WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO

Transkrypt

1 WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA i. Jarsława Dąbrwskieg ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO Przedit: PODSTAWY AUTOMATYKI (stdia stacjare I stpia) ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE UKŁADÓW AUTOMATYCZNEJ REGULACJI Warszawa 3

2 ĆWICZENIE RACHUNKOWE NR Teat: Charakterstki statcze kładów atatczej reglacji Pdczas ćwiczeia prszae będą astępjące zagadieia: liearzacja rówań pisjącch zachwaie się ieliiweg eleet atatczej reglacji; wzaczeie charakterstki statczej kład atatczej reglacji.. Wiadści góle Ab dkać aaliz eleetów i kładów atatki ależ je scharakterzwać za pcą dstępch etd pisw aalitczie graiczie itp. W t cel ależ pisać zjawiska izcze zachdzące w aalizwa kładzie raz jeg właściwści. Jedak zazwczaj kład rzeczwiste są bardz złże i kreśleie góle wszstkich właściwści że bć trde lb awet ieżliwe. W taki przpadk ależ pczić różeg rdzaj załżeia praszczające czli ależ stalić które eleet kład jakie zjawiska i paraetr raz jakie ich zakres są istte z pkt widzeia sterwaia. Opracwa w te spsób pis zachwaia się pjedczch eleetów lb całch kładów atatki azwa dele ateatcz eleet lb kład atatki. Mdele te gą bć przedstawie za pcą: rówaie lb kład rówań algebraiczch różiczkwch różicwch całkwch itp.; trasitacja peratrwa i widwa; del kład w przestrzei staów; charakterstki czaswe i częsttliwściwe; charakterstk statczch i daiczch. Charakterstką statczą kład azwa zależść sgał wjściweg w kcji sgał wejściweg w staie stal tz. gd pchde ziech (współrzędch) kład względe czas są rówe zer (p zaikięci prces przejściweg dla t ). Liearzjąc kład złże ależ rzpatrzć charakterstki statcze pszczególch eleetów kład. Liearzacja jest prcese twrzeia del liiweg któr aprkswałb del ieliiw. Tak więc liearzacja plega a zaleziei takich liiwch rówań różiczkwch które z pew przbliżeie pisją własści aalizwaeg kład dla iewielkich zia sgałów wkół ich wartści stalej.

3 Pdczas ćwiczeń ówie zstaąą dwie etd liearzacji:. liearzacjaa statcza która dtcz kładów atatki pisach ieliiw i rówaiai algebraiczi;. liearzacjaa daicza dtcząca kładów atatki pisach ieliiw i rówaiai różiczkwi.. Liearzacja statcza Niech daa będzie zależść =(). Graicz braz tej zależści przedstawia rs.. Prces liearzacja plegaa a: przeiesiei kład współrzędch d pkt prac; zastąpiei sgałów w pisie ateatcz dchleiai tch wartści w pkcie prac; zastąpiei krzwej reprezetjącej zależść =() ) stczą d iej w pkcie prac. W przpadk kilk k sgałów wejściwch a przkład = =( ) wted: () Aalgiczie gd =( ) wted: () Rs.. Liearzacja statcza kcjii Przkładd. Charakterstkę eleet piswaeg kcjąą Y=X przedstawia rs.. Zakładając że zakres zieści sgałów wkół w pkt prac X i Y i jest ał rówaie ieliiwee zastępjee się przbliż rówaie liiw zskjąc za ceęę wprwadzeia przbliżeg 3

4 pis ateatczeg liiwch. żliwść zastswaiaa terii kładów Jak stczą Rs.. Liearzacja kcji Y=X pkaza a rs. wbiera pkt prac (X i Y i ) i rsje d krzwej w t pkcie. Rzpatrjąc te pkt trza: dy dx i Y Y Y i Y i - achleie w pkcie (X i Y i ) (3) (4) stąd: zate: dy dx i d dx X i X i (5) Y Y i X i (6) Częst przeswa pczątek kład współrzęd ch d pkt prac (płżeia rówwagi) kreśleg przezz współrzęde (X i Y i ). 3. Liearzacja daicza 4

5 Jedą z etd sprwadzaia rówań ieliiwch d pstaci rówań liiwch jest j etda liearzacji daiczej która plega a zapisai rówaiaa ieliiweg kład szeregie Talra T w tczei pkt prac. Pkte t jest sta stal (rówwagi). Prz załżei że dchleie d pkt prac jest iewielkie ża w szereg Talra piąć część ieliiwą (wraz w którch wstępją wższe pchde) jak dstateczie ałą. Otrzae rówaie jest rówaie liiw które pisje daikę d kład w pkcie prac raz w jeg iewielki tczei pieważ ieliiwe charakterstki statcze zastąpiliś stczi d d ich w pktach prac. Częst charakterstki statcze wstępją w pstaci rdzi charakterstk wted gd charakterstka jest kcjąą wiel ziech p. et brtw silika elektrczeg jest t kcją dwóch pdstawwch wielkści a iawicie apięcia sterjąceg pracą silika raz jeg prędkści brtwej M=(U). Liearzjąc kład złże ależ rzpatrzć charakterstki statcze pszczególch eleetów kład. Rs.3. Rdziaa charakterstk statczch dwazweg silika elektrczeg M(U). Ugóliając prcedrę liearzacji: jeżeli kcja: (7) jest ciągła i różiczkwala względe wszstkich ziech i ich pchdch w tczei pkt prac (rówwagi) t: (8) 5

6 6 (9) Rzwija kcję p lewej strie rówaia (7) w szereg Talra: R () gdzie:. itd - pchde cząstkwe w pkcie rówwagi;. itd - przrst sgałów i ich pchdch względe czas licze w diesiei d pkt rówwagi zaczeg wie przez : R reszta ieliiwa rówa sie wrazów szereg Talra zawierającch pchde cząstkwe rzęd drgieg. Gd rzważ zachwaie się eleet prz iewielki dchlei d płżeia rówwagi t przrst sgałów i ich pchdch są iewielkie dlateg w przbliżei ża piąć wraz zawierające ilcz przrstów raz te przrst w ptęgach drgiej i wższej a zate ża przjąć że R =. Wted p względiei rówań (7) i (9) trza z rówaia (): () Jeżeli kład jest stacjar t w pkcie prac dpwiadając pktwi rówwagi pchde cząstkwe wstępjące w rówai () są stałe:

7 a b a b a b Wówczas rówaie () przjje pstać: a b a b... a a Przkład. Opisać daikę kład asa tłik - spręża przedstawi a rs.4. Na rsk t t przedstawi rówież charakterstki statcze sił bezwładści tłika i spręż. Sgałe wejściw w jest siła (t) a sgałe wjściw płżeie as (t).... b b Rs.4. Układ asa tłik spręża i jeg charakterstki statcze. Opis kład a pdstawie zasad d Alaberta a pstać: b c t () gdzie: siła bezwładści; b siła wtwrza przez tłik; c siła spręż. Rzpatrjąc charakterstki statcze kład że zapisać że kcja jest ieliiwą zależściąą (ieliiw rówaie różiczkw drgieg rzęd): b c t Rówaie (3)) jest gólą pstacią rówaia (). przeprwadzeia liearzacji l i tej kcji przjje pkt (3) W cel prac 7

8 współrzędch: = (t) = tj. sta stal w kładzie ( ) gdzie płżeie as wika z działaia sił (w staie stal rówaie () a pstać c = ). Rzwijając ieliiwą kcję w szereg Talra w tczei przjęteg pkt prac ( ) trza:!!! gdzie: R - pchde cząstkwe w pkcie prac; - dchleia sgałów d pkt prac; R ieliiwa część rzwiięcia kcji w szereg Talra. (4) Z rówaia (3) wika że lewa stra rówaia (4) jest rówa zer. Pijając ieliiwą część szereg Talra R jak dstateczie ałą trza rówaie różiczkwe liiwe pstaci: (5) Pdae wżej rzważaia ża łatw gólić a przpadek kład dwlej liczbie wejść i pisaeg rówaie dwleg rzęd. W t przpadk bliczając pchde cząstkwe pprzez różiczkwaie rówaia () raz wkreślając stcze w pkcie prac d charakterstk statczch (rs.4) trza: d d db b d dc c d b c (6) 8

9 d d gdzie: asa kład w t przpadk jest a stała i dlateg charakterstka () jest liia prstą; b współczik tłieia tłika w pkcie =; c współczik spręż w pkcie =. W rówaiach (6) pchde cząstkwe zastąpiliś pchdi d pieważ kcje b c i (t) są d kcjai jedej zieej. Wprwadzając pwższe zaczeia trza zliearzwae rówaia różiczkwe pisjące daikę kład asa tłik spręża w pstaci: d d b c (7) dt dt gdzie: i dchleia ziech i d pkt prac. W awia przkładzie liearzację ża przeprwadzić prściej liearzjąc klej wraz rówaia () t zacz kcje b c. Rzpisjąc pwższe kcje w szereg Talra i pijając ieliiwą część teg szereg trza bezpśredi: d d d dt db d b b (8) d dt dc c c d d t d Pdstawiając rówaie (8) d rówaia () trza rówaie zliearzwae pstaci: d d b c (9) dt dt 9

10 czli taką saą pstać (rówaie 7). jak w pprzedi awiaej etdzie Przkład 3. Jak przkład a liearzację kład ieliiweg iech h psłż zbirik w wpłwe swbd ciecz. Scheat piswaeg eleet pkaza a rs.3.3 gdzie sgałai wejściwi są: Q atężeie dpłw ciecz d zbirika raz pwierzchia przepłw przez zawór sgałe wjściw jest h pzi ciecz c w zbirik. W staach iestalch zia pzi ciecz w zbirik ża pisać za pcą rówaia: r dh A Q Q dt Q () gdzie: A pwierzchia przekrj pprzeczeg zbirika; Rówaie t ówi że ziaa ilści ciecz w zbirik jest rówa różic atężeia dpłw Q i atężeia wpłw Q ciecz ze zbirika. Rs.5. Zbirik z wpłwe swbd ciecz. c Jeśli rzpatrz rówaie Berlieg dla przekrjów - i -: V p V h g g p () przjjąc prędkść V = raz p = p (ciśieie atsercze) trza: V gh () pieważ:

11 Q V gh (3) Wstawiając rówaie (3) d rówaia () trza; dh A Q gh dt (4) Rówaie (4) kreślające zachwaie awiaeg kład jest rówaie różiczkw ieliiw które ależ zliearzwać. Przjij współrzęde pkt prac h Q w tczei któreg przeprwadzi liearzację. Współrzęde pkt prac wikają z rówaia kreślająceg sta stal w kładzie. Sta stal w t przpadk jest kreśl stałścią pzi ciecz w zbirik dh/dt=. Stąd z rówaia (4) wika że rówaie pisjące sta stal a pstać: Q gh (5) Z wagań stawiach prjektwai kład pdae będzie p. że pzi ciecz w zbirik wsi h a atężeie dpłw ciecz d zbirika wsi Q. Z rówaia (5) że kreślić pwierzchię przepłw przez zawór : Q (6) gh Przeprwadzając liearzację rówaia (4) wkół pkt prac zastępje rzeczwiste wielkści wstępjące w rówai ich przrstai stąd trza: dh A Q Q (7) dt W rówai t ieliiwść krta jest w Q wbec czeg wstarcz zliearzwać tlk tę część rówaia. Ab zliearzwać kład rzpisze ieliiwą kcję kreślającą atężeie wpłw ciecz Q =Q (h ) w szereg Talra: Q Q Q Q Q h h h... (8) h hh hh! h! h R

12 gdzie: R ieliiwa część szereg Talra że bć piięta ile jest dstateczie ała. Przjjąc: Q h a Q a hh hh (9) i wstawiając rówaie (8) i (9) d rówaia (7) trza zliearzwae rówaie pisjące zachwaie kład: dh A a h Q a (3) dt W rówai ależ wzaczć wartści współczików a a które ża przeprwadzić dwa etdai:. Pieważ za rówaie kreślające kcję Q = Q ( h) że pliczć bezpśredi wartści tch współczików bliczając wartści dpwiedich pchdch cząstkwch w pkcie prac: Q a h a Q hh hh g h gh (3). Gdb kcja Q = Q ( h) ie błab zaa t ależ przeprwadzić dpwiedie piar ające a cel kreśleie zależści Q d raz h. Przkładwe wiki piarów przedstawie są a rs.6 i rs.7. P zliearzwai tz. zastąpiei dpwiedich krzwch a rs.6 i rs.7 stczi d ich w pkcie prac raz kreślei ich achleia trza: Q a h a Q hh Q h hh Q

13 Rs.6. Charakterstka statcza zawr Q=Q (h). Rs.7. Charakterstka statcza zawr Q=Q (). Przkład 4. Wzaczć zliearzwae rówaie pisjące zachwaie dwazweg silika elektrczeg iebciążeg ete zewętrz ecie bezwładści wirika rów r I. Rdzia charakterstk statczch teg silika pdaa jest a rs.8. Rs.8. Charakterst ki statcze silika dwazweg. 3

14 Rówaie pisjące zachwaie się takieg silika wika z prawa d Aleberta: I M U (3) gdzie: M et brtw silika; U - apięcie zasilające będące wielkścią wejściwą; prędkść brtwa silika będąca wielkścią wejściwą; Rówaie (3) jest rówaie różiczkw ieliiw (ieliiwe charakterstki statcze rs.8) które ależ zliearzwać. Przjje pkt prac A współrzędch i U pieważ w rówai (3) ieliiwa jest kcja M(U) rzpisje ją w szereg Talra: M M M ( U ) UR U UU UU (33) Przechdząc a przrst wielkści d pkt prac i przjjąc że R ieliiwa część szereg Talra jest rówa zer trza zliearzwae rówaie pisjące zachwaie awiaeg silika dwazweg w pstaci: M M I U (34) U UU UU Odpwiedi prządkjąc rówaie (4) trza: M M I U (35) U UU UU a dzieląc strai przez M UU trza: T ku (36) I gdzie: T ; M M k U M 4

15 Wartść pchdch cząstkwch wstępjącch we wzrze (33) kreśla z charakterstk statczch silika rs.8. Np. przjjąc pkt prac = 8 V = 5 rad/s raz I = -6 Ns trza: M M UU UU 3 MU 6 5 U 4 3 M 4 U 3 NV 4 6 Ns (37) Stąd: T 5 s; k 375V s Pdstawiając blicze wartści d rówaia (34) trza stateczą pstać zliearzwaeg rówaia pisjąceg awia kład: d U (38) dt Przkład 5. Da jest bwód elektrcz (rezstr + cewka z rdzeie) przedstawi a rs.9. Rs.8. Scheat bwd elektrczeg. Strień agetcz dławika wsi: Ψ k=cst Rówaie kład ża zapisać: 5

16 Pdstawiając za (t) trza: Rówaie (4) zapisze w gólej pstaci: (39) (4) (4) Przjje pkt stalej prac prz apięci i prądzie i. Następie zajdje pchde cząstkwe względe czas w pkcie prac: Rzwijając lewą strę rówaia (4) w szereg Talra w tczei pkt prac stalej = i i=i trzje p piięci reszt ieliiwej: (4) P pdstawiei pchdch cząstkwch w pkcie prac trza: (4) Przjjąc i=i raz = zskje: (43) Przkład 6. Dkać liearzacji rówaia różiczkweg (44) w pkcie prac = 5 d /dt= d /dt =4. 6

17 (44) Rzwija kcję p lewej strie rówaia (44) w szereg Talra raz pijając ieliiwą część teg rzwiięcia trzje rówaie: (45) Obliczając pchde cząstkwe w pkcie prac trzje: Pdstawiając pwższe zależści d rówaia (45) trzje zliearzwae rówaie (44) w przjęt pkcie prac: (45) Przkład 7. Rówaie (46) pisje pewie kład z jed wejście i jed wjście. Należ przeprwadzić liearzację teg rówaia wkół pkt prac współrzędej =. (46) 7

18 8 Pwższe rówaie stawi kcję dwóch ziech () spełiającą zależść: ) ( (47) Pkt prac jest więc kreśl przez dwie współrzęde. Pdstawiając współrzędą = d rówaia (46) trzje: (48) P bliczei drgiej współrzędej pkt prac ża przstąpić d liearzacji tz. zastąpieia krzwej pisaej rówaie (46) stczą d iej w pkcie prac ( ). W t cel rzwija się kcję ( ) w szereg Talra wkół pkt ( ) i pija wraz ieliiwe teg rzwiięcia: ) ( ) ( Pieważ pkt ( ) spełia rówaie (47) więc ( )=. Stąd pwższe rówaie przjje pstać: ) ( P wzaczei pchdch cząstkwch w pkcie prac ( ) raz ziaie ziech =- i =- c dpwiada przesięci kład współrzędch d pkt prac zskje się zliearzwae rówaie wiążące przrst ziech i słsze w iewielki tczei pkt ( ): 5 4. Literatra. Zbigiew WAŁACH Cberetka techicza. Część I Eksplatacja sprzęt Wdział Wdawicz WAT Warszawa 983. Jasz KOWAL Pdstaw atatki T Uczeliae Wdawictwa Nakw-Ddaktcze AGH Kraków Michał BOGACKI Maciej CHOROWSKI Ewa ŚLIIRSKA Zbiór zadań z pdstaw atatki Wdawictw Plitechiki Wrcławskiej Wrcław 988.