1 STOSUNEK LICZB PIERWSZYCH DO ICH ILOCZYNÓW W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych uzależnione, jest od ścisłego stosunku do swoich iloczynów, a ten wynika ze zdolności do tworzenia identycznych sum pośrednich do danej wielkości. Do 10-ciu mamy 4 liczby pierwsze (2 + 3 + 5 + 7) = 17, tworzą one 4 identyczne sumy pośrednie do 10 [2 + 8 = 10, 3 + 7 = 10, 5 + 5 = 10, 7 + 3 = 10, (8 + 7 + 5 + 3) = 23, 17 + 23 = 40/4 = 10]. Według tego schematu będzie się kształtował stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów, to znaczy na 40 liczb nieparzystych w danym przedziale może być 17 liczb pierwszych i 23 ich iloczynów. A tak to wygląda na wykresie liniowym. Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 = 17), dopełniona sumą różnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23), pokazuje, jaki jest stosunek 17 liczb pierwszych /od 20 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 do 100/ do 23 ich iloczynów /21, 25, 27, 33, 35, 39, 45, 49, 51, 55, 57, 63, 65, 69, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 93, 95, 99/ w 17 + 23 = 40 liczbach, czyli w połowie danej wielkości. π(x) + Σ[p(p )] = ½N. Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary, czyli 8 liczb pierwszych (2, 3)(5, 7)(11, 13)(17, 19), a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15), (8 + 2 = 10). W dalszych rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = (4 + 5 + 5 + 3) = 17 + 8 = 25, liczb pierwszych do (6 + 5 + 5 + 7) = 23 + 2 = 25 ich iloczynów, a więc w piątym rzędzie stosunek ten się wyrównuje, jak i w szóstym rzędzie dochodzi równo po 5 liczb pierwszych i ich iloczynów wyrównując do 30, czyli liczby pierwsze do swoich iloczynów są w stosunku 1 : 1.
2
3 W dalszych rzędach 6 do 11 stosunek ten wynosi 17/33, to znaczy, że w przedziale 50 liczb (50 = 17 + 33), jest 17 liczb pierwszych i 33 ich iloczynów, czyli liczby pierwsze są rozmieszczone pośród swoich iloczynów w ściśle określonym stosunku. Jednak zawsze zachowana jest zasada, że suma liczb pierwszych i ich iloczynów tworzy połowę danej wielkości /π(x) + Σ[p(p )] = ½N, 68 + 102 = 170, 2:3:5/. W następnych rzędach/34 46/ stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów ulega podwojeniu z 17/43 do 34/86 ponieważ, obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb. Mamy tu jeszcze zakres 17 + 43 = 60 liczb, 17 + 53 = 70 liczb, 34 + 66 = 100 liczb, 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb.
4 Nie możemy powiedzieć, że liczby pierwsze występują, co 12, 18, 20, 22, 40, 42, 68, czy 70 liczb, ale jest pewne, że przybywa ich w ścisłym stosunku do ich iloczynów w grupach po, 17 + ( 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93) liczb, po 34 + (66, 86, 96, 106, 116, 126, 136, 146, 156, 166, 176) liczb, po 51 + (119, 139, 169, 179, 199, 229), po 68 + 202 = 270 liczb, po 68 + 222 = 290 liczb, po 68 + 232 = 300 liczb, po 68 + 272 liczb, jak to widzimy w poniższej tabeli do 10960 liczb. Σ[p(p')] π(x) ½N 2 8 10 23 17 40 25 25 50 30 30 60 33 17 50 63 47 110 66 34 100 129 81 210 135 85 220 178 102 280 184 106 290 33 17 50 217 123 340 86 34 120 303 157 460 86 34 120 389 191 580 139 51 190 528 242 770 33 17 50 561 259 820 106 34 140 667 293 960 720 310 1030 763 327 1090 816 344 1160 859 361 1220 63 17 80 922 378 1300
5 86 34 120 1008 412 1420 1061 429 1490 73 17 90 1134 446 1580 1187 463 1650 1230 480 1710 96 34 130 1326 514 1840 106 34 140 1432 548 1980 1485 565 2050 116 34 150 1601 599 2200 106 34 140 1707 633 2340 73 17 90 1780 650 2430 222 68 290 2002 718 2720 2009 721 2730 63 17 80 2072 738 2810 2080 740 2820 2123 757 2880 2166 774 2940 2174 776 2950 73 17 90 2247 793 3040 179 51 230 2426 844 3270 2479 861 3340 2487 863 3350
6 2540 880 3420 2593 897 3490 63 17 80 2656 914 3570 2664 916 3580 136 34 170 2800 950 3750 2843 967 3810 2851 969 3820 116 34 150 2967 1003 3970 2975 1005 3980 73 17 90 3048 1022 4070 3057 1023 4080 116 34 150 3173 1057 4230 3181 1059 4240 232 68 300 3413 1127 4540 169 51 220 3582 1178 4760 63 17 80 3645 1195 4840 126 34 160 3771 1229 5000 179 51 230 3950 1280 5230 199 51 250 4149 1331 5480 Trudno wyobrazić sobie bardziej równomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynów niż te, wynikające z tego jak następują jedne po drugich w stałych odległościach, co /18, 20, 22, czy 18, 60, 42, 23 5 (25) - 47, 25 7 (67) - 49/ liczb, dopełniając się wzajemnie w ściśle określonym stosunku (17/23, 17/33, 17/43,..) do połowy danej wielkości /½N/, jak to widzimy na poniższym wykresie liniowym. π(x) + Σ[p(p )] = ½N, 4(17) = {68 + [3(23) + 33] = 102} = 170
7 Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach, kiedy to na 180 liczb pierwszych przypada 360 ich iloczynów. Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynów będzie coraz mniejszy, jak to widać na poniższym wykresie / Σ[p(p )] : π(x) = (25 : 25 = 30 : 30 = 1 : 1), (360 : 180 = 2 : 1), (3165 : 1055 = 3 : 1). Podobnie kształtuje się stosunek liczb pierwszych do połowy danej wielkości, a mianowicie jest stopniowo malejący ½N : π(x) = (50 : 25 = 60 : 30 = 2 : 1), (540 : 180 = 3 : 1), (4220 : 1055 = 4 : 1)
8 Gdy połowa danej wielkości rośnie w postępie geometrycznym f(½n) = 5( ), to ilość liczb pierwszych wraz z iloczynami większymi od 3 w postępie geometrycznym będącym sumą różnic pomiędzy ilością liczb pierwszych następnika i poprzednika π(x) /25 4 = 21/, oraz pomiędzy ilością ich iloczynów większych od 3 /Σ[p(p )]>3, 9 0 = 9/, f[π(x)] + Σ[p(p )>3] = 21 + 9 = 30 = 3(10). Stąd ilość liczb pierwszych w stosunku do połowy danej wielkości asymptotycznie maleje, podczas gdy ilość ich iloczynów większych od 3 asymptotycznie rośnie. A tak wygląda to na wykresach radarowych: Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych, tworzy 35 kolumn przylegających do siebie według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3, które na wykresie radarowym układają się w 6 podwójnych prawoskrętnych wirów o stałym odstępie d (6)².
9 Zaś ten powyżej spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych, tworzy 42 kolumny przylegających do siebie w stałym odstępie d 126 = 18(7) liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3, które na wykresie radarowym układają się w 21 prawo i lewoskrętnych wirów o odstępie d L(60), P - (66).
10 Tutaj widzimy, jak spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych, tworzy 34 kolumny przylegających do siebie w stałym odstępie d 102 = 6(17) liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3, które na wykresie radarowym układają się w 17 prawo i lewoskrętnych wirów o stałym odstępie d (50) (52) Ten stały odstęp /50 52/ w 17 kolumnach powyższej tabeli ma decydujący wpływ na równomierny wzrost liczb pierwszych od 54 + 33 do 87 i od 87 + 33 do 120 zawsze, co 102 liczby i od 127 + 23 do 150 i od 156 + 23 do 179 zawsze, co 77 liczby.
11 Spiralnie rozwijające się liczby pierwsze uszeregowane w 10 kolumnach o stałym odstępie d 20 tworzą 3 podwójne lewoskrętne wiry o stałym odstępie d 3(6) = 18, zaczynające się od /5 + 18 = 23 + 18 =41/, /7 + 18 = 25 + 18 = 43 + 18 = 61/, /11 + 18 = 29 + 18 = 47/, /13 + 18 = 31 + 18 = 49/, /17 + 18 = 35 + 18 = 53/, /19 + 18 = 37 + 18 = 55 + 18 = 73/. Dla przejrzystości celowo pominięto tu 3 ciągi iloczynów liczby trzy /9 + 18 = 27,.. 15 + 18 = 33,.. 21 + 18 = 39,./, które nigdy nie tworzą równoległych par z liczbami pierwszymi, jak to czynią iloczyny liczb większych od 3 /5 25, 29 49/. Co ciekawe ilość iloczynów liczb większych od 3, jest zawsze liczbą o tej samej parzystości, co liczba ilości liczb pierwszych π(x). Suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą, a więc podzielną przez 2. Reguła połowy sumy i różnicy /liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3/, która pozwala nam obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc, z właściwości jakie określa parzystość liczb. Twierdzenie: Jeżeli liczba ilości iloczynów większych od 3 (Σ[p(p )]>3), jest tej samej parzystości co liczba ilości liczb pierwszych, to połowa ich sumy i różnicy dodana, gdy iloczynów liczb większych od 3, jest mniej niż liczb pierwszych, lub odjęta, gdy jest ich więcej niż liczb pierwszych, daje dokładną wartość π(x) do danej wielkości. Dowód: Do 100 mamy 25 liczb pierwszych i 9 iloczynów liczb większych od 3 /25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95/. Połowa sumy i różnicy liczb o tej samej parzystości zsumowana, gdy iloczynów liczb większych od 3, jest mniej niż liczb pierwszych [25 + 9]/2 + [25 9]/2 = 17 + 8 = 25, lub odjęta, gdy jest ich więcej niż liczb pierwszych [2105 + 1229]/2 [2105 1229]/2 = 1667 438 = 1229, daje dokładną wartość π(x) do danej wielkości. { [p(p )]>3 - (p)]/2 ± { [p(p )]>3 + (p)}/2 = π(x) [p(p )]>3 { [p(p )]>3 - (p)}/2 { [p(p )]>3 + (p)}/2 π(x) 9 8 ± 17 25 166 1 ± 167 168 2 105 438 ± 1667 1229 23 742 7 075 ± 16667 9592 254 836 88 169 ± 166667 78498 2 668 755 1 002 088 ± 1666667 664 579 27 571 879 10 905 212 ± 166666667 5 761 455 282 485 800 115 819 233 ± 1666666667 50 847 534 2 878 280 823 1 211 614 156 ± 16666666667 455 052 511 29 215 278 521 12 548 611 854 ± 166666666667 4 118 054 813 295 725 421 316 1 29 058 754 649 ± 1666666666667 37 607 912 018 2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 ± 16666666666667 346 065 536 839 30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 ± 166666666666667 3 204 941 750 802 303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 ± 1666666666666667 29 844 570 422 669 3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 ± 16666666666666667 279 238 341 033 925 Graficzne ujęcie stosunku ilości liczb pierwszych do danej wielkości pokazuje, że jest on asymptotycznie malejący to znaczy, że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości, im większe liczby rozpatrujemy. Jeżeli w 100 liczbach na 50 nieparzystych, co druga, czyli 25 jest
12 pierwszych, to w 1000 ten stosunek jest, jak 168/500, czyli 0,336. Stąd gęstość ich rozmieszczenia systematycznie maleje. Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami. Przy czym zaobserwowano, że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy. Liczby pierwsze podlegają, bowiem jednemu prawu rozmieszczenia, prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest w stosunku malejącym zarówno, co do ilości liczb w danej wielkości, jak i ich iloczynów. 25:25=30:30=1:1, 50:25=60:30=360:180=2:1, 540:180=3165:1055=3:1, 4220:1055=4:1 Poniższy wykres radarowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp 3(6) w podwójnym ciągu liczb pierwszych i ich iloczynów większych od 3 (5, 7, - 23, 25, - 41, 43, - 59, 61, - 77,79), co sprawia że, pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności, zachowany jest stały odstęp 20, a 40 pomiędzy zwojami spirali, a tak to wygląda do 1000.