Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl) Stopa dyskontowa a stopa zwrotu: Zdefiniowanie pojęcia stopy dyskontowej rozpocznijmy od przypomnienia znanej już nam zależności między przyszłymi przepływami pieniężnymi (CF i ), a ich wartością bieżącą (PV): = 1+ + 1+ + + 1+ = 1+ 2.1 W oparciu o powyższe równanie możemy zdefiniować stopę zwrotu i stopę dyskontową. Stopa zwrotu: Jeżeli znany jest początkowy nakład inwestycyjny PV oraz przepływy pieniężne CF i, to stopa procentowa r stanowiąca rozwiązanie tego równania jest nazywana stopą zwrotu. Stopę tę wyznaczamy korzystając z formuły IRR. Dodajmy, iż formuła IRR nie jest jedyną, która może służyć do rozwiązania tego zagadnienia, ale jest najczęściej stosowana (omówienie innych sposobów wykracza jednak poza ramy tego artykułu). Stopa dyskontowa: Jeżeli znane są przepływy pieniężne CF i, natomiast zadanie sprowadza się do ich obliczenia wartości bieżącej PV, to niezbędnym jest przyjęcie do obliczeń pewnej stopy procentowej r. Proces obliczania wartości bieżącej przyszłych przepływów pieniężnych nazywamy dyskontowaniem, zaś stopę procentową, która jest przy tym użyta, stopą dyskontową. Przykład (2.1): Oszacować wartość bieżącą czterech płatności równych 250.000 zł każdy, które mają miejsce w okresach rocznych (płatności z dołu), stosując stopę dyskontową równą 8%. = 250.000 250.000 250.000 250.000 1+8%+ 1+8%+ 1+8%+ 1+8% = 828.032
Podobnie, jak w przypadku wszystkich innych stóp procentowych, generalną zasadą jest, iż stopa dyskontowa prezentowana jest w ujęciu rocznym, jak również bez korygowania o wskaźnik inflacji (zagadnienie to omówione jest pod koniec niniejszego artykułu). Spodziewana, zrealizowana oraz wymagana stopa zwrotu: W celu zrozumienia, czym jest stopa dyskontowa z merytorycznego punktu widzenia, należy wprowadzić następujące pojęcia: spodziewana stopa zwrotu; zrealizowana stopa zwrotu; wymagana stopa zwrotu. W tym celu rozpatrzymy prosty przykład. Przykład (2.2): W wyniku przeprowadzonej analizy inwestor oszacował dochody z nieruchomości w trzech kolejnych latach na poziomie 400.000 zł, 450.000 zł oraz 500.000 zł, a ponadto oszacował możliwą do uzyskania cenę nieruchomości po trzech latach na kwotę 7.000.000 zł (wartość rezydualna). Biorąc pod uwagę ryzyko inwestycyjne uznał, iż maksymalną ceną, którą skłonny jest zaakceptować, jest kwota 6.800.000 zł (wartość nieruchomości wg inwestora). W wyniku negocjacji dokonał zakupu nieruchomości za cenę wynoszącą 6.500.000 zł. Po dokonaniu zakupu, nieruchomość w kolejnych latach przyniosła dochody równe 400.000 zł, 400.000 zł oraz 500.000 zł, zaś cena sprzedaży nieruchomości, uzyskana po trzech latach, wyniosła 6.800.000 zł. Oszacować poziom spodziewanej, wymaganej oraz zrealizowanej stopy zwrotu. Spodziewana stopa zwrotu jest rozwiązaniem następującego równania: 6.500.000= 400.000 450.000 500.000+7.000.000 1++ 1++ 1+ i wynosi: =!"" =9,22%. Zrealizowana stopa zwrotu jest rozwiązaniem następującego równania: 6.500.000= 400.000 400.000 500.000+6.800.000 1++ 1++ 1+ i wynosi: =!"" =8,05%.
