Metoda największej wiarogodności

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metoda największej wiarogodności"

Transkrypt

1

2 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów

3 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wymaga spełnienia założeń, które są mniej restrykcyjne niż założenia MNK

4 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wymaga spełnienia założeń, które są mniej restrykcyjne niż założenia MNK Dzięki temu MNW może być wykorzystywana do estymacji szerszej klasy modeli ekonometrycznych

5 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Wiarogodność Wiarogodność jest to funkcja Θ R: L(θ) = f (θ, x 1,..., x n ) = f θ (x 1,..., x n )

6 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Wiarogodność Wiarogodność jest to funkcja Θ R: L(θ) = f (θ, x 1,..., x n ) = f θ (x 1,..., x n ) W praktyce będziemy dysponowali próbą n obserwacji. Kluczowym założeniem jest znajomość postaci funkcji f ( )

7 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Estymator Metody Największej Wiarogodności Estymatorem Metody Największej Wiarogodności (MNW) dla wektora nieznanych parametrów θ, szacowanym na podstawie wartości zmiennej zależnej y i wartości zmiennych niezależnych X, nazywamy ˆθ = argmax f θ (y, X ) θ Θ

8 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Estymator Metody Największej Wiarogodności Estymatorem Metody Największej Wiarogodności (MNW) dla wektora nieznanych parametrów θ, szacowanym na podstawie wartości zmiennej zależnej y i wartości zmiennych niezależnych X, nazywamy ˆθ = argmax f θ (y, X ) θ Θ f ( ) nazywamy łączną funkcją gęstości prawdopodobieństwa lub funkcją wiarogodności

9 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Estymator Metody Największej Wiarogodności Estymatorem Metody Największej Wiarogodności (MNW) dla wektora nieznanych parametrów θ, szacowanym na podstawie wartości zmiennej zależnej y i wartości zmiennych niezależnych X, nazywamy ˆθ = argmax f θ (y, X ) θ Θ f ( ) nazywamy łączną funkcją gęstości prawdopodobieństwa lub funkcją wiarogodności Metoda polega na wybraniu takiej wartości parametru θ, który maksymalizuje f ( ) dla zaobserwowanych wartości y oraz X

10 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności 1 Niezależność obserwacji (losowość próby)

11 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności 1 Niezależność obserwacji (losowość próby) 2 Identyfikowalność parametrów

12 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności 1 Niezależność obserwacji (losowość próby) 2 Identyfikowalność parametrów 3 Słaba egzogeniczność

13 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności 1 Niezależność obserwacji (losowość próby) 2 Identyfikowalność parametrów 3 Słaba egzogeniczność 4 Znajomość postaci funkcji wiarodogności

14 Niezależność obserwacji Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W przypadku danych przekrojowych jest równoważna losowości próby

15 Niezależność obserwacji Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W przypadku danych przekrojowych jest równoważna losowości próby Jeżeli próba przekrojowa nie jest losowa wymagane są dodatkowe założenia

16 Niezależność obserwacji Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W przypadku danych przekrojowych jest równoważna losowości próby Jeżeli próba przekrojowa nie jest losowa wymagane są dodatkowe założenia W przypadku danych czasowych zazwyczaj nie da się utrzymać założenia o losowości próby

17 Niezależność obserwacji Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W przypadku danych przekrojowych jest równoważna losowości próby Jeżeli próba przekrojowa nie jest losowa wymagane są dodatkowe założenia W przypadku danych czasowych zazwyczaj nie da się utrzymać założenia o losowości próby Jednak, w praktyce, założenie o niezależności komplikuje jedynie dowody własności estymatorów

18 Niezależność obserwacji Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Przy spełnionym założeniu o niezależności funkcję wiarogodności można zapisać jako L θ (y X ) = f θ (y X ) = f θ (y X 1,..., X n ) = n f θ (y i X i ) i=1

19 Niezależność obserwacji Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Przy spełnionym założeniu o niezależności funkcję wiarogodności można zapisać jako L θ (y X ) = f θ (y X ) = f θ (y X 1,..., X n ) = n f θ (y i X i ) Zatem łączna funkcja gęstości jest iloczynem funkcji gęstości dla pojedynczych obserwacji i=1

20 Identyfikowalność parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Każdy z parametrów modelu powinien w odmienny sposób wpływać na prawdopodobieństwo zaobserwowania próby

21 Identyfikowalność parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Każdy z parametrów modelu powinien w odmienny sposób wpływać na prawdopodobieństwo zaobserwowania próby Dzięki tej własności można uzyskać oddzielne oszacowanie dla każdego nieznanego parametru

22 Identyfikowalność parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Każdy z parametrów modelu powinien w odmienny sposób wpływać na prawdopodobieństwo zaobserwowania próby Dzięki tej własności można uzyskać oddzielne oszacowanie dla każdego nieznanego parametru Identyfikowalność Niech θ 0 będzie prawdziwą wielkością wektora parametrów θ. Wówczas istnieje taki zbiór danych, że (y, X ) θ θ 0 : L θ0 (X, y) L θ (X, y)

23 Identyfikowalność parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W otoczeniu punktu θ 0 funkcja wiarogodności nie może być lokalnie płaska

24 Identyfikowalność parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W otoczeniu punktu θ 0 funkcja wiarogodności nie może być lokalnie płaska Prawdopodobieństwo zaobserwowania próby (X,y) dla wektora parametrów θ 0 i dla wektora parametrów θ powinno być różne

25 Identyfikowalność parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W otoczeniu punktu θ 0 funkcja wiarogodności nie może być lokalnie płaska Prawdopodobieństwo zaobserwowania próby (X,y) dla wektora parametrów θ 0 i dla wektora parametrów θ powinno być różne Inaczej mówiąc maksimum funkcji wiarogodności powinno być jednoznacznie określone

26 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Identyfikowalność parametrów - przykład Przypuśćmy, że obserwujemy zmienną losową { yi = 0 y y i = i < 0 y i = 1 > 0,gdzie y i N (µ, σ 2 ) y i

27 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Identyfikowalność parametrów - przykład Przypuśćmy, że obserwujemy zmienną losową { yi = 0 y y i = i < 0 y i = 1 > 0,gdzie y i N (µ, σ 2 ) y i Zmienną nieobserwowaną y i nazywamy zmienną ukrytą

28 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Identyfikowalność parametrów - przykład Przypuśćmy, że obserwujemy zmienną losową { yi = 0 y y i = i < 0 y i = 1 > 0,gdzie y i N (µ, σ 2 ) y i Zmienną nieobserwowaną yi nazywamy zmienną ukrytą Celem jest oszacowanie wartości parametrów rozkładu zmiennej ukrytej

29 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Identyfikowalność parametrów - przykład Przypuśćmy, że obserwujemy zmienną losową { yi = 0 y y i = i < 0 y i = 1 > 0,gdzie y i N (µ, σ 2 ) y i Zmienną nieobserwowaną yi nazywamy zmienną ukrytą Celem jest oszacowanie wartości parametrów rozkładu zmiennej ukrytej Wiemy, że Pr(y i = 0) = Pr(y i Pr(y i = 1) = Pr(y i ( µ ) < 0) = Φ σ ( µ ) > 0) = 1 Φ σ

30 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Identyfikowalność parametrów - przykład Niech w próbie jest n 0 obserwacji dla których y i = 0, oraz n 1 obserwacji dla których y i = 1

31 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Identyfikowalność parametrów - przykład Niech w próbie jest n 0 obserwacji dla których y i = 0, oraz n 1 obserwacji dla których y i = 1 Wówczas funkcja wiarogodności ma postać [ ( )] µ0 n0[ ( )] n1 µ0 L(µ 0, σ 0 ) = Φ 1 Φ σ 0 σ 0

32 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Identyfikowalność parametrów - przykład Niech w próbie jest n 0 obserwacji dla których y i = 0, oraz n 1 obserwacji dla których y i = 1 Wówczas funkcja wiarogodności ma postać [ ( )] µ0 n0[ ( )] n1 µ0 L(µ 0, σ 0 ) = Φ 1 Φ σ 0 σ 0 Ale połóżmy µ = αµ 0 oraz σ = ασ 0 dla dowolnego α > 0. Wówczas [ ( )] L(µ, σ αµ0 n0[ ( )] n1 αµ0 ) = Φ 1 Φ = L(µ, σ) ασ 0 ασ 0

33 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Identyfikowalność parametrów - przykład Niech w próbie jest n 0 obserwacji dla których y i = 0, oraz n 1 obserwacji dla których y i = 1 Wówczas funkcja wiarogodności ma postać [ ( )] µ0 n0[ ( )] n1 µ0 L(µ 0, σ 0 ) = Φ 1 Φ σ 0 σ 0 Ale połóżmy µ = αµ 0 oraz σ = ασ 0 dla dowolnego α > 0. Wówczas [ ( )] L(µ, σ αµ0 n0[ ( )] n1 αµ0 ) = Φ 1 Φ = L(µ, σ) ασ 0 ασ 0 Zatem funkcja nie posiada jednoznacznie wyznaczonego maksimum

34 Słaba egzogeniczność Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Słaba egzogeniczność w MNK utożsamialiśmy z nieskorelowaniem obserwacji z równoczesnym błędem losowym

35 Słaba egzogeniczność Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Słaba egzogeniczność w MNK utożsamialiśmy z nieskorelowaniem obserwacji z równoczesnym błędem losowym Załóżmy, że wektor parametrów θ można separować na dwie części θ = (Φ, Ψ)

36 Słaba egzogeniczność Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Słaba egzogeniczność w MNK utożsamialiśmy z nieskorelowaniem obserwacji z równoczesnym błędem losowym Załóżmy, że wektor parametrów θ można separować na dwie części θ = (Φ, Ψ) Załóżmy, że te części są niepowiązane, czyli φ Φ, ψ Ψ to θ Φ Ψ

37 Słaba egzogeniczność Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Słaba egzogeniczność w MNK utożsamialiśmy z nieskorelowaniem obserwacji z równoczesnym błędem losowym Załóżmy, że wektor parametrów θ można separować na dwie części θ = (Φ, Ψ) Załóżmy, że te części są niepowiązane, czyli φ Φ, ψ Ψ to θ Φ Ψ Słaba egzogeniczność Mówimy, że X jest słabo egzogeniczne względem wektora parametrów Ψ jeżeli łączną funkcje gęstości można następująco dekomponować f θ (y, X ) = f Φ (y, X )f Ψ (X )

38 Słaba egzogeniczność Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Funkcja f Ψ (X ) opisuje prawdopodobieństwo zaobserwowania wartości zmiennych egzogenicznych i nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zaobserwowania konkretnych wartości parametrów modelu

39 Słaba egzogeniczność Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Funkcja f Ψ (X ) opisuje prawdopodobieństwo zaobserwowania wartości zmiennych egzogenicznych i nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zaobserwowania konkretnych wartości parametrów modelu Zatem max θ f θ (y, X ) = max Φ (y, X ) + max (X ) Ψ

40 Słaba egzogeniczność Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Funkcja f Ψ (X ) opisuje prawdopodobieństwo zaobserwowania wartości zmiennych egzogenicznych i nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zaobserwowania konkretnych wartości parametrów modelu Zatem max θ f θ (y, X ) = max Φ (y, X ) + max (X ) Ψ Więc estymator MNW można obliczyć jako sumę dwóch oszacowań

41 Słaba egzogeniczność Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Funkcja f Ψ (X ) opisuje prawdopodobieństwo zaobserwowania wartości zmiennych egzogenicznych i nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zaobserwowania konkretnych wartości parametrów modelu Zatem max θ f θ (y, X ) = max Φ (y, X ) + max (X ) Ψ Więc estymator MNW można obliczyć jako sumę dwóch oszacowań Wniosek: Wartość parametru φ można oszacować na podstawie warunkowej funkcji gęstości f Φ (y X )

42 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W praktyce zamiast funkcji wiarogodności L(θ) posługujemy się logarytmem funkcji wiarogodnoćci l(θ)

43 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W praktyce zamiast funkcji wiarogodności L(θ) posługujemy się logarytmem funkcji wiarogodnoćci l(θ) Jest to uprawnione, ponieważ nie interesuje nas wartość funkcji, a wielkość oszacowań nieznanych parametrów

44 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W praktyce zamiast funkcji wiarogodności L(θ) posługujemy się logarytmem funkcji wiarogodnoćci l(θ) Jest to uprawnione, ponieważ nie interesuje nas wartość funkcji, a wielkość oszacowań nieznanych parametrów Logarytm jako monotoniczna transformacja zachowuje ekstrema

45 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W praktyce zamiast funkcji wiarogodności L(θ) posługujemy się logarytmem funkcji wiarogodnoćci l(θ) Jest to uprawnione, ponieważ nie interesuje nas wartość funkcji, a wielkość oszacowań nieznanych parametrów Logarytm jako monotoniczna transformacja zachowuje ekstrema Jeżeli obserwacje są niezależne to logarytm funkcji wiarogodności dany jest przez l θ (y X ) = ln f θ (y i x i ) = N ln f θ (y i x i ) = i=1 N ln l(y X i θ) i=1

46 Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności W praktyce zamiast funkcji wiarogodności L(θ) posługujemy się logarytmem funkcji wiarogodnoćci l(θ) Jest to uprawnione, ponieważ nie interesuje nas wartość funkcji, a wielkość oszacowań nieznanych parametrów Logarytm jako monotoniczna transformacja zachowuje ekstrema Jeżeli obserwacje są niezależne to logarytm funkcji wiarogodności dany jest przez l θ (y X ) = ln f θ (y i x i ) = N ln f θ (y i x i ) = i=1 N ln l(y X i θ) i=1 Logarytm funkcji gęstości jest sumą logarytmów warunkowych gęstości dla poszczególnych obserwacji

47 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW wyznacza się maksymalizując funkcję wiarogodności korzystając z warunków pierwszego i drugiego rzędu na istnienie ekstremum funkcji

48 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW wyznacza się maksymalizując funkcję wiarogodności korzystając z warunków pierwszego i drugiego rzędu na istnienie ekstremum funkcji Pewien problem może stanowić brak rozwiązań analitycznych

49 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW wyznacza się maksymalizując funkcję wiarogodności korzystając z warunków pierwszego i drugiego rzędu na istnienie ekstremum funkcji Pewien problem może stanowić brak rozwiązań analitycznych Dla programów komputerowych nie stanowi to problemu, gdyż one znajdują pochodne w sposób numeryczny

50 Przykład Podstawy Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Znajdź estymatory MNW dla parametrów KMRL y i = X i β + ε i ε i N (0, σ 2 )

51 Przykład Podstawy Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Znajdź estymatory MNW dla parametrów KMRL y i = X i β + ε i ε i N (0, σ 2 ) Z założeń modelu wynika, że y i x i N (x i β, σ 2 )

52 Przykład Podstawy Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Znajdź estymatory MNW dla parametrów KMRL Z założeń modelu wynika, że y i = X i β + ε i ε i N (0, σ 2 ) y i x i N (x i β, σ 2 ) Więc funkcja gęstości dla pojedynczej obserwacji jest dana przez 1 ( f β,σ 2(y i x i ) = exp (y X iβ) 2 ) 2Πσ 2 2σ 2

53 Przykład Podstawy Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Znajdź estymatory MNW dla parametrów KMRL Z założeń modelu wynika, że y i = X i β + ε i ε i N (0, σ 2 ) y i x i N (x i β, σ 2 ) Więc funkcja gęstości dla pojedynczej obserwacji jest dana przez 1 ( f β,σ 2(y i x i ) = exp (y X iβ) 2 ) 2Πσ 2 2σ 2 Zatem funkcja wiarogodności ma postać [ L(β, σ 2 1 ] n ( ) = exp 1 ) 2Πσ 2 2σ 2 (y X iβ) (y X i β)

54 Przykład - cd Podstawy Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW A logarytm funkcji wiarogodności l(β, σ 2 ) = n 2 ln(2π) n 2 ln(σ2 ) 1 2σ 2 (y X iβ) (y X i β)

55 Przykład - cd Podstawy Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW A logarytm funkcji wiarogodności l(β, σ 2 ) = n 2 ln(2π) n 2 ln(σ2 ) 1 2σ 2 (y X iβ) (y X i β) Zatem warunki pierwszego rzędu dane są przez l(β, σ 2 ) β = 1 2σ 2 (2X X β 2X y) = 0 l(β, σ 2 ) σ 2 = n 1 2 σ 2 1 2σ 4 (y X iβ) (y X i β) = 0

56 Przykład - cd Podstawy Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW A logarytm funkcji wiarogodności l(β, σ 2 ) = n 2 ln(2π) n 2 ln(σ2 ) 1 2σ 2 (y X iβ) (y X i β) Zatem warunki pierwszego rzędu dane są przez l(β, σ 2 ) β = 1 2σ 2 (2X X β 2X y) = 0 l(β, σ 2 ) σ 2 = n 1 2 σ 2 1 2σ 4 (y X iβ) (y X i β) = 0 Uwaga: warunki drugiego rzędu wyprowadzimy później

57 Przykład - cd Podstawy Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW A logarytm funkcji wiarogodności l(β, σ 2 ) = n 2 ln(2π) n 2 ln(σ2 ) 1 2σ 2 (y X iβ) (y X i β) Zatem warunki pierwszego rzędu dane są przez l(β, σ 2 ) β = 1 2σ 2 (2X X β 2X y) = 0 l(β, σ 2 ) σ 2 = n 1 2 σ 2 1 2σ 4 (y X iβ) (y X i β) = 0 Uwaga: warunki drugiego rzędu wyprowadzimy później Wynika z tego, że β = (X X ) 1 X y σ 2 = 1 n (y X iβ) (y X i β) = e e n

58 Przykład - cd Podstawy Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW WNIOSEK: estymator MNW dla parametru β ma taką samą postać jak estymator MNK; estymatory dla wariancji różnią się

59 Przykład - cd Podstawy Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW WNIOSEK: estymator MNW dla parametru β ma taką samą postać jak estymator MNK; estymatory dla wariancji różnią się Obliczmy wartość oczekiwaną estymatora MNW dla wariancji E( σ 2 ) = E( e e n ) = n k n E(s2 ) = n k n σ2 n σ 2

60 Przykład - cd Podstawy Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW WNIOSEK: estymator MNW dla parametru β ma taką samą postać jak estymator MNK; estymatory dla wariancji różnią się Obliczmy wartość oczekiwaną estymatora MNW dla wariancji E( σ 2 ) = E( e e n ) = n k n E(s2 ) = n k n σ2 n σ 2 Zatem estymator MWN dla wariancji jest zgodny, ale obciążony w małych próbach

61 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW 1 Zgodność

62 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW 1 Zgodność 2 Asymptotyczna normalność

63 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW 1 Zgodność 2 Asymptotyczna normalność 3 Asymptotyczna efektywność

64 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Zgodność Zgodność Estymator nazywamy zgodnym, gdy δ > 0 lim n Pr( ˆθ θ < δ) = 1

65 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Zgodność Zgodność Estymator nazywamy zgodnym, gdy δ > 0 lim n Pr( ˆθ θ < δ) = 1 Inaczej mówiąc estymator dąży według prawdopodobieństwa do prawdziwej wartości parametru, co zapisujemy ˆθ p θ plim ˆθ = θ

66 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Zgodność Zgodność Estymator nazywamy zgodnym, gdy δ > 0 lim n Pr( ˆθ θ < δ) = 1 Inaczej mówiąc estymator dąży według prawdopodobieństwa do prawdziwej wartości parametru, co zapisujemy ˆθ p θ plim ˆθ = θ Estymator nazywamy zgodnym, gdy wartość oszacowania parametru zbiega do prawdziwej wartości estymatora

67 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Zgodność Zgodność Estymator nazywamy zgodnym, gdy δ > 0 lim n Pr( ˆθ θ < δ) = 1 Inaczej mówiąc estymator dąży według prawdopodobieństwa do prawdziwej wartości parametru, co zapisujemy ˆθ p θ plim ˆθ = θ Estymator nazywamy zgodnym, gdy wartość oszacowania parametru zbiega do prawdziwej wartości estymatora Bardzie potocznym językiem: jeżeli liczebność próby rośnie to różnica między wartością estymatora a prawdziwą wartością parametru jest nieskończenie bliska 0

68 Asymptotyczna normalność Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Graniczny (asymptotyczny) rozkład estymatora to rozkład normalny n(ˆθ θ) D N (0, I 1 (θ)) gdzie [ 1 ] [ l(θ) ] i(θ) = lim N N I(θ) oraz I(θ) = var θ jest macierzą informacyjną Fishera [ 2 l(θ) ] = E θ θ

69 Asymptotyczna normalność Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Macierz informacyjna jest równa wariancji gradientu logarytmu funkcji wiarogodności

70 Asymptotyczna normalność Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Macierz informacyjna jest równa wariancji gradientu logarytmu funkcji wiarogodności lub minus wartości oczekiwanej jej Hessianu

71 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Asymptotyczna normalność - przykład Znajdziemy gradient i Hessian dla KMRL

72 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Asymptotyczna normalność - przykład Znajdziemy gradient i Hessian dla KMRL Gradient jest równy l(β, σ 2 ) β l(β, σ 2 ) σ 2 = n 2 = 1 2σ 2 (2X X β 2X y) = 1 σ 2 X ε 1 σ 2 1 2σ 4 (y X iβ) (y X i β) = n 2 1 σ σ 2 ε ε

73 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Asymptotyczna normalność - przykład Wariancja wektora pochodnych względem β wynosi ( l(β, σ 2 ) ) var = 1 β σ 2 X var(ε)x = 1 σ 2 X X

74 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Asymptotyczna normalność - przykład Wariancja wektora pochodnych względem β wynosi ( l(β, σ 2 ) ) var = 1 β σ 2 X var(ε)x = 1 σ 2 X X Wariancja wektora pochodnych względem σ 2 wynosi ( l(β, σ 2 ) ) ( var σ 2 = var n 2 1 σ ) 2σ 2 ε ε = 1 4σ 8 N2σ4 = N 2σ 4

75 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Asymptotyczna normalność - przykład Wariancja wektora pochodnych względem β wynosi ( l(β, σ 2 ) ) var = 1 β σ 2 X var(ε)x = 1 σ 2 X X Wariancja wektora pochodnych względem σ 2 wynosi ( l(β, σ 2 ) ) ( var σ 2 = var n 2 1 σ ) 2σ 2 ε ε = 1 4σ 8 N2σ4 = Ponieważ E ( 1 σ 2 X ε ) = 0, więc kowiariancja między pochodnymi wynosi zero N 2σ 4

76 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Asymptotyczna normalność - przykład Zatem Hessian jest równy I(β, σ 2 ) = [ 1 σ 2 X X 0 0 N 2σ 4 ]

77 Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Asymptotyczna normalność - przykład Te same wyniki uzyskamy obliczając wartości oczekiwane elementów Hessianu l(β, σ 2 ) β β = 1 2σ 4 X X l(β, σ 2 ) β σ 2 = 1 σ 4 X ε l(β, σ 2 ) σ 2 σ 2 = N 1 2 σ 4 1 σ 6 ε ε

78 Asymptotyczna efektywność Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Twierdzenie Rao-Cramera Jeżeli estymator ˆθ jest zgodny to jego asymptotyczna wariancja jest nie mniejsza niż dolne ograniczenie Rao-Cramera lim var[ n( θ θ) ] i 1 (θ) = lim N N 1 N I(θ)

79 Asymptotyczna efektywność Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Twierdzenie Rao-Cramera Jeżeli estymator ˆθ jest zgodny to jego asymptotyczna wariancja jest nie mniejsza niż dolne ograniczenie Rao-Cramera lim var[ n( θ θ) ] i 1 (θ) = lim N N 1 N I(θ) są asymptotycznie efektywne ponieważ ich wariancja zbiega do dolnego ograniczenia Rao-Cremera

80 Asymptotyczna efektywność Wyznaczanie estymatorów MNW Własności estymatorów MNW Twierdzenie Rao-Cramera Jeżeli estymator ˆθ jest zgodny to jego asymptotyczna wariancja jest nie mniejsza niż dolne ograniczenie Rao-Cramera lim var[ n( θ θ) ] i 1 (θ) = lim N N 1 N I(θ) są asymptotycznie efektywne ponieważ ich wariancja zbiega do dolnego ograniczenia Rao-Cremera Zatem estymatory MNW są estymatorami zgodnymi o minimalnej wariancji

81 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Na podstawie własności estymatorów MNW można wyprowadzić rozkłady statystyk testowych dla ogólnych hipotez

82 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Na podstawie własności estymatorów MNW można wyprowadzić rozkłady statystyk testowych dla ogólnych hipotez Zakładamy, że hipoteza ma postać (nie)liniowego układu równań h 1 (θ) = 0 H 0 :. h q (θ) = 0

83 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Na podstawie własności estymatorów MNW można wyprowadzić rozkłady statystyk testowych dla ogólnych hipotez Zakładamy, że hipoteza ma postać (nie)liniowego układu równań h 1 (θ) = 0 H 0 :. h q (θ) = 0 Przyjmując h(θ) = (h 1 (θ),..., h q (θ)) zapisujemy układ H 0 : h(θ) = 0

84 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Na podstawie własności estymatorów MNW można wyprowadzić rozkłady statystyk testowych dla ogólnych hipotez Zakładamy, że hipoteza ma postać (nie)liniowego układu równań h 1 (θ) = 0 H 0 :. h q (θ) = 0 Przyjmując h(θ) = (h 1 (θ),..., h q (θ)) zapisujemy układ H 0 : h(θ) = 0 Hipotezy należy sformułować w taki sposób, aby macierz pierwszych pochodnych h (θ) = h(θ) θ miała pełen rząd

85 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Jest to w praktyce najłatwiejszy do przeprowadzenia test

86 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Jest to w praktyce najłatwiejszy do przeprowadzenia test Ale wymaga oszacowania dwóch modeli

87 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Jest to w praktyce najłatwiejszy do przeprowadzenia test Ale wymaga oszacowania dwóch modeli Weryfikowane jest J ograniczeń LR = 2(l( θ) l( θ R )) D χ 2 J l( θ) jest logarytmem funkcji wiarogodności dla modelu bez ograniczeń l( θ R ) jest logarytmem funkcji wiarogodności dla modelu ze spełnionymi ograniczeniami

88 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Idea testu bazuje na spostrzeżeniu, iż łatwiej jest zmaksymalizować funkcję bez ograniczeń, niż z narzuconymi na parametry restrykcjami

89 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Idea testu bazuje na spostrzeżeniu, iż łatwiej jest zmaksymalizować funkcję bez ograniczeń, niż z narzuconymi na parametry restrykcjami Nazwa testu wywodzi się z faktu, że statystykę testową można zapisać jako ( L( θ) ) LR = 2 ln L( θ R )

90 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Idea testu bazuje na spostrzeżeniu, iż łatwiej jest zmaksymalizować funkcję bez ograniczeń, niż z narzuconymi na parametry restrykcjami Nazwa testu wywodzi się z faktu, że statystykę testową można zapisać jako ( L( θ) ) LR = 2 ln L( θ R ) Wadą testu jest konieczność oszacowania dwóch modeli

91 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Do obliczenia wartości statystyki Walda wystarczająca jest znajomość oszacowań modelu bez narzuconych ograniczeń W = h (θ) [ H(θ)I 1 (θ)h (θ) ] 1 h(θ) D χ 2 J

92 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Do obliczenia wartości statystyki Walda wystarczająca jest znajomość oszacowań modelu bez narzuconych ograniczeń W = h (θ) [ H(θ)I 1 (θ)h (θ) ] 1 h(θ) D χ 2 J Macierz w nawiasach kwadratowych jako macierz wariancji jest dodatnio określona

93 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Do obliczenia wartości statystyki Walda wystarczająca jest znajomość oszacowań modelu bez narzuconych ograniczeń W = h (θ) [ H(θ)I 1 (θ)h (θ) ] 1 h(θ) D χ 2 J Macierz w nawiasach kwadratowych jako macierz wariancji jest dodatnio określona Zatem statystyka W = 0, gdy ograniczenia narzucone na parametry są spełnione

94 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Do obliczenia wartości statystyki Walda wystarczająca jest znajomość oszacowań modelu bez narzuconych ograniczeń W = h (θ) [ H(θ)I 1 (θ)h (θ) ] 1 h(θ) D χ 2 J Macierz w nawiasach kwadratowych jako macierz wariancji jest dodatnio określona Zatem statystyka W = 0, gdy ograniczenia narzucone na parametry są spełnione Statystyka Walda nie jest niezmiennicza ze względu na sposób zapisania hipotezy zerowej

95 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Statystyka mnożników Lagrangea wymaga znajomości estymatora dla modelu z narzuconymi ograniczeniami LM = l(θ) θ I 1 (θ R ) l(θ) θ=θr θ θ=θr D χ 2 J

96 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Statystyka mnożników Lagrangea wymaga znajomości estymatora dla modelu z narzuconymi ograniczeniami LM = l(θ) θ I 1 (θ R ) l(θ) θ=θr θ θ=θr D χ 2 J Dla maksimum bez ograniczeń wartość gradientu wynosi zero

97 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania Statystyka mnożników Lagrangea wymaga znajomości estymatora dla modelu z narzuconymi ograniczeniami LM = l(θ) θ I 1 (θ R ) l(θ) θ=θr θ θ=θr D χ 2 J Dla maksimum bez ograniczeń wartość gradientu wynosi zero Zatem wartość gradientu niesie informację o spełnieniu ograniczeń przez parametry modelu

98 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania W modelach szacowanych MNW nie są szacowane sumy kwadratów

99 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania W modelach szacowanych MNW nie są szacowane sumy kwadratów Miary dopasowania są przybliżonymi statystykami określanymi jako pseudo-r 2

100 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania W modelach szacowanych MNW nie są szacowane sumy kwadratów Miary dopasowania są przybliżonymi statystykami określanymi jako pseudo-r 2 Najczęściej stosowaną miarą jest R 2 Mc-Faddena R 2 McFadden = 1 l(θ) l(θ 0 )

101 Test Ilorazu Wiarogodności Test Walda Test Mnożników Lagrangea Miary dopasowania W modelach szacowanych MNW nie są szacowane sumy kwadratów Miary dopasowania są przybliżonymi statystykami określanymi jako pseudo-r 2 Najczęściej stosowaną miarą jest R 2 Mc-Faddena Podobnie jak adj R 2 istnieje R 2 McFadden = 1 l(θ) l(θ 0 ) R 2 McFadden = 1 l(θ) K l(θ 0 ) gdzie L 0 to logarytm funkcji wiarogodności modelu ze stałą jako jedyną zmienną objasniajacą

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej

1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej 1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

STUDIA I STOPNIA EGZAMIN Z EKONOMETRII

STUDIA I STOPNIA EGZAMIN Z EKONOMETRII NAZWISKO IMIĘ Nr albumu Nr zestawu Zadanie 1. Dana jest macierz Leontiefa pewnego zamkniętego trzygałęziowego układu gospodarczego: 0,64 0,3 0,3 0,6 0,88 0,. 0,4 0,8 0,85 W okresie t stosunek zuŝycia środków

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Przykład 2. Stopa bezrobocia

Przykład 2. Stopa bezrobocia Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 ceny mieszkań

Przykład 1 ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 7 23 listopada 2009 Wykład 6 (16.XI.2009) zakończył się zdefiniowaniem współczynnika korelacji: E X µ x σ x Y µ y σ y = T WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI ρ X,Y = ρ Y,X (!) WSPÓŁCZYNNIK

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski. Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info Na dziś Sprawy bieżące 2 Na dziś Wykład 5: Statystyka matematyczna Estymatory punktowe i przedziałowe 4

Bardziej szczegółowo

2.2 Autokorelacja Wprowadzenie

2.2 Autokorelacja Wprowadzenie 2.2 Autokorelacja 2.2.1 Wprowadzenie Przy wyprowadzaniu estymatorów Klasycznego Modelu Regresji Liniowej (KMRL) zakładaliśmy, że są spełnione założenia Gaussa-Markowa, tzn. składniki losowe są homoscedastyczne

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8 Regresja wielokrotna Regresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych (X 1, X 2, X 3,...) na zmienną zależną (Y).

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Porównanie modeli logicznej regresji z klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Małgorzata Bogdan Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Jądrowe klasyfikatory liniowe

Jądrowe klasyfikatory liniowe Jądrowe klasyfikatory liniowe Waldemar Wołyński Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań Wisła, 9 grudnia 2009 Waldemar Wołyński () Jądrowe klasyfikatory liniowe Wisła, 9 grudnia 2009 1 / 19 Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - Seria 1

Statystyka matematyczna - Seria 1 Statystyka matematyczna - Seria. Niech Z oznacza zmienną losową o rozkładzie standardowym normalnym. Korzystając z tablic znaleźć (a) P (0 Z 2.7) (d) P (Z.37) (b) P ( Z 2.5) (e) P ( 2.5 Z 0) (c) P (Z.75)

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015

Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób X = (X 1, X 2,..., X n ) - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 X ),

Bardziej szczegółowo

Współliniowość zmiennych objaśniających: test Walda i test Studenta w badaniu istotności zmiennych objaśniających - przykłady.

Współliniowość zmiennych objaśniających: test Walda i test Studenta w badaniu istotności zmiennych objaśniających - przykłady. Współliniowość zmiennych objaśniających: test Walda i test Studenta w badaniu istotności zmiennych objaśniających - przykłady. Przykład: Test Walda a test Studenta w badaniu istotności zmiennych objaśniających.

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Robert Pietrzykowski.

Ekonometria. Robert Pietrzykowski. Ekonometria Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info Na dziś Sprawy bieżące Prowadzący Zasady zaliczenia Konsultacje Inne 2 Sprawy ogólne czyli co nas czeka Zaliczenie

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium MATLAB Zadanie nr 2 Detekcja twarzy autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się algorytmem gradientu prostego

Bardziej szczegółowo

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Autor: 1. Dobromił Serwa 2. Tytuł przedmiotu Sygnatura (będzie nadana, po akceptacji przez Senacką Komisję Programową) Wprowadzenie do teorii

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

UNIWERSYTET WARSZAWSKI WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH. Natalia Krejckant Nr albumu: 355294 Piotr Pomichowski Nr albumu: 356125

UNIWERSYTET WARSZAWSKI WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH. Natalia Krejckant Nr albumu: 355294 Piotr Pomichowski Nr albumu: 356125 UNIWERSYTET WARSZAWSKI WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH Natalia Krejckant Nr albumu: 355294 Piotr Pomichowski Nr albumu: 356125 Metoda Największej Wiarygodności w analizie wpływu czynników kształtujących cenę

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych

Bardziej szczegółowo

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji 341 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Piotr Peternek Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Marek Kośny Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Kilka uwag o testowaniu istotności

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

hipotez statystycznych

hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 Inne układy doświadczalne 1) Układ losowanych bloków Stosujemy, gdy podejrzewamy, że może występować systematyczna zmienność między powtórzeniami np. - zmienność

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

O testach wielowymiarowej normalności opartych na statystyce Shapiro-Wilka

O testach wielowymiarowej normalności opartych na statystyce Shapiro-Wilka O testach wielowymiarowej normalności opartych na statystyce Shapiro-Wilka Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Wisła 2012, 7.12.2012 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie umiejętności teta oraz wyskalowanie osi w metodzie IRT dla potrzeb obliczania parametrów zadań

Oszacowanie umiejętności teta oraz wyskalowanie osi w metodzie IRT dla potrzeb obliczania parametrów zadań Sławomir Sapanowski Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łodzi Oszacowanie umiejętności teta oraz wyskalowanie osi w metodzie IRT dla potrzeb obliczania parametrów zadań W ostatnim czasie wśród ekspertów zajmujących

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Na podstawie danych dotyczacych rocznych wydatków na pizze oszacowano parametry poniższego modelu:

Na podstawie danych dotyczacych rocznych wydatków na pizze oszacowano parametry poniższego modelu: Zadanie 1. Oszacowano model ekonometryczny liczby narodzin dzieci (w tys.) w Polsce w latach 2000 2010 w zależnosci od średniego rocznego wynagrodzenia (w ujęciu realnym, PLN), stopy bezrobocia (w punktach

Bardziej szczegółowo

Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej. Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński

Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej. Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński 1. Wstęp Najczęstszym powodem transformowania zmiennej losowej jest jej normalizacja,

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Ekonometrii

Egzamin z Ekonometrii Pytania teoretyczne Egzamin z Ekonometrii 18.06.2015 1. Opisać procedurę od ogólnego do szczegółowego na przykładzie doboru liczby opóźnień w modelu. 2. Na czym polega najważniejsza różnica między testowaniem

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że 4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem do celu...

... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem do celu... 4 Prognozowanie historyczne Prognozowanie - przewidywanie przyszłych zdarzeń w oparciu dane - podstawowy element w podejmowaniu decyzji... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L,

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L, Klasyfikator Jedną z najistotniejszych nieparametrycznych metod klasyfikacji jest metoda K-najbliższych sąsiadów, oznaczana przez K-NN. W metodzie tej zaliczamy rozpoznawany obiekt do tej klasy, do której

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów, przedziały ufności etc

Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Liniowa MNK przypomnienie Wariancja parametrów Postulat Bayesa: rozkłady p-stwa dla parametrów Przypadek nieliniowy Przedziały ufności Rozkłady chi-kwadrat,

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania analizy wariancji w opracowywaniu wyników badań empirycznych Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki -

Bardziej szczegółowo

Quick Launch Manual:

Quick Launch Manual: egresja Odds atio Quick Launch Manual: regresja logistyczna i odds ratio Uniwesytet Warszawski, Matematyka 28.10.2009 Plan prezentacji egresja Odds atio 1 2 egresja egresja logistyczna 3 Odds atio 4 5

Bardziej szczegółowo

Algorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi.

Algorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi. Spis treści 1 Wstęp: generatywne algorytmy uczące 2 Gaussowska analiza dyskryminacyjna 2.1 Gaussowska analiza dyskryminacyjna a regresja logistyczna 3 Naiwny Klasyfikator Bayesa 3.1 Wygładzanie Laplace'a

Bardziej szczegółowo

Zadanie Punkty Ocena

Zadanie Punkty Ocena Statystyka matematyczna Test przykładowy na zaliczenie laboratorium / ćwiczeń PROSZĘ NIE ODWRACAĆ KARTKI PRZED ROZPOCZĘCIEM TESTU! Wskazówki: 1. Wybierz zadania, za które w sumie możesz otrzymać 30 punktów

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo