Niepewność wartości parametrów przy wycenie nieproporcjonalnych kontraktów reasekuracyjnych.

Transkrypt

1 Niepewność wartości parametrów przy wycenie nieproporcjonalnych kontraktów reasekuracyjnych. Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne Teoria i Praktyka, Warszawa 9-11 czerwca 2008 Jakub Borowicz

2 Przegląd prezentacji Wstęp Niepewność wartości parametrów Umowa nadwyżki szkody (excess of loss) Model ryzyka łączonego do kalkulacji składki Niepewność wartości składki i jej rozkład Wyniki końcowe

3 Wstęp Do modeli aktuarialnych estymujemy parametry z ograniczonej liczby danych ponieważ często mamy zbyt mały odcinek czasu w którym je obserwujemy. Wahanie danych sprawia, że estymacja jest mniej pewna. Okres w którym zebraliśmy dane może nie zawierać wszystkich zdarzeń, które powinny być odzwierciedlone w parametrach rozkładów. Dane mogą być zanieczyszczone. Obserwowana populacja może różnić się od populacji którą ubezpieczamy.

4 Wstęp ( ) and therefore some prudence is expected to be included in the estimate in order to cover model and parameter uncertainties. [Solvency II QIS3 Technical Specifications, str 45.] ( ) parameters themselves may not be fixed and might follow their own distribution. Sophisticated ICAs will therefore include some allowance for parameter uncertainty. [Lloyds 2006 ICA Guidance and Instructions]

5 Niepewność Wartości Parametrów (NWP) Wygenerujmy losowo 2 próby z rozkładu Poissona z parametrem λ = 4: Średnia Na podstawie tych prób: w pierwszym przypadku estymacja metodą największej wiarygodności dałaby: λ MLE = 4.25 w drugim: λ MLE = 4.75 Po wymiernej próbie nie jesteśmy w stanie oszacować prawdziwego parametru!

6 Szacowanie NWP Klasyczna Statystyka Asymptotyczna normalność estymatorów największej wiarygodności Bootstrapping Losujemy z powtórzeniami pseudo-próby z próby Do każdej pseudo-próby dopasowujemy parametry Statystyka Bayes owska Używając twierdzenia Bayes a do oszacowania rozkładu prawdopodobieństwa parametrów a posteriori mając dane i przekonania a priori.

7 Klasyczna Statystyka Asymptotyczny rozkład estymatorów największej wiarygodności: Niech n wtedy estymator dąży do wielowymiarowego rozkładu normalnego, z parametrami: Średnią θ I macierzą wariancji-kowariancji: 2 l E 2 θ W przypadku rozkładu Poissona, mamy: ˆ λ λ N λ, n θˆ 1

8 Bootstrapping Oryginalna Próba Średnia Sim Bootstrapping Średnia

9 Statystyka Bayes owska (1/2) Używając twierdzenia Bayes a, mając do dyspozycji dane i rozkład prawdopodobieństwa parametrów a priori wyznaczamy rozkład a posteriori: p( y θ ) p( θ ) p( θ y) = p y ( ) ( ) Skoro p y θ jest zwykłą funkcją wiarygodności a jest stałą, możemy zapisać rozkład a posteriori, jako: p( y ) co oznacza: ( θ ) ( θ) ( θ) p y p y p rozkład a posteriori wiarygodność rozkład a priori

10 Statystyka Bayes owska (2/2) Mając dany rozkład jednostajny a priori poprzednie równanie skraca się do: ( θ ) ( θ ) p y p y p ( θ ) = cst Dla rozkładu Poissona, można udowodnić, że: ( λ ) p y Gamma Gdzie: 1 E[ λ y] = yi + 1 n i 1 Var ( λ y ) = y i n i

11

12 Umowa nadwyżki szkody (1/3) Reasekuracja nieproporcjonalna Podział zobowiązań następuje w odniesieniu do wysokości ewentualnych roszczeń Reasekurator pokrywa określony przedział wielkości szkód: przerastający zachowek cedenta czyli udział własny zakładu ubezpieczeń aż do wysokości limitu pokrycia reasekuracyjnego czyli pojemności

13 Umowa nadwyżki szkody (2/3) Istnieją dwie formy pokrycia: nadwyżki liczonej w stosunku do ryzyka nadwyżki liczonej w stosunku do zdarzenia Z góry też ustalane są dodatkowe warunki: franczyza zagregowana (aggregate deductible) nieograniczona liczba wznowień (unlimited reinstatements) lub liczba wznowień płatnych / bezpłatnych

14 Umowa nadwyżki szkody (3/3) Wysokość szkody w tys. Przykład : (1M xs 1M) z nieograniczona liczba wznowień limit pokrycia pojemność = zachowek cedenta = Szkody

15 Umowa nadwyżki szkody (3/3) Wysokość szkody w tys. Przykład : (1M xs 1M) z nieograniczona liczba wznowień i franczyza zagregowana 1M limit pokrycia pojemność = zachowek cedenta = Szkody

16 Umowa nadwyżki szkody (3/3) Wysokość szkody w tys. Przykład : (1M xs 1M) z 1 wznowieniem bezpłatnym limit pokrycia pojemność = zachowek cedenta = Szkody

17 Jak wyliczyć składkę (1/3) Metody Exposure Rating benczmarki współczynniki increased limits ISO Metody Experience Rating metody burning cost model ryzyka łączonego Połączenie obydwu metod i opinii underwriterów

18 Jak wyliczyć składkę (2/3) Rok Liczba Szkody powyżej 500tys. (wartość ostateczna*) w tys Brak danych * Zakładamy że szkody zawierają IBNER i wyrażone są (uwzględniając inflację szkodowości) w dzisiejszej skali pieniądza. W dalszym przykładzie nie bierzemy pod uwagę IBNR ow

19 Jak wyliczyć składkę (2/3) Rok Liczba Szkody powyżej 500tys. (wartość ostateczna) w tys Brak danych Składka nieobciążona (1M xs 1M) z nieograniczonymi wznowieniami metoda burning cost = = = 267,8 5 5

20 Jak wyliczyć składkę (3/3) Metoda burning cost może zaniżyć cenę umowy reasekuracyjnej kiedy mamy malo danych co zrobić jeśli żadna z historycznych szkód nie przekroczyła franczyzy? Kalkulacja składki przy użyciu modelu ryzyka łączonego : daje więcej możliwości (możemy wyliczyć cenę warstwy umowy reasekuracyjnej która historycznie nie została użyta) trzeba też wziąć pod uwagę, że mamy do czynienia z ograniczoną ilością danych - oszacowanie niepewności wartości parametrów pozwoli nam na formalne oszacowanie błędu naszej wyceny

21 Model ryzyka łączonego (1/3) Model gdzie szkoda zagregowana (S), modelowana jest jako suma N dużych indywidualnych szkód (X i ) : = N S X i = 1 i X i są od siebie niezależne i są niezależne od N Dla przykładu wybieramy bardzo klasyczne rozkłady: X i ~ uogólniony rozkład Pareto (GPD) N ~ rozkład Poissona σ FX i x x ξ ( ) = 1 1+ ( τ ) 1 ξ σ parametr skali ξ parametr ksztaltu τ prog

22 Model ryzyka łączonego (2/3) Jeśli mamy Poisson/GPD dla pewnego τ, N = 3 N = 4 N = 0 N = 2

23 Model ryzyka łączonego (2/3) Jeśli mamy Poisson/GPD dla pewnego τ, to podwyższając τ mamy dalej Poisson/GPD N = 3 N = 4 N = 0 N = 2

24 Model ryzyka łączonego (3/3) Jeśli mamy Poisson/GPD dla pewnego τ, to podwyższając τ mamy dalej Poisson/GPD (z innymi parametrami) N = 1 N = 4 N = 0 N = 2

25 Model ryzyka łączonego (3/3) Estymacja metoda największej wiarygodności dla naszego przykładu : Rok Liczba Odszkodowania powyżej 500tys (wartość ostateczna) w tys Brak danych!

26 Model ryzyka łączonego (3/3) Estymacja metoda największej wiarygodności dla naszego przykładu : Mając te Rok Liczba Częstość: parametry 1998 składka za 1999 ˆ 20 λ (1M xs 1M) MLE = x = = da się Parametry GPD: 2002 policzyć analitycznie ˆ σ ˆ ξ MLE MLE τ = = 250,8 = 0, Składka nieobciążona P = 358

27 Model ryzyka łączonego (3/3) Estymacja metoda największej wiarygodności dla innego przykładu : Rok Liczba Szkody powyżej 500tys. (wartość ostateczna) w tys Brak danych

28 Model ryzyka łączonego (3/3) Estymacja metoda największej wiarygodności dla innego przykładu : Rok Liczba Szkody powyżej 500tys. (wartość ostateczna) w tys

29 Model ryzyka łączonego (3/3) Estymacja metoda największej wiarygodności dla innego przykładu : Ten przykład Rok Liczba Częstość: daje prawie ˆ 40 takie same λ MLE = x = = 4 10 parametry Parametry GPD: ˆ σ ˆ ξ MLE MLE τ = = 250,9 = 0, Nowa składka: P = 359 Dla przypomnienia poprzednia: P = 358

30 Model ryzyka łączonego (3/3) Obydwie próbki dopasowują się do tego samego GPD:

31 Statystyka Bayes owska (3/3) Za zwyczaj, rozkład prawdopodobieństwa parametrów a posteriori p(θ y) jest niestandardowym (wielowymiarowym) rozkładem Generalised Pareto Distribution: Do oszacowania tego rozkładu używamy łańcuchów markowa Monte Carlo (MCMC) i algorytmów losujących: Adaptive Rejection Sampling (ARS) Adaptive Rejection Metropolis Sampling (ARMS) Random Walk Metropolis Gibbs Sampling ξ σ p y Π1 = yi i n ( σξτ,, ) σ 1+ ( τ) n ξ

32 Przykład

33 Statystyka Bayes owska (3/3)

34 Przykład W obydwu przypadkach, wyliczyliśmy składkę: P 358 Przedział ufności 90% dla składki 20 : [250 ; 680] Przedział ufności 90% dla składki 40 : [ 265 ; 564]

35 Jak uwzględnić NWP przy kalkulacji składki Możliwość 1: Użyć rozkładu prawdopodobieństwa składki (maksimum wiarygodności) użyć na przykład mediany: Składka Malejący przedział ufnosci wraz z wzrostem liczby danych Składka 20: P = 494 Składka 40: P = Liczba danych do szacowania składki

36 D e n s i t y : A g g r e g a t e L o s s e s D e n s i t y : A g Rg a r ne g ge a t e L o s s e s R a n g e Range R a n g e Jak uwzględnić NWP przy kalkulacji składki Możliwość 2: Policzyć składkę używając rozkładu oryginalnych szkód uwzględniających NWP Nie biorąc pod uwagę NWP D ensity: Aggregate Losses Dane historyczne θ 1 θ 2 Density Biorąc pod uwagę NWP D ensity: Aggregate Losses Dane historyczne Density Density Density

37 Jak uwzględnić NWP przy kalkulacji składki Jak generować symulacje z NWP: 1. Wylosować lambdę 2. używając tej lambdy wylosować liczbę szkód z rozkłądu Poisson(Lambda) 3. Wylosować skalę i kształt 4. Dla każdej szkody używając parametrów z (3.) losujemy GPD(Scale,Shape) Symulacja 1 2 Parametr Lambda 4,132 3,234 Liczba szkód 5 2 Parametr skali 0,23 0,43 Parametr kształtu 0,45 0,44 Skoda Skoda Skoda Skoda Skoda Skoda 6 Suma szkód

38 Jak uwzględnić NWP przy kalkulacji składki Rozkład szkód do umowy (1 xs 1) Składka bez NWP: P = 358 Składka 20: P = % 20% 40% 60% 80% 100% Składka 40: P = 458 Szkody bez NWP Szkody 40 Szkody 20

39 Wyniki końcowe Posługując się technikami Bayes owskimi można bardzo formalnie oddać NWP Uwzględnienie NWP w wycenie programów reasekuracyjnych wpływa na nieobciążoną składkę w zależności od ilości danych. Niepewność wartości parametrów jest ważnym czynnikiem do rozpatrzenia przy modelizacji stochastycznej (nie tylko modelowaniu dużych szkód, ale też ryzyka rezerw, i innych)

40 Dziękuję