Testowanie stopnia zintegrowania. czasowego. Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1. Andrzej Torój. 19 lutego 2010

Transkrypt

1 szeregu czasowego Wst p do ekonometrii szeregów czasowych wiczenia 1 19 lutego 2010

2 Plan prezentacji 1 Szereg czasowy, poj cie stacjonarno±ci

4 Zmienne losowe denicje Y t zmienna losowa przyjmuje warto±ci z okre±lonymi prawdopodobie«stwami (opisuje je funkcja g sto±ci f (y)/ dystrybuantaf (y)) warto±ci + prawdopodobie«stwa, z jakimi mog zosta przyj te: rozkªad zmiennej losowej {Y t } proces stochastyczny ci g zmiennych losowych Y t uporz dkowanych wedªug czasu {y t } szereg czasowy realizacja procesu stochastycznego w konkretnej próbie Warto± oczekiwana zmiennej losowej: E(X ) = + xf (x) dx Wariancja zmiennej losowej: D 2 (X ) = E(X E(X )) 2

5 Poj cie stacjonarno±ci procesu Stacjonarno± I rodzaju (w w»szym sensie / mocna) Rozkªad procesu jest niezmienny w czasie (w ka»dym okresie y t jest realizacj zmiennej Y t o identycznym rozkªadzie) Stacjonarno± II rodzaju (w szerszym sensie / sªaba) - ±rednia i wariancja procesu s staªe w czasie E(Y t) = µ < D 2 (Y t) = δ 2 < - kowariancja mi dzy zmiennymi zale»y wyª cznie od ich odlegªo±ci w czasie (a nie od konkretnego momentu) Cov(Y t, Y t+h ) = Cov(Y t+k, Y t+k+h ) = γ(h)

6 Biaªy szum Biaªy szum denicja E(ε t) = 0 [wahania maj tendencj do znoszenia si ] D 2 (ε t) = δ 2 < [staªo± wariancji w czasie homoskedastyczno± ] Cov(ε t, ε t+h ) = 0, h 0 [brak autokorelacji] Wªasno±ci biaªego szumu powinien wykazywa skªadnik losowy w klasycznym modelu regresji liniowej. ε t IID(0, δ 2 ) I independent I indentically D distributed

7 Zmienna stacjonarna biaªy szum

8 Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego Proces bª dzenia losowego denicja y t = y t 1 + ε t y t = y t 1 + ε t = y t 2 + ε t 1 + ε t = y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t =... = y 0 + T t=1 εt y0=0 T = ε t t=1 } {{ } trend stochastyczny Wªasno±ci bª dzenia losowego E(y t) = E( T t=1 εt) = T t=1 E(εt) = 0 D 2 (y t) = D 2 ( T t=1 εt) cov(ε t,ε )=0 t h = T t=1 D2 (ε t) = T δ 2 cov(y t, y t h ) = E(y t, y t h ) E(y t)e(y t h ) = E( T h T h T h E( ) E( ) t=1 } {{ }} {{ } 0 t=1 0 t=1 εt T h = D 2 ( T h t=1 εt) = T h t=1 D2 (ε t) = (T h)δ 2 t=1 εt)

9 Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego

10 Stopie«integracji zmiennej O zmiennej stacjonarnej mówimy,»e jest zintegrowana w stopniu 0. Denicja zintegrowania zmiennej Zmienna y t jest zintegrowana w stopniu d (y t I (d)), je»eli mo»na j sprowadzi do stacjonarno±ci po d-krotnym ró»nicowaniu. Np. proces y t = y t 1 + ε t jest zintegrowany w stopniu 1 (y t I (1)), bo y t y t 1 = ε t, za± ε t I (0) z denicji. Pierwsze ró»nice: y t = y t y t 1 Drugie ró»nice: y t = y t y t 1 = y t y t 1 y t 1 +y t 2 = y t 2y t 1 +y t 2 (ltr (1,-2,1))

11 Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego z dryfem Proces bª dzenia losowego z dryfem denicja y t = α 0 + y t 1 + ε t y t = α 0 + y t 1 + ε t = α 0 + α 0 + y t 2 + ε t 1 + ε t = α 0 + α 0 + α 0 + y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t =... y 0=0 = T α 0 + T t=1 ε t } {{ } trend stochastyczny Wªasno±ci bª dzenia losowego z dryfem E(y t) = E(T α 0 + T t=1 εt) = T α 0 + T t=1 E(εt) = T α 0 Wariancja i kowariancja takie same, jak w przypadku bª dzenia przypadkowego, bo przesuniecie o staª nie wpªywa na dyspersj procesu.

12 Zmienna niestacjonarna proces bª dzenia losowego z dryfem

14 Test Dickey'a-Fullera (DF) Dickey i Fuller, 1979, 1981 y t = α 1 y t 1 + ε t proces jest stacjonarny, je»eli α 1 < 1 proces jest niestacjonarny, je»eli α 1 = 1 (wtedy bª dzenie losowe) H 0 : α 1 = 1 H 1 : α 1 < 1 prawdziwo± H 0 zmienne w równaniu s niestacjonarne estymator KMNK obci»ony hipotezy nie mo»na werykowa bezpo±rednio

15 Test DF konstrukcja statystyki testowej W celu wyeliminowania potencjalnej niestacjonarno±ci zmiennej obja±nianej w regresji testowej, od obu stron równania odejmujemy y t 1 i w ten sposób otrzymujemy zró»nicowan (a wi c potencjalnie stacjonarn ) zmienn obja±nian. Ostatecznie regresja testowa testu Dickey'a-Fullera ma posta : y t = (α 1 1) yt 1 + εt } {{ } δ H 0 : δ = 0 α 1 = 1 y t I (1) H 1 : δ < 0 α 1 < 1 y t I (0) DF emp = ˆδ Sˆ DF (konstrukcja jak w te±cie t-studenta, tylko inne δ rozkªady statystyk testowych zob. MacKinnon (1996) ) Je»eli DF emp < DF, to odrzucamy H 0 na rzecz H 1, czyli proces uznajemy za stacjonarny. W przeciwnym wypadku nie ma podstaw do odrzucenia H 0 o niestacjonarno±ci procesu.

16 Test DF algorytm post powania o zrobi w przypadku braku podstaw do odrzucenia H 0? W takim przypadku wiemy, ze zmienna jest niestacjonarna, ale nie wiemy, czy nie jest zintegrowana w stopniu wy»szym ni» 1... Znowu testujemy... Zmienna jest zintegrowana w stopniu 2 (y t I (2)), je»eli staje si ona stacjonarna dopiero po dwukrotnym ró»nicowaniu, wi c sprawdzamy, czy do ustacjonarnienia zmiennej wystarczyªo jednokrotne ró»nicowanie, czyli czy zmienna jednokrotnie zró»nicowana jest stacjonarna: ( y t) = δ y t 1 + ε t H 0 : δ = 0 y t I (2) H 1 : δ < 0 y t I (1) DF emp = ˆδ Sˆ DF δ

17 Test DF szeregi I(2) Co zrobi w przypadku ponownego braku podstaw do odrzucenia H 0? W takim wypadku nie wiemy, czy zmienna jest zintegrowana w stopniu 2, czy te» nieodrzucenie H 0 nie wynika przypadkiem z niskiej mocy testu... Znowu testujemy... 3 y t = δ 2 y t 1 + ε t H 0 : δ = 0 y t I (3) H 1 : δ < 0 y t I (2) DF emp = ˆδ Sˆ DF δ Je±li ponownie nie ma podstaw do odrzucenia, to oznacza,»e test ma sªab moc (zbyt rzadko odrzuca nieprawdziw hipotez zerow ), poniewa» w ekonomii niespotykane s szeregi zintegrowane w stopniu wy»szym ni» 2.

18 Test ADF Said i Dickey, 1985 Test Dickey'a-Fullera opiera si na zaªo»eniu, i» skªadnik losowy regresji testowej (ε t) jest biaªym szumem. Je±li jednak wyst puje autokorelacja skªadnika losowego w regresji testowej, znacz co spada moc testu. Z tego wzgl du nale»y pozby si autokorelacji skªadnika losowego z regresji testowej! Najprostszym sposobem na jej usuni cie jest zdynamizowanie modelu poprzez dodanie opó¹nionych zmiennych obja±nianych... Augmented Dickey-Fuller test ADF y t = δy t 1 + γ 1 y t 1 + γ 2 y t γ k y t k + ε t

19 Test ADF ile opó¹nie«? ogólna zasada: nale»y zrealizowa cel, jakim jest usuni cie autokorelacji skªadnika losowego UWAGA! do oceny nie stosujemy testu DW (opó¹niona zmienna obja±niana jako regresor...) algorytmy wspomagaj ce: wskazujemy maksymalny rz d opó¹nie«i wybieramy najlepsz regresj testow przy u»yciu kryteriów informacyjnych (AIC, SIC, HQC) wskazujemy maksymalny rz d opó¹nie«i sprawdzamy, czy ostatnie z nich jest istotne w modelu; je»eli nie, usuwamy je i powtarzamy a» do uzyskania istotnego ostatniego opó¹nienia...

20 Test ADF specykacja regresji testowej ( ) y t = δy t 1 + k γ i y t i + ε t i=1 ewentualne rozszerzenia: ( k y t = β + δy t 1 + ) γ i y t i + ε t H 0: proces niestacjonarny z dryfem i=1 dodatkowo mo»na uwzgl dnia trend, trend kwadratowy, sezonowe zmienne zerojedynkowe...

21 Test (A)DF trendostacjonarno± ( k ) y t = β + δy t 1 + γ i y t i + ε t i=1 rozszerzenie: ( k y t = β + δy t 1 + ) γ i y t i + γt + ε t i=1 je»eli odrzucimy H 0, a trend t oka»e si istotny szereg jest trendostacjonarny je»eli nie odrzucimy H 0, szereg jest niestacjonarny (w dotychczasowym rozumieniu mo»e by przyrostostacjonarny)

22 Zadanie 1 Otwórz plik adf.gdt i dokonaj oceny stopnia zintegrowania poszczególnych 3 zmiennych zawartych w pliku za pomoc ró»nych wariantów testu ADF.

24 Elliot, Rothenberg, and Stock, 1996 próba zwi kszenia mocy testu ADF w przypadku procesów silnie autoregresyjnych Krok 1: z szeregu usuwamy ±redni (i ewentualnie trend) przez oszacowanie regresji szeregu wzgl dem staªej (i ewentualnie trendu) za pomoc estymatora GLS (UMNK) Krok 2: reszty z kroku 1 do testu ADF

25 Zadanie 2 Powtórz zadanie 1 dla testu ADF-GLS. Czy wyniki s zbie»ne?

27 (1) Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin (1992) H 0 : y t I (0) H 1 : y t I (1) UWAGA: INNY UKŠAD HIPOTEZ NI W TE CIE ADF! krok 1: estymacja OLS parametrów modelu (z trendem lub bez) y t = α + βt + ε t obliczamy reszty ε t

28 (2) krok 2: obliczamy sumy reszt t S t = ε r, r=1 dla t = 1,..., T i warto± zgodnego estymatora wariancji dªugookresowej reszt (z wagami Newey'a - Westa lub Bartletta) [ T ] k T S 2 (k) = T 1 e 2 t + 2 w(s, k) e t e t s t=1 s=1 t=s+1 wagi Bartletta: w(s, k) = 1 s k + 1 k - dobieramy arbitralnie (np. k = 8 dla danych kwartalnych)

29 (3) krok 3: obliczamy statystyk testow η = T t=1 S 2 t T 2 S 2 (k) i porównujemy z warto±ciami krytycznymi (np. produkowanymi przez gretla), je±li η > η kryt odrzucamy H 0.

30 Zadanie 3 a) Otwórz plik kpss.gdt i dokonaj oceny stopnia zintegrowania zmiennej. b) Na podstawie informacji zawartych w prezentacji skonstruuj plik xls, w którym wykonasz test KPSS. Wynik porównaj z wynikiem z Gretla.

32 (1) Phillips-Perron (1988) inna modykacja testu DF maj ca na celu usuni cie autokorelacji w regresji testowej krok 1: regresja testowa DF H 0 : y t I (1) H 1 : y t I (0) y t = β + δy t 1 + γt + ε t

33 (2) krok 2: obliczamy statystyk testow c0 Z = ˆδ ) S 2 (k) SE (ˆδ 1 2 gdzie s 2 = T t=1 e2 t T K, ) ( ) (ˆδ T SE S 2 (k) c 0 S 2 (k)s 2 c 0 = T K T s2, ˆδ estymator OLS δ z kroku 1 K liczba ) parametrów oszacowanych w regresji testowej (3) SE (ˆδ - - bª d standardowy oszacowania tego parametru [ T ] S 2 (k) = T 1 et k T w(s, k) e te t s (jak w te±cie KPSS) t=1 s=1 t=s+1

34 (3) krok 3: warto±ci statystyki porównujemy z warto±ciami krytycznymi testu DF, wnioskowanie jest analogiczne (ten sam ukªad hipotez)

35 Zadanie 4 Na podstawie danych z pliku kpss.gdt oraz informacji zawartych w prezentacji wykonaj w Excelu test PP, a nast pnie porównaj warto± statystyki testowej z odpowiednimi warto±ciami krytycznymi.

37 testy DHF i HEGY na zaj ciach nt. sezonowo±ci Elliott-Rothenberg-Stock Point Optimal (wariant ADF-GLS dla danych quasi-ró»nicowanych, szczegóªy w pracy ERS) Phillips (1987) test uwzgl dniaj cy zªamanie strukturalne (zob. Syczewska, 1998) Ng-Perron (2001) ª czny test ADF-KPSS (Charemza i Syczewska, 1998; K bªowski i Welfe, 2004)

39 1 Ze strony Eurostatu ±ci gnij dla wybranego pa«stwa Unii Europejskiej 5 szeregów czasowych: zharmonizowany indeks cen konsumenta (HICP), procentowe przyrosty rok do roku, dane miesi czne PKB, oczyszczone sezonowo dane kwartalne, w jednostkach waluty krajowej lub euro na 1 mieszka«ca realny efektywny kurs walutowy (REER), indeks jednopodstawowy, dowolne uj cie dªugoterminowa stopa procentowa (np. Maastricht criterion series), dane miesi czne stopa bezrobocia, dowolne uj cie Sporz d¹ wykresy i oce«trendy. Dokonaj kompleksowej oceny stopnia zintegrowania ka»dego z tych szeregów za pomoc testów (A)DF, ADF-GLS, PP i KPSS.