Podstawy Fizyki III Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 16, Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz

Transkrypt

1 Podstaw Fiki III Optka elementami fiki współcesnej wkład 16, wkład: poka: ćwicenia: Cesław Radewic Mateus Winkowski, Łukas Zinkiewic Radosław Łapkiewic

2 Wkład 15 - prpomnienie prepis Hugensa na propagację fali całka Fresnela-Kirchoffa, całka Sommerfelda asada Babineta dfrakcja Fraunhofera - prbliżenie dalekiego pola - scelina, scelina pod kątem, dwie scelin, otwór kołow prbliżenie Fresnela stref Fresnela płtka strefowa Fresnela

3 Prbliżenie Fraunhofera Formuła Sommerfelda E x 0, 0, = 1 iλ A E(x,, 0) e ikr01 dxd r 01 r 01 A Θ r 0 x 0, 0, r 01 x,, 0 Krok 1: wmieniam r 01 na w mianowniku wrażenia podcałkowego E x 0, 0, = 1 iλ A E(x,, 0)e ikr 01dxd Krok : akładam: δ x x λ i na powierchni otworu astępujem wcinek sfer (carna ciągła linia) pre wcinek płascn (cerwona linia kreskowana) r 01 r 0 sin Θ E x 0, 0, = 1 E(x,, 0)e ik r 0 sin Θ dxd iλ

4 Prbliżenie Fresnela Formuła Sommerfelda E x 0, 0, = 1 E(x,, 0) e ikr01 dxd iλ r 01 r 01 A A x 0, 0, Krok 1: E x 0, 0, = 1 iλ A E(x,, 0)eikr 01 dxd Krok : rowijam pierwiastek kwadr. w ser. Talora: x,, 0 r 01 r 01 = x x = 1 + x x x x Jeśli δ = x x to 8 3 x x λ r 01 + x x i E x 0, 0, 1 iλ eik A E(x,, 0)ei k x x dxd Zastępujem wcinek sfer (carna ciągła) pre paraboloidę obrotową (cerwona prerwana)

5 metoda obrakowa otw. kołow, 1 D otwór kołow, pole na osi ρ m+1 ρ m r 0m+1 r 0m E x,, 0 = E 0 dielim otwór na koncentrcne stref Fresnela i sumujem ich wkład do pola. Zgodnie wkładem 15 prjmujem ρ m = mλ Daje to stałą powierchnię stref πρ m+1 πρ m = πλ Numeracja: strefa o indeksie m jest ogranicona okręgami o indeksach m ora m + 1. Jednoceśnie kolejne stref dają wkład o preciwnm naku e ikρ m+1 = e ikρ m Cli E = E 1 E + E 3 E 4 + l 1 l l 3... E E 0 E Licba stref: Fraunhoffer m D 4λ 1 Fresnel 1 < D 4λ D Bliskie pole D 4λ ~ D πd 4 πλ = D 4λ

6 metoda obrakowa otw. kołow, otwór kołow, pole na osi, trochę dokładniej dielim strefę Fresnela na N wężsch pierścieni ρ m+1 ρ m r 0m r 0m+1 ρ m,l = λ m + l/n, l = 1,,, N co daje mniejsą powierchnię stref πρ m,l+1 πρ m,l = πλ N D E x,, 0 = E 0 M = N = 8 M = 16, N = 8 Ab policć pole pochodące od M wąskich stref korstam formuł Sommerfelda, w której całkę prbliżam dskretną sumą ImE ImE E 0,0, = 1 iλ E(x,, 0) e ikr01 dxd r 01 r 01 1 M πλ E iλ 0 N eikr l = πe M 0 e ilπ N in l=1 l=1 ReE E = 0 ReE

7 metoda obrakowa otw. kołow, 3 E(0,0, ) πe M 0 e ilπ N in l=1 N ImE N ImE E = E 0 ReE E = 0 ReE N lim N l=1 e ilπ N = N π E(0,0, ) E 0 N lim N l=1 e ilπ N = 0 E(0,0, ) 0 ocekujem cklicności

8 metoda obrakowa otw. kołow, 4 otwór kołow, pole na osi, jesce dokładniej D ρ m+1 ρ m r 0m r 0m+1 πρ m,l+1 πρ m,l = πλ N E x,, 0 = E 0 M = N = 8 ImE ImE E(0,0, ) πe M 0 e ilπ N in l=1 lepse prbliżenie uwględniające cos Θ 0 całki Fresnela-Kirchoffa M E(0,0, ) πe 0 in l=1 e i r l lπ N E 0 ReE ReE

9 metoda obrakowa otw. kołow, 5 otwór kołow, pole na osi - od Fraunhoffera do Fresnela Formuła Sommerfelda E x 0, 0, = 1 iλ A E(x,, 0) e ikr01 dxd r 01 r 01 ognisko nr ognisko nr 3 ImE ognisko główne E 0,0, = π iλ E 0 0 D/ ρ +ρ eik +ρ dρ Nowa mienna l = ρ : dl = ρdρ co daje E 0,0, = π iλ E 0 0 D /4 1 +l eik +l dl E 0 ReE Prbliżenie Fraunhofera ρ ρ + λ ognisko nr 3 ognisko nr ognisko główne

10 metoda obrakowa - uwagi nieregularn kstałt presłon trudniejse rachunki E 1 = E 0 I 1 = 4I 0

11 dfrakcja Fresnela na otw. kołowm, 1 dl d E 0

12 dfrakcja Fresnela na otw. kołowm,

13 dfrakcja Fresnela na otw. kołowm, 3

14 Dfrakcja na dsku fala płaska, okrągła preskoda, obserwacja na osi ImE E 0 E E a d ρ m+1 ρ m D r 0m r 0m+1 P 0 E d E a E 0 E x,, 0 = E 0 ReE Wiem, że E 0 = E 0,0, = π iλ E 0 0 ρ + ρ eik +ρ dρ = E 0 e ik plamka Arago Zasada Babineta: ρ 0 +ρ eik +ρ D/ ρ dρ = 0 +ρ eik +ρ dρ + D/ ρ +ρ eik +ρ dρ pole be presł. E 0 pole od apertur Kołowej E a pole od dsku E d

15 Dfrakcja na dsku i pierścieniu asłonięte 3 pierwse stref Fresnela odsłonięte stref 4-8

16 Pltka strefowa Fresnela ra jesce

17 metoda obrakowa - scelina m prkład scelina, obserwacja na krawędi E x 0, 0, = 1 iλ r0m ImE E(x,, 0) e ikr01 dxd r 01 r 01 P 0 dielim scelinę na stref Fresnela m = mλ r 0m = m + o powierchni malejącej indeksem m δ m = m+1 m = m+1 m m+1 + m = λ m+1+ m Możem wpisać sumę składowch pola ale nie umiem jej policć l max E = 1 l+1 δ l l=1 podiał na wąskie paski l 4 E ReE E

18 metoda obrakowa - półpłascna odkrtą półpłascnę dielim na stref Fresnela 1 r 0 r 01 r 0m 0 r om r 00 = m λ r 00 = 0 + r 0m = m 0 + m = r 00 P 0,, 0 0 Dla 0 = 0 serokość stref to δ m = λ m+1+ m Podiał na wężse paski ImE E ReE Natężenie dla 0 = 0 licm asad Babineta: E = E 0 / co daje I = I 0 /4... E x0, 0, El l 1 E 0

19 Prbliżenie Fresnela ukł. kartej., 1 Formuła Sommerfelda E x 0, 0, = 1 iλ A E(x,, 0) e ikr01 dxd r 01 r 01 (, ) x 0 0 x 0 ( x, ) x 0 Krok 1: E x 0, 0, = 1 iλ A E(x,, 0)eikr 01 dxd Krok : rowijam pierwiastek kwadr. w ser. Talora: r 01 = x x = 1 + x x x x x x Jeśli x x λ to r 01 + x x i E x 0, 0, = 1 iλ A E(x,, 0)e i k x x dxd

20 Prbliżenie Fresnela ukł. kartej., otwór prostokątn E x,, 0 = E 0 rect x D x rect D E x 0, 0, = eik iλ A E(x,, 0)e i k x x dxd Załóżm stałą amplitudę na otwore E x,, 0 = E 0 Podwójna całka da się sprowadić do ilocnu dwóch całek: jedna po x a druga po ( x, ) x 0 ( x, ) 0 0 x 0 onacam U x = D x / 1 λ Dx/ e ik x x 0 dx = 1 x e e iπν dν xb D x / D x / gdie ν = λ x x 0, x b = λ D x x 0, x e = λ D x x 0 Mam wted: U x = 1 x e e iπν dν 1 x b e iπν dν 0 0 Korstam a tożsamości Eulera e iη = cos η + i sin η żeb wprowadić całki funkcji recwistch (całki Fresnela) s πν C s = 0 cos dν S s = 0 s sin πν i apisać dν U x = 1 C x e C x b + i S x e S x b

21 Prbliżenie Fresnela ukł. kartej., 3 podobnie U = D / 1 λ D/ e ik 0 d = 1 x e e iπν dν xb gdie ν = λ 0, b = λ D, e = λ + U = 1 C e C b + i S e S b ostatecnie, pole E x 0, 0, = E 0e ik i U x U = = E 0e ik i C x e C x b + i S x e S x b C e C b + i S e S b a natężenie E x 0, 0, = I 0 4 C x e C x b + i S x e S x b C e C b + i S e S b

22 Spirala Cornu s Prpomnienie: całki Fresnela S s C s = 0 s cos πν S s = 0 s sin πν dν dν s 0 C s Ss () Cs () s s dl = dc + ds = cos dl = ds πν + sin πν ds = ds

23 Dfrakcja Fresnela półpłascna, 1 E x,, 0 = E 0 step() I 0, = I 0 C C b + S S b b = λ 0 x0, 0,

24 Dfrakcja Fresnela scelina, 1 x scelina E x,, 0 = E 0 rect D I 0, = I 0 C e C b + S e S b x 0 b = λ D + 0, e = λ D 0 ( x, ) S s D C s Prpomnienie dl = ds długość snurka e b = λ D pocątek snurka b = λ D + 0

25 Dfrakcja Fresnela scelina, 3 długość snurka e b = λ D pocątek snurka b = λ D + 0 S s 1 C s Roważm scelinę o serokości takiej, że e b = 1 D = λ 1. Środek scelin snurek ułożon smetrcnie (1). Punkt obserwacji na granic cienia geometrcnego () 3. Punkt obserwacji w cieniu geometrcnm (3) pole maleje monotonicnie odległością od scelin Fraunhofer: im sersa scelina tm więcej osclacji amplituda osclacji najwięksa pr krawędiach D λ 1 e b = λ D 1

26 natężenie na osi Dfrakcja Fresnela scelina, 3 długość snurka e b = λ D : 0 0 S s 3 Obserwacja na osi 0 = 0; mieniam serokość scelin 1 C s (1) D = λ () D = λ (3) D = 3 1 D 0

27 Dfrakcja Fresnela scelina, 4 x scelina E x,, 0 = E 0 rect D x 0 ( x, ) D

28 Dfrakcja Fresnela - drut E x,, 0 = E 0 rect D Babinet: E 0 = E drut + E scelina E drut = E 0 E scelina x 0 ( x, ) 0 0 x 0 E drut E scelina E 0 E 0 Jasn prążek na osi smetrii

29 Dfrakcja Fresnela otwór prostokątn otwór prostokątn E x,, 0 = E 0 rect x D x rect I x 0, 0, = I 0 D 4 C x e C x b + S x e S x b C e C b + S e S b x b = λ D x + x 0, x e = λ D x x 0 x 0 b = λ D + 0, e = λ D 0 ( x, ) ( x, ) 0 0 x 0 S s C s

30 Dfrakcja Fresnela otwór prostokątn