Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liz Część. Nierównośi Rozdził 6 6. Jednorodne nierównośi wymierne Andrzej Nowiki 4 mj 0, http://www.mt.uni.torun.pl/~now Spis treśi 6 Jednorodne nierównośi wymierne 7 6. Jednorodne nierównośi wymierne n zmiennyh................. 7 6. Nierówność Nesitt i jej uogólnieni...................... 76 6. Jednorodne nierównośi wymierne dwóh zmiennyh.............. 79 6.4 Jednorodne nierównośi wymierne trzeh zmiennyh.............. 79 6.5 Jednorodne nierównośi wymierne ztereh zmiennyh............. 86 Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liz npisno w edytorze L A TEX. Spisy treśi tyh książek orz pewne wyrne rozdziły moż znleźć n internetowej stronie utor: http://www-users.mt.uni.torun.pl/~now.

6 Jednorodne nierównośi wymierne oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6. Jednorodne nierównośi wymierne n zmiennyh oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6... x y x y, dl, > 0, x, y R. D. [MOD] 4.Z ozywistej nierównośi y x 0 otrzymujemy kolejno: x y xy, x x y y x xy y, x y x y. Wystrzy terz osttnią z tyh nierównośi podzielić stronmi przez. 6... Jeśli λ,..., λ n > 0 orz x,..., x n R, to Równość zhodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x λ x λ x n λ n x x n λ λ n. = = xn λ n. [MOD] 5. D. [MOD] 4-5. Indukj ze względu n n. Dl n = jest to ozywiste. Nieh n i złóżmy, że rozwżn nierówność jest prwdziw dl n. Mmy wtedy n moy 6..: i to końzy dowód. x x n x n x x n x n x x n x n λ λ n λ n λ λ n λ n λ λ n λ n Podmy terz kilk zstosowń nierównośi 6... 6... [MOD] 5. x x n x x n, dl dodtnih liz x,..., x n, y,..., y n. y y n x y x n y n D. x x n = x x n x x n. y y n x y x n y n x y x n y n x 6..4. y x n x yn x n, x x n y y n dl dodtnih liz x,..., x n, y,..., y n. [MOD] 5. D. x y x n yn = x y x x n y n x n x x n x x n. y y n 7

74 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 6..5. x x x n n x x n, dl x,..., x n > 0. [Mt] /957 7. D. Nierówność 6.. dl λ = = λ n =. 6..6. Jeśli x,..., x n, y,..., y n są dodtnimi lizmi rzezywistymi tkimi, że x x n = y y n, to D. [MOD] 6. x x y x x n x y x n y n x x n. [A-P] 99. x n x n y n x x n x x n y y n = x x n. Szzególnym przypdkiem nierównośi 6..6 jest nstępn nierówność. 6..7. x x x n x x x x x n x x x n, dl x,..., x n > 0. [Crux] 998 s. 6. 6..8. Jeśli x,..., x n > 0, to: S x S x S x n gdzie S = x x n, [Mt] 5/959 96; [WJ] 4786; n n S, n < 4 x x x x x x n x n x x x n [Nord] 999., x n x x x n n x x x n. 6..9. x x n n, dl x,..., x n > 0..6., [MM] 4969 6. x x n 6..0. x x x n x x xn x x x n n x x n, x dl x,...,x n > 0. M. Benze, [Crux] z.086. 6... x x x n n, x x x n 4 dl x,..., x n [, ], gdzie 0 < <. [Kw] 7/979 5, [Khr], [Khr]. x n x x x n 6... x x x x x x 4 x n x nx x n, n x x dl x,..., x n > 0. [IMO] Shortlist 985, [Djmp] s.9478, [OM] Polsk 990.

Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 75 6... x x x n x x x dl x,..., x n > 0. T. Mitev, [Crux] z.97. x x x x n x n x n, x 6..4. x x x x x x x x x n x n x x dl x,..., x n > 0. [OM] Węgry-Izrel 00, [KoM] 004 B700, [Mild]. x x n x x x n, 6..5. Jeśli x n x n x > 0, to: x x x x x n x n x nx x x x n, [OM] St Petersurg 000 9, [Ko04] 6; x x 4 x x x x x x x n x n x nx x x x n, [OM] St Petersurg 000; x n x x n x n x x x x 4 x n x x nx x x x n, [OM] St Petersurg 000; x x x n x x 4 x x n x x x x n x n. [Uiu] 00, [Ko0] s.07. x x x n x n x x x n x x s 6..6. x s xs x s xs n x s xs n n x s xs x s xs x s xs n x s n dl s orz x,..., x n > 0. [Cmj] 599 49, [Mt] 4/994 40. xs n x s, D. Dl dowolnyh liz rzezywistyh, zhodzi nierówność s. s Wstwiją = x i, = x i, dl i =,..., n, otrzymujemy n nierównośi. Rozptrywną nierówność otrzymmy po dodniu stronmi wszystkih tyh n nierównośi. x 6..7. x x n x n x x x n, x x x n x dl s orz x,..., x n > 0. [OM] Chiny 984. D. Jest to nierówność 6..6 dl s =. Wynik to również ntyhmist z 6... Inne dowody znjdziemy, n przykłd, w [Liu] s.84-85 ztery różne dowody. x 6..8. x x n x n x x x n x x... x n n, dl x,..., x n > 0. [OM] Kijów 996. x 6..9. x x n x n x x x x x x n x n, dl x,..., x n > 0. [Mt] /005 z.6.

76 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 6..0. Dl dodtnih liz x,..., x n, y,..., y n, zhodzi nierówność x y x x n y y n x y x n y n x ny n. x y x n y n M. Kuzm, [Crux] 997 s. z.. 6... Dl dodtnih liz x,..., x n zhodzi nierówność n i<j 4 x i x j x i<j i x j. [IMO] Longlist 959-966, [Djmp] s.7. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6. Nierówność Nesitt i jej uogólnieni oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6.. Nesitt 90. Dl dodtnih liz rzezywistyh,, zhodzi nierówność [Str], [BoW] s.8, [Siw] 6.. D. Nieh x =, y =, z =. Mmy wtedy: = x y y y x z z z y x x z =. Wykorzystliśmy nierówność..8. U. Dziesięć różnyh dowodów tej nierównośi znjdziemy w rtykule Hojoo Lee [MC] 400 0-6. W [LeH] jest dowodów. Dziesięć różnyh dowodów znjdziemy również w [Ko04] strony 9 4. Nierówność 6.. jest szzególnym przypdkiem nstępująej ogólniejszej nierównośi. 6... Jeśli u > 0, v > 0, to u v u v u v u v dl dodtih liz rzezywistyh,,. D. [Brd] 49, 7. Nieh x = uv, x = uv, x = y = u v, y = u v. Wtedy: uv, y = u v, x y x y x y =, x x x = uv uv uv, y y y = u v uv i tez wynik z nierównośi Cuhy ego: x y x y x y x x x y y y ptrz.6..

Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 77 6... 6..4. 6..5. s s s, dl,, > 0, =, s. [AnC]. dl,, > 0. [MM] 840 69. 4, dl,, > 0. 6..6. d d d, dl,,, d > 0. [Kw] 7/985 47, /997 4. U. W książe [Ko04] n stronh 4-9 znjduje się 8 różnyh dowodów tej nierównośi. 6..7. 4 5 5 4 4 5 5, dl,..., 5 > 0. [Ko00]. U. W książe [Ko04] n stronh 9-4 znjduje się 5 różnyh dowodów tej nierównośi. 6..8. [Ko04] 4. 6..9. [Khr]. 4 5 6, dl,..., 6 > 0. 4 4 5 5 6 6 n n 4 n n, dl,..., n > 0. n Pewne uogólnienie nierównośi Nesitt 6.. zproponowł w 954 roku H. S. Shpiro w [Mon] Prolem 460, stron 57. 6..0 Prolem Shpiro. Rozwżmy nierówność: dl,..., n > 0. 4 n n n n, Z powyższyh fktów wynik, że nierówność t jest prwdziw dl n =, 4, 5, 6. Jeśli jest fłszyw dl pewnego nieprzystego n, to jest również fłszyw dl n. Jeśli jest fłszyw dl pewnego n, to jest również fłszyw dl n. 4 D. Djekoviz 96. Dl n = 8 jest prwdziw. 5 P. Novosd 967. Dl n = 0 jest prwdziw. 6 V. Levin, E. Godunov 974. Dl n = jest prwdziw. 7 M. Lighthill, A. Zluf. Dl n = 4 jest fłszyw. 8 Nierówność t jest fłszyw dl wszystkih przystyh n 4. Dl pozostłyh liz przystyh n 4 jest prwdziw. 9 L. Deykin 97. Dl n = 5 jest fłszyw. 0 K. Trosh 989. Dl n = jest prwdziw. Nierówność t jest fłszyw dl wszystkih nieprzystyh n 5. Dl pozostłyh liz nieprzystyh n jest prwdziw. [MiV] -8, [M-pf] 440-47, [Ko04].

