Výzvy, které před matematiku staví

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Výzvy, které před matematiku staví"

Transkrypt

1 1 / 21 Výzvy, které před matematiku staví výpočetní technika Edita Pelantová Katedra matematiky, FJFI, České vysoké učení technické v Praze 25. pledna 2018 Praha

2 Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I

3 Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII

4 Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848

5 Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční

6 3 / 21

7 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII

8 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5

9 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 =

10 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 = krát 37 = 12 1 krát 43

11 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 = krát 37 = 12 1 krát 43 Co ovlivňuje volbu zápisu čísel:

12 Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 = krát 37 = 12 1 krát 43 Co ovlivňuje volbu zápisu čísel: za jakým účelem číslo zaznamenáváme jednoduchost algoritmů technické možnosti vykonávatele (velká pamět? hodně procesorů? )

13 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D.

14 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} 54 =

15 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} 54 =

16 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 =

17 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? Grunwald =

18 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1}

19 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n ( 2) n + a n 1 ( 2) n a 1 ( 2) 1 + a 0 ( 2) 0, kde a i {0, 1}.

20 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n ( 2) n + a n 1 ( 2) n a 1 ( 2) 1 + a 0 ( 2) 0, kde a i {0, 1}. 54 =

21 Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n ( 2) n + a n 1 ( 2) n a 1 ( 2) 1 + a 0 ( 2) 0, kde a i {0, 1}. 54 = 1.( 2) 6 +0.( 2) 5 +0.( 2) 4 +1.( 2) 3 +0.( 2) 2 +1.( 2) 1 +0.( 2) 0

22 Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů?

23 Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1}

24 Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n 3 n + a n 1 3 n a a 0 3 0, kde a i {1, 0, 1}. 54 =

25 Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n 3 n + a n 1 3 n a a 0 3 0, kde a i {1, 0, 1}. 54 =

26 Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n 3 n + a n 1 3 n a a 0 3 0, kde a i {1, 0, 1}. 54 = V této soustavě počítaly první ruské počítače Výhody: kratší zápis čísla než binárně lze zpasat kladné i záporné čísla rozvoj x snadno z rozvoje x, stačí umět sčítat, odčítání stejné vhodná abeceda na násobení

27 Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21

28 Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců

29 Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců

30 Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců x =... x j+t... x j+1 x j x j 1... x j r... x j A y =... y j+t... y j+1 y j y j 1... y j r... y j A u j = x j + y j... u j+t... u j+1 u j u j 1... u j r }{{}... u j A + A

31 Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců x =... x j+t... x j+1 x j x j 1... x j r... x j A y =... y j+t... y j+1 y j y j 1... y j r... y j A u j = x j + y j... u j+t... u j+1 u j u j 1... u j r }{{}... u j A + A v j = φ(u j+t... u j r )... v j+t... v j+1 v j v j 1... v j r... v j A

32 klasická desítková soustava 8 / x

33 klasická desítková soustava 8 / x Nutná redundance!!!

34 klasická desítková soustava 8 / x Nutná redundance!!! Avizienis 1961: pro báze b N, b 3, abecedy A = { a, a + 1,..., 1, 0, 1,..., a}, kde a b 2.

35 klasická desítková soustava 8 / x Nutná redundance!!! Avizienis 1961: pro báze b N, b 3, abecedy A = { a, a + 1,..., 1, 0, 1,..., a}, kde a b 2. Pentium používá pro dělení algoritmus SRT a redundantní soustavu se základem β = 4 a pěti ciframi { 2, 1, 0, 1, 2},

36 9 / 21 Algorithm: Base b = 4, alphabet A = { 2 1, 0, 1, 2} Input: two finite sequences of digits (x i ) and (y i ) of { 2 1, 0, 1, 2} Output: a finite sequence of digits (z i ) of { 2 1, 0, 1, 2}, such that xi 4 i + y i 4 i = z i 4 i. for each i in parallel do 0. w i := x i + y { i } wi 3 1. case then q w i = 2 and w i 1 2 i := 1 { } wi 3 case then q w i = 2 and w i 1 2 i := 1 else q i := 0 2. z i := w i q i 4 + q i 1

37 Jak chytře násobit? 10 / 21

38 Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n

39 Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n Co je špatně na klasických algoritmech pro A/B a pro A?

40 Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n Co je špatně na klasických algoritmech pro A/B a pro A? On-line algoritmus se zpožděním δ N

41 Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n Co je špatně na klasických algoritmech pro A/B a pro A? On-line algoritmus se zpožděním δ N Trivedi a Ercegovac v roce 1974 zavedli on-line algoritmus na násobení a dělení pro redundantní soustavy.

42 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků:

43 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre

44 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme

45 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom

46 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny

47 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze:

48 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku

49 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině)

50 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa

51 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom

52 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki

53 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii

54 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow

55 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow základ 200: Jorubština v kombinaci s bází 5

56 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow základ 200: Jorubština v kombinaci s bází 5 základ 60: Sumer

57 Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow základ 200: Jorubština v kombinaci s bází 5 základ 60: Sumer

58 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky

59 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,...

60 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál

61 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady:

62 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách

63 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva

64 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva v jazyce kobon sa počítají postupně: prsty, zápěstí, loket, rameno, kĺıční kost, krk a dále v opačném pořadí

65 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva v jazyce kobon sa počítají postupně: prsty, zápěstí, loket, rameno, kĺıční kost, krk a dále v opačném pořadí v některých jazycích se počítají: ĺıce, uši, oči, nos, nosné dírky, brada, prsní kost, prsty na nohách, atd. Výjimečně i genitálie (číslovky 31, 32, 33 v jazyce yupno)

66 Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva v jazyce kobon sa počítají postupně: prsty, zápěstí, loket, rameno, kĺıční kost, krk a dále v opačném pořadí v některých jazycích se počítají: ĺıce, uši, oči, nos, nosné dírky, brada, prsní kost, prsty na nohách, atd. Výjimečně i genitálie (číslovky 31, 32, 33 v jazyce yupno) Jan Pokorný: Lingvistická antropologie, Grada 2010

67 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k=

68 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = = 1, a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1

69 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = = 1, a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11

70 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = = 1, a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11 = 10 01

71 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = = 1, a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11 = = =...

72 Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = = 1, a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11 = = =... ( 1 2 ) τ = 0 (010) ω =

73 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21

74 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965

75 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A.

76 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A;

77 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,...

78 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2

79 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2 = (2) γ = 1100 (3) γ = 1101

80 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2 = (2) γ = 1100 (3) γ = 1101 (4) γ = ( 1) γ = 11101

81 Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2 = (2) γ = 1100 (3) γ = 1101 (4) γ = ( 1) γ = Jak v této soustavě sčítat?

82 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21

83 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi?

84 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích

85 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i.

86 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace:

87 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace: 55 (1, 0, 6),

88 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace: 55 (1, 0, 6), 10 (1, 0, 3)

89 Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace: 55 (1, 0, 6), 10 (1, 0, 3) součet = 65 (2, 0, 2).

90 Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0

91 Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3

92 Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3 p( 1 2 ) = 3( 1 2 ) = 5 4 = 1, 25

93 Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3 p( 1 2 ) = 3( 1 2 ) = 5 4 = 1, 25 Další funkce sin x 2 x ln x

94 Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3 p( 1 2 ) = 3( 1 2 ) = 5 4 = 1, 25 Další funkce sin x 2 x ln x e x = ! x + 1 2! x ! x ! x = sin x = x 1 3! x ! x 5 1 7! x ! x = k=0 k=0 1 k! x k ( 1) k (2k + 1)! x 2k+1

95 Rozvoje čísla do nekonečných řad 17 / 21 Věta Necht (w n ) je klesající posloupnost kladných čísel taková, že w n je konvergentní a w n tvaru k=n+1 x = n=1 w k. Pak každé x [0, w n ] lze zapsat ve n=1 d n w n, kde d n {0, 1} n=1

96 Rozvoje čísla do nekonečných řad 17 / 21 Věta Necht (w n ) je klesající posloupnost kladných čísel taková, že w n je konvergentní a w n tvaru k=n+1 x = n=1 w k. Pak každé x [0, w n ] lze zapsat ve n=1 d n w n, kde d n {0, 1} n=1 Hladový algoritmus pro hledání d n { 1 když tn 1 + w t 0 = 0, t n = t n 1 + d n w n, d n = n x 0 jinak splňují x = lim t n = lim n n n d k w k k=1

97 Výpočet exp(x) 18 / 21

98 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,...

99 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). i=1

100 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) i=1 = (1 + 2 i ) d i i=1 i=1

101 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) i=1 i=1 i=1 = (1 + 2 i ) d i = (1 + d i 2 i ) i=1

102 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) výpočet e x i=1 i=1 i=1 = (1 + 2 i ) d i = (1 + d i 2 i ) i=1 E 0 := 1, E n = E n 1 (1 + d n 2 n ) = E n 1 + d n 2 n E n 1

103 Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) výpočet e x i=1 i=1 i=1 = (1 + 2 i ) d i = (1 + d i 2 i ) i=1 E 0 := 1, E n = E n 1 (1 + d n 2 n ) = E n 1 + d n 2 n E n 1 Kvůli odhadu chyby: exp x E n Pro x [0, ln 2] ( = exp i=n+1 0 e x E n = ) ( d i ln(1 + 2 i ) < exp i=n+1 2 i) = exp( 1 2 n ) ( 1 E n e x ) e x < 2 ( 1 e 1 2 n ) 1 2 n 1

104 Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x?

105 Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu

106 Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu Algoritmus: vstup x 1 Najdi k N tak, aby y = x k ln 2 [0, ln 2] 2 Spočítej předchozí metodou e y 3 Polož e x = e y+k ln 2 = 2 k e y (tedy posuň binární tečku v e y o k míst)

107 Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu Algoritmus: vstup x 1 Najdi k N tak, aby y = x k ln 2 [0, ln 2] 2 Spočítej předchozí metodou e y 3 Polož e x = e y+k ln 2 = 2 k e y (tedy posuň binární tečku v e y o k míst) Shift and Add Algorithm pro výpočet sin a cos : rozvoj do řady dn arctan 2 n, kde d n { 1, 1}

108 Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu Algoritmus: vstup x 1 Najdi k N tak, aby y = x k ln 2 [0, ln 2] 2 Spočítej předchozí metodou e y 3 Polož e x = e y+k ln 2 = 2 k e y (tedy posuň binární tečku v e y o k míst) Shift and Add Algorithm pro výpočet sin a cos : rozvoj do řady dn arctan 2 n, kde d n { 1, 1} tzv. algoritmus CORDIC

109 20 / 21

110 katalytické výpočty 20 / 21

111 Děkuji za pozornost 21 / 21

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální

Bardziej szczegółowo

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19 (6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)

Bardziej szczegółowo

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou. Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.

Bardziej szczegółowo

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)

Bardziej szczegółowo

5. a 12. prosince 2018

5. a 12. prosince 2018 Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže

Bardziej szczegółowo

MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATIKA 3.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce

Bardziej szczegółowo

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019 Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2

Kristýna Kuncová. Matematika B2 (3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?

Bardziej szczegółowo

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16 Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a

Bardziej szczegółowo

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme

Bardziej szczegółowo

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter

Bardziej szczegółowo

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :

Bardziej szczegółowo

1 Soustava lineárních rovnic

1 Soustava lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační

Bardziej szczegółowo

Reprezentace dat. BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner

Reprezentace dat. BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner Reprezentace dat BI-PA1 Programování a Algoritmizace I. Ladislav Vagner Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı ČVUT v Praze xvagner@fit.cvut.cz 9., 11. a 12. října 2017 Obsah Dvojková

Bardziej szczegółowo

Matematika 2, vzorová písemka 1

Matematika 2, vzorová písemka 1 Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět

Bardziej szczegółowo

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 (1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst

Bardziej szczegółowo

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární

Bardziej szczegółowo

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text

Bardziej szczegółowo

Úvodní informace. 18. února 2019

Úvodní informace. 18. února 2019 Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz

Bardziej szczegółowo

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 (2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25

Bardziej szczegółowo

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018 Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y

Bardziej szczegółowo

Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Bardziej szczegółowo

Rovnice proudění Slapový model

Rovnice proudění Slapový model do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,

Bardziej szczegółowo

Geometrická nelinearita: úvod

Geometrická nelinearita: úvod Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,

Bardziej szczegółowo

Linea rnı (ne)za vislost

Linea rnı (ne)za vislost [1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,

Bardziej szczegółowo

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018 Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv

Bardziej szczegółowo

Robotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.

Robotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D. Robotika Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D., Řízení stacionárních robotů P P z q = f 1 (P) q z Pøímá úloha q U ROBOT q P R q = h(u) P = f (q) DH: Denavit-Hartenberg (4DOF/kloub) A i

Bardziej szczegółowo

Inverzní Z-transformace

Inverzní Z-transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25

Bardziej szczegółowo

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Bardziej szczegółowo

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z

Bardziej szczegółowo

Numerické metody minimalizace

Numerické metody minimalizace Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace

Bardziej szczegółowo

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010 Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010

Bardziej szczegółowo

GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2

GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2 GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova

Bardziej szczegółowo

Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)

Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace) Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice

Bardziej szczegółowo

TGH01 - Algoritmizace

TGH01 - Algoritmizace TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Co je to algoritmus? Porovnávání algoritmů Porovnávání algoritmů Co je to algoritmus? Který algoritmus je lepší? Záleží

Bardziej szczegółowo

Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.

Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010

Bardziej szczegółowo

Matematika III Stechiometrie stručný

Matematika III Stechiometrie stručný Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup

Bardziej szczegółowo

Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS

Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě

Bardziej szczegółowo

DFT. verze:

DFT. verze: Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály

Bardziej szczegółowo

TGH01 - Algoritmizace

TGH01 - Algoritmizace TGH01 - Algoritmizace Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms) SPOX: tgh.spox.spoj.pl

Bardziej szczegółowo

Definice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;

Definice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ; Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),

Bardziej szczegółowo

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2. Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5

Bardziej szczegółowo

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen

Bardziej szczegółowo

Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β

Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................

Bardziej szczegółowo

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52 í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz

Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D.   pf.jcu.cz Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/

Bardziej szczegółowo

1 Derivace funkce a monotonie

1 Derivace funkce a monotonie MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s

Bardziej szczegółowo

Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se

Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých

Bardziej szczegółowo

Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici

Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité

Bardziej szczegółowo

Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.

Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body. Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:

Bardziej szczegółowo

MATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATIKA 3 NUMERICKÉ METODY Dana Černá http://kmd.fp.tul.cz Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci INFORMACE O PŘEDMĚTU Konzultační hodiny: ÚT 11:00-12:00, budova G,

Bardziej szczegółowo

Chyby, podmíněnost a stabilita

Chyby, podmíněnost a stabilita Chyby, podmíněnost a stabilita Numerické metody 4. března 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Čísla v počítači Chyby Citlivost Stabilita 1 Čísla v počítači Čísla v počítači - Celá čísla jméno bity rozsah typy

Bardziej szczegółowo

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html

Bardziej szczegółowo

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy! Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.

Bardziej szczegółowo

MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.

MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny. MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:

Bardziej szczegółowo

Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7

Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7 Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí

Bardziej szczegółowo

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více 5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme

Bardziej szczegółowo

algebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy

algebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy 1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat

Bardziej szczegółowo

Automatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Automatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan

Bardziej szczegółowo

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na

Bardziej szczegółowo

Martin Pergel. 26. února Martin Pergel

Martin Pergel. 26. února Martin Pergel 26. února 2017 Užitečné informace Navážeme na Programování I, změníme jazyk na C#, podrobnosti o C# budou v navazujícím kurzu, soustředíme se na totéž, co v zimě, tedy: technické programování, návrh a

Bardziej szczegółowo

Základní elektrotechnická terminologie,

Základní elektrotechnická terminologie, Přednáška č. 1: Základní elektrotechnická terminologie, veličiny a zákony Obsah 1 Terminologie 2 2 Veličiny 6 3 Kirchhoffovy zákony 11 4 Literatura 14 OBSAH Strana 1 / 14 1 TERMINOLOGIE Strana 2 / 14 1

Bardziej szczegółowo

1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A

1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A 1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}

Bardziej szczegółowo

Kapitola 2. Nelineární rovnice

Kapitola 2. Nelineární rovnice Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné

Bardziej szczegółowo

Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou

Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou 2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,

Bardziej szczegółowo

Kombinatorika a grafy I

Kombinatorika a grafy I Kombinatorika a grafy I Martin Balko 1. přednáška 19. února 2019 Základní informace Základní informace úvodní kurs, kde jsou probrány základy kombinatoriky a teorie grafů ( pokračování diskrétní matematiky

Bardziej szczegółowo

Numerické metody KI/NME. Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D.

Numerické metody KI/NME. Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D. Numerické metody KI/NME Doc. RNDr. Jiří Felcman, CSc. RNDr. Petr Kubera, Ph.D. RNDr. Jiří Škvor, Ph.D. Ústí nad Labem 2016 Kurz: Obor: Klíčová slova: Anotace: Numerické metody Informační systémy, Informatika

Bardziej szczegółowo

B0B99PRPA Procedurální programování

B0B99PRPA Procedurální programování B0B99PRPA Procedurální programování Řidící struktury, výrazy Stanislav Vítek Katedra radioelektroniky Fakulta elektrotechnická České vysoké učení v Praze 1/48 Přehled témat Část 1 Řídicí struktury Kódovací

Bardziej szczegółowo

Statistika (KMI/PSTAT)

Statistika (KMI/PSTAT) Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina

Bardziej szczegółowo

Petr Beremlijski, Marie Sadowská

Petr Beremlijski, Marie Sadowská Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování

Bardziej szczegółowo

Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.

Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy. 1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny

Bardziej szczegółowo

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala

Bardziej szczegółowo

Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek

Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.

Bardziej szczegółowo

Nekomutativní Gröbnerovy báze

Nekomutativní Gröbnerovy báze Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Paradoxy geometrické pravděpodobnosti

Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Katedra aplikované matematiky 1. června 2009 Úvod Cíle práce : Analýza Bertrandova paradoxu. Tvorba simulačního softwaru. Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 V rovině je zadán kruh

Bardziej szczegółowo

Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice

Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná

Bardziej szczegółowo

Okrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být

Okrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...

Bardziej szczegółowo

Petr Křemen FEL ČVUT. Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156

Petr Křemen FEL ČVUT. Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156 Vysvětlování modelovacích chyb Petr Křemen FEL ČVUT Petr Křemen (FEL ČVUT) Vysvětlování modelovacích chyb 133 / 156 Co nás čeká 1 Konjunktivní dotazy 2 Vyhodnocování konjunktivních dotazů v jazyce ALC

Bardziej szczegółowo

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006 Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce

Bardziej szczegółowo

Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30

Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30 Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert

Bardziej szczegółowo

Biosignál I. Lékařská fakulta Masarykovy univerzity Brno

Biosignál I. Lékařská fakulta Masarykovy univerzity Brno Biofyzikální ústav Lékařská fakulta Masarykovy univerzity Brno 2010 Biosignál O co jde? Signál signál je fyzikální děj nesoucí informaci o systému užitečnou informaci Biosignál signál nese informaci o

Bardziej szczegółowo

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného

Bardziej szczegółowo

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument) KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A

Bardziej szczegółowo

Laplaceova transformace

Laplaceova transformace Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17

Bardziej szczegółowo

B0B99PRPA Procedurální programování

B0B99PRPA Procedurální programování B0B99PRPA Procedurální programování Základní řidící struktury Stanislav Vítek Katedra radioelektroniky Fakulta elektrotechnická České vysoké učení v Praze 1/40 Přehled témat Část 1 Programování v C Zdrojové

Bardziej szczegółowo

Expresivní deskripční logiky

Expresivní deskripční logiky Expresivní deskripční logiky Petr Křemen FEL ČVUT Petr Křemen (FEL ČVUT) Expresivní deskripční logiky 79 / 156 Co nás čeká 1 Inference v deskripčních logikách 2 Inferenční algoritmy Tablový algoritmus

Bardziej szczegółowo

7. Aplikace derivace

7. Aplikace derivace 7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,

Bardziej szczegółowo

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Úvod, opakování, soustavy sil Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.broovsky@vsb.c WWW:

Bardziej szczegółowo

Lineární algebra - iterační metody

Lineární algebra - iterační metody Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je

Bardziej szczegółowo

Kombinatorika a komplexní aritmetika

Kombinatorika a komplexní aritmetika a komplexní aritmetika katedra matematiky, FEL ČVUT v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ Jan Hamhalter Datum Komplexní čísla, kombinatorika 1/56 Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Anna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17

Anna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17 Parciální diferenciální rovnice ve zpracování obrazu Anna Kratochvílová FJFI ČVUT 10. 6. 2009 Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu 10. 6. 2009 1 / 17 Obsah 1 Motivace 2 Vyšetření pomocí

Bardziej szczegółowo

Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných

Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

HOMOGENIZACE ÚLOH NEURČITOSTMI V KOEFICIENTECH

HOMOGENIZACE ÚLOH NEURČITOSTMI V KOEFICIENTECH Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Ústav matematiky Ing. Luděk Nechvátal S HOMOGENIZACE ÚLOH NEURČITOSTMI V KOEFICIENTECH Homogenization of Problems with Uncertainties in Coefficients

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)

Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.

Bardziej szczegółowo

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU

Bardziej szczegółowo