Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 17, Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 17, Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz"

Eugeniusz Podgórski
5 lat temu
Przeglądów:

1 Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 17, wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz Radosław Łapkiewicz

2 Wykład 16 - przypomnienie dyfrakcja Fresnela obrazek strefowy dyfrakcja Fresnela obrazek sub-strefowy całki Fresnela i spirala Cornu

3 Dyfrakcja Fraunhofera = trans. Fouriera y dla obrazu Fraunhofera E x 0, y 0, z = C dx dy E(x, y, 0)e ikr 10 ( xy, ) R x r 01 y 0 ( x, y ) 0 0 z x 0 Ponieważ r 01 = x x y y z 2 to definiując R jako R = x y z 2 mamy r 01 = R 1 + x 2 + y 2 R 2 2 xx 0 + yy 0 R 2 R 1 2 xx 0 + yy 0 R 2 R xx 0 + yy 0 R dla x 2 + y 2 R 2 ostatecznie E x 0, y 0, z C e ikr dx E(x, y, 0)e ik xx 0+yy 0 /R dy = C e ikr i k x 0 dx E(x, y, 0)e = C " F E x, y, 0 k x 0, k y 0 R R dwuwymiarowa transformata Fouriera R x+ky 0 R y dy w dalekim polu obserwujemy transformatę Fouriera pola na przesłonie

4 propagacja metoda spektralna z = 0 E(x, y, 0) Analogicznie E x, y, z = 1 2π ze współczynnikami dk x dk y E(k x, k y, z)e i k xx+k y y E k x, k y, z = 1 2π E x, y, z =? dxdy E(x, y, z)e i k xx+k y y z Dla fali monochromatycznej o skończonych rozmiarach poprzecznych, w z = 0 zawsze potrafimy zapisać pole elektryczne fali jako superpozycję fal płaskich E x, y, 0 = 1 dk 2π x dk y E(k x, k y, 0)e i k xx+k y y przy czym, amplitudy fal płaskich liczymy z transformaty Fouriera pola w płaszczyźnie z = 0 E k x, k y, 0 = 1 2π dxdy E(x, y, 0)e i k xx+k y y Pole E(x, y, z) musi spełniać r-nie Helmholtza + k 2 E x, y, z = 0. Wstawiamy pole w postaci całki do tego r- nia, zamieniamy kolejność całkowania i różniczkowania dk x dk y d 2 dz 2 E k x, k y, z + k 2 k x 2 k y 2 E k x, k y, z e i k xx+k y y = 0 = 0

5 propagacja, 2 z = 0 z d 2 dz 2 E k x, k y, z + k 2 k x 2 k y 2 E k x, k y, z = 0 d 2 dz 2 E k x, k y, z + μ 2 E k x, k y, z = 0 μ = ± k 2 k x 2 k y 2 = k z E(x, y, 0) E x, y, z =? E k x, k y, z = E k x, k y, 0 e iμz k 2 k x 2 k y 2 > 0 E k x, k y, z = E k x, k y, 0 e ik zz fale propagujące się k 2 k 2 x k 2 y < 0 E k x, k y, 0 e μz fale zanikające (ewanescencyjne) Jeśli tylko z λ to możemy zaniedbać wkład od fal zanikających i mamy E x, y, z = 1 2π k x 2 + k y 2 k 2 dk x dk y E(k x, k y, 0)e i k xx+k y y e iz k2 k x 2 ky 2 kompletny dokładny przepis - bardzo szybkie metody numeryczne

6 Propagacja - proste wnioski E x, y, z = 1 2π k x 2 + k y 2 k 2 dk x dk y E(k x, k y, 0)e i k xx+k y y e iz k2 k x 2 ky 2 Niezbyt bliskie pole (obraz Fresnela) k x 2 + k y 2 k 2 k z k k x 2 +k y 2 2k E x, y, z = π eikz dk x dk y E(k x, k y, 0)e i k xx+k y y e iz k x +ky 2k Oznaczmy: f k x Mamy wtedy = k x x k x 2 z, g k 2k y = k y y k 2 y z 2k E x, y, z = 1 2π eikz dk x dk y E k x, k y, 0 e if k x e ig k y Jeśli funkcja E k x, k y, 0 jest wolnozmienna to wkład do całki pochodzi tylko z obszarów gdzie funkcje f i g mają zerowe pochodne bo wszędzie indziej wykładniki tych funkcji oscylują bardzo szybko wokół zera. Zerowe pochodne funkcji f i g dają: k x = k x z, k y = k y z Re E k Re e if x, k y, 0 punkt stacjonarny fazy zasada Fermata k x

7 propagacja, 3 z = 0 E(x, y, 0) E x, y, z =? z Rozważamy tylko fale propagujące się ze skończonym rozkładem składowych poprzecznych wektora falowego skupionym wokół zera wiązka rozchodzi się głownie w kierunku z możemy wtedy całkować k x i k y nie po kole ale całej płaszczyźnie E x, y, z = = 1 2π dk x dk y E(k x, k y, 0)e i k xx+k y y e iz k2 k x 2 ky 2 Do r-nia powyżej wstawiamy E k x, k y, 0 = 1 2π E x, y, z = = 1 4π 2 dx dy E(x, y, 0)e i k xx +k y y dk x dk y e i k xx+k y y e iz k2 k x 2 ky 2 = 1 4π 2 dx dy E x, y, 0 = 1 4π 2 dx dy E x, y, 0 h x x, y y, z dx dy E(x, y, 0)e i k xx +k y y = dk x dk y e i k x x x +k y y y e iz k2 k x 2 ky 2 h x x, y y, z

8 propagacja, 4 z = 0 z Propagacja jest przykładem zagadnienia liniowego w 2 wymiarach: E x, y, z = 1 4π 2 dx dy E x, y, 0 h x x, y y, z h x x, y y, z - odpowiedź impulsowa układu E(x, y, 0) E x, y, z =? Dla źródła punktowego E x, y, 0 = δ x x p δ y y p (impulsu) mamy E x, y, z = 1 4π 2 h x x p, y y p, z Matematycznie całka E x, y, z = 1 4π 2 dx dy E x, y, 0 h x x, y y, z to splot funkcji E x, y, 0 oraz h x x, y y, z E x, y, z = E x, y, 0 h x x, y y, z Wiadomo, że transformata Fouriera splotu to iloczyn transformat E k x, k y, z = E k x, k y, 0 h k x, k y, z gdzie funkcja h k x, k y, z nazywana (amplitudową) funkcją przenoszenia jest transformatą Fouriera funkcji odpowiedzi impulsowej h = F h = e iz k2 k x 2 ky 2

9 f. impulsowa i f. przenoszenia w przybliż. Fresnela Jeśli rozważane pole jest mało rozbieżne: k x 2, k y 2 k 2 to z = 0 z k 2 k 2 x k 2 y k k 2 2 x + k y i funkcja przenoszenia ma postać h k x, k y, z = e ikz ik x 2 2 +ky z 2k 2k E(x, y, 0) E x, y, z =? Korzystamy z faktu, że funkcje h oraz h to para sprzężona fourierowsko aby policzyć funkcję odpowiedzi impulsowej. Rachunki h x, y, z = i x z+ 2 +y 2 eik 2z λz Teraz możemy już wypisać pole E x, y, z w obrazie Fresnela E x, y, z = 1 = i λz eikz 4π 2 dx dy E x, y, 0 h x x, y y, z dx dy E x, y, 0 e ik 2z x x 2 + y y 2 Wynik identyczny jak ten podany w wykładzie 16. i wyprowadzony z całki Sommerfelda ogólny opis układów liniowych 2D np., układów obrazujących w języku odpowiedzi impulsowej oraz funkcji przenoszenia

10 funkcja przenoszenia cienkiej soczewki Funkcję impulsową i funkcję przenoszenia możemy zdefiniować także dla układów optycznych. Przykład: cienka soczewka n = 1 Δ 0 Δ n > 1 z Cienka oznacza tutaj, że promienie świetlne nie zmieniają odległości od osi przy przejściu przez soczewkę. Wtedy jedynym efektem działania soczewki jest zmiana fazy fali zależna od położenia czyli x oraz y: φ(x, y) Δ(x, y) φ x, y = kδ 0 + n 1 kδ(x, y) E 1 x, y 1 2 E 2 x, y Rachunki zrobimy dla soczewki płaskowypukłej Δ x, y = Δ 0 R + R 2 x 2 y 2 dla x 2, y 2 R 2 mamy Δ x, y Δ 0 x 2 + y 2 2R i φ x, y = n 1 k x 2 + y 2 2R = k x 2 + y 2 2f R R 2 x 2 y 2 Δ 0 x 2 + y 2 Wynik końcowy nie zależy od kształtu soczewki tak długo jak długo obowiązuje przybliżenie cienkiej soczewki E 2 x, y = E 1 x, y e ik x2 +y 2 2f

11 pole za soczewką E 1 x, y E 2 x, y E 3 x, y z Zakładamy cienką soczewkę, dla której E 2 x, y = E 1 x, y e ik x2 +y 2 2f 1 2 Pole w odległości z za soczewką liczymy w przybliżeniu Fresnela E 3 x, y, z = i λz eikz = i λz eikz = i x z+ 2 +y 2 eik 2z λz Jeśli z = f to dx dy E 2 x, y, 0 e ik 2z x x 2 + y y 2 dx dy E 1 x, y e ik 2f x 2 +y 2 e ik 2z x x 2 + y y 2 E 3 x, y, f = i2π x f+ 2 +y 2 eik 2f λf dx dy E 1 x, y ik e 2 = i2π f+ eik λf 1 2π x 2 +y 2 1 z 1 f x 2 +y 2 e ik z xx +yy dx dy E 1 x, y e ik f xx +yy 2f E 1 k x f, k y f I 3 x, y, z = E 3 x, y, z 2 E 1 k x f, k y f dalekim polu 2 - kształt rozkładu natężenia w płaszczyźnie ogniskowej jest taki jak w

12 Soczewka i fala płaska y E x, y, z = E 0 e i k yy+k z z y 0 = Θ y f Θ y sin Θ y = k y k Θ y x0, y0 xf, yf

13 fala płaska i soczewka o skończonej aperturze E 0 e ikz E 1 x, y = E 0 A(x, y) E ff x 0, y 0 = C " F E 1 k x 0 d, k y 0 d f d E 2 x 0, y 0 = C (x, y)f E 1 k x 0 f, k y 0 f W płaszczyźnie Fouriera natężenie jest (z dokładnością do czynnika skalującego) takie samo jak w strefie dalekiego pola (oba rozkłady mają ten sam kształt)

14 Rozmiary ogniska Funkcja odpowiedzi impulsowej dla układu obrazującego z pojedynczą soczewką h x 0, y 0 h x, y x y 0 h x 0, y 0 = C J 1 ρ s ρ s = 1.22 λd 2 D πdρ λd2 πdρ λd2, ρ = x y 0 2 Jeżeli d 1 = (wiązka skolimowana) to d 2 = f i: h x 0, y 0 = C J 1 πdρ λf πdρ λf

15 Dyfrakcyjne ograniczenie na rozdzielczość I x, y 0 0 y 0 f x 0 I x 0, y 0 = C J 1 2 πdρ λd2 πdρ λd2 2 ρ s = 1.22 λd 2 D Rozdzielczość rośnie z liczbą f # = D d 2 Układy o dużej jasności mają dobrą rozdzielczość Uwaga: aberracje

16 Rozdzielczość obrazowania h x, y 0 0 d d ' D d 1 d 2 Kryterium Rayleigha: maksimum jednego rozkładu przypada na pierwsze zero drugiego ρ s = 1.22 λd 2 D ale d = ρ s = 1.22 λd 2 D d = d 1 d = 1.22 λd 1 d 2 D obrazowanie spójne vs niespójne

17 rozdzielczość układu obraz. wg. Abbego płaszczyzna Fraunhofera obrazowanie minimum: na soczewce mieszczą się przynajmniej rzędy 1-,0,1. filtrowanie r-nie siatki dyfrakcyjnej: sin α + sin β = l λ nd ale β = 0 zatem d = λ nd = λ NA

18 soczewka jako transformator Fouriera E 1 x, y E 4 x, y z E 2 x, y E 3 x, y Zakładamy cienką soczewkę; liczymy po kolei pola: przed soczewką, za soczewką, w płaszczyźnie ogniskowej. Rachunki są takie jak dla robiliśmy wcześniej - tylko dużo bardziej żmudne. Wynik: E 4 x 0, y 0 = C F E 1 k x 0 f, k y 0 f Rozkład pola w tylnej płaszczyźnie ogniskowej jest proporcjonalny do transformaty Fouriera pola w przedniej płaszczyźnie ogniskowej

19 układ 4f - filtrowanie przestrzenne Prostokątna fazowa siatka dyfrakcyjna regulowana przesłona Obraz ilustruje sytuację, dla której obraz powstaje z ugięcia fal na 2 składowych fourierowskich siatki: l 1,3 f f f f Obraz (pomarańczowa krzywa) nie jest ostry. y y 0 E 2 x 0, y 0 = C F E 1 k x 0 f, k y 0 f t y t y = l=1,3,5,... 1 l sin l 2πy d d - stała siatki

20 układ 4f obróbka i rozpoznawanie obrazów Duże częstości przestrzenne wysokie składowe fourierowskie maski - modulatory ciekłokrystaliczne

21 fale monochromatyczne układ 4f pulse shaper, 1 f f f f 2w siatka dyfrakcyjna x 2w 0 = 2 λ f w siatka dyfrakcyjna β α sin α + sin β = λ d dβ = f dλ = dx dλ d d cos β rozdzielczość spektralna Δλ = 2w 0 dx dλ

22 Impulsy femtosekundowe układ 4f pulse shaper, 2 f f f f siatka dyfrakcyjna E out ω = e iφ ω E in ω maska albo modulator realizujący funkcję Φ ω przestrzenny modulator światła (ciekły kryształ) piksel siatka dyfrakcyjna

23 Holografia, 1 REJESTRACJA Naświetlamy film drobnoziarnisty tak, że jego transmisja T jest proporcjonalna do natężenia światła t E o + E r 2 = E o 2 + E r 2 + E o E r + E o E r ODTWARZANIE E = te r = E o 2 E r + E r 2 E r + E r 2 E o + E r 2 E o

24 Holografia, 2 REJESTRACJA ODTWARZANIE E r E o E = te r = E o 2 + E r 2 E r + E r 2 E o + E r 2 E o

25 Holografia, 3 REJESTRACJA ODTWARZANIE E o E r E = te r = E o 2 + E r 2 E r + E r 2 E o + E r 2 E o

26 Hologramy objętościowe REJESTRACJA I x, y, z = I r e ik r r + I o e ik o r 2 = = I r + I o + I r I o cos k r r k o r = = I r + I o + I r I o cos k g r gdzie k g = k r k o ODTWARZANIE

Podobne dokumenty

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 17, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 17, 0.04.01 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 16 - przypomnienie dyfrakcja