ROZDZIAŁ VI. STATYKA TARCZ

Transkrypt

1 ROZDZIAŁ I. STATYKA TARCZ Omawan w poprzdnch rozdzałach onstrc lmnt słżąc do ch modlowana n wnosł poza pwnm porządowanm nc nowgo do mtod oblczń statcznch onstrc prętowch. Mtoda lmntów sończonch st t dn sformalzowanm warantm mtod przmszczń. Dz sę ta z powod prostot onstrc prętowch. Różnczow równana równowag lmntów prętowch (4.6) są na tl prost ż daą sę bz trd scałować. Ścsł rozwązana tch równań mogą bć żwan ao fnc ształt lmntów. Zpłn nacz przdstawa sę staca w stroach powrzchnowch. Cząstow równana różnczow opsąc równowagę tch onstrc maą zamnęt rozwązana tlo dla bardzo prostch zadań. Rozwązana zsan mtodam aprosmacnm (np. przz rozwnęc w szrg) są żmdn wmagaą sporgo naład prac a ft ońcow ta wmaga żca omptra w cl rozwązana ład równań smowana szrgów. t stac mtoda nmrczna tóra załada pwn proszczna na tap tworzna równań równowag lmnt oaz sę o wl bardz ftwna. Dzę tm mtoda lmntów sończonch prznosła ta wl ważnch rzltatów w mchanc ośrodów cągłch. Dosonal wdoczn st to na przładz naprostsz onstrc cągł aą st tarcza. Tarczę zdfnować można ao brłę tór dn wmar (grbość) st dżo mnsz od dwóch pozostałch a powrzchna środowa (powrzchn równolgła do ob zwnętrznch powrzchn tarcz) st płaszczzną. Ta ształt ma tż płta tarczę wróżna sposób obcążna tór ms dzałać w płaszczźn środow (Rs.6.). Rs.6.

2 6.. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I PŁASKI STAN ODKSZTAŁCENIA Gd płaszczzn boczn tarcz są swobodn a tarcza dostatczn cna można założć ż s = t = t = na cał grbośc tarcz. O ta onstrc mówm ż z z z pan w n płas stan naprężna (P.S.N.). Jst to przblżn (por. [] [7]) tm lpsz m cńsza st tarcza. tarcz cn różn od zra mogą bć węc tlo sładow poazan na Rs.6.. Rs.6. Z względ na smtrę tnsora naprężna sładow stczn t t są sob równ mam węc trz nzalżn sładow naprężna tór zgrpm w wtor naprężna: s = Øs s t. (6.) Zpłn przcwn przpad onstrc o dż grbośc (Rs.6.) moż bć równż analzowan mtodą płasgo stan tm razm st to płas stan odształcna (P.S.O.). Ponważ wmar poprzczn onstrc poazan na Rs.6. nmożlwa dformacę w rn prostopadłm do przro poprzczngo to cna warstwa wcęta z t onstrc znad sę w stan opsanm przz równana: = g = g =. (6.) z z z Z równań tch wna ż s z al prwsz równan pozwala oblczć sładow s z na podstaw dwóch pozostałch sładowch normalnch. Mam węc równan:

3 ( ) s = n s + s (6.3) z tór pozwala ogranczć lość poszwanch sładowch tnsora naprężna do trzch sładowch podanch w równan (6.). Nzalżn sładow tnsora odształcna równż zgrpm w macrz olmnową tórą nazwm wtorm odształcń: Ø = g. (6.4) Mędz wtoram s stn zwąz opswan równanam onstttwnm tórch postać zalż od modl matrał tórm opsm onstrcę. t sążc zamm sę tlo zotropowm matrałam sprężstm a węc podlgaącm praw Hooa węc równan onstttwn możm zapsać następąco: s = D (6.5) gdz D st wadratową macrzą zawraącą stał sprężst matrał a opsaną w rozdz.i. Dla płasgo stan naprężna (P.S.N.) macrz D ma postać (.3). Płas stan odształcna (P.S.O.) wmaga nco nn macrz stałch sprężstch tóra st opsana równanm (.7). 6.. ZIĄZKI GEOMETRYCZNE Dowoln pnt tarcz w czas dformac moż porszać sę tlo po płaszczźn węc wtor przmszczna tgo pnt () ma dw sładow ( ) ( ) = Ø ( ). (6.6) Mędz sładowm wtora przmszczna w wtorm odształcna zachodzą znan zwąz gomtrczn [7]: = = g = + tór można przdstawć w form: =D ( ) (6.8) gdz D st macrzą opratorów różnczowch(.35). (6.7) 3

4 6.3. MACIERZ SZTYNOŚCI ELEMENTU SPRĘŻYSTEGO Podzlm (zdsrtzm) tarczę na lmnt sończon. Omawać będzm w t sążc tlo tarczow lmnt tróątn ta tż lmnt wbrzm w trac dsrtzac (Rs.6.3). Rs.6.3 Ja wdać zgodn z założnm (6.6) węzł lmnt maą dwa stopn swobod sł węzłow równż maą po dw sładow. Loaln ład współrzędnch st wbran ta ż os go są równolgł do os ład globalngo nstotn st węc rozróżnan sładowch loalnch globalnch wtorów macrz. Przmszczna sł węzłow pogrpm traz w wtor: przmszczń węzłów lmnt = Ø = Ø sł węzłowch sł lmnt f = Ø f = Ø f = Ø = Ø f Ø = Øf = f f Ø = Ø =. (6.9) (6.) 4

5 Ponważ poszm zalżnośc mędz wtoram sł przmszczń węzłowch lmnt zastosm zasadę prac wrtaln (por. rozdz.i) tóra wmaga podana zwąz mędz przmszcznam pntów lżącch wwnątrz lmnt a przmszcznam węzłów. Godząc sę na błęd wnaąc z aprosmac załadam ż zalżność ta moż bć opsana fncam dwóch zmnnch: ( ) = N ( ) + N ( ) + N ( ) oraz ( ) = N ( ) + N ( ) + N ( ) (6.) lb w zwart macrzow form: ( ) = N ( ) (6.) gdz N () st macrzą fnc ształt lmnt: [ ] N ( ) = N ( ) I N ( ) I N ( ) I (6.3) a N () N () N () fncam ształt dla węzłów. Założm traz naprostszą z możlwch postac fnc ształt dla węzła N ( ) = a + b + c (6.4) gdz a b c - są stałm tór wznaczm z warnów zgodnośc N ( ) = N ( ) = N ( ) =. (6.5) Ø Po podstawn tch warnów do równana (6.4) otrzmam ład równań Øa Ø b = (6.6) c tór po rozwązan da wartośc współcznnów fnc ształt. Równan (6.6) można zapsać taż w ogóln postac: Ød M a = d gdz d = d d 3 (6.7) tóra po modfac polgaąc na zman nds na lb pozwala wznaczć współcznn fnc ształt następnch węzłów. równan tm d - oznacza dltę Kroncra. Rozwążm ład równań (6.6) mtodą Cramra 5

6 6 = = = - + dt M a = = b = = - = - c = = = - czl a a = b b = c c =. (6.8) Podobn zamnaąc nds na znadzm d = Ø a = = - b = = - c = = - a a = b b = c c =. (6.9) Na onc dla pnt mam:

7 Ø d = a = = b c = = - = = - (6.) a a = b b = c c =. Ja sę oaż stał a a a n są stotn dla dalszch przształcń (gdż zwązan są z rchm sztwnm tarcz) mogą bć pomnęt w czas rozwązana ład równań (6.7). Po wznaczn fnc ształt lmnt powróćm do go dformac. Podstawm równan (6.) do (6.8): =D N ( ) = B ( ) (6.) otrzmąc zalżność mędz przmszcznam węzłów lmnt a go odształcnam. Macrz B wstępąca w równan (6.) nos nazwę macrz gomtrczn moż bć wrażona następąco: [ ] B ( ) = B ( ) B ( ) B ( ) Øbn gdz B n = D N n ( ) = cn (6.) cn bn st macrzą gomtrczną dowolngo węzła n. Mam ż wszst sładn nzbędn do napsana równana równowag lmnt. orzstam zasadę prac wrtaln tóra mów ż praca wonana przz sł zwnętrzn (t sł węzłow) ms bć równa prac sł wwnętrznch tarcz (t naprężń): 7

8 ( ) T f = s d. T (6.3) Przształcm to równan podstawaąc naprw za s zwąz onstttwn (6.5) a następn za zwąz gomtrczn (6.): ( ) ( ) d ( ) ( ) T T T T f = B DB = B DB d. (6.4) równan tm przd całą za całą włączon został wtor przmszczń węzłowch lmnt ao nzalżn od zmnnch. Równan (6.4) moż bć spłnon nzalżn od przmszczń lmnt tlo wtd gd: ( ) T f = B D B d (6.5) co po porównan z znaną ż zalżnoścą (wstępowała w wszstch poprzdnch rozdzałach t sąż): f = K da nam równan wznaczaąc współcznn macrz sztwnośc lmnt: ( ) T K = B DB d. (6.6) Konstrowan macrz sztwnośc lmnt można znaczn proścć zaważaąc ż dzl sę ona na blo: K ØK K K = K K K K K K (6.7) gdz dowoln z nch np: K można oblczć z równana: ( ) T K = B DB d (6.8) a pozostał z analogcznch równań powstałch po odpowdnch zmanach ndsów. stawaąc do (6.8) macrz gomtrczn B oraz B dan równanm (6.) oraz macrz D daną równanm (.3) otrzmam: T ( ) d ( ) K = B D B = B DB Ab = T Ø - n - n EAb bb + cc b c n + b c = n n n (6.9) b c n + b c cc + bb 8

9 gdz A - powrzchna tarcz b - grbość tarcz. Jst to blo macrz sztwnośc dla płasgo stan naprężna. Zaważm ż macrz B B D n zawraą sładowch zalżnch od zmnnch z można węc bło włączć przd zna cał. Blo macrz sztwnośc dla płasgo stan odształcna otrzmam przmąc macrz stałch sprężstch wg równana (.7): Ø - n - n EAb ( - n) b b + c c b c n + b c = ( + )( - ) - - n n n n. (6.3) b c n + b c ( - n) cc + bb K Ponważ ład współrzędnch loalnch został przęt ta ż go os bł równolgł do os ład globalngo węc n ma potrzb transformować otrzman macrz sztwnośc ODKSZTAŁCENIA I NAPRĘŻENIA ELEMENCIE Oblczm szcz odształcna lmnt. Dan są on równan (6.) a borąc pod wagę wn (6.) mam: = b n n n= = b n n n= g = ( c n n + b n n ) n=. (6.3) Ja wdać sładow wtora odształcna są stał wwnątrz lmnt co st onswncą przęca lnowch fnc ształt. Elmnt tn nos nazwę CST od anglsgo orślna constant stran trangl - tróąt stałgo odształcna. Twórcą go bł?????. Naprężna w lmnc wznaczam z równana onstttwngo (6.5) równana (.3) lb (.7) w zalżnośc od rodza płasgo stan tór modlm. Oczwst st ż ta a odształcna równż naprężna będą stał wwnątrz lmnt CST EKTOR SIŁ ĘZŁOYCH OD OBCIĄŻENIA CIĄGŁEGO Obcążna tarcz można tratować a obcążna ratownc płasch tzn. przłożć sł w węzłach onstrc. Jżl dna dan st obcążn cągł dzałaąc na rawędz lmnt trzba sprowadzć do sł sponch dzałaącch na węzł lmnt Rs

10 Rs.6.4 Podobn a w poprzdnch rozdzałach zastosm zasadą prac wrtalnch tóra dla tgo przpad da równan równowag: ( T T ) f L ( ) q( ) + d = (6.3) gdz ( ) st przmszcznm obcążon rawędz a q( ) = Ø q q ( ) ( ) - wtorm obcążna na rawędz L dłgoścą rawędz - - st bzwmarową współrzędną przmącą wartość w pnc oraz w pnc. Ponważ przęlśm lnow fnc ształt dla lmnt to wtor ( ) zapszm następąco: ( ) = N (6.33) gdz N st macrzą fnc ształt dla przmszczna brzgowgo. o o o [ N ( ) N ( ) N ( ) ] N = I I (6.34) gdz N o ( ) = - N o ( ) lb w postac rozwnęt N = = Ø - -. (6.35) Po wstawn zalżnośc (6.33) do równana (6.3) otrzmam: T ( ) ( ) f = - L N q d (6.36) Po względnn lnowch fnc ształt opsanch równanm (6.35) otrzmam:

11 f = - L Ø ( - ) q ( ) ( - ) q ( ) q ( ) q ( ) d. (6.37) Oblczm dla przład wtor sł węzłowch spowodowanch obcążnm lnowo rozłożonm na rawędz - o wartośc q q - w węźl oraz q q - w węźl. Obcążn ta zapszm prz żc bzwmarow współrzędn : ( ) q Øq = q ( ) ( ) - + q - + q (6.38) a po wstawn do równana (6.37) otrzmam: f = - L Ø q ( - ) d + q ( - ) d q ( - ) d + q ( - ) d q ( - ) d + q d (6.39) q ( - ) d + q d co po scałowan da: f L = - 6 Øq + q q + q q + q q + q. (6.4) Dla szczgólngo przpad gd obcążn st stał równ: q( ) = Ø q q (6.4) otrzmam: o o z równana

12 f L = - Øqo q o qo. qo (6.4) Nalż pamętać ż oblczon sł są słam dzałaącm na lmnt potrzbn sł węzłow otrzmam zmnaąc zwrot wtorów tzn.: p = - f (6.4) gdz p st wtorm sł węzłowch dla węzłów staącch sę z lmntm EKTOR SIŁ ĘZŁOYCH SPOODOANYCH OBCIĄŻENIEM TERMICZNYM Podobn a w pnc poprzdnm zastosm zasadę prac wrtalnch do oblczna zastępczch sł węzłowch od obcążna trmczngo. Z wag na spcfę lmnt CST ogranczm sę tlo do stałgo pola tmpratr wwnątrz lmnt. Odpowdn równan prac wrtaln ma postać: ( ) T t T T t f = s d = D d t (6.43) gdz s t - st polm naprężń w lmnc wwołanm przz tmpratrę a t - odształcnm lmnt wwołanm zmaną tmpratr. Załadaąc zotropę tarcz otrzmam: Ø t = a t Dt (6.44) Po wstawn do równana (6.43) zwązów gomtrcznch (6.) otrzmam Ø Ø t T T f = a t Dt ( B ) D d = a t DtAb( B ) D. (6.45) Dla płasgo stan naprężna równan to praszcza sę do następąc zalżnośc:

13 t f PSN Øb c a t DtEAb b == - n c b c gdz b... c są współcznnam fnc ształt lmnt CST. Płas stan odształcna da nco nn wtor sł węzłowch: (6.46) t f PSO Øb c a t DtEAb b ==. ( + n)( - n) c b c (6.47) Z podobnch powodów a opswalśm w poprzdnch rozdzałach przd przłożnm sł do węzłów nalż zmnć zna sładowch: p t t = - f. (6.48) Naprężna w lmnc poddanm dzałan tmpratr oblczam z względnnm popraw spowodowan trmcznm rozszrznm lmnt: Ø s t = D( - t ) = D B - a t Dt. (6.49) Ł ł 3

14 6.7. ARUNKI BRZEGOE TARCZY arn brzgow onstrc tarczow można tratować analogczn a ratownc płas gdż węzł ob ładów maą dwa stopn swobod na płaszczźn XY. Rs.6.5 Mam węc węzł nprzswn a węzł r (Rs.6.5) przswn wzdłż os X (węzł r ) przswna wzdłż os Y (węzł r 4 ) lb ośn (węzł r 3 ). arn brzgow dla tch podpór są następąc: węzł r : r X = ry = węzł r : ry = węzł r 4 : r4 X = dla węzła r 3 gdz węz n są zgodn z osam globalngo ład współrzędnch polcam stosowan lmntów brzgowch opsanch w rozdz.ii. 4

15 ROZDZIAŁ I. STATYKA TARCZ PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I PŁASKI STAN ODKSZTAŁCENIA ZIĄZKI GEOMETRYCZNE MACIERZ SZTYNOŚCI ELEMENTU SPRĘŻYSTEGO ODKSZTAŁCENIA I NAPRĘŻENIA ELEMENCIE EKTOR SIŁ ĘZŁOYCH OD OBCIĄŻENIA CIĄGŁEGO EKTOR SIŁ ĘZŁOYCH SPOODOANYCH OBCIĄŻENIEM TERMICZNYM ARUNKI BRZEGOE TARCZY...4 5