P S T T L. powierzchni S, grubości L, której powierzchnie utrzymywane są w temperaturze T 2 > T 1, wynosi

WT; kier. Inż. Biom.; lista zad. nr 10 pt.: (z karty przedmiotu) Analizowanie i rozwiazywanie wybranych zadań/problemów stosując pierwszą i drugą zasadę termodynamiki. W szczególności wyznaczanie: a) wartości ciepła wymienionego przez układ termodynamiczny (gaz idealny (GI)) z otoczeniem, b) pracy wykonanej przez GI, c) zmian energii wewnętrznej i podczas kwazistatycznych przemian (izochoryczna, izobaryczna, izotermiczna, adiabatyczna), d) ciepła transportowanego w procesie przewodnictwa cieplnego; pod koniec listy zadania do samodzielnego rozwiązania. Lista ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących ruchu falowego, zasad termodynamiki z wykorzystaniem dotychczas zdobytych kompetencji. 70. A) Jaka ilość z 260 g wody o temperaturze 0 o C nie zamarznie po odebraniu jej 50,2 kj ciepła? Ciepło topnienia lodu 333 kj/kg. B) Jaka ilość z 800 g wrzącej wody pozostanie po dostarczeniu jej 1 MJ ciepła? Ciepło parowania wody 2,256 MJ/kg. C) rzy wytwarzaniu lodu w lodówce potrzeba 5 min dla ochłodzenia wody od temperatury 4 o C do 0 o C i jeszcze 100 min, aby zamienić ją w lód. roszę wyznaczyć ciepło topnienia lodu; c w wody jest dane. 71. ewna ilość gazu idealnego zwiększa swoją objętość od V 0 = 1m 3 do V k = 4m 3 i jednocześnie jego ciśnienie maleje od p 0 = 40 a do p k = 10 a. roszę wyznaczyć prace wykonane przy tym przez gaz w następujących przemianach: (a) (p 0, V 0) przemiana izobaryczna (p 0, V k) przemiana izochoryczna (p k, V k). (b) (p 0, V 0) przemiana izochoryczna (p k, V 0) przemiana izobaryczna (p k, V k). (c) opisanej w układzie współrzędnych (p, V ) przez prostą przechodząca przez punkty (p 0, V 0) i (p k, V k). 72. roszę przedstaw we współrz. (p, V ), na tle rodzin izoterm, przemiany cykliczne pokazane na rys. obok. 73. Znajdujący się w komorze gaz idealny poddano zamkniętemu cyklowi przemian termodynamicznych: A B C A, przejście A B jest przemianą izochoryczną, B C odpowiada przemianie adiabatycznej, a przemiana C A jest izobaryczna. Ciepło dostarczone układowi w procesie A B było równe 20 J, a wypadkowa praca wykonana przez układ w jednym cyklu zamkniętym wyniosła 15 J. Ile ciepła dostarczono układowi (lub ile ciepła oddał układ) w przemianie izobarycznej? 74. poddany jest przemianie cyklicznej ABCA przedstawionej na wykresie po prawej stronie. Gaz idealny roszę przedstawić przemianę we współrzędnych (p, T) oraz (V, T). roszę wyrazić przez p 0 i V 0: (a) pracę wykonaną przez gaz na każdym odcinku cyklu; (b) całkowitą pracę W wykonaną przez gaz w każdym cyklu; (c) ciepło Q pobrane przez gaz w każdym cyklu. 75. Ilość ciepła transportowanego w jednostce czasu (strumień ciepła, strumień energii cieplnej) przez płytkę o S T T L. powierzchni S, grubości L, której powierzchnie utrzymywane są w temperaturze T 2 > T 1, wynosi 2 1 / Średnia szybkość przewodzenia energii cieplnej z wnętrza na powierzchnię Ziemi wynosi 54 mw/m 2. rzewodność cieplna warstwy skorupy ziemskiej jest równa 2,5 W/(m K). roszę oszacować jaka temperatura panuje na głębokości 30 km, czyli w pobliżu dna skorupy ziemskiej, jeśli powierzchnia Ziemi ma temp. 10 o C? 76. Współczynnik sprawności pewnej maszyny cieplnej stanowi 60% współczynnika sprawności maszyny idealnej pracującej według cyklu Carnota. Temperatura źródeł i chłodnic tych maszyn są jednakowe. Dochodząca do maszyny para ma temperaturę 200 o C a temperatura skraplacza maszyny jest równa 60 o C. Moc maszyny wynosi 314 kw. Ile węgla potrzebuje maszyna w ciągu 1 godziny pracy? Ciepło spalania węgla wynosi 3,14 =10 7 J kg. B) Idealna maszyna cieplna pracuje według cyklu Carnota. rzy tym 80% ciepła, otrzymanego od źródła, jest przekazywana chłodnicy, temperatura której jest równa 0 o C. roszę wyznaczyć temperaturę źródła i współczynnik sprawności maszyny. 77. roszę oszacować jaka część cząsteczek tlenu w temperaturze T = 300K ma prędkości zawarte w przedziale (199201) m/s. W obliczeniach posłużyć się przybliżonym wzorem =, gdzie z = (199+201)/(2v p), dz = (201 199)/v p, p B 0 A 0 v 2k T m 2RT N m 2RT prędkość najbardziej prawdopodobna. 1

78. Energia mechaniczna cząsteczki gazu o masie m wchodzącego w skład powietrza przy powierzchni Ziemi wynosi gdzie R Z promień Ziemi. roszę uzasadnić ten wzór a następnie wyznaczyć temperaturę powietrza, przy której cząsteczkowy wodór, azot, tlen mogą uciec z pola grawitacyjnego Ziemi. Ws-ka: rzyjąć za v 2 prędkość średnią kwadratową. Jakie konsekwencje mają otrzymane wyniki dla składu atmosfery ziemskiej. Czy z upływem wieków skład atmosfer ziemskiej będzie zmieniał się? Jeśli tak, to w jaki sposób? 79. Korzystając z zasady ekwipartycji energii cieplnej proszę wyznaczyć ciepła molowe przy stałym ciśnieniu, objętości oraz wykładniki adiabaty gazów idealnych: He, H 2, NH 3 w niskich, średnich i wysokich temperaturach. 80. roszę opracować i włączyć do portfolio pisemny esej nt. fizycznych podstaw działania urządzeń dopplerowskich USG używanych w medycynie opisując dwa wybrane zastosowania; w eseju należy oszacować różnice odbieranych częstotliwości przez dopplerowski USG służący do pomiaru prędkości przepływu krwi; esej powinien liczyć co najmniej 3 tys. znaków bez spacji; źródła literaturowe znajdź samodzielnie; esej/opracowanie nie może mieć znamiona plagiatu, co jest dzisiaj traktowane jako przestępstwo. 81. Do portfolio. Rozważmy zbiornik o objętości V, w którym znajduje się N = 100 cząsteczek gazu idealnego. Tabela obok reprezentuje, w pierwszych dwóch kolumnach, liczby cząsteczek odpowiednio w lewej połowie NL oraz w prawej połowie N zbiornika. ara liczb (NL; N) określa dany makrostan rozpatrywanego układu, np. makrostan (60;40) oznacza, że w lewej połowie objętości znajduje się 60 a w prawej 40 cząsteczek tego gazu. Trzecia kolumna podaje liczby W mikrostanów realizujących dany makrostan określony parą liczb N! (NL; N), przy czym W, gdzie NL! ozna- N! N! cza funkcję silni. Ostatnia, czwarta kolumna, zawiera wartości prawdopodobieństw realizacji makrostanu, które zostało wyznaczone ze wzoru W 1 N! p( N L; N). N N 2 2 N! N! Uwaga kieszonko- L L wy kalkulator zazwyczaj zawodzi, gdy chcemy policzyć wartość 100! = 9,3310 157. Dla bardzo dużych N, rzędu liczby Avogadra, możemy posługiwać się przybliżeniem Stirlinga ln N! N(ln N) N. Liczba mikrostanów o zadanych liczbach NL i N jest równa W N N N!!!. W termodynamice statystycznej nadaje się entropii interpretację mikroskopową za pomocą definicji entropii Boltzmanna k B R N A L S k lnw, gdzie, przy czym W nazywa się często prawdopodobieństwem termodynamicznym. W rozpatrywanym tutaj zagadnieniu S kb ln N! N L! N!. roszę samodzielnie uzupełnić dane w tabeli obliczając wartości S N L; N k B ln W N L; N, W tej kolumnie należy wpisać wartości entropii Boltzmanna wyniki proszę zamieścić w portfolio. roszę wyznacz zmianę entropii S w następujących przypadkach: ca układ przechodzi od początkowego makrostanu (60;40) do końcowego (50;50); b) układ przechodzi od początkowego makrostanu (50;50) do końcowego (0;100). B Wrocław, 8 stycznia 2018 W. Salejda 2

Siłownia umysłowa. Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. Romeo, któremu nie ma wstępu do kuchni, postanowił zagotować Julii wodę na kawę potrząsając termosem. rzyjmijmy, że: (a) początkowa temperatura wody wynosi 20 o C; (b) podczas każdego potrząśnięcia termosem woda spada z wysokości 30 cm; (c) Romeo potrząsa termosem 30 razy w ciągu minuty. Jak długo Romeo będzie gotował wodę? 2. Dwa identyczne pręty o przekroju prostokątnym, połączone ze sobą jak na rysunku a) po lewej stronie, przewodzą w stanie stacjonarnym 10 J ciepła w czasie 120 sek. okaż, że przy połączeniu z rys. b) tę samą ilość ciepła przewodzą pręty w czasie 30 sek. 3. Akustyczny alarm przeciwwłamaniowy samochodu emituje falę o częstości 10 khz. Jaka jest częstość dudnień powstających po nałożeniu się fali alarmu i fali odbitej od intruza, tj. potencjalnego złodzieja, oddalającego się od źródła z prędkością 3m/s? rędkość dźwięku 332 m/s. 2. (A) ocisk leci z prędkością 685 m/s. Wyznaczyć kąt, jaki stożek fali uderzeniowej tworzy z kierunkiem ruchu. (B) Samolot leci poziomo z prędkością 1,25Ma. Grom dźwiękowy dociera do człowieka stojącego na ziemi po czasie 1min od momentu przelotu samolotu bezpośrednio nad nim. Na jakiej wysokości leci samolot? rędkość dźwięku v = 343m/s. 3. Wahadło zegara jest podwieszone na mosiężnym (współczynnik rozszerzalności liniowej 1,84 10 5 K 1 ) pręcie. Zegar chodzi dokładnie w temperaturze 20 C. O ile spóźni się on lub pośpieszy w ciągu tygodnia w temperaturze 30 o C? 4. (a) Okrągły otwór w płycie aluminiowej ma w temperaturze 0 o C średnicę 4 cm. Jaki będzie jego promień, jeśli temperatura płyty wzrośnie do 100 C? Współczynnik liniowej rozszerzalności cieplnej aluminium wynosi 2,3 10 5 K -1. (b) Naczynie aluminiowe o objętości 100 cm 3 jest całkowicie wypełnione gliceryną o temperaturze 20 o C. Ile gliceryny wyleje się (jeżeli gliceryna rozleje się) po ogrzaniu naczynia do temperatury 30 o C? Współczynnik objętościowej rozszerzalności cieplnej gliceryny 5 10 4 K 1. 5. Naczynie miedziane o masie 150 g zawiera 220 g wody; temperatura układu 20 C. Do naczynia wrzucono miedziany walec o masie 300 g. W rezultacie woda zaczęła wrzeć, a 5 g wody zamieniło się w parę. Końcowa temperatura układu wyniosła 100 o C. Ile energii cieplnej dostarczono układowi? Ile energii cieplnej pobrała woda? Jaka była początkowa temperatura walca? Ciepła właściwe wody i miedzi: 4190 J/(kgK), 386 J/(kgK); ciepło parowania wody w temperaturze wrzenia 2258 kj/kg. 6. Alkohol etylowy wrze w temperaturze 78 o C, krzepnie przy 114 o C, a jego ciepło właściwe 2,43 kj/(kgk), ciepło parowania 879 kj/kg, ciepło krzepnięcia 109 kj/kg. Ile energii trzeba odebrać od 0,51 kg alkoholu etylowego, który początkowo jest gazem o temperaturze 78 o C, aby zamienić go w ciało stałe o temperaturze 114 o C? 7. W naczyniu znajduje się gaz o masie cząsteczkowej μ, temperaturze T i ciśnieniu p. Jaka jest gęstość gazu w tych warunkach? Obliczenia wykonać dla T = 300K, p = 1,04 10 5 a i M = 32 kg/kmol. Stała gazowa R = 8,32 J/(mol K). 8. W wyniku ogrzania o 32 K pręt pęka i wygina się w górę, jak pokazano na rys. obok po prawej stronie. Jeśli L 0 = 3,77 m i nie zmienia się podczas ogrzewania pręta, którego współczynnik rozszerzalności liniowej wynosi 25 10-5 /K, to ile wynosi x? 9. Masa molowa nieznanego ciała stałego wynosi 0,05 kg/mol. Temu ciału o masie 0,03 kg i temperaturze 25 o C dostarczono 314 J energii pod postacią ciepła, co spowodowało ogrzanie się tego ciała do 45 o C. Oblicz ciepła właściwe i molowe tego ciała. Ile moli materii zawiera to ciepło? 10. Ile kg masła o wartości energetycznej 6000 cal/gram jest równoważne zmianie energii potencjalnej człowieka o masie 70 kg, który wszedł z poziomu morza na wysokość Mt. Everest 8840 m? 11. Jak długo grzałka o mocy znamionowej 200 W ogrzewa 100 g wody od 23 o C do 100 o C? Straty energii zaniedbać 12. Aby zapobiec ochłodzeniu się powietrza w garażu umieszczono w nim zbiornik wody, który zawiera 125 kg wody o temperaturze 30 o C. Ile energii odda wody po całkowitym zamarznięciu? Jak będzie najniższa temperatura otoczenia i wody przed jej całkowitym zamarznięciem? 13. W rurach kolektora zamontowanego na dachu podgrzewana jest woda absorbowaną energią słoneczną. o podgrzaniu woda jest pompowana do zbiornika w łazience domu. Załóżmy, że sprawność konwersji energii słonecznej 3

w takim kolektorze wynosi 20%. Jaka powinna być powierzchnia tego kolektora, aby w czasie jednej godziny możliwe było ogrzanie 100 l wody od 20 o C do 50 o C, jeśli natężenie promieni słonecznych wynosi 560 W/m 2? 14. W termosie znajduje się 200 cm 3 gorącej wody o temperaturze 90 o C. Wrzucono do termosu kostkę lodu o masie 15 g i temp. 0 o C. O ile stopni spadnie temp. wody w termosie? 15. ierścień miedziany o masie 20 g o temp. 0 o C i średnicę 2,54 cm. Kula z aluminium ma temp. 100 o C i średnicę 2,54508 cm. Kulę kładziemy na pierścieniu, pozwalamy osiągnąć układowi stan równowagi i wtedy kula aluminiowa spada w dół. Jaka była masa kuli? 16. Nad układem termodynamicznym wykonano pracę równą 300 J i odebrano od niego 50 cal ciepła. Jakie wartości (i znak, zgodnie z konwencją przyjętą w I zasadzie termodynamiki) ma: a) praca W?; b) ciepło Q?; c) zmiana energii wewnętrznej U? 17. Układ termodynamiczny poddano przemianom od stanu początkowego A do B, a następnie z powrotem do stanu A poprzez stan C zgodnie z linią A B C A widoczną po prawej stronie na wykresie. Uzupełnij tabelę b) wpisując odpowiednie znaki + lub odzwierciedlające charakter przemian cząstkowych. Oblicz wartość całkowitej pracy wykonanej przez układ w tym zamkniętym cyklu. 18. Idealny gaz zamknięty w komorze poddano cyklicznym procesom, które ilustruje rys. po lewej stronie. Wyznacz ile ciepła oddał układ w procesie CA, jeżeli ciepło 20 J dostarczono układowi w procesie AB, w procesie BC energia w postaci cipła nie była wymieniana, a wypadkowa praca w całym cyklu wyniosła 15J? 19. Jeden mol gazu doskonałego podlega cyklicznej przemianie przedstawionej na rysunku po lewej stronie. Obliczyć ciepło pobrane przez gaz w przemianie 2 3 oraz pracę uzyskaną w cyklu, jeśli dane są temperatury: najwyższa T 1 i najwyższa, przy czym T 2 = T 3. 20. Wyznacz wartość strumienia ciepła uciekającego z organizmu narciarza przez jego ubranie przyjmując dane: pole pow. ciała 1,8 m 2, grubość ubrania 1 cm, temp. skóry ciała 33 o C, temp. powietrza 1 o C, przewodność cieplna ubrania 0,04 W/(m K). Jak zmieniłby się wynik, gdyby w skutek upadku kombinezon nasiąkłby wodą i przewodność wyniosłaby 0,6 W/(m K)? 21. Załóżmy, że płyta miedziana ma grubość 25 cm, T 2 = 125 o C a T 1 = 15 o C. Oblicz stacjonarny strumień energii cieplnej transportowany przez tę płytę. 22. owierzchnia jeziora pokryta jest warstwą lodu. Stacjonarny (niezmienny w czasie) strumień ciepła przewodzony jest przez warstwę lodu. owietrze nad lodem ma temp. 5 o C, a woda pod lodem ma temp. 4 o C. Jak jest grubość lodu, jeśli przewodnictwo cieplne lodu wynosi 0,12 cal/(s cm oc)? 23. Moc promieniowania cieplnego ciała dana jest wzorem 4 4 emit S T, gdzie = 5,6703 10-8 W/(m 2 K4 ) stała Stefana-Boltzmanna, zdolność emisyjna powierzchni ciała. T temperatura bezwzględna ciała, S jego powierzchnia. Moc absorbowana przez ciało z otoczenia 4 abs S Totoczenia. Kulę o promieniu 0.4 m, temp. 30 o C, zdolności emisyjnej powierzchni 0,8 umieszczono w otoczeniu o temp. 80 o C. Z jaką szybkością kula: a) emituje i absorbuje energię cieplną? Czy kula się ochładza, czy ogrzewa? 24. Naczynie cylindryczne jest rozdzielone na dwie części ruchomym tłokiem. Jakie będzie położenie tłoka podczas równowagi, jeżeli w jednej części naczynia umieścić pewna ilość wagową tlenu, a w drugim taką sama ilość wodoru? Całkowita długość naczynia jest równa 85 cm. 25. Zbiornik balastowy łodzi podwodnej ma objętość V 1 = 5 m 3 i jest napełniony wodą. Jakie ciśnienie p powietrza powinno być w butli o pojemności V 2 = 0,2 m 3, aby po połączeniu butli ze zbiornikiem łódź podwodna mogła całkowicie uwolnić się od balastu na głębokości H =100 m? Temperatura powietrza nie zmienia się. Ciśnienie atmosferyczne przyjąć równe p =1,0110 5 N/m 2 a gęstość wody morskiej 1030 kg/m 3. 26. Dwa jednakowe balony, zawierające gaz w temperaturze 0 o C, są połączone wąską poziomą rurką o średnicy 5mm, pośrodku której znajduje się kropla rtęci. Kropla dzieli naczynie na dwie części po 200 cm 3. Na jaką odległość przesunie się kropla, jeżeli jedne z balonów został ogrzany do temperatury 2 o C, a drugi o tyle samo został oziębiony? Nie uwzględniać rozszerzalności samych naczyń. 27. oprawny wzór określający bezwzględną wartość entropii n moli gazu doskonałego o temperaturze T zajmującego objętość V zadaje wzór gdzie ciepło molowe przy stałej objętości, a S 0 stała wartość entropii w temperaturze zera

bezwzględnego. A) W naczyniu o objętości 4 dm 3 znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak zmieni się entropia tego gazu, gdy naczynie to podzielimy na dwie równe co do objętości części, a jak gdy zostanie podzielone na dwie części o objętościach 1 dm 3 i 3 dm 3? B) W naczyniu o objętości 4 dm 3 podzielonego przegrodą na dwie równe co do objętości części znajdują się 4 mole tlenu o temperaturze 310 K. Jak zmieni się entropia tego gazu, gdy zostanie usunięta przegroda? C) Naczynie o objętości 4 dm 3 podzielona przegrodą na dwie równe co do objętości części. W jednej z nich znajdują się 2 mole a w drugiej 3 mole tlenu; temperatury gazów są takie same. Jak zmieni się entropia układu, gdy przegroda zostanie usunięta? Ws-ka: atrz notatki do wykładów. 28. Tlen, który w temperaturze 40 o C pod ciśnieniem 1,0110 5 a zajmuje objętość 1000 cm 3, rozpręża się do 1500 cm 3, czemu towarzyszy wzrost ciśnienia do wartości 1,0610 5 a. Wyznacz: a) liczby moli i cząsteczek gazowego tlenu, b) temperaturę końcową tlenu. 29. Zbiornik A z rys. obok wypełnia gaz idealny pod znanym ciśnieniem p A i o znanej temperaturze T A i nieznanej objętości V. Zbiornik ten jest połączony cienką rurką cienką rurką z zaworem ze zbiornikiem B o objętości 3V, który wypełnia ten sam gaz doskonały pod ciśnieniem p B = p A/3 i o temperaturze T B = 1,5ˑT A. W pewnej chwili otworzono zawór, co spowodowało wyrównanie się ciśnień w obu zbiornikach, w których gaz jest utrzymywany w temperaturach początkowych. Wyznacz ciśnienie w połączonych zbiornikach. Ws-ka: Uzasadnij, że warunek zadania można zapisać w postaci gdzie założono, że jest liczba moli gazu, które ubyły ze zbiornika A; może mieć wartość dodatnią lub ujemną. 30. W zbiorniku znajduje się jeden mol gazu idealnego o temperaturze 20 o C pod ciśnieniem 10 5 a. odaj wzór określający liczbę cząsteczek (ale nie obliczaj) tego gazu, których wartości prędkości są większe od prędkości dźwięku w tym gazie. 31. Ciepło właściwe gazu argonu 0,075 cal/(gˑk). Wyznacz masę molową argonu oraz masę jednego atomu tego gazu. 32. Wykres obok reprezentuje hipotetyczny rozkład prędkości cząsteczek gazu w zbiorniku zawierającym danych N cząsteczek gazu, przy czym prawdopodobieństwo znalezienia cząsteczek o prędkości większej od danej v 0 wynosi zero, tj. (v > 2v 0) = 0. Jak parametr a zależy od v 0? Ile cząsteczek ma prędkości z przedziału <1,5v 0; 2v 0 >? Wyznacz prędkość średnią cząsteczek oraz prędkość średnią kwadratową. Ws-ka: zauważ, że wartość tej całki jest równa powierzchni pod wykresem (v); potrzebne całki znajdź samodzielnie w tabeli wzorów matematycznych. 33. W zbiorniku znajduje się 10 moli tlenu o temperaturze 300 K. Jaka liczba cząsteczek tlenu o masie molowej = 0,032 kg/mol ma prędkości w przedziale od 599 m/s do 601 m/s? Uzasadnij, że szukany ułamek należy wyznaczyć 3/2 2 ze wzoru 2 v 4 v 10 N A exp v, gdzie v = 2 m/s. Odp. 1,5810 2 RT 2RT 22. 34. Rysunek obok reprezentuje rozkład prędkości cząsteczek hipotetycznego gazu, przy 2 czym v v dla v v 0 i v 0 dla v > v 0. Wyznacz: a) ; b) wartość prędkości średniej, c) prędkość średnią kwadratową. 35. Gęstość pewnego gazu o temperaturze 273 K pod ciśnieniem 10 3 a wynosi 1,24ˑ10-5 g/cm 3. Wyznacz prędkość średnią kwadratową cząsteczek oraz masę jednej cząstki tego gazu. Ile wynosi średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek tego gazu? 36. A) okaż, że podczas adiabatycznego rozprężania gazu idealnego jego temperatura maleje. B) Gaz idealny o wykładniku adiabaty 1,4 pod ciśnieniem początkowym p 0 = 1,2ˑ 10 5 a o temperaturze T 0 = 310 K zajmował objętość V 0 = 0,76 dm 3. Następnie gaz ten adiabatycznie rozprężono do objętości V 1 = 4,3 dm 3. B1) Oblicz temperaturę końcową T 1 gazu. B2) okaż, że praca tego gazu podczas opisanego rozprężania adiabatycznego wyraża się wzorem nˑc V(T 0 T 1), gdzie, C V = 5R/2. 37. Tabela określa liczbę cząsteczek gazu o podanych prędkościach. Oblicz prędkość: a) średnią cząsteczek, b) średnią kwadratową cząsteczek. okaż, że obie prędkości średnie cząsteczek gazu będą sobie równe, pod warunkiem, że wszystkie wartości prędkości są takie same. Liczba 3 5 9 6 2 cząsteczek rędkości [m/s] 100 200 400 500 800 5

38. Cztery mole tlenu, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym i drgającym ogrzano o 40 K pod stałym ciśnieniem. Ile ciepła dostarczono do gazu? O ile wzrosła energia wewnętrzna gazu? Jaką pracę wykonał gaz? O ile wzrosła energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek tego gazu idealnego? 39. Jeden mol gazu idealnego poddano cyklicznej przemianie pokazanej na rys. obok. rzemiana 2 3 jest adiabatyczna; T 1 = 300 K, p 1 = 10 5 a, T 2 = 600 K, T 3 = 455K, R = 8,3 J/(molˑK). Oblicz ciepło, pracę oraz zmianę energii wewnętrznej dla każdej z tych przemian osobno oraz dla całego cyklu zamkniętego. 40. Dwa mole gazu idealnego podlega odwracalnej przemianie przedstawionej na wykresie obok. A) Ile energii w postaci ciepła pobrał gaz? B) Ile wyniosła zmiana energii wewnętrznej gazu? C) Jaka pracę wykonał gaz podczas tej przemiany? Stan początkowy ma parametry (T 0 = 400 K; S 0 = 5 J/K), (T k = 200 K; S k = 20 J/K), Ws-ka: ΔQ = TˑdS i porównaj to ze sposobem obliczania pracy ΔW = pˑdv. 41. Oblicz ilość ciepła dostarczonego próbce gazu idealnego, jeżeli jego entropia w wyniku odwracalnego rozprężania izotermicznego w temperaturze 140 o C wzrosła o 50 J/K. 42. Dwuatomowy gaz doskonały, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie wykonują drgań, poddano procesowi cyklicznemu z rysunku obok. rzyjmując za dane p 1, V 1 i T 1 oraz R oblicz: A) p 3, V 3 i T 3 ; B) pracę W, Q, ΔU, ΔS w przeliczeniu na mol gazu we wszystkich 3 przemianach cyklu; C) Ile wynosi sprawność takiej maszyny cieplnej? 43. Załóżmy, że jeden mol jednocząsteczkowego gazu przeprowadzono od stanu początkowego (p 1,V 1) do stanu końcowego (2p 1,2V 1) poddając go dwóm różnym przemianom: (I) gaz izotermicznie rozpręża się do objętości 2V 1 a następnie jest izochorycznie sprężane do 2p 1. (II) Gaz jest izotermicznie sprężany aż jego ciśnienie wzrośnie dwukrotnie po czym jest izochorycznie rozprężany do objętości 2V 1. A) rzedstaw każdą z przemian w zmiennych p-v. B) Dla przemian (I) i (II) wyznacz Q/(p 1ˑV 1) dla każdego z etapów przemian. C) racę wykonaną W/(p 1ˑV 1) dla każdego z etapów przemian. D) Ile wynosi dla (I) i (II) przemian ΔU/(p 1ˑV 1) a ile ΔS? 44. Cykl odwrotny Carnota reprezentują poniższe diagramy w zmiennych p-v (32143) i T-S (CDABC na środkowym diagramie; 34123 na prawym). W tym odwracalnym cyklu zamkniętym (cykl przebiega odwrotnie do ruchu wskazówek zegara), gaz idealny pobiera ciepło w ilości Q 32 = Q L od układu o niższej temperaturze T L (chłodnicy) i przekazuje ciepło w ilości Q 14 = Q H, układowi o wyższej temperaturze (grzejnicy) kosztem wykonania pracy W. Sprawność tego cyklu definiuje współczynnik wydajności. Korzystając z odwracalności cyklu, I zasady termodynamiki i zmiany entropii ( U 32143 = 0 i S 32143 = 0), pokaż, że wydajność tego cyklu wynosi. Ws-ki: Uzasadnij, że: a) całkowita ilość ciepła wymieniona w jednym cyklu z otoczeniem Q = Q L Q H; b) praca wykonana przez gaz na rzecz otoczenia W = Q; c) spełniona jest równość Carnota T T T wynosi H L H 1, gdzie jest współczynnikiem wydajności cyklu odwrotnego. 20. Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego został poddany przemianie cyklicznej przedstawionej na rys, obok w zmiennych p-v. rzyjmijmy, że p = 2p 0, V = 6 45. okaż, że sprawność cyklu

2V 0, gdzie p 0 = 10 5 a, V 0 = 0,0225 m 3.. Oblicz: a) racę wykonaną podczas cyklu; b) ciepło dostarczone w procesie a bc, c) sprawność cyklu; d) ile wynosiłaby sprawność silnika Carnota pracującego pomiędzy najwyższą i najniższą temperaturą tego cyklu? 21. Masa m wodoru rozszerza się izobarycznie, dwukrotnie powiększając objętość. Znaleźć zmianę entropii w tym procesie. Dane są: masa cząsteczkowa wodoru μ i ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu c p. 22. Cztery mole gazu doskonałego poddano izotermicznemu przy T = 400K odwracalnemu rozprężaniu od V 1 do V 2 = 2V 1. Obliczyć pracę wykonaną przez gaz oraz zmianę entropii gazu. 23. W dwóch naczyniach o pojemnościach V 1 i V 2 znajdują się masy m 1 i m 2 gazów o masach cząsteczkowych odpowiednio μ 1 i μ 2. Obliczyć ciśnienie mieszaniny gazów powstałej po połączeniu tych naczyń przewodem o pomijalnej objętości oraz zmianę entropii w tym procesie. Temperatura mieszających się gazów jest stała i wynosi T. 24. Dwa podukłady o temperaturach początkowych T 1 i T 2 > T 1 oraz pojemnościach cieplnych odpowiednio C 1 i C 2 zetknięto ze sobą, pozwalając na wyrównanie się temperatur. Znaleźć zmianę entropii układu w całym procesie. 25. Znaleźć zmianę entropii przy zamianie masy m lodu o temperaturze T 1 w parę o temperaturze T 2. Dane są ciepła właściwe lodu, wody, pary wodnej oraz ciepła topnienia lodu i parowania wody. 26. ierwszy stopień dwustopniowego silnika Carnota pobiera z grzejnika o temperaturze T 1 energię w postaci ciepła Q 1, wykonuje pracę W 1 i oddaje do chłodnicy o temperaturze T 2 energię w postaci ciepła Q 2. Drugi stopień pobiera energię Q 2, wykonuje pracę W 2 i oddaje do chłodnicy o jeszcze niższej temperaturze T 3 energię Q 3. Udowodnij, że sprawność dwustopniowego silnika Carnota jest równa (T 1 T 3)/T 1. 27. Jeden mol gazu doskonałego o nieznanej liczbie stopni swobody oraz ciepłach molowych użyto jako substancji roboczej w silniku wysokoprężnym (silnik Diesla) pracującym według następującego cyklu zamkniętego pokazanego na diagramie obok w zmiennych p-v: (1) (1 2) zapłon od (p 1,V 1) do (p 2 = p 1,V 2 = 2V 1); (2) (23) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p 2,V 2) do (p 3 = p 1/32,V 3 = 16V 1); (3) (3 4) od (p 3,V 3) do (p 4 = p 3,V 4 = 8V 1); (4) suw (4 1) bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p 4,V 4) do (p 1,V 1). Wyznacz wykładnik adiabaty oraz liczbę stopni swobody tego gazu. Obliczyć: a) Temperatury na początku i końcu każdej z przemian; b) Sprawność silnika. Ws-ki: Ciepło jest wymieniane z otoczeniem tylko w przemianach izobarycznych; temperatury w punktach 1, 2, 3 i 4 wykresu należy wyznaczyć z równania stanu gazu doskonałego. 28. Jeden zamknięty cykl silnika benzynowego składa się z 4 następujących przemian; patrz diagram obok w zmiennych p-v: (1) (1 2) zapłon od (p 1,V 1) do (p 2 = 3p 1,V 1); (2) (2 3) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p 2,V 1) do (p 3,V 3); (3) (3 4) ssanie od (p 3,V 3) do (p 4,4V 1); (4) (4 1) suw bez wymiany ciepła z otoczeniem od (p 4,4V 1) do (p 1,V 1). Traktując mieszaninę benzyna-powietrze jako gaz idealny o znanym wykładniku adiabaty obliczyć: a) Ciśnienie i temperaturę na początku i końcu przemian; b) sprawność silnika. Ws-ki: okaż najpierw, że równanie adiabaty w zmiennych V-T ma postać następnie wykorzystując równania adiabat i izobar pokaż, że Q 12 = 2C VT 1 i Q 34 = Q 12/(4) -1. 29. a) Chłodziarka Carnota wymaga 300 J pracy, aby pobrać 800 J ciepła z komory chłodzenia. Ile wynosi jej współczynnik sprawność? Ile ciepła jest odprowadzane na zewnątrz przez chłodziarkę? b) Klimatyzator pobiera energię cieplna z pokoju o temperaturze t Z = 21 o C i odprowadza ją do otoczenia o temperaturze t 0G = 32 o C. Ile wynosi jej współczynnik wydajności? Ile dżuli energii pobranej z pokoju przypada na jeden dżul energii elektrycznej dostarczonej klimatyzatorowi? Ile wyniesie wydajność chłodziarki, jeśli temperatura otoczenia wzrośnie do 3t 0G, a potem do 10t 0G? 30. Dwa pręty, z miedzi i z aluminium, o przewodnościach cieplnych odpowiednio 394 i 218W/(mK), długości 50 cm każdy i promieniu 1 cm są połączone szeregowo. Ich powierzchnie boczne są izolowane cieplnie. Wolny koniec pręta miedzianego znajduje się w temperaturze 80 C, a aluminiowego w temperaturze 10 C. (a) Jaka jest temperatura na złączu? (b) Jaka jest szybkość przepływu ciepła przez pręty? 31. Oblicz strumień ciepła uciekającego z organizmu narciarza przez jego ubranie, jeżeli przyjmie się następujące dane: pole powierzchni ciała 1,8m 2, grubość ubrania 1 cm, temperatura skory 33 C, temperatura powietrza 1 C i przewodność 7

cieplna właściwa ubrania 0,04W/(mK). Jak zmieniłby się ten wynik, jeżeli w wyniku upadku kombinezon narciarza nasiąkłby wodą, której przewodność cieplna właściwa wynosi 0,6W/(mK)? 32. Kulę o promieniu 0,5m, temperaturze 27 C i zdolności emisyjnej 0,85 umieszczono w otoczeniu o temperaturze 77 C. Z jaką szybkością kula: (a) emituje; (b) pochłania promieniowanie cieplne? (c) Jaka jest wypadkowa szybkość wymiany energii przez kulę? 33. Samolot leci na wysokości 8,3 km. W kabinie pasażerów utrzymywane jest ciśnienie odpowiadające ciśnieniu powietrza na wysokości 2,7 km. Oszacować: a) stosunek gęstości powietrza w kabinie, gdzie temperatura wynosi +20 C, do gęstości powietrza otoczenia o temperaturze 20 C; b) różnicę ciśnień między wnętrzem i otoczeniem. Masa molowa powietrza 29 g/mol. 34. roszę wyprowadzić równanie przemiany adiabatycznej w zmiennych p-t. 35. ( Odmrażanie stopni swobody ). a) Obliczyć energię ruchu cieplnego oraz molową pojemność cieplną C V gazu idealnego o temperaturze T oraz i stopniach swobody korzystając z zasady ekwipartycji energii cieplnej. b) rzy dostatecznie wysokich temperaturach cząsteczka gazu dwuatomowego wykonuje w przestrzeni obroty (sztywna dwuatomowa molekuła wiruje w przestrzeni) o średniej energii k BT. Ile wynosi w tych warunkach pojemność molowa C (1) V? (Gaz cząsteczek H 2 w przedziale temperatur od 350K do około 800K ma C V = C (1) V.). c) rzy jeszcze wyższych temperaturach wzbudzane są wibracyjne stopnie swobody cząstki dwuatomowej (atomy wykonują ruch drgający wzdłuż linii łączącej je), przy czym średnia energia takiego ruchu wynosi kt. Obliczyć pojemność C (2) V przy bardzo wysokich temperaturach. (Gaz cząsteczek H 2 o temperaturze powyżej 5000K wykazuje C V = C (2) V.) 36. A) Stacja meteorologiczna jest umieszczona na wysokości 3250m. Oszacować ciśnienie powietrza na tej wysokości. rzyjąć: temperaturę powietrza 5 C, masę molową powietrza 29 g/mol, ciśnienie na poziomie morza p 0 = 1000 ha. B) Na jakiej wysokości ciśnienie powietrza stanowi 75% ciśnienia na poziomie morza? Masa molowa powietrza 29 g/mol. C) Załóżmy, że atmosfera Ziemi jest złożona tylko z atomów: azotu, lub tlenu albo wodoru. Oszacować ciśnienie takiej atmosfery na wysokości 1 km. rzyjąć: temperaturę atmosfery 5 C, ciśnienie na poziomie morza p 0 = 1000 ha. 37. Ile waży 1m 3 powietrza: A) na powierzchni Ziemi; B) na wysokości 4 km nad powierzchnią? rzyjąć temperaturę powietrza za 0 C. Ciśnienie na poziomie morza p 0 = 1000 ha. 38. Diagramy obok przedstawiają cykl zamknięty silnika spalinowego (cykl Otto): 12 suw adiabatycznego zasysania mieszanki paliwowej; 23 zapłon mieszanki paliwowej w przemianie izochorycznej; 34 adiabatyczny suw pracy (rozprężanie); 41 przemiana izochoryczna usuwania spalin do otoczenia. okaż, że sprawność takiego cyklu wynosi gdzie jest współczynnikiem sprężania w przemianie 12. Ws-ka: atrz www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/cykle.pdf. 39. Diagramy obok reprezentują cykl zamknięty pracy modelu silnika Diesla. rzemiana adiabatyczna 12 (ab) to sprężanie powietrza (bez paliwa); w punkcie 2 (b) następuje wtrysk paliwa pod wysokim ciśnieniem i zapłon mieszaniny bez iskry; generacja i transfer ciepła do sprężonego powietrza przybliżamy przemianą izobaryczną 23 (bc); suw pracy 34 (cd) modelujemy przemianą adiabatyczną; po otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych suwach gorące powietrze i produkty spalania są zastępowane w przemianie izochorycznej 41 (da) przez świeże powietrze. Załóżmy, ze substancją roboczą jest gaz idealny o znanych ciepłach molowych. okaż, że współczynnik sprawności tego cyklu można wyrazić za pomocą 1 Td Ta temperatur T a, T b, T c, T d oraz wykładnik adiabaty i wynosi on 1. Następnie wykorzystując T T związki dla przemian adiabatycznych T V T V i T V 1 1 a a b b T V oraz równość V a = V b, pokaż, że 1 1 c c d d c b 8

atrz: www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/cykle.pdf. 1 1 V c V b Tc Tb Vd Va 1. T T c b 40. Diagramy poniżej prezentują cykl zamknięty pracy modelu silnika Diesla. rzemiana adiabatyczna 12 (ab) to sprężanie powietrza (bez paliwa); w punkcie 2 (b) następuje wtrysk paliwa pod wysokim ciśnieniem i zapłon mieszaniny bez iskry; generacja i transfer ciepła do sprężonego powietrza przybliżamy przemianą izobaryczną 23 (bc); suw pracy 34 (cd) modelujemy przemianą adiabatyczną; po otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych suwach gorące powietrze i produkty spalania są zastępowane w przemianie izochorycznej 41 (da) przez świeże powietrze. Załóżmy, ze substancją roboczą jest gaz idealny o znanych ciepłach molowych. okaż, że współczynnik sprawności T 1 T4 T1 1 1 1 1 1, 1 T2 T3 T2 1 r 1 gdzie r=v 1/V 2 i. Ws-ka: atrz www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/cykle.pdf. Wrocław, 8 stycznia 2018 W. Salejda 9