Programowanie wypukłe i kwadratowe. Tadeusz Trzaskalik
|
|
- Bartosz Cichoń
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Proramowanie wpukłe i kwaratowe Taeusz Trzaskalik
2 6.. Wprowazenie Słowa kluczowe Zaanie proramowania nielinioweo Ekstrema lobalne i lokalne Zbior wpukłe Funkcje wklęsłe i wpukłe Zaanie proramowania wpukłeo Funkcja Larane a Warunki Kuhna - Tuckera Zaanie proramowania kwaratoweo Zaanie zastępcze Zmienne sztuczne tpu w i u Alortm Wolfe a Optmaln portfel akcji Zaanie Markowitza T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
3 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (/5) Ekstrema lobalne i lokalne T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3
4 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (/5) Przkła zbiorów wpukłch i niewpukłch, C λ [,] Zbior wpukłe λ + ( λ) Zbiór niewpukł C T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
5 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (3/5) Funkcje wpukłe a kształt wpukle funkcja wpukła kształt wklęsł funkcja wklęsła kształt wpukł T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5
6 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (4/5) Definicje Funkcja wpukła:, W, λ [,] f ( λ + ( λ) ) λf ( ) + ( λ) f ( ) Funkcja wklęsła: Funkcja liniowa: Forma kwaratowa: Funkcja kwaratowa: f wklęsła f wpukła T α( ) p + q T β ( ) C H ( ) p T n n j n T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 6 p i j T C j c ij j i + q j
7 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Zbior wpukłe i funkcje wpukle (5/5) Twierzenia Twierzenie 6.: Funkcja liniowa jest jenocześnie funkcją wpukłą i wklęsłą. Twierzenie 6.: Forma kwaratowa jest funkcja wpukłą (wklęsłą) wte i tlko wte, macierz form C jest nieujemnie (nieoatnio) określona. T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 7
8 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Sformułowanie zaania proramowania wpukłeo (/3) Sformułowanie zaania f () ma ( )... m () f ( ) ma ( ) ( ) ( )... ( ) m Powższe zaanie jest zaaniem proramowania wpukłeo jeżeli f i wszstkie i są funkcjami wklęsłmi. T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 8
9 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Sformułowanie zaania proramowania wpukłeo (/3) Przkła 6. ( ) f ( ) ( ) ( ) A (, ) O P (, ) B (, ) T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 9
10 6.. Zaanie proramowania wpukłeo 6... Sformułowanie zaania proramowania wpukłeo (3/3) Zaanie proramowania kwaratoweo p T C macierz T C ma A b b nieujemnie określona T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
11 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Warunki Kuhna-Tuckera (/) Funkcja Larane a L ( f ( ) ma ( ) L (, ) f ( ) + ( ) [,..., m ] m +,..., n,,..., m) f (,..., n) ii (,..., n ) i T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
12 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Warunki Kuhna-Tuckera (/) Sformułowanie warunków Warunek L(, ) Warunek ( ) Warunek 3 ( ) Warunek 4 Warunek Slatera Twierzenie 6.3: L(, ) L(, ) L(,,..., Problem proramowania wpukłeo i problem Kuhna-Tuckera opisane warunkami - 4 są sobie równoważne. n ) T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
13 kłe i kwaratowe 3 3 ) (8 ),,,, ( L ) ( ) ( 8 ) ( ) ( 3 + f 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (/5) Przkła 6. (c..) 6. Proramowanie wpuk T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem Warunek : Warunek : L L ) 8 ( Warunek 3: ) ( ) ( 8 ) ( 3 Warunek 4:,, 3
14 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (/5) Poział zbioru rozwiązań opuszczalnch na pozbior Pozbiór > > 3 > Pozbiór 3 3 > > A O A O B B Pozbiór > 3 > Pozbiór 4 3 > > A O A O B B T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
15 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (3/5) Poział zbioru rozwiązań opuszczalnch na pozbior (c..) Pozbiór 5 A > 3 O B Pozbiór 7 3 > A O B Pozbiór 6 3 > Pozbiór 8 A 3 O B Zbiór pust T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5
