VI. MATEMATYCZNE PODSTAWY MES

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "VI. MATEMATYCZNE PODSTAWY MES"

Jarosław Staniszewski
7 lat temu
Przeglądów:

1 Kurs na Studac Dotorancc Poltcn Wrocławsj (wrsja: luty 007) 40 I. MATEMATYCZE PODSTAWY MES. Problm abstracyjny Rozwązujmy problm lptyczny np. przstrznn zagadnn tor sprężystośc. Poszuujmy rozwązana u( nmatyczn dopuszczalngo, tzn. u = 0 na u. Sformułowan waracyjn problmu: j ( ) εj ( d = f vd + tv σ σ u d( ) (6.) gdz v ( jst wrtualnym przmszcznm v = 0 na u, ( v δu ). Oznaczmy: = { u ( u( = 0 na u } przstrzń nmatyczn dopuszczalnyc przmszczń, B( u, = σ ( u) ε ( d j j funcjonał, forma blnowa, ( fvd + tv σ L = d( ) funcjonał lnowy. Ostatczn równan prac przygotowanyc można sformułować następująco: poszuujmy tago u (, ż: B ( u, = L( problm abstracyjny, dla ażdgo v. Forma dwulnowa B ( u, : symtryczna B ( u, = B( v, u), dodatno orślona, B ( u, u) - nrga sprężysta.. Abstracyjny problm w MES Rozwązana poszuujmy w przstrzn Sobolwa = { ( = u ( u H ( ), u = 0 na } u, (6.) u u H ( ) = u( L ( ) L ( ), j =,, (6.3) x j gdz: u x j - pocodna w sns dystrybucyjnym,

2 Kondrla P. Mtoda Elmntów Sończonyc, tora zastosowana 4 L - funcj całowaln w wadrac z loczynm salarnym u v u, v = uv + d, (6.4) H ( ) x x loczyn salarny przstrzn : 3 = u, v = ( u, v ), (6.5) H ( ) norma przstrzn : u = u, u. (6.6) 3. Istnn jdnoznaczność rozwązana. Lmat Laxa Mlgrama c: - przstrzń Hlbrta z loczynm salarnym u, v normą u Funcjonały w problm abstracyjnym B(u, = L( mają własnośc: L ( cągła na, tzn. stnj stała C > 0 taa, ż L( C v dla ażdgo v, B(u, cągła na, tzn. stnj stała M > 0 taa, ż u,v, B( u, M u v dla ażdgo B(u, jst orcywn na, tzn. stnj α > 0 ta, ż α u B( u, u) u. Istnj wówczas doładn jdno rozwązan u( problmu abstracyjngo. Powyższy lmat jst spłnony równż dla przstrzn Sobolwa. dla ażdgo 4. Rgularność rozwązana rzędu l Zalży od: rgularnośc obszaru, rgularnośc współczynnów matrałowyc C jl, rgularnośc obcążna. Zwyl mara rzędu rgularnośc jst rząd przstrzn Sobolwa, w tórj rozwązan sę zawra. Dla przstrzn Sobolwa spłnon są rlacj 3 H ( ) H ( ) H ( )... (6.7) Przyładowo dla: - obszar ogranczony rzywym gładm, C jl lasy C, obcążna L, rozwązan u ( H ( ) rząd rgularnośc rozwązana jst l =.

3 Kurs na Studac Dotorancc Poltcn Wrocławsj (wrsja: luty 007) 4 5. Matmatyczn pojęc lmntu sończongo a przyładz lasy lmntu typu Lagrang a. Elmnt to: fgura gomtryczna, przstrzń funcj ształtu ϕ = [ ϕ, ϕ,..., ϕ ], węzły a, a,..., a. Każda funcja u () ( na lmnc ma jdnoznaczna ntrpolację w przstrzn ϕ () = I ( u ( aα ) ϕ α α= u, (6.8) gdz: u I ( ntrpolant funcj u (, u ( a ), gdz α =,,..., stopn swobody. α Funcj bazow ϕ () tworzą bazę przstrzn, natomast stopn swobody bazę dualną. Rys. 6.. Intrpolacja funcj Prost lmnty sończon lmnty lnow stopna stopna stopna 3 Rys. 6.. Elmnty sończon typu Lagrang a

4 Kondrla P. Mtoda Elmntów Sończonyc, tora zastosowana 43 Powyższ lmnty gwarantują cągłość funcj na grancac lmntów lmnty dostosowan. W przcwnym przypadu mamy lmnty ndostosowan. Przyład lmntu ndostosowango: Rys Elmnt ndostosowany 6. Sończn - wymarowy modl obszaru Przstrzń funcj bazowyc: Φ = Φ, Φ,..., Φ ]. Węzły: a a,..., a, n [ Funcj Φ są złożnm funcj bazowyc loalnyc przylgającyc do węzła a. Intrpolant dowolnj funcj u(: u ( = u( a ) Φ (. (6.9) I = Dla lmntów dostosowanyc Φ H ( ). 7. Aprosymacyjna przstrzń ntyczn dopuszczalna Z ncj: = { = u ( a ) Φ ( u ( a ) = 0 dla a } u. (6.0) u 8. Rgularna rodzna afnczna sat lmntów sończonyc Elmnt orślają dwa paramtry gomtryczn: ( ) - masymalny wymar pomędzy węzłam, ρ( ) - masymalny promń oła wpsango. Afnczna sata lmntów sończonyc: stnj lmnt macrzysty, pozostał lmnty są odwzorowanm afncznym lmntu macrzystgo (odwzorowan lnow translacja) (trójąt w trójąt td.).

5 Kurs na Studac Dotorancc Poltcn Wrocławsj (wrsja: luty 007) 44 Sata jst rgularna, jżl stnj C > 0 ta, ż ( ) < C dla =,,..., E. (6.) ρ( ) Rys. 6.4 W trac zagęszczana lmnty n mogą sę zbytno spłaszczać. Tora ntrpolacj w przstrznac Sobolwa Rys Funcja jj ntrpolant Badamy błąd ntrpolacj: I = u( ui (, (6.) ( a ) = 0. I Pomaru błędu doonuj sę stosując smnormę Sobolwa. Smnorma Sobolwa rzędu -tgo u, = α +α = α x +α α u( α x dx jdnoczśn normę Sobolwa można wyrazć poprzz smnormy = u + u u H ( ) 0,,,, (6.3) u. (6.4) Smnorma zawra wyłączn najwyższ pocodn (z normy Sobolwa).

6 Kondrla P. Mtoda Elmntów Sończonyc, tora zastosowana Twrdzn o ntrpolacj w przstrznac Sobolwa Dla rgularnj sat afncznyc lmntów sończonyc rzędu stnj stała C > 0 zalżna od, rodzaju lmntu, obszaru al nzalżna od u( taa, ż: + m u u C u gdz m 0,,...,, (6.5) I = m, +, dla wszystc funcj u( z przstrzn H + (). Błąd zalży od: - rzędu aprosymacj, rgularnośc funcj u(, u( H + conajmnj, m - wyboru stopna smnormy. 0. Analza zbżnośc dla lmntów dostosowanyc Lmat Ca c u będz rozwązanm problmu abstracyjngo brzgowgo, u jst aprosymacją rozwązana MES, oraz spłnon są założna lmatu Laxa Mlgrama, wówczas: M u u u v, (6.6) α dla ażdgo v, gdz M, α stał. Jżl przyjąć v = u I ntrpolant, wówczas można stwrdzć, ż błąd aprosymacj jst ogranczony przz błąd ntrpolacj. Rys Funcja rozwązująca oraz jj ntrpolant aprosymacja MES Twrdzn c będą spłnon założna lmatu Ca twrdzna o ntrpolacj. c jst rzędm aprosymacj oraz rozwązan ma stopń rgularnośc ta, z nalży do H +, l wówczas:

7 Kurs na Studac Dotorancc Poltcn Wrocławsj (wrsja: luty 007) 46 u u C u, (6.7) H ( ) s s+, gdz s = mn(,l), a stała C jst nzalżna od u. Dwa zasadncz czynn wpływając na rząd zbżnośc MES: rząd aprosymacj, stopń rgularnośc l rozwązana ścsłgo. UWAGA: W przypadu rozwązań osoblwyc (o małj rgularnośc) n ma snsu podwyższana rzędu aprosymacj.. Całowan numryczn W pratyc macrz sztywnośc oraz praw strony równań wyznacza sę numryczn stosując zwyl mtodę Gaussa: x x f ( dx I = gdz: x punty Gaussa, w wag. f ( x ) w, (6.8) Punty wag dobran są ta, aby wloman L+ stopna był całowany ścśl. Często funcj podcałow n są wlomanam lub są stopna wyższgo nż stopń mtody to prowadz do błędów całowana. I lmat Stranga c spłnon są założna lmatu Laxa Mlgrama oraz rodzna form B (u,v ) jst orcywna α u B u, v ), to mamy oszacowan: ( u u C u v + EB ( v ) + E ), (6.9) dla ażdgo v, gdz: ( C jst nzalżna od u, E E B L ( v L B( v, w ) B ( v, w ) ) = max, (6.0) w L( w ) L ( w ) =. (6.) w a tj podstaw możmy dobrać ta mtodę całowana, aby rząd zbżnośc rozwązana był tgo samgo rzędu ja dla całowana ścsłgo. alży zadbać, aby mtoda całowana n obnżyła rzędu zbżnośc rozwązana.

Podobne dokumenty

IV. WPROWADZENIE DO MES

IV. WPROWADZENIE DO MES Kondra P. Moda mnów Sończonych ora zasosowana 7 IV. WPROWADZNI DO MS Poszuwan rozwązań rzybżonych bazuących na modach rsduanych waracynych naoya na rudnośc w doborz func bazowych orśonych na całym obszarz.