Obserwacje doświadczalne i symulacje potrójnego wahadła fizycznego

I Kongres Mechaniki Polskiej, Warszawa, 8 31 sierpnia 007 r. J. Kubik, W. Kurnik, W.K. Nowacki (Red.) na prawach rękopisu Obserwacje doświadczalne i symulacje potrójnego wahadła fizycznego Jan Awrejcewicz, Grzegorz Kudra, Grzegorz Wasilewski Politechnika Łódzka, Katedra Automatyki i Biomechaniki 1. WSTĘP Wahadło jako najprostszy nieliniowy układ mechaniczny jest nieustannie przedmiotem zainteresowania świata nauki, o czym świadczy choćby niedawno wydana monografia [1], będąca dosyć obszernym studium na temat tego szczególnego układu fizycznego. W lutym 005r. w Katedrze Automatyki i Biomechaniki PŁ w ramach pracy doktorskiej [] zbudowano stanowisko doświadczalne potrójnego wahadła fizycznego. Wykonano je w celu zbadania, wyjaśnienia oraz eksperymentalnego potwierdzenie złoŝonych zjawisk nieliniowych w takim układzie. Wcześniejsza analiza numeryczna modelu matematycznego potrójnego wahadła wskazała na występującą tu ogromnie bogatą liczbę zjawisk nieliniowych: zachowania regularne i nieregularne, bifurkacje, współistniejące rozwiązania jedno i wielo okresowe, quasiokresowe, chaotyczne i hiperchaotyczne [3 7]. Referat zawiera prezentację stanowiska, model obliczeniowy oraz przykładowe wyniki badań w wybranych obszarach częstotliwości wymuszenia pierwszego ogniwa wahadła, ze zwróceniem uwagi na wpływ asymetrii tego wymuszenia. Wszystkie symulacje numeryczne w niniejszej pracy wykonano wg napisanego w języku Delphi programu w wersji PendId_07.03.07.exe.. STANOWISKO DOŚWIADCZALNE Na rysunku 1 pokazano skonstruowany model doświadczalny potrójnego wahadła fizycznego. Zespół trzech ogniw 1, i 3 zawieszony jest na dwóch nieruchomych ramionach statywu 4. Wymuszenie pierwszego ogniwa realizowane jest specjalnym silnikiem prądu stałego, złoŝonym z dwóch wirników 5 zespolonych z elementami ogniwa 1 oraz z dwóch nieruchomych stojanów 6' i 6''. Na kaŝdym wirniku znajduje się 30 magnesów, a na stojanach po 16 cewek. Obie części silnika są konstrukcyjnie symetryczne, a stojany sprzęgnięte ze sobą elektrycznie. Komutator optyczny, tzn. osiem transoptorów szczelinowych (współpracujących z przesłonami na wirniku) znajduje się nad tarczą stojana 6'. Taki symetryczny napęd z dwóch stron zapewnia uniknięcie "przekoszenia" konstrukcji, co prowadziłoby do powstania napręŝeń od momentów i sił działających w innej niŝ zamierzona płaszczyzna ruchu wahadła. Jednocześnie taka konstrukcja umoŝliwia pełne obroty wszystkich trzech ogniw wokół ich własnych osi; na rys. 1b pokazano wahadło w pozycji ruchu. Masa wahadeł wynosi łącznie 7.9 kg, a cała konstrukcja waŝy ok. 80kg. Silnik zasilany jest czterema zasilaczami impulsowymi 11 o napięciu 5.4V. Układ sterowania 10 dokonuje komutacji napięć na