Zadanie 1 Na podstawie wników badań PGSS starano się zidentfikować zmienne, które wpłwają na poziom szczęścia. Na podstawie odpowiedzi stworzono zmienną hapunhap, która przjmuje wartość 1 dla osób, które zadeklarował się jako bardzo szczęśliwe, 2 dla osób raczej szczęśliwch, 3 dla osób, niezbt szczęśliwch i 4 dla osób nieszczęśliwch. Jako zmienne objaśniające znalazł się następujące charakterstki: sex (1 mężczzna, 2 kobieta), age (wiek), maritial (1 w związku, 2 wdowiec, 3 rozwiedzion, 4 separowan, 5 kawaler/panna). Test przeprowadź na poziomie istotności α = 0.05. Ordered probit estimates Number of obs = 8692 LR chi2(5) = 945.49 Prob > chi2 = 0.0000 Log likelihood = -8036.7191 Pseudo R2 = 0.0556 hapunhap Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] age.0085278.0008877 9.61 0.000.006788.0102677 _Imarital_2.7935595.0422345 18.79 0.000.7107814.8763377 _Imarital_3.9263212.0622339 14.88 0.000.804345 1.048298 _Imarital_4 1.141439.1201056 9.50 0.000.9060366 1.376842 _Imarital_5.441339.0369661 11.94 0.000.3688867.5137912 _cut1 -.4960711.0437028 (Ancillar parameters) _cut2 1.484603.0458395 _cut3 2.652354.0535389 Marginal effects after oprobit = Pr(hapunhap==2) (predict, outcome(2)) =.67490831 variable d/dx Std. Err. z P> z [ 95% C.I. ] X age -.0004643.00007-6.58 0.000 -.000602 -.000326 46.196 _Imari~2* -.142372.01238-11.50 0.000 -.166634 -.11811.121261 _Imari~3* -.2045613.0211-9.69 0.000 -.245926 -.163197.039807 _Imari~4* -.2879605.04236-6.80 0.000 -.370978 -.204943.010124 _Imari~5* -.0543852.00734-7.41 0.000 -.068779 -.039991.155545 (*) d/dx is for discrete change of dumm variable from 0 to 1 1. Wpisz założenia modelu uporządkowanego probitu. 2. Wjaśnij dlaczego w przpadku takiego badania stosuje się model uporządkowanego probitu a nie zwkłą regresję liniową lub zwkł model probitow. 3. Zinterpretuj wielkość pseudo R 2 sprawdź, cz wszstkie zmienne w modelu są łącznie istotne. 4. Podaj listę zmiennch, które okazał się istotne w tm modelu (uzasadnij to wielkością statstk i p-value). 5. Zinterpretować znaki prz zmiennej age, oraz prz zmiennch zero-jednkowch związanch ze zmienną marital. 6. Zintepretować uzskane wielkości efektów cząstkowch dla alternatw 2 i zmiennch age i marital 5. Wjaśnić jaka jest relacja międz znakami tch efektów cząstkowch a znakami parametrów modelu. 1
7. Badan model powtórnie oszacowano po dodaniu zmiennch zero jednkowch związanch z poziomem wkształcenia (10 możliwch poziomów). Uzskana wielkość funkcji logartmu wiargodności wniosła 7974.7428. Zwerfikuj hipotezę łączną, że poziom osiągniętego wkształcenia nie wpłwa na poziom szczęścia badanch. Podpowiedź: χ 2 0.95(8) = 15.51, χ 2 0.95(9) = 16.91, χ 2 0.95(10) = 18.31 Rozwiązanie 1. Zmienna ukrta i = x i β + ε i ε i N (0, 1) i poszczególne obserwacje są niezależne. Obserwujem, któr powstaje w sposób następując: gdzie α 1 < α 2 <... < α J są nieznane. i = 0 jeśli i α 1 i = 1 jeśli α 1 < i α 2.. i = J jeśli i > α J 2. Zmienna zależna jest zmienną dskretną o dobrze zdefiniowanm porządku i liczbie możliwch alternatw (4 alternatw). W tm przpadku nie możem stosować modelu probitowego (więcej niż dwie alternatw) nie powinniśm też stosować regresji liniowej, ponieważ chcem wjaśnić prawdopodobieństwo alternatw (wartości dopasowane z regresji liniowej będą trudne do zinterpretowania, mogą bć np. ujemne) 3. 5.56% zmienności zmiennch niezależnch w modelu błab wjaśniona przez zmienne niezależne gdb model bł liniow. Odrzucam na postawie statstki LR hipotezę o tm, że wszstkie zmienne w modelu są nieistotne [945.49, 0.000 < 0.05]. 4. W modelu istotne okazał się zmienne: AGE [9.61, 0.000 < 0.05], marital 2 [18.79, 0.000 < 0.05], marital 3 [14.88, 0.000 < 0.05], martal 4 [9.50, 0.000 < 0.05], marital 5 [11.94, 0.000 < 0.05] 5. Dodatni znak prz zmiennej AGE oznacza, że wraz ze wzrostem wieku rośnie prawdopodobieństwo że respondent zadeklaruje się jako nieszczęśliw i maleje prawdopodobieństwo, że zadeklaruje się jako bardzo szczęśliw. Podobnie kawalerowie i pann z wższm prawdopodobieństwem niż osob w związku deklarują się jako nieszczęśliwe i rzadziej deklarują się jako bardzo szczęśliwe. 6. Każd dodatkow rok żcia zmniejsza prawdopodobieństwo zadeklarowania się jako osoba raczej szczęśliwa o.046%. Pann i kawalerowie deklarują się jako osob raczej szczęśliwe z prawdopodobieństwem mniejszm 5.43% niż osob pozostające w związku. W przpadku pośrednich wborów w modelu dla zmiennch uporządkowanch nie można podać jednoznacznej relacji międz wielkościami parametrów i wielkościami efektów cząstkowch. 7. Statstka testu LR ma postać: LR = 2 ( 7974.7428 + 8036.7191) = 123. 95 > χ 2 0.95(9) = 16.91 Testujem zerowość 9 współcznników (jeden poziom zmiennej dskretnej został usunięt jako bazow) a więc właściwą wartością krtczną jest χ 2 0.95 (9). Odrzucam hipotezę o tm, że łącznie wszstkie współcznniki są nieistotne. Wkształcenie istotnie wpłwa na deklarown poziom szczęścia badanch respondentów. 2
Zadanie 2 Na podstawie danch z badania dochodów i wdatków konsumpcjnch starano się wjaśnić wielkość wdatków na zakup nowego samochodu poniesionch przez gospodarstwo domowe w miesiącu badania za pomocą wielkości dochodu gospodarstwa w tm miesiącu. Tobit estimates Number of obs = 35972 LR chi2(1) = 36.14 Prob > chi2 = 0.0000 Log likelihood = -4469.7673 Pseudo R2 = 0.0040 car Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] dochg.4266257.068442 6.23 0.000.2924774.560774 _cons -36639.36 2018.95-18.15 0.000-40596.56-32682.16 _se 14865.12 794.4974 (Ancillar parameter) Obs. summar: 35679 left-censored observations at car<=0 293 uncensored observations Marginal Effects: Latent Variable dochg.4266257.068442 6.23 0.000 1925.31.292482.560769 _cons -36639.36 2018.95-18.15 0.000 1-40596.4-32682.3 Marginal Effects: Unconditional Expected Value dochg.0034073.0005466 6.23 0.000 1925.31.002336.004479 _cons -292.6207 16.12437-18.15 0.000 1-324.224-261.018 Marginal Effects: Conditional on being Uncensored dochg.0396621.0063628 6.23 0.000 1925.31.027191.052133 _cons -3406.25 187.6957-18.15 0.000 1-3774.13-3038.37 Marginal Effects: Probabilit Uncensored dochg 6.28e-07 1.01e-07 6.23 0.000 1925.31 4.3e-07 8.3e-07 _cons -.053947.0029727-18.15 0.000 1 -.059773 -.048121 Test przeprowadzam na poziomie istotności α = 0.05. 1. Wpisz założenia modelu tobitowego. 2. Jaką nietpową cechą będzie się najprawdopodobniej charakterzować rozkład zmiennej zależnej? 3
3. Dlaczego zarówno policzenie regresji liniowej dla tej całej obserwowanej prób da najprawdopodobniej wartości dopasowane, które dla części obserwacji będą nieinterpretowalne? 4. Podaj na podstawie wdruku jaki jest wpłw wzrostu dochodu na prawdopodobieństwo zakupu samochodu i jaki jest wpłw wzrostu dochodu na oczekiwane wdatki na samochód jeśli konsument zdecdował się go kupić. 5. Podać na podstawie wdruku jaki jest całkowit wpłw wzrostu dochodu na oczekiwane wdatki na samochód. Cz relacja międz znakami tch efektów cząstkowch a oszacowaniami parametrów odpowiada twoim oczekiwaniom? 6. Poniżej znajdują się oszacowania elastczności dla oczekiwanch/ wdatków na samochód E( x) policzone dla średniej wartości dochodu w próbie (a więc policzone dla x = x). x x Zinterpretować te wartości i ocenić, cz są one zgodne z intuicją ekonomiczną. Elasticities after tobit = E(car* car>0) (predict, star(0,.)) = 39.293275 variable e/ex Std. Err. z P> z [ 95% C.I. ] X dochg.16695.02565 6.51 0.000.116683.217217 1925.31 7. Do zmiennch w modelu dodano zmienną dochód 2 i uzskano wielkość funkcji wiarogodności na poziomie 4411.0405. Zwerfikuj hipotezę, że ta dodatkowa zmienna jest nieistotna w modelu. Podpowiedź: χ 2 0.95 (1) = 3.84, χ 2 0.95 (2) = 5.99, χ 2 0.95 (3) = 7.81. 8. Poniżej znajdują się efekt cząstkowe dla oczekiwanch wdatków. Policz na tej podstawie elastczność wdatków względem dochodu dla średniego dochodu zaobserwowanego w próbie. Średni dochód w próbie wniósł x = 1925.3 a E ( x) dla x = [1, x, x 2 ] jest równa 33.2. Marginal effects after tobit = E(car* car>0) (predict, star(0,.)) = 33.195902 variable d/dx Std. Err. z P> z [ 95% C.I. ] X dochg.019164.00207 9.27 0.000.015114.023214 1925.31 dochg2-4.81e-07.00000-4.85 0.000-6.8e-07-2.9e-07 3.7e+06 Rozwiązanie 1. Założenia modelu tobitowego są następujące: i poszczególne obserwacje są niezależne. i = x i β + ε i ε i N ( 0, σ 2) { i = i i = dla i > 0 i = 0 dla i 0 4
2. Samochód jest dobrem trwałm, więc nie każde gospodarstwo domowe w każdm roku kupuje samochód. W rezultacie próba będzie zawierała dużo zerowch obserwacji. Na podstawie wdruku widzim, że na 35952 przebadanch gospodarstw, jednie 293 poniosło wdatki na zakup nowego samochodu. 3. W przpadku oszacowania dla tego modelu zwkłej regresji liniowej najprawdopodobniej część wartości dopasowanch będzie ujemna - co jednak jest bez sensu ponieważ wdatki mogą bć włącznie dodatnie. 4. Na podstawie wdruku efektów cząstkowch dla prawdopodobieństwa dochodzim do wniosku, że prawdopodobieństwo zakupu samochodu wzrośnie o 0.0628 punktu procentowego, jeśli dochód wzrośnie o 1000 zł. Efekt cząstkowe dla wdatków na zakup samochodu jeśli został on zakupion odcztujem z wdruku warunkowch efektów cząstkowch E ( > 0). Wzrost oczekiwanego wdatku na samochód prz 1000 zł wzroście dochodu w grupie, która zakupiła samochód wnosi 39.66 zł. 5. Całkowit wzrost wdatków na samochód odcztujem z tablic efektów cząstkowch dla bezwarunkowego. Wzrost oczekiwanego wdatku na samochód prz 1000 zł wzroście dochodu wnosi 3.4 zł. 6. Oszacowana wielkość oznacza, że prz 1% wzroście dochodu oczekiwane wdatki na samochód wzrosną o.167%. Oszacowanie to wdaje się bardzo niskie wziąwsz pod uwagę, że w Polsce samochód jest ciągle raczej dobrem luksusowm - oszacowanie elastczności powinno wjść większe od 1. 7. Statstka testu LR ma postać:. LR = 2 ( 4411.0405 + 4469.7673) = 117. 45 > χ 2 0.95(1) = 3.84 Testujem zerowość 1 współcznnika ( a więc właściwą wartością krtczną jest χ 2 0.95(1). Odrzucam H 0 o nieistotności dochodu 2. 8. Funkcję opisująca efekt cząstkow ma postać E ( x) = f (β 0 + β wiek + β wiek 2x 2 ). Na wdruku znajdują się efekt cząstkowe policzone prz założeniu, że x i x 2 są niezwiązanmi ze sobą zmiennmi a więc są równe f(z) b z wiek i f(z) b z dochg 2, gdzie z = b 0 + b dochg dochg + b dochg dochg 2. Prawidłowo oszacowan efekt krańcow jest równ a więc jest równ: E ( x) x = f (z) z b f (z) 1 + 2dochg z b 1.019164 + 2 1925.3 ( 4.81 10 7) = 0.01731 : 1. 731 2 10 2 Elastczność jest równa z definicji E ( x) x / E ( x) x = 0.01731 1925.3 33.2 = 1. 0038 W tm modelu elastczność dochodowa okazała się nieco wższa od jednki, co wdaje się zgodne z intuicją, że samochod są dobrem luksusowm. W dalszm ciągu oszacowanie wdają się trochę za niskie. 5