Wymagana stopa zwrotu jest rozwiązaniem następującego równania: 6.800.000= 400.000 450.000 500.000+7.000.000 1++ 1++ 1+ i wynosi: =!"" =7,49%. Spodziewana stopa zwrotu jest oszacowaniem stopy, która zostanie zrealizowana. Wyznaczana jest ona w oparciu o zakładaną cenę oraz przewidywane (spodziewane) przepływy pieniężne z inwestycji. Zrealizowana stopa zwrotu jest miarą efektywności zrealizowanej inwestycji. Jest wyznaczana w oparciu o rzeczywiście zapłaconą cenę oraz rzeczywiście zrealizowane przepływy pieniężne. Wymagana stopa zwrotu jest miarą wymagań inwestora co do poziomu stopy zwrotu, przy uwzględnieniu ryzyka danej inwestycji. Wyznaczana jest w oparciu o oszacowaną wartość inwestycji (graniczna / maksymalna cena) i spodziewane przepływy pieniężne. Przykład (2.3): Dla danych z przykładu (2.2) ustalić, czy z punktu widzenia inwestora zakup był opłacalny, oraz jaką maksymalną cenę byłby skłonny zapłacić, gdyby prawidłowo przewidział poziom dochodów z wynajmu oraz ze sprzedaży nieruchomości. Zakup był opłacalny, pomimo iż dochody były niższe od zakładanych (zrealizowana stopa zwrotu była niższa od spodziewanej), gdyż została zrealizowana stopa zwrotu wyższa, niż wymagana stopa zwrotu. Maksymalna cena możliwa do zaakceptowania przez inwestora wyniosłaby (w zaokrągleniu): = 400.000 400.000 500.000+6.800.000 1+7,49% + 1+7,49%+ 1+7,49% = 6.600.000 Widzimy zatem, iż stopa dyskontowa jest w tym ujęciu równa stopie zwrotu, jakiej inwestor wymaga z danej inwestycji, biorąc pod uwagę związane z nią ryzyko; mówiąc wprost: stopa dyskontowa jest równa wymaganej stopie zwrotu. Poziom (wysokość) oraz składniki stopy dyskontowej:
Z oczywistych przyczyn stopa dyskontowa zawsze jest wyższa od zera w przeciwnym przypadku oznaczałoby to bowiem, iż inwestor z góry zamierza (chce) zrealizować stratę. Pora zatem odpowiedzieć sobie na pytanie ile powinna wynosić stopa dyskontowa oraz co się na nią składa. Inwestując środki pieniężne zakłada się realizację zysku, rozumianego tutaj jako nadwyżka dochodów nad kwotą zainwestowania, czyli: < 2.3 Zysk ten powinien pożyczkodawcy rekompensować alternatywne sposoby wykorzystania tej kwoty, z uwzględnieniem ryzyka związanego z samą inwestycją (tutaj np. z wiarygodnością pożyczkobiorcy). W tym ujęciu stopa procentowa składa się z następujących składników: ceny pieniądza; ceny ryzyka. Cena pieniądza: Przyjmijmy, iż inwestycja (pożyczka) jest, z punktu widzenia inwestora, wolna od wszelkiego rodzaju ryzyk. W takiej sytuacji stopa procentowa będzie równa stopie zwrotu z inwestycji wolnej od ryzyka; na którą składają się w szczególności: rekompensata z tytułu wzrostu cen towarów i usług (inflacji); rekompensata z tytułu wyrzeczenia się konsumpcji. Pierwszy z tych czynników można wytłumaczyć następująco poziom stóp procentowych na rynku inwestycji wolnych od ryzyka nie może być niższy od poziomu przewidywanej inflacji, gdyż inwestorzy (pożyczkodawcy) wymagają co najmniej utrzymania wartości realnej (siły nabywczej) na nie zmienionym poziomie. Wyobraźmy sobie teraz sytuację, w której inflacja jest równa zero: inwestor nadal wymagać będzie zysku z pożyczonej kwoty, jednak teraz wysokość oprocentowania (zarazem, z punktu widzenia pożyczkobiorcy, koszt pozyskanego kapitału) jest rekompensatą za brak możliwości korzystania z kapitału inwestor zrezygnował (na okres pożyczki) z dysponowania tą kwotą i wydatkowania jej na własne cele konsumpcyjne, za co należy mu sie rekompensata. Cena ryzyka:
Drugim czynnikiem warunkującym poziom wymaganej stopy zwrotu (stopy dyskontowej) jest ryzyko związane z daną inwestycją. Ze względu na wagę tego zagadnienia poświęcony mu będzie osobny artykuł. W tym miejscu zaznaczymy jedynie, iż przez ryzyko rozumieć będziemy możliwość realizacji innych przepływów pieniężnych niż spodziewane (co do wysokości i / lub dat ich wystąpienia). W tym kontekście inwestycją wolną od ryzyka jest inwestycja, co do której mamy pewność, iż zrealizowane dochody będą dokładnie pokrywać się z założeniami. Instrumentem finansowym spełniającym ww. warunek jest obligacja skarbowa (zakłada się, iż Skarb Państwa jest 100% gwarantem płatności). Nie oznacza to jednak, iż obligacja skarbowa jest instrumentem finansowym wolnym od wszelkiego rodzaju ryzyk (jest ona wolna od tzw. ryzyka niewywiązania się z warunków umowy). W rzeczywistości obligacje skarbowe są obarczone pewnymi szczególnymi rodzajami ryzyk zagadnienie to zostanie omówione w jednym z kolejnych artykułów; tutaj zaznaczmy jedynie, iż dla potrzeb analizy i wyceny nieruchomości traktowanie obligacji skarbowych jako instrumentów wolnych od ryzyka, jest dopuszczalnym uproszczeniem. Ponieważ, jak zostało to powiedziane, wymagana stopa zwrotu (stopa dyskontowa) nie może być niższa od stopy zwrotu z inwestycji wolnej od ryzyka, co można przedstawić następująco: ' 2.4 wprowadzając dodatkowy składnik sumy otrzymujemy następujące równanie: = ' +( 2.5 gdzie: r - stopa dyskontowa / wymagana stopa zwrotu (ang. Discount Rate) r F - stopa zwrotu z inwestycji wolnej od ryzyka (ang. Risk Free Rate) ( - suma premii za ryzyka związane z analizowaną inwestycją (ang. Risk Premium) Stopa dyskontowa w ujęciu nominalnym i realnym:
W poprzednim artykule powiedzieliśmy sobie, iż generalną zasadą jest, że wszystkie stopy procentowe wyrażane są w ujęciu nominalnym. Zasada ta obowiązuje również w przypadku stóp dyskontowych. Ponieważ jednak formalnie (tzn. z matematycznego punktu widzenia) możliwe jest dyskontowanie dochodów przy zastosowaniu stopy dyskontowej w ujęciu realnym, rozpatrzmy i skomentujmy to rozwiązanie. Na wstępie przypomnijmy zależność pomiędzy klasyczną stopą procentową (tj. stopą w ujęciu nominalnym), a stopą procentową wyrażoną w tzw. ujęciu realnym: 1+=1+ *+,- 1+! 2.7 Spróbujmy teraz rozwiązać parę przykładów obliczeniowych stosując stopę dyskontową w ujęciu nominalnym oraz realnym. Przykład (2.6): Wycenić dwie następujące inwestycje, z których dochód w ostatnim roku wyniósł 100.000 zł (CF 0 ), przy następujących założeniach: a) inwestycja będzie przynosić dochody jeszcze przez 3 kolejne lata, przy czym ich poziom będzie rósł zgodnie z inflacją; b) inwestycja będzie przynosić dochody jeszcze przez 3 kolejne lata, przy czym ich poziom będzie stały, tzn. na poziomie 100.000 zł; stosując konwencję przepływów (i stóp zwrotu) w ujęciu nominalnym, zakładając wymaganą stopę zwrotu na poziomie 10%, a roczną inflację na poziomie 3%. Wartość bieżąca inwestycji (a): = / 1+!=100.000 1+3%=103.000 = 1+!=103.000 1+3%=106.090 = 1+!=106.090 1+3%=109.273 = 103.000 106.090 109.273 1+10%+ 1+10%+ 1+10% = 263.412 Wartość bieżąca inwestycji (b): = 100.000 100.000 100.000 1+10%+ 1+10%+ 1+10% = 248.685
Oczywiście wartość bieżąca inwestycji (a) jest wyższa, gdyż dochody w kolejnych latach są wyższe. Spróbujmy teraz rozwiązać to samo zadanie, ale wykorzystując do tego stopę dyskontową wyrażoną w ujęciu realnym; oczywiście powinniśmy uzyskać dokładnie takie same wyniki. Konieczne jest zdefiniowanie przepływów pieniężnych w ujęciu nominalnym oraz realnym. Jest to o tyle istotne, iż klasyczną (zwykłą, nominalną) stopę dyskontową stosować należy do przepływów w ujęciu nominalnym, zaś stopę dyskontową w ujęciu realnym stosuje się do przepływów pieniężnych wyrażonych w tzw. ujęciu realnym. Problemem jest m.in. to, iż terminy nominalny oraz realny przepływ pieniężny niezbyt trafnie oddają rzeczywistość i mogą wprowadzać czytelnika w błąd. Pamiętając z poprzedniego artykułu, czym jest stopa procentowa w ujęciu nominalnym i realnym, przepływy pieniężne w ujęciu nominalnym i realnym można zdefiniować następująco: przez nominalny przepływ pieniężny w dacie t rozumieć będziemy kwotę pieniężną, która rzeczywiście w tej dacie będzie miała miejsce. Przykładowo jeśli za 5 lat spodziewamy się 100.000 zł, to rzeczywiście taką kwotę (nominalnie) otrzymamy; przez realny przepływ pieniężny w dacie t rozumieć będziemy natomiast pewną kwotę, której wysokość (w ujęciu nominalnym) jest nieznana, ale pod względem siły nabywczej stanowi ona równowartość danej kwoty w dniu dzisiejszym (tzn. w dacie wyceny). Przykładowo: kwota 100.000 zł za okres 3 lat, wyrażona w ujęciu realnym, oznacza nieznaną nominalnie kwotę, która pod względem siły nabywczej stanowi równowartość dzisiejszych 100.000 zł. Zależność pomiędzy przepływami pieniężnymi w ujęciu realnym i nominalnym przedstawić można w sposób następujący: 0 = 0 *+,- 1+! 0 2.8 albo: gdzie: m CF m CF m(real) 0 *+,- = 0 1+! 0 2.9 - oznaczenie roku, przy założeniu płatności na koniec okresu ( z dołu); - przepływ pieniężny (w ujęciu nominalnym) na koniec m-tego roku; - przepływ pieniężny w ujęciu realnym, na koniec m-tego roku.
Konsekwentnie pomijamy przy tym indeks nominal przy przepływach w ujęciu nominalnym, zachowując indeks real przy przepływach w ujęciu realnym Wiedząc już, jak dokonać przeliczenia przepływów pieniężnych na kwoty wyrażone w ujęciu realnym, możemy wrócić do przykładu (2.6). Przykład (2.7): Dla danych z przykładu (2.6) należy wyznaczyć stopę dyskontową w tzw. ujęciu realnym, a następnie wyznaczyć wartość bieżącą inwestycji (a) oraz inwestycji (b). Stopa dyskontowa w ujęciu realnym: *+,- = 1+ 1+! 1=1+10% 1+3% 1=6,7961% Wartość bieżąca inwestycji (a): Ponieważ dochody wzrastają zgodnie z inflacją, więc realna wartość wszystkich dochodów jest taka sama jest to równowartość dzisiejszych 100.000 zł (za kwotę 100.000 zł w dniu dzisiejszym możemy zakupić realnie tyle samo dóbr, co za kwotę 106.090 zł za dwa lata). Przykładowo: *+,- = 1+! = / 1+! 100.000 1+3% 1+! = 1+3% =100.000 Oznacza to, iż dyskontować będziemy przepływy w ujęciu realnym, równe 100.000 zł każdy: = 100.000 100.000 100.000 1+6,7961% + 1+6,7961% + 1+6,7961% =263.412 Jak widać, uzyskaliśmy ten sam wynik, co w przykładzie (2.6) Wartość bieżąca inwestycji (b): Inwestycja (b) charakteryzuje się stałymi (w ujęciu nominalnym) dochodami, co przy niezerowej inflacji oznacza, iż każdy kolejny dochód jest realnie niższy niż poprzedni. Chcąc dokonać dyskontowania przy użyciu stopy procentowej w ujęciu realnym, należy obliczyć zatem realną wartość każdego z tych dochodów:
*+,- = 1+! = / 1+! = 100.000 1+3% = 97.087 *+,- = 1+! = / 1+! = 100.000 1+3% =94.259 *+,- = 1+! = / 1+! = 100.000 1+3% =91.514 Dyskontowanie przepływów pieniężnych wyrażonych w ujęciu realnym: = 97.087 94.259 91.514 1+6,7961% + 1+6,7961% + 1+6,7961% =248.684 Znów uzyskaliśmy taki sam rezultat, jak w przykładzie (2.6); różnica 1 zł wynika z zaokrągleń. Nie ma zatem znaczenia, czy obliczeń dokonujemy zestawiając dochody i stopy dyskontowe w ujęciu nominalnym, czy też w ujęciu realnym. Widzimy zatem, iż z punktu widzenia matematyki finansowej nie ma znaczenia, czy wyceny dokonuje się analizując przepływy pieniężne (i stopy) w ujęciu nominalnym, czy też realnym. Widzimy również szereg wad podejścia opartego na tzw. przepływach realnych: konieczność odpowiedniego przeliczania przepływów pieniężnych, nienaturalny (mogący wprowadzać w błąd) sposób prezentacji dochodów w przypadku przepływów o nominalnie stałej wartości (w ujęciu realnym są to przepływy malejące), trudności w analizie porównawczej stóp zwrotu w sytuacji, gdy na rynku przyjętym standardem jest prezentowanie stóp procentowych w ujęciu nominalnym, trudności w analizie danych historycznych (które również prezentowane są w ujęciu nominalnym) i szereg innych. całość (wersja elektroniczna artykułu): www.nieruchomosci.beck.pl