ośmiu sekcjach cewek silnika za pośrednictwem tranzystorów MOSFET (bliŝszy opis układu elektronicznego moŝna znaleźć w pracy []). Aktualny układ sterujący umoŝliwia zadawanie tylko jednej postaci momentu wymuszenia, tzn. o przebiegu prostokątnym, przy dowolnie zmienianej zewnętrznym generatorem częstotliwości wymuszenia f. Jeśli chodzi o sam silnik napędowy to naleŝy dodać, Ŝe cewki uzwojeń stojana nie posiadają rdzeni z materiału magnetycznego. Taka konstrukcja miała na celu uniknięcie nierównomierności momentu wywołanej niezaleŝnymi od prądu w cewkach siłami przyciągania się magnesów i rdzeni. Brak rdzeni powoduje jednak, Ŝe uzyskiwany moment jest stosunkowo mały względem dostarczonej mocy 400W i wynosi po ustabilizowaniu się temperatury uzwojeń ±1.718Nm, przy czym stabilizację termiczną uzyskuje się praktycznie dopiero po ok. godzinach pracy tego silnika. Przy statycznym działaniu zada-

wany moment powoduje wychylenie pierwszego ogniwa tylko o ψ 1 = ±1 (0.1rad), co widać na rysunku, pokazującym przebieg czasowy ψ 1 dla bardzo małej częstotliwości wymuszenia f = 0.015Hz. Mimo to jednak w najbardziej interesującym zakresie częstotliwości wymuszeń od 0.1Hz do Hz obserwuje się zadziwiającą dynamikę ruchu wahadła w obszarach ruchów nieregularnych, uwidocznionych na wykresach bifurkacyjnych w dalszej części referatu. b) Rysunek 1. Stanowisko doświadczalne potrójnego wahadła fizycznego: a) stanowisko w połoŝeniu spoczynkowym; b) widok wahadła w pozycji ruchu. 1 pierwsze ogniwo, drugie ogniwo, 3 trzecie ogniwo; 4 statyw; 5 tarcze wirników silnika; 6' tarcza stojana silnika wraz z optycznym komutatorem; 6'' druga tarcza stojana; 7, 8, 9 przetworniki połoŝenia kątowego trzech ogniw; 10 elektroniczny układ sterujący zasilaniem silnika; 11 bateria czterech zasilaczy impulsowych. Rysunek. Przebieg czasowy pierwszego ogniwa wahadła ψ 1 ( t ) dla wymuszenia f = 0.015Hz

3. MODEL OBLICZENIOWY Na rysunku 3 pokazano model obliczeniowy potrójnego wahadła fizycznego, postać zadawanego silnikiem momentu wymuszenia M e (t) pierwszego ogniwa oraz parametry rzeczywistego wahadła. Rysunek 3. Model obliczeniowy, postać momentu wymuszenia M e (t) i parametry potrójnego wahadła. O i osie obrotu ogniw; z i środki cięŝkości; l i, e i odległości osi i środków cięŝkości; m i masy ogniw, I i masowe momenty bezwładności ogniw względem środków z i. Matematyczny opis dynamiki potrójnego wahadła stosowany w obliczeniach numerycznych jest w zapisie macierzowym następujący (w nawiasach zwykłych zapisano wektory kolumnowe): ( ψ) i( ψ1, ψ, ψ3) + ( ψ) i( ψ1, ψ, ψ3 ) + ( ψψψ,, ) + ( M1 sinψ1, M sinψ, M3 sinψ 3) = ( Me( t),0, 0) M ɺɺ ɺɺ ɺɺ N ɺ ɺ ɺ r ɺ ɺɺ (1) Macierze M( ψ ), N( ψ ), oraz macierz momentów tarcia w łoŝyskach r( ψψψ,, ) B N c N c N13c13 N3c3 B3 1 1 1 13 