Całkowanie numeryczne
|
|
- Amalia Szczepańska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Całkowanie numeryczne Nie zawsze możliwe jest wyznaczenie analitycznego wzoru będącego wynikiem całkowania danej funkcji f(x). Praktycznie zawsze możne jednak wyznaczyć całkę oznaczoną funkcji przy podanych granicach całkowania a i b: b a f ( x) dx Pamiętajmy, że człon dx oznacza wyłącznie różniczkę (pochodną) zmiennej, względem której zachodzi całkowanie i że człon ten nie wchodzi do obliczeń! Wiadomo, że całka oznaczona funkcji f(x) w granicach a i b jest równa polu pod wykresem, ograniczonym wartościami a i b: Oczywiście podanie ogólnego wzoru na pole figury o dowolnym kształcie jest niemożliwe. Problem ten rozwiązuje się poprzez podzielenie go na szereg bardzo wąskich pasków, wyznaczenie ich pól i dodanie do siebie: Czasem pola te wylicza się zakładając, że paski te są prostokątami (tzw. metoda prostokątów) Jak widzimy jednak, znacznie lepszym przybliżeniem kształtu paska jest leżący na boku trapez, o wysokości dx oraz podstawach f(x 0 ) i f(x 1 ). Jeżeli policzymy pole każdego trapezu i dodamy je do siebie, otrzymamy pole powierzchni całego obszaru pod wykresem. Oczywiście, im węższe są trapezy (czyli im jest ich więcej), tym dokładność obliczeń wyższa jest to związane ze zwykle złym dopasowaniem ukośnego boku trapezu do krzywizny funkcji. Przy trapezach o bardzo małej wysokości (czyli małym dx) różnica między rzeczywistym polem figury ograniczonej podstawami trapezu a trapezem maleje, co zwiększa dokładność obliczeń. W praktyce oznacza to konieczność dzielenia zakresu całkowania na możliwie jak największą liczbę odcinków dx.
2 Pole pojedynczego (i-tego) trapezu wyznaczymy ze znanego wzoru: P i = dx ( ) + ( ) f x f x natomiast pole całego obszaru od wykresem będzie reprezentowane wzorem: n 1 P = dx i 2 i= 1 2 i+ 1 ( ) + ( ) f x f x Dla przykładu policzymy, jaka jest wartość następującej całki: π 0 x sin x dx Na początku musimy zawsze wpisać do arkusza dolną i górną granicę całkowania, jak również liczbę odcinków, na którą dzielimy obszar całkowania (n) zwykle liczba ta jest równa przynajmniej 100, jednak tutaj, dla ułatwienia, ustalimy ją równą zaledwie 10 (proponuję przypisać nazwy do zawartości odpowiednich komórek, w celu późniejszego łatwiejszego nimi operowania). Następnie wyznaczam wartość dx (wysokość trapezu), będącą po prostu ilorazem zakresu całkowania (górnej granicy całkowania minus dolnej granicy całkowania) oraz liczby n. i i+ 1 W efekcie otrzymujemy: Oznacza to, że granice całkowania od 0 do π podzieliliśmy na 10 odcinków, z których każdy ma długość 0, W dalszej kolejności tworzymy kolumnę kolejnych wartości x, począwszy od dolnej granicy całkowania, a skończywszy na górnej granicy całkowania
3 przy czym każda następna wartość x jest większa od poprzedniej o dx. Powielanie tej formuły kontynuujemy aż do osiągnięcia wartości określonej przez komórkę górna: Warto zauważyć, że skoro pierwszy element kolumny x ma adres B10, a zdefiniowaliśmy liczbę n równą 10, to ostatnia komórka musi mieć adres B(10+n), czyli B20. Można to traktować jako wzajemną kontrolę poprawności wykonania tej części zadania komórka ostatnia musi mieć wartość równą wartości górna i jednocześnie musi mieć właściwy adres.
4 W dalszej kolejności obok kolumny x musimy utworzyć kolumnę f(x) (o tej samej długości), której każda komórka zawierała będzie wartość całkowanej funkcji f(x) (w naszym przykładzie x sin(x)) dla danej (sąsiedniej) wartości x: W tym momencie pozostaje już tylko policzyć pola kolejnych trapezów, zgodnie z wcześniej podanym wzorem: UWAGA! Zauważmy, że trapezy powielamy do przedostatniej komórki powstającej tabeli w komórce C20 znajduje się wartość górnej (prawej) krawędzi ostatniego trapezu, który zaczyna się w komórce C19!
5 Pozostaje nam już tylko policzyć sumę wszystkich trapezów: Czyli w rezultacie: Wyznaczona w ten sposób wartość przykładowej całki jest równa 3, Ma ona jednak dwie wady: Niską dokładność obliczeń można ją zwiększyć zwiększając liczbę podziałów n Nie znamy dokładności otrzymanego wyniku nie wiemy, ile miejsc znaczących możemy wypisać Sposobem, który częściowo rozwiązuje obydwa problemy, jest obliczenie tej samej całki drugą metodą. Jest to jednocześnie sposób na autokontrolę otrzymanego wyniku wartości otrzymane obiema metodami powinny być wzajemnie do siebie podobne.
