Krzysztof KRÓL Danel AWICKI an IKORA ZATOOWANIE METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W TOMOGRAFII IMPEDANCYNE TREZCZENIE Nnesza praca ma na celu przedstawene metod rozwązywana zagadnena odwrotnego tomograf mpedancyne za pomocą metody elementów brzegowych. łowa kluczowe: metoda elementów brzegowych, tomografa mpedancyna. WTĘP Metoda elementów brzegowych (MEB) sprowadza sę do równań algebracznych, których rozwązane określa wszystke poszukwane funkce na brzegu, co pozwala na oblczene funkc wewnątrz rozpatrywanego obszaru. mgr nŝ.,krzysztof KRÓL e-mal: k.krol@pollub.pl Poltechnka Lubelska, Katedra Elektronk mgr nŝ. Danel AWICKI e-mal: saw@poltechnka.lubln.pl Poltechnka Lubelska, Katedra Elektronk prof. dr hab. nŝ. an IKORA e-mal:.skora@pollub.pl Zakład Metrolog Badań Nenszczących Instytut Elektrotechnk, Poltechnka Lubelska, Katedra Elektronk PRACE INTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 239, 2008
30 K. Król, D. awck,. kora Ta metoda ak kaŝda posada pewne wady zalety. e Zaletą est to, Ŝe wymaga aproksymac tylko na brzegu obszaru tylko do tego ograncza sę generaca satk węzłów elementów. Konsekwencą tego est redukca wymaru zagadnena o eden, a dodatkowo otrzymue sę dokładne wartośc poszukwanego rozwązana wewnątrz obszaru bez lokalnego zagęszczena satk na brzegu. Wadą est koneczność stnena znaomość rozwązana fundamentalnego równana róŝnczkowego [4]. Metoda elementów brzegowych est dobrą metodą do rozwązywana zagadnene prostego odwrotnego w tomograf mpedancyne, ze względu na małe trudnośc w generac satk, zwłaszcza w przestrzen 3D, gdze przewaŝne potrzebne est generowane modelu numerycznego do konkretnego rozwązana. Metoda elementów brzegowych est formułowana w odnesenu do obszarów ednorodnych. Przy obszarach neednorodnych moŝna podzelć e na dwa rodzae. Perwszy, eśl obszar dae sę modelować podobszaram ednorodnym materałowo wtedy zadane rozwązywane est przez powązane układów równań MEB warunkem cągłośc pola na brzegu tych podobszarów. Drug, dotyczy neednorodnośc cągłe (zadane funkcą analtyczną), kedy ne moŝna wydzelć stref ednorodnych materałowo. W takm obszarze rozwązana ednoznaczne uzyskue sę edyne dla pewnych szczególnych funkc neednorodnośc [0]. Tomografa mpedancyna est technką obrazowana, w które wykorzystue sę właścwośc elektryczne materałów, w tym równeŝ tkanek bologcznych. W metodze te badany obekt pobudzany est ze źródła prądowego lub napęcowego a następne obserwue sę powstały na ego brzegu rozkład napęć. Zebrane nformace przetwarzane są za pomocą algorytmu, który konstruue obraz badanego obektu [5]. 2. TOMOGRAFIA IMPEDANCYNA Metoda mpedancyne tomograf komputerowe ma za zadane zbudowane obrazu daącego nformace o wnętrzu badanego obektu, gdze obraz est rozkładem gęstośc welkośc, reprezentuące rozpatrywaną właścwość fzyczną obektu. W opsywanym przypadku nośnkem nformac o badanym obekce są prądy elektryczne, węc gęstoścą est konduktywność, przenkalność elektryczna lub przenkalność magnetyczna badanego obektu. Za początek tomograf mpedancyne moŝna przyąć zaproponowaną w 979 roku przez L.R. Prce nową metodę konstrukc obrazu w tomograf komputerowe [8], w które nośnkem nformac mał być prąd elektryczny. Impedancyna Tomografa Komputerowa est technką cągle rozwaną,
Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 3 znaduąca zastosowane w welu dzedznach nauk. lne rozwnęła sę w rzech kerunkach (bomedycyna, przemysł rafneryny defektoskopa wroprądowa), co stało sę podstawą do dokonana podzału technk na podgrupy []: tomografa mpedancyna TI (ang. Electrcal Impedance Tomography EIT) nośnkem nformac est rozkład potencału (w szczególnośc na brzegu obszaru) wymuszony przepływem prądu elektrycznego o zęstotlwośc mnesze nŝ 200 khz ( marą gęstośc est konduktywność γ [/m]); TI znadue zastosowane w bomedycyne przemyśle elektroncznym; tomografa poemnoścowa TP (ang. Capactance Tomography CT) nośnkem nformac są poemnośc mędzyelektrodowe (marą gęstośc est przenkalność elektryczna ε [F/m]); TP znadue zastosowane w rzemyśle rafnerynym energetycznym; tomografa prądów wrowych TPW (ang. Eddy Current Tomography ECT) nośnkem nformac est zmana mpedanc cewek wzbudzaących przepływ prądów wrowych (marą gęstośc est przenkalność magnetyczna µ [H/m] lub konduktywność γ [/m]); TPW znadue zastosowane do nenszczącego badana materałów do rutynowego sprawdzana stanu rur chłodzących reaktor w elektrownach ądrowych. Praktyczne aplkace w bomedycyne rozpoczęły sę po roku 983, kedy grupa fzyków medycznych (Barber Brown) ze szptala w heffeld w Angl, zaproektowała prototyp urządzena [6], odpowedn do wykonana pomarów na cele człoweka. Obecne prowadzone są badana na welu takch urządzenach. Układ pomarowy z heffeld [6, 9] korzysta z 6 elektrod, które są rozmeszczone równomerne dookoła brzegu obektu. Dane pomarowe gromadzone są przez pomar róŝncy potencałów mędzy kaŝdą parą elektrod, oprócz elektrod prądowych (para elektrod sąsednch do których przykłada sę prąd natęŝenu 5 ma lub mneszym, o częstotlwośc 50 Hz). Przy ednym ułoŝenu elektrod dokonue sę 3 pomarów, a zmenaąc sekwencyne połoŝene elektrod zaslaących, powtarza sę pomar. W ten sposób otrzymue sę 208 danych pomarowych z których tylko 04 są lnowo nezaleŝne. Oznacza to Ŝ moŝna uzyskać tylko 04 nezaleŝne elementy obrazu. Zaletą te metody est prosta konstrukca łatwy sposób akwzyc danych, wadą natomast est to Ŝ ne moŝna odwzorować bezwzględnych wartośc parametrów elektrycznych, a edyne zmany tych parametrów. Zespół nŝynerów z Rensselaner Polytechnc Insttute opracował układ 32 lub 64 elektrodowy, w których kaŝdy ma swó własny programowany generator. Mmo wększego stopna skomplkowana w stosunku do perwszego rozwązana, uzyskano
32 K. Król, D. awck,. kora lepszy stosunek sygnału nosącego nformace do szumu oraz zmneszene wraŝlwośc na nedokładność połoŝena elektrod pomarowych wokół badanego obektu. Dzęk temu moŝlwe stały sę badana tułowa oraz obserwace zman nowotworowych w badanach mamografcznych [4]. Wartośc potencałów elektrod zaleŝą od rozpływu prądu wewnątrz obszaru, a tym samym równeŝ od rozkładu konduktywnośc. Algorytm rekonstrukc obrazu poszukue teracyne takego rozkładu konduktywnośc, dla którego oblczone wartośc napęć mędzyelektrodowych są moŝlwe nablŝsze odpowednm wartoścom pomarowym. Wartośc początkowe konduktywnośc w punkce wyścowym procesu teracynego są doberane dośwadczalne, aby otrzymać moŝlwe nalepszy wynk. Zwykle przymue sę rozkład ednorodny tych współczynnków. W tomograf mpedancyne rozwązane zagadnena prostego polega na wyznaczenu rozkładu potencału wewnątrz obektu, przy zadanych warunkach brzegowych danych dotyczących rozpatrywanego obektu. Z matematycznego punktu wdzena mpedancyna tomografa komputerowa naleŝy takŝe do zagadneń odwrotnych pola elektromagnetycznego. Zagadnenem odwrotnym pola elektromagnetycznego nazywamy proces dentyfkac, optymalzac, bądź syntezy, w którym zmerza sę do wyznaczena parametrów opsuących dane pole, na podstawe posadana nektórych nformac charakterystycznych dla tego pola. Zagadnena odwrotne są trudne do analzy. Z reguły ne maą ednoznacznych rozwązań są źle uwarunkowane. Przyczyną tego est często zbyt mała lub zbyt duŝa lczba nformac, które czasem są ze sobą sprzeczne bądź lnowo zaleŝne [4]. 2.. Podstawy matematyczne Fundamentem wększośc obecne stosowanych algorytmów rekonstrukc obrazu w ITK est równane: dv= 0 () przy załoŝonych warunkach brzegowych Drchleta (2) oraz Neumana (3): ϕ = ϕ b (2) d φ = 0 (3) dn
Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 33 Podstawaąc do wzoru () zaleŝność = γe (4) oraz E = grad φ (5) otrzymue sę zaleŝność mędzy rozkładem potencału φ, a rozkładem konduktywnośc γ w badanym obszarze: dv( γgrad φ ) = 0 (6) Równane (6) wraz z warunkam brzegowym (2) oraz (3) nazywa sę zagadnenem prostym pola. Rozwązane tego równana prowadz do wyznaczena rozkładu funkc stanu w rozpatrywanym obszarze. ZałóŜmy, Ŝe wektor v est wektorem potencałów zmerzonych na brzegu obszaru, natomast γ wektorem reprezentuącym rozkład elektrycznych parametrów materałowych wewnątrz obszaru (rozkład konduktywnośc). Wektory te powązane są pewną, nelnową transformacą T. Macerz te transformac określa rozwązane równana Laplace a: v =T( γ ) (7) Przy powyŝszych załoŝenach, zadanem ITK est wyznaczene transformac odwrotne do transformac T, która odwzorowałaby wektor v na wektor γ: v γ =T (8) Równane (8) nos równeŝ nazwę zagadnena odwrotnego pola. Na ogół wymar wektora v est co namne równy wymarow wektora γ, stąd teŝ rozwązane tego zagadnena ne est rzeczą łatwą. 3. METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH Metoda elementów brzegowych (MEB, ang. Boundary Element Metod BEM) est numeryczną metodą rozwązywana równań całkowo-brzegowych, t.
34 K. Król, D. awck,. kora równań, w których poszukwana funkca znadue sę pod znakem całk oblczane po brzegu pewnego obszaru. MoŜlwe est takŝe rozwązane równań róŝnczkowych, które zastępue sę odpowedno skonstruowanym równanam całkowym [7]. Ideą te metody est przekształcene danego zagadnena brzegowego do równowaŝnego równana całkowego, które est określone na brzegu badanego obszaru. Zagadnene brzegowe opsane est układem równań róŝnczkowych z odpowednm warunkam początkowym brzegowym Zagadnene analzy polowe Równane róŝnczkowe Warunk brzegowe Równane całkowo-brzegowe Dyskretyzaca brzegu Wyznaczene wartośc funkc polowe e pochodne normalne na brzegu obszaru Wyznaczene wartośc funkc polowe wewnątrz obszaru Wyznaczene róŝnych parametrów, np. natęŝena pola, mocy, sły, pracy, energ tp. Rys.. chemat rozwązywana zagadnena za pomocą MEB
Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 35 oraz rozwązanem fundamentalnym. Przenesene oblczeń na brzeg obszaru prowadz do obnŝena przestrzen o edność (brzeg obszarów trówymarowych est powerzchną a brzeg obszarów dwuwymarowych krzywą [, 2, 3]). Wyznaczene wartośc funkc pola za pomocą MEB składa sę z następuących etapów [7]: określena równana całkowego opsuącego rozpatrywany problem, dyskretyzac brzegu obszaru równana całkowego, wyznaczena wartośc funkc pola e pochodne normalne na brzegu, przeprowadzena dodatkowych oblczeń (np. wyznaczene wartośc funkc pola we wnętrzu obszaru, wyznaczene parametrów całkowych). Koleność rozwązana zagadnena za pomocą metody elementów brzegowych przedstawa rysunek. 3.. formułowane równana całkowego Perwszym etapem w MEB est zastąpene równana róŝnczkowego odpowedno skonstruowanym równanem całkowym. Wygodne est rozwaŝyć ogólnesze równane, opsuące pewną klasę problemów, aby ne powtarzać te konstrukc dla kaŝdego zagadnena [7]. W obszarze dzałana pola Ω, ogranczonego brzegem (rys. 2) poszukuemy funkc u(r), która opsue zagadnene polowe. Funkca u(r),est uogólnonym oznaczenem u(x,y,z) dla problemu trówymarowego lub u(x,y) oraz u(x) dla dwu- oraz ednowymarowego. Rys. 2. Określene zagadnena polowego [7] Zakładamy ze funkca u(r) spełna równane róŝnczkowe postac
36 K. Król, D. awck,. kora 2 2 u κ u = f (9) gdze: κ - znana lczba, f = f(r) - znana funkca. Wprowadzamy oznaczene ϑ κ 2 2 = (0) Równane (9) przymue postać ϑ ( u) = f () W celu rozwązana równana () koneczna est znaomość warunków brzegowych. Na częśc brzegu określonego ako zadany est warunek Drchleta u = u (2) a na częśc 2 warunek Neumanna u n = q 2 (3) Funkcę u oraz q są znanym funkcam określonym na odpowednch fragmentach brzegu oraz 2. Ne est moŝlwe zadane ednocześne obydwu warunków brzegowych δu na tym samym fragmence brzegu. eŝel ednak u byłyby znane na całym δ n brzegu to moŝna określć wartość funkc pola oraz e pochodnych w dowolnym punkce \wewnątrz obszaru Ω bez rozwązywana równana róŝnczkowego w całym obszarze [7]. W celu rozwązana zagadnena opsanego równanem () oraz warunkam brzegowym (2) (3) naleŝy zapsać e w postac całkowe ( ) u( r) ( ) ( ) d ( ) G r,r ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) u r = G r,r r u r r + f r G r,r Ω r n n Ω (4)
Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 37 gdze: r - ustalony punkt, w którym wyznaczamy wartość u, G(r,r) - rozwązane podstawowe równana () (funkca Greena w neogranczone przestrzen). Funkca ta est rozwązanem równana ϑ ( G( r,r) ) δ( r r) gdze δ est dystrybucą delta Draca. = (5) Aby równane (4) było prawdzwe dla dowolnego punktu r naleŝy e zapsać w postac G( r,r ) u( r) ( r) ( r) + ( r) d ( r) = ( r,r ) d ( r) + ( r) ( r,r ) dω( r) c u u G f G n n Ω (6) gdze u =u(r ), a wartość c(r ) zaleŝy tylko od połoŝena punktu r : c(r )= dla r na wewnątrz obszaru Ω c(r )=/2 dla r na gładkm brzegu (7) c(r )=0 dla r na zewnątrz obszaru Ω Równane (6) est równanem podstawowym metody elementów brzegowych. est to równane całkowo-brzegowe, w którym wartośc funkc pola są określone za pomocą składnków [7]: - całka brzegowa z wyraŝena u ng, wyraŝaąca zaleŝność funkc pola u wewnątrz obszaru od e wartośc na brzegu - składnk ten nazywa sę potencałem warstwy podwóne, - całka brzegowa z wyraŝena G nu, wyraŝaąca zaleŝność funkc pola u wewnątrz obszaru od wartośc e pochodne normalne na brzegu - składnk ten nos nazwę potencału warstwy poedyncze, - całka obszarowa z wyraŝena fg, uwzględnaąca funkcę wymuszaącą f, zwana potencałem obszarowym.
