): osie inwersyjne S n (obroty niewłaściwe o kąt 2π/n) inwersje I translacje t n (prymitywne o wektory będące liniowymi kombinacjami wektorów sieciowych) osie śrubowe C n k (obrót + translacja ułamkowa o k/n wektora sieci) płaszczyzny poślizgu σ g (odbicie + translacja do jego płaszczyzny)

8 Elementy symetrii różne notacje element symetrii oś obrotu płaszczyzna odbicia inwersja oś inwersyjna translacja ośśrubowa płaszczyzna poślizgu Schönfliesa Cn σh,σv, σh I Sn tn Cn k σ g międzynarodowa n=1, 2, 3, 4, 6 m 1 n =1, 2, 3, 4, 6 tn nk a, b, c, n, d

9 Przykład grupa operacji symetrii trójkąta równobocznego D 3 działanie składanie przekształceń wykonywanie ich jedno po drugim elementy grupy: element neutralny obrót o 0º - E obroty o ±120º względem osi l C 3 obroty o ±180º względem każdej z wysokości trójkąta C 2 grupa nieabelowa skończona o rzędzie g = 6 obroty wokół tej samej osi, ale w przeciwnych kierunkach są elementami odwrotnymi

10 Przykład składanie przekształceń operacje symetrii trójkąta równobocznego obrót względem środka trójkąta o 120º C 3 odbicie względem płaszczyzny do płaszczyzny trójkąta i przechodzącej przez jego środek oraz wierzchołek i σ d (i) 3 σ d (1)σ d (2)= C 3 d d

11 Podgrupa podzbiór elementów grupy, który tworzy grupę z tym samym działaniem właściwa nie zawsze istnieje niewłaściwa element neutralny E, cała grupa G Przykład: grupa: liczby całkowite z dodawaniem podgrupa właściwa: liczby naturalne i {0} z dodawaniem podgrupy niewłaściwe: {0}, liczby całkowite

12 Podział grupy na klasy jest jednoznaczny. Elementy sprzężone dwa elementy grupy X i i X j nazywamy sprzężonymi, jeśli istnieje taki element grupy X k, że: X k -1 X i X k = X j Element samosprzężony: X k -1 X i X k = X i Element neutralny E jest zawsze elementem samosprzężonym. Klasa C i podzbiór elementów grupy sprzężonych ze sobą; elementy samosprzężone tworzą jednoelementowe klasy.

13 Przykład Klasy grupy symetrii trójkąta równobocznego: C 1 = {obrót o 0º} C 2 = {obroty o ±120º względem osi l} C 3 = {obroty o ±180º względem każdej z wysokości trójkąta} uwaga: geometrycznie dwie operacje symetrii należą do tej samej klasy, gdy istnieje taki układ współrzędnych, w którym jedna operacja może być zastąpiona drugą

14 Reprezentacja grupy każdy zbiór elementów, które spełniają tabliczkę działania danej grupy, np. zbiór macierzy kwadratowych Γ α z mnożeniem macierzy. Grupa jest pojęciem abstrakcyjnym, a reprezentacja jego konkretną realizacją. Γ α (X i ) macierz reprezentująca element X i grupy G istnieje nieskończenie wiele reprezentacji danej grupy wszystkie macierze danej reprezentacji mają ten sam wymiar n α (wymiar reprezentacji) jeśli Γ α jest reprezentacją grupy G, to wszystkie macierze podobne uzyskane poprzez transformację ortogonalną X -1 Γ α X też są reprezentacjami grupy G (X macierz nieosobliwa)

15 Reprezentacja redukowalna (przywiedlna) macierze reprezentujące poszczególne elementy grupy dają się przekształcić do takiej samej postaci blokowodiagonalnej. redukcja reprezentacji redukowalnej Γ poprzez transformację podobieństwa (S macierz nieosobliwa) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ Γ Γ = Γ i i i i X X X S X S γ β α

16 Z mnożenia macierzy wynika, że tylko podmacierze w tym samym miejscu są związane - tworzą one reprezentację nieredukowalną (nieprzywiedlną). ilość różnych reprezentacji nieredukowalnych danej grupy jest równa ilości klas Σ i d i 2 =g d i wymiar i-tej reprezentacji i indeks klasy każda grupa ma trywialną nieredukowalną reprezentację Γ 1 - wszystkie elementy reprezentowane są jako 1 (liczby są niezmiennicze względem dowolnej operacji symetrii) reprezentacją elementu neutralnego jest macierz jednostkowa

17 Generowanie reprezentacji wybieramy pewną funkcję f(x,y,z) działamy na nią wszystkimi i operacjami symetrii X i grupy G i uzyskujemy w ten sposób zbiór funkcji {f i } X i [f]= f i z własności grupy: wynik działania na elementach grupy też jest elementem grupy wynik działania operacji symetrii na funkcję ze zbioru {f i } musi być liniową kombinacją funkcji zbioru {f i } X[f i ]=Σ j a ji f j

18 Generowanie reprezentacji współczynniki a ji tworzą kwadratową macierz przejścia zbiór macierzy przejścia {a ji } dla wszystkich operacji symetrii grupy G tworzy jej reprezentację funkcje {f i } generujące tę reprezentację nazywamy jej funkcjami bazowymi znając jedną reprezentację możemy inną, równoważną do niej reprezentację wygenerować transformacją podobieństwa: A =T -1 AT uwaga: wybór reprezentacji nieredukowalnej, ani funkcji bazowych nie jest jednoznaczny

19 Charakter ślad macierzy reprezentacji. χ α (X i ) = Tr Γ α (X i ) = Σ j Γ α (X i ) jj charaktery są identyczne dla wszystkich równoważnych nieredukowalnych reprezentacji Tr Γ α (X i ) = TrS -1 Γ α (X i )S S dowolna macierz nieosobliwa tabela charakterów zbiór charakterów wszystkich nierównoważnych nieredukowalnych reprezentacji (kolumny: klasy, wiersze: reprezentacje), tablica kwadratowa elementy sprzężone mają takie same charaktery

20 Charaktery reprezentacji nieredukowalnych charakter elementu neutralnego = wymiar reprezentacji dwie reprezentacje są równoważne, gdy mają równe charaktery charaktery reprezentacji nieredukowalnych tworzą zbiór wektorów ortogonalnych tabele charakterów wyznacza się wykorzystując związki ortogonalności oraz relacje grupowe (tabliczkę mnożenia grupy)

21 Relacje ortogonalności dla dwóch nieredukowalnych reprezentacji Γ α i Γ β Σ i Γ α (X i ) kp Γ β (X i -1 ) ql =(g/n α )δ αβ δ kl δ pq δ αβ = 0 gdy reprezentacje nie są równoważne 1 gdy są identyczne 0, ale nieokreślone, jeśli są równoważne Σ k χ i *(C k )χ j (C k )N k =gδ ij Σ i χ i *(C k )χ i (C l ) =(g/n l )δ kl gdzie: N k liczba elementów klasy C k

22 Rozkład reprezentacji redukowalnej na reprezentacje nieredukowalne reprezentacja redukowalna Γ jest sumą prostą reprezentacji nieredukowalnych Γ α Γ = Σ α p α Γ α p α = (1/g) Σ i χ(x i )χ*(x i ) z relacji ortogonalności ile razy p α dana nieredukowalna reprezentacja Γ α występuje w danej reprezentacji redukowalnej Γ

23 Iloczyn prosty (produkt) dwóch reprezentacji Γ α ( X ) Γ ( X ) i β i Γ = Γ α α ( X ) Γ ( X ) i ( X ) Γ ( X ) i 11 n α 1 β β i i... Γα i Γ α ( X ) Γ ( X ) ( X ) Γ ( X ) i n n α α n α β β i i wymiar produktu: n β n α produkt dwóch reprezentacji nieredukowalnych może być reprezentacją redukowalną lub nieredukowalną związek między charakterami: χ(γ α Γ β ) = χ α χ β

24 Rozkład produktów nieredukowalnych reprezentacji (relacje zgodności) Γ α Γ β = Σ γ g αβγ Γ γ g αβγ = (1/g)Σ i χ α (X i )χ β (X i )χ γ *(X i ) gdzie: Γ α, Γ β, Γ γ reprezentacje nieredukowalne g rząd grupy X i element grupy χ α, χ β, χ γ - charaktery reprezentacji nieredukowalnych

25 Kryterium nieredukowalności reprezentacji Σ i χ α (X i ) 2 = g reprezentacja grupy jest także reprezentacją każdej z podgrup nieredukowalna reprezentacja grupy może być redukowalną lub nieredukowalną reprezentacją podgrupy dla grup skończonych istnieje skończona liczba nierównoważnych nieredukowalnych reprezentacji

26 Przykład Wyznaczenie tabeli charakterów dla grupy symetrii T d grupa symetrii czworościanu foremnego 24 elementy symetrii 5 klas: operacja tożsamościowa {E} 6 osi czterokrotnych {6S 4 } 8 osi trzykrotnych {8C 3 } 3 osie dwukrotne {3C 2 } 6 płaszczyzn zwierciadlanych {6σ} nie ma inwersji I

27 Przykład cd. podział na klasy - obroty o ten sam kąt wokół równoważnych osi - odbicia względem równoważnych płaszczyzn wyznaczenie liczby nieredukowalnych reprezentacji grupa symetrii T d ma 5 nieredukowalnych reprezentacji oznaczanych: Γ 1, Γ 2, Γ 3, Γ 4 i Γ 5 (liczba nieredukowalnych reprezentacji = liczba klas grupy symetrii) tabela charakterów 5x5 (z relacji ortogonalności)

28 Przykład cd. Określenie wymiarów nieredukowalnych reprezentacji Σ i χ i *(C k )χ i (C l )=(g/n l )δ kl ortogonalność χ i (E) = wymiar reprezentacji N(E)=1 Σ i χ i (E) 2 =g =24 dwie reprezentacje 1D: Γ 1, Γ 2 jedna reprezentacja 2D: Γ 3 dwie reprezentacje 3D: Γ 4, Γ 5 zawsze istnieje reprezentacja trywialna (skalar jest inwariantny względem dowolnej operacji symetrii) wszystkie charaktery równe jedności - Γ 1 (umowa)

29 Przykład cd. Tabela charakterów T d {E} {3C 2 } {6S 4 } {6σ} {8C 3 } 1 1 Γ Γ 2 Γ 3 2 Γ 4 3 Γ 5 3

30 Przykład cd. Wyznaczenie pozostałych charakterów, charaktery dodatnie lub ujemne (poza klasą {E}) Σ i χ i *(C k )χ i (C l ) =(g/n l )δ kl kolumny tabeli {6σ} =24/6=4 {3C 2 } =24/3=8 {6S 4 } =24/6=4 {8C 3 } =24/8=3 Σ k χ i *(C k )χ j (C k )N k =gδ ij wiersze tabeli Γ =24 Γ =24 Γ =24 Γ =24

31 Przykład cd. Tabela charakterów T d {E} {3C 2 } {6S 4 } {6σ} {8C 3 } Γ Γ Γ Γ Γ

32 Przykład cd. Funkcje bazowe nieredukowalnych reprezentacji T d Γ1 Γ2 Γ3 Γ4 Γ5 symetrie funkcji bazowej pełna grupa symetrii antysymetryczna ze względu na S4 i σ, zmiana znaku przy zamianie dwóch dowolnych współrzędnych symetryczna ze względu na S4 i σ symetryczna ze względu na S4 i σ antysymetryczna ze względu na S4 i σ przykład funkcji bazowej stała/xyz x 4 (y 2 -z 2 )+y 4 (z 2 -x 2 )+ +z 4 (x 2 -y 2 ) {(x 2 -y 2 ), z 2-0,5 (x 2 +y 2 )} {x(y 2 -z 2 ),y(z 2 -x 2 ),z(x 2 -y 2 )} {x, y, z}

33 Związek teorii grup z hamiltonianem

34 Symetrie układów fizycznych operacje symetrii względem których układ jest niezmienniczy tworzą grupę elektrony w krysztale poruszają się w polu wytworzonym przez atomy zjonizowane i pozostałe elektrony, potencjał tego pola ma tę samą symetrię, co kryształ (bez uwzględnienia drgań termicznych jonów) grupa translacji nieskończona grupa abelowa, tylko dla nieskończonych układów uporządkowanych (kryształ), wszystkie nieredukowalne reprezentacje 1D, każdy jej element jest samosprzężony i stanowi klasę

35 Symetrie układów fizycznych grupa punktowa co najmniej 1 punkt bez zmian odbicia względem płaszczyzn obroty wokół osi inwersja 32 grupy punktowe w 3D grupa przestrzenna = translacje + grupa punktowa 230 różnych grup przestrzennych w 3D Grupa przestrzenna jest symmorficzna, gdy grupa punktowa jest jej podgrupą (nie zawiera płaszczyzn poślizgu ani osi śrubowych).

36 Grupa hamiltonianu = grupa symetrii układu w mechanice kwantowej z każdą operacją symetrii X i związany jest operator P(X i ) operator P(X i ) komutuje z hamiltonianem układu H istnieje wspólna baza funkcji własnych P(X i ) i H - {Ψ αj }, gdzie j=1,2,,m, a m stopień degeneracji dowód: HΨ αj =E α Ψ αj P(X i )HΨ αj =HP(X i )Ψ αj =P(X i )E α Ψ αj =E α P(X i )Ψ αj liczba komutuje z każdym operatorem [P(X i ),H]=0 HP(X i )Ψ αj =E α P(X i )Ψ αj

37 Grupa hamiltonianu jeśli Ψ αj jest funkcją własną H z wartością własną E α, to P(X i )Ψ αj też jest jego funkcją własną i odpowiada tej samej wartości własnej {Ψ αj } zbiór wszystkich funkcji własnych, więc funkcje {P(X i )Ψ αj } muszą być liniowymi kombinacjami funkcji {Ψ αj } P(X i )Ψ αk = Σ j Γ α (X i ) jk Ψ αj

38 Grupa hamiltonianu operacja symetrii X i i wszystkie funkcje Ψ αk niezdegenerowana wartość własna E α (m=1) grupa symetrii macierz wpółczynników Γ α (X i ) jk liczba o module 1 (w ogólności zespolona) zbiór macierzy Γ α (X i ) nieredukowalna reprezentacja grupy hamiltonianu

39 Degeneracja przypadkowa jeśli uzyskana w ten sposób reprezentacja jest redukowalna, to mamy do czynienia z degeneracją przypadkową - tak naprawdę opisywane nią wartości własne są różne, ale odpowiadające im funkcje własne są równe dla pewnego specyficznego zbioru wartości parametrów zniesienie degeneracji przypadkowej zmiana wartości parametrów hamiltonianu bez zmiany jego symetrii

40 Grupa hamiltonianu Wartości własne hamiltonianu H - E α oraz związane z nimi funkcje własne {Ψ αj } możemy klasyfikować nieredukowalnymi reprezentacjami Γ α grupy symetrii hamiltonianu H. Mówimy, że wartość własna E α ma symetrię Γ α lub że funkcje własne {Ψ αj } transformują się zgodnie z Γ α. uwaga: układy fizyczne mają nieskończoną liczbę stanów, więc nieredukowalne reprezentacje będą pojawiały się wiele razy (grupa symetrii jest skończona)

41 Grupa hamiltonianu jeśli H jest niezmienniczy względem operacji symetrii grupy G, to jego funkcje własne transformują się jak nieredukowalne reprezentacje tej grupy układ wszystkich liniowo niezależnych funkcji własnych {Ψ αj } należących do wartości własnej E α hamiltonianu H tworzy bazę reprezentacji grupy symetrii G każdą funkcję inwariantną względem pewnej grupy symetrii można rozłożyć na funkcje bazy reprezentacji nieredukowalnych tej grupy symetrii

42 Relacje zgodności liczba reprezentacji nieredukowalnych = liczba funkcji falowych o różnej symetrii określają, jakiego rodzaju symetrie funkcji falowych są zgodne, czyli należą do tego samego pasma energetycznego na wybranej osi symetrii w strefie Brillouina wyrażają warunek ciągłości funkcji falowych i energii dla różnych punktów wewnątrz strefy Brillouina suma charakterów reprezentacji zgodnych wzdłuż wybranej osi = charakter reprezentacji w punktach końcowych

43 Uwzględnienie spinu (istotne dla stanów elektronowych) spin nie ma reprezentacji w przestrzeni rzeczywistej translacje nie wpływają na spin D 1/2 opisuje zachowanie cząstek ze spinem pod wpływem operacji grupy punktowej grupa H = grupa punktowa D 1/2 Ψ αj =Φ αj s część przestrzenna funkcji falowej część spinowa funkcji falowej

44 Ważne grupy punktowe w fizyce półprzewodników (32 różne grupy punktowe w 3D) Grupy punktowe opisują stany własne H w punkcie Γ strefy Brillouina (k = 0). grupa symetrii sześcianu O h struktura diamentu (Si, Ge, α-sn) grupa symetrii czworościanu foremnego (tetraedru) T d struktura blendy cynkowej (GaAs, InAs, InSb, GaSb) grupa symetrii ośmiościanu foremnego (oktaedru) - C 6v struktura wurcytu (GaN, CdS, ZnS, ZnO)

45 takie same jak dla Td Grupa symetrii O h grupa symetrii sześcianu produkt T d i inwersji 48 elementów symetrii 10 klas: operacja tożsamościowa {E} osie dwukrotne [100] {3C 2 } obroty niewłaściwe wokół osi [100] {6S 4 } odbicia względem płaszczyzn (110) {6σ d } osie trzykrotne [111] {8C 3 }

46 Grupa symetrii O h klasy elementów symetrii (cd.): inwersja {I} odbicia względem płaszczyzn (100) {3σ h } osie czterokrotne [100] {6C 4 } osie dwukrotne [110] {6C 2 } obroty niewłaściwe wokół osi [111] {8S 3 }

47 Nieredukowalne reprezentacje grupy symetrii O h w punkcie Γ strefy Brillouina wymiar Cn, Cn k I σd, Sn Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ

48 Grupa symetrii C 6v grupa symetrii ośmiościanu foremnego 12 operacji symetrii 6 klas: operacja tożsamościowa {E} oś dwukrotna {C 2 } oś trzykrotna {2C 3 } oś sześciokrotna {2C 6 } płaszczyzna odbiciowa {3σ d } płaszczyzna odbiciowa {3σ v }

49 Nieredukowalne reprezentacje grupy symetrii C 6v w punkcie Γ strefy Brillouina wymiar Cn, Cn k I σd, Sn Γ Γ Γ Γ Γ Γ 6 2 -

50 Zastosowanie teorii grup w fizyce półprzewodników

51 Przykłady zastosowań teorii grup w fizyce półprzewodników opis struktury pasmowej półprzewodników (klasyfikacja stanów elektronowych) klasyfikacja drgań sieci reguły wyboru dla przejść optycznych rozszczepienie poziomów energetycznych pod wpływem zewnętrznych zaburzeń obniżających symetrię uwaga: różne notacje dla różnych zagadnień (międzynarodowa, Schönfliesa, Kostera, BSW, cząsteczkowa)

52 Zastosowania teorii grup zalety wiele istotnych informacji i wniosków bez konieczności rozwiązywania równania Schrödingera - znajomości jawnej postaci E α, {Ψ αj }, ani nawet Γ α (X i ) jk, a jedynie ich symetrii wady tylko jakościowe rezultaty (pozwala stwierdzić, czy efekt istnieje, a nie jaki jest silny) określenie symetrii i degeneracji pasm, ale nie ich kolejności

53 Symetria pasm moment pędu nie jest dobrą liczbą kwantową do opisu symetrii pasm w półprzewodnikach dobrymi wielkościami są nieredukowalne reprezentacje grupy symetrii hamiltonianu teoria grup nie daje informacji, ani o wielkości rozszczepienia, ani o kolejności pasm przybliżenie ciasnego wiązania pasma niosą informację o symetrii orbitali atomowych, z których powstały

54 Przykład materiał: CdS symetria kryształu w punkcie Γ: C 6v pasmo walencyjne: 3p (S 2- ) D 3/2 Γ 7 Γ 9 D 1/2 Γ 7 pasmo przewodnictwa: 5s (Cd 2+ ) D 1/2 Γ 7 wniosek: trzy poziomy tworzą pasmo walencyjne (rozszczepienie spin-orbita + pole krystaliczne o symetrii heksagonalnej)

55 Symetria pasm symetria kryształu symetria sieci prostej symetria strefy Brillouina symetria pasm translacyjna niezmienniczość H wartości i funkcje własne można numerować wektorami k (K m - wektor sieci odwrotnej) ( ) ψ = ψ k, r ( ) ( ) ψ k, r =ψ k + Km, r () ( ) ( ) E E k E k, r = E k + K, r n = n n n m

56 Symetria pasm twierdzenie Kramersa * ψ k, r = ψ k, r = ψ k, r, bo : ( ) ( ) ( ) H = H * () ( ) = E k E k E n (k) ma w strefie Brillouina pełną symetrię grupy punktowej, nawet jeśli sieć nie jest niezmiennicza względem niektórych jej operacji α E n ( ) ( ) k = E α k uwzględnienie spinu, symetria odwrócenia czasu ψ n ( ) ( ) k, r, = ψ k, r, ( ) ( ), = E k, E k

57 Rozszczepienie poziomów energetycznych pod wpływem zaburzenia rachunek zaburzeń stopień degeneracji wymiar poziomów = reprezentacji energetycznych nieredukowalnych małe stacjonarne zaburzenie H = H 0 + H zab niezaburzony hamiltonian o niezdegenerowanych wartościach własnych E 0 0 n i funkcjach własnych Ψ n energie i funkcje własne zaburzonego hamiltonianu H E n = E 0 n + ψ 0 n H zab ψ 0 n ψ n = ψ 0 n + k n ψ 0 k H E zab 0 n ψ E 0 n 0 k ψ 0 k

58 Rozszczepienie poziomów energetycznych pod wpływem zaburzenia stany zdegenerowane równanie wiekowe det 0 0 ψ n, i H zabψ n, j Eδij = 0 zaburzenie może obniżać symetrię układu podgrupa symetrii układu niezaburzonego, reprezentacja grupy może być dla podgrupy: nieredukowalna przesunięcie poziomów, bez rozszczepienia redukowalna rozszczepienie na tyle poziomów, z ilu reprezentacji nieredukowalnych się ona składa

59 Informacje uzyskane dzięki teorii grup niezerowe elementy macierzowe czy zaburzenie oddziałuje na układ? mieszanie stanów zmiana energii układu rozszczepienie poziomów energetycznych (relacje zgodności) ale: degeneracja przypadkowa nie wiadomo, jak silny jest efekt

60 Przykład symetria kryształu: C 6v zaburzenie: pole elektrostatyczne prostopadłe do osi c kryształu symetria zaburzenia: Γ 5 symetria stanu początkowego: Γ 5 na podstawie relacji zgodności: Γ 5 = Γ 1 Γ 2 wniosek: poziom ulegnie rozszczepieniu na dwa podpoziomy o symetriach Γ 1 i Γ 2

61 Symetria złożonych funkcji falowych (będącej produktem funkcji cząstkowych) Ψ całk =Φ 1 Φ 2 Φ n reprezentacja pełnej funkcji falowej jest produktem nieredukowalnych reprezentacji funkcji cząstkowych Γ całk = Γ 1 Γ 2 Γ n nieredukowalna lub redukowalna rozkład produktów nieredukowalnych reprezentacji - - określenie degeneracji (relacje zgodności) Γ całk = Γ 1 Γ 2 Γ n = Γ i Γ j Γ k

62 Przykład uwzględnienie spinu w funkcji falowej dziury Ψ całk =Φ h (r h ) s część spinowa część przestrzenna symetria kryształu: T d symetria części przestrzennej: Γ 5 symetria spinu: Γ 1/2 symetria pełnej funkcji falowej: tabela mnożenia Γ całk = Γ 5 Γ 1/2 = Γ 5 Γ 6 = Γ 7 Γ 8 relacje zgodności wniosek: pasmo dziurowe ulega rozszczepieniu w wyniku oddziaływania spin - orbita

63 Funkcje falowe kompleksów ekscytonowych przybliżenie masy efektywnej funkcja falowa kompleksu jest produktem funkcji falowych tworzących go nośników oraz funkcji obwiedni stan podstawowy: główna liczba kwantowa n = 1 funkcja obwiedni zawsze ma symetrię Γ 1 określenie liczby możliwych stanów danego kompleksu ekscytonowego

64 Przykład funkcja falowa ekscytonu (X) Ψ X = Φ e Φ h Φ env Γ X = Γ e Γ h Γ env symetrie możliwych stanów X symetria kryształu: T d elektron z pasma przewodnictwa: Γ 6 dziura z pasma walencyjnego: Γ 7 lub Γ 8 Γ X = Γ 6 Γ 7 Γ 1 = Γ 3 Γ 4 Γ 5 Γ X = Γ 6 Γ 8 Γ 1 = Γ 2 Γ 5 triplet, równoległe spiny e i h, dipolowo wzbronione singlet, przejście ze stanu podstawowego dipolowo dozwolone wniosek: liczba możliwych stanów rośnie silnie ze wzrostem głównej liczby kwantowej

65 Przykład funkcja falowa biekscytonu (XX) Ψ XX = Φ e Φ e Φ h Φ h Φ env Γ XX = (Γ e Γ e ) ± (Γ h Γ h ) ± Γ env ± uwaga: układ zawiera nierozróżnialne fermiony całkowita funkcja falowa musi zmieniać znak przy zamianie dwóch identycznych cząstek (elektronów lub dziur) tabela charakterów - informacja o parzystości kombinacji odpowiednich nieredukowalnych reprezentacji symetrii

66 Grupa symetrii wektora k (G k ) podgrupa grupy symetrii kryształu G. zbiór wszystkich elementów grupy G, które transformują funkcję Blocha o danym k w funkcję Blocha o równoważnym wektorze falowym k : k = k+2πq gdzie: q wektor sieci odwrotnej odpowiadają im stany o tej samej energii układ wszystkich liniowo niezależnych funkcji własnych należących do ustalonej energii E i ustalonego wektora falowego k tworzy bazę reprezentacji grupy G k

67 Grupa G k symetrii wektora k gwiazda wektorów k - utworzona poprzez operacje symetrii takie same właściwości dla wszystkich wektorów falowych z gwiazdy k 0 redukowalna reprezentacja grupy symetrii w punkcie Γ może być redukowalną (zniesienie degeneracji) lub nieredukowalną reprezentacją grupy wektora k linie i płaszczyzny wysokiej symetrii

68 Przykład symetria kryształu: T d symetria pasma walencyjnego w punkcie Γ: Γ 8 czterokrotna degeneracja k 0 częściowe zniesienie degeneracji pasmo dziur lekkich: Γ 6 pasmo dziur ciężkich: Γ 7 oba dwukrotnie zdegenerowane nie wykazują dalszego rozszczepienia

69 Reguły wyboru dla przejść optycznych

70 Od czego zależy, jak silne jest przejście optyczne? położenia stanu początkowego i końcowego w strefie Brillouina gęstości stanów symetrii (przejście wzbronione/dozwolone)

71 Reguły wyboru element macierzowy jako iloczyn prosty (produkt) M if f H i = ψ * f Hψ dτ 0 gdy Γf ΓH Γi M ( ) if = Γ1 Γf ΓH Γi = 0 w przeciwnym razie produkt dwóch różnych nieredukowalnych reprezentacji nigdy nie zawiera reprezentacji trywialnej, a dwóch równych zawiera ją dokładnie raz i

72 Reguły wyboru ogólne wnioski jeśli nieredukowalna reprezentacja grupy hamiltonianu nie zawiera w sobie nieredukowalnej reprezentacji stanu początkowego, to dozwolone są jedynie przejścia do stanów o identycznej symetrii Przykład: operator skalarny transformuje się zgodnie z reprezentacją trywialną, więc dozwolone są jedynie przejścia o takiej samej symetrii teoria grup - niezerowe elementy macierzowe konieczna znajomość symetrii H (operatora powodującego przejście)

73 Absorpcja optyczna Możliwe stany końcowe przy przejściach jednoi dwufotonowych stan podstawowy kryształu ma zawsze symetrię Γ 1 ogólnie: symetria stanu początkowego jest określona poprzez symetrię odpowiedniego stanu elektronowego H zab operator dipolowy - nieparzysty symetria operatora dipolowego T d Γ 4 O h Γ 25 C 6v - Γ 1 dla E c Γ 5 dla E c H zab = e m pˆ A

74 Przejścia jednofotonowe - C 6v f H zab i na podstawie tabeli mnożenia nieredukowalnych reprezentacji grupy C 6v : Γ 1 Γ 1 =Γ 1 Γ 1 Γ 5 = Γ 5 stan podstawowy o symetrii Γ 1 E c operator dipolowy o symetrii Γ 1 E c operator dipolowy o symetrii Γ 5 stan końcowy o symetrii Γ 1 stan końcowy o symetrii Γ 5

75 Przejścia dwufotonowe - C 6v : ( ) e pa ˆ 1 + pˆ A2 A1 A2 e H zab = + m 2 m na podstawie tabeli mnożenia nieredukowalnych reprezentacji grupy C 6v : f H Γ 1 Γ 1 =Γ 1 Γ 1 Γ 5 = Γ 5 zab m H hω ( E m m Ei ) Γ 5 Γ 5 = Γ 1 Γ 2 Γ 6 E c, Γ 1 m Γ 1 zab i E c, Γ 1 Γ 1 E c, Γ Γ 5 1 E c, Γ 1 E c, Γ 5 Γ 5 E c, Γ 5 Γ 5 Γ 1 Γ 2 Γ 6

76 Możliwe stany końcowe przy przejściach jednoi dwufotonowych różne możliwe stany końcowe w zależności od polaryzacji światła różne reguły wyboru dla przejść jednoi dwufotonowych (niektóre przejścia widoczne tylko w absorpcji dwufotonowej) jednofotonowe: Δl = ± 1 dwufotonowe: Δl = 0, 2 symetrie przejść dwufotonowych można określić, używając w procesach cząstkowych światła o różnej polaryzacji

77 Klasyfikacja drgań (bez znajomości stałych siłowych) drgania N molekuł można rozłożyć na niezależne drgania normalne o częstotliwości Ω k we współrzędnych normalnych Q k 3N 1 H = Q& k + ΩkQk 2 k = 1 operacje symetrii nie zmieniają energii układu Q k ±Q k współrzędna normalna poddana operacjom symetrii opisuje geometrycznie to samo drganie (o tej samej częstotliwości) brak degeneracji: X i Q k =Q k (z dokładnością do czynnika fazowego) ( )

78 Klasyfikacja drgań brak degeneracji współrzędna normalna stanowi bazę jednowymiarowej reprezentacji grupy symetrii degeneracja: X i Q k =Σ k Γ(X i ) k k Q k zbiór Q k odpowiadających tej samej częstości stanowi bazę reprezentacji Γ(X i ) współrzędne normalne stanowią bazę 3N-wymiarowej nieredukowalnej reprezentacji grupy punktowej każde drganie ma określony typ symetrii transformuje się zgodnie z nieredukowalną reprezentacją grupy symetrii drgania opisywane różnymi nieredukowalnymi reprezentacjami mają różne częstotliwości