6 Tą drugą, godną polecenia metodą obliczenia numerycznego całek oznaczonych, jest metoda 1/3 Simpsona. W metodzie tej pole pod wykresem obliczane jest jako suma pól nie trapezów, lecz figur składających się z pary opisywanych wcześniej, sąsiadujących ze sobą pasków, przy czym bok powstałej w ten sposób figury, przyległy do krzywej funkcyjnej, przybliżony jest parabolą: W efekcie pole całkowite obszaru pod krzywą funkcyjną opisane będzie wzorem: n 2 1 P = dx f x + f x + f x 3 i= 1,3,5, ( ) 4 ( ) ( ) i i+ 1 i+ 2 Proszę zwrócić uwagę na indeksy i zasięg sumowania pomijane są paski parzyste gdyż, jak wspomniano, każdy pasek Simpsona składa się z dwóch pasków. Oznacza to, że metoda Simpsona wymaga podzielenia obszaru całkowania na parzystą liczbę pasków, co zwykle nie stanowi problemu. Pokażę teraz, jak policzyć metodą Simpsona wartość całki, którą wcześniej liczyliśmy metodą trapezów. Dla ułatwienia użyję tabelki stworzonej na potrzeby metody trapezów (trzeba uważać, żeby nie pomylić kolumn!) Dla ułatwienia i zachowania przejrzystości w pola tworzonej kolumny wpisuję jedynie człon Simpsona (czyli wyrażenie pod sumą), musze jednak pamiętać o tym, aby potem trzymaną sumę pomnożyć przez 1 3 dx.
7 Następnie zaznaczamy bok komórek składający się z komórki zawierającej wynik obliczeń członu Simpsona i komórki kolejnej, i ten właśnie blok powielamy, aż do pozycji E18 (jest to początek ostatniego paska Simpsona ): w efekcie otrzymując: Aby zakończyć obliczanie wartości całki, należy policzyć sumę wszystkich Simpsonów i pomnożyć ją przez 1 3 dx :
8 W rezultacie otrzymujemy: Całka, której wartość właśnie policzyliśmy numerycznie, posiada rozwiązanie analityczne i jest ono równe π, czyli 3, Widzimy, że w omawianym przykładzie metoda 1/3 Simpsona dała wynik znacznie bliższy rozwiązaniu analitycznemu. W przypadku ogólnym nieznanej funkcji f(x) nie możemy być jednak pewni, która metoda jest dokładniejsza. Przez porównanie wartości, otrzymanych obiema metodami mogę jednak ustalić zakres zgodności w naszym przykładzie obydwa wyniki są zgodne do pierwszego miejsca dziesiętnego, czyli mogę jedynie powiedzieć, że rozwiązaniem zadania jest liczba 3,1, pozostałe cyfry są w zasadzie niepewne. Zwiększyć dokładność mogłoby zwiększenie liczny n, czyli ilości pasków, na który dzielimy obszar podcałkowy. Obliczenia numeryczne przy bardzo dużej liczbie komórek Poniżej przedstawię sposób pracy przy liczbie pasków równej (liczbe tę wybrałem, gdyż maksymalna liczba wierszy w arkuszu wynosi 65536). Policzona będzie ta sama całka, co we wcześniejszych przykładach. 1. Ustalam parametry całkowania numerycznego:
9 2. Zawartość komórki B11 (formułę) kopiuję do schowka Skoro pierwsza komórka kolumny x ma adres B10, to ostatnia będzie miała adres B(10+n), czyli B Musimy wkleić masowo formułę z komórki B11 do wszystkich komórek od B12 do B W tym celu przechodzimy do komórki B65010, wpisując ten adres do pola nazwy i zatwierdzając poprzez naciśnięcie przycisku Enter. 4. Wciskając kombinację klawiszy Ctrl Shift Home zaznaczamy cały obszar od komórki B65010 do A1. Trzymając nadal wciśnięty klawisz Shift przy pomocy klawiszów kursora ( strzałek ) ustawiamy zaznaczenie tak, aby zaczynało się w komórce B12 i kontynuowało się w dół kolumny B:
10 5. Puszczamy klawisz Shift i naciskamy klawisz Enter, co powoduje wypełnienie wszystkich zaznaczonych komórek (od B10 do B65010) znajdującą się w schowku formułą: UWAGA! Kombinacja klawiszy Ctrl Home i Ctrl End umożliwia szybkie poruszanie się po arkuszu w granicach określonych przez wstawione dane. 6. Tak, jak opisano w metodzie trapezów, wyznaczamy wartość y, poczym zaznaczamy ją do schowka.
11 7. Poprzez naciśnięcie kombinacji klawiszy Ctrl Shift End zaznaczamy wszystkie komórki począwszy od C10 aż do C65010 (czyli do końca danych) 8. Naciskamy klawisz Enter, wklejając zaznaczoną formułę do wszystkich zaznaczonych komórek: 9. Dokładnie w ten sam sposób wypełniamy kolejną kolumnę (trapezy), pamiętając jednak, że zaznaczenie musi się skończyć na komórce przedostatniej, czyli Sumujemy wszystkie komórki z kolumny trapezy otrzymując:
12 co stanowi bardzo dobre przybliżenie wartości wyznaczanej całki (przypominam, że wartość w tym przypadku powinna wynosić π). Proponuję tę samą procedurę powtórzyć dla metody 1/3 Simpsona. Wynik powinien wyglądać następująco (obliczanie sumy może trochę w tym przypadku potrwać): Jak można sprawdzić, tym razem otrzymaliśmy zgodność z liczbą π sięgającą 11 miejsc dziesiętnych! Niestety, dla innych całek takiej kontroli najczęściej nie mamy gdybyśmy nie znali wyniku analitycznego opisywanej przykładowej funkcji, we wniosku końcowym należałoby napisać, że na podstawie porównania wartości wyznaczonej metodą trapezów i metodą 1/3 Simpsona wartość całki π x sin x dx = 3, , co i tak należy uznać za duży sukces. 0 Z przykładem obliczenia wartości całki oznaczonej można zapoznać się na stronie:
Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )
Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoZajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów
Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 4. Arkusz kalkulacyjny i programy do obliczeń statystycznych
Ćwiczenia nr 4 Arkusz kalkulacyjny i programy do obliczeń statystycznych Arkusz kalkulacyjny składa się z komórek powstałych z przecięcia wierszy, oznaczających zwykle przypadki, z kolumnami, oznaczającymi
Bardziej szczegółowoCo to jest arkusz kalkulacyjny?
Co to jest arkusz kalkulacyjny? Arkusz kalkulacyjny jest programem służącym do wykonywania obliczeń matematycznych. Za jego pomocą możemy również w czytelny sposób, wykonane obliczenia przedstawić w postaci
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoKlawisze funkcyjne w OpenOffice.org Writer
Klawisze funkcyjne w OpenOffice.org Writer F2 Ctrl + F2 F3 Ctrl + F3 F4 Shift + F4 F5 Ctrl + Shift + F5 F7 Ctrl + F7 F8 Ctrl + F8 Shift + F8 Ctrl+Shift+F8 F9 Ctrl + F9 Shift + F9 Ctrl + Shift + F9 Ctrl
Bardziej szczegółowoOperacje na Wielu Arkuszach
Operacje na Wielu Arkuszach 1. Operacje na wielu arkuszach na raz. 2. Przenoszenie i kopiowanie arkuszy pomiędzy plikami. 3. Ukrywanie arkuszy. Przykład 1. Operacje na wielu arkuszach na raz. Często pracując
Bardziej szczegółowoCzym jest całka? Całkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne jest to zagadnienie z metod elementów skończonych (MES). Korzystając z całkowania numerycznego możemy obliczyć wartość dowolnej całki jednowymiarowej oznaczonej. Wynik jest zawsze
Bardziej szczegółowoMicrosoft Excel. Podstawowe informacje
Microsoft Excel Podstawowe informacje Kolumny (A,B,...,Z,AA, AB,..) Wiersze Komórki Wybór aktualnego arkusza Zawartość komórek Dane Wartości tekstowe Wartości numeryczne Szczególnym przypadkiem są data
Bardziej szczegółowoPraktyczne wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego w pracy nauczyciela część 1
Praktyczne wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego w pracy nauczyciela część 1 Katarzyna Nawrot Spis treści: 1. Podstawowe pojęcia a. Arkusz kalkulacyjny b. Komórka c. Zakres komórek d. Formuła e. Pasek formuły
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoNajmniejszą możliwą macierzą jest macierz 1 x 2 lub 2 x 1 składająca się z dwóch przyległych komórek.
(Na podstawie pomocy OpenOffice.org) Funkcje macierzowe - wstęp Co to jest macierz Macierz jest połączonym zakresem komórek arkusza zawierającym wartości. Kwadratowy zakres komórek składający się z 3 wierszy
Bardziej szczegółowostr. 1 Excel ćwiczenia 1 Podstawy użytkowania komputerów
Excel ćwiczenia 1 Rozdział 1 Zapoznanie się z arkuszem kalkulacyjnym Program Excel służy do tworzenia elektronicznego arkusza kalkulacyjnego, który umożliwia dokumentowanie i analizę danych numerycznych.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny MS Excel 2010 PL.
Arkusz kalkulacyjny MS Excel 2010 PL. Microsoft Excel to aplikacja, która jest powszechnie używana w firmach i instytucjach, a także przez użytkowników domowych. Jej główne zastosowanie to dokonywanie
Bardziej szczegółowoopracował: Patryk Besler
opracował: Patryk Besler Aby poprawnie uzupełnić szachownicę potrzebna nam będzie do tego funkcja Złącz teksty. Pamiętaj o zaznaczeniu odpowiedniej komórki Aby ją wybrać należy przejść do zakładki Formuły.
Bardziej szczegółowoPrzenoszenie, kopiowanie formuł
Przenoszenie, kopiowanie formuł Jeżeli będziemy kopiowali komórki wypełnione tekstem lub liczbami możemy wykorzystywać tradycyjny sposób kopiowania lub przenoszenia zawartości w inne miejsce. Jednak przy
Bardziej szczegółowoInformatyka dla klas I wykresy funkcji
2013 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie Informatyka dla klas I wykresy funkcji Prezentowane materiały są przeznaczone dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych. Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek, wersja1.0
Bardziej szczegółowoInformatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz. 1
Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny 2010 dla WINDOWS cz. 1 Slajd 1 Slajd 2 Ogólne informacje Arkusz kalkulacyjny podstawowe narzędzie pracy menadżera Arkusz kalkulacyjny
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny EXCEL
ARKUSZ KALKULACYJNY EXCEL 1 Arkusz kalkulacyjny EXCEL Aby obrysować tabelę krawędziami należy: 1. Zaznaczyć komórki, które chcemy obrysować. 2. Kursor myszy ustawić na menu FORMAT i raz kliknąć lewym klawiszem
Bardziej szczegółowoWykłady 11 i 12: Całka oznaczona
Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy; rok akademicki 2016/2017 Pole trójkata parabolicznego Problem. Chcemy obliczyć
Bardziej szczegółowoSPOSÓB WYKONANIA OBLICZEŃ I FORMATOWANIA KOMÓREK
SPOSÓB WYKONANIA OBLICZEŃ I FORMATOWANIA KOMÓREK Tworzenie Listy wyboru Tworzenie obliczeo z wykorzystaniem adresowania mieszanego (symbol $) Tworzenie wykresu i zmiana jego parametrów Wszelkie wskazówki
Bardziej szczegółowodolar tylko przed numerem wiersza, a następnie tylko przed literą kolumny.
Wskazówki do wykonania Ćwiczenia 0, przypomnienie (Excel 2007) Autor: dr Mariusz Giero 1. Pobieramy plik z linku przypomnienie. Należy obliczyć wartości w komórkach zaznaczonych żółtym kolorem. 2. Obliczenie
Bardziej szczegółowoJak korzystać z Excela?
1 Jak korzystać z Excela? 1. Dane liczbowe, wprowadzone (zaimportowane) do arkusza kalkulacyjnego w Excelu mogą przyjmować różne kategorie, np. ogólne, liczbowe, walutowe, księgowe, naukowe, itd. Jeśli
Bardziej szczegółowoTemat: Organizacja skoroszytów i arkuszy
Temat: Organizacja skoroszytów i arkuszy Podstawowe informacje o skoroszycie Excel jest najczęściej wykorzystywany do tworzenia skoroszytów. Skoroszyt jest zbiorem informacji, które są przechowywane w
Bardziej szczegółowonajlepszych trików Excelu
70 najlepszych trików W Excelu 70 najlepszych trików w Excelu Spis treści Formatowanie czytelne i przejrzyste zestawienia...3 Wyświetlanie tylko wartości dodatnich...3 Szybkie dopasowanie szerokości kolumny...3
Bardziej szczegółowoMetoda Monte Carlo, przykład symulacji statycznej (brak czynnika czasowego). Część I
Metoda Monte Carlo, przykład symulacji statycznej (brak czynnika czasowego). Część I Krok I. Zebranie danych wejściowych (liczba kompletów opon) Częstość (liczba dni) 0 10 1 20 2 40 3 60 4 40 5 30 Razem:
Bardziej szczegółowoPRZEMYSŁAW DZIERŻAWSKI
https://app.wsipnet.pl/podreczniki/strona/38559 Stephen John Purnell/Shutterstock.com Funkcje losowe w arkuszu kalkulacyjnym Symulacja procesu o losowym przebiegu Wykres kolumnowy częstości wyników Fraktale:
Bardziej szczegółowoInformatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz. 1
Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz. 1 Slajd 1 Excel Slajd 2 Ogólne informacje Arkusz kalkulacyjny podstawowe narzędzie pracy menadżera Arkusz
Bardziej szczegółowoObliczenia Symboliczne
Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych
Bardziej szczegółowoLp. Nazwisko Wpłata (Euro)
Tabele_Writer Wstawianie tabeli Na początku dokumentu wpisz tekst Rzym-Lista Wpłat i wciśnij Enter. Następnie naciśnij symbol strzałki przypisanej do ikony Tabela znajdujący się na pasku narzędzi Pracę
Bardziej szczegółowoTemat: Arkusze kalkulacyjne. Program Microsoft Office Excel. Podstawy
Temat: Arkusze kalkulacyjne. Program Microsoft Office Excel. Podstawy Arkusz kalkulacyjny to program przeznaczony do wykonywania różnego rodzaju obliczeń oraz prezentowania i analizowania ich wyników.
Bardziej szczegółowoEkran tytułowy (menu główne)
Wstęp Ten multimedialny program edukacyjny przeznaczony jest dla uczniów szkół podstawowych. Oferując ciekawe zadania tekstowe, służy przede wszystkim doskonaleniu umiejętności matematycznych. Program
Bardziej szczegółowoEXCEL wprowadzenie Ćwiczenia
EXCEL wprowadzenie Ćwiczenia 1. Nadaj nazwę arkuszowi Ćwiczenie 1 W lewej, dolnej części okna programu znajdują się nazwy otwartych arkuszy programu (Arkusz 1..). Zmiana nazwy, w tym celu należy kliknąć
Bardziej szczegółowoPodręczna pomoc Microsoft Excel 2007
Podręczna pomoc Microsoft Excel 2007 Klawisze skrótów... 1 Podstawowe funkcje... 2 Narzędzie Szukaj wyniku... 3 Aktywowanie dodatków... 4 Narzędzie Solver (dodatek)... 6 Narzędzie Tabela przestawna...
Bardziej szczegółowoOBLICZENIA I STATYSTYKA FORMUŁY I FUNKCJE
Formuły Do komórek arkusza możemy wprowadzi formuły określające jakie działania i na jakich obiektach mają być wykonywane. Formuły definiujemy podobnie jak na lekcjach matematyki, używając znaków: + (dodawanie),
Bardziej szczegółowoEXCEL. Rozpoczynanie pracy z programem EXCEL. Interfejs EXCEL. Zaznaczanie komórek
Rozpoczynanie pracy z programem Program to arkusz kalkulacyjny. Stosowany jest do tworzenia, analizy, zarządzania dokumentami zwanymi skoroszytami, które mogą zawierać dane tekstowe, tabele, obliczenia,
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny MS Excel
Arkusz kalkulacyjny MS Excel I. Wprowadzenie do arkusza kalkulacyjnego Program Excel służy do tworzenia elektronicznego arkusza kalkulacyjnego, który umożliwia dokumentowanie i analizę danych numerycznych.
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do MS Excel
Wprowadzenie do MS Excel Czym jest Excel? Excel jest programem umożliwiającym tworzenie tabel, a także obliczanie i analizowanie danych. Należy do typu programów nazywanych arkuszami kalkulacyjnymi. W
Bardziej szczegółowoKatarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil
Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil 1 Działania na ułamkach Wyłączanie całości z dodatnich ułamków niewłaściwych Formuła
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoNarzędzie informatyczne wspomagające dokonywanie ocen pracowniczych w służbie cywilnej
Narzędzie informatyczne wspomagające dokonywanie ocen pracowniczych w służbie cywilnej elektroniczne formularze arkuszy ocen okresowych i pierwszej oceny Instrukcja użytkownika Wersja 1.0 DSC KPRM 2015
Bardziej szczegółowoKolumna Zeszyt Komórka Wiersz Tabela arkusza Zakładki arkuszy
1 Podstawowym przeznaczeniem arkusza kalkulacyjnego jest najczęściej opracowanie danych liczbowych i prezentowanie ich formie graficznej. Ale formuła arkusza kalkulacyjnego jest na tyle elastyczna, że
Bardziej szczegółowoW tej lekcji omówimy mechanizmy za pomocą których jest możliwe wykonywanie działań w Excelu, czyli:
Formuły W tej lekcji omówimy mechanizmy za pomocą których jest możliwe wykonywanie działań w Excelu, czyli: pojęcie formuły budowanie i edycja formuł podstawowe działania takie jak: dodawanie, odejmowanie,
Bardziej szczegółowoZadaniem tego laboratorium będzie zaznajomienie się z podstawowymi możliwościami operacji na danych i komórkach z wykorzystaniem Excel 2010
Zadaniem tego laboratorium będzie zaznajomienie się z podstawowymi możliwościami operacji na danych i komórkach z wykorzystaniem Excel 2010 Ms Excel jest przykładem arkusza kalkulacyjnego, grupy oprogramowania
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 3_cz2 Praca z tekstem: WORD Wzory matematyczne. Tabele
Zajęcia nr 3_cz2 Praca z tekstem: WORD Wzory matematyczne. Tabele W swoim folderze utwórz folder o nazwie 5_11_2009, wszystkie dzisiejsze zadania wykonuj w tym folderze. Na dzisiejszych zajęciach nauczymy
Bardziej szczegółowoZaznaczanie komórek. Zaznaczenie pojedynczej komórki polega na kliknięciu na niej LPM
Zaznaczanie komórek Zaznaczenie pojedynczej komórki polega na kliknięciu na niej LPM Aby zaznaczyć blok komórek które leżą obok siebie należy trzymając wciśnięty LPM przesunąć kursor rozpoczynając od komórki
Bardziej szczegółowo4.Arkusz kalkulacyjny Calc
4.Arkusz kalkulacyjny Calc 4.1. Okno programu Calc Arkusz kalkulacyjny Calc jest zawarty w bezpłatnym pakiecie OpenOffice.org 2.4. Można go uruchomić, podobnie jak inne aplikacje tego środowiska, wybierając
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
16 kwiecień 2009 SciLab w obliczeniach numerycznych - część 4 Slajd 1 Całkowanie numeryczne 16 kwiecień 2009 SciLab w obliczeniach numerycznych - część 4 Slajd 2 Plan zajęć 1. Całkowanie przybliżone funkcji