78 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 6... < 6... d 4 [WJ] 869, [Dlt] 0/994, [Ko04] 56. 6... [TT] 98. 6..4. n [Kw] /997 4. n d d e n n n n n n n n e < 4, dl,,, d, e > 0. [AuP] 000. e n > n 4, dl,..., n > 0. n n, dl n,,..., n. n n, dl n 4,,..., n > 0. 6..5 Dinnd 959-96. Rozwżmy nierówność: dl,..., n > 0. 4 4 5 n n Nierówność t jest prwdziw dl n = 4, 5, 6, 7, 8. n n, Jeśli jest fłszyw dl pewnego n, to jest również fłszyw dl n. Dl n = 5 jest fłszyw. [Ko04]. 6..6. n S S S n [Str] s.7, [Kw] 9/97, [OM] Austrli 99, [Crux] 997 s.4. n n, dl,..., n > 0, gdzie S = n. k k k n n 6..7. S S S n n k, dl,..., n > 0, 0 < k, gdzie S = n. [IMO] Longlist 989. S 6..8. S S n nn, n dl,..., n > 0, gdzie S = n. [OM] Austrli 99, [Crux] 997 s.4. P. H. Dinnd, Extensions of n inequlity of H. S. Shpiro, [Mon] 66959 489-49. P. H. Dinnd, On onjeture of L. J. Mordell regrding n inequlity involving qudrti forms, [Jlms] 696 85-9. P. H. Dinnd, Some yli nd other inequlities, [Pm] 5896 45-47. J. Górniki, Nierównośi yklizne, [Gorn] 69-7. L. Kurlndzyk, Prolem Shpiro, [Ko04], 9-06. Hojoo Lee, Ten different proofs of n inequlity, [MC] 400 0-6. A. M. Nesitt, Prolem 5 4, Edutionl Times, 90, 7-8. D. S. Mitrinović, O nierównośi Shpiro, [Mitr], [Mit] 99-00. D. S. Mitrinović, J. E. Pećrić, A. M. Fin, Shpiro s inequlity, [M-pf], 440-47. D. S. Mitrinović, P. M. Vsić, Cyli inequlities, [MiV], -8. F. H. Northover, An invlid inequlity, [Mon] 6956 9-9.

Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 79 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6. Jednorodne nierównośi wymierne dwóh zmiennyh oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6... x y x y 9, dl x, y > 0. [OM] Rosj 999. 4xy 6... Dl x, y > 0: x y 4, [Kw] /997 4; x y x 4 y 9, [Kw] /997 4; x y x y x y y x y x 4, [Mth] 006. x y 6... x 4 y 4 x6 y y6, dl x, y > 0..6.9. x oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6.4 Jednorodne nierównośi wymierne trzeh zmiennyh oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6.4.. Jeśli,, > 0, to: 4 5 6 7 8 4 4 4,.6.9, [Mt] /994 6;, [MOD] 4; >, gdy 0 < < <, [OM] Moskw 99/994;, 7..5, [Mth] 006; k k k k k, dl dowolnego k > 0, Nguyen Viet Anh, [Pkh] s.49; k,.6.9, [Nord] 987, [P97]; 9, 7..5; 9 0, [Pkh] s.9; 4, [Blk] 005;, [Ko00];

80 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 4 5 6 6.4.. 4, [OM] Ukrin 005;,.6.9, [OM] Knd 00, [Ko0] 49;,.6.9, 6..6, [Zw] 00;,.6.9, 6..6, [Mt] 4/994 9; 0, gdy > 0, [OM] Wietnm 99; 0 0 8 8 8,.6.9, [Ko0] 50. xy z yz x zx y x y z, dl x, y, z 0. [MO] z.556. U. Anlogizn nierówność dl ztereh liz x, y, z, t nie zhodzi. Przykłd: x =, y = 6, z = 6, t = 8. [Ko04] 4. 6.4.. 6.4.4. x yz x, dl x, y, z,,, > 0, to [Ko0]. y z x y z, dl,,, x, y, z, > 0. [OM] Biłoruś 000. x y z D. [AF00] 0. Korzystmy z nierównośi Hölder:, x x x y y y z z z x y z x y z x y z zhodząej dodtnih liz rzezywistyh ptrz.7.. Podstwimy: x x = / z, y = y = y =, z = x, z = y, z = z i mmy: = / x, x = / y, x y x y z. z Dzielimy przez x y z i otrzymujemy tezę. 6.4.5., dl,, > 0. [Ris]. D. [Ris]. =, =, Po dodniu do sieie tyh trzeh nierównośi otrzymujemy tezę. =. 6.4.6. [OM] USA 997, [RiM] July 00. dl x, y, z > 0.

Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 8 6.4.7. Jeśli x, y, z > 0, to: 4 5 6 x y y z z x 0, V.Cirtoje, Nguyen Viet Anh, [Pkh] s.54; x y z x y y z z x x y z 6, [Pkh] s.67; xy yz zx x y y z z x 9, [RiM] July 00; 4xy yz zx x y y z z x, [Pkh] s.49; xy yz zx yx y zy z xz x 7, [MO] 00 z.6; x y z 4x xy 4y 4y yz 4z 4z zx 4x 9 7x y z, Vsile Cirtoje, [Mild]. 6.4.8., dl,, > 0. [OM] Irlndi 998, [Khr], [Khr]. D. Wynik to z fktu.5.7 zstosownego do wypukłej funkji f : 0, R, fx = x. 6.4.9. Jeśli,, > 0, to: 4 5 6 >, [Siw] 76; >, [Kw] /997 4; 9, [OM] Irlndi 998; 8 8 8, [IMO] Longlist 967, [Djmp] s.4755, [Crux] z.4, [Siw] 8; x x x x, gdzie x =, [OM] Mołdwi 998; Phm Kim Hung [Pkh] s.45; 7 8 9 4 5 9 4, [AnC];, [Blt] 004;,, Hojoo Lee, [Crux] z.580;

8 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 0 [RiM] July 00; 9 4,. 6.4.0. Dl dodtnih liz,, zhodzą nstępująe nierównośi. 4 5 6 7 8 4 9, [Ko04] 7;, [AnC], [MOD] ;, [OM] Indie 00, [Pkh] s.9;, [Pkh] s.9;, [OM] Mołdwi 00; 0, [MS] 4/99 z.797 [Ko00];, 6.., [OM] Czehy-Słowj 999;, 6..; 9 4, 6..; 0, Phm Kim Hung, [Pkh] s.6; 9, 6..9, [BoW] 7 s.80. 6.4.. > 0, dl > > > 0. [Pie]. 6.4.. Dl dodtnih liz,, zhodzą nstępująe nierównośi., [Pkh] s.4;, [OM] Mołdwi 999; [OM] Bośni Heregowin 000;,

Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 8 4, Phm Kim Hung [Pkh] s.45; 5 6, [OM] Rosj 998; Phm Kim Hung [Pkh] s.5; 7 λ Phm Kim Hung [Pkh] s.59; 8 9 0 λ 0, 0, dl 0 λ, λ, [OM] Mołdwi 999;, [OM] Moskw 999/000; 4 6, P.Sholze, D.Grinerg, [Pkh] s.07; 5, [OM] Jponi 997, [RiM] July 00, [Crux] 00 s.5; 4 5 8, [OM] USA 00; 7, [OM] St Petersurg 995;, Phm Kim Hung, [Pkh] s.0;, G. Perz, [Crux] z.976; 6 0, [Pkh] s.0; 7 9, [Pkh] s.80; 8 9 9 9 4, [OM] Irn 996, [Crux] 997 s.67., [Pkh] s.8; 6.4.. Dl prmi różnyh liz dodtnih,, zhodzą nierównośi:,

84 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne Le Huu Dien Khue, [Pkh] s.5; [OM] Wietnm 008, [ChKh] 46, -. 4, 6.4.4. Dl dodtnih liz,, zhodzą nstępująe nierównośi., [OM] Wietnm 005; 8 5, Phm Kim Hung, [Pkh] s.4; 4 Nguyen Vn Thh, [Pkh] s.6; 5 6,, [MOD] 4; 9, Hojoo Lee, [Crux] z.645., [Pkh] s.08; 6.4.5. n n n n, dl,, > 0, n N. [MS] /998 z.496. m m 6.4.6. m m m m m m n n dl m n orz,, > 0. T. Zvonru, [Crux] z.970. m n n n n n n n, 6.4.7., dl,, > 0. [Nord] 005. D. [Stee], 7. = = Wykorzystliśmy nierówność Cuhy ego.6...

Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 85 6.4.8. Dl dodtnih liz,, zhodzą nstępująe nierównośi: 4 5 6 7 8 9, Mihel Rozenerg, [Mild];, [OM] IMSA Intrmurl 000; 4, [IMO] Longlist 970, [Djmp] s.65;, [Kw] 6/008 4;, [AnC]; 4 4 4 4 4 4 4, [Pkh] s.97; 9 [OM] Ukrin 997, [Crux] 997 s.76; 0, Hojoo Lee, [Crux] z.58; ; [Ko0] 55, 4, dl > 0,, dl,, > 0, [Ko00]; [AnC], [Crux] 005 s.79;,, [Pkh] s.; Nguyen Viet Anh, [Pkh] s.0; 4,. V. N. Murty, [Crux] z.570. 6.4.9. y z z x dl x, y, z,,, > 0. W. Jnous, [Crux] z.67. xy yz zx x y, x y z 6.4.0., dl,, > 0. [Kw] 6/986 6, /997 4, [Dlt] 9/989 M9, [KoM] B84 000.

86 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne D. Wynik to z nierównośi, któr jest konsekwenją nierównośi 0. 6.4..,,, > 0. [Mit] s.08. 6.4.. 6.4.. [OM] Mołdwi 004., dl,, > 0. [OM] Ukrin 996., dl,, > 0. 4 n 6.4.4. n n n n, dl,, > 0. [OM] Grej 987, [P97]. 6.4.5. 6.4.6. n n r r n n n n r V.Cirtoje, Phm Kim Hung [Pkh] s.68. 6.4.7. kn k kn k r r r dl r., dl,, > 0. [MS] 4/99, [Ko04] 7. kn k n n n, dl,, > 0, n, k N. [OM] Seri-Czrnogór 00. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6.5 Jednorodne nierównośi wymierne ztereh zmiennyh oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6.5.. Jeśli,,, d > 0, to: d d, [OM] Austri 005; d d d d 4 d, [Pkh] s.56. 6.5.. Jeśli,,, d > 0, to: d d d 4, [Pkh] s.; d d 4 9 6 d, Phm Kim Hung [Pkh] s.4; d Phm Kim Hung [Pkh] s.5. 4 8 d,

Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 87 6.5.. Jeśli,,, d > 0, to: [Kw] /997 4; 4 d d d d 4 d d 6, [Str] s.7; d d d d 6, [Str] 4; d d Phm Kim Hung [Pkh] s.7. 6.5.4. Jeśli,,, d > 0, to: d d d d d 4 d, [Mth] 006; d 4 d, d d d d d,.6.9, [Ko0]; d d d d d d,.6.9, [Ko0] 50. 6.5.5. Dl dodtnih liz,,, d zhodzą nstępująe nierównośi. d d d d d [IMO] Shortlist 99, [OM] USA 99, [P97]; d 4 ; d d d, [Ko04] 7; d d d, 4 < d d d <, [IMO] 974, [Br80] 95; d 5 d d d 4, [IMO] Shortlist 97, [Blt] 996; d 6 d d d d 0, [AnC], [OM] Chorwj 009; 7 0. [Dlt] /00 z.448; 8 d d d d d V.Cirtoje, [Pkh] s.66; 9 k k d dl dowolnego k 0, [Pkh] s.66. d d 9, k kd k, d,

88 Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 6.5.6. d d, dl,,, d > 0. [OM] Wietnm 96, [ChKh], 85. D. Stndrdowe przeksztłeni sprowdzją tę nierówność do równowżnej ozywistej nierównośi d 0. d d 6.5.7. d d d d d, dl,,, d > 0. D. d = d d = d d d d d d d d d d d d d d. Wykorzystliśmy nierówność Cuhy ego.6.. d 6.5.8. Dl dodtnih liz,,, d zhodzą nstępująe nierównośi. d d d, [Ko04] 7; d d d d d 4, [Pkh] s.94; 9 d d d d d d, d [Cmj] 978 s.8, [OMm] 997/998; 4 [IMO] Shortlist 008; 5 d d d d d d d d d d d, [Pkh] s.8. 0, Litertur [A-P] Asin Pifi Mthemtil Olympid. [AF00] T. Andreesu, Z. Feng, G. Lee Jr., Mthemtil Olympids 999 000. Prolems nd Solutions From Around the World, The Mthemtil Assoition of Ameri, 00. [AnC] T. Andreesu, V. Cirtoje, G. Dospinesu, M. Lsu, Old nd New Inequlities, GIL Pulishing House, 004.

Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 89 [AuP] Austriko-Polskie Zwody Mtemtyzne. [Blk] Blkn Mthemtil Olympid. [Blt] Zwody Mtemtyzne Pństw Błtykih. [BoW] W. G. Bołtiński, I. J. Wilenkij, Symetri w Algerze po rosyjsku, Nuk, Moskw, 967. [Br80] J. Browkin, Zdni z Olimpid Mtemtyznyh, tom 5, -5, 69/70-7/74, WSiP, Wrszw, 980. [Brd] C. J. Brdley, Introdution to Inequlities, The United Kingdom Mthemtis Trust, Hndooks, 006. [ChKh] Le Hi Chu, Le Hi Khoi, Seleted Prolems of the Vietnmese Msthemtil Olympid 96 009, Mthemtil Olympid Series 5, World Sietifi 00. [Cmj] The College Mthemtis Journl, The Mthemtil Assoition of Ameri. [Crux] Crux Mthemtiorum, Cndin Mthemtil Soiety, popolrne mtemtyzne zsopismo kndyjskie. [Djmp] D. Djukić, V. Jnković, I. Mtić, N. Petrović, The IMO Compendium. A Colletion of Prolems Suggested for the Interntionl Mthemtil Olympids: 959-004, Prolem Books in Mthemtis, Springer, 006. [Dlt] Delt, populrny polski miesięznik mtemtyzno-fizyzno-stronomizny. [Gorn] J. Górniki, Okruhy Mtemtyki, PWN, Wrszw 995. [IMO] Międzynrodow Olimpid Mtemtyzn. [Jlms] Journl of the London Mthemtil Soiety, J. London. Mth. So. [Khr] A. I. Khrrov, Around mongolin inequlity, Russin, Mtemt. Prosv., 700, 49-6. [Khr] A. I. Khrrov, Around mongolin inequlity, Russin, Appendix to: St Petersurg mthemtil olympid, 00. Nevsky Dilekt, St Petersurg, 00, 46-67. [Khr] A. I. Khrrov, Cuhy Bunykovsky inequlity, Russin. Appendix to: St Petersurg mthemtil olympid, 00. Nevsky Dilekt, St Petersurg, 00, 8-5. [Ko00] L. Kourlindthik, Wędrówki po Krinie Nierównośi, Aksjomt, Toruń, 000. [Ko0] L. Kourlindthik, Powrót do Kriny Nierównośi, Aksjomt, Toruń, 00. [Ko04] L. Kourlindthik, Słynne Nierównośi, Aksjomt, Toruń, 00. [KoM] KöMl, Kozepiskoli Mtemtiki Lpok, węgierskie zsopismo mtemtyzne, 894-0. [Kw] Kwnt, populrne zsopismo rosyjskie. [LeH] H. Lee, Topis in Inequlities - Theorems nd Tehniques, Internet 009. [Liu] A. Liu, Chinese Mthemtis Competitions nd Olympids 98 99, Austrlin Mthemti Trust Pulitions, 998. [M-pf] D. S. Mitrinović, J. E. Pećrić, A. M. Fin, Clssil nd New Inequlities in Anlysis, Kluwer Ademi, Dordreht, 99. [MOD] R. B. Mnfrino, J. A. G. Orteg, R. V. Delgdo, Inequlities. A Mthemtul Olympid Approh, Birkhäuser, Boston - Bsel - Berlin, 009. [MS] Mtemtyk w Szkole, populrne zsopismo rosyjskie.

90 Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne [Mt] Mtemtyk, polskie zsopismo dl nuzyieli. [Mth] The Mthsope. All the est from Vietnmese Prolem Solving Journls. http:// imoompendium.om/otheromp/journ/mthsope.pdf. [MC] Mthemtis Competitions, populrne zsopismo mtemtyzne [Mild] T. J. Mildorf, Olympid inequlities, August 4, 006, http://we.mit.edu/tmildorf/www. [Mit] D. S. Mitrinović, Elementrne Nierównośi, PWN, Wrszw, 97. [Mitr] D. S. Mitrinović, Elementry Inequlities, P. Noordhoff LTD - Groningen, The Netherlnds, 964. [MiV] D. S. Mitrinović, P. M. Vsić, Anlyti Inequlities, Springer-Verlg, 970. [MM] Mthemtis Mgzine, populrne zsopismo mtemtyzne. [MO] Mthemtil Olympids Correspondene Progrm, Cnd, 997-0. [Mon] The Amerin Mthemtil Monthly, Mthemtil Assoition of Ameri. [Nord] Nordi Mthemtil Competition. [OM] Olimpid Mtemtyzn. [OMm] Mł Olimpid Mtemtyzn. [P97] H. Pwłowski, Zdni z Olimpid Mtemtyznyh z Cłego Świt, Tutor, Toruń, 997. [Pm] Mthemtil Proeedings of the Cmridge Philosophil Soiety, Pro. Cmridge Ph. So.. [Pie] E. Piegt, Zdni Hugon Steinhus Znne i Nieznne, Oprowł Edwrd Piegt, Ofiyn Wydwniz GiS, Wrołw 005. [Pkh] Phm Kim Hung, Serets in Inequlities, Vol.. Bsi Inequlities, GIL Pulishing House, Romni 007. [Ris] S. Rist, Bsis of Olympid Inequlities, Preprint, 008. [RiM] R i M, rumuńskie zsopismo mtemtyzne. [Siw] I. H. Siwszinskij, Nierównośi w Zdnih po rosyjsku, Nuk, Moskw, 967. [Stee] [Str] [TT] J. M. Steele, The Cuhy Shwrz Mster Clss. An Introdution to the Art of Mthemtil Inequlities, Cmridge University Press, 004. S. Strszewiz, Zdni z Olimpid Mtemtyznyh, tom II, 6-0, 54/55-58/59, PZWS, Wrszw, 96. Tournment of the Towns. [Uiu] UIUC Undergrdute Mth Contest, University of Illinois t Urn-Chmpign. [WJ] N. B. Wsilev, A. A. Jegorow, Zdni Olimpid Mtemtyznyh Związku Rdziekiego po rosyjsku, 96-987, Moskw, Nuk, 988. [Zw] Zwrdoń, Oóz Nukowy Olimpidy Mtemtyznej.