13 0 N s 1 1 13 13 ɺ ɺɺ mają postać: M( ψ ) = N1c1 B N3c3, N( ψ ) = N1s1 0 N3s3, r ( ψψψ, ɺ, ɺɺ ) = M R M R3, () N s N s 13 13 3 3 N s 0 M M M R3 R1 R gdzie c = cos( ψ ψ ), s = sin( ψ ψ ), (3) ij i j ij i j B = I + e m + l m + m B = I + e m + l m B = I + e m N ( ) 1 1 1 1 1 3, = m e l, 13 3 3 1 N = m e l, 3 3 3 3, M = m ge + ( m + m ) gl, 1 1 1 3 1 3 3 3 3, M = m ge + m gl, 3 N1 = mel 1 + m3l 1l M = m ge. 3 3 3 (4) Momenty tarcia M Ri w łoŝyskach, wg przyjętego modelu tarcia, określono następującym wzorem: c rel ( i) MRi ( Ti µ Ni) arctan( ε ( )) ω = + ωrel i ( 1 µ ') e + µ ' + ciω (5) rel ( i) π przy czym funkcję /π arctan(ε ω rel( i) ) z parametrem ε zastosowano zamiast funkcji znakowej ω ) dla ułatwienia obliczeń numerycznych. W powyŝszym wzorze T i oznacza moment oporu sgn( rel( i) niezaleŝny od obciąŝenia, µ jest współczynnikiem tarcia w łoŝyskach dającym moment proporcjonalny do promieniowych obciąŝeń N i. Z kolei µ ' oraz c' są parametrami modelu tarcia wg krzywej Stribecka (podobne wzory moŝna znaleźć w [10]), a prędkości względne ωrel ( i) określone są wzorami: ωrel(1) =ɺ, ψ1 ωrel () = ψɺ ψɺ 1, ωrel (3) = ψɺ 3 ψɺ (6)

Jeśli chodzi o współczynniki tarcia wiskotycznego c i to w odróŝnieniu od poprzednich prac [8, 9] gdzie przy uproszczonym modelu tarcia M Ri =c i ω rel(i) przyjmowano trzy niezaleŝne wartości współczynników c 1, c i c 3 w kaŝdej z trzech osi obrotu, w niniejszej pracy i symulacjach wg programu PendId_07.03.07 przyjęto jedną wspólną wartość c, określając c i następująco: c = c, c = c = c (7) 1 3 Uzasadnieniem takiej zaleŝności jest fakt, Ŝe w pierwszej osi wahadła są 4 łoŝyska poprzeczne, natomiast w drugiej i trzeciej osi tylko po, identycznego typu i rozmiaru. Siły reakcji N i w łoŝyskach występujące we wzorze (5) określone są wzorami: N = N + N, 1 1n 1t N = N + N, n t N = N + N, (8) 3 3n 3t gdzie - przy wykorzystaniu uproszczonych oznaczeń (3) - składowe reakcji wyraŝają się wzorami: [ ψ ψɺ ( ɺɺ ψ ψɺ ) ( ɺɺ ψ ψɺ )] [ sin ψ ɺɺ ψ ( ɺɺ ψ ψɺ ) ( ɺɺ ψ ψɺ )], [ cos ψ ψɺ ( ɺɺ ψ ψɺ )], [ sin ψ ɺɺ ψ ( ɺɺ ψ ψɺ )], N1n = m1 ( g cosψ 1 + e1ψɺ 1 ) + Nnc1 Nts1 N = m g cos + e + l s + c + l s + c, 3n 3 3 3 3 1 1 13 1 13 3 3 N = m g + e + l c s + l c s 3t 3 3 3 3 1 1 13 1 13 3 3 N = m g + e + l s + c + N c N s n 1 1 1 1 1 3n 3 3t 3 N = m g + e + l c s + N s + N c t 1 1 1 1 1 3n 3 3t 3 ( sinψ ɺɺ ψ ) N = m g + e + N s + N c 1t 1 1 1 1 n 1 t 1 (9) Opis parametrów geometrycznych i masowych e i, l i, m i, I i oraz charakter momentu wymuszenia M e (t) podano na rysunku 3. Przyspieszenie ziemskie przyjmowano w symulacjach g = 9.81m/s. W wyniku identyfikacji modelu poprzez szukanie minimum funkcji-kryterium F cr dopasowania modelu i obiektu rzeczywistego (F cr jest proporcjonalne do sumy kwadratów odchyłek) otrzymywano róŝne zestawy parametrów. W tabeli 1 podano 9 róŝnych zestawów parametrów, dających moŝliwie małe wartości F cr. Wartości wpisane kursywą w danym zestawie były przyjęte jako stałe. A 0 B 0 C 0 E 0 A 1 B 1 C 1 E 1z E 1i g=9.81m/s, l 1 =0.17418m, l =0.405m, m 1 =4.1kg, m =.0kg, m 3 =1.7kg e 1 51.4 56.09 54.79 54.95 54.85 54.8537 e 119. 15.06 13.141 15.44 15.17 15.1999 e 3 63.9 66.4 67.5 66.73 66.7 66.6811 I 1 I I 3 T 1 T T 3 34.96.00 8.648 65.6 3.61 10.0 34.585.01 8.659 71.60 16.45 4.89 33.908.451 8.671 90.73 14.43 6.01 33.781.508 8.674 14.57 6.11 3.04 38.33 0.699 8.744 56.83 5.06 11.07 37.363 0.903 8.877 7.73 15.16 4.58 37.948 0.963 8.791 97.53 13.77 6.61 37.803 1.030 8.794 115.16 3.71.98 37.8148 1.019 8.7945 114.579 3.1491.9374 Jednostki 10-3 m 10-3 kg m 10-3 N m c 0 0.997 0.664 0.455 0 1.057 0.53 0.334 0.3196 10-3 N m s µ 0 0 0 0.475 0 0 0 0.459 0.459 10-3 m µ ' 1 1 1 0.604 1 1 1 0.681 0.681 [ - ] c' 1 1 1 8.49 1 1 1 6.1 6.1 s / rad ε 1000 1000 9.94 6.41 1000 1000 6.77 4.9 4.896106 s F cr 0.3636 0.3450 0.334 0.330 0.355 0.3059 0.809 0.804 0.799 10-3 rad Tabela 1. Dziewięć zestawów parametrów modelu uzyskane przez poszukiwanie najlepszego dopasowania symulacji i eksperymentu dla 6 serii pomiarowych: f = 0., 0.35, 0.5, 0.6, 0.85 i 1.1Hz. Z tabeli widać, Ŝe zestawy A są dla najprostszego modelu tarcia przy c=0 i µ=0. Z kolei zestawy B i C mają zerowe wartości współczynnika tarcia µ, ale róŝne współczynniki ε. Najbardziej złoŝony model z parametrami E daje w przypadku E 1i najmniejszą wartość funkcji-kryterium dopasowania F cr =0.799. Dla tego zestawu podano nie zaokrąglone parametry z numerycznej identyfikacji celem

moŝliwości dokładnego powtórzenia lub sprawdzenia uzyskanych wyników. W symulacjach uŝywano zwykle parametrów E 1z lub E 1i, chociaŝ C 1 daje krótszy czas obliczeń niŝ dla E, gdyŝ nie trzeba obliczać reakcji N. Rysunek 4 obrazuje dokładność dopasowania symulowanego wykresu czasowego trzeciego ogniwa oraz przebiegu z eksperymentu. Rysunek 4. Wykres czasowy dla wymuszenia f = 0.35Hz - eksperyment i symulacja dla parametrów C 1 4. WYNIKI SYMULACJI NUMERYCZNYCH I BADAŃ EKSPERYMENTALNYCH Na rysunku 5a pokazano symulacyjny wykres bifurkacyjny w funkcji rosnącej częstotliwości wymuszenia f jako parametru, od 0.1Hz do Hz, czyli w całym interesującym zakresie dla zbudowanego wahadła (przy wyŝszych częstotliwościach ruch wahadła zanika przy stosowanej amplitudzie wymuszenia). Częstotliwość zmieniano o 0.0005Hz co 50 okresów, pomijając na wykresie pierwsze 1000, a potem 00 okresów po kaŝdej zmianie. Na wykresach 5b (1 Hz) zwrócono uwagę, Ŝe niewiele róŝniące się liczbą punktów pomiarowych na skok częstotliwości wykresy nieoczekiwanie istotnie się róŝnią. Wynika to ze współistnienia atraktorów okresowych i chaotycznych lub długich okresów przejściowych. Rysunek 5. Symulacje dla parametrów modelu E 1z i asymetrii wymuszenia a=49.7%: a) - wykresy bifurkacyjne 0.1-Hz, b) - wykresy bifurkacyjne 1-Hz (wpływ róŝnych liczb punktów), c) - mapy Poincaré ψ 3 (ψ 1 ) lub ψ 3 (ψ ), d) - trajektorie końca 3 ogniwa dla wybranych wartości f Na rysunkach 5c i d w charakterystycznych punktach pokazano mapy Poincaré w płaszczyznach konfiguracyjnych ψ 3 (ψ 1 ) lub ψ 3 (ψ ) i trajektorie końca trzeciego ogniwa. Zwraca uwagę wyjątkowo

duŝa amplituda postaci dla 0.49Hz (zaobserwowano ją równieŝ eksperymentalnie) i dla 0.801Hz; wszystkie trajektorie są w identycznej podziałce rysunkowej. Widać równieŝ asymetrię trajektorii, wywołaną asymetrią wymuszenia. Z kolei mapy Poincaré pokazano dla 6-okresowości (0.415Hz), quasiokresowości (0.31, 0.644, 1.735 i 1.78Hz) oraz chaosu (0.695 i 1.85Hz). Mapy dla 0.39 i 0.65Hz są z fragmentem ruchu przejściowego od zerowych warunków początkowych, dla uwidocznienia róŝnych postaci osiągania atraktorów okresowych występujących przy tych częstotliwościach. Z wykresu na rysunku 5a wynika, Ŝe w badanym zakresie częstotliwości wymuszeń 0.1 Hz są dwa wyraźnie szersze okna obszaru ruchu nieregularnego: â 0.69 0.8Hz i ã 1.9 1.86Hz. Granice â obszaru nieregularnego określono eksperymentalnie przy częstotliwości zmienianej co 0.0001Hz i odczekiwaniu 100 okresów, aŝ znaleziono graniczne częstotliwości od dołu i od góry (przy wzroście i zmniejszaniu f ), kiedy wahadło wypadło z okresowości. Otrzymano wartości graniczne 0.6917Hz oraz 0.7746Hz. Na rysunku 6 u góry pokazano tak uzyskane wartości, a poniŝej symulacje wykresy bifurkacyjne w duŝym powiększeniu skali częstotliwości, dla 8 zestawów parametrów z tabeli 1. Rysunek 6. Granice obszaru nieregularnego określone eksperymentalnie oraz wg symulacji numerycznych dla 8 zestawów parametrów z tabeli 1. Wg róŝnych symulacji dolna granica nieregularności przy wzroście f leŝy w okolicy 0.693-0.6944Hz (lewa kolumna wykresów), a górna granica przy spadku f leŝy w okolicy 0.7693-0.7761Hz, a więc w obydwu przypadkach bardzo blisko eksperymentu, z róŝnicą rzędu 0.4-0.7% dla

róŝnych zestawów parametrów. Drugi obszar ã określono eksperymentalnie zgrubnie w granicach od ok. 1.15(1.5)Hz do ok. 1.9Hz, a więc teŝ blisko symulacji 1.9 1.86Hz. Ostatnie dwa rysunki 7 i 8 dotyczą uzyskanych wyników eksperymentu i symulacji w zakresie częstotliwości wymuszeń 0.13-0.14Hz. Zainteresowano się tym obszarem ze względu na dwuokresowość, 0.135 0.138Hz (lewy rys. 7a), której nie udawało się potwierdzić numerycznie (prawe rysunki 7a, 7f). Dopiero wprowadzenie asymetrii do symulacji (lewe rysunki 7b, 7g) pokazało dobrą zgodność jakościową z eksperymentem. Zainspirowało to do zbadania modelu numerycznego dla innych asymetrii. Np. dla a=48% (i