Bardziej szczegółowoPODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
Bardziej szczegółowo( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:
ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość
Bardziej szczegółowoprosta baza danych (nawet trochę bardziej niż prosta) tworzenie dokumentów (zwłaszcza z dużą ilością tabel lub o tabularycznej
Arkusz kalkulacyjny Arkusz kalkulacyjny jest bardzo dobrym i funkcjonalnym narzędziem, choć mocno niedocenianym w biurze i w domu. Oto kilka przykładów zastosowań arkusza kalkulacyjnego: prowadzenie rachunków
Bardziej szczegółowoSkróty klawiaturowe w programie Microsoft Excel 2013
y klawiaturowe w programie Microsoft Excel 2013 Przewodnik y klawiaturowe w programie Microsoft Excel 2013 zawiera ponad 200 różnych kombinacji klawiszy wraz z opisem ich działania, których użycie pozwala
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny. R. Robert Gajewski omklnx.il.pw.edu.pl/~rgajewski
Arkusz kalkulacyjny R. Robert Gajewski omklnx.il.pw.edu.pl/~rgajewski www.il.pw.edu.pl/~rg s-rg@siwy.il.pw.edu.pl O arkuszach ogólnie! Arkusz kalkulacyjny (spreadshit) to komputerowy program umożliwiający
Bardziej szczegółowoFormatowanie zawartości komórek
Formatowanie zawartości komórek Formaty w arkuszu kalkulacyjnym są przypisane do komórek, a nie do zawartych w nich danych stanowią niezależny składnik komórek, który można kopiować bądź czyścić niezależnie
Bardziej szczegółowoFragment tekstu zakończony twardym enterem, traktowany przez edytor tekstu jako jedna nierozerwalna całość.
Formatowanie akapitu Fragment tekstu zakończony twardym enterem, traktowany przez edytor tekstu jako jedna nierozerwalna całość. Przy formatowaniu znaków obowiązywała zasada, że zawsze przez rozpoczęciem
Bardziej szczegółowoFormularz oceny okresowej arkusz B w służbie cywilnej Instrukcja użytkownika
Narzędzie informatyczne wspomagające dokonywanie ocen okresowych w służbie cywilnej przygotowane w ramach projektu pn. Strategia zarządzania zasobami ludzkimi w służbie cywilnej współfinansowanego przez
Bardziej szczegółowoObsługa programu EXCEL. poziom podstawowy. Materiały szkoleniowe
Obsługa programu EXCEL poziom podstawowy Materiały szkoleniowe Nota Materiał powstał w ramach realizacji projektu e-kompetencje bez barier dofinansowanego z Programu Operacyjnego Polska Cyfrowa działanie
Bardziej szczegółowoJAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Z tego dokumentu dowiesz się jak wykorzystać wbudowane funkcje arkusza kalkulacyjnego
Bardziej szczegółowoPrzez F(C) oznaczamy figurę narysowaną w kartezjańskim układzie współrzędnych, która ograniczona jest przez:
Obliczanie pola figury ograniczonej krzywymi było jednym z zadań na maturze z informatyki w 2006 roku. Według mnie jest to najtrudniejsze zadania jakie zostało umieszczone w arkuszach egzaminacyjnych z
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoPrzewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010
Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010 Czym jest Excel 2010 Excel jest programem umożliwiającym tworzenie tabel, a także obliczanie i analizowanie danych. Należy do typu
Bardziej szczegółowoMS EXCEL- wprowadzanie danych.
MS EXCEL- wprowadzanie danych. Ćwiczenie 1. Zapoznaj się z elementami okna początkowego programu. Uruchom program Microsoft Excel i wskaż następujące elementy: pasek menu; paski narzędzi; pasek formuły;
Bardziej szczegółowoTrik 1 Podsumowanie kwot występujących w co drugim wierszu
:: Trik 1. Podsumowanie kwot występujących w co drugim wierszu :: Trik 2. Rozmiar kolumny arkusza w milimetrach :: Trik 3. Blokada obszaru roboczego arkusza :: Trik 4. Dostęp do róŝnych skoroszytów za
Bardziej szczegółowoEkonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej
Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa
Bardziej szczegółowoMS Excel 2007 Kurs zaawansowany Obsługa baz danych. prowadzi: Dr inż. Tomasz Bartuś. Kraków: 2008 04 25
MS Excel 2007 Kurs zaawansowany Obsługa baz danych prowadzi: Dr inż. Tomasz Bartuś Kraków: 2008 04 25 Bazy danych Microsoft Excel 2007 udostępnia szereg funkcji i mechanizmów obsługi baz danych (zwanych
Bardziej szczegółowoInformatyka. Arkusze 1. 1 Wprowadzenie.
Informatyka Arkusze 1 1 Wprowadzenie. Arkusze klakulacyjne to programy służące do prowadzenia wyliczeń. Wyniki mogą być przedstawiane w postaci tabelarycznej i graficznej. Współczesne arkusze klakulacyjne,
Bardziej szczegółowoEdytor tekstu MS Word 2010 PL. Edytor tekstu MS Word 2010 PL umożliwia wykonywanie działań matematycznych.
