Metody oceny ryzyka operacyjnego



Podobne dokumenty
PRACA DYPLOMOWA. Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki. Metody Oceny Ryzyka Operacyjnego (Methods of Operational Risk Assessment) Katarzyna Smaga

Metody matematyczne w analizie danych eksperymentalnych - sygnały, cz. 2

Szacowanie miary zagrożenia Expected Shortfall dla wybranych instrumentów polskiego rynku kapitałowego

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Cenzurowanie danych w bankowości

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Zadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej

z przedziału 0,1 liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe:... ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach 1,q i, gdzie X, wszystkie składniki X

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone

Ryzyko operacyjne w świetle NUK. dr Grzegorz Kotliński, Katedra Bankowości AE w Poznaniu

Mikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.

Ogólnopolska Konferencja Aktuarialna Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka Warszawa, IE SGH 2009

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),

Ćwiczenia Zarządzanie Ryzykiem. dr hab. Renata Karkowska, ćwiczenia Zarządzanie ryzykiem 1

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

PAKIETY STATYSTYCZNE

Metoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Analiza niepewności pomiarów

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:

EXPECTED SHORTFALL W OCENIE RYZYKA AKCYJNYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH

Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/

01. dla x 0; 1 2 wynosi:

Prawdopodobieństwo i statystyka

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

Stosowana Analiza Regresji

Ryzyko operacyjne metoda zaawansowana. Wyzwania

Szacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE. Joanna Sawicka

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym( ) Pojęcie losowej próby prostej

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności

FORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Testowanie hipotez statystycznych.

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 1

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Ekonometria Finansowa II EARF. Michał Rubaszek

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

MUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss)

Rozkłady statystyk z próby

Rafał Rudzki, Biuro Bezpieczeństwa KDPW S.A.

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1

Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe

Rozpoznawanie obrazów

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Analiza przeżycia Survival Analysis

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Metoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10

Niepewność wartości parametrów przy wycenie nieproporcjonalnych kontraktów reasekuracyjnych.

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE

INFORMATYKA i FINANSE KATEDRA INFORMATYKI TEORETYCZNEJ

Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1

RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA

Zadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20:

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne.

Pobieranie prób i rozkład z próby

1. Symulacje komputerowe Idea symulacji Przykład. 2. Metody próbkowania Jackknife Bootstrap. 3. Łańcuchy Markova. 4. Próbkowanie Gibbsa

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

Statystyka w przykładach

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

Porównanie modeli regresji. klasycznymi modelami regresji liniowej i logistycznej

g) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

ZASTOSOWANIE ROZKŁADÓW UCIĘTYCH I CENZUROWANYCH W KWANTYFIKACJI RYZYKA OPERACYJNEGO. BADANIA SYMULACYJNE

Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11

Transkrypt:

Instytut Matematyki i Informatyki Wrocław, 10 VII 2009

Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego Umowa Kapitałowa - 1988 Opracowanie najlepszych praktyk rynkowych w zakresie zarządzania ryzykiem Nowa Umowa Kapitałowa - 2004 Rozbudowana i uaktualniona wersja

Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego Umowa Kapitałowa - 1988 Opracowanie najlepszych praktyk rynkowych w zakresie zarządzania ryzykiem Nowa Umowa Kapitałowa - 2004 Rozbudowana i uaktualniona wersja Definicja Ryzyko operacyjne to ryzyko strat spowodowanych niewłaściwymi lub zawodnymi procesami wewnętrznymi, błędem ludzkim lub czynnikami natury zewnętrznej

Techniki szacowania ryzyka operacyjnego 1 Metoda wskaźnika podstawowego Basic Indicator Approach K op = αgi 2 Metoda standardowa Standardized Approach (SA) Podział na 8 linii biznesowych. 8 K op = β i GI i i=1 3 Metoda zaawansowanego pomiaru Advanced Measurement Approach (AMA) Zastosowania wewnętrznych modeli pomiaru ryzyka operacyjnego.