16 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (4/5) Pozbiór Warunek L Pozbiór L Warunek + ( 8 ) Warunek ( ) 4 ( ) ( ) Warunek 4,, 3 3 >, >, 3 > z warunku wnika, żee,, 3 Wstawiam te wartości o warunku + + czli: - sprzeczność T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 6
17 6.. Zaanie proramowania wpukłeo Wkorzstanie warunków K-T o rozwiązwania zaań proramowania wpukłeo (5/5) Pozbiór Warunek L L Warunek + ( 8 ) Warunek 3 3 ( ) 4 ( ) ( ) Warunek 4 +,, 3 3 Pozbiór, >, 3 > z warunku wnika, że, 3 Wstawiam te wartości o warunku +,,,5,, 3 +, 8 ( ) ( ) T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 7
18 kłe i kwaratowe, 9 ma 4 5 ), ( f 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (/3) Przkła Proramowanie wpuk T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 8, 5 p, C, 9 b określona nieujemnie macierz C ma b A C p T T
19 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (/3) Przekształcenia warunków oraniczającch f ( ) ma + (, ) + 9 (, ) 9 3 (, ) 4 (, ) [,, ], (,,,,, L ) ) + 9 ) ( ( + + T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 9
20 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek (, ) L 4 L 5 4 Przenosim wraz wolne na prawą stronę 4 4 Mnożm obie stron równań przez (-) T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
21 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek ( ) ( _ ) + (9 ) + + Bilansowanie oraniczeń Po postawieniu i Warunek ma postać T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
22 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek 3 ( ) Warunek ten stanowi powtórzenie oraniczeń rozpatrwaneo zaania (, ) (, ) 9 3 (, ) 4 (, ) Uwzlęniając zmienne bilansujące i, mam: - 9 Przenosim wraz wolne na prawa stronę i mnożm przez (-): T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem
23 6.3. Metoa Wolfe a Warunki Kuhna-Tuckera la zaania proramowania kwaratoweo (3/3) Sformułowanie warunków K-T Warunek 4,,, Zestawienie warunków w wkorzstwanej alej kolejności: ,,,,,,, T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3
24 6.3. Metoa Wolfe a Sformułowanie zaania zastępczeo (/) Zaanie zastępcze w + w min w w 5,,,,,,,, w, w Pominięt warunek: Par zmiennch komplementarnch: i i i i T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
25 6.3. Metoa Wolfe a Rozwiązanie zaania zastępczeo (/5) Przebie obliczeń c min Baza c B w w 4 c j -z j w w b 9 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5
26 6.3. Metoa Wolfe a Rozwiązanie zaania zastępczeo (/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B w w b,8 -,5 -,5,5 -,5 9,5,8 -,5 -,5,5 -,5 8,5,,5,5 -,5,5,5 w,,8,8, - -, 3 c j -z j -, -,8 -,8 -,, T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 6
27 6.3. Metoa Wolfe a Rozwiązanie zaania zastępczeo (3/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B w c j -z j ,5 -,5,5 -,5 -,5,5,5,5 -,5,5,5,5 -,5 -,5 -,5 - w -,5 -,5,5 -,5,5 w b 5 6,5,5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 7
28 6.3. Metoa Wolfe a Rozwiązanie zaania zastępczeo (4/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B w c j -z j -8 -,5 -,5, w - w b T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 8
29 6.3. Metoa Wolfe a Rozwiązanie zaania zastępczeo (5/5) Przebie obliczeń (c..) c min Baza c B c j -z j -6,5,5,5,5,5 -,5,5 -,5 -,5,5 -,5 -,5 Z twierzenia Kuhna-Tuckera:, 5 - rozwiązanie optmalne wjścioweo zaania proramowania kwaratoweo w - w,5,5 b 7, ,5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 9
30 6.3. Metoa Wolfe a Przpaek oóln (/5) Przkła 6.3 Zaanie zastępcze f(, ) ma + 9 v + w + w min v w w 5,,,,,,,, v, w, w T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3
31 6.3. Metoa Wolfe a Przpaek oóln (/5) Iteracja 5 c min Baza c B w,5,5,5 -,5 -,5 -,5,5-6,5,5,5 -,5 -,5 v,5 -,5 - c j -z j -,5,5 v w b 5 7,5 7,5 4 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3
32 6.3. Metoa Wolfe a Przpaek oóln (3/5) Iteracja 6 c min Baza c B w,5, v,5 -,5 - c j -z j -,5,5 v w - - b T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 3
33 6.3. Metoa Wolfe a Przpaek oóln (4/5) Iteracja 7 c min Baza c B w - c j -z j Z twierzenia Kuhna-Tuckera: 8, - rozwiązanie optmalne wjścioweo zaania proramowania kwaratoweo - - v 3 66 w - - b T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 33
34 6.3. Metoa Wolfe a Przpaek oóln (5/5) Przkła 6.4 Zaanie zastępcze f(, ) 5 4 ma + 9 v + w min v w ,,,,,,,, v, w T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 34
35 6.3. Metoa Wolfe a Reuł postępowania w metozie Wolfe a (/) Alortm. Zapisanie warunków Kuhna-Tuckera.. Zapisanie zaania zastępczeo: a) zmienne sztuczne tpu w, b) zmienne sztuczne tpu v. 3. Rozwiązanie zaania zastępczeo: a) wbór zmiennej kanującej o baz, b) sprawzenie, cz wbór zmiennej kanującej bł właściw, c) wbór zmiennej usuwanej z baz, ) baanie niesprzeczności zaania. 4. Ocztanie rozwiązania zaania wjścioweo. T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 35
36 6.4. Optmaln portfel akcji Oczekiwana stopa zsku i rzko portfela (/) Postawowe pojęcia Określić taki skła portfela, złożoneo z akcji n spółek, b zminimalizować rzko portfela, prz założonm z ór poziomie oczekiwaneo zsku. Stopa zsku z i-tej akcji w okresie t (t,..., T) z i-tej akcji w okresie t R ( t ) Oczekiwana stopa zsku z i-tej akcji R i i T P i T t ( t) P i ( t ) ( t ) Uział akcji w portfelu, Oczekiwana stopa zsku portfela akcji n i R p i n i R i P i R i i ( t) i T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 36
37 6.4. Optmaln portfel akcji Oczekiwana stopa zsku i rzko portfela (/) Postawowe pojęcia (c..) Rzko (wariancja) portfela Ochlenie stanarowe stop zsku Współcznnik korelacji Zmofikowan wzór na wariancję portfela v S r v p i ij p n n T T t i j n T T i j S i S j r ij ( ( R i ( t ) R i ) t i j ( R ( t) R ) R ( t) i j ( j R j ) cov( R, R ) i i n i j S S cov( R, R i j ) S i i S j j T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 37
38 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (/7) Sformułowanie zaania n n i j n i n i i j R i i v i ij min O T T V ma R R R O T i la i,..., n V macierz wariancji i kowariancji (V [cov(r i, R j )]), R [ R,..., Rn ], : O :,, n : T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 38
39 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (/7) Przkła 6.4 Spółka Spółka Notowania Spółka Spółka Spółka Oczekiwane stop zsku z akcji w okresie t w % Spółka Spółka Spółka 3 Spółka 4 Spółka T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 39
40 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (3/7) Obliczenia pomocnicze Oczekiwane stop zsku z akcji w % Spółka Spółka Spółka 3 Spółka 4 Spółka 5 R i Spółka Spółka Spółka 3 Spółka 4 Spółka 5 Macierz wariancji-kowariancji stóp zsku Spółka Spółka Spółka Spółka Spółka T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
41 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (4/7) Moel matematczn Cel Znalezienie portfela akcji minimalizująceo rzko o zaanej oczekiwanej stopie zsku. Zmienne eczjne uział w portfelu akcji spółki, uział w portfelu akcji spółki, 3 uział w portfelu akcji spółki 3, 4 uział w portfelu akcji spółki 4, 5 uział w portfelu akcji spółki 5, T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
42 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (5/7) Moel matematczn (c..) Funkcja celu f(,, 3, 4, 5 ) [,, 3, 4, 5 ] V [,, 3, 4, 5 ] T min V Oraniczenia oczekiwan zsk z portfela ma bć większ o %, czli:,94 +,, 3 +,8 4 +,45 5 uział akcji w portfelu sumują się o jeności: warunki nieujemności:,, 3, 4, 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 4
43 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (6/7) Rozwinięta postać zaania f ( [,,,, 3 3,, 4 4,, 5 5 ),43,7,3,669,54,7 7,773,4983,374,756 ],3,4983 5,598,394,637 3,669,374,394,858,84 4,54,756,637,84 4,389 5 prz warunkach oraniczającch:,94, +, 3,8 4, ,, 3, 4, 5 ma T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 43
44 6.4. Optmaln portfel akcji Optmalizacja portfela akcji jako zaanie proramowania kwaratoweo (7/7) Rozwiązanie i interpretacja Rozwiązanie optmalne,468,539 3,85 4,6 5,797 Interpretacja rozwiązania Optmaln portfel, la któreo stopa oczekiwaneo zsku jest nie mniejsza niż % bęzie się skłaał (w ujęciu wartościowm) w 4,68% z akcji spółki, w 53,9% z akcji spółki, w,85% z akcji spółki 3, w,6% z akcji spółki 4 i w 7,97% akcji spółki 5. Rzko takieo portfela wnosi, 4 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 44
45 6.4. Optmaln portfel akcji Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (/5) Przkła 6.4 Cel Szukam takieo portfela akcji, la któreo rzko jest minimalne, a oczekiwan zsk portfela maksmaln. Zmienne eczjne uział w portfelu akcji spółki, uział w portfelu akcji spółki, 3 uział w portfelu akcji spółki 3, 4 uział w portfelu akcji spółki 4, 5 uział w portfelu akcji spółki 5, T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 45
46 6.4. Optmaln portfel akcji Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (/5) Moel matematczn Funkcje celu Minimalizacja rzka portfela,43,7,3,669,54,7 7,773,4983,374,756 T [,, 3, 4, 5 ],3,4983 5,598,394,637 [,, 3, 4, 5 ] min,669,374,394,858,84,54,756,637,84 4,389 Maksmalizacja oczekiwanej stop zsku portfela: Oraniczenia,94 +,, 3 +,8 4 +,45 5 ma ,, 3, 4, 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 46
47 6.4. Optmaln portfel akcji Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (3/5) Metoa satsfakcjonująceo poziomu krteriów Funkcja celu,43,7,3,669,54,7 7,773,4983,374,756 T,, 3, 4, 5],3,4983 5,598,394,637 [,, 3, 4, ] min,669,374,394,858,84,54,756,637,84 4,389 [ 5 Oraniczenia,94, +, 3,8 4,45 5 R ,, 3, 4, 5 T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 47
48 6.4. Optmaln portfel akcji Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (4/5) Wniki obliczeń Parametr portfeli wznaczonch la założonch wartości R Lp R V p P..79 P P P P P P P P P T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 48
49 6.4. Optmaln portfel akcji Dwukrterialne zaanie poszukiwania optmalneo portfela akcji (5/5) Granica efektwna oczekiwana stopa zsku z portfela w %,4,,8,6,4,,5,5 3 rzko portfela oczekiwana stopa zsku z portfela w %,4,,8,6,4,,5,5 3 rzko portfela 3,5,5 rzko portfela,4,,8,6,4 oczekiwana stopa zsku z portfela w % T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 49
50 Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowazenie o baań operacjnch z komputerem 5
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie programowania nieliniowego (ZPN) min f(x) g i (x) 0, h i (x) = 0, i = 1,..., m g i = 1,..., m h f(x) funkcja celu g i (x) i
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoPodejmowanie decyzji w warunkach niepełnej informacji. Tadeusz Trzaskalik
Podejmowanie deczji w warunkach niepełnej informacji Tadeusz Trzaskalik 5.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Niepełna informacja Stan natur Macierz wpłat Podejmowanie deczji w warunkach rzka Podejmowanie deczji
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoWYKŁAD nr Ekstrema funkcji jednej zmiennej o ciągłych pochodnych. xˆ ( ) 0
WYKŁAD nr 4. Zaanie programowania nieliniowego ZP. Ekstrema unkcji jenej zmiennej o ciągłych pochonych Przypuśćmy ze punkt jest punktem stacjonarnym unkcji gzie punktem stacjonarnym nazywamy punkt la którego
Bardziej szczegółowoMetoda Karusha-Kuhna-Tuckera
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Poznań, 2015/2016 Plan 1 Sformułowanie problemu 2 3 Warunki ortogonalności 4 Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera 5 Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera 6 Ograniczenia w
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4
ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie 4. 0-0,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie 4.- 0-0,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane?
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych
Rozwiązwanie równań różniczkowch. Równanie różniczkowe zwczajne. rzęu A. Metoa rkfie - zaimplementowana w Mathcazie metoa Rungego-Kutt. rzęu ze stałm krokiem całkowania: rkfie(,,ma, N, P) gzie: ma N P
Bardziej szczegółowo3. Optymalizacja portfela inwestycyjnego Model Markowitza Model jednowskaźnikowy Sharpe a Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM
3. Optymalizacja portfela inwestycyjnego Model Markowitza Model jednowskaźnikowy Sharpe a Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM Oczekiwana stopa zwrotu portfela dwóch akcji: E(r p ) = w 1 E(R 1 ) + w
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowodr hab. Renata Karkowska 1
dr hab. Renata Karkowska 1 Miary zmienności: obrazują zmiany cen, stóp zwrotu instrumentów finansowych, opierają się na rozproszeniu ich rozkładu, tym samym uśredniają ryzyko: wariancja stopy zwrotu, odchylenie
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoMinimalizacja kosztów
Minimalizacja kosztów 1. (na wkładzie) Firma genealogiczna Korzenie produkuje dobro korzstając z jednego nakładu x użwając funkcji produkcji f(x) = x. (a) Ile jednostek x jest potrzebnch do wprodukowania
Bardziej szczegółowoOptyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Optka Projekt współinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funuszu Społecznego Optka II Promień świetln paając na powierzchnię zwierciała obija się zgonie z prawem obicia omówionm w poprzeniej
Bardziej szczegółowoβ i oznaczmy współczynnik Beta i-tego waloru, natomiast przez β w - Betę całego portfela. Wykaż, że prawdziwa jest następująca równość
Zestaw 7 1. (Egzamin na doradcę inwestycyjnego, I etap, 2013) Współczynnik beta akcji spółki ETA wynosi 1, 3, a stopa zwrotu z portfela rynkowego 9%. Jeżeli oczekiwna stopa zwrotu z akcji spółki ETA wynosi
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoZarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik
Zarządzanie projektami Tadeusz Trzaskalik 7.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Projekt Sieć czynności zynność bezpośrednio poprzedzająca Zdarzenie, zdarzenie początkowe, zdarzenie końcowe Właściwa numeracja
Bardziej szczegółowoZadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji
Paweł Kliber Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji Zadania Zad Dla podanych funkcji produkcji a fk z k + z b fk z 6k z c fk z k z d fk z k 4 z e fk z k + z wykonaj następujące polecenia: A
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoInwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.
Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.
Bardziej szczegółowoInne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak
Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe
Bardziej szczegółowoMetody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik
Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoTeoria portfelowa H. Markowitza
Aleksandra Szymura szymura.aleksandra@yahoo.com Teoria portfelowa H. Markowitza Za datę powstania teorii portfelowej uznaje się rok 95. Wtedy to H. Markowitz opublikował artykuł zawierający szczegółowe
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników
Rozwiązwanie układu równań metodą przeciwnch współcznników Sposob postępowania krok po kroku: I. przgotowanie równań. pozbwam się ułamków mnoŝąc kaŝd jednomian równania równań przez najmniejszą wspólną
Bardziej szczegółowoWykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.
Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3
Zadanie 1 Inwestor rozważa nabycie obligacji wieczystej (konsoli), od której będzie otrzymywał na koniec każdego półrocza kupon w wysokości 80 zł. Wymagana przez inwestora stopa zwrotu w terminie do wykupu
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoWykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoZadania z badań operacyjnych Przygotowanie do kolokwium pisemnego
Zaania z baań operacyjnych Przygotowanie o kolokwium pisemnego 1..21 Zaanie 1.1. Dane jest zaanie programowania liniowego: 4x 1 + 3x 2 max 2x 1 + 2x 2 1 x 1 + 2x 2 4 4x 2 8 x 1, x 2 Sprowazić zaanie o
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE POJĘCIA OPTYMALIZACJI [M. Ostwald: Podstawy optymalizacji konstrukcji, Wyd. Politechniki Poznańskiej, 2005]
PODSTAWOWE POJĘCIA OPTYMALIZACJI [M. Ostwald: Podstaw optmalizacji konstrukcji, Wd. Politechniki Poznańskiej, 2005] POW Problem optmalnego wboru PWOW Problem wielokrterialnego wboru OW Optmalizacja wielokrterialna
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoRozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowoPoziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 2L, 1C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Metody optymalizacji w ekonomii
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoBadanie zależności cech
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i element kombinatorki. Zmienne losowe i ich rozkład 3. Populacje i prób danch, estmacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Test parametrczne (na przkładzie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012
Centralna Komisja Egzaminacjna EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA ODPOWIEDZI I PROPOZYCJE OCENIANIA PRZYKŁADOWEGO ZESTAWU ZADAŃ PAŹDZIERNIK 2011 Zadania
Bardziej szczegółowoWYBRANE PROBLEMY DOTYCZĄCE OPTYMALIZACJI FUNKCJI UŻYTECZNOŚCI
STDIA I RACE WYDIAŁ NAK EKONOMICNYCH I ARĄDANIA NR 6 Henrk Kowgier niwerstet Szczeciński WYRANE ROLEMY DOTYCĄCE OTYMALIACJI NKCJI ŻYTECNOŚCI STRESCENIE W artkule ukazano niektóre aspekt optmalizacji warunkowej
Bardziej szczegółowo; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale
Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [ ] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale spełna je także unkcja [ ] Q. Dokłaając warunek cąłośc unkcj [ ]
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowof x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Rozdział 7 Wartości i wektor własne Niech X będzie skończenie wmiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowm przekształającm przestrzeń
Bardziej szczegółowoZmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)
Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowo; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale
AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale [ ] Q spełna je także
Bardziej szczegółowoCałkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoOptymalne portfele inwestycyjne
Dariusz Zawisza Instytut Matematyki UJ 10 maj 2012 Problem Rozwiązanie problemu Aktywa wolne od ryzyka Estymacja parametrów Pomiar ryzyka Oznaczenia (Ω, F, P) - przestrzeń probablistyczna, r i := S1 i
Bardziej szczegółowoWybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych
Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie dynamiczne Tadeusz Trzaskalik 9.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Wieloetapowe procesy decyzyjne Zmienne stanu Zmienne decyzyjne Funkcje przejścia Korzyści (straty etapowe) Funkcja kryterium
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoStosowana Analiza Regresji
Stosowana Analiza Regresji Wykład VIII 30 Listopada 2011 1 / 18 gdzie: X : n p Q : n n R : n p Zał.: n p. X = QR, - macierz eksperymentu, - ortogonalna, - ma zera poniżej głównej diagonali. [ R1 X = Q
Bardziej szczegółowoRozkłady dwóch zmiennych losowych
Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe
Bardziej szczegółowoZarządzanie portfelem inwestycyjnym
Zarządzanie portfelem inwestycyjnym Dr hab. Renata Karkowska Wykład 3, 4 Renata Karkowska, Wydział Zarządzania 1 Wykład 3 - cel 3. Konstrukcja i zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1. Cele i ograniczenia
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIII: Prognoza. 26 stycznia 2015 Wykład XIII: Prognoza. Prognoza (predykcja) Przypuśćmy, że mamy dany ciąg liczb x 1, x 2,..., x n, stanowiących wyniki pomiaru pewnej zmiennej w czasie wielkości
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)
Bardziej szczegółowoP o l i t e c h n i k a Ś l ą s k a W y d z i a ł C h e m i c z n y Katedra Chemii, Technologii Nieorganicznej i Paliw
P o l i t e c h n i k a Ś l ą s k a W y z i a ł C h e m i c z n y Katera Chemii, Technoloii Nieoranicznej i Paliw A N A L I Z A P R Z E M Y S Ł O W A Instrukcje o ćwiczeń A N A L I Z A S I T O W A Oznaczanie
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoProgramowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście
Bardziej szczegółowo(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)
Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoANALIZA I ZARZADZANIE PORTFELEM. Specjalista ds. Analiz Giełdowych Łukasz Porębski
ANALIZA I ZARZADZANIE PORTFELEM Specjalista ds. Analiz Giełdowych Łukasz Porębski PLAN PREZENTACJI 1) Efektywnośd rynków finansowych 2) Teoria portfela Markowitza (Nobel w 1990 r.) 3) Dywersyfikacja 4)
Bardziej szczegółowoRóniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi
Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór
Bardziej szczegółowoALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 1.nb 1. Wykład 1
ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad.nb Wykład. Sformułowanie problemu optymalizacyjnego Z ksiąŝki Practical Optimization Methods: With Mathematica Applications by: M.A.Bhatti, M.Asghar Bhatti ü Przykład. (Zagadnienie
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoRZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego
NIELINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego ma postać:
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie całkowe Fouriera
Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowoZ funkcji zdaniowej x + 3 = 7 można otrzymać zdania w dwojaki sposób:
Z funkcji zdaniowej + 3 = 7 można otrzmać zdania w dwojaki sposób: podstawiając w tej funkcji zdaniowej za stałe będące nazwami liczb np. 4 2 itp. poprzedzając tę funkcję zdaniową zwrotami: dla każdego
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowo