24. SPRAWD DOŒWIADCZALNIE: CO WSPÓLNEGO Z BOSK PROPORCJ MA MATEMATYKA I INNE DZIEDZINY YCIA 1. Realizowane treœci podstawy programowej Przedmiot Matematyka Biologia Realizowana treœæ podstawy programowej 6. Wyra enia algebraiczne. Uczeñ: 6.7. wyznacza wskazan¹ wielkoœæ z podanych wzorów, w tym geometrycznych i fizycznych 10. Figury p³askie. Uczeñ: 10.18. rozpoznaje symetraln¹ odcinka i dwusieczn¹ k¹ta 10.22. rozpoznaje wielok¹ty foremne i korzysta z ich podstawowych w³asnoœci V. Budowa i funkcjonowanie organizmu roœlinnego na przyk³adzie roœliny okrytozal¹ kowej. Uczeñ: 1) identyfikuje (np. na schemacie, fotografii, rysunku lub na podstawie opisu) i opisuje organy roœliny okrytonasiennej (korzeñ, pêd, ³odyga, liœæ, kwiat, owoc) oraz przedstawia ich funkcje 2. Kszta³cone kompetencji kompetencje matematyczne, porozumiewania siê w jêzyku ojczystym. 3. Cele zajêæ blokowych poznanie powszechnoœci wystêpowania z³otego podzia³u w otaczaj¹cym œwiecie, poznanie znaczenia liczb ci¹gu Fibonacciego. 4. Oczekiwane osi¹gniêcia ucznia strona 230 Uczeñ: ³¹czy wiedzê z ró nych przedmiotów, która jest niezbêdna do prawid³owego interpretowania zjawisk i opisu otaczaj¹cego œwiata, wyci¹ga wnioski z przeprowadzonych badañ, bada, pracuj¹c w grupie oraz indywidualnie.
5. Wykaz pomocy dydaktycznych Lp. Pomoc dydaktyczna do przeprowadzenia eksperymentu Iloœæ sztuk 1 kwiat stokrotki Jeden dla ucznia 2 ³odyga krwawnika Jedna dla ucznia 3 linijka Jedna na ucznia 4 cyrkiel Jeden na ucznia 6. Proponowany przebieg zajêæ z rozliczeniem czasowym Lp. Opis kolejnych dzia³añ Uwagi do realizacji dla nauczyciela (rysunki, schematy, fotografie, linki do WWW itp.) Czas trwania w min 1 Rozdanie kart pracy uczniom i krótkie objaœnienie przebiegu zajêæ. Ka dy uczeñ otrzymuje kartê. 5 2 Zapoznanie siê uczniów ze wstêpem do zadañ. Praca indywidualna ucznia. 3 3 Obliczenie liczb ci¹gu Fibonacciego. Praca indywidualna ucznia. 15 4 Obliczenie iloœci p³atków. Praca indywidualna ucznia. 5 5 Wyznaczenie z³otej proporcji w schemacie Partenonu. Opis zadania. 6 Sprawdzenie istnienia z³otego podzia³u w rozk³adzie kostek na palcu rêki. Praca indywidualna ucznia. 8 Praca indywidualna ucznia. 10 7 Podzia³ uczniów na grupy 2 osobowe. Mo e byæ zgodnie z tym, jak siedz¹ w ³awkach. 2 8 Sprawdzenie proporcji w profilu g³owy. Praca w grupach 2 osobowych. 15 9 Konstrukcja piêciok¹ta foremnego. Praca indywidualna ucznia. 15 10 Wyznaczenie stosunku d³ugoœci przek¹tnej piêciok¹ta foremnego do d³ugoœci jego boku. 11 Wyznaczenie stosunku, w jakim dziel¹ siê przek¹tne piêciok¹ta foremnego. Praca indywidualna ucznia. 3 Praca indywidualna ucznia. 3 12 Oddanie karty pracy nauczycielowi. Ka dy uczeñ oddaje swoj¹ kartê. 2 13 Wype³nienie przez uczniów ankiety ewaluacyjnej. Indywidualnie 3 14 Wype³nienie karty samooceny. 3 Ca³kowity czas trwania jednostki 90 strona 231
7. Obudowa do zajêæ blokowych Wszystkie potrzebne definicje, zdjêcia, opis konstrukcji piêciok¹ta foremnego znajduj¹ siê w karcie pracy ucznia oraz w kryterium oceniania dla nauczyciela. W Internecie znajduje siê bardzo du o informacji o ci¹gu Fibonacciego i z³otej proporcji. Proponowane rozwi¹zania Zadanie 1. Pierwszych piêtnaœcie licz ci¹gu Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144, 233, 377, 610 Poprawne podanie wszystkich liczb 1 pkt, Brak odpowiedzi lub b³êdna, (nawet jedna) odpowiedÿ 0 pkt. Zadanie 2. Stokrotki maj¹ zazwyczaj 34, 55 lub 89 p³atków, irysy i lilie 3 p³atki, niektóre odmiany astrów 21 p³atków. Obliczenie iloœci p³atków wraz z odniesieniem odpowiedzi do licz ci¹gu Fibonacciego 1 pkt. Zadanie 3. 5 miesi¹c 5 pêdów 4 miesi¹c 3 pêdy 3 miesi¹c 2 pêdy 2 miesi¹c 1 pêd 1 miesi¹c 1 pêd strona 232 1,2,3,4i5tokolejne miesi¹ce rozrostu krwawnika Narysowanie schematu badanej roœliny 1 pkt. Okreœlenie liczby pêdów, które wyrasta³y w kolejnych miesi¹cach 1 pkt.
Zadanie 4. Wykonanie schematycznego rysunku rêki z zaznaczonymi podzia³ami (kostki) 1 pkt. Sprawdzenie proporcji dla obu podzia³ów 0 2 pkt za ka dy po 1 pkt. Zadanie 5. Obliczenia potwierdzaj¹ce z³oty podzia³ w profilu kolegi (kole anki) 1 pkt. Zadanie 6. Za zauwa enie, e w z³otym podziale s¹ ze sob¹ boki prostok¹ta 1 pkt. Za potwierdzenie proporcji obliczeniami 1 pkt. Zadanie 7. Konstrukcja piêciok¹ta 1 pkt. Sprawdzenie stosunku d³ugoœci przek¹tnej do d³ugoœci boku piêciok¹ta potwierdzaj¹cego z³ot¹ proporcjê 1 pkt. Sprawdzenie stosunku, w jakim dziel¹ siê przek¹tne piêciok¹ta, podobnie potwierdzaj¹cego z³ot¹ proporcjê 1 pkt. a b 8. Literatura uzupe³niaj¹ca, zalecana podrêczniki i artyku³y 1. Szczepan Jeleñski, Œladami Pitagorasa strona 233
9. Karta pracy ucznia Z³ote ciêcie boska proporcja Matematyka, kosmologia, budowa œwiata roœlin i zwierz¹t, projekty architektoniczne, dzie³a sztuki (rzeÿba, malarstwo), budowa instrumentów muzycznych oraz kompozycje muzyczne we wszystkie tych dziedzinach odnaleÿæ mo emy pewien ci¹g, dziêki któremu wszystkie one nabieraj¹ szczególnych walorów artystycznych. Ci¹g ten nazywamy ci¹giem Fibonacciego. Wyrazy tego ci¹gu obliczamy pos³uguj¹c siê wzorem: F1 1 F2 1 n oznacza kolejne liczby naturalne Fn Fn 1 Fn 2 Z tego wzoru wynika, e pierwszy i drugi wyraz tego ci¹gu s¹ równe 1. Kolejne wyrazy s¹ sum¹ dwóch wyrazów poprzednich. Zgodnie z t¹ definicj¹ trzeci wyraz jest równy 2. Z ci¹giem Fibonacciego zwi¹zane jest boskie ciêcie w³aœnie tak nazwali staro ytni i œredniowieczny matematycy z³oty podzia³. Zgodnie z nim budowano budynki (Partenon grecki), powstawa³y najs³ynniejsze rzeÿby (Apollo Belwederski z II wieku) i co ciekawe, budowa cia³a ludzkiego (dok³adniej cia³a mê czyzn) podlega tak e prawom boskiego ciêcia. Zasadê z³otego ciêcia mo emy zastosowaæ do podzia³u odcinka na dwie czêœci. Stosunek z³otego podzia³u odcinka mo emy wyraziæ s³ownie: Ca³y odcinek tak siê ma do swojej wiêkszej czêœci, jak wiêksza czêœæ do mniejszej. a b a d³ugoœæ d³u szej czêœci odcinka po podziale b d³ugoœæ ca³ego odcinka Ten podzia³ mo emy przedstawiæ w postaci liczby: boska proporcja = 5 1 0, 61804... 2 (mniejsza czêœæ do wiêkszej) lub 1,618... (wiêksza czêœæ do mniejszej) Stosunek kolejnej liczby ci¹gu Fibonacciego do poprzedniej jest w miarê wzrostu liczb ci¹gu, bli szy z³otemu podzia³owi. Zbadaj, powszechnoœæ liczb ci¹gu Fibonacciego oraz boskiej proporcji 1. Wypisz piêtnaœcie pierwszych liczb ci¹gu Fibonacciego: strona 234
2. Stokrotki, lilie, irysy i wiele ró nych kwiatów, maj¹ iloœæ p³atków równ¹ jednej z liczb ci¹gu Fibonacciego. Oblicz iloœæ p³atków Twojej stokrotki. Podaj iloœæ p³atków: 3. Zbadaj, czy pêdy krwawnika, roœliny maj¹cej w³aœciwoœci lecznicze, rozrastaj¹ siê w ka - dym miesi¹cu zgodnie z ci¹giem Fibonacciego. Narysuj poni ej schemat roœliny, któr¹ bada³eœ. Okreœl liczbê pêdów, które w Twojej roœlinie wyros³y w kolejnych miesi¹cach: 4. U³o enie kostek na palcu ludzkiej rêki jest zgodne ze z³otym podzia³em. SprawdŸ s³usznoœæ tej tezy w odniesieniu do wybranego palca Twojej rêki. Narysuj schematyczny rysunek. Punktami podzia³u palca bêd¹ charakterystyczne dwa jego zgiêcia. SprawdŸ proporcjê dla tych dwóch podzia³ów oddzielnie. Wykonaj potrzebne obliczenia. 5. Podzia³ ludzkiej g³owy z profilu daje wiele stosunków bliskich boskiej proporcji. SprawdŸ tê proporcjê w profilu Twojego kolegi lub kole anki. Punkt podzia³u umieœæ na wysokoœci nosa, ca³y odcinek to odleg³oœæ od brody do koñca czo³a, miejsca gdzie zaczynaj¹ siê w³osy. Przedstaw swoje obliczenia poni ej: strona 235
6. Partenon to œwi¹tynia w Antenach na Akropolu, której wymiary cechuje boska proporcja. ZnajdŸ z³oty podzia³ w poni szym schemacie Partenonu Zapisz swoje spostrze enia i obliczenia. 5 miesi¹c 5 pêdów 4 miesi¹c 3 pêdy 3 miesi¹c 2 pêdy 2 miesi¹c 1 pêd 1 miesi¹c 1 pêd 7. Wykonaj konstrukcje piêciok¹ta: a. Narysuj okr¹g o œrodku S. b. Narysuj œrednicê okrêgu (oznacz j¹ literami A, B) i prostopad³y do niej promieñ. Oznacz go CS. c. Podziel ten promieñ na dwie po³owy. Punkt podzia³u oznacz liter¹ D. d. Po³¹cz ze sob¹ punkty B i D. e. Narysuj dwusieczn¹ k¹ta BDS. f. Narysuj prost¹ prostopad³¹ do œrednicy przechodz¹c¹ przez punkt przeciêcia dwusiecznej ze œrednic¹ okrêgu. Punkt wspólny prostopad³ej i okrêgu oznacz liter¹ E. Odcinek BE jest d³ugoœci¹ boku piêciok¹ta. g. Narysuj piêciok¹t. SprawdŸ, czy: 1. Stosunek d³ugoœci przek¹tnej do d³ugoœci boku piêciok¹ta s¹ w z³otej proporcji. 2. Przek¹tne tego wielok¹ta przecinaj¹ siê w punkcie, który dzieli je w z³oty sposób. Lp. Pomoc dydaktyczna do przeprowadzenia eksperymentu Iloœæ sztuk Cena jednostkowa Cena ³¹czna strona 236 1 Brak kosztów. Roœliny mog¹ przynieœæ uczniowie. Suma kosztów
10. Oszacowanie kosztów pracy Lp. Zadanie Czas wykonania (h) Liczba osób ¹cznie osobogodzin pracy Cena osobogodziny pracy (z³) Koszt 1 2 Suma: strona 237
11. Ankieta ewaluacyjna zajêæ Lp. Pytanie do ucznia Tak Raczej tak Trudno powiedzieæ Nie Zdecydowanie nie 1 Czy zajêcia by³y dla Ciebie ciekawe? 2 Czy s³ysza³eœ wczeœniej o z³otym podziale? 3 Czy zna³eœ wczeœniej liczby ci¹gu Fibonnaciego? 4 Czy temat powszechnoœci wystêpowania liczb tego ci¹gu w otaczaj¹cym nas œwiecie jest dla Ciebie ciekawy? 5 Czy lubisz pracowaæ w grupie? 6 Czy dyskusja w trakcie rozwi¹zywania zadañ jest wed³ug Ciebie kszta³c¹ca? 12. Karta samooceny ucznia 1. Samodzielnie obliczy³em(³am) liczby ci¹gu Fibonacciego: TAK NIE 2. Nie mia³em adnego problemu z obliczeniem przyrastaj¹cych w ka dym miesi¹cu pêdów krwawnika: TAK NIE 3. Nie znalaz³em z³otego podzia³u w schemacie Partenonu: TAK NIE 4. Samodzielnie znalaz³em bosk¹ proporcjê w u³o eniu kostek na moim palcu: TAK NIE 5. Nauczy³em(³am) siê konstruowaæ piêciok¹t foremny: TAK NIE 6. To by³a moja pierwsza w yciu prawdziwa konstrukcja: TAK NIE 7. Zdobyt¹ wiedzê wykorzystam do nauki wielu przedmiotów: TAK NIE strona 238