Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D.
|
|
- Rafał Mróz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D. Poznámky sepsal Robert Husák Letní semestr 29/21 Obsah 1 Permutace 1 2 Determinant 3 3 Polynomy 7 4 Vlastní čísla 9 5 Positivně definitní matice 18 6 Převod matice do diagonálního tvaru 21 7 QR rozklad 22 8 SVD rozklad 26 1 Permutace Definice 1.1. Permutace je vzájemně jednoznačné zobrazení na množině {1,..., n} Definice 1.2. S n je množina všech permutací na {1,..., n} Definice 1.3. id i = i i {1,..., n} 1.1 Zadání tabulkou graficky Obrázek 1: Tabulkou, graficky 1
2 cyklicky: (1, 2)(3)(4, 5, 6) redukovaný cyklicky: (1, 2)(4, 5, 6) Definice 1.4. Inverzní permutace: p 1 = y p(y) = i Definice 1.5. Skládání permutací: (p q)(i) = q(p(i)) Definice 1.6. Znaménko permutace: sgn p = ( 1) n k, kde k je počet cyklů p Věta 1.7. Necht p S n, t S n transpozice, t = (i, j), pak sgn p = sgn t p 1. i, j padnou do jednoho cyklu p Obrázek 2: p 1 t p 1 = (i, u 1,.., u s ), (j, v 1,.., v r ) 2. i, j v různých cyklech p Obrázek 3: p 1, p 2 t (p 1 ), (p 2 ) = (i, v 1, v 2,.., v r, j, u 1, u 2, u s ) Věta 1.8. permutace p S n lze rozložit na složení transpozic Každý cyklus se rozloží zvlášt : (v 1, v 2,..., v s ) = (v s 1, v s )... (v 2, v 3 ) (v 1, v 2 ) Důsledek 1.9. sgn p = ( 1) r, kde r je počet transpozic v rozkladu p p = t 1 t 2.. t r id Důsledek 1.1. sgn p q = sgn p. sgn q p = t 1 t 2.. t r, q = t 1 t 2.. t r Důsledek sgn p 1 = sgn p 1 = sgn(id) = sgn(p p 1 ) = sgn(p) sgn(p 1 ) 2
3 2 Determinant Definice 2.1. A R nxn, determinant A je det A = A = p S n sgn pa 1p(1) a 2p(2)..a np(n) = Příklad 2.2. det I n = 1 Obrázek 4: Z definice determinantu Příklad 2.3. Horní trojúhelníková matice A: det A = a 11 a 22..a nn Tvrzení 2.4. det A T = det A det A T = n p S n sgn p (A T ) ip(i) = n p S n sgn p a p(i)i = i=1 = n p 1 S n sgn p 1 a ip 1 (i) = q S n sgn q i=1 Pozorování 2.5. Obecně det A + B det A + det B i=1 n a iq(i) = det(a) Věta 2.6 (Řádková linearita determinantu). A Rnxn, b R n, pak det(a + e i.b T ) = det A + det(a + e i (b T A i )) det(a+e i b T ) = p S n sgn(p)( n i j=1 a jp(j) )(a ip(i) +b p(i) ) = p S n sgn(p) i=1 n a jp(j) + j=1 p S n sgn(p)b p(i) Jak elementární řádkové úpravy ovlivňují determinant A matice po provedení následujících úprav z A? Věta 2.7. Vynásobení i-tého řádku α R: det A = α det A Důsledek 2.8. det αa = α n det A det A = p S n sgn pα Věta 2.9. Prohození i-tého a j-tého řádku: det A = det A n i=1 a ip(i) V definici determinantu využijeme sgn(t p) = sgn(p) Důsledek 2.1. Pokud A má 2 stejné řádky, pak det A = det A = det A det A = Pozorování Neplatí pro všechna tělesa Věta K j-tému řádku přičteme α-násobek i-tého: det A = det A det(a + αe j A i ) = det A + α det( A + e j (A i A j ) ) = det A }{{} i-tý a j-tý řádek jsou v této matici stejné 3 n i j=1 a jp(j)
4 Konec 1. přednášky Věta (Determinant a regularita) Bud A R nxn, pak A je regulární det A A > RREF A A regulární RREF A je horní matice s nenulovou diagonálou det A A singulární RREF(A) obsahuje nulový řádek det A = Pozorování det = míra regularity? Příklad Hilbertova matice H n : det(h 2 ) Příklad det, 1.I n = 1 1 Lemma Bud B R nxn, E - matice elemen. řádkové úpravy. Pak det EB + det B = det E det B Vynásobení i-tého řádku číslem α 2. i j det = 1 3. Přičtení α-násobku i. řádku k j. řádku det = 1 Věta 2.18 (Multiplikativnost determinantu). Bud A, B R nxn Pak det AB = det A det B 1. A sing. det A = AB také sing. det AB = 2. A reg. A = E 1 E 2..E k det AB = det E 1 (E 2..E k B) = det(e 1 ) det E 2..E k B =.. = det(e 1 E 2..E k ) det(b) Příklad det A k det A k det A 1 = 1/ det A Věta 2.2 (Laplaceův rozvoj dle i-tého řádku). Bud A R nxn, i {1..n}. Pak det A = n j=1 ( 1)i+j a ij det A ij A ij je matice A bez i-tého řádku a j-tého sloupce. 1. Necht A i = e T j Obrázek 5: ( 1) n i ( 1) n j = ( 1) 2n i j = ( 1) i j det A = ( 1) i+j det A ij 4
5 Obrázek 6: 2. Věta 2.21 (Cramerovo pravidlo). Bud A R nxn reg., b R n Pak Ax = b má řešení se složkami x i = det A+(b A i)e T i det A Bud x řešení Ax = b. n A j x j = b det A + (b A i )e T i = det A 1 A 2..b..A n = det..( A j x j ).. = j=1 n det..a j..x i = det Ax i j=1 Definice A R nxn, adjugovaná matice k A je adj(a) ij = ( 1) i+j det A ji Věta A R nxn : A. adj(a) = detai n Poznámka A reg. A 1 = 1 det A adj(a) (A. adj(a)) ij = n k=1 A ik adj(a) kj = k A ik( 1) k+j det A jk = 1. i = j: rozvoj A dle j-tého řádku = det A 2. i j: Obrázek 7: Příklad A Z nxn Pak A 1 je celočíselná det A = : 1 = det A det A 1, oba činitelé Z det A = : A 1 ij = 1 det A ( 1)i+j det A ji Z 5
6 Konec 2. přednášky 2.1 Geometrický význam determinantu Pozorování Lineární obal... nejmenší VP obsahující X R n Obrázek 8: Lineární obal L(X) = { a i x i, x i X, a i R} Pozorování Afinní obal... nejmenší translace VP obsahující X A(X) = { a i x i, x i X, a i R, a i = 1} Pozorování Konvexní obal... nejmenší konvexní množina obsahující X Obrázek 9: Konvexní obal K(X) = { a i x i, x i X, a i <, 1 >, a i = 1} Pozorování Rovnoběžnostěn určený vektory z X Obrázek 1: Rovnoběžnostěn určený vektory z X R(X) = { a i x i, x i X, a i <, 1 >} 6
7 Pozorování 2.3. Pro vektory x 1,..., x n R n sestavíme matici A = (x 1, x 2,..., x n ), poté platí, že objem rovnoběžnostěnu určeného x 1,..., x n je det A Důkaz (idea). Směřují-li x 1,..., x n podél směru souřadnicových os, potom R(X) je kvádr, jeho objem je součin délek stran = det A, protože A je diagonální. Ukážeme, že úpravy, které nemění determinant, nemění ani objem R(X). Důsledek Je-li f lineární zobrazení f : R n R n a A = [f] Y Y je matice tohoto zobrazení vůči bázi Y, potom se objemy těles mění vol f(v) = det A. vol v 3 Polynomy Obrázek 11: Definice 3.1. Polynomem (neboli též mnohočlenem) stupně n v proměnné x nad tělesem K rozumíme výraz p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a, kde a n,..., a K, a n. Značíme p K(x). Jednoduchá fakta: Mnohočleny lze sčítat, odčítat: p(x) = n a i x i, q(x) = i= m b i x i i= BÚNO n m : (p + g)(x) = n i= (a i + b i )x i Lze násobit skalárem: Násobit mezi sebou: (p.q)(x) = n+m i= αp(x) = n αa i x i i= r i x i, kde r i = min i,n j=max,i m a j b i j Lze je dělit se zbytkem: r, t K(x) takové, že stupeň t < stupeň q a platí: p = r.q + t. Konstrukce indukcí: p(x) an b m q(x)x n m má stupeň ostře menší p...polynom r začíná členem an b m x n m Poznámka 3.2. Neznámou x lze volit z tělesa K, ale i ze složitějších struktur, např. K nxn : x K nxn p(x) K nxn 7
8 Pozorování 3.3. Pro p R(x) platí: ( x R : p(x) = ) a, a 1,..., a n = Důkaz (sporem). kdyby a n zvolíme x = 1 + n. max a,..., a n, potom p(x) = a n x n a n + a Věta 3.4 (Malá Fermatova). a Z p, a platí, že a p 1 = 1 Z p : {1,..., p 1} {1,..., p 1} t at bijekce: p 1 p 1 p 1 i = ai = a p 1 i i=1 i=1 Důsledek 3.5. q Z p (x) r Z p (x) stupeň r < p 1 takový, že x Z p : r(x) = q(x) Pozorování 3.6. Na Z p : q(x) = x p x je r zbytek z q po vydělení x p x, ale q(x) = pro x Z p Definice 3.7. Kořenem polynomu p K(x) je takové x K, že p(x) = Příklad 3.8. p(x) = x Věta 3.9. (Základní věta algebry) Každý mnohočlen stupně alespoň 1 nad C má alespoň kořen. Důkaz (idea). i=1 p(x) = a n x n a 1 x + a C(x) Jak vypadá p(x) aplikovaný na {x : x = r} = D r Jak vypadá p(d r )? Obrázek 12: Důkaz základní věty algebry Důsledek 3.1. Každý takový mnohočlen lze rozlořit na součin n monomů. p(x) má kořen r, x r dělí p(x) beze zbytku snížíme stupeň a aplikujeme indukci. Konec 3. přednášky Příklad 3.11 (Vandermondova matice (prokládání bodů polynomem). p(x) = a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a tedy y 1 = a n 1 x n a 1 x 1 + a y 2 = a n 1 x n a 1 x 2 + a 8
9 ...y n x n x 1 1 x2 n 1... x Věta 3.12 (Lagrange). p(x) =...proložení bodů polynomem. n y k p k (x) kde p k (x) = k=1 Dosad me x j, j = 1,..., n p(x j ) = n y k p k (x j ) = y j k=1 j k : p k (x j ) = j = k : p k (x j ) = 1 i k (x x i) i k (x k x i ) 4 Vlastní čísla Definice 4.1. Bud A R nxn (C nxn ). Pak λ C je vlastní číslo A, x C n je vlastní vektor A, pokud Ax = λx, x. Vlastní vektor není jednoznačný. Věta 4.2 (Charakterizace vlastních čísel). λ je vlastní číslo matice A det(a λi n ) = λ je vlastní číslo x : Ax = λx Ax = λix = θ (A.λI)x = θ A.λI je singulární det A λi = Definice 4.3. Charakteristický polynom A: p A (λ) = det(a λi) Definice 4.4. Spektrum je množina vlastních čísel. Spektrální poloměr: ς(a) = max λ i i=1...n Věta 4.5. (vlastní čísla trojúhelníkové matice) A je trojúhelníková matice. Potom jsou její vlastní čísla a 11, a 22,..., a nn det A λi = (a 11 λ)(a 22 λ)...(a nn λ) priklad I n... vlastní číslo 1 (vynásobení) Věta 4.6. (součin a součet vlastních čísel) A R nxn, λ 1,..., λ n vlastní čísla. 1. prod n i=1 λ i = det A 2. n i=1 λ i = a 11 + a a nn 1. det A λi = ( 1) n (λ λ 1 )...(λ λ n ), λ = : det A = λ 1 λ 2...λ n 9
10 2. koeficient u λ n 1 : napravo: ( 1) n ( λ 1 λ λ 3... λ n ) = ( 1) n 1 (λ λ n ) nalevo: a 11 λ a a 1n det a 21 a 21 λ > uλn 1 Věta 4.7. (vlastní čísla reálné matice) Bud A R nxn, λ C její vlastní číslo. Pak λ je také vlastní číslo A. p A (λ) = ( 1) n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a = p A (λ) = ( 1) n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a = Věta 4.8. (regularita a vlastní čísla matic) matice A R nxn je regulární není vlastním číslem A. je vlastní číslo det A.I n = A je singulární 4.1 Diagonalizovatelnost motivace A matice lineárního zobrazení f : V V vzhledem k bázi B S matice přechodu od B k B matice f vůči B je SAS 1 Definice 4.9. Matice A, B R nxn jsou podobné, pokud regulární matice S tak, že A = SBS 1. Definice 4.1. Matice A je diagonalizovatelná, pokud je podobná nějaké diagonální matici. Věta Podobné matice mají stejná vlastní čísla A = SBS 1 p A (λ) = det(a λi) = det(sbs 1 SλS 1 ) = det(s(b λ)s 1 ) = det S det(b λ) det S 1 = det(b λ) = p B (λ) 1
11 Konec 4. přednášky Věta 4.12 (Charakterizace diagonalizovatelnosti matic). A C nxn je diagonalizovatelná má n lineárně nezávislých vlastních vektorů λ 1 1. necht S : S 1 AS = Λ =... λ n AS = SΛ i-tý sloupeček(as) i = AS i (SΛ) i = SΛ i = Sλ i e i = λ i S i S i je vlastní vektor k λ i, n lineárně nezávislých vektorů (sloupce S) 2. x 1,..., x n lineárně nezávislé vlastní vektory. Chceme ověřit S 1 AS = Λ, AS = SΛ: kde (AS) i = AS i = Ax i = λ i x i = λ i S i = λ i Se i = (SΛ) i λ 1 Λ =... λ n Věta 4.13 (Vlastní vektory pro různá vlastní čísla). Necht A má vlastní čísla λ 1,..., λ n navzájem různá. Pak odpovídající vlastní vektory x 1,..., x n jsou lineárně nezávislé. indukcí 1. n = 1... platí 2. n n 1: α 1 x α n x n = Θ A(α 1 x α n x n ) = α 1 Ax α n Ax n = α 1 λ 1 x α n λ n x n = Θ Odečteme od rovnice λ n (α 1 x α n x n ) = Θ: Ty jsou linerárně nezávislé, tedy: Tedy α n λ n x n = Θ α n = Θ. Příklad konverguje, pokud λ i < 1 i 2. diverguje, pokud λ i > 1 pro nějaké i α 1 (λ 1 λ n )x α n (λ n λ n )x n = Θ α 1 (λ 1 λ n )x α n 1 (λ n 1 λ n )x n 1 = Θ α 1,..., α n = Θ α 1 λ 1 x 1,..., α n 1 λ n 1 x n 1 = Θ A = SΛS 1 A 2 = SΛS 1 SΛS 1 = SΛ 2 S 1 A 3 = SΛ 3 S 1 A k = SΛ k S 1 λ 1 A = lim k Ak = S... S 1 λ n 11
12 4.2 Symetrické matice Poznámka (Matice v C) 1. transpozice A T hermitovská transpozice A : (A ij = a ji) 2. A symetrická A hermitovská: A = A 3. Q ortogonální Q unitární: QQ = I Věta (vlastní čísla symetrických matic) Bud A reálná symetrická (komplexní hermitovská) matice. Pak A má reálná vlastní čísla. bud λ C vlastní čislo A, x C n vlastní vektor, x = 1 X X = 1 Ax = λx/x x Ax = λx x = λ/() (x Ax) = λ x A x = λ λ = λ λ R Věta (spektrální rozklad symetrických matic) Bud A symetrická reálná matice. Pak ortogonální Q a diagonální Λ : A = QΛQ T. Poznámka Vlastní vektory symetrických matic jsou ortogonální indukcí podle n 1. n = 1 platí 2. n n 1: Bud λ vlastní čisla A, x vlastní vektor, x T x = 1. Q = (x...) rozšíření na ortogonální matici Ax = λx (A λi)x = θ... Q T (A λi)q = }{{} (...). A A je symetrická matice řádu n 1 Z indukčního předpokladu: A = Q Λ Q T, Q ortogonální, A diagonální A =. Q. Λ. Q T Q T (A ΛI)Q = R(...)R T A λi = QR(...)R T Q T A = QR(...)(QR) T + λqr(qr) T... A = QR. Λ + λi (QR)T 12
13 Konec 5. přednášky Důsledek Asymetrická vlastní čísla λ 1 λ 2... λ n λ 1 = max x R n x =1 xt Ax λ n = min x =1 xt Ax 1. : vlastní vektor x }{{} 1 : Ax 1 = λ 1 x 1 /x T 1 x 1 =1 x T 1 Ax 1 = λ 1 x T 1 x 1 = λ 1 2. : x R n : x = 1 x T Ax = x T QΛQ T x = (Q T x) T ΛQ T x substituce = y T Λy = y T n = λ 1 yi 2 = λ 1 = y 2 i=1 max x =1 xt Ax λ 1 λ 1 y 1 λ 2 y 2. = λ n y n 4.3 Jordanova normální forma λ Definice 4.2. Jordanova buňka: J k (λ) =..., kxk, λ C 1... λ n i=1 λ i y 2 i i λ 1 y 2 i = Definice Jordanova normální forma: J k1 (λ 1 ) J k2 (λ 2 ) J =..., λ 1,..., λ n C; k 1,.., k m N J kn (λ n ) Věta 4.22 (O Jordanově normální formě). Každá matice A C n n je podobná matici mající Jordanovu formu. Nebude, je moc složitý Poznámka Počet Jordanových buněk J k (λ) matice A je roven rank((a λi) k 1 ) 2 rank((a λi) k )+rank((a λi) k+1 ) Navic Jordanova forma je až na pořadí buněk jednoznačná. Věta 4.24 (Oldenburger). Matice A R n n : ς(a) < 1 lim k A k = 13
14 Důkaz (idea). A = SJS 1 A 2 = SJS 1 SJS 1 = SJ 2 S 1 k : A k = SJ k S 1 x k+1 = Ax k = A k x 1 Důsledek ς(a) < 1 (I A) 1 = I + A + A I + A + A = (I A k+1 )(I A) 1 /k I + A + A = (I A) 1 Poznámka (Nestabilita Jordanovy normální formy) ( ) 1 1 A = 1 ɛ : A(ɛ) = ( ) ( ) JNF je 1 + ɛ 1 + ɛ Věta 4.27 (Cayley-Hamilton). A R n n, p a (λ) = ( 1) n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a. Pak ( 1) n A n + a n 1 A n a 1 A + a I = n n. Tedy: Matice je kořenem svého reálného polynomu. (A λi) adj(a λi) = det(a λi)i adj(aλi) = λ n 1 B n λb 1 + B Pro určité B,..., B n 1 R n n (AλI)(λ n 1 B n λb 1 + B ) = (( 1) n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a )I B n 1 λ n + (AB n 1 B n 2 )λ n (AB 1 B )λ + AB = (( 1) n Iλ n a 1 Iλ + a I λ n : B n 1 = ( 1) n I λ j : AB j B j 1 = a J I AB = a I Příklad A 1 je lineární kombinace I, A, A 2,..., An 1 ( 1) n A n + a n 1 A n a 1 A + a I =... 1 a (( 1) n A n + a n 1 A n a 1 A) = I 14
15 Konec 6. přednášky 4.4 Teorie nezáporných matic (Též Perron-Frobeniova) Věta A R n n 1. Pokud A, pak největší vlastní číslo v absolutní hodnotě je reálné nezáporné a odpovídá mu nezáporný vlastní vektor. Obrázek 13: 2. A > největší vlastní číslo v absolutní hodnotě je reálné kladné a je jediné. Jemu odpovídající vlastní vektor je kladný a je to jediný vlastní vektor s touto vlastností. Věta 4.3 (Rayleigh quotient). A R n n, x vlastní vektor. Pak λ = xt Ax x T x odpovídající x. je vlastní číslo Ax = λx x T Ax = λx T x λ = xt Ax x T x Poznámka 4.31 (Mocninná metoda). dáno R while změna do x i+1 := A xi x i+1 := x i+1 x i+1 i := i + 1 end while x i, xt i Ax i x T i x i Tvrzení Předpoklady: A má vlastní čísla λ 1, λ 2,..., λ n, λ 1 > λ 2... λ n, vlastní vektory v 1, v 2,..., v n lineárně nezávislé, x má nenulovou složkovou souřadnici vůči v 1. Pak x i konverguje k v 1, xt i AX i x T i x konvergují k λ 1. i x = n i=1 α iv i x 1 = Ax x 2 = Ax 1 = AAx = A 2 x 15
16 x i = 1 A i x Ai ( j x i = Ai x A i x d j v j ) =... = λi 1 A i λ (α 1v 1 + λ j λ 1 < 1 n j=2 α j ( λ j λ 1 ) i v j ) } {{ } i Věta 4.33 (Companion matrix (Matice společnice)). p(x) = a n 1 x n a 1 x + a, C p viz obr. 14 Vlastní čísla C (P ) jsou kořeny P (x) Obrázek 14: Companion matrix Obrázek 15: Část důkazu C p P C(P ) λ = viz obr. 15 = ( 1) 1+n ( P (x)) det I n 1 = ( 1) n P (x) Věta A symetrická, λ 1,..., λ n vlastní čísla, v 1,..., v n odpovídající vlastní vektory (v i v j i j) v i = 1. B = A λ 1 v 1 v1 T má vlastní čísla, λ 2,..., λ n, k tomu odpovídající vlastní vektory v 1,..., v n 16
17 v 1 : Bv 1 = (A λ 1 v 1 v T 1 )v 1 = Av 1 λ 1 v 1 v T 1 v 1 = λ 1 v 1 λ 1 v 1 = v i, i 1 : Bv i = (A λ 1 v 1 v T 1 )v i = Av i λ 1 v 1 (v T 1 v i ) = λ i v i Tvrzení A, vlastní číslo λ, vlastní vektor v. 1. αa: vlastní číslo αλ, vlastní vektor v 2. A 2 : vlastní číslo λ 2, vlastní vektor v 3. A 1 : vlastní číslo λ 1, vlastní vektor v 4. A T : vlastní číslo λ, vlastní vektor neznámý 1. (αa)v = α(av) = αλ 2. Av = λv 3. Av = λv 4. det A λi = A 2 v = λav = λλv Iv = λa 1 v 1 λ v = A 1 v det A T λi = Konec 7. přednášky 4.5 Gerschgorinovy disky Věta A C n n, necht λ je vlastní číslo A. Pak λ leží v kruhu o středu a ii a poloměru n j=1 a ij pro nějaké i {1,.., n}, viz[2] λ... vlastní vektor x θ Ax = λx, k-tá rovnost k = arg max j=1..n x j (x k = max x j ) j n a kj x j = Ak x = λx k j=1 λ = λ a kk = j k j=1//j k Důsledek λ max k=1..n j=1 a kj a kj x j x k + a kk x j a kj a kj x j x k x k a kj j k j k Příklad Postačující podmínka pro regularitu A: i = 1..n : a ii > j i a ij (diagonálně dominantní), pak A je regulární. ( není v žádném disku) 17
18 5 Positivně definitní matice Definice 5.1. Symetrická matice A je positivně definitní, pokud x T Ax > x R n x θ Definice 5.2. Symetrická matice A je positivně semidefinitní, pokud x T Ax x R n Poznámka 5.3. Pokud je A positivně definitní, je A positivně semidefinitní Příklad 5.4. n... postitivně semidefinitní, I n... positivně definitní, x T Ix = x T x < x 2 2 Věta 5.5. (Operace s positivně definitními maticemi) 1. A, B pos. def. A + B také 2. α >, A pos. def. αa je pos. def. 3. A je pos. def. A 1 také 1. x T (A + B)x = x T Ax + x T Bx > x θ 2. x T (αa)x = α(x T Ax) > x 3. (a) Ax = x T Ax = x = θ 1 x) (b) x θ x T A 1 x = (x T A 1 ) }{{} A (A }{{} y T y Poznámka 5.6. A ne nutně symetrická: x T ( A + AT 2 = y T Ay > )x = 1 2 xt Ax xt A T x = x T Ax Věta 5.7. (charakterizace pos. def.) Následující tvrzení jsou pro A R n n symetrickou matici ekvivalentní: 1. A je pos. def. 2. A má kladná vlastní čísla 3. U R m n s lineární nezávislými sloupci tak, že A = U T U : λ vlastní číslo, x vlastní vektor Ax = λx x T Ax = λx T x λ > : spektrální rozklad (Q ortog., Λ má na diagonále druhé odmocniny λ i ) A = QΛQ T = QΛ Λ T Q T, U... regulární }{{}}{{} U T U : x θ x T Ax = (x T U T )(Ux) = (Ux) T Ux = Ux 2 > 18
19 ( ) α a T Věta 5.8 (rekurentní vzoreček na pos. def.). A sym. řádu n, A = A je pos. def. a B α > B 1 α aat je pos. def. : bud x θ, x = ( ) β y ( ) x T Ax = (β y T α a T ) ( β a B y ) =... = αβ2 +βa T y+y T βa+y T By =... = (...)2+y T (B 1 α aat )y Nula, když y = θ, β = : x T Ax α = e T 1 Ae 1 > y R n 1, y y T (B 1 α aat )y = y T By 1 α yt aa T y = (...)(...)(...) > y θ x θ Konec 8. přednášky 5.1 Choleského rozklad Věta 5.9 (Choleského rozklad). Symetrická matice A řádu n je positivně definitní právě tehdy, když se dá rozložit na A = LL T, kde L je čtvercová dolní trojúhelníková matice s kladnou diagonálou. Navíc L je určená jednoznačně. ( : Indukcí) n = 1: a 11 = a 11 a11, L = ( a 11 ) n n 1: ( ) α a T A = je positivně definitní α >, B 1 a B α aat je positivně definitní podle indukčního předpokladu: B 1 α aat = L L T, kde L je dolní trojúhelníková matice s kladnou diagonálou. ( ) ( ) ( ) ( α a T β o β b A = = LL T β 2 βb T ) = = a B b L o LT βb bb T + L L T β = α b = 1 β a = 1 α a B =? 1 α aa T + L L T B =? 1 α aa T + L L T B 1 α aa T = L L T 19
20 : Víme: L je regulární... LL T je positivně definitní Důkaz jednoznačnosti: ( ) ( ) β1 Θ β2 Θ L 1 =, L b 2 = 1 L1 b 2 L2 ( β L 1 L T 2 1 = 1 β 1 b T ) 1 β 1 b 1 b 1 b T 1 + L 1 LT 1 ( β L 2 L T 2 2 = 2 β 2 b T ) 2 β 2 b 2 b 2 b T 2 + L 2 LT 2 β 2 1 = β 2 2 β 1 = β 2 b 1 = b 2 b 1 b T 1 + L 1 LT 1 = b 2 b T 2 + L 2 LT 2 = B L 1 LT 1 = L 2 LT 2 = B 1 α aa T L 1 = L 2 - spor Algoritmus 5.1 (Choleského rozklad). L = O n n for k = 1 to n do α = a kk k 1 i=1 l2 ki if α then A není positivně definitní, konec else l kk = α i = k n : l ik = 1 l kk (a ik k 1 j=1 l ijl kj end if end for 5.2 Positivně definitní matice a skalární součin v R n Věta (Positivně definitní matice a skalární součin) < x, y > je skalární součin na R n < x, y >= x T Ay pro určitou positivně definitní matici A : : 1. < x, y >= x T Ax a rovnost jen pro x = θ 2. < αx, y >= α < x, y > < αx, y >= (αx) T Ay = α(x T Ay) = α < x, y > 3. < x + y, z >=< x, z > + < y, z > < x + y, z >= (x + y) T Az = x T Az = y T Az 4. < x, y >=< y, x > (x T Ay) T = y T Ax < x, y >=< n n x i e i, y j e j >= i=1 j=1 n n x i y j < e i, e j > i=1 j=1 2
21 Definujeme: a ij :=< e i, e j > symetrická x i y j a ij = x T Ay i j A je positivně definitní. x T Ax =< x, x > a rovnost jen pro x = θ Poznámka x := < x, x > x A := x T Ax Věta (Odmocnina z matice) Pro každou positivně semidesivní matici A positivně semidefinitní B : B 2 = A Spektrální rozklad: A = QΛQ T, Q ortogonální. λ 1 Λ =..., λ 1...λ n λ n λ1 Λ =... λn B = QΛ Q T B positivně semidefinitní. Konec 9. přednášky B Kvadratické formy Chybí 1. přednáška. Konec 1. přednášky = QΛ Q T QΛ Q T = QΛ 2 Q T = QΛQ T = A 6 Převod matice do diagonálního tvaru Spektrální rozklad: A = QΛQ T Je-li SAS T diagonální, tak počet kladných (záporných, nulových) diagonálních hodnot = počtu kladných (záporných, nulových) vlastních čísel A. Jak diagonalizovat? E k...e 1.A.E T 1...E T k Pomocí gaussovy eliminace Příklad 6.1. Elipsoidy: x T Ax = 1, A n n positivně definitní. A = QΛQ T x T Q ΛQ T x = 1 }{{} =y 21
22 y T Λy = 1 λ 1 y 2 1λ 2 y λ n y 2 n = 1 Obrázek 16: Elipsa poloosy: e 1...e n délky: 1/ λ 1..., 1/ λ n zpět k x: x = Qy: elipsoid: poloosy: e i > Qe i = Q i = i-té vlastní vektor A délky: 1/ λ i Příklad 6.2. Kvadriky: x T Ax + Bx + c = (pro n = 2 jsou to kuželosečky) 7 QR rozklad 7.1 Householderova transformace Definice 7.1. Bud x θ, Householderova matice je H(x) = I 2 xxt x T x Obrázek 17: Householderova matice Tvrzení 7.2. H(x) je symetrická a ortogonální 22
23 symetrická: součet symetrických ortogonální: I =?H(x) T H(x) = H(x) 2 = (I 2 xxt x T x )2 = I 4 xxt x T x (x T x) 2 x }{{} xt x x T =... = I skalár Věta 7.3. (použití H(x) Mějme x, y R n, x = y, pak y = H(y x)x. (y x)(y x)t H(y x)x = (I 2 (y x) T (y x) )x = x 2 (y x) T x (y x) T (y x) =... = y (y x) Důsledek 7.4. Bud x R n a definujme: { H(x x e1 ) pokud x x e H = 1 θ I jinak Pak Hx = x e 1 1. x = x 1... H = I Hx = Ix = x = x e 1 2. x x e 1, dle věty: Poznámka 7.5. H(x x e 1 ) = H( x + x e }{{} 1 ) y y = H(y x)x x e 1 = H( x e 1 x)x A = (a A ) H.a = a e 1 H.A = Ã. Věta 7.6 (QR rozklad). Bud A R m n. Pak ortogonální Q R m m a horní trojúhelníková R R m n, která má na diagonále nezáporná čísla tak, že A = QR. Indukcí dle n: 1. n = 1: A = (a) a Pak Householderova matice H : HA = Ha = a e 1 =.. Tedy A = HT R. 23
24 2. n n 1: a = A 1 Pak Householderova matice H 1 : a e 1 = H 1 a = H 1 A 1 = (H 1 A) 1 a b T H 1 A =. A A...(m 1) (n 1), podle indukce rozklad A = Q R /Q T kde Q ortogonální řádu m 1, R je (m 1) (n 1) horní trojúhelníková s nezápornou diagonálou. (1 ) ( ) ( ) ( ) T 1 T a b T a b T Q T H 1 A = Q T A = Q T A = R A tedy: Konec 11. přednášky ( ) 1 T Q = Q T H 1 Algoritmus 7.7 (QR rozklad). (viz prezentace[2]) Věta 7.8 (Jednoznačnost QR rozkladu). A je regulární QR rozklad je jednoznačný a R má na diagonále kladné hodnoty. 1. A = QR R je regulární diagonála > 2. sporem A = Q 1 R 1 = Q 2 R 2 /Q T 2 zleva, R1 1 zprava U = Q T 2 Q }{{} 1 ortogonální = R 2 R1 1 U je ortogonální a horní trojúhelníková s kladnou diagonálou Obrázek 18: Tedy Q 1 = Q 2, R 1 = R 2 spor. I = Q T 2 Q 1 = R 2 R
25 7.2 QR a soustavy rovnic Ax = b, A regulární A = QR : QRx = b/q T Rx = Q T b Řešení zpětnou substitucí. Oproti GE spotřebuje zhruba 2x více aritmetických operací, je však stabilnější. 7.3 QR a metoda nejmenších čtverců Ax = L, A R m n : x = (A T A) 1 A T b, A má lineárně nezávislé sloupce pomocí QR: ( ) R1 A = QR = (Q 1 Q 2 ) = Q 1 R 1 R 1 je regulární, Q 1... prvních n sloupců Q x je řešením R 1 x = Q T 1 b (A T A) 1 A T b =... = R 1 1 QT 1 b Obrázek 19: 7.4 QR a projekce A...s lineárně nezávislých sloupců projekce x do S(A) je x = A(A T A) 1 A T x přes QR rozklad: A = QR = Q 1 R QR a ortogonalizace x = Q 1 R 1 R 1 1 QT 1 x = Q 1 Q T 1 x A má lineárně nezávislé sloupce. Chceme ortogonalizovat sloupce A, A = Q 1 R 1. S(A) = S(Q 1 ), sloupce Q tvoří ortonormální bázi S(A) 25
26 7.6 QR a vlastní čísla Algoritmus 7.9 (QR algoritmus). A i := A k-tá iterace: QR rozklad A k = Q k R k A k+1 = R k Q k k + + Věta 7.1. V k-tém kroku QR algoritmu (viz 7.9) má matice A k stejná vlastní čísla jako A A k+1 = Q T k Q } kr {{ k Q } k = Q T k A kq k A k A k+1, A k jsou podobné, tedy mají stejná vlastní čísla skoro vždy konverguje k matici horní trojúhelníkové Obrázek 2: Horní trojúhelníková matice komplexní vlastní čísla Obrázek 21: Téměř horní trojúhelníková matice 8 SVD rozklad (singular value decomposition) Věta 8.1 (SVD rozklad). A R m n. Pak existuje ortogonální X R m m, Y R n n a Σ R m n tvaru: σ 1 σ 2. Σ =.. σr... 26
27 σ 1 σ 2... σ r > (singulární čísla A, určeny jednoznačně) tak, že A = XΣY T Je složitý, s úskalími, u zkoušky nebude. Algoritmus 8.2 (Výpočet SVD). Spektrální rozklad AA T = XΛX T, X ortogonální, v Λ vlastní čísla řazena sestupně. Spektrální rozklad A T A = Y Λ Y T, Y ortogonální, v Λ vlastní čísla řazena sestupně. Pak SVD rozklad je A = XΣY T a Σ je sestavená z odmocnin vlastních čísel. A = XΣY T AA T = XΣ Y}{{ T Y} Σ T X T = XΣΣ T X T = X I σ i = λ i Pro Y analogicky. Poznámka 8.3. speciálně A symetrická: σ i (A) = σ i (A T A) = σ i (AA T ) σ i (A) = λ i (A) Chybí zbytek poznámky. Konec 12. přednášky 8.1 SVD a numerický rank σ 1 σ 2. A = X.. σr... rank(a) = r ɛ >... σ 1,..., σ s ɛ, σ s+1,..., σ r < ɛ, numerický rank je s ɛ = min(m, n)σ 1...přesnost aritmetiky 8.2 SVD a pseudoinverze (Moore-Penrose) σ 1 σ 2. A = X.. σr... Y T Y T 27
28 A... m n, pseudoinverze: A + = Y Věta 8.4 (Vlastnosti pseudoinverze). 2. (A + ) + = A 3. AA + A = A 4. A + AA + = A + 5. (A + A) T = A + A σ1 1 σ σr 1 6. (AA + ) T = AA +...ale obecně AA + A + A, (AB) + B + A + 1. A reg: A = XΣY T 2. AA + = X ΣY } T {{ Y Σ} X T = I A T = A 1 I... }{{} Σ (moje označení, abych ji níže nemusel opisovat..) 3. AA + A = XΣY T Y Σ X T XΣY T = XΣY T = A 8.3 SVD a komprese obrazu A, a ij = stupeň šedi 1. A reg A + = A 1 σ 1 σ 2. A = X.. σr... X k, Y k...prvních k sloupců X, Y ( ) ( ) (X r X r) S Y T = (X r X r) r Y T r v SVD rozkladu máme: mr + nr + r = (m + n + 1)r, komprese σ 1 A σ 2 = X k Y k T... σk Y T X T ( ) SY T r = x r SY r k r, k = r n komprimována: (m + n 1)k (m + n 1)r = k r 28
29 8.4 SVD a geometrie lineárního zobrazení y = Ax, A reg, A = XΣY T, A 1 = Y Σ 1 X T Poznámka 8.5. Kam se zobrazí jednotková koule? 1 = X 2 = A 1 AX 2 = A 1 y 2 = }{{} Y Σ 1 X T y 2 = Σ 1 X T y 2 = }{{}}{{} ortogonální vektor z σ 1 1 σ 1 z 1 2 σ 1 =... z 2 =. = z2 1 σr 1 z r σ z2 r 1 σr 2 σ r Elipsoid s poloosami délek σ 1,...,σ r míra deformace: σ 1 σ r speciálně: A ortogonální: SVD a maticová norma A n n reg... σ n = min A B 2, B sing Definice 8.6 (číslo podmíněnosti). A 2 := σ 1 (A) k(a) = A A 1 speciálně k 2 (A) = A 2 A 1 2 = σ 1 σ n 1 Poznámka 8.7 (Pravidlo palce). k 2 (A) 1 p Gaussem ztratíme p desetinných míst přesnosti. Příklad 8.8. Ortogonální matice k 2 (A) = 1 Příklad 8.9. Hilbertova matice (H n ) ij = 1 i+g 1 k 2 (H 5 ) 1 5 Ax b min k 2 (H 1 ) Konec 13. přednášky Reference [1] Domovská stránka předmětu na stránkách doktora Hladíka: [2] Prezentace na strákách doktora Hladíka: 29
1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoGEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowo(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowoMatematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Bardziej szczegółowoalgebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoAlgebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowoLineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowoCo byste měl/a zvládnout po 1. týdnu
Co byste měl/a zvládnout po 1. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 1. týdnu 1/5 Upozornění Řada z následujících
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowoObsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowoOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowo1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowoÚstav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Pavel Boček, Karel Vrbenský: Implementace algoritmu MIDIA v prostředí Google Spreadsheets
Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT Pavel Boček, Karel Vrbenský:
Bardziej szczegółowoHana Marková Pseudospektrum matice
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Hana Marková Pseudospektrum matice Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský, DrSc. Studijní
Bardziej szczegółowo02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací
02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací podle přednášky doc. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc 27. června 2019 Obsah 1 Grupy 4 1.1 Algebraický koncept................................ 4 1.2 Vlastnosti grup...................................
Bardziej szczegółowokontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Bardziej szczegółowoZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowoVýzvy, které před matematiku staví
1 / 21 Výzvy, které před matematiku staví výpočetní technika Edita Pelantová Katedra matematiky, FJFI, České vysoké učení technické v Praze 25. pledna 2018 Praha Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský
Bardziej szczegółowoNekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Bardziej szczegółowoGeometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Bardziej szczegółowoMatematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Bardziej szczegółowoZáklady obecné algebry
. Základy obecné algebry Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně, 2013 Obsah 1 Algebraické struktury 3 1.1 Operace a zákony................................. 3 1.2 Některé důležité typy
Bardziej szczegółowoLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Bardziej szczegółowoPojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,
Bardziej szczegółowoLogika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Bardziej szczegółowoObsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn
Obsah 1 2 3 Použití Zobrazení rozsáhlého území, ale hodnoty zkreslení nesmí přesáhnout určitou hodnotu Rozdělením území na menší části a ty pak zobrazíme zvlášť Nevýhodou jsou však samostatné souřadnicové
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowoMatematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Bardziej szczegółowoReprezentace dat. BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner
Reprezentace dat BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı ČVUT v Praze xvagner@fit.cvut.cz 9., 11. a 12. října 2017 Obsah Dvojková
Bardziej szczegółowoObsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowoWSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ
43 Załącznik nr 4 WSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ Lp. Rodzaj ochrony Lokalizacja 1) Powierzchnia ogółem w ha 1 Ochrona ścisła Oddziały 1b, 1c, 1d, 1f, 1g, 1h, 1i, 1j,
Bardziej szczegółowoÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
Bardziej szczegółowoChyby, podmíněnost a stabilita
Chyby, podmíněnost a stabilita Numerické metody 4. března 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Čísla v počítači Chyby Citlivost Stabilita 1 Čísla v počítači Čísla v počítači - Celá čísla jméno bity rozsah typy
Bardziej szczegółowoNDMI002 Diskrétní matematika
NDMI002 Diskrétní matematika prof. RNDr. Martin Loebl, CSc. ZS 2016/17 Obsah 1 Množiny 2 1.1 Relace....................................... 2 1.2 Ekvivalence.................................... 3 1.3 Částečné
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Bardziej szczegółowoStabilita proudění. Matematický ústav, Univerzita Karlova. 7. května 2015
Stabilita proudění Vít Průša prusv@karlin.mff.cuni.cz Matematický ústav, Univerzita Karlova 7. května 2015 Vít Průša (Univerzita Karlova) Stabilita proudění 7. května 2015 1 / 30 Obsah 1 Úvod Stabilita
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowoZadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
Bardziej szczegółowoheteroskedasticitě Radim Navrátil, Jana Jurečková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky, MFF UK, Praha
Pořadové testy v regresi při rušivé heteroskedasticitě Radim Navrátil, Jana Jurečková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky, MFF UK, Praha Robust 2014, Jetřichovice 22.1.2014 Radim Navrátil,
Bardziej szczegółowoprof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
Náhodné vektory prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.
Komplexí aalýa Písemá část koušky (XX.XX.XXXX) Jméo a příjmeí:... Podpis:... Příklad.. 3.. 5. Body Před ahájeím práce Vyplňte čitelě rubriku Jméo a příjmeí a podepište se. Během písemé koušky smíte mít
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoMatematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowoObsah. Aplikovaná matematika I. Vlivem meze Vlivem funkce Bernhard Riemann. Mendelu Brno. 3 Vlastnosti určitého integrálu
Určitý integrál Aplikovná mtemtik I Dn Říhová Mendelu Brno Obsh Zákldní úloh integrálního počtu Definice určitého integrálu 3 Vlstnosti určitého integrálu 4 Výpočet určitého integrálu 5 Geometrické plikce
Bardziej szczegółowo6 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá lineární algebra 3. série 6 Dedekindovy řezy (3 bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval Dedekind
Bardziej szczegółowoZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd. Katedra matematiky. Semestrální práce - matematika a byznys
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Obor: Matematické inženýrství Optimální výrobní program Semestrální práce - matematika a byznys Vypracovala: Radka Zahradníková
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowoMetody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Bardziej szczegółowoNumerické metody KI/NME. Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D.
Numerické metody KI/NME Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. Ústí nad Labem 2016 Kurz: Obor: Klíčová slova: Anotace: Numerické metody Informační systémy, Informatika
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoKombinatorika a grafy I
Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky
Bardziej szczegółowoDefinice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;
Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),
Bardziej szczegółowo