79 Klasyfikacja drgań drgania mogą być klasyfikowane nieredukowalnymi reprezentacjami grupy punktowej konieczna znajomość charakterów reprezentacji poszczególnych elementów symetrii χ (3N) (X i )=N c (X i )χ(x i ) N c (X i ) - liczba atomów niezmienniczych względem operacji symetrii X i (tylko elementy diagonalne zmieniają charakter) 3N-wymiarową reprezentację można rozłożyć na drgania o różnej symetrii, odzwierciedlającej symetrię sieci wydzielenie translacji, czystych obrotów oraz drgań

80 Absorpcja w podczerwieni (IR) z udziałem fononów (absorpcja jednofononowa) nie wszystkie mody fononowe oddziałują ze światłem, ale tylko te które utożsamiamy z deformacjami, dającymi wkład do momentu dipolowego operator dipolowy transformuje się tak jak współrzędne stan początkowy: brak fononów reprezentacja trywialna przejścia dozwolone - nieredukowalna reprezentacja fononu równa jednej z nieredukowalnych reprezentacji operatora dipolowego (współrzędnych)

81 Rozpraszanie Ramana proces optyczny wyższego rzędu nieelastyczne rozpraszanie światła z udziałem jednego lub większej liczby fononów optycznych rozpraszanie z absorpcją fononu stokesowskie rozpraszanie z emisją fononu antystokesowskie nie wszystkie fonony mogą brać udział w rozpraszaniu Ramana (ang. Raman active)

82 Rozpraszanie Ramana cd. pole elektryczne E światła padającego polaryzuje ośrodek (generuje w nim moment dipolowy) μ=αecos(ω 0 t) α - tensor polaryzowalności wyindukowany moment dipolowy oscyluje w czasie z częstością ω 0 równocześnie fonony powodują oscylacje polaryzowalności z charakterystyczną dla nich częstością ω s emitowane światło ma częstość ω 0 ±ω s

83 Rozpraszanie Ramana cd. tylko fonony dające wkład do polaryzowalności mogą brać udział w rozpraszaniu Ramana polaryzowalność jest symetrycznym tensorem drugiego rzędu, którego składowe stanowią bazę reprezentacji grupy punktowej drgania normalne należące do tej reprezentacji mogą brać udział w rozpraszaniu Ramana (Raman active)

84 Przykład Reguły wyboru T d operator dipolowy: Γ 4 (nieparzysty) możliwe stany: Γ 1, Γ 2, Γ 3, Γ 4, Γ 5 produkt Γ 4 Γ 1 Γ 4 Γ 4 Γ 2 Γ 4 Γ 3 Γ 5 Γ 4 Γ 4 Γ 4 Γ 5 suma prosta (rozkład produktu na reprezentacje nieredukowalne) Γ 4 Γ 5 Γ 3 Γ 1 Γ 4 Γ 5 Γ 4 Γ 5 Γ 3 Γ 2

85 Przykład cd. Reguły wyboru - T d dozwolone przejścia proste: Γ 1 Γ 4 Γ 2 Γ 5 Γ 3 Γ 4, Γ 5 Γ 4 Γ 4, Γ 5, Γ 3, Γ 1 Γ 5 Γ 4, Γ 5, Γ 3, Γ 2 fonony aktywne w podczerwieni (wzbudzane bezpośrednio przez fotony) Γ 4 (bo stan podstawowy kryształu Γ 1 )

86 Przykład cd. Reguły wyboru - T d rozpraszanie Ramana założenie: oba przejścia optyczne dipolowe - Γ 4 Γ 4 Γ 4 = Γ 4 Γ 5 Γ 3 Γ 1 symetria fononu: Γ 4, Γ 5, Γ 3, lub Γ 1 fonon o symetrii Γ 4 jest równocześnie aktywny w podczerwieni i może brać udział w rozpraszaniu Ramana

87 Reguły wyboru - podsumowanie hamiltonian o pełnej symetrii dopuszcza tylko przejścia między stanami o takiej samej parzystości przejścia dipolowe dozwolone są tylko między stanami o różnej parzystości w kryształach centrosymetrycznych (o symetrii inwersyjnej) fonon nie może być równocześnie aktywny w podczerwieni (nieparzysty) i brać udziału w rozpraszaniu Ramana (parzysty), gdyż procesy te są skutkiem różnych oddziaływań