Matematyka dyskretna cz. I

Transkrypt

1 Matematka dskretna cz. I Logika teoria mnogoci relacje moc zbiorów tp porzdkowe kongruencje Zadania dla studentów informatki Katarzna Lubnauer Maria Wolska

2 Logika. Niech p q r nastpujce zdania logiczne p- pada deszcz q- s chmur na niebie r wieci słoce Zapisz prz pomoc smboli logicznch nastpujce zdania a) Pada deszcz i wieci słoce. b) Jeli pada deszcz to s chmur na niebie. c) Deszcz pada wted i tlko wted gd s chmur na niebie. Które z tch zda s zawsze prawdziwe?. Zbadaj warto logiczn zda a) Jeeli 4 to 4. b) Jeeli 4 to 4. c) Jeeli 4 i 6 to 5. d) 5 wted i tlko wted gd 4. e) 4 lub 5.. Zbadaj cz zdanie Jeli nia nie umie licz to jeli nia umie licz to 5 jest prawdziwe. 4. Zbadaj warto logiczn zda a) p p b) ( p q) c) ( q p) d) [( p q) r] ( p q) e) ( p q) [( p q) ( p q) ]. 5. Sprawd które z poniszch zda s tautologiami a) ( q p) ( p q) b) ( p q) ( p q) c) ( p q) ( p q) d) [( p q) r] [ p ( q r)] e) ((( p q) p) p).

3 6. Okrel koniunkcje za pomoc a) negacji i alternatw b) negacji i implikacji. 7. Okrel równowano za pomoc koniunkcji alternatw i negacji. 8. Zakładajc i zdanie p q jest fałszwe podaj warto logiczn zdania q p. 9. Zakładajc i zdanie ( p q) r jest fałszwe podaj warto logiczn zdania ( q r) q r p.. Niech trójkt jest prostoktn wówczas suma kwadratów długoci dwóch krótszch boków równa jest kwadratowi długoci najdłuszego boku. Zapisz twierdzenie w postaci implikacji. Sformułuj twierdzenie odwrotne zbadaj jego prawdziwo.. Znajd twierdzenie przeciwne odwrotne i przeciwstawne do danego. Zbadaj warto logiczn kadego z tch twierdze a) Jeeli > i > to >. b) Jeeli n jest liczb naturaln i parzst to c) Niech n liczba naturalna. Jeeli n jest liczb parzst to d) Jeeli lub to. n jest liczb naturaln parzst.. Udowodnij i iloczn dwóch liczb parzstch jest wielokrotnoci 4.. Udowodnij i liczba n n zastosowałe. 4. Udowodnij i liczba n n dowodu zastosowałe. 5. Udowodnij i liczba n n zastosowałe. gdzie gdzie gdzie n jest liczb parzst. n N jest liczb parzst. Podaj jaki tp dowodu n N jest liczb podzieln przez 6. Podaj jaki tp n N jest liczb parzst. Podaj jaki tp dowodu 4 6. Udowodnij i liczba n n gdzie n N jest liczb podzieln przez. Podaj jaki tp dowodu zastosowałe. 7. Udowodnij wnikania a) Jeeli > to > lub >. b) Jeeli < to < lub <. c) Jeeli rednia artmetczna n liczb jest wiksza od a to prznajmniej jedna z tch liczb jest wiksza od a. 8. Udowodnij i jest liczb niewmiern. Podaj jaki tp dowodu zastosowałe.

4 9. Udowodnij i jest liczb niewmiern. Podaj jaki tp dowodu zastosowałe.. Udowodnij i log jest liczb niewmiern. Podaj jaki tp dowodu zastosowałe.. Udowodnij i log 5 jest liczb niewmiern. Podaj jaki tp dowodu zastosowałe.. Udowodnij nastpujce nierównoci dla dowolnch a) b) ma { } c) d) e) f) g) h). Podaj jaki tp dowodu zastosowałe.. Zapisz nastpujce zdania w notacji polskiej (beznawiasowej) a) (( p q) r) s b) ( p q) ( r s) c) ( ( p q) ) ( p q). 4. Przekształ zdania z notacji beznawiasowej w notacje nawiasow a) p q pq b) pq r pqr. 4

5 Zbior.. Niech {...7 } { 468 } { 57 } C { 5687 } { 6 } U D. Wznacz zbior a) b) c) C d) ( ) c C e) C D f) C g) ile podzbiorów ma zbiór C. Niech { 45 } { n N n jest parzste} { p p jest nieparzste < } Z p. a) Wznacz C C C b) Wpisz wszstkie podzbior zbioru c) Nie wznaczajc ich zgadnij które ze zbiorów s nieskoczone.. Wpisz kilka elementów poniszch zbiorów oraz zapisz te zbior w inn sposób a) { n N n podziel. przez } b) { } c) C { } D. d) { } e) 4. W przestrzeni znajd nastpujce zbior a) [ 5 ) [ ] b) [ ] ( ) c) [ 5] [ 7) d) [ 5] [ 7) 5

6 6 e) [ ] c f) [ ] 4 5. Dla podanch zbiorów wznacz zbior \. Wnik zaznacz na osi liczbowej a) { } > b) ( ) ( ) { } log log log log > c) { } { } d) { } 9 4 e) > < f) { } > > g) ( ) ( ) ( ) { } 5 4 > h) ( ) { } { } log < > 6. Niech { } { } ( ) { } ( ) { }. * * w dlug w C i w dlug w a) Wznacz zbior C C C C \ \. b) Wznacz zbior C C \. c) Wznacz zbior * *. d) Wpisz wszstkie podzbior. e) Ile zbiorów nale do. 7. Wkaza e dla dowolnch zbiorów C zachodzi równo a) ( ) \ \ b) ( ) ( ) \ c) ( ) \ \ d) ( ) ( ) ( ) C C C

7 e) \ ( \ C) ( \ ) ( C) f) ( \ ) \ C \ ( C) c c c c 8. Udowodnij uogólnione prawo De Morgana ( C) ( C ). 9. Udowodnij prawdziwo nastpujcch zda nie uwajc diagramów Venna a) i dla dowolnch zbiorów. b) Jeli i C to C. c) Jeli C i C to C. d) wted i tlko wted gd c c.. Dla dowolnego okrelonego w przestrzeni X okrel zbiór X.. Wkaza e dla dowolnego C zachodz równoci a) b) ( ) C ( C). Podajc odpowiednie przkład wkaza e równoci a) ( \ ) b) ( ) \ NIE zachodz dla dowolnch zbiorów. Zilustruj rozwizanie diagramami Venna.. Narsuj diagram Venna dla czterech dowolnch zbiorów CD i zaznacz na nim zbiór c ( C D ) c c. 4. Zbadaj cz ponisze zdania s prawdziwe cz fałszwe. Prawdziwe zdania udowodnij a dla fałszwch znajd kontrprzkład. a) C implikuje C b) C implikuje C c) C i C implikuje C d) implikuje e) C implikuje C c c f) g) C \ C \ 5. Poka e jest najmniejszm zbiorem zawierajcm jednoczenie zbior oraz. 6. ozwi równanie [ ] X 7

8 7. Niech { 5} { 4} i C { 5}. ozwi równanie ( X ) C 8. Niech { a b c} i { a b d}.. a) Wpisz lub narsuj wszstkie par uporzdkowane zbiorów i. b) Wpisz lub narsuj wszstkie par uporzdkowane zbioru {( ) }. 9. Niech S { } i niech { } T. a) Wpisz lub narsuj element zbioru S T i T S. b) Wpisz lub narsuj element zbioru {( m n) S T m n}. c) Wpisz lub narsuj element zbioru {( m n) T S m n}. d) Wpisz lub narsuj element zbioru {( n) S T m n } m. e) Wpisz lub narsuj element zbioru {( n) S T mn > 5} m. f).wpisz lub narsuj element zbioru {( m n) S S m n}. Narsuj zbior dla a) [ ] [ ] b) [ ] [ ] c) [ ] { } d) ( ) ( )... Wpisz wszstkie element tch sporód zbiorów które maj nie wicej ni 6 elementów oraz wpisz 6 elementów z tch zbiorów które maj wicej elementów. { m N n > m} { m n N n m } { m n Z nm 4} { > } { m n N ma m n > 5} { m n N ma m n }. a) ( n) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) { } f) ( ) { }. W prostoktnm układzie współrzdnch zaznacz zbior { } {( ) } { sin } {( ) cos( ) } { tg } {( ) cos( ) } a) ( ) sin( ) tg b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) 8

9 9 d) ( ) ( ) { } ( ) { } tg tg e) ( ) { } ( ) log log. Zaznacz zbior w układzie współrzdnch { } { } < a) { } { } < b) { } 4 < < c) { } < < d) ( ) { } < < log Z e) ( ) { } 6 5 log 5 5 < t t t t 4. Wka równoci a) ( ) ( ) ( ) C C b) ( ) ( ) ( ) C C

10 Kwantfikator. Oce warto logiczn zda i zapisz negacje kadego zdania a) b) c) N N d) N 4 e) 4 f) g) h) gdzie { } i) m n m N n N j) Z N k) 4. Okrel warto logiczn zda dla n m N a) [ n m] m n b) [ n m] n m c) [ m n] m n d) [ m n] n m e) [ {n m}] n m. Okrel warto logiczn zda dla a) [ ] b) [ ]

11 c) [ ] d) [ ] 4. Niech p() p() funkcje zdaniowe znajd kontrprzkład do nastpujcch implikacji a) p( ) p( ) b) p( ) p( ) c) p( ) p( ) 5. Wska zmienne wolne i zwizane w nastpujcch wraeniach a) ( < ) ( z ) ( ) ψ ( ) ) b) φ( ) ψ ( ) c) ( ) d) e) f g ( f ( ) g( ) ) X 6. Zapisz posługujc si smbolik logiczn nastpujce zdania a) Liczb i nie maj wspólnch dzielników rónch od. b) Istnieje liczba naturalna od której nie jest mniejsza adna inna liczba naturalna. c) Układ równa a b i a b 5 nie ma rozwiza. 7. Podaj przkład takich funkcji zdaniowch φ ( ) ψ ( ) X fałszwe a) ( φ( ) ψ ( ) ) φ( ) ψ ( ) X X X b) φ( ) ψ ( ) ( φ( ) ψ ( ) ) X X X dla którch implikacje s 8. Niech formuła r() oznacza e jest rodzicem niech m() oznacza i jest mczzn. Zdefiniuj za pomoc formuł r oraz m nastpujce zdania a) jest bratem b) jest siostr cioteczn c) jest pradziadkiem

12 Uogólnione sum i iloczn zbiorów. Policz iloczn i sum uogólnion cigu zbiorów n n a) n b) c) n C n n n ( ) n n d) D {... n n } e) [ n n ] E n f) F t { sin t} t g) { t } t { } G t h) H t { t} t I t < t t i) { }. Policz granice doln i górn cigu zbiorów a) [ n n] b) c) n n C n n n ( ) n n d) D {... n n } Zbiór wszstkich liczb naturalnch dodatnich przedstaw jako sume nieskoczon cigu zbiorów nieskoczonch i parami rozłcznch. Wskazówka { n n n n n n } Z k... n N k liczba nieparzsta.. Udowodnij korzstajc z rachunku funkcjnego nastpujce twierdzenia algebr zbiorów a) \ b) ( ) tt t tt t tt c) ( t t ) t tt tt t tt t t

13 d) ( t t ) t tt. tt tt t

14 elacje. Niech S { 4 } oraz { 5678} wszstkie par nalece do relacji a) ( ) b) ( ) c) ( ) jest parzste. Dla relacji 4 poniszch spełniaj (Z) zwrotno (PZ) przeciwzwrotno (S) smetrczno (S) antsmetrczno (P) przechodnio T oraz niech relacja w zbiorze S T. Wpisz w zbiorze { 4 } a) ( ) jest parzste b) ( ) c) ( ) d) ( ) jest parzste 4. S okrel jakie własnoci z poród. Zbadaj jakie własnoci sporód wmienionch powej ma w zbiorze S { α β χ ε} relacja okrelona tabel \ α β χ ε α β χ ε gdzie oznacza e dana para jest w relacji a e nie jest. 4. W zbiorze N okrelone s nastpujce relacje dwuargumentowe a) ( ) parzste b) ( ). podziel przez c) ( ) 5 d) ( ) 4 min{ } 4

15 e) ( ) 5 gdzie oznacza i jest podzielne przez f) ( ) 6 Zbadaj ich własnoci i dla relacji równowanoci znajd klas abstrakcji. 5. W zbiorze X okrelone s nastpujce relacje dwuargumentowe a) X zbiór prostch na płaszcznie. Dwie proste lk s w relacji gd s do siebie równoległe (ozn. l k ) b) X zbiór prostch na płaszcznie. Dwie proste lk s w relacji gd s do siebie prostopadłe (ozn. lk) c) X zbiór ludzi na ziemi. Dwaj ludzie s w relacji ze sob gd maj wspólnego rodzica (matk lub ojca) d) X zbiór ludzi na ziemi. Dwaj ludzie s w relacji ze sob gd maj wspóln matk. Zbadaj ich własnoci i dla relacji równowanoci znajd klas abstrakcji. 6. Dla relacji z zadania drugiego narsuj rsunki przedstawiajc relacje midz elementami zbioru S. Jeli element () nale do relacji to łczm je strzałk o pocztku w i kocu w. Jeli midz jakimi punktami wstpuj strzałki w obu kierunkach to zastpujem je lini. Czm wróniaj si rsunki ilustrujce relacje równowanoci? Jakie własnoci relacji moesz odczta z rsunku. 7. Zbiór liczb całkowitch podzielilim na zbior rozłczne Z n { 4 k n k... } dla n 8. Niech X { a b c d} oraz niech relacja w zbiorze S okrelona nastpujco ( ). Znajd relacj dla której s to klas abstrakcji. X S zbiór wszstkich podzbiorów zbioru X. Niech. Wka e jest to relacja równowanoci i znajd klase abstrakcji do której nale element { a b} 9. Niech X pewien zbiór niepust oraz niech. X S zbiór wszstkich podzbiorów zbioru X. Niech ponadto a X oraz relacja w zbiorze S okrelona nastpujco ( ) a. Wka e jest to relacja równowanoci i znajd jej klas abstrakcji.. W zbiorze par uporzdkowanch ( ) gdzie równe lub i jest równe lub okrelono relacje w nastpujc sposób ( ) ( ). Zbadaj cz jest to relacja równowanoci i jeli odpowied jest twierdzca znajd jej klas abstrakcji.. W zbiorze trójek uporzdkowanch ( z) w nastpujc sposób ( ) ( ) n n gdzie z równe lub okrelono relacje dla nieparzstej liczb wskaników 5

16 n. Zbadaj cz jest to relacja równowanoci i jeli odpowied jest twierdzca znajd jej klas abstrakcji.. Niech w zbiorze liczb naturalnch okrelona bdzie relacja mod m w nastpujc sposób ( a b) mod m a b( mod m) gdzie a b( m) a b km def mod. Dla m zbadaj cz jest to relacja równowanoci i jeli odpowied jest twierdzca znajd jej klas abstrakcji.. W teorii liczb okrela si relacj zwan kongruencj. Wka e jeeli ( mod m) i c d( mod m) a b to a) a c ( b d )( mod m) b) a c ( b d )( mod m) c) a c ( b d )( mod m). kz 6

17 Funkcje. Definiujem funkcj f okrelon wzorem dla f ( ) dla < <. dla a) Oblicz f() f() f(-) f(). b) Naszkicuj wkres funkcji f i na jego podstawie okrel Im(f). c) Narsuj funkcje f f f.. Które z poniszch rsunków przedstawiaj a) wkres funkcji b) wkres funkcji rónowartociowej c) wkres funkcji na przedział [ ] 7

18 . Niech { 45 } S oraz zdefiniujm nastpujce funkcje a) f ( n) 6 n b) f ( n) ma{ n} c) f ( n) min{ n} d) f ( n) min{ 5 n}. Zbadaj które z nich s wzajemnie jednoznaczne z S w S. 4. Wznacz dziedzin funkcji a) f ( ) b) f ( ) 4 c) f ( ) log( sin ) d) f ( ) ln ( e e) e) f ( ) f) f ( ) arcsin 5. Cz funkcje f i g okrelone nastpujco s równe? z a) f ( ) i g( z) b) ( ) ( ) f i g z c) ( ) ( ) f i g z d) f ( ) i g( z) sin cos e) f ( ) i g( z) z z f) f ( ) i g( z) tgz ctgz 6. Okreli dziedzin i zbior wartoci funkcji a) f ( ) b) ( ) f z z 8

19 c) f ( ) d) f ( ) sin e) f ( ) f) f ( ) sin cos 4 g) f ( ) log( sin ) 7. Dane s funkcje f ( ) 4 g ( ) h ( ) k( ) a) f g h b) f h h c) f k d) g g e) h g.. Znajd funkcje 8. Udowodnij i nastpujce funkcje s rónowartociowe na wskazanch zbiorach a) f ( ) ( ] b) ( ) f c) ( ) f 5 d) f ( ) > e) f ( ) f) f ( ) \ { } 9. Zbadaj rónowartociowo oraz własno na funkcji g Z Z Z Z okrelonej wzorem a) g( n m) ( n m) b) g( n m) ( n m) c) g( n m) ( m n m) d) g ( n m) ( n 4) Dla funkcji odwracalnch znajd funkcj odwrotn. 9

20 . Zbadaj odwracalno poniszch funkcji działajcch z w oraz znajd funkcje odwrotn a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) ( ) d) f ( ). Definiujem funkcje f N N oraz N N n dla n parzst. g ( n). n dla n nieparzst. Pokaza e g f Ι oraz f g Ι.. Niech ( ) N N g w nastpujc sposób f ( n) n f. Znajd obraz zbioru oraz przeciwobraz zbioru wzgldem f a) [ ] ( 4 ) b) ( ) { 9} c) { } ( ]. Niech f ( ).. Znajd obraz zbioru oraz przeciwobraz zbioru wzgldem f 4 a) [ ] b) ( ) { 9}. 4. Niech ( ) f cos. Znajd obraz zbioru oraz przeciwobraz zbioru wzgldem f a) { } Π b) nπ Π nπ 4 4 c) { }. 5. Niech ( ) f. Znajd obraz zbioru oraz przeciwobraz zbioru wzgldem f a) [ ] b) [ ] c) ( ] d) [ 6]

21 6. Niech ( ) f. Znajd obraz zbioru oraz przeciwobraz zbioru wzgldem f a) [ ] b) [ ] c) [ ] d) ( ] e) [ 6] 7. Niech f ( ) oraz niech [ ]. Znajd f() oraz f ( f ( ) ).

22 ównoliczno zbiorów. Wka e przedział a) [ ] i [ ] b) [ a b] i [ c d] c) [ ] i [ ) d) [ ] i ( ) s równoliczne.. Wka e zbiór liczb naturalnch i zbiór liczb parzstch s równoliczne.. Wka równoliczno zbioru liczb naturalnch ze zbiorem liczb całkowitch. 4. Wka równoliczno zbioru liczb naturalnch podzielnch przez 6 ze zbiorem liczb naturalnch podzielnch przez. 5. *Wka równoliczno zbioru liczb naturalnch ze zbiorem liczb pierwszch. 6. Wka e funkcja f N N N f n ( n m) ( m ) odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór N N na N. (Zbiór liczb naturalnch bez zera) 7. Udowodni równoliczno zbioru liczb rzeczwistch z przedziałem (). 8. Wka e zbiór wszstkich trójktów równobocznch na płaszcznie o rodku cikoci w pocztku układu współrzdnch i jednm z wierzchołków o współrzdnch całkowitch jest zbiorem przeliczalnm. 9. Zbadaj moc zbioru wszstkich kół na płaszcznie majcch a) rodek o współrzdnch wmiernch i r b) rodek o współrzdnch wmiernch i r k k Z.. Wka e zbiór liczb wmiernch jest przeliczaln.. Wka e zbiór wszstkich cigów o wrazach równch lub jest nieprzeliczaln.. *Wka e zbiór liczb rzeczwistch jest nieprzeliczaln.. Wka e zbiór liczb niewmiernch jest nieprzeliczaln. 4. Wka e zbiór liczb postaci n k gdzie n k N jest przeliczaln.

23 Tp porzdkowe. Niech N N ( n m) n / m.. i jest relacj podzielnoci a) Wkaza e jest relacj porzdkujc. b) Cz w zbiorze ( ) N jest element maksmaln. rodzina funkcji przekształcajcch zbiór w. Okrelm relacje w f g f. [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) g( ). a) Podaj przkład takich funkcji które s w relacji. b) Cz jest to relacja porzdkujca. rodzina funkcji przekształcajcch zbiór [] w []. Okrelm relacje w f g f ( ) g( ). a) Podaj przkład takich funkcji które s w relacji. b) Cz jest to relacja porzdkujca. ( ) c) Cz zbiór [ ] [ ] 4. Niech N \ { }; / N a) Cz relacja porzdkujca w N? b) Wska element maksmaln. posiada element maksmaln? c) Wska element minimaln (o ile istnieje). 5. Niech { } { } oraz niech wartociach w wartociach za relacja okrelona ( i) g( i) f ( i) fg f minimaln. 6. Niech {...7 } rodzina funkcji okrelonch na o. Udowodnij i relacja porzdkujca. Wska element maksmaln i X oraz /. Udowodnij i relacja porzdkujca. Wska element maksmaln i minimaln.