ZASTOSOWANIE ROZKŁADÓW UCIĘTYCH I CENZUROWANYCH W KWANTYFIKACJI RYZYKA OPERACYJNEGO. BADANIA SYMULACYJNE

Transkrypt

1 Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN Nr Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania Katedra Ekonometrii tomasz.szkutnik@ue.katowice.pl ZASTOSOWANIE ROZKŁADÓW UCIĘTYCH I CENZUROWANYCH W KWANTYFIKACJI RYZYKA OPERACYJNEGO. BADANIA SYMULACYJNE Streszczenie: W badaniu rozpatrzone zostały różne sposoby rejestrowania zdarzeń, takie jak ucinanie i cenzurowanie danych wraz z oceną wpływu, jaki mogą wywierać na wielkość ryzyka szacowanego metodą LDA. Ignorowanie faktycznego ucinania danych w procesie ich rejestracji lub przyjmowanie faktu ucinania jako kompromisu pomiędzy jakością informacji a kosztami ich ewidencji zostały porównane z procesem rejestracji opartym na cenzurowaniu danych. Cenzurowanie pozwala na uzyskanie pełnej informacji o częstości zdarzeń oraz daje możliwość wykorzystania tych częściowych informacji w procesie estymacji. Estymacja parametrów na podstawie danych cenzurowanych, wykorzystywana w innych obszarach, może być jednym z kierunków rozwoju w przypadku ryzyka operacyjnego w instytucjach finansowych. Słowa kluczowe: ryzyko operacyjne, LDA, cenzurowanie danych, ucinanie danych. Wprowadzenie Tematyka artykułu dotyczy problemu szacowania ryzyka operacyjnego w banku. Nowo tworzone rozwiązania ostrożnościowe wynikające ze zmian w środowisku operacyjnym banków są w głównej mierze efektem prac Komitetu Bazylejskiego ds. Nadzoru Bankowego (BCBS Basel Committee on Banking Supervision). Tematem artykułu jest, proponowana przez BCBS, metoda rozkładu strat (zwana metodą LDA Loss Distribution Approach), należąca do tzw. metod zaawansowanych (dalej AMA Advanced Measurement Approach).

2 110 W ramach tej metody wielkość ryzyka wyznaczana jest na podstawie zagregowanego rozkładu strat (opierając się na procesach częstości i dotkliwości strat), jako kwantyl odpowiedniego rzędu. W praktyce określenie rzeczywistej postaci analitycznej zagregowanego rozkładu w metodzie LDA nie zawsze jest możliwe, przez co szeroko wykorzystywane są różne formy jego aproksymacji. Obserwując rozwój zarówno samych metod pomiaru ryzyka operacyjnego, jak i zachodzące zmiany w wytycznych BCBS, można zauważyć, że jest to w dalszym ciągu istotny obszar badawczy. Metoda LDA Celem nadrzędnym w pomiarze ryzyka operacyjnego jest określenie łącznej wielkości ryzyka dla całego banku. Wiąże się to z wyznaczeniem wielkości ryzyka oddzielnie dla poszczególnych obszarów zdefiniowanych według macierzy bazylejskiej [Szkutnik i Basiaga, 2013]. W poszczególnych elementach macierzy bazylejskiej poziom ryzyka określany jest indywidualnie, np. za pomocą metody LDA. W artykule skupiono uwagę głównie na problemach w szacowaniu odpowiednich wielkości ryzyka właśnie na poziomie samego modelu LDA. W tym zakresie prawidłowe określenie oraz rozwiązanie problemów w skali mikro, tj. dla cząstkowych procesów częstości i dotkliwości strat, daje podstawy do dalszych rozważań. Pominięcie pewnych kluczowych wielkości na samym początku badania w praktyce może prowadzić do nieprzewidywalności wyników i nieadekwatności pomiaru stopnia narażenia na ten rodzaj ryzyka. To właśnie nieadekwatność doboru technik modelowania w odniesieniu do składowych modelu LDA, tj. dziedziny częstości oraz dziedziny dotkliwości, będzie głównym tematem badania. Formalna konstrukcja metody LDA jest taka sama, jak w pracach: [Szkutnik, 2012a, 2012b], dlatego nie jest w dalszej części artykułu powtarzana. Wyznaczenie zagregowanego rozkładu strat opiera się na metodzie Monte Carlo, która wraz ze szczegółowym opisem zawarta jest w takich pracach, jak: [Shevchenko, 2011; Szkutnik i Basiaga, 2013]. Istotnym celem badania jest ocena wpływu procesów ucinania i cenzurowania danych o stratach banku, na wielkości estymowanych parametrów ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa dla dziedziny dotkliwości strat. Stosowanie progów raportowania ma także wpływ na proces częstości występowania strat, jednak na potrzeby badania przyjęto, że jest to jednorodny proces Poissona (z ustalonym arbitralnie parametrem ). Celem badania symulacyjnego jest pokazanie skali potencjalnych różnic w ocenie wielkości ryzyka dla jednego tylko procesu modelowanego metodą LDA. W dalszej części badania szczególna uwaga zostanie skupiona na dziedzinie dotkliwości strat oraz sumarycznych wynikach prezentowanych koncepcji.

3 Zastosowanie rozkładów uciętych i cenzurowanych Modelowanie dotkliwości zdarzeń Rejestrowanie zdarzeń i strat operacyjnych w bankowości oraz ich późniejsze wykorzystanie jest specyficzne, bowiem w praktyce jest to proces związany z pewną formą cenzurowania danych. Wynika to z panującego przekonania, że przy szacowaniu ryzyka powinno się zwracać uwagę w szczególności na straty o największej dotkliwości. Ponadto wymagania praktyczne, które są niewątpliwie słuszne, powodują, że często skrupulatne rejestrowanie strat poniżej określonych progów może nie być efektywne, a zanotowane zdarzenia mogą wydawać się dla instytucji informacjami bez większego znaczenia praktycznego. Wpływ, jaki wywiera sam sposób obróbki i wykorzystania danych w szacowaniu wielkości ryzyka operacyjnego metodą LDA, powinien być analizowany w dwóch wymiarach. Wykorzystanie tylko części możliwych do zarejestrowania danych oddziałuje zarówno na proces częstości ich występowania, jak i na proces dotkliwości strat. Proces częstości występowania strat może być modelowany za pomocą dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa lub rozumiany w kategoriach procesu stochastycznego iterowanego po czasie. Nieodpowiednia identyfikacja ewentualnej dynamiki częstości występowania strat może spowodować błędne oszacowanie potencjalnej liczby strat. Ponadto w przypadku procesu dotkliwości strat ucinanie danych powoduje, że należy uwzględnić ten fakt na etapie estymacji parametrów odpowiednich rozkładów prawdopodobieństwa. W pewnym sensie proces raportowania, będący właściwym dla zagadnień ryzyka operacyjnego, można utożsamiać z innymi dziedzinami badawczymi. W przypadku badań środowiskowych, klinicznych, analizie czasu trwania czy w zagadnieniach statystyki medycznej proces cenzurowania danych jest naturalny i wynika ze specyfiki badanych zjawisk. Wyróżnia się tam sytuacje, w których dane zawierają obserwacje cenzurowane. Cenzurowanie informuje, że zdarzenie zaszło, lecz dokładna wielkość straty nie została zarejestrowana wcale lub częściowo. W takich przypadkach dochodzi do pewnej utraty informacji, jednak samo zdarzenie poddawane jest dalszej obróbce nie tylko w kategoriach częstościowych, ale może brać także udział np. w procesie estymacji parametrów ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa Klasyfikacja danych cenzurowanych Długa historia wykorzystania danych cenzurowanych oraz wiele problemów powstających w procesach raportowania w wymienionych wcześniej obszarach powodują, że nie istnieje jeden prosty sposób podziału danych cenzurowanych.

4 112 Według S.P. Millarda [2013, s. 175] wyróżnia się 4 zasadnicze sposoby klasyfikacji danych cenzurowanych: dane ucięte lub cenzurowane, dane lewostronnie, prawostronnie, obustronnie cenzurowane, pojedyncze lub wielokrotne (progresywne) cenzurowanie, cenzurowanie typu I lub typu II. W najprostszym przypadku dotyczącym ryzyka operacyjnego proces cenzurowania może być procesem lewostronnego jednokrotnego cenzurowania typu I. Oznacza to, że pełne raportowanie i pomiar danych następuje tylko powyżej określonego progu c. Poniżej tego progu informacja o stracie operacyjnej mogłaby być tylko zliczana bez pełnej informacji o zdarzeniu (w szczególności bez informacji o finansowej wielkości straty). Ponadto pojedyncze cenzurowanie oznacza, że próg c jest stały podczas procesu zbierania informacji. Cenzurowanie typu I wymaga znajomości progu c w momencie zbierania informacji, a co za tym idzie liczba niecenzurowanych obserwacji jest wtedy zmienną losową. W przypadku cenzurowania typu II liczba niecenzurowanych obserwacji jest znana, a badanie kończy się w momencie osiągnięcia określonej liczby zdarzeń. Rozszerzając koncepcję cenzurowania, warto nadmienić, że stały próg raportowania w wielu obszarach analitycznych może nie być odpowiedni dla wszystkich przypadków. W takich sytuacjach można rozważać różne progi cenzurowania danych w poszczególnych procesach operacyjnych generujących straty. Z praktycznego punktu widzenia wydaje się zasadne poznanie procesu cenzurowania w odniesieniu do metody LDA, w szczególności przy rozpatrywaniu problemu w kategoriach możliwych błędów związanych z wyborem sposobu modelowania oraz oceny wpływu tego procesu na wielkości szacowanego ryzyka Konstrukcja funkcji wiarygodności dla cenzurowanych i uciętych obserwacji na potrzeby estymacji parametrów modelu Prezentowana budowa funkcji wiarygodności zakłada, że wielkość progu, poniżej którego dane będą poddane procesowi ucinania lub cenzurowania, jest niezależna od wartości zmiennej losowej. W celu konstrukcji funkcji wiarygodności w przypadku częściowych obserwacji należy ustalić, jaki jest możliwy zakres informacji, które można pozyskać na podstawie dostępnych danych. Ogólna postać funkcji wiarygodności w omawianym przypadku wygląda następująco [Klein, 2003, s. 74]: Π Π Π 1 Π. (1)

5 Zastosowanie rozkładów uciętych i cenzurowanych Relacja dana wzorem (1) przedstawia ogólny problem, jaki może być rozpatrzony dla różnych form cenzurowania lub ucinania obserwacji, gdzie: zbiór wielkości strat operacyjnych ; (oraz ) zbiór wielkości prawostronnie (lewostronnie) cenzurowanych; zbiór obserwacji obustronnie cenzurowanych; próg prawostronnego cenzurowania; próg lewostronnego cenzurowania; [S(L i ) S(R i )] prawdopodobieństwo tego, że wielkość straty należy do przedziału, ; funkcja przeżycia Opis badania symulacyjnego W badaniu symulacyjnym przyjęto arbitralne założenia co do wartości parametrów odpowiednich rozkładów prawdopodobieństwa. W celu uwiarygodnienia badania przyjęto, że hipotetyczne zadanie związane z oceną skali narażenia banku na straty z tytułu ryzyka operacyjnego będzie wyznaczone jako empiryczny kwantyl rzędu 0,999 zagregowanego rozkładu strat z metody LDA, wyznaczonego za pomocą symulacji Monte Carlo (dalej: metoda MC). W celu zapewnienia odpowiedniego poziomu wiarygodności szacunków przy tak wysokiej wartości kwantyla zostało przyjęte, że liczba iteracji w metodzie MC dla zadania modelu LDA będzie wynosiła 10 (rozważania dotyczące zagadnień związanych z metodą MC dla LDA w odniesieniu do ryzyka operacyjnego oraz uwagi dotyczące liczby iteracji w metodzie MC można znaleźć m.in. w: [Shevchenko, 2011; Szkutnik, 2011a, 2011b]). Przyjęto, że hipotetyczny okres, z którego dostępne są obserwacje, dotyczy 4 lat. Proces częstości występowania strat w układzie rocznym został przyjęty jako rozkład Poissona z 50 (gdzie jednorodny proces Poissona określono tak jak w pracy: [Klugman, Panjer i Willmot, 2008, s. 102], ozn. ). Dla procesu dotkliwości strat przyjęto rozkład Weibulla, parametryzowany zgodnie z konstrukcją zawartą w załączniku A pracy: [Klugman, Panjer i Willmot, 2008, s. 675] (ze zmiennymi wartościami parametrów, które są podane w dalszej części badania, ozn.,, gdzie parametr kształtu, a parametr skali). Motywując wybór rozkładu Weibulla jako procesu opisującego mechanizm odpowiedzialny za wielkość poszczególnych strat, można wskazać na wykorzystanie tego rozkładu w zagadnieniach ryzyka operacyjnego, np. w pracy: [Chernobai, Rachev i Fabozzi, 2007]. Rozkład Weibulla należy do rodziny transformowanego rozkładu gamma z dziedziną, co oznacza, że może on opisywać

6 114 wielkości strat operacyjnych rejestrowanych na dodatniej półosi. Rozkład Weibulla ma także interesującą własność, związaną z funkcją ryzyka. Zlogarytmowana funkcja jest funkcją liniową, z parametrem kierunkowym 1. Jak wiadomo, funkcja jako dynamiczna charakterystyka rozkładu, pozwala na klasyfikację rozkładów prawdopodobieństwa ze względu na ich własności ogonowe. W przypadku rosnącej (malejącej) dla rozkładu Weibulla parametr 1 ( 1 ), rozpatrywany rozkład będzie cienkoogonowy (gruboogonowy). Dla rozkładu Weibulla przyjęto odpowiednie wartości parametrów 4 oraz 0,5; 0,75; ; 2 (zmienna wartość ma oddawać ewentualny wpływ zmian charakteru ogona rozkładu) Symulacje procesu dotkliwości W pierwszej kolejności należy zdefiniować sposób modelowania rozkładów dotkliwości strat. Przyjęto 3 warianty danych, uzależnione od hipotetycznego procesu cenzurowania lub ucinania obserwacji: Pełny oznacza, że rejestrowany jest pełny zakres danych. Jest to proces referencyjny, do którego będą się odwoływać pozostałe scenariusze symulacyjne. Ucięty oznacza, że rejestrowane są tylko obserwacje powyżej znanego progu. Brakuje natomiast wiedzy co do liczby obserwacji poniżej punktu progowego. Cenzurowany oznacza, że sposób rejestrowania obserwacji jest uzależniony od wartości zmiennej losowej. Próg cenzurowania c taki sam jak dla scenariusza uciętego oznacza, że dane powyżej progu będą rejestrowane jako pełne dane, natomiast poniżej progu będą zliczane. Przyjęto również, że w zależności od dostępności danych, możliwe są 4 metody estymacji parametrów odpowiedniego ciągłego procesu dotkliwości. Należy podkreślić, że celem będzie tu pokazanie wpływu sposobu raportowania w zależności od wybranego wariantu estymacji. Warianty estymacji, w odniesieniu do charakteru posiadanych informacji, to: Wariant bazowy dostępne są pełne dane; standardowa metoda estymacji, tj. Maximum Likelihood Estimates [Klugman, Panjer i Willmot, 2008, s. 381]. Wariant ucięty dostępne są dane ucięte; jest to uwzględnione w procesie estymacji, tj. estymowane są dane ucięte (wariant metody danej wzorem (1)). Wariant naiwny dostępne są dane ucięte, ale nie jest to uwzględnione w procesie estymacji; estymowana jest pełna dziedzina danych, tj., a nie jej niewłaściwy podzbiór.

7 Zastosowanie rozkładów uciętych i cenzurowanych Wariant cenzurowany dostępne są dane cenzurowane, tj. rozszerzone względem uciętych o dodatkową informację o częstości występowania zjawiska poniżej progu c ; dobrana metoda estymacji (wariant metody danej wzorem (1)) uwzględnia fakt cenzurowania w procesie optymalizacji MLE. Dla każdego z siedmiu możliwych wariantów rozkładu (stałe oraz zmienne ) przyjęto identyczny schemat badania symulacyjnego, które było powtórzone 10 razy (iteracji). Pojedyncza iteracja w badaniu symulacyjnym dla wybranego wariantu rozkładu zakłada, że dysponuje się hipotetyczną próbą losową 200 obserwacji (4 lata, po 50 obserwacji w każdym roku). Na tej podstawie skonstruowano 3 warianty danych (bazowe bez zmian, ucięte informacja poniżej c jest tracona, cenzurowane informacja poniżej c jest zliczana). W odniesieniu do wariantów zależnych od progu c liczba analizowanych przypadków rozszerzy się o liczbę różnych progów raportowania. Za punkt c, tj. próg pełnego rejestrowania danych, przyjęto wartości kwantyli odpowiednich rzędów (ozn. ). Wielkości kwantyli reprezentują punkty lewostronnego cenzurowania danych i mają przedstawiać procentową hipotetyczną skalę utraty informacji w każdym z przypadków. Wielkości kwantyli będą się różniły w zależności od wariantu parametrów rozkładu (7 wariantów). Opieranie się na ustalonych rzędach kwantyli daje możliwość porównania wyników ze względu na odsetek traconej informacji. Na potrzeby badania przyjęto, że wielkości 0; 0,05; 0,10; ; 0,5 będą 11-elementowym wektorem, gdzie pierwszy element będzie oznaczał brak utraty informacji, a kolejne utratę odpowiednio 5%, 10%, 50% informacji. Badanie symulacyjne dotyczące wpływu raportowania w konfrontacji ze sposobem estymacji wybranego rozkładu prawdopodobieństwa może być analizowane w różnych wymiarach. W celu zbiorczej prezentacji przynajmniej części wyników zaprezentowano wykresy w układzie, gdzie płaszczyzna OXY będzie zawsze reprezentowała siatkę utworzoną z wektora wartości parametru kształtu (wpływ zmiany charakteru ogona rozkładu) oraz wektora rzędu rozważanych kwantyli (wpływ utraty informacji) na różne miary prezentowane na osi pionowej OZ. Proces raportowania danych powyżej określonego progu oraz charakter rozkładu bazowego, z którego pierwotnie pochodzą dane, wpływa na wszystkie parametry rozważanego modelu prawdopodobieństwa, stąd prezentowanych jest 6 możliwych zestawień (3 pary parametrów).

8 Pierwszy etap badania symulacyjnego W pierwszej kolejności analizie poddano stopień procentowego odchylania się wielkości estymatorów (są to dwa parametry dla rozkładu ) uzyskanych z wariantów estymacji: uciętego, naiwnego oraz cenzurowanego, w odniesieniu do wartości oszacowanych parametrów wariantu bazowego (estymowanego dla pełnych danych). Zestawienie to przedstawione jest na rys. 1-3 (z indeksami a oraz b, oznaczającymi zmiany w wielkościach oraz ) odpowiednio dla par: bazowy/ucięty, bazowy/naiwny, bazowy/cenzurowany. Określenie Odchylenia % (widoczne jako opis osi OZ na rys. 1-3) oznacza tu wielkość wyrażoną w procentach (np. wartość 10 oznacza, że nastąpiło 10-proc. odchylenie), wyznaczoną na podstawie przeprowadzonego badania symulacyjnego jako błąd MAPE (Mean Absolute Percentage Error) [Cieślak, 2005, s. 51]. Wielkością aktualną zawsze jest estymator rozkładu bazowego, natomiast wielkością porównywaną estymator jednego z trzech pozostałych wariantów estymacji. Rys. 1a. Różnice procentowe w wartości parametru. Porównanie: wariant bazowy do uciętego

9 Zastosowanie rozkładów uciętych i cenzurowanych Rys. 1b. Różnice procentowe w wartości parametru. Porównanie: wariant bazowy do uciętego Rys. 2a. Różnice procentowe w wartości parametru. Porównanie: wariant bazowy do naiwnego

10 118 Rys. 2b. Różnice procentowe w wartości parametru. Porównanie: wariant bazowy do naiwnego Rys. 3a. Różnice procentowe w wartości parametru. Porównanie: wariant bazowy do cenzurowanego

11 Zastosowanie rozkładów uciętych i cenzurowanych Rys. 3b. Różnice procentowe w wartości parametru. Porównanie: wariant bazowy do cenzurowanego Perspektywa rzutów na rys. 1-3 przedstawia układ, gdzie lewa oś płaszczyzny OXY dotyczy progu procentowego q, reprezentującego wpływ utraty odsetka najmniejszych obserwacji. Cenzurowanie lub ucinanie obserwacji oznacza oddalanie się od początku dla q 0 do wartości maksymalnego odrzucania przyjętego na poziomie 50%. Prawa oś płaszczyzny OXY dotyczy wartości parametru kształtu rozkładu, który reprezentuje przejście od cienkoogonowego rozkładu do gruboogonowego wraz ze zmierzaniem wartości od 2 0,5. Oś pionowa OZ określa wartości błędów MAPE. Porównując otrzymane wyniki, można dostrzec podobieństwo kształtu płaszczyzn pomiędzy różnymi wariantami estymacji w odniesieniu do wariantu bazowego w obrębie tych samych parametrów. Dla wyników dotyczących zmian pomiędzy estymatorami parametru można zauważyć brak wrażliwości ze względu na ogon rozkładu (brak znaczących interakcji wzdłuż prawej osi płaszczyzny OXY). Natomiast w odniesieniu do wpływu progu raportowania (wyrażonego jako wartość kwantyla q ) widać prawie liniową zależność pomiędzy poszczególnymi krokami dla lewej osi płaszczyzny OXY względem wartości procentowych z osi OZ. Podobieństwo wizualne płaszczyzn (rys. 1a, 2a, 3a) jest niezależne od wariantu porównania. Jedyny czynnik, który pozwala na podkreślenie różnic pomiędzy względnym

12 120 podobieństwem wyników jest skala osi OZ. Najmniejsze zmiany w odchyleniach parametrów dotyczą porównania estymacji na podstawie cenzurowanych danych w odniesieniu do estymacji pełnego zakresu danych (różnice nie przekraczają 4% por. rys 3a) i mają tendencję do wzrostu wraz ze zwiększającą się informacją o cenzurowaniu danych. W dalszej kolejności najkorzystniejsze (tj. najmniejsze) zmiany procentowe dotyczą rozwiązań opartych na wariancie uciętym estymacji (przy największej utracie informacji można spodziewać się odchyleń na poziomie 10% 15%). Najgorsze wyniki, tj. obarczone największą niepewnością co do stabilności wielkości uzyskanych estymatorów, dotyczą przypadku naiwnego, gdzie już przy utracie kilkunastu procent obserwacji można się spodziewać kilkuprocentowej różnicy w wielkościach estymatorów (w najgorszym rozważanym przypadku można zaobserwować ponad 80-proc. różnicę pomiędzy estymatorami uzyskanymi z wariantu bazowego). Analiza zmian procentowych dla parametru wygląda podobnie, tzn. płaszczyzny na rys. 1b, 2b, 3b wykazują podobieństwa. Zróżnicowanie widoczne jest podobnie jak dla parametru w zakresie osi OZ. W tym przypadku, w przeciwieństwie do wyników dla parametru, największych różnic można się spodziewać przy największej utracie informacji (q bliskie 50%), ale w połączeniu z gruboogonowym charakterem rozkładu dotkliwości. Gwałtownie rosnąca płaszczyzna w tylnej części prezentowanych perspektyw, wraz z oddalaniem się wartości na płaszczyźnie OXY od punktu 0, 2, oddaje charakter zjawiska. Podobnie jak wcześniej, uwzględnienie cenzurowania danych powoduje maksymalne odchylenia rzędu kilku procent w najbardziej skrajnych przypadkach. Kilkudziesięcioprocentowe odchylenia występują w przypadku wariantu uciętego, a w przypadku wariantu naiwnego różnice są ponad dwukrotne. Przykład ten pozwala zademonstrować, w jakim stopniu wybór progu raportowania w połączeniu ze zmianą koncepcji modelowania pełnego zakresu danych może oddziaływać na różnie warianty praktyczne. W tym znaczeniu wydaje się istotne podkreślenie, jakie możliwości stoją za zmianą koncepcji modelowania opartą o wariant cenzurowany. W odniesieniu do ryzyka operacyjnego, próg raportowania najczęściej nie stanowi bariery technologicznej. Możliwe jest rejestrowanie wszystkich strat. Najważniejszy aspekt praktyczny stojący za raportowaniem powyżej ustalonego progu związany jest z wymiarem ekonomicznym, w tym z zaangażowaniem pracowników w proces raportowania straty. W celu uniknięcia zbędnych procedur ograniczających skalę raportowania, można zaproponować raportowanie np. zbiorcze, w odniesieniu do zdarzeń poniżej określonego progu c w określo-

13 Zastosowanie rozkładów uciętych i cenzurowanych nych jednostkach czasu, tj. układzie tygodniowym czy miesięcznym. Uniknie się w tym przypadku konieczności pełnej rejestracji straty wraz z przypisaniem jej właściciela (działu czy jednostki organizacyjnej), natomiast sam agregat zliczający wystąpienia strat będzie pozwalał na dalszą obróbkę tych informacji, zarówno w wymiarze estymacji rozkładów dotkliwości, jak i uwzględnieniu tych informacji w procesie częstości występowania strat. Ponadto wprowadzenie cenzurowania jako możliwego wariantu w estymacji parametrów rozkładów dotkliwości może być wykorzystany w testach warunków skrajnych, których realizacja wynika częściowo z zapisów zawartych w dyrektywach BCBS [BIS, 2010, 2012, 2013]. Szczegółowe wyniki przeprowadzonych symulacji dostępne są w w tab. 1, gdzie przedstawiono także wartości średnie estymatorów wraz z wielkościami odchylenia standardowego. Wnioski, jakie można wyprowadzić na podstawie wyników poprzedniego etapu, zawarte w tab. 1, opisujące uśrednione wyniki badania symulacyjnego, wskazują, że przeciętne wielkości parametrów różnią się istotnie tylko i wyłącznie dla wariantu estymacji naiwnej. Nie oznacza to, że trzy pozostałe warianty estymacji są równoważne, bowiem można doszukać się istotnych różnic w średnich poziomach błędów standardowych estymatorów (por. wyniki z tab. 1 kolumna błędy standardowe ). W stosunku do wariantów estymacji uciętej oraz cenzurowanej wyniki te wykazują odmienne tendencje. Można wywnioskować, że praktycznie w każdym z przypadków estymacja danych uciętych wraz ze wzrostem progu raportowania i tym samym utratą pewnej części informacji powoduje wzrost średniego poziomu błędu estymatora w odniesieniu do wyników rozwiązania bazowego. W przypadku wariantu estymacji cenzurowanej można zauważyć jedynie niewielką zmianę w średnich wielkościach błędów, co z kolei może świadczyć o pewnej przewadze wariantu estymacji cenzurowanej nad estymacją uciętą. Do podobnych wniosków można dojść, analizując wyniki z tab. 2, zawierającej wielkości odchyleń standardowych dla poszczególnych zmiennych. Tendencje w poziomie zróżnicowania poszczególnych estymatorów parametrów wzrastają szczególnie intensywnie dla wariantów estymacji uciętej oraz naiwnej. W wariancie estymacji cenzurowanej można zauważyć niewielki wzrost poziomu zróżnicowania w odniesieniu do rozwiązania bazowego. Uzyskane wyniki pokazują, że wariant estymacji cenzurowanej jest w mniejszym zakresie obciążony zmiennością wyników w stosunku do wariantu estymacji uciętej, który stosowany jest często w praktyce, podobnie jak rozwiązanie naiwne. Pomimo że średnie wielkości parametrów modeli są na zbliżonych poziomach, wyniki badania symulacyjnego pokazują znaczące zróżnicowanie w poziomie

14 122 dyspersji tych parametrów dla różnych wariantów estymacji. Odnosząc te wyniki do praktycznych sytuacji, można przyjąć, że w razie dysponowania danymi uciętymi, różnice w wielkościach estymatorów pomiędzy wariantem estymacji uciętej a rzeczywistymi parametrami (choć w praktyce tak naprawdę nieznanymi) mogą być duże. W tym przypadku estymacja cenzurowana wykazuje znacznie silniejszą zbieżność parametrów w stosunku do rzeczywistych wartości. 2. Wpływ sposobu raportowania strat na wielkość ryzyka szacowanego metodą LDA Wyniki z pierwszego etapu badania, dotyczącego wpływu sposobu raportowania na estymatory parametrów rozkładu Weibulla dla różnych wariantów estymacji, w pewnym sensie ukierunkowują dalsze badanie. W celu pokazania skrajnych różnic pomiędzy czterema możliwymi wariantami estymacji można wybrać uśrednione wielkości rozwiązania bazowego (średnie wielkości z tab. 1) oraz naiwnego jako parametry wejściowe dla odpowiednich modeli LDA. Dwa pozostałe warianty będą zawierały się pomiędzy tymi przypadkami, gdzie wariant cenzurowania danych będzie bliższy rozwiązaniu bazowemu, a wariant ucinania danych będzie bliższy rozwiązaniu naiwnemu. Wyznaczając wielkości z modelu LDA, przyjęto, że wielkości opisujące częstość zjawiska, dane pierwotnie jako rozkład Poissona, będą odpowiednio zmniejszane dla tych modeli LDA, które odnoszą się do estymacji naiwnej o wielkości rzędów kwantyli. Jest to postępowanie prawidłowe, gdy przyjmie się założenie, że procesem częstości będzie jednorodny proces Poissona. Oznacza to, że jeśli określony wynik będzie dotyczył przypadku rzędu kwantyla, to w metodzie LDA pierwotna częstość będzie zastąpiona wielkością 1. Postępowanie takie wynika z własności rozkładu Poissona, w szczególności z twierdzeń, takich jak twierdzenie o dodawaniu oraz twierdzenie Rajkowa [Por. Fisz, 1969, s. 103 i 157; Shevchenko, 2011, s. 181]. Najważniejsze wyniki zbiorcze prezentowane są na rys Podobnie jak w przypadku rys. 1-3, tak i tu opis rzutów jest identyczny w zakresie płaszczyzny OXY. Natomiast wielkości osi OZ dotyczą odpowiednio wartości miary oraz zmian procentowych. Na rys. 4 oś OZ prezentuje wartości miary 0,999. Można zauważyć, że proces cenzurowania wyznacza precedens w określaniu wielkości ryzyka. Wraz z postępem utraty informacji, dochodzi do stopniowego niedoszacowania właściwego procesu, którego skala jest uzależniona od konkretnego wariantu. Dynamika tego niedoszacowania jest odmienna w zależności od charakteru rozkładu dotkliwości. Cienki ogon rozkładu dotkliwości powoduje

15 Zastosowanie rozkładów uciętych i cenzurowanych słaby, ale rozwojowy spadek wartości. W przypadku grubego ogona rozkładu dotkliwości największy spadek związany jest z początkową utratą informacji, która później zaczyna się stabilizować. Rys. 4. Wartości 0,999 przy założeniu wielkości parametrów dla procesu dotkliwości, jako średnie wielkości dla rozwiązania bazowego z tab. 1 Na rys. 5 oraz 6 została przedstawiona praktycznie ta sama informacja, co na rys. 4, tylko w układzie procentowym. Rysunki 5 oraz 6 są ekwiwalentne. Jedyna różnica polega na pokazaniu względnego (tj. procentowego) spadku jako wartości dodatnich w przypadku rys. 5 (odchylenia w górę od płaszczyzny OXY oznaczają odpowiedni spadek o tyle procent). Natomiast rys. 6 przedstawia odchylenie w dół, jako odchylenie od 100%. Pomimo przedstawienia na tych rysunkach w odmienny sposób tej samej informacji, to spojrzenie na problem z różnych perspektyw daje dodatkowe pojęcie o zjawisku. Na rys. 5 oraz 6 można zaobserwować, że pewną teoretyczną barierą jest parametr kształtu przyjmujący wartość osi OX 1. Jak już wspomniano wcześniej, przy takim parametrze rozkład Weibulla będzie w szczególności rozkładem wykładniczym, który oddziela granicę grubo- i cienkoogonowości. Wraz z oddalaniem się od granicy 1 stronę cienkiego ogona 1, można zauważyć intensyfikację niedoszacowania wielkości. W przypadku 0 zwiększająca się dynamika zauważalna jest na początku procesu wzrostu wartości poziomu raportowania.

16 124 Rys. 5. Procentowe odchylenia jako wartości dodatnie Rys. 6. Procentowe odchylenia od poziomu referencyjnego 100%

17 Zastosowanie rozkładów uciętych i cenzurowanych Podsumowanie Przeprowadzone badania symulacyjne dotyczyły dwóch aspektów. Pierwszy związany był bezpośrednio z weryfikacją skali zmienności parametrów rozkładu Weibulla, przy wykorzystaniu różnych koncepcji modelowych dotyczących estymacji jego parametrów. Badanie było motywowane względami praktycznymi związanymi z procesem raportowania i rejestracji strat w odniesieniu do procesów występujących w banku. Rozpatrzone podejścia pozwalają na jednoznaczne stwierdzenie, że proces ucinania danych ma istotne znaczenie w procesie estymacji parametrów ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa. Stosowanie podejścia naiwnego, niejednokrotnie wykorzystywanego w praktyce bankowej, nie pozwala na oszacowanie skali zjawiska w sposób wiarygodny. Ponadto w przypadku procesu ucinania danych znaczący wpływ na wielkości estymowanych parametrów będzie miał rzeczywisty procent traconych informacji. W sytuacji dysponowania w rzeczywistości pojedynczą realizacją szeregu wielkości strat, na podstawie którego estymowane są parametry, można oczekiwać znacznych rozbieżności w przypadku wysokich progów ucinania danych, w odniesieniu do rzeczywistego procesu, który tak naprawdę będzie nieznany (brakuje w procesie ucinania danych informacji o rzeczywistym odsetku odrzuconych informacji). Podejście wykorzystujące cenzurowanie informacji jest znacznie bardziej odporne na zmiany progu pełnego raportowania strat. Wiąże się to w praktyce ze zmianą koncepcji rejestrowania danych i przejścia z procesu ucinania na proces cenzurowania informacji. Co prawda, pełne rejestrowanie danych byłoby wyjściem idealnym, ponieważ pozwalałoby na całkowitą dowolność przy obróbce danych, jednak mogłoby się to wiązać ze zbyt rozbudowanym systemem raportowania strat. W tym kontekście proces cenzurowania pozwala w znacznym stopniu na zachowanie pierwotnych informacji, w rozsądnych granicach cenzurowania, o parametrach rozkładów, gdy znany jest prawdziwy rozkład generujący dane dotyczące dotkliwości zdarzeń. Należy podkreślić, że znajomość pierwotnego procesu generującego dane nie będzie dostępna w praktyce, a jedyną możliwością jest wybór właściwego rozkładu za pomocą odpowiednich testów statystycznych. Fakt ten stanowi dodatkowe utrudnienie w procesie budowy modeli dotyczących dotkliwości strat, jednak nie był on poruszany w niniejszym artykule. Głównym celem drugiego etapu badań jest weryfikacja, w jakim stopniu samo ucinanie danych wpływa na wielkości miary 0,999, przy założeniu stałych parametrów dla procesu dotkliwości. Z przedstawionych informacji wynika, że proces ucinania danych w istotny sposób zaburza wyniki nawet o kilka-

18 126 naście procent, szczególnie w odniesieniu do rozkładów gruboogonowych. W rozważanym przypadku są to rozkłady Weibulla z parametrem 1. Dla rozkładów cienkoogonowych wpływ ten nie ma tak gwałtownego przebiegu, co w konsekwencji stanowi mniejsze zagrożenie błędną oceną i niedoszacowaniem wielkości ryzyka w takim przypadku. Cenzurowanie danych wpływa zarówno na proces częstości, jak i proces dotkliwości. Podejście oparte na ucinaniu danych jest niebezpieczne przy rozkładach charakteryzujących się grubymi ogonami, bowiem wpływ zaniżenia częstości względem rzeczywistej liczby zdarzeń ma najbardziej destrukcyjny wpływ na wielkość szacowanego ryzyka. W połączeniu z błędnym sposobem estymacji rozkładów dotkliwości metodą naiwną, również skala pojedynczych strat będzie mocno zaburzona. Proces estymacji rozkładów dotkliwości, zakładający fakt ucinania danych, może poprawić w znacznym stopniu niedopasowanie dziedziny dotkliwości zdarzeń operacyjnych, wynikające z ograniczonej informacji. Jednak również w tym przypadku dziedzina częstości będzie niedoszacowana o zdarzenia tzw. high frequency-low severity, tj. zdarzenia o wysokiej częstości, a niskiej dotkliwości. Proces cenzurowania, jak pokazuje badanie symulacyjne, może w znacznym stopniu poprawić wiarygodność ocen parametrów w zakresie modelowania dotkliwości zdarzeń. Co najważniejsze, podejście oparte na cenzurowaniu danych, tj. w odniesieniu do modelowania ryzyka operacyjnego metodą LDA, daje pełną wiedzę na temat częstości zachodzących zjawisk. Zaproponowane podejście dotyczące zmiany sposobu rejestrowania strat o charakterze operacyjnym w banku musi być pogłębione pod kątem pewnych rozwiązań analitycznych. Kluczowy jest tu również aspekt dopasowywania rozkładów uciętych i cenzurowanych do danych rzeczywistych, w przypadku testowania oraz oceny dobroci dopasowania rozważanych rozkładów teoretycznych przedstawiających pewne hipotetyczne procesy generowania zdarzeń.

19 Zastosowanie rozkładów uciętych i cenzurowanych Tabela 1. Uśrednione wyniki symulacji Wartości parametrów Błędy standardowe Wartości bazowy ucięty naiwny cenzurowany bazowy ucięty naiwny cenzurowany ,501 4,006 0,501 4,006 0,501 4,006 0,501 4,006 0,028 0,596 0,028 0,596 0,028 0,596 0,028 0,596 0,504 4,050 0,504 4,052 0,562 4,868 0,504 4,050 0,027 0,585 0,035 0,660 0,030 0,649 0,028 0,586 0,503 4,013 0,505 4,033 0,606 5,603 0,503 4,014 0,026 0,567 0,040 0,725 0,032 0,697 0,027 0,569 0,501 4,044 0,505 4,100 0,646 6,483 0,501 4,041 0,026 0,560 0,044 0,817 0,034 0,764 0,027 0,565 0, ,032 0,505 4,064 0,684 7,307 0,502 4,034 0,025 0,546 0,048 0,906 0,036 0,821 0,028 0,554 0,503 4,039 0,508 4,113 0,724 8,248 0,503 4,041 0,025 0,535 0,053 1,015 0,039 0,886 0,028 0,546 0,503 4,037 0,510 4,167 0,764 9,297 0,503 4,032 0,024 0,524 0,058 1,140 0,041 0,963 0,028 0,539 0,502 4,004 0,508 4,126 0,804 10,400 0,502 4,007 0,024 0,512 0,063 1,277 0,044 1,045 0,029 0,532 0,503 4,015 0,513 4,227 0,848 11,679 0,503 4,015 0,023 0,503 0,069 1,444 0,047 1,138 0,029 0,529 0,503 4,034 0,515 4,318 0,893 13,148 0,504 4,036 0,023 0,496 0,075 1,642 0,050 1,248 0,030 0,531 0,502 4,024 0,511 4,277 0,935 14,838 0,501 4,016 0,023 0,488 0,083 1,863 0,054 1,389 0,031 0,535 0,756 4,031 0,756 4,031 0,756 4,031 0,756 4,031 0,042 0,397 0,042 0,397 0,042 0,397 0,042 0,397 0,753 3,994 0,754 3,999 0,842 4,530 0,752 3,992 0,041 0,386 0,053 0,437 0,045 0,404 0,041 0,387 0,756 4,013 0,759 4,016 0,910 5,005 0,756 4,014 0,040 0,377 0,060 0,483 0,049 0,415 0,041 0,379 0,756 3,989 0,758 3,986 0,971 5,441 0,756 3,990 0,039 0,367 0,066 0,535 0,052 0,426 0,041 0,370 0,754 4,028 0,758 4,030 1,027 5,972 0,755 4,028 0,038 0,363 0,072 0,604 0,055 0,446 0,041 0, ,754 4,010 0,762 4,050 1,088 6,471 0,754 4,008 0,037 0,355 0,079 0,676 0,058 0,463 0,042 0,362 0,755 4,021 0,760 4,027 1,144 6,989 0,755 4,022 0,037 0,348 0,086 0,759 0,061 0,483 0,042 0,358 0,754 4,000 0,766 4,063 1,209 7,548 0,755 4,002 0,036 0,340 0,094 0,854 0,066 0,503 0,043 0,354 0,753 4,008 0,759 4,011 1,266 8,155 0,754 4,007 0,035 0,335 0,103 0,968 0,070 0,531 0,044 0,353 0,753 4,001 0,767 4,086 1,337 8,827 0,754 3,999 0,035 0,329 0,113 1,094 0,075 0,560 0,045 0,353 0,754 4,016 0,770 4,126 1,409 9,564 0,754 4,011 0,034 0,324 0,124 1,244 0,081 0,594 0,046 0,356 1,004 4,014 1,004 4,014 1,004 4,014 1,004 4,014 0,055 0,298 0,055 0,298 0,055 0,298 0,055 0,298 1,007 3,993 1,008 3,989 1,124 4,380 1,006 3,992 0,054 0,289 0,070 0,327 0,061 0,292 0,055 0,289 1,007 4,000 1,015 4,015 1,216 4,732 1,007 3,998 0,053 0,282 0,080 0,361 0,065 0,294 0,055 0, ,006 4,001 1,010 3,998 1,293 5,055 1,005 3,999 0,052 0,277 0,088 0,405 0,069 0,297 0,055 0,279 1,004 4,001 1,012 4,013 1,370 5,395 1,004 3,998 0,051 0,271 0,097 0,453 0,073 0,303 0,055 0,275 1,007 4,001 1,017 4,016 1,451 5,717 1,008 4,002 0,050 0,265 0,106 0,506 0,077 0,306 0,056 0,270 1,005 3,987 1,015 3,995 1,528 6,059 1,006 3,985 0,049 0,259 0,115 0,572 0,082 0,314 0,056 0,267

20 128 cd. tabeli ,005 1,006 1,006 1,007 1,258 1,259 1,259 1,259 1, ,257 1,257 1,259 1,259 1,259 1,257 1,509 1,511 1,507 1,510 1, ,507 1,508 1,510 1,504 1,508 1,506 1,764 1,762 1, ,761 1,762 1, ,994 1,019 4,005 1,611 6,427 1,006 3,995 0,048 0,255 0,126 0,644 0,087 0,322 0,057 0,265 3,989 1,028 4,041 1,700 6,813 1,007 3,989 0,047 0,250 0,138 0,724 0,094 0,331 0,059 0,263 3,999 1,024 4,020 1,786 7,222 1,008 3,997 0,046 0,246 0,151 0,826 0,100 0,343 0,060 0,264 4,004 1,032 4,064 1,882 7,675 1,007 4,002 0,045 0,242 0,166 0,938 0,109 0,357 0,062 0,266 4,003 1,258 4,003 1,258 4,003 1,258 4,003 0,069 0,237 0,069 0,237 0,069 0,237 0,069 0,237 4,003 1,261 4,002 1,406 4,311 1,258 4,002 0,068 0,231 0,088 0,262 0,076 0,230 0,069 0,232 4,008 1,258 3,995 1,511 4,573 1,258 4,007 0,066 0,227 0,099 0,291 0,081 0,228 0,069 0,228 4,001 1,264 3,997 1,616 4,821 1,260 4,001 0,065 0,221 0,110 0,323 0,086 0,227 0,069 0,223 4,004 1,263 4,007 1,711 5,086 1,254 4,004 0,063 0,217 0,121 0,364 0,091 0,228 0,069 0,220 3,986 1,264 3,975 1,811 5,309 1,258 3,986 0,062 0,211 0,132 0,408 0,096 0,228 0,070 0,216 4,002 1,271 4,005 1,911 5,583 1,260 4,004 0,061 0,208 0,144 0,458 0,102 0,231 0,071 0,214 3,997 1,280 4,024 2,017 5,849 1,258 3,994 0,060 0,204 0,157 0,515 0,110 0,234 0,072 0,212 4,010 1,280 4,016 2,117 6,134 1,260 4,008 0,059 0,201 0,171 0,585 0,117 0,239 0,073 0,211 4,013 1,280 4,020 2,228 6,428 1,261 4,014 0,058 0,197 0,188 0,665 0,125 0,244 0,075 0,212 4,005 1,284 4,022 2,347 6,742 1,258 4,003 0,057 0,194 0,207 0,761 0,135 0,251 0,077 0,213 3,998 1,509 3,998 1,509 3,998 1,509 3,998 0,083 0,198 0,083 0,198 0,083 0,198 0,083 0,198 4,003 1,516 4,004 1,689 4,259 1,511 4,003 0,081 0,193 0,105 0,218 0,091 0,189 0,083 0,193 3,989 1,518 3,995 1,820 4,465 1,507 3,988 0,079 0,188 0,119 0,242 0,097 0,185 0,082 0,189 3,995 1,519 3,996 1,942 4,670 1,511 3,995 0,078 0,184 0,132 0,270 0,103 0,183 0,083 0,186 3,983 1,514 3,976 2,055 4,864 1,506 3,982 0,076 0,180 0,145 0,304 0,109 0,182 0,083 0,183 4,010 1,517 4,001 2,168 5,087 1,509 4,011 0,074 0,177 0,158 0,342 0,115 0,182 0,083 0,181 3,995 1,514 3,973 2,286 5,275 1,508 3,993 0,073 0,173 0,173 0,387 0,122 0,182 0,084 0,178 4,001 1,516 3,977 2,407 5,488 1,510 3,998 0,072 0,170 0,188 0,438 0,130 0,184 0,086 0,177 3,998 1,520 3,989 2,531 5,716 1,505 3,997 0,070 0,168 0,206 0,497 0,140 0,186 0,088 0,177 4,006 1,546 4,032 2,677 5,944 1,510 4,005 0,069 0,164 0,226 0,554 0,150 0,188 0,090 0,176 3,982 1,540 3,977 2,822 6,159 1,511 3,984 0,068 0,161 0,250 0,642 0,163 0,191 0,093 0,177 3,996 1,764 3,996 1,764 3,996 1,764 3,996 0,097 0,169 0,097 0,169 0,097 0,169 0,097 0,169 3,999 1,767 3,999 1,969 4,217 1,762 3,998 0,095 0,165 0,123 0,187 0,106 0,161 0,097 0,166 4,006 1,766 4,002 2,119 4,404 1,761 4,005 0,093 0,162 0,139 0,208 0,113 0,157 0,096 0,163 4,001 1,773 4,006 2,263 4,576 1,760 4,000 0,091 0,158 0,154 0,231 0,120 0,154 0,096 0,159 3,994 1,768 3,986 2,399 4,733 1,762 3,993 0,089 0,154 0,169 0,261 0,127 0,152 0,097 0,156 3,997 1,768 3,984 2,531 4,905 1,759 3,997 0,087 0,152 0,185 0,294 0,135 0,151 0,097 0,155

21 Zastosowanie rozkładów uciętych i cenzurowanych cd. tabeli ,762 4,008 1,781 4,008 2,674 5,083 1,762 4,007 0,085 0,149 0,201 0,329 0,143 0,150 0,099 0,153 1,761 4,001 1,777 3,985 2,814 5,247 1,763 4,000 0,084 0,146 0,220 0,375 0,153 0,150 0,100 0,152 1,756 4,003 1,785 4,006 2,960 5,433 1,759 4,003 0,082 0,144 0,240 0,423 0,163 0,151 0,102 0,151 1,758 3,998 1,804 4,021 3,126 5,612 1,762 3,999 0,081 0,141 0,264 0,477 0,176 0,152 0,105 0,151 1,762 3,993 1,805 4,003 3,297 5,796 1,764 3,991 0,079 0,138 0,292 0,549 0,190 0,154 0,109 0,152 2,013 3,997 2,013 3,997 2,013 3,997 2,013 3,997 0,111 0,148 0,111 0,148 0,111 0,148 0,111 0,148 2,015 3,998 2,017 3,995 2,249 4,186 2,016 3,998 0,109 0,144 0,140 0,164 0,121 0,140 0,110 0,145 2,013 4,005 2,017 4,000 2,422 4,351 2,014 4,005 0,106 0,142 0,159 0,182 0,129 0,136 0,110 0,142 2,011 3,993 2,015 3,985 2,581 4,489 2,011 3,993 0,103 0,138 0,176 0,204 0,137 0,132 0,110 0,139 2,010 4,001 2,027 4,002 2,743 4,645 2,009 4,000 0,101 0,136 0,194 0,228 0,146 0,130 0,110 0, ,011 3,994 2,028 3,991 2,899 4,778 2,014 3,995 0,099 0,132 0,211 0,256 0,154 0,128 0,111 0,135 2,010 4,001 2,026 3,997 3,050 4,930 2,010 4,000 0,097 0,130 0,230 0,290 0,164 0,128 0,113 0,134 2,011 4,007 2,040 4,007 3,219 5,080 2,013 4,006 0,096 0,128 0,251 0,327 0,175 0,127 0,115 0,133 2,011 3,998 2,031 3,980 3,383 5,220 2,011 3,996 0,094 0,125 0,275 0,375 0,187 0,127 0,117 0,132 2,005 3,996 2,050 4,002 3,564 5,383 2,006 3,994 0,092 0,123 0,301 0,424 0,201 0,128 0,120 0,133 2,007 4,001 2,073 4,022 3,765 5,545 2,013 4,002 0,091 0,121 0,332 0,480 0,217 0,129 0,124 0,133 Tabela 2. Wartości odchyleń standardowych dla poszczególnych paramterów Wartości parametrów Błędy standardowe Wartości bazowy ucięty naiwny cenzurowany bazowy ucięty naiwny cenzurowany ,0269 0,5838 0,0268 0,5841 0,0269 0,5838 0,0269 0,5838 0,0015 0,0832 0,0015 0,0832 0,0015 0,0832 0,0015 0,0832 0,0274 0,5886 0,0354 0,6675 0,0285 0,6645 0,0277 0,5901 0,0015 0,0825 0,0015 0,0921 0,0018 0,0919 0,0015 0,0826 0,0271 0,5672 0,0401 0,7114 0,0306 0,6885 0,0280 0,5685 0,0015 0,0756 0,0017 0,0930 0,0020 0,0931 0,0015 0,0757 0,0260 0,5557 0,0432 0,7956 0,0324 0,7628 0,0278 0,5566 0,0014 0,0731 0,0019 0,1020 0,0021 0,1019 0,0014 0,0733 tau = 0.5 0,0252 0,5413 0,0481 0,8969 0,0357 0,8211 0,0272 0,5508 0,0013 0,0703 0,0022 0,1081 0,0024 0,1082 0,0013 0,0711 0,0243 0,5438 0,0510 0,9886 0,0378 0,8931 0,0273 0,5530 0,0012 0,0680 0,0025 0,1190 0,0026 0,1157 0,0013 0,0688 0,0248 0,5117 0,0584 1,1656 0,0433 0,9880 0,0284 0,5242 0,0013 0,0632 0,0028 0,1402 0,0030 0,1281 0,0014 0,0641 0,0238 0,5000 0,0641 1,3085 0,0477 1,0377 0,0282 0,5285 0,0012 0,0607 0,0033 0,1499 0,0033 0,1357 0,0014 0,0629 0,0246 0,5315 0,0680 1,4398 0,0527 1,2127 0,0306 0,5658 0,0012 0,0633 0,0040 0,1832 0,0037 0,1618 0,0014 0,0659

22 130 cd. tabeli ,0231 0,5107 0,0748 1,6196 0,0592 1,3135 0,0306 0,5471 0,0011 0,0598 0,0047 0,2267 0,0044 0,1769 0,0015 0,0603 0,0225 0,4682 0,0809 1,8161 0,0644 1,3406 0,0302 0,5143 0,0010 0,0532 0,0053 0,2858 0,0049 0,1892 0,0015 0,0538 tau = 0.75 tau = 1 tau = ,0421 0,0403 0,0396 0,0392 0,0387 0,0385 0,0358 0,0346 0,0351 0,0345 0,0344 0,0550 0,0537 0,0542 0,0500 0,0504 0,0502 0,0486 0,0469 0,0495 0,0454 0,0437 0,0720 0,0665 0,0674 0,0671 0,0646 0,0639 0,0593 0,0585 0,4039 0,0421 0,4039 0,0421 0,4039 0,0421 0,4039 0,0024 0,0380 0,0024 0,0380 0,0024 0,0380 0,0024 0,0380 0,3851 0,0510 0,4311 0,0407 0,3976 0,0411 0,3861 0,0022 0,0354 0,0021 0,0401 0,0025 0,0378 0,0022 0,0355 0,3806 0,0600 0,4803 0,0454 0,4118 0,0410 0,3811 0,0022 0,0345 0,0026 0,0450 0,0029 0,0397 0,0021 0,0347 0,3672 0,0662 0,5269 0,0494 0,4246 0,0410 0,3692 0,0021 0,0331 0,0029 0,0507 0,0032 0,0416 0,0021 0,0333 0,3805 0,0704 0,5849 0,0527 0,4509 0,0422 0,3862 0,0020 0,0329 0,0034 0,0580 0,0035 0,0444 0,0020 0,0331 0,3552 0,0791 0,6749 0,0588 0,4722 0,0425 0,3617 0,0020 0,0308 0,0038 0,0662 0,0040 0,0472 0,0020 0,0311 0,3542 0,0858 0,7445 0,0644 0,4864 0,0416 0,3664 0,0018 0,0300 0,0045 0,0740 0,0045 0,0487 0,0020 0,0309 0,3512 0,0924 0,8332 0,0700 0,5095 0,0418 0,3707 0,0017 0,0291 0,0051 0,0835 0,0049 0,0513 0,0020 0,0301 0,3429 0,1020 0,9632 0,0785 0,5365 0,0424 0,3596 0,0017 0,0278 0,0059 0,0905 0,0057 0,0557 0,0021 0,0281 0,3387 0,1126 1,1300 0,0860 0,6094 0,0437 0,3650 0,0016 0,0281 0,0070 0,1046 0,0065 0,0614 0,0021 0,0283 0,3358 0,1249 1,2453 0,1004 0,6175 0,0469 0,3688 0,0016 0,0261 0,0083 0,1249 0,0076 0,0688 0,0024 0,0262 0,3003 0,0550 0,3003 0,0550 0,3003 0,0550 0,3003 0,0032 0,0234 0,0032 0,0234 0,0032 0,0234 0,0032 0,0234 0,2905 0,0693 0,3244 0,0556 0,2908 0,0544 0,2907 0,0031 0,0216 0,0030 0,0264 0,0035 0,0227 0,0030 0,0217 0,2831 0,0819 0,3664 0,0625 0,2967 0,0565 0,2852 0,0030 0,0208 0,0034 0,0323 0,0040 0,0237 0,0030 0,0210 0,2840 0,0904 0,4128 0,0673 0,3036 0,0536 0,2848 0,0027 0,0202 0,0040 0,0398 0,0044 0,0245 0,0028 0,0206 0,2771 0,0965 0,4720 0,0704 0,3122 0,0544 0,2812 0,0026 0,0191 0,0044 0,0463 0,0048 0,0247 0,0027 0,0194 0,2745 0,1020 0,4829 0,0772 0,3093 0,0569 0,2779 0,0026 0,0184 0,0051 0,0571 0,0052 0,0264 0,0027 0,0190 0,2632 0,1147 0,5830 0,0856 0,3317 0,0575 0,2723 0,0025 0,0182 0,0058 0,0695 0,0058 0,0281 0,0027 0,0189 0,2462 0,1336 0,6669 0,1000 0,3128 0,0561 0,2578 0,0023 0,0164 0,0069 0,0861 0,0070 0,0292 0,0028 0,0174 0,2633 0,1458 0,7621 0,1119 0,3596 0,0610 0,2780 0,0024 0,0175 0,0082 0,1018 0,0079 0,0333 0,0030 0,0183 0,2546 0,1548 0,8316 0,1199 0,3553 0,0595 0,2696 0,0022 0,0162 0,0092 0,1163 0,0087 0,0340 0,0030 0,0171 0,2346 0,1713 0,9345 0,1355 0,3582 0,0605 0,2595 0,0021 0,0152 0,0108 0,1379 0,0101 0,0365 0,0032 0,0162 0,2526 0,0720 0,2526 0,0720 0,2526 0,0720 0,2526 0,0041 0,0161 0,0041 0,0161 0,0041 0,0161 0,0041 0,0161 0,2311 0,0863 0,2649 0,0688 0,2325 0,0678 0,2312 0,0037 0,0148 0,0035 0,0198 0,0043 0,0155 0,0037 0,0150 0,2273 0,1008 0,2856 0,0768 0,2240 0,0695 0,2290 0,0037 0,0144 0,0042 0,0266 0,0049 0,0161 0,0037 0,0145 0,2175 0,1088 0,3202 0,0810 0,2289 0,0719 0,2192 0,0036 0,0139 0,0046 0,0337 0,0052 0,0170 0,0036 0,0144 0,2153 0,1232 0,3664 0,0910 0,2172 0,0705 0,2190 0,0034 0,0125 0,0056 0,0435 0,0061 0,0169 0,0035 0,0131 0,2132 0,1321 0,3955 0,0994 0,2243 0,0702 0,2165 0,0032 0,0126 0,0066 0,0533 0,0069 0,0178 0,0034 0,0132 0,2017 0,1427 0,4537 0,1076 0,2344 0,0701 0,2107 0,0030 0,0123 0,0072 0,0653 0,0074 0,0186 0,0034 0,0131 0,1973 0,1543 0,5081 0,1163 0,2363 0,0705 0,2060 0,0029 0,0117 0,0083 0,0785 0,0082 0,0192 0,0033 0,0126

23 Zastosowanie rozkładów uciętych i cenzurowanych cd. tabeli ,0608 0,1921 0,1822 0,6014 0,1411 0,2407 0,0756 0,2075 0,0030 0,0114 0,0101 0,1005 0,0101 0,0218 0,0037 0,0126 tau = 1.5 tau = 1.75 tau = 2 0,0588 0,0588 0,0874 0,0823 0,0779 0,0784 0,0763 0,0751 0,0739 0,0705 0,0700 0,0706 0,0677 0,0995 0,0958 0,0903 0,0885 0,0901 0,0834 0,0855 0,0851 0,0816 0,0816 0,0807 0,1091 0,1111 0,1069 0,1018 0,0989 0,0961 0,0970 0,1947 0,1875 0,6532 0,1510 0,2513 0,0748 0,2039 0,0028 0,0110 0,0117 0,1136 0,0112 0,0228 0,0038 0,0126 0,1928 0,2103 0,7478 0,1695 0,2585 0,0795 0,2112 0,0028 0,0107 0,0135 0,1404 0,0127 0,0251 0,0041 0,0126 0,2044 0,0874 0,2044 0,0874 0,2044 0,0874 0,2044 0,0050 0,0125 0,0050 0,0125 0,0050 0,0125 0,0050 0,0125 0,1869 0,1082 0,2169 0,0864 0,1872 0,0833 0,1868 0,0045 0,0117 0,0044 0,0173 0,0053 0,0121 0,0045 0,0118 0,1879 0,1206 0,2386 0,0918 0,1833 0,0806 0,1889 0,0043 0,0109 0,0051 0,0226 0,0059 0,0120 0,0043 0,0111 0,1796 0,1307 0,2623 0,0978 0,1810 0,0831 0,1808 0,0042 0,0105 0,0057 0,0293 0,0063 0,0123 0,0042 0,0109 0,1802 0,1506 0,3078 0,1124 0,1826 0,0858 0,1828 0,0041 0,0101 0,0068 0,0403 0,0074 0,0132 0,0043 0,0108 0,1820 0,1592 0,3406 0,1183 0,1843 0,0843 0,1850 0,0039 0,0097 0,0077 0,0497 0,0079 0,0135 0,0041 0,0105 0,1774 0,1737 0,3984 0,1324 0,1919 0,0852 0,1819 0,0037 0,0096 0,0091 0,0622 0,0094 0,0141 0,0041 0,0105 0,1743 0,1832 0,4416 0,1356 0,1891 0,0882 0,1840 0,0035 0,0088 0,0097 0,0756 0,0094 0,0142 0,0040 0,0101 0,1684 0,2005 0,4771 0,1571 0,1871 0,0869 0,1782 0,0034 0,0087 0,0118 0,0910 0,0113 0,0154 0,0042 0,0100 0,1626 0,2299 0,5577 0,1771 0,1881 0,0889 0,1780 0,0033 0,0085 0,0134 0,1145 0,0128 0,0161 0,0044 0,0099 0,1607 0,2627 0,6609 0,2063 0,1909 0,0929 0,1792 0,0032 0,0081 0,0166 0,1425 0,0157 0,0177 0,0048 0,0100 0,1709 0,0995 0,1709 0,0995 0,1709 0,0995 0,1709 0,0058 0,0099 0,0058 0,0099 0,0058 0,0099 0,0058 0,0099 0,1685 0,1217 0,1897 0,0982 0,1658 0,0973 0,1685 0,0054 0,0097 0,0053 0,0145 0,0062 0,0099 0,0053 0,0098 0,1594 0,1382 0,2086 0,1050 0,1555 0,0934 0,1599 0,0050 0,0086 0,0060 0,0197 0,0069 0,0094 0,0050 0,0089 0,1550 0,1498 0,2172 0,1133 0,1499 0,0924 0,1547 0,0047 0,0085 0,0068 0,0262 0,0075 0,0099 0,0047 0,0089 0,1578 0,1672 0,2574 0,1246 0,1562 0,0987 0,1606 0,0047 0,0083 0,0077 0,0345 0,0082 0,0103 0,0048 0,0089 0,1514 0,1899 0,3026 0,1403 0,1503 0,0944 0,1558 0,0044 0,0077 0,0090 0,0466 0,0095 0,0105 0,0047 0,0083 0,1536 0,2020 0,3199 0,1538 0,1530 0,0993 0,1595 0,0043 0,0078 0,0106 0,0564 0,0105 0,0112 0,0048 0,0086 0,1487 0,2260 0,3861 0,1722 0,1576 0,1049 0,1540 0,0043 0,0074 0,0120 0,0737 0,0119 0,0120 0,0050 0,0088 0,1424 0,2375 0,4171 0,1839 0,1605 0,1011 0,1517 0,0039 0,0075 0,0138 0,0856 0,0132 0,0122 0,0049 0,0087 0,1427 0,2642 0,4690 0,2132 0,1568 0,1063 0,1522 0,0039 0,0068 0,0169 0,1039 0,0160 0,0131 0,0053 0,0087 0,1376 0,2878 0,5344 0,2369 0,1568 0,1097 0,1511 0,0038 0,0067 0,0196 0,1315 0,0179 0,0140 0,0057 0,0089 0,1495 0,1091 0,1495 0,1091 0,1495 0,1091 0,1495 0,0064 0,0086 0,0064 0,0086 0,0064 0,0086 0,0064 0,0086 0,1491 0,1387 0,1674 0,1105 0,1426 0,1118 0,1486 0,0061 0,0079 0,0058 0,0127 0,0068 0,0079 0,0060 0,0080 0,1412 0,1626 0,1879 0,1222 0,1365 0,1110 0,1416 0,0058 0,0074 0,0066 0,0186 0,0077 0,0080 0,0058 0,0078 0,1329 0,1701 0,1937 0,1269 0,1262 0,1056 0,1335 0,0054 0,0070 0,0075 0,0241 0,0083 0,0079 0,0054 0,0073 0,1339 0,1969 0,2368 0,1437 0,1313 0,1091 0,1365 0,0053 0,0068 0,0088 0,0335 0,0096 0,0084 0,0054 0,0074 0,1384 0,2072 0,2575 0,1540 0,1331 0,1083 0,1411 0,0049 0,0066 0,0104 0,0409 0,0106 0,0085 0,0052 0,0073 0,1300 0,2160 0,2773 0,1635 0,1280 0,1130 0,1339 0,0048 0,0063 0,0114 0,0499 0,0114 0,0088 0,0052 0,0073

24 132 cd. tabeli ,0965 0,1260 0,2553 0,3365 0,1908 0,1298 0,1156 0,1305 0,0048 0,0061 0,0134 0,0678 0,0133 0,0095 0,0055 0,0074 0,0938 0,0882 0,0883 0,1225 0,2731 0,3730 0,2102 0,1281 0,1171 0,1302 0,0046 0,0059 0,0158 0,0824 0,0153 0,0099 0,0056 0,0074 0,1170 0,3055 0,4314 0,2365 0,1300 0,1194 0,1278 0,0042 0,0056 0,0179 0,1044 0,0171 0,0106 0,0059 0,0076 0,1191 0,3400 0,4930 0,2603 0,1307 0,1188 0,1313 0,0041 0,0055 0,0211 0,1278 0,0199 0,0108 0,0061 0,0075