Kombinatoryka w liceum n HALINA BERA Lekcję wg tego konspektu (z modyfikacjami treści zadań) realizuję od lat w klasie IV liceum. Równie dobrze może on być wykorzystany w przyszłym roku szkolnym w klasie III zreformowanego liceum (z rozszerzoną matematyką). n Temat Rozwiązywanie zadań ugruntowujących poznane pojęcia z kombinatoryki. Czas: 45 min. n Cele lekcji A) Ogólne: o powtarzać i utrwalać poznane wcześniej definicje i wzory z zakresu kombinatoryki, o ćwiczyć umiejętność wyboru właściwej drogi do rozwiązania każdego zadania, o dobierać zadania o treści realistycznej; o uatrakcyjniać proces uczenia się anegdotą, dowcipem czy opowiadaniem związanym jednak tematycznie z lekcją, o wyrabiać umiejętność współpracy w grupie. B) Operacyjne (efekty) po skończonej lekcji uczeń potrafi: o odróżniać, które z pojęć i który wzór należy zastosować do rozwiązania danego zadania; o stosować terminologię właściwą dla omawianego zagadnienia; o sprawnie wykonywać obliczenia stosując rachunek pamięciowy i kalkulator; o wyciągać i formułować wnioski. n Metody pracy: o praca w grupach; o praca pod kierunkiem z elementami dyskusji; o rozmowa nauczająca z elementami anegdoty. n Środki dydaktyczne: o kartka z anegdotami i zagadkami; o kartki dla poszczególnych grup z treścią zadań; o karty pracy dla grup; koperty z zadaniami domowymi. n Typ lekcji: lekcja ćwiczeniowa. n Realizowane ścieżki edukacyjne: 1. Edukacja filozoficzna: Stawianie pytań, definiowanie i argumentacja. Dyskusja. 2. Edukacja czytelnicza i medialna: Nawiązanie do literatury polskiej, zachęcanie do korzystania ze zbiorów bibliotecznych oraz samodzielnej analizy tekstów. 3. Edukacja patriotyczna i obywatelska: Dobór zadań o treści patriotycznej, np. związanych ze znanym sportowcem polskim, klubem poselskim itd. I
n Tok lekcji Faza lekcji wstępna Czynności nauczyciela 1. Wzajemne powitanie, podział klasy na grupy, sprawdzenie zadania domowego. 2. Powtórzenie wiadomości teoretycznych: o Czym zajmuje się kombinatoryka? o Co oznacza symbol n!? o Kiedy stosujemy permutację z powtórzeniami, a kiedy bez (wzory)? o Kiedy stosujemy wariacje z powtórzeniami, a kiedy bez (wzory)? o Pojęcie, wzór i własności kombinacji bez powtórzeń. Symbol Newtona. o Na czym polega reguła mnożenia? Czynności ucznia Uczniowie dzielą się na grupy, wybierają lidera, zgłaszają ewentualne problemy z zadaniem domowym. Odpowiadają na pytania nauczyciela, zaś odpowiednie wzory zapisują na tablicy. realizacyjna 3. Podanie tematu lekcji. 4. Rozdanie grupom kartek z zadaniem wielowątkowym z fabułą pod tytułem: Przyjęcie urodzinowe Doroty (Załącznik nr 1). Zapisują temat lekcji. Każdy uczeń otrzymuje kartkę z treścią zadania; grupa otrzymuje jedną kartę odpowiedzi. Grupa pracuje, a lider wpisuje odpowiedzi na kartę. Kolejno liderzy odczytują rozwiązania: 1a) 7!, 1b) 3! 4!. 2) C 2 8. 3) C 6 49. 4) 7!.5a) C 2 7. 5b) C 1 3 C 1 4 + C 2 3. 6) C 4 6. 7) osoba pokój, czyli W8 3 = 3 8. 8) V 2 8 = 8 7 lub bezpośrednio z reguły mnożenia. 5. Informacja o tym, że Julian Tuwim pisał felietony matematyczne. Zawarł je w książce Cicer cum caule czyli groch z kapustą. Odczytanie jednej z nich (Załacznik nr 2, ciekawoska 1). Rozmawiamy o tym kto jeszcze stosuje kombinatorykę, np. Polski Monopol Loteryjny. Uczniowie słuchają czytanego przez nauczyciela tekstu. Później rozmawiają na temat różnych kombinatorycznych niespodzianek. 6. Rozdanie grupom kartek z 3 zadaniami (Załącznik nr 3). Uczniowie rozwiązują zadania w grupach. Kartkę z rozwiązanym zadaniem lider przekazuje nauczycielowi. Odpowiedzi do zadań: Zad. 1a) W 3 8 = 8 3 = 512 sposobów b) V 3 8 = 8! 5! = 8 7 6 = 336 c) P 3 = 3! = 6 II matematyka
końcowa Zad. 2a) C 13 3 C 39 1 b) C 13 3 C 39 1 + C 13 4 c) C 13 2 C 13 1 C 13 1 Zad. 3. Równanie C 2 n + C 2 n-1. = 49; Odp. n = 8. 7. Odczytanie innego opowiadania Juliana Tuwima (Załącznik nr 2, ciekawoska 2). 8. Podsumowanie lekcji i wylosowanie zestawu zadań do domu. Oprócz 3 zadań w zestawie uczniowie będą musieli odpowiedzieć na pytania: 1) Na ile sposobów mogli wylosować jeden z 5 zestawów zadań domowych? 2) Na ile sposobów ja mogłam ułożyć te zestawy (5 zestawów po 3 zadania)? Uczniowie słuchają potem dyskutują na temat przedstawionego problemu. Liderzy otwierają koperty i dzielą w grupie zestawy (w każdej jest zestaw dla każdego ucznia). 9. Podziękowanie i zakończenie lekcji. Załącznik nr 1 Przyjęcie urodzinowe Doroty. Na przyjęciu urodzinowym Doroty spotkało się w jej trzypokojowym mieszkaniu 4 chłopców i 4 dziewczyny (łącznie z Dorotą). 1. Oblicz, na ile sposobów goście mogą wejść gęsiego do tego mieszkania: a) w sposób dowolny; b) tak, aby dziewczyny weszły przed chłopcami, bo są oni przecież dżentelmenami. 2. Po wejściu do mieszkania każdy wita się z każdym przez podanie ręki. Ile będzie powitań? 3. Jednym z prezentów jaki otrzymała Dorota był kupon na jeden zakład Dużego lotka. Oblicz, na ile sposobów ofiarodawca mógł wypełnić ten kupon (wybiera się 6 liczb z 49). 4. Wszyscy uczestnicy przyjęcia wybierają miejsce przy okrągłym stole. Na ile sposobów mogą to uczynić? 5. Na ile sposobów Dorota może wybrać w sposób losowy dwie osoby do pomocy w kuchni: a) w sposób dowolny, b) tak, aby wśród wybranych osób była chociaż jedna dziewczyna? 6. Grupa w kuchni robi kanapki, kładąc na każdą z nich po 4 różne plasterki spośród produktów: ser, szynka, pomidor, ogórek, jajko i pasztet. Ile rodzajów kanapek powstanie? Kolejność układania plasterków jest nieistotna. 7. W czasie przyjęcia telewizja transmituje sprawozdanie ze skoków narciarskich, którymi wszyscy się interesują. Wiedząc, że w każdym pokoju jest telewizor, oblicz na ile sposobów uczestnicy spotkania mogą rozdzielić się w tych pokojach, aby obejrzeć skoki Adama Małysza. 8. Wszyscy uczestnicy przyjęcia wysyłają sobie nawzajem kartki z wakacji. Ile będzie kartek? III
Załącznik nr 2. Materiały dla nauczyciela Ciekawostka 1. 14 osób jadało codziennie obiady przy podłużnym stole. Wszyscy zajmowali zawsze to samo miejsce. Pewnego dnia siedzący na szarym końcu najmłodszy ze stołowników wystąpił z projektem, by miejsca zajmować za każdym razem inaczej, aż do wyczerpania wszystkich możliwych rozmieszczeń. Po obiedzie starszy pan, nauczyciel matematyki w gimnazjum, zaprosił młodego człowieka na kawę. Więc Pan chciałby przesadzać 14 osób codziennie inaczej, aż do wyczerpania wszystkich możliwości, czy tak? Tak jest proszę pana. I co pan sądzi, że to tak długo będzie trwało, aż Pan te wszystkie możliwości wyczerpie? No nie wiem... może nawet parę tygodni... ale musi być sprawiedliwość. Owszem, musi być odrzekł fundator kawy i zaczął coś obliczać ołówkiem na marmurze stolika. Po paru minutach powiedział: Ale będzie to panie drogi trwało niech Pan słucha: Dwieście trzydzieści osiem milionów osiemset czterdzieści cztery tysiące sześćset trzydzieści trzy lata. Osłupiałem, myśląc, że mam do czynienia z wariatem. Ciekawostka 2. Tuwim opisuje również przygody i zagadki z życia doktora Przypadka. Pewnego razu doktor Przypadek zapowiedział swoim uczniom sprawdzian. Dam wam do przygotowania 12 zadań, na sprawdzianie będzie 10 spośród nich wyjaśnił doktor Przypadek. Czy można mieć gotowce? zażartował jeden z uczniów. Doktor Przypadek chwilę zastanawiał się. Mogą być, ale w takim razie tu Przypadek lekko się uśmiechnął na sprawdzianie będzie tylko 6 zadań. Przypominam, że praca ma być oddana na jednej kartce i bez żadnych skreśleń. Doktor Przypadek przekonany był, że przygotowanie 924 gotowców przerasta możliwości uczniów. A jednak mniej ambitni, ale inteligentni uczniowie zauważyli, że wystarczy 220 gotowców. Na czym polegała ich sztuczka? Załącznik nr 3. Zadanie 1. Trzy osoby ruszyły windą z parteru w bloku ośmiopiętrowym. Oblicz, na ile sposobów mogą one: a) opuścić windę w sposób dowolny; b) wysiąść na różnych piętrach, c) wysiąść z windy na ósmym piętrze? Zadanie 2. Z talii 52 kart losujemy 4 karty. Ile jest możliwych wyników losowania, jeśli wśród nich mają być: a) trzy kiery, b) co najmniej trzy kiery, c) dwa kiery, jeden pik i jeden trefl. Zadanie 3. Na turnieju szachowym każdy z uczestników rozegrał z każdym po jednej partii, po czym jeden z uczestników turnieju się wycofał. Pozostali rozegrali jeszcze każdy z każdym po jednej partii. Łącznie rozegrano 49 partii. Ilu było uczestników na początku tego turnieju? Załącznik nr 4. Zadanie domowe I 1. Ile dzielników naturalnych ma liczba: 2 3 7 11 17? 2. Pewien klub poselski liczy 8 posłów. Na ile sposobów można w sposób losowy IV matematyka
wybrać posła sprawozdawcę i jego zastępcę, w razie gdyby ten nie mógł uczestniczyć w obradach Sejmu? 3. Dziecko sprawne manualnie, ale nie umiejące czytać rozsypało litery słowa SKAKANKA. Ile różnych słów (mających sens lub nie) może ono ponownie ułożyć? II 1. Na okręgu zaznaczono 6punktów. Ile istnieje wielokątów o wierzchołkach w tych punktach? 2. Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach podzielnych przez 5? 3. Ile różnych wyników możemy otrzymać przy; a) trzykrotnym rzucie kostką sześcienną, b) rzucie trzema różnokolorowymi kostkami? III 1. Czy wśród 1000 osób muszą być dwie osoby mające te same inicjały? (Pierwsze litery imienia i nazwiska). Przyjmij, że alfabet ma 24 litery. 2. Na ile sposobów można z grupy 2 kobiet i 3 mężczyzn wybrać 3-osobową delegację, tak aby w jej skład weszła chociaż jedna kobieta? 3. Ile różnych 3-kolorowych chorągiewek można skleić mając do dyspozycji paski w 8 kolorach, jeśli barwy w chorągiewce nie mogą się powtarzać? IV 1. W pojemniku znajduje się 6 kul białych, 6 kul czarnych oraz 6 zielonych. Na ile różnych sposobów możemy wyjąć z pojemnika 3 kule, tak by otrzymać kule w dwóch kolorach? 2. Ile samochodów można zarejestrować używając tablic, na których najpierw są 3 litery z 24 literowego alfabetu, a następnie 3 cyfry. 3. Ile jest różnych rozkładów kart w brydżu? (Talia ma 52 karty, każdy z 4 graczy dostaje13). V 1. Na peronie czeka na pociąg 5 osób. Podjeżdża skład złożony z 7 wagonów. Ile jest sposobów na rozmieszczenie tych pasażerów dokładnie w dwóch wagonach? 2. W pudełku znajdują się patyczki długości: 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm i 7 cm. Wybieramy trzy. Na ile sposobów możemy to zrobić, tak by można z nich ułożyć trójkąt? 3. Na ile sposobów można uporządkować zbiór liczb : 1, 2, 3,..., 19 tak, aby iloczyn każdych dwóch kolejnych był liczbą parzystą? q HALINA BERA nauczycielka w ZSP nr 1 oraz w Społecznym Liceum Ogólnokształcącym w Kwidzynie LITERATURA [1] Krzysztof Kłaczkow, Marcin Kurczab i Elżbieta Świda, Podręcznik i zbiór zadań do klas III IV; [2] Marek Zakrzewski i Tomasz Żak, Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i zdrowy rozsądek; [3] Anna Zalewska i Edward Stachowski, I Ty zostaniesz Euklidesem, klasa IV. V