Statystyka Inżynierska

Transkrypt

1 Statystya Iżyiersa dr hab. iż. Jace Tarasiu GH, WFiIS 03 Wyład 4 RCHUNEK NIEPEWNOŚCI + KILK UŻYTECZNYCH NRZĘDZI STTYSTYCZNYCH Wyład w więszości oparty a opracowaiu prof.. Zięby

2 Pomiar i jego wyi pomiaru = prawdziwa wartość mierzoa + błędy Wyi pomiaru (zazwyczaj) jest zmieą losową. Podaie samego tylo wyiu pomiaru (ściśle rzecz biorąc) ie iesie żadej iformacji. W codzieej pratyce, często przyjmujemy pewe milczące założeia a temat wiarygodości pomiaru. W auce i pracy iżyiersiej ta czyić ie możemy. Dlatego powiiśmy podać wyi pomiaru wraz z oceą jego wiarygodości azywaą ą pomiarową. Teoria pomiaru ie jest auą ścisłą, choć ma cechy aui (podobie ja medycya). Guide to Epressio of Ucertaity i Measuremet przyjęty w r. 995 przez Międzyarodową Orgaizację Normalizacyją ISO. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5. Ocea typu względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T Wyrażaie Niepewości Pomiaru. Przewodi. Przetłumaczoy i wyday w 999 przez Główy Urząd Miar Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

3 Rodzaje błędów łąd pomiaru to różica pomiędzy wartością zmierzoą i a rzeczywistą 0. błąd pomiaru i 0 błąd przypadowy błąd systematyczy błąd gruby.rodzaje błędów 4. Ocea typu 5. Ocea typu względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T 3 Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

4 Niepewość pomiarowa Niepewość pomiaru jest związaym z rezultatem pomiaru parametrem, charateryzującym rozrzut wyiów, tóry moża w uzasadioy sposób przypisać wartości mierzoej. Niepewość graicza Δ oreśla przedział, w tórym mieszczą się wszystie wyii pomiarów, dotychczasowe i przyszłe. Niepewość stadardowa jest oszacowaiem odchyleia stadardowego. Niepewość stadardową ozaczamy symbolem u() co ie ozacza fucji! Zapis te czytamy pomiarowa wielości. Zapis tai może być użyty a przyład w tai sposób: u(stężeie NaCl). Niepewością względą azywamy stosue (bezwzględej) do wielości mierzoej: 4 i 0 0 u Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych. Rodzaje błędów 3.Niepewość pomiarowa 4. Ocea typu 5. Ocea typu względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T a co z doładością pomiaru? GH, Tarasiu 03

5 Ocea typu Oceę typu stosujemy w pomiarach, w tórych występuje błąd przypadowy, a oleje wyii pomiarów ie są ze sobą sorelowae i mają tai sam rozład. Dodatowo załada się, że wyii podlegają rozładowi ormalemu. W pratyce rzado sprawdzamy te założeia, ale dobrze się jest przyajmiej zastaowić, czy w oczywisty sposób ie są oe iespełioe. Jao ajlepsze oszacowaie wartości mierzoej przyjmuje się średią arytmetyczą: i Miarą rozrzutu pojedyczego pomiaru jest estymator odchyleia stadardowego: i S Za pomiaru przyjmuje się estymator odchyleia stadardowego średiej, czyli: u S i. Rodzaje błędów 4.Ocea typu 5. Ocea typu względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T 5 Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

6 Ocea typu Ocea typu stosowaa jest, gdy statystycza aaliza serii obserwacji ie jest możliwa. Na przyład dla błędu systematyczego lub gdy występuje błąd przypadowy, ale dyspoujemy tylo jedym rezultatem pomiaru. Ocea typu opiera się a auowym osądzie esperymetatora wyorzystującym wszystie iformacje o pomiarze i źródłach jego. Do ocey typu wyorzystać moża między iymi: dae z pomiarów poprzedich, doświadczeie i wiedzę t. przyrządów i obietów mierzoych, iformacje produceta przyrządów, przypisae daym zaczerpiętym z literatury.. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5.Ocea typu względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T 6 Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

7 Ocea typu Przyrządy tradycyje (przymiar milimetrowy, termometr cieczowy, stoper mechaiczy) mają sale z podziałą. Najmiejsza działa sali zwaa jest działą elemetarą. Przyjmuje się, że: u() działa elemetara Mierii eletroicze aalogowe mają podaą tzw. lasę przyrządu, a pomiaru dooujemy a oreśloym zaresie, wówczas: lasa przyrz. zares 00 W przypadu mieriów eletroiczych cyfrowych producet podaje albo graiczą a daym zaresie, albo dwie wartości C i C, tóre posłużą do wyzaczeia: C C zares W obu powyższych przypadach załada się, że rozład wyiów w zaresie Δ jest rówomiery, co daje : u 3. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5.Ocea typu względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T 7 Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

8 Prawo przeoszeia W wielu przypadach szuaej wielości ie da się zmierzyć pojedyczym pomiarem, da się ją atomiast wyliczyć wyoując ila iych pomiarów a podstawie wzoru y(, ). W taiej sytuacji wielości y wyliczamy a podstawie prawa przeoszeia i azywamy ją ą złożoą u c () : u c y u y W tym przypadu wyliczamy wartość pochodej w pucie, będącym wyiiem pomiaru. Niepewość jest więc oretą liczbą, a ie fucją.. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5. Ocea typu 6.Prawo przeoszeia względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T 8 Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

9 Przeoszeie wzgl. ardzo często stosuje się rówież prawo przeoszeia względych: u c y y y y u u c y y u y postać fucji y cost y cost / y cost y cost ep y cost l a a p p y y u y - a cost / y. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5. Ocea typu 7.Prawo przeoszeia względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T 9 Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

10 Niepewość rozszerzoa Własością stadardowej jest, że w przedziale od u() do + u() wartość rzeczywista zajduje się z prawdopodobieństwem ooło /3 (doładie: 68% dla rozładu Gaussa, 58% dla rozładu jedostajego). Niepewość rozszerzoa jest to powięszoa stadardowa, wybraa ta, by w przedziale (y U(y), y + U(y)) zalazła się przeważająca część wyiów pomiaru potrzeba do oreśloych zastosowań w przemyśle, medycyie, ochroie środowisa. Wartość U obliczamy możąc złożoą przez bezwymiarowy współczyi rozszerzeia : Zgodie z międzyarodową pratyą do obliczeia U przyjmuje się ajczęściej umową wartość =. Wartości ie iż mogą być stosowae tylo w przypadu szczególych zastosowań i wiy być dytowae przez ustaloe i udoumetowae wymagaia. U y u c y. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5. Ocea typu względych 8.Niepewość rozszerzoa 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T 0 Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

11 Zapis Niepewość stadardowa przyspieszeie ziemsie jest rówe 9,866 m/s z ą 0,08 m/s ; g = 9,866 m/s ; u(g) = 0,08 m/s ; g = 9,866(8) m/s. Niepewość rozszerzoa przyspieszeie ziemsie wyosi 9,866 m/s z ą rozszerzoą 0,056 m/s ; g = 9,866 m/s ; U(g) = 0,056 m/s ; g = (9,866 ± 0,056) m/s. Zasady: Niepewość zapisujemy z doładością dwu cyfr zaczących.. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5. Ocea typu względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T Wartość mierzoą zaorąglamy do tego samego miejsca, co. Jeżeli ostatią cyfrą wyiu jest zero, ależy ją pozostawić, jao cyfrę zaczącą. Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

12 Histogramy Histogram (wyres słupowy) reprezetuje dla ażdego z przedziałów zmieej liczbę jej wystąpień w zbiorze daych. Jeżeli dla ażdego przedziału liczbę tą podzielimy przez wielość zbioru uzysamy histogram zormalizoway. Liczbę lub szeroość przedziałów h moża wyzaczyć arbitralie lub z jedej z reguł:. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5. Ocea typu Reguła Sturgesa: log względych Reguła Scotta: h 3.5 S 3 9. Zapis. Regresja jeszcze raz Reguła pierwiastowa: 3. Test χ 4. Test T Reguły zdroworozsądowe : brau dziur, mootoiczości Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

13 Wyresy.. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5. Ocea typu względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T 3 Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

14 Regresja jeszcze raz Jeżeli mamy zbiór par liczb (p. wyiów pomiarów) ( i,y i ), wówczas, bez liczeia prawdopodobieństw moża wyzaczyć: i yi i yi a b y i a i i i Niepewości wyzaczeia stałych wyoszą odpowiedio: S a yi a i yi b Liearyzacja fucji i y ab y ae y a b i y i S b S l y l a l b l y l a l y l a bl a i. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5. Ocea typu względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T 4 Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

15 Test chi wadrat Zadaie: Sprawdzić, czy wyiów pomiarów,, może pochodzić z jaiegoś rozładu teoretyczego (p. ormalego, rówomierego, Poissoa itp.) Przepis: Zliczamy ile wartości i zalazło się w ażdym z m rówych przedziałów otrzymując obserwowae liczby zliczeń w ażdym przedziale O i. Wyliczamy dla ażdego przedziału teoretyczą (oczeiwaą liczbę zliczeń w tym przedziale) E i. Liczymy statystyę chi wadrat X, zgodie ze wzorem: m O i Ei i Ei Z tablic rozładu X dla liczby stopi swobody - oraz zadaego poziomu ufości -α (często rówego 0.95) odczytujemy wartość X -, -α. Jeżeli wartość ta jest więsza od obliczoej z powyższego wzoru wartości X ie mamy podstaw do odrzuceia hipotezy, że wyii pomiarów są zgode z daym rozładem teoretyczym.. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5. Ocea typu względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T 5 Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03

16 Test T Welcha Zadaie: Mamy dwie populacje. Chcemy sprawdzić, czy wartości średie w obu populacjach są sobie rówe. Przepis: t S S Z tablic rozładu Studeta dla liczby stopi swobody υ oraz zadaego poziomu ufości -α (często rówego 0.95) odczytujemy wartość t υ, -α. Jeżeli wartość ta jest więsza od obliczoej z powyższego wzoru wartości t ie mamy podstaw do odrzuceia hipotezy, że średie w obu populacjach są sobie rówe. S s 4 S s 4. Rodzaje błędów 4. Ocea typu 5. Ocea typu względych 9. Zapis. Regresja jeszcze raz 3. Test χ 4. Test T 6 Rachue + ila użyteczych arzędzi statystyczych GH, Tarasiu 03