Metoda wewnętrznego pomiaru Internal Measurement Approach (IMA) Podział na 7 typów strat/ryzyka. K op = 8 i=1 k=1 7 γ ik ES ik,

1 Błędy ludzkie Human Straty powstałe w wyniku błędów ludzkich wewnątrz firmy (błędy pracowników) lub poza nią (np. wyłudzenia klientów). 2 Błędy procesowe Process Straty odzwierciedlające słabości w procedurach. 3 Zła organizacja pracy Relationship Ryzyko wynikające np. ze zmian w zarządzie, sposobów komunikacji w firmie. 4 Błędy technologiczne Technology Awarie sprzętowe, błędy w oprogramowaniu, awarie sieci lub innych technologii. Również luki w zabezpieczeniach systemów informatycznych. 5 Przyczyny zewnętrzne External Np. postępowania sądowe lub katastrofy naturalne.

Wizualizacja wielkość szkody

Wizualizacja liczba strat

Model Definicja ryzyka operacyjnego 1 Proces wielkości straty: (X k ) k N iid 2 Proces frekwencji występowania szkody: N t losowa liczba strat, które wystąpiły w przedziale czasowym [0, t] 3 Procesy wielkości straty i frekwencji występowania strat są niezależne 4 Proces zagregowanej straty: N t S t = X i, t 0 i=1

Metody wyboru progu Testy zgodności Extreme Value Theory Twierdzenie Balkema i de Haana oraz Pickandsa Powyżej wystarczająco wysokiego progu u, rozkład nadwyżki ponad ten próg może być aproksymowany rozkładem GPD z dodatnim parametrem kształtu.

Metody wyboru progu Testy zgodności Extreme Value Theory Twierdzenie Balkema i de Haana oraz Pickandsa Powyżej wystarczająco wysokiego progu u, rozkład nadwyżki ponad ten próg może być aproksymowany rozkładem GPD z dodatnim parametrem kształtu. Uogólniony rozkład Pareto

Metody wyboru progu Testy zgodności Extreme Value Theory Twierdzenie Balkema i de Haana oraz Pickandsa Powyżej wystarczająco wysokiego progu u, rozkład nadwyżki ponad ten próg może być aproksymowany rozkładem GPD z dodatnim parametrem kształtu. Uogólniony rozkład Pareto ( ) GPD ξ,σ,µ (x) = 1 1 + ξ x µ 1 ξ σ, jeśli ξ 0 1 exp ( x ) σ, jeśli ξ = 0

Metoda Peaks Over Treshold Metody wyboru progu Testy zgodności Rysunek: Straty ponad progiem u

Mean Excess Plot Definicja ryzyka operacyjnego Metody wyboru progu Testy zgodności Wykres oczekiwanej wartości straty ponad progiem: e(u) = E(X u X > u)

Metody wyboru progu Testy zgodności Wykres estymatora parametru kształtu

Wykres Gertensgarbe-Wernera Metody wyboru progu Testy zgodności

Dobór rozkładu Definicja ryzyka operacyjnego Metody wyboru progu Testy zgodności Estymacja parametrów modelu metoda ML Skalowanie parametrów ξ = ˆξ ( σ = ˆσ 1 N )ˆξ u, n µ = u ˆσˆξ ( 1 1 N u n )ˆξ. (1)

Testy zgodności Definicja ryzyka operacyjnego Metody wyboru progu Testy zgodności Testy Kołmogorowa-Smirnowa, Ansari-Bradleya Testy graficzne Test oparty na residuach R i = 1ˆξ ( ) X i u log 1 ˆξ ˆσ + ˆξ(u, j = 1,..., n, (2) ˆµ) R i powinny być iid o rozkładzie wykładniczym ze średnią 1

Metody wyboru progu Testy zgodności Tabela: Test zgodności. W nawiasach podano maksymalną dopuszczalną liczbę wartości powyżej VaR Human Process Relationship Technology External VaR 90% 2.7e9 7.5e9 2.9e9 4.4e9 2.7e9 X [90%n] 3.1e9 7.2e9 3.3e9 4.4e9 3.0e9 x 93(85.3) 29(30.7) 81(76.7) 7(7.2) 35(31.2) VaR 95% 7.9e9 1.6e10 6.5e9 7.7e9 6.2e9 X [95%n] 8.8e9 1.9e10 6.9e9 8.3e9 5.5e9 x 48(42.65) 16(15.35) 43(38.35) 4(3.6) 14(15.6) VaR 99% 9.1e9 7.8e10 3.7e10 2.2e10 3.7e10 X [99%n] 3.6e10 1.1e11 4.8e10 2.7e10 3.1e10 x 2(8.53) 4(3.07) 8(7.67) 1(0.72) 3(3.12)

Test Kupca Definicja ryzyka operacyjnego Metody wyboru progu Testy zgodności ( (1 q) T 0 q T ) 1 LR = 2 ln (1 ˆq) T 0ˆq T 1 gdzie q jest poziomem ufności VaR, T jest liczbą obserwacji, T 1 jest liczbą przekroczeń, ˆq = T 1 T 0 +T 1, T 0 = T T 1

Modelowanie mieszaniną rozkładów Weibulla i GPD Model dla strat poniżej progu: Metoda przeszukań możliwych miejsc podziału Wykorzystanie metody k-średnich

VaR Definicja ryzyka operacyjnego Tabela: Test dokładności. W nawiasach podano maksymalną liczbę wartości powyżej VaR Human Process Relationship Technology External VaR 90% 7.3e9 7.5e9 2.8e9 4.4e9 2.7e9 X [90%n] 8.8e9 7.2e9 3.3e9 4.4e9 2.9e9 x 92(85.3) 29(30.7) 83(76.7) 7(7.2) 35(31.2) VaR 95% 2.8e9 1.6e10 6.3e9 7.7e9 6.1e9 X [95%n] 3.1e9 1.9e10 6.9e9 8.3e9 5.5e9 x 50(42.65) 16(15.35) 43(38.35) 4(3.6) 14(15.6) VaR 99% 5.9e10 8.0e10 3.7e10 2.3e10 3.8e10 X [99%n] 3.6e10 1.1e11 4.8e10 2.7e10 3.1e10 x 5(8.53) 4(3.07) 8(7.67) 1(0.72) 2(3.12)

Testy zgodności Testy Kołmogorowa-Smirnowa i Ansari-Bradleya Test Andersona Darlinga Test Kupca Test Crnkovica-Drachmana

Process Poissona dla rozkładu GPD wielkości szkody ( λ u = 1 + ξ u µ ) σ (3) Niejednorodny proces Poissona jako proces liczący liczby strat

Symulacja metodą Monte Carlo 1 Wygeneruj liczbę skoków procesu N t na odcinku [0, t] 2 Wygeneruj tyle liczb p i z rozkładu U[0, 1] ile wskazuje liczba otrzymana w poprzednim kroku 3 Oblicz kwantyle rzędu p i z rozkładu zmiennej X 4 Zsumuj otrzymane wartości 5 Powtórz kroki (1)-(3) minumum 10 000 razy 6 Posortuj otrzymane wartości

VaR t Tabela: Test zgodności. W nawiasach podano maksymalną liczbę wartości powyżej VaR Human Process Relationship Technology External VaR t (90%) 4.87e11 1.64e11 2.53e11 1.43e10 0.55e11 S t[90%n] 1.27e11 1.38e11 1.11e11 0.93e10 0.65e11 x 2.44(3.40) 3.60(3.40) 3.64(3.40) 2.52(3.40) 4.34(3.40) VaR t (95%) 7.98e11 3.20e11 3.41e11 2.11e10 3.39e11 S t[95%n] 5.67e11 1.67e11 2.07e11 1.87e10 0.91e11 x 1.74(1.70) 1.76(1.70) 1.58(1.70) 1.60(1.70) 2.62(1.70) VaR t (99%) 8.56e11 4.17e11 5.02e11 2.57e10 4.68e11 S t[99%n] 7.76e11 3.28e11 2.15e11 4.47e10 2.16e11 x 1.02(0.34) 0.40(0.34) 0.88(0.34) 0.82(0.34) 1.10(0.34)

Testy zgodności Testy Kołmogorowa-Smirnowa i Ansari-Bradleya Test Andersona Darlinga Test Kupca Test Crnkovica-Drachmana

Pytania Definicja ryzyka operacyjnego?