PROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO

Transkrypt

1 PROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO wyprowadzenie bez mechaniki kwantowej. Opracował mgr inż. Herbert S. Mączko Celem jest wyznaczenie objętościowej gęstości energii ρ T promieniowania w równoległościennej, metalowej wnęce o wymiarach a a a, w funkcji częstotliwości tego promieniowania ν w temperaturze T. Aby tego dokonać zostanie policzony rozkład ilości modów optycznych znajdujących się we wnęce w funkcji odpowiadającej im częstotliwości N(ν). Następne pomnożenie tej wielkości przez energię odpowiednich modów da w wyniku ilość energii pola elektromagnetycznego zawartego w rozważanej wnęce. Aby otrzymać wielkość niezależną od rozmiarów wnęki rezonansowej, całość zostanie podzielona przez jej objętość przez co zostanie uzyskana szukana objętościowa gęstość energii w funkcji częstotliwości ρ T (ν). Zakładamy, że wnęka wykonana z materiału, który odbija promieniowanie elektromagnetyczne ze zmianą fazy. Wtedy powstające wewnątrz mody optyczne, będą miały węzły na ściankach rezonatora (Rys. 1.). Rys. 1. Odbicie od ścianki rezonatora Dla takiego przypadku, łatwo można zapisać wzór na wartość amplitudy drgania pola el.-m. w funkcji położenia (dla obu polaryzacji taki sam): E(r, t) = A sin(k 1 r 1 ) sin(k 2 r 2 ) sin(k 3 r 3 ) sin(2πνt), (1) 1

2 Rys. 2. Schemat rozważanego rezonatora wraz z prezentacją przyjętych oznaczeń na przykładzie wektora położenia r. Dla tak zapisanego modu optycznego, bezpośrednio widoczny zestaw warunków na dozwolone składowe wektora falowego można zapisać w postaci: k i a = n i π, n i {1,2,3, }. (2) Rys. 3. Schematyczne przedstawienie różnych modów optycznych w dwuwymiarowym rezonatorze. 2

3 Zauważmy, że wektor falowy odpowiadający tak wybranemu modowi optycznemu k = k i e i można łatwo zapisać w postaci: k = π a ni e i = π n, (3) a gdzie n jest bezwymiarowym wektorem, którego składowe mogą przyjmować tylko całkowite wartości większe od zera. Ponieważ znamy związek między długością wektora falowego a częstotliwością ν, możemy przypisać każdemu wektorowi n określoną częstotliwość ν(n). Ze znanej zależności dla fal el.-m. 2πν = c k, gdzie c szybkość światła w próżni, k długość wektora k, oraz stwierdzenia, że k = π n otrzymuje się a ν(n) = c n. (4) 2a Powyższy wzór oznacza, że mody oscylujące w częstotliwościach mniejszych od ν(n) = c n opisane są odpowiednimi wektorami, których długość jest mniejsza od n. 2a Jeżeli skonstruuje się siatkę punktów określonych zestawem współrzędnych n i oraz każdemu z nich przypisze się sześcian o wymiarach tak jak zostało to przedstawione na schemacie (Rys.4.) to widać, że licząc pewną objętość w przestrzeni wektora n dla dodatnich wartości n i dostajemy bezpośrednio oszacowanie ilości punktów, które zawierają się w tej objętości. Rys. 4. Schemat przypisywania objętości do punktów wyznaczanych przez wektory n. Stąd wprost widać, że aby otrzymać ilość dozwolonych modów optycznych, o częstotliwościach mniejszych od ν(n) = c n należy obliczyć objętość 1/8 kuli 3 2a

4 o promieniu n w przestrzeni wektora n. Jej podwojona (ze względu na dwie możliwe polaryzacje) objętość, czyli ilość wybranych modów wynosi π n 3 = 1 π 3 (2a c )3 (ν(n)) 3. Z tą wiedzą, można przystąpić do wyznaczania N(ν). Skoro jest to rozkład ilości modów we wnęce w funkcji częstotliwości to po scałkowaniu po częstotliwościach w przedziale od do ν otrzymamy ilość tych modów w zadanym przedziale. ν N(ν)dν 4 = π 3 3 (2a c ) ν 3 (5) Z własności funkcji podcałkowej wynika, że N(ν) jest pochodną po ν prawej strony równania (5) czyli N(ν) = π ( 2a c ) 3 ν 2. (6) Do kontynuacji obliczeń wypada zastanowić się jaką energię przypisać każdemu z modów optycznych. Do tego celu policzymy średnią energię E każdego modu optycznego. Wszystkie mody optyczne potraktujemy jako identyczne obiekty fizyczne przez co dla każdego z nich E zostanie policzone identycznie, za pomocą rozkładu Boltzmanna. E = EP(E) de P(E) de, (7) gdzie E energia cząstki, P(E) rozkład Boltzmanna. Dla P(E) = e E/ otrzymuje się: P(E) de = e E de = e E EP(E) de = E e E/k BT de = Ee E k BT k BT + e E = 1 (8) de = (9) Stąd średnia całkowita energia przypadająca na każdy jeden mod wynosi E = (prawo ekwipartycji energii). 4

5 Aby uzyskać szukaną gęstość energii promieniowania we wnęce, otrzymaną przez Rayleigha i Jeansa, należy pomnożyć otrzymany wcześniej rozkład N(ν) przez E i podzielić przez objętość rezonatora. 3 ρ T (ν) = E N(ν) a 3 = k 2a BTπ ( c ) a 3 ν 2 = 8πν2 c 3 (1) Z porównania z doświadczeniem wiadomo, że powyższy wzór działa tylko w obrębie małych częstotliwości. Dla większych częstotliwości rozkład szybko przyjmuje wartości znacznie większe niż obserwowane eksperymentalnie i lim ν ρ T (ν) = podczas gdy z eksperymentu wynika, że ta granica powinna wynosić zero. A więc trzeba tak zmienić powyższą teorię aby ρ T (ν) odpowiednio szybko zaczynało maleć do zera oraz żeby lim ρ T(ν) =. Wykonamy to stosując zaproponowany przez Plancka sposób na zmniejszenie ν energii pochodzącej od modów o wyższych A więc chcemy uzależnić średnią energię całkowitą od częstotliwości, E = E (ν). Aby odgadnąć jak to zrobić zauważmy, że wzór (1) działa tym lepiej im mniejsza jest częstotliwość modu ν. Zatem to samo tyczy się wzoru (7). Z tego powodu przyjmujemy, że faktycznie musimy mieć lim ν E (ν) =. Natomiast, ponieważ musi zachodzić lim ρ T(ν) =, to o średniej energii całkowitej możemy już powiedzieć, że zachodzi ν lim E (ν) =. Zauważmy, że gdyby we wzorze (7) dokonać zależnej od ν dyskretyzacji ν energii (zamienić całki na sumy) w taki sposób, że odstępy między kolejnymi dozwolonymi energiami E(ν) rośnie wraz z częstotliwością modu ν, to E (ν) będzie funkcją malejącą. (Rys.5.). 5

6 Rys. 5. Schemat szukanego wpływu dyskretyzacji energii na całkę (1). Czerwoną strzałką zaznaczono spodziewaną wartość średniej energii całkowitej. Zróbmy to zakładając najprostszy, liniowy przypadek zależności skoku energii od częstotliwości po przez pewną stałą h. E(ν) = hν (11) Dokonujemy podstawienia E E(n) = nhν, gdzie n {1,2,3, }, oraz zamiany całek na sumy czyli również podstawienia de E(ν). E = EP(E) de P(E) de E (ν) = n= E(n)P(E(n)) E(ν) P(E(n)) E(ν) n= (12) Teraz, krok po kroku, zostanie obliczona wartość E (ν). 6

7 E (ν) = n= n= E(n)P(E(n)) E(ν) P(E(n)) E(ν) = nhν e nhν/k BT n= n= e nhν/k BT = n= nhνp(nhν) P(nhν) n= = n= nhν e nhν/k BT e nhν/k BT n= (13) Dla ułatwienia zapisu wprowadzamy oznaczenie α = hν/. E (ν) = n= nαe nα n= e nα d α = dα α d n= = n= e nα n= e nα dα e nα n= e nα (14) Do następnego kroku należy zauważyć podobieństwo aktualnej postaci wzoru do Traktujemy n= e nα jak f(x) w powyższym. E (ν) = α d dα d d dx ln(f(x)) = dx f(x) f(x). (15) ln ( e nα n= ) = hν d dα Teraz zauważamy, że z rozwinięcia w szereg Maclaurina mamy ln ( e nα) (16) n= (1 x) 1 = 1 + x + x 2 + x 3 + = x n. (17) Traktując e α tak jak x powyżej, otrzymujemy n= E (ν) = hν d dα ln(1 e α ) 1 hν = (1 e α ) 1 ( 1)(1 e α ) 2 e α = hνe α hν = 1 e α e α 1 = hν e hν/kbt 1. (18) 7

8 Tak oto uzyskaliśmy szukaną średnią energię całkowitą pojedynczego modu w funkcji jego częstotliwości ν. Teraz możemy ponownie podejść do wyznaczenia gęstości energii ρ T (ν) = E 3 N(ν) hν a 3 = e hν/kbt 1 π (2a c ) ν 2 1 a 3 = 8πν2 hν c 3 e hν/kbt 1, (19) którą da się dopasować do wyników eksperymentalnych wybierając odpowiednią wartość, wprowadzonej na potrzeby obcięcia ilości energii, wielkości h 6, Js stałej Plancka. 8