Výzvy, které před matematiku staví
|
|
- Alojzy Sobczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 / 21 Výzvy, které před matematiku staví výpočetní technika Edita Pelantová Katedra matematiky, FJFI, České vysoké učení technické v Praze 25. pledna 2018 Praha
2 Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I
3 Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII
4 Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848
5 Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční
6 3 / 21
7 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII
8 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5
9 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 =
10 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 = krát 37 = 12 1 krát 43
11 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 = krát 37 = 12 1 krát 43 Co ovlivňuje volbu zápisu čísel:
12 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 = krát 37 = 12 1 krát 43 Co ovlivňuje volbu zápisu čísel: za jakým účelem číslo zaznamenáváme jednoduchost algoritmů technické možnosti vykonávatele (velká pamět? hodně procesorů? )
13 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D.
14 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} 54 =
15 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} 54 =
16 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 =
17 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? Grunwald =
18 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1}
19 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n ( 2) n + a n 1 ( 2) n a 1 ( 2) 1 + a 0 ( 2) 0, kde a i {0, 1}.
20 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n ( 2) n + a n 1 ( 2) n a 1 ( 2) 1 + a 0 ( 2) 0, kde a i {0, 1}. 54 =
21 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n ( 2) n + a n 1 ( 2) n a 1 ( 2) 1 + a 0 ( 2) 0, kde a i {0, 1}. 54 = 1.( 2) 6 +0.( 2) 5 +0.( 2) 4 +1.( 2) 3 +0.( 2) 2 +1.( 2) 1 +0.( 2) 0
22 Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů?
23 Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1}
24 Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n 3 n + a n 1 3 n a a 0 3 0, kde a i {1, 0, 1}. 54 =
25 Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n 3 n + a n 1 3 n a a 0 3 0, kde a i {1, 0, 1}. 54 =
26 Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n 3 n + a n 1 3 n a a 0 3 0, kde a i {1, 0, 1}. 54 = V této soustavě počítaly první ruské počítače Výhody: kratší zápis čísla než binárně lze zpasat kladné i záporné čísla rozvoj x snadno z rozvoje x, stačí umět sčítat, odčítání stejné vhodná abeceda na násobení
27 Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21
28 Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců
29 Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců
30 Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců x =... x j+t... x j+1 x j x j 1... x j r... x j A y =... y j+t... y j+1 y j y j 1... y j r... y j A u j = x j + y j... u j+t... u j+1 u j u j 1... u j r }{{}... u j A + A
31 Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců x =... x j+t... x j+1 x j x j 1... x j r... x j A y =... y j+t... y j+1 y j y j 1... y j r... y j A u j = x j + y j... u j+t... u j+1 u j u j 1... u j r }{{}... u j A + A v j = φ(u j+t... u j r )... v j+t... v j+1 v j v j 1... v j r... v j A
32 klasická desítková soustava 8 / x
33 klasická desítková soustava 8 / x Nutná redundance!!!
34 klasická desítková soustava 8 / x Nutná redundance!!! Avizienis 1961: pro báze b N, b 3, abecedy A = { a, a + 1,..., 1, 0, 1,..., a}, kde a b 2.
35 klasická desítková soustava 8 / x Nutná redundance!!! Avizienis 1961: pro báze b N, b 3, abecedy A = { a, a + 1,..., 1, 0, 1,..., a}, kde a b 2. Pentium používá pro dělení algoritmus SRT a redundantní soustavu se základem β = 4 a pěti ciframi { 2, 1, 0, 1, 2},
36 9 / 21 Algorithm: Base b = 4, alphabet A = { 2 1, 0, 1, 2} Input: two finite sequences of digits (x i ) and (y i ) of { 2 1, 0, 1, 2} Output: a finite sequence of digits (z i ) of { 2 1, 0, 1, 2}, such that xi 4 i + y i 4 i = z i 4 i. for each i in parallel do 0. w i := x i + y { i } wi 3 1. case then q w i = 2 and w i 1 2 i := 1 { } wi 3 case then q w i = 2 and w i 1 2 i := 1 else q i := 0 2. z i := w i q i 4 + q i 1
37 Jak chytře násobit? 10 / 21
38 Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n
39 Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n Co je špatně na klasických algoritmech pro A/B a pro A?
40 Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n Co je špatně na klasických algoritmech pro A/B a pro A? On-line algoritmus se zpožděním δ N
41 Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n Co je špatně na klasických algoritmech pro A/B a pro A? On-line algoritmus se zpožděním δ N Trivedi a Ercegovac v roce 1974 zavedli on-line algoritmus na násobení a dělení pro redundantní soustavy.
42 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků:
43 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre
44 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme
45 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom
46 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny
47 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze:
48 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku
49 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině)
50 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa
51 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom
52 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki
53 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii
54 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow
55 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow základ 200: Jorubština v kombinaci s bází 5
56 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow základ 200: Jorubština v kombinaci s bází 5 základ 60: Sumer
57 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow základ 200: Jorubština v kombinaci s bází 5 základ 60: Sumer
58 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky
59 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,...
60 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál
61 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady:
62 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách
63 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva
64 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva v jazyce kobon sa počítají postupně: prsty, zápěstí, loket, rameno, kĺıční kost, krk a dále v opačném pořadí
65 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva v jazyce kobon sa počítají postupně: prsty, zápěstí, loket, rameno, kĺıční kost, krk a dále v opačném pořadí v některých jazycích se počítají: ĺıce, uši, oči, nos, nosné dírky, brada, prsní kost, prsty na nohách, atd. Výjimečně i genitálie (číslovky 31, 32, 33 v jazyce yupno)
66 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva v jazyce kobon sa počítají postupně: prsty, zápěstí, loket, rameno, kĺıční kost, krk a dále v opačném pořadí v některých jazycích se počítají: ĺıce, uši, oči, nos, nosné dírky, brada, prsní kost, prsty na nohách, atd. Výjimečně i genitálie (číslovky 31, 32, 33 v jazyce yupno) Jan Pokorný: Lingvistická antropologie, Grada 2010
67 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k=
68 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = = 1, a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1
69 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = = 1, a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11
70 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = = 1, a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11 = 10 01
71 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = = 1, a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11 = = =...
72 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = = 1, a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11 = = =... ( 1 2 ) τ = 0 (010) ω =
73 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21
74 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965
75 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A.
76 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A;
77 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,...
78 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2
79 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2 = (2) γ = 1100 (3) γ = 1101
80 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2 = (2) γ = 1100 (3) γ = 1101 (4) γ = ( 1) γ = 11101
81 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2 = (2) γ = 1100 (3) γ = 1101 (4) γ = ( 1) γ = Jak v této soustavě sčítat?
82 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21
83 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi?
84 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích
85 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i.
86 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace:
87 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace: 55 (1, 0, 6),
88 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace: 55 (1, 0, 6), 10 (1, 0, 3)
89 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace: 55 (1, 0, 6), 10 (1, 0, 3) součet = 65 (2, 0, 2).
90 Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0
91 Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3
92 Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3 p( 1 2 ) = 3( 1 2 ) = 5 4 = 1, 25
93 Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3 p( 1 2 ) = 3( 1 2 ) = 5 4 = 1, 25 Další funkce sin x 2 x ln x
94 Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3 p( 1 2 ) = 3( 1 2 ) = 5 4 = 1, 25 Další funkce sin x 2 x ln x e x = ! x + 1 2! x ! x ! x = sin x = x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x = k=0 k=0 1 k! x k ( 1) k (2k + 1)! x 2k+1
95 Rozvoje čísla do nekonečných řad 17 / 21 Věta Necht (w n ) je klesající posloupnost kladných čísel taková, že w n je konvergentní a w n tvaru k=n+1 x = n=1 w k. Pak každé x [0, w n ] lze zapsat ve n=1 d n w n, kde d n {0, 1} n=1
96 Rozvoje čísla do nekonečných řad 17 / 21 Věta Necht (w n ) je klesající posloupnost kladných čísel taková, že w n je konvergentní a w n tvaru k=n+1 x = n=1 w k. Pak každé x [0, w n ] lze zapsat ve n=1 d n w n, kde d n {0, 1} n=1 Hladový algoritmus pro hledání d n { 1 když tn 1 + w t 0 = 0, t n = t n 1 + d n w n, d n = n x 0 jinak splňují x = lim t n = lim n n n d k w k k=1
97 Výpočet exp(x) 18 / 21
98 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,...
99 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). i=1
100 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) i=1 = (1 + 2 i ) d i i=1 i=1
101 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) i=1 i=1 i=1 = (1 + 2 i ) d i = (1 + d i 2 i ) i=1
102 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) výpočet e x i=1 i=1 i=1 = (1 + 2 i ) d i = (1 + d i 2 i ) i=1 E 0 := 1, E n = E n 1 (1 + d n 2 n ) = E n 1 + d n 2 n E n 1
103 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) výpočet e x i=1 i=1 i=1 = (1 + 2 i ) d i = (1 + d i 2 i ) i=1 E 0 := 1, E n = E n 1 (1 + d n 2 n ) = E n 1 + d n 2 n E n 1 Kvůli odhadu chyby: exp x E n Pro x [0, ln 2] ( = exp i=n+1 0 e x E n = ) ( d i ln(1 + 2 i ) < exp i=n+1 2 i) = exp( 1 2 n ) ( 1 E n e x ) e x < 2 ( 1 e 1 2 n ) 1 2 n 1
104 Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x?
105 Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu
106 Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu Algoritmus: vstup x 1 Najdi k N tak, aby y = x k ln 2 [0, ln 2] 2 Spočítej předchozí metodou e y 3 Polož e x = e y+k ln 2 = 2 k e y (tedy posuň binární tečku v e y o k míst)
107 Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu Algoritmus: vstup x 1 Najdi k N tak, aby y = x k ln 2 [0, ln 2] 2 Spočítej předchozí metodou e y 3 Polož e x = e y+k ln 2 = 2 k e y (tedy posuň binární tečku v e y o k míst) Shift and Add Algorithm pro výpočet sin a cos : rozvoj do řady dn arctan 2 n, kde d n { 1, 1}
108 Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu Algoritmus: vstup x 1 Najdi k N tak, aby y = x k ln 2 [0, ln 2] 2 Spočítej předchozí metodou e y 3 Polož e x = e y+k ln 2 = 2 k e y (tedy posuň binární tečku v e y o k míst) Shift and Add Algorithm pro výpočet sin a cos : rozvoj do řady dn arctan 2 n, kde d n { 1, 1} tzv. algoritmus CORDIC
109 20 / 21
110 katalytické výpočty 20 / 21
111 Děkuji za pozornost 21 / 21
Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowo1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowoReprezentace dat. BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner
Reprezentace dat BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı ČVUT v Praze xvagner@fit.cvut.cz 9., 11. a 12. října 2017 Obsah Dvojková
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowoLogika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Bardziej szczegółowoRovnice proudění Slapový model
do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,
Bardziej szczegółowoGeometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowoRobotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.
Robotika Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D., Řízení stacionárních robotů P P z q = f 1 (P) q z Pøímá úloha q U ROBOT q P R q = h(u) P = f (q) DH: Denavit-Hartenberg (4DOF/kloub) A i
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowokontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowoGEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowoObsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Bardziej szczegółowoTGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Co je to algoritmus? Porovnávání algoritmů Porovnávání algoritmů Co je to algoritmus? Který algoritmus je lepší? Záleží
Bardziej szczegółowoInternet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.
Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowoTGH01 - Algoritmizace
TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms) SPOX: tgh.spox.spoj.pl
Bardziej szczegółowoDefinice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;
Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowoMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Bardziej szczegółowoMatematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Bardziej szczegółowo1 Derivace funkce a monotonie
MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s
Bardziej szczegółowoAlgebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY Dana Černá http://kmd.fp.tul.cz Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci INFORMACE O PŘEDMĚTU Konzultační hodiny: ÚT 11:00-12:00, budova G,
Bardziej szczegółowoChyby, podmíněnost a stabilita
Chyby, podmíněnost a stabilita Numerické metody 4. března 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Čísla v počítači Chyby Citlivost Stabilita 1 Čísla v počítači Čísla v počítači - Celá čísla jméno bity rozsah typy
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowoPowyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!
Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowoMatematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowoalgebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
Bardziej szczegółowoAutomatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoMartin Pergel. 26. února Martin Pergel
26. února 2017 Užitečné informace Navážeme na Programování I, změníme jazyk na C#, podrobnosti o C# budou v navazujícím kurzu, soustředíme se na totéž, co v zimě, tedy: technické programování, návrh a
Bardziej szczegółowoZákladní elektrotechnická terminologie,
Přednáška č. 1: Základní elektrotechnická terminologie, veličiny a zákony Obsah 1 Terminologie 2 2 Veličiny 6 3 Kirchhoffovy zákony 11 4 Literatura 14 OBSAH Strana 1 / 14 1 TERMINOLOGIE Strana 2 / 14 1
Bardziej szczegółowo1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowoMetody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Bardziej szczegółowoKombinatorika a grafy I
Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky
Bardziej szczegółowoNumerické metody KI/NME. Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D.
Numerické metody KI/NME Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. Ústí nad Labem 2016 Kurz: Obor: Klíčová slova: Anotace: Numerické metody Informační systémy, Informatika
Bardziej szczegółowoB0B99PRPA Procedurální programování
B0B99PRPA Procedurální programování Řidící struktury, výrazy Stanislav Vítek Katedra radioelektroniky Fakulta elektrotechnická České vysoké učení v Praze 1/48 Přehled témat Část 1 Řídicí struktury Kódovací
Bardziej szczegółowoStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Bardziej szczegółowoPetr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Bardziej szczegółowoPojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Bardziej szczegółowoZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoNekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoParadoxy geometrické pravděpodobnosti
Katedra aplikované matematiky 1. června 2009 Úvod Cíle práce : Analýza Bertrandova paradoxu. Tvorba simulačního softwaru. Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 V rovině je zadán kruh
Bardziej szczegółowoEnergetické principy a variační metody ve stavební mechanice
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná
Bardziej szczegółowoOkrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být
Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...
Bardziej szczegółowoPetr Křemen FEL ČVUT. Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156
Vysvětlování modelovacích chyb Petr Křemen FEL ČVUT Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156 Co nás čeká 1 Konjunktivní dotazy 2 Vyhodnocování konjunktivních dotazů v jazyce ALC
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowoObsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Bardziej szczegółowoBiosignál I. Lékařská fakulta Masarykovy univerzity Brno
Biofyzikální ústav Lékařská fakulta Masarykovy univerzity Brno 2010 Biosignál O co jde? Signál signál je fyzikální děj nesoucí informaci o systému užitečnou informaci Biosignál signál nese informaci o
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Bardziej szczegółowoB0B99PRPA Procedurální programování
B0B99PRPA Procedurální programování Základní řidící struktury Stanislav Vítek Katedra radioelektroniky Fakulta elektrotechnická České vysoké učení v Praze 1/40 Přehled témat Část 1 Programování v C Zdrojové
Bardziej szczegółowoExpresivní deskripční logiky
Expresivní deskripční logiky Petr Křemen FEL ČVUT Petr Křemen (FEL ČVUT) Expresivní deskripční logiky 79 / 156 Co nás čeká 1 Inference v deskripčních logikách 2 Inferenční algoritmy Tablový algoritmus
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowoFAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Úvod, opakování, soustavy sil Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.broovsky@vsb.c WWW:
Bardziej szczegółowoLineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Bardziej szczegółowoKombinatorika a komplexní aritmetika
a komplexní aritmetika katedra matematiky, FEL ČVUT v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ Jan Hamhalter Datum Komplexní čísla, kombinatorika 1/56 Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoAnna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17
Parciální diferenciální rovnice ve zpracování obrazu Anna Kratochvílová FJFI ČVUT 10. 6. 2009 Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu 10. 6. 2009 1 / 17 Obsah 1 Motivace 2 Vyšetření pomocí
Bardziej szczegółowoZadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoHOMOGENIZACE ÚLOH NEURČITOSTMI V KOEFICIENTECH
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Ústav matematiky Ing. Luděk Nechvátal S HOMOGENIZACE ÚLOH NEURČITOSTMI V KOEFICIENTECH Homogenization of Problems with Uncertainties in Coefficients
Bardziej szczegółowoMatematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowo