ODWZOROWANIE W OŚWIETLENIU KOHERENTNYM

Transkrypt

1 ODWZOROWANIE W OŚWIETLENIU KOHERENTNYM prof. dr hab. inż. Krzysztof Patorski Przedmiotem tej części wykładu jest model matematyczny procesu formowania obrazu przez pojedynczy układ optyczny w oświetleniu koherentnym oraz niektóre miary jakości odwzorowania: funkcja przenoszenia, odpowiedź impulsowa i kryteria zdolności rozdzielczej. 1. Odwzorowanie przedmiotu punktowego: funkcja przenoszenia i odpowiedź impulsowa układu optycznego Propagację fali od płaszczyzny obiektu (x 1 ) do płaszczyzny obrazowej (x 2 ), patrz rys.1, można przedstawić zgodnie z opisem podanym w poprzedniej części wykładu stosując dwukrotnie wzór dyfrakcyjny w przybliżeniu Fresnela i operację podwójnego splotu. Zadaniem soczewki reprezentującej pojedynczy układ optyczny jest wierne odwzorowanie rozkładu amplitudy zespolonej U(x 1 ) z płaszczyzny przedmiotu na płaszczyznę obrazu Rozkład amplitudy zespolonej U(x y 1 2,y 2 ) w płaszczyźnie obrazu x x 1 y 2 interpretowany będzie jako wyjście układu liniowego jakim jest x y 2 propagacja światła między płaszczyznami wejścia x 1 i wyjścia x 2. Amplitudę zespoloną U(x 2, y 2 ) można więc zapisać w postaci x 2 (1) gdzie h(x 2 ; x 1 ) oznacza odpowiedź impulsową rozważanego odwzorowującego układu optycznego, czyli rozkład amplitudy zespolonej w obrazie przedmiotu punktowego. d 1 d 2 Rys. 1 Odwzorowanie za pomocą pojedynczego układu optycznego. Przedmiot w płaszczyźnie x 1 oświetlony jest quasi-monochromatyczną, przestrzenie koherentną wiązką o płaskim czole falowym.

2 Odpowiedź impulsowa determinuje jakość odwzorowania optycznego. W przypadku idealnym (układ bezaberracyjny, ograniczony dyfrakcyjnie przez efekty powodowane skończonymi wymiarami poprzecznymi elementów optycznych) odpowiedź impulsową opisuje funkcja delty Diraca. Zakładając przedmiot punktowy o współrzędnych (x 1 ), odpowiadającą mu amplitudę zespoloną w płaszczyźnie x 2 wyznacza się stosując wzór dyfrakcyjny Fresnela między płaszczyzną x 1 i płaszczyzną cienkiej soczewki x, y, funkcję transformacji fazowej wprowadzanej przez soczewkę i powtórnie wzór dyfrakcyjny Fresnela między płaszczyzną soczewki i płaszczyzną x 2. Otrzymuje się (2) gdzie p(x,y) oznacza funkcję źrenicy. Przyjmujemy założenie, że płaszczyzny wyjściowa i wejściowa (obrazu i przedmiotu) są sprzężone optycznie, tzn. Uwaga: w stosowanym opisie propagacji światła światła od płaszczyzny przedmiotowej w prawo znaki odległości d 1 i d 2 są dodatnie. W przypadku konwencji znaków przyjmowanej w optyce geometrycznej odległość d 1 mierzona od soczewki ma znak ujemny i wzór (2) przyjmuje postać (1/d 2 ) (1/d 1 ) = (1/f').Pierwszy czynnik fazowy po prawej stronie wzoru (2) można opuścić, gdyż rejestruje się intensywność w płaszczyźnie x 2. Drugi czynnik fazowy po prawej stronie wzoru (2) można również zaniedbać przy założeniu wolnej zmienności amplitudy w małym otoczeniu punktu (x 1 ), a więc niezależności od współrzędnych (x 1 ). Wtedy wzór opisujący odpowiedź impulsową ma postać gdzie M = d 2 /d 1 oznacza powiększenie optycznego układu odwzorowującego. Z wzoru (4) wynika, że odpowiedź impulsowa jest proporcjonalna do transformaty Fouriera funkcji źrenicy p(x,y). Współrzędne rozmytego dyfrakcyjnie obrazu punktu wynoszą x 2 = -Mx 1 = -My 1. (3) (4)

3 Wprowadzając oznaczenia wzór (1) przyjmuje postać (5) (6) gdzie = h/m. Odpowiedź impulsowa h zależy od różnicy współrzędnych, a więc rozważany układ optyczny jest tzw. układem przestrzennie niezmienniczym. Ze wzoru (6) wynika, że rozkład amplitudy zespolonej w obrazie jest dany przez splot odpowiedzi impulsowej układu odwzorowującego z funkcją odpowiadającą rozkładowi amplitudy zespolonej U geom w idealnym obrazie opisanym prawami optyki geometrycznej. (7) Tak więc układ optyczny przy oświetleniu koherentnym jest układem liniowym dla amplitudy zespolonej zaburzenia falowego. Transformata Fouriera funkcji odpowiedzi impulsowej h(x 2 ) (8) nosi nazwę funkcji przenoszenia w oświetleniu koherentnym. Zważywszy, że zgodnie ze wzorem (4) odpowiedź impulsowa jest dana transformatą Fouriera funkcji źrenicy p(x,y), w wyniku podwójnego przekształcenia Fouriera otrzymujemy H ν,ν = p λd ν, λd ν ( ) ( ). x y 2 x 2 y (9) Zmieniając kierunek osi współrzędnych pozbywamy się znaków -. Tak więc funkcja przenoszenia dla oświetlenia koherentnego dla wybranej częstości przestrzennej ν x, ν y jest proporcjonalna do transmitancji układu (funkcji źrenicy) w punkcie o współrzędnych ν x, ν y. Jeśli źrenica ma kształt kołowy o średnicy D, funkcja przenoszenia ma wartość stałą w dziedzinie częstości przestrzennych ograniczonej kołem o promieniu ν s (10) i przyjmuje wartość 0 poza tym kołem, rys. 2.

4 Dla d 1 =, d 2 = f', ν s = 1/2λN # = 1/2λ(f'/D), gdzie N # oznacza liczbę otworu układu optycznego. Dla N # = 2 oraz λ = 0.5 μm mamy ν s = 500 linii/mm. Dla tej samej źrenicy kołowej funkcja odpowiedzi impulsowej 1 H(ν ρ ) wynosi (11) 0 ν s Rys. 2 Funkcja przenoszenia dla bezaberracyjnego ukł. opt. o źrenicy kołowej i średnicy D, ρ = (x y 2 2 ) 1/2, ν ρ = (ν x 2 + ν y 2 ) 1/2, ν s częstość graniczna (odcięcia). a) ν ρ gdzie ρ = (x 22 + y 22 ) 1/2 D/2 oraz h (0,0) = πd 2 /4λ 2 d 1 d 2. Funkcja odpowiedzi impulsowej jest dana funkcją Bs(x) = 2J 1 (x)/x, gdzie J 1 oznacza funkcję Bessela pierwszego rzędu, rys. 3. Osiąga ona pierwsze zero dla ρ s = 1.22λd 2 /D; 2ρ s - średnica plamki rozproszenia, w której skupione jest około 85% energii obrazu dyfrakcyjnego. W przypadku d 1 =, d 2 = f' mamy ρ s = 1.22 λ (f'/d) = 1.22λN #. Tak więc układy optyczne o większej średnicy D (lub mniejszej liczbie otworu) dają lepsze odwzorowanie optyczne przy założeniu, że układy te nie wnoszą aberracji. b) zera funkcji Rys. 3 Wykresy funkcji besinc (sinc Bessela) Bs(x) = 2J 1 (x)/x (rys. a) i jej kwadratu (rys. b); rys. 3a) i 3b) wykonano w różnej skali. Pokazane funkcje opisują odpowiedzi impulsowe bezaberracyjnych układów optycznych ze źrenicą kołową pracujących, odpowiednio, w oświetleniu koherentnym i niekoherentnym (ten drugi przypadek zostanie omówiony w dalszej części wykładu).

5 2. Kryteria zdolności rozdzielczej Obrazem punktu danym przez rzeczywisty układ optyczny jest plamka dyfrakcyjna, której kształt i wymiary zależą od aberracji układu, kształtu i wymiaru źrenicy oraz długości fali światła. Jak już pokazano wyżej, dla układu bezaberracyjnego ze źrenicą kołową obrazem punktu jest plamka Airy, dla której sin θ = 1.22λ/D, (12) gdzie θ oznacza kąt, pod którym widać pierwsze minimum plamki dyfrakcyjnej ze środka źrenicy wyjściowej o średnicy D. Dyfrakcyjny charakter obrazu punktu odgrywa podstawową rolę przy określaniu zdolności rozdzielczej układu optycznego, tzn. rozdzielania dwóch przedmiotów punktowych o małej odległości kątowej. W przypadku niekoherentnego oświetlenia dwóch rozpatrywanych punktów w płaszczyźnie obrazu odpowiedzi impulsowe (plamki dyfrakcyjne) występują dla każdego z punktów osobno. Wypadkowy rozkład intensywności jest funkcją odległości między plamkami. Kryteria dwupunktowej zdolności rozdzielczej definiują minimalną odległość plamek, przy której punkty przedmiotu traktuje się jako rozdzielone. Kryterium Rayleigha Przy wizualnej obserwacji dwóch punktów o jednakowej intensywności, zgodnie z tzw. kryterium Rayleigha, granicznym warunkiem rozdzielenia ich obrazów jest pokrycie się głównego maksimum jednego z punktów z pierwszym minimum plamki dla drugiego punktu. Kryterium to odnosi się do oświetlenia niekoherentnego. W tym przypadku odległość kątowa środków plamek wynosi sin θ R θ = 1.22 λ/d. (13) Miarą zdolności rozdzielczej jest odwrotność kąta granicznego. Rozkład intensywności w obrazie dwóch względem siebie niekoherentnych źródeł punktowych spełniających warunek Rayleigha jest pokazany na rys. 4. Jest to suma intensywności obu plamek Airy. W środku otrzymuje się zagłębienie, w którym spadek intensywności wynosi 26.5% w stosunku do intensywności maksymalnej w pojedynczej plamce.

6 Rys. 4 Rozkład intensywności w obrazie dwóch niekoherentnych źródeł punktowych w przypadku spełnienia kryterium zdolności rozdzielczej Rayleigha. Jeżeli dwa rozważane punkty emitują promieniowanie względem siebie koherentne lub częściowo koherentne, to w wyniku interferencji w płaszczyźnie obrazu ustali się pewien rozkład intensywności zależny od kształtu plamek, ich wzajemnego położenia i stopnia koherencji promieniowania I(x 2 ) = I 1 (x 2 ) + I 2 (x 2 ) + 2 {I 1 (x 2 ) I 2 (x 2 )} 1/2 Re {γ 12 (τ)}, (14) gdzie I 1 i I 2 oznaczają rozkłady intensywności światła w poszczególnych obrazach punktów, a γ 12 (τ) oznacza zespolony stopień koherencji promieniowania. W przypadku pełnej koherencji, γ 12 (τ) = 1, wynikowy rozkład intensywności w obrazie otrzymuje się przez dodanie amplitud zespolonych plamek dyfrakcyjnych i przemnożenie przez wartość sprzężoną. Przyjmując za graniczny przypadek rozdzielania dwóch punktów warunek minimalnej wartości natężenia światła w zagłębieniu między plamkami równej wartości maksymalnej otrzymuje się θ R = 1.64 λ / D. (15)

7 Porównując wzory (13) i (15) można wnioskować, że większą zdolność rozdzielczą uzyskuje się w przypadku oświetlenia niekoherentnego. Wniosek ten wymaga jednak pewnego komentarza. W przypadku oświetlenia koherentnego lub częściowo koherentnego, gdy dodajemy amplitudy zaburzeń od rozpatrywanych punktów, bardzo istotna jest różnica fazy między punktami. Na rys 5 pokazano wynikowe rozkłady intensywności w obrazie dwóch koherentnych źródeł punktowych spełniających kryterium zdolności rozdzielczej Rayleigha dla oświetlenia niekoherentnego. I tak: Jeśli różnica faz wynosi zero, to nie występuje zagłębienie w rozkładzie natężenia obrazu punktów. Gdy różnica faz wynosi π/2, rozkład intensywności jest taki sam jak dla oświetlenia niekoherentnego. Gdy różnica faz jest równa π zagłębienie w środku obrazu jest większe niż w przypadku oświetlenia niekoherentnego. Reasumując: Jeśli dwa rozpatrywane punkty są współfazowe, wyższą zdolność rozdzielczą uzyskuje się przy oświetleniu niekoherentnym. W przypadku różnicy fazy π/2 między punktami, układy z oświetleniem koherentnym i niekoherentnym są równoważne. W przypadku różnicy fazy π między punktami układ koherentny ma wyższą zdolność rozdzielczą od układu niekoherentnego. Kryterium dwupunktowej zdolności rozdzielczej układu optycznego jest więc funkcją rozkładu fazy w przedmiocie. Warto tu przypomnieć, że różnica faz między falami emitowanymi przez oba źródła punktowe definiuje fazę arg{γ 12 (τ)} zespolonego stopnia koherencji. Rys. 5 Rozkład intensywności w obrazie dwóch koherentnych źródeł punktowych spełniających kryterium rozdzielczości Rayleigha dla oświetlenia niekoherentnego.

8 Uwaga: Kryterium dwupunktowej zdolności rozdzielczej wykorzystujące intensywnością odpowiedź impulsową układu optycznego stanowi jeden z pierwszych sposobów oceny jakości odwzorowania. Można wykazać, że dwupunktowa zdolność rozdzielcza prawie nie zależy od wielkości aberracji wnoszonych przez układ optyczny, nie może być więc wystarczająco dobrą miarą jakości odwzorowania. Poza tym, kryterium dwupunktowej rozdzielczości jest niewystarczające do oceny obrazowania dowolnego przedmiotu ogólnego. W tym przypadku dla oświetlenia koherentnego i niekoherentnego stosuje się koncepcję optycznej funkcji przenoszenia, którą można wyznaczyć, m. in., przez transformatę Fouriera intensywnościowej odpowiedzi impulsowej. Kryterium Sparrowa Zgodnie z tzw. kryterium Sparrowa graniczny warunek rozdzielania dwóch przedmiotów punktowych występuje wtedy, gdy wypadkowy rozkład intensywności spełnia zależność Rys. 6 Ilustracja kryterium dwupunktowej zdolności rozdzielczej wg Sparrowa. 2 I (x 2 = 0) / x 2 2 = 0, (16) tzn. druga pochodna intensywności wypadkowej osiąga wartość zerową w punkcie środkowym między dwiema plamkami w obrazie patrz rys. 6. Kryterium Sparrowa można stosować dla dowolnego stopnia koherencji promieniowania, gdyż dotyczy ono wypadkowego rozkładu intensywności w obrazie. W przypadku oświetlenia niekoherentnego odległość kątowa środków plamek Airy wynosi θ S = λ / π D. W przypadku oświetlenia koherentnego odległość kątowa środków plamek Airy wynosi D. (17) θ S = 4.6 λ / π D. (18) Tak więc dwupunktowa zdolność rozdzielcza dla oświetlenia niekoherentnego jest 1.55 razy wyższa niż dla oświetlenia koherentnego. Wyżej przedstawione uwagi dotyczące wpływu różnicy fazy między punktami przedmiotu na zdolność rozdzielczą układu koherentnego pozostają nadal aktualne, również dla kryterium Sparrowa.

9 3. Obraz punktu w apodyzowanym układzie optycznym wykorzystującym technikę superpozycji widm dyfrakcyjnych Podwyższenie zdolności rozdzielczej można uzyskać przez zmniejszenie szerokości plamki dyfrakcyjnej obrazu punktu. Najprostszą metodą jest zwiększenie średnicy źrenicy układu optycznego, jednakże wymaga to stosowania elementów optycznych o dużych średnicach. Inne podejście to technika apodyzacji wykorzystująca wpływ zmiany funkcji źrenicy na rozkład intensywności plamki dyfrakcyjnej. Na rys. 7 pokazano rozkłady amplitud w obrazie dyfrakcyjnym punktu w przypadku stosowania układu optycznego ze źrenicą kołową i (apodyzowaną) źrenicą pierścieniową. Wypadkowa amplituda dla źrenicy pierścieniowej jest różnicą amplitudy, która wytworzona zostałaby przez źrenicę kołową oraz amplitudy odpowiadającej źrenicy kołowej o średnicy blokującej części centralnej (zasada superpozycji widm dyfrakcyjnych). Rys. 7 Rozkład amplitud w obrazie dyfrakcyjnym punktu w przypadku układu optycznego ze źrenicą: 1) kołową, 3) pierścieniową; krzywa 2 opisuje rozkład amplitudy dla źrenicy kołowej o średnicy D 1 = 2a 1 ; D = 2a 0.

10 Wynikowy rozkład intensywności dany jest wzorem (19) gdzie: ω = (2π/λ) x 2 /d 2, p = D 1 /D, D 1 średnica części centralnej (blokującej) źrenicy. Wartość I 0 = (π 2 C 2 /4)[D 2 D 12 ] opisuje wartość intensywności na osi, C stała. Rozkłady intensywności w obrazie przedmiotu punktowego w przypadku źrenicy pierścieniowej dla różnych wartości parametru p pokazuje rys. 8. Położenia minimów dyfrakcyjnych znajduje się z rozwiązania równania J 1 (ω a 0 ) p J 1 (p ω a 0 ) = 0. (20) Dla niezerowych wartości p pierwsze zero leży bliżej osi optycznej niż w przypadku p = 0. Blokowanie centralnej części źrenicy daje więc zwiększenie zdolności rozdzielczej układu. Jednakże ze wzrostem p (powiększenie średnicy D 1 = 2a 1 części blokującej) spada wartości I 0, spada więc intensywność w obrazie, a ponadto zwiększa się intensywności maksimów bocznych. Rys. 8. Rozkład intensywności w obrazie punktu dla źrenicy pierścieniowej o różnych wartościach parametru p.