38 K. Król, D. awck,. kora 3.2. Dyskretyzaca brzegu równana Podzelmy brzeg obszaru Ω na fragmenty zwane elementam brzegowym. Brzeg na elementów brzeg 2 na 2 elementów (rys. 3). uma tych elementów wynese = + 2. Rys. 3. Podzał brzegu na elementy brzegowe [7] Korzystaąc z własnośc ze całkę moŝna rozłoŝyć na sumę podobszarów otrzymamy G( r,r) G( r,r ) u( r) d( r) = u( r) d( r) (8) n = u( r) u( r) G( r,r ) d ( r) = G( r,r ) d( r) (9) n Równane (6) przyme postać = n G( r,r ) ( r) ( r) + ( r) d ( r) = ( r) ( r,r ) d ( r) + ( r) ( r,r ) dω( r) c u u q G f G n gdze n Ω (20) czyl ( r) u q( r) = (2) n Drugą całkę z prawe strony równana (20) moŝna oznaczyć ako F(r ),
Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 39 ( r) ( r,r) dω ( r) = ( r) f G F (22) Ω gdyŝ wyraŝene podcałkowe fg oraz kształt obszaru Ω są znane. Rozwązanem e est lczba zaleŝna od ustalonego punktu r. ZałóŜmy, Ŝe elementy są na tyle małe, Ŝ moŝna przyąć Ŝe zarówno u(r) ak q(r) są stałe w obrębe kaŝdego elementu. ą to elementy stałe lub zerowego stopna. W kaŝdym takm elemence umeszcza sę eden centralny węzeł. Wartość funkc q oraz u est stała w kaŝdym z elementów równa wartośc w węźle centralnym. NaleŜy oblczyć wartośc u oraz q w tych węzłach przez wyznaczene brakuących wartośc u oraz q na brzegu. Wartość u w -tym elemence naleŝy oznaczyć ako u, a wartość q przez q [7]. Wtedy równane (20) przyme postać: G( r,r) d ( r) ( r,r) d ( r) (23) c u + u = q G + F = n = gdze: c =c(r ), u =u(r ), F =F(r ). W wynku przekształceń u oraz q moŝna wycągnąć przed znak całk (są stałe w obrębe elementu ), oraz wprowadzena oznaczeń: równane moŝna zapsać w postac ( ) ( ) d ( ) ˆ G r,r r,r r, d ( r) (24) G = G H = n c u + u Hˆ = q G + F = = (25) Otrzymane zostało równane algebraczne (25) wąŝące wartośc brzegowe u q z wartoścą u w punkce r [7]. Po zdyskretyzowanu równana całkowego moŝna przystąpć do wyznaczena brakuących wartośc brzegowych. Umeszczaąc -ty punkt na brzegu, w ednym z węzłów dokonuąc prostych przekształceń matematycznych moŝna otrzymać Hˆ +... + u ( Hˆ + c ) +... + uhˆ ) = = ( u q G + F (26)
40 K. Król, D. awck,. kora Oznaczaąc H H dla = H + c dla = (27) równane (26) przyme postać H = = = u q G + F (28) W równanu tym znane est wartośc u, 2 wartośc q, współczynnk H oraz G, a takŝe F. MoŜna e zapsać w postac q G... q = u H G + u... u + H H, + + q +... + u + G, + H = +... + q G + F (29) Po lewe strone znadue sę newadomych q oraz 2 newadomych u. Razem est newadomych. Umeszczaąc punkt w kolenych węzłach brzegowych, moŝemy ułoŝyć tyle równań (29) le est węzłów na brzegu czyl. Otrzymany w ten sposób układ równań lnowych moŝna zapsać w postac Q [ G H ] = [ H G ] 2 U 2 2 U Q 2 (30) lub ako AX= B (3) Macerz A est macerzą kwadratową x, natomast X B są wektoram kolumnowym o wymarze [7]. W celu wyznaczena wartośc wewnętrznych naleŝy umeścć punkt r wewnątrz obszaru Ω. Wychodząc z równana (25) borąc pod uwagę współczynnk c = moŝna otrzymać = = u ( q G u Hˆ ) + F (32)
Zastosowane metody elementów brzegowych w tomograf mpedancyne 4 Wszystke wartośc u oraz q w równanu (32) są znane, węc oblczane wartośc u wewnątrz obszaru est proste. Z równana (32) moŝna oblczyć takŝe pochodne u w punkce r. Wzór ten przyme postać: u x = = q G x u Hˆ x F + x (33) 4. PODUMOWANIE Zastosowane Metody Elementów Brzegowych wymaga aproksymac tylko na brzegu obszaru tylko do tego ograncza sę generaca satk węzłów elementów. Następstwem tego est redukca wymaru zagadnena o eden, a dodatkowo, uzyskane dokładnych wartośc poszukwanego rozwązana wewnątrz obszaru ne wymaga lokalnego zagęszczena satk na brzegu. LITERATURA. Alabad M. H.: The Boundary Element Method: Vol. 2 Applcatons n olds and tructures, WleyBlackwell, 2002. 2. Brebba C.A.: Boundary element method n engneerng, Pentech Press, London-Plymuth 978. 3. Brebba C.A., Walker.: Boundary element technques n engneerng, London-Boston, Newnes-Butterworth 980. 4. Flpowcz t. F., Rymarczyk T.: Tomografa mpedancyna pomary, konstrukce metody tworzena obrazu. BEL tudo, Warszawa, 2004. 5. Flpowcz t. F.: Dagnostyka neednorodnych obektów przestrzennych metodam tomograf mpedancyne elektroencefalograf. Ofcyna Wydawncza Poltechnk Warszawske, Warszawa, 2005. 6. HolderD.: Clncal and Physologcal Applcatons of Electrcal Impedance Tomography,UCL Press, 993. 7. abłońsk P.: Metoda elementów brzegowych w analze pola elektromagnetycznego. Wydawnctwo Poltechnk Częstochowske, 2003. 8. Prce L.R.: ElectrcalImpedance Computed Tomography (ICT), A new magng Technque, IEEE Trans. On Nuclear cence, Vol. N-26, Aprl, str. 2736-2739, 979. 9. eagar A.D., Barber D.C., Brown B.H.: Electrcal Impedance Imagng, IEEE Proceedngs, Vol. 34, Pt. A, No 2 February, str. 20-209, 987. 0. kora.: Boundary Element Method for Impedance and Optcal Tomography. Wydawnctwa Poltechnk Warszawske 2007.
42 K. Król, D. awck,. kora. kora.: Algorytmy numeryczne w tomograf mpedancyne wroprądowe. Ofcyna Wydawncza Poltechnk Warszawske, Waszawa 2000. Rękops dostarczono dna 3.2.2008 r. Opnował: prof. dr hab. nŝ. Zygmunt PIĄTEK APPLICATION BOUNDARY ELEMENT METHOD FOR IMPEDANCE TOMOGRAPHY Krzysztof KRÓL, Danel AWICKI, an IKORA ABTRACT: The am of ths paper s presentng the soluton of nverse problem for mpedance tomography wth boundary element method.