Edytor tekstu MS Word 2010 PL. Edytor tekstu MS Word 2010 PL umożliwia wykonywanie działań matematycznych. Edytor tekstu MS Word 2010 PL umożliwia wykonywanie działań matematycznych, pod warunkiem, że
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoPraktyczny Excel. 50 praktycznych formuł na każdą okazję
Praktyczny Excel 50 praktycznych formuł na każdą okazję 3 1 NUMER PRAWNICZY przygotowany przez + OCHRONA DANYCH OSOBOWYCH profesjonalnie i kompleksowo 1 2 + GRATIS 20% GRATIS 30%, tel. 22 518 29 29, email:
Bardziej szczegółowoFormularz pierwszej oceny w służbie cywilnej
Narzędzie informatyczne wspomagające dokonywanie pierwszej oceny w służbie cywilnej przygotowane w ramach projektu pn. Strategia zarządzania zasobami ludzkimi w służbie cywilnej współfinansowanego przez
Bardziej szczegółowoOpis klawiatury komputerowej
Spis treści utworzony przez NN Opis klawiatury komputerowej...1 1.1.Esc...1 1.2.F1 F12...1 1.3.Backspace...1 1.4.Tab...1 1.5.Caps Lock...2 1.6.Enter...2 1.7.Shift...2 1.8.Ctrl...2 1.9.Alt...2 1.10.Caps
Bardziej szczegółowoExcel. Zadania. Nazwisko:
Excel. Zadania Zadanie 1. Utwórz arkusz do generowania serii zadań testowych na dodawanie. Pierwszy składnik jest jedno- lub dwucyfrowy, drugi jest jednocyfrowy. Wydrukowany arkusz może wyglądać przykładowo
Bardziej szczegółowoInstrukcja obsługi Nowego Punktatora
Instrukcja obsługi Nowego Punktatora Nowy Punktator jest niezbędnym narzędziem do wygenerowania ankiety okresowej oceny wyników pracy nauczycieli akademickich, wynikającej z art. 132 ustawy z dnia 27 lipca
Bardziej szczegółowoZasady wypełniania formularza sprawozdań za 2014 w Excelu
Zasady wypełniania formularza sprawozdań za 2014 w Excelu Informacje podstawowe 1. Skoroszyt sprawozdania zawiera 9 arkuszy zatytułowanych kolejno: 1. Liczba bibliotek 2. Księgozbiory 3. Udostępnianie
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoObsługa programu Paint. mgr Katarzyna Paliwoda
Obsługa programu Paint. mgr Katarzyna Paliwoda Podstawowo program mieści się w Systemie a dojście do niego odbywa się przez polecenia: Start- Wszystkie programy - Akcesoria - Paint. Program otwiera się
Bardziej szczegółowoZasady wypełniania formularza sprawozdań za 2016 rok w Excelu. 6 komórek zawiera formuły. Są one oznaczone: lub wyświetla się w nich 0.
Zasady wypełniania formularza sprawozdań za 2016 rok w Excelu Informacje podstawowe 1. Objaśnienia do sprawozdania. Oznaczenie komórki Objaśnienie *, **, *** itd. Objaśnienia znajdują się pod tabelą, również
Bardziej szczegółowo1. Objaśnienia do sprawozdania.
Zasady wypełniania formularza sprawozdań za 2018 rok w Excelu Informacje podstawowe 1. Objaśnienia do sprawozdania. Oznaczenie komórki Objaśnienie *, **, *** itd. Objaśnienia znajdują się pod tabelą, również
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do formuł i funkcji
Wprowadzenie do formuł i funkcji Wykonywanie obliczeń, niezależnie od tego, czy są one proste czy złożone, może być nużące i czasochłonne. Przy użyciu funkcji i formuł programu Excel można z łatwością
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
CAŁKOWANIE NUMEYCZNE Zad. ozumnie wybraną metodą numeryczną oblicz wartość całki Oraz błąd jej wyznaczenia. ln(cos x ) dx Podana jest funkcja i granice w jakic należy ją scałkować. Jak wiadomo wynikiem
Bardziej szczegółowoProgramowanie w Baltie klasa VII
Programowanie w Baltie klasa VII Zadania z podręcznika strona 127 i 128 Zadanie 1/127 Zadanie 2/127 Zadanie 3/127 Zadanie 4/127 Zadanie 5/127 Zadanie 6/127 Ten sposób pisania programu nie ma sensu!!!.
Bardziej szczegółowoKlawiatura komputerowa.
Klawiatura komputerowa. Zdjęcie: www.xpec.pl Klawiatura komputerowa. Klawiatura komputerowa uporządkowany zestaw klawiszy służący do ręcznego sterowania lub wprowadzania danych do komputera. Najpopularniejszym
Bardziej szczegółowoDowiedz się, jak używać programu Microsoft Excel jako kalkulatora. Rozpocznij od poznania sposobów wprowadzania prostych formuł w arkuszach.
Microsoft Excel (pełna nazwa Microsoft Office Excel) - arkusz kalkulacyjny produkowany przez firmę Microsoft dla systemów Windows i MacOS. Pierwsza wersja programu przeznaczona dla Windows trafiła na rynek
Bardziej szczegółowoInstrukcja użytkowa programu INTERNET LAB-BIT
Instrukcja użytkowa programu INTERNET LAB-BIT 1. Co to jest program INTERNET LAB-BIT i dla kogo jest przeznaczony? Program INTERNET LAB-BIT jest to program umożliwiający zdalne przeglądanie danych z laboratoriów
Bardziej szczegółowoJak przygotować pokaz album w Logomocji
Logomocja zawiera szereg ułatwień pozwalających na dość proste przygotowanie albumu multimedialnego. Najpierw należy zgromadzić potrzebne materiały, najlepiej w jednym folderze. Ustalamy wygląd strony
Bardziej szczegółowoFunkcje Tablicowe podstawy
Funkcje Tablicowe podstawy Funkcje Tablicowe są dość rzadko używane w biznesie, a pomocne przede wszystkim w przypadku zaawansowanych obliczeń matematycznych i statystycznych. Lekcja ta ograniczy się tylko
Bardziej szczegółowoMicrosoft Excel. Materiały pomocnicze
Microsoft Excel Materiały pomocnicze 1 Spis treści: 1. WSTĘP...3 2. URUCHOMIENIE PROGRAMU...4 3. WYGLĄD OKNA PROGRAMU...5 4. WPROWADZANIE DANYCH DO KOMÓREK...6 5. WPROWADZANIE PODPISÓW...7 6. WYKONYWANIE
Bardziej szczegółowoMATLAB Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący
MATLAB Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący Laboratorium 12: Zagadnienia zaawansowane Cel: Poznanie metod rozwiązywania konkretnych problemów Czas: Wprowadzenia 10 minut, ćwiczeń
Bardziej szczegółowoPrzed rozpoczęciem pracy otwórz nowy plik (Ctrl +N) wykorzystując szablon acadiso.dwt
Przed rozpoczęciem pracy otwórz nowy plik (Ctrl +N) wykorzystując szablon acadiso.dwt Zadanie: Utwórz szablon rysunkowy składający się z: - warstw - tabelki rysunkowej w postaci bloku (według wzoru poniżej)
Bardziej szczegółowoTworzenie szablonów użytkownika
Poradnik Inżyniera Nr 40 Aktualizacja: 12/2018 Tworzenie szablonów użytkownika Program: Plik powiązany: Stratygrafia 3D - karty otworów Demo_manual_40.gsg Głównym celem niniejszego Przewodnika Inżyniera
Bardziej szczegółowoZarejestruj makro w trybie względnego adresowania które będzie wpisywało bieżącą datę w
Makra 2 Makra 2... 1 Własne menu z makrami.... 1 Zadanie 1... 1 Zadanie 2... 4 Wskazówki:... 4 Zadanie 3... 4 Scenariusz sytuacji:... 4 Cel:... 4 Umiejętności zdobyte po wykonaniu ćwiczenia:... 4 Proponowane
Bardziej szczegółowoWstawianie nowej strony
Wstawianie nowej strony W obszernych dokumentach będziemy spotykali się z potrzebą dzielenia dokumentu na części. Czynność tę wykorzystujemy np.. do rozpoczęcia pisania nowego rozdziału na kolejnej stronie.
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy Przykłady: Programy wykorzystywane
Bardziej szczegółowoUwaga! CorelDRAW ćwiczenia kl. III Strona 1 z 6
Uwaga! Korzystaj z POMOCY programu CorelDRAW!!! Wpisz słowo kluczowe, które szukasz w odpowiednie miejsce (Zakładka POMOC- Tematy pomocy Indeks) Po wykonaniu każdego rysunku zgrupuj jego elementy (zaznacz
Bardziej szczegółowoSerwis PTF Dodanie informacji bieżącej w podserwisie oddziału
Serwis PTF Dodanie informacji bieżącej w podserwisie oddziału Spis treści 1 Logowanie do panelu redagowania treści 1 2 Uwagi dotyczące panelu administratora 1 3 Dodanie nowej informacji bieżącej 2 4 Redagowanie
Bardziej szczegółowoPracownia Informatyczna Instytut Technologii Mechanicznej Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki. Podstawy Informatyki i algorytmizacji
Pracownia Informatyczna Instytut Technologii Mechanicznej Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Podstawy Informatyki i algorytmizacji wykład 1 dr inż. Maria Lachowicz Wprowadzenie Dlaczego arkusz
Bardziej szczegółowoWstęp Sterowanie Utworzenie, wybór i kasowanie gracza. utworzenia nowego gracza Nowy gracz Nastawienie gracza
Wstęp Użytkownik znajduje się na Dzikim Zachodzie a jego zadaniem jest zdobyć wszystkie 15 części totemu, który blade twarze wykradły Indianom. W każdej części miasta na gracza czekają liczne zadania w
Bardziej szczegółowo