dla 5%) pojawia się wąskie okno chaotyczne ok. 0.13Hz (rysunki 7d, 7i, 8a oraz rys. 8b - mapa Poincaré dla 10000 punktów), ale juŝ dla a=47(53)% nieregularności znikają (rys. 7e, 7j). Rysunek 7. Wykresy bifurkacyjne w zakresie częstotliwości wymuszenia f=0.13 0.14Hz przy wzroście (a-e) i spadku (f-j) parametru f, dla róŝnych wartości asymetrii wymuszenia a. Rysunek 8. Wykresy bifurkacyjne dla f=0.1-0.15hz i mapa Poincaré dla f=0.13hz przy a=48%. Trajektorie dla f=0.13hz i róŝnych asymetrii wymuszenia 47-53% (odpowiadają wykresom z rys. 7)

Rysunki 8c pokazują trajektorie dla f = 0.133Hz przy róŝnych asymetriach np. trójokresowość dla 49% (trzy kolejne róŝne okresy), odwrócone względem pionowej osi kształty trajektorii dla 47 i 53%. 5. WNIOSKI Wydaje się, Ŝe rozbudowany względem poprzednich wersji [8, 9] model obliczeniowy z uwzględnieniem tarcia wiskotycznego i suchego daje dobrą zgodność symulacji z eksperymentem, mimo Ŝe niektóre parametry modelu (np. e i ) odbiegają trochę od rzeczywistych, a moment tarcia T 1 otrzymuje się wielokrotnie większy od T i T 3 dla i 3 osi, gdzie łoŝysk jest tylko razy mniej niŝ w 1 osi. Byłoby interesujące eksperymentalne potwierdzenie wpływu asymetrii na postacie ruchu np. dla a=48% i f 0.13Hz, ale takŝe numeryczne przewidywanie i potwierdzenie w innych zakresach częstotliwości, łącznie ze sporządzeniem wykresów bifurkacyjnych w funkcji asymetrii jako parametru. Korzystne wydaje się teŝ sporządzenie pełnej numerycznej charakterystyki wykresów bifurkacyjnych w wąskich zakresach częstotliwości, np. co 0.1Hz (0.1 0.Hz, 0. 0.3Hz itd., aŝ do Hz) i potwierdzić eksperymentalnie np. postacie quasiokresowe, czego nie udało się na razie zrobić. Podziękowania Praca była częściowo finansowana poprzez Ministerstwo Edukacji i Szkolnictwa WyŜszego (projekt badawczy nr 4 T07A 031 8) w latach 005-008. Bibliografia [1] Baker G. L., Blackburn J. A.: The Pendulum. A Case Study in Physics. Oxford University Press, 005. [] Supeł B.: Badania eksperymentalne i analiza numeryczna prostych chaotycznych modeli mechanicznych. Rozprawa Doktorska, Politechnika Łódzka, Łódź, 005. [3] Awrejcewicz J., Kudra G.: Nonlinear dynamics of a triple physical pendulum, Materiały konferencyjne II Krajowej Konferencji 'Metody i systemy komputerowe w badaniach naukowych i projektowaniu inŝynierskim' (CCATIE), AGH Kraków, 5-7 paźdz. 1999 (Red. R. Tadeusiewicz, S. Białas, T. Szmuc, M. Szymkat), 31-36. [4] Awrejcewicz J., Kudra G.: Rodzina współistniejących rozwiązań regularnych i nieregularnych w układzie trzech połączonych wahadeł z uderzeniami, Materiały z: "70-lecie urodzin i 45-lecie pracy naukowej Prof. dr hab. inŝ. Józefa Giergiela oraz V Szkoła Analizy Modalnej". Kraków, 1-14 grudnia 000, 5-34. [5] Awrejcewicz J., Kudra G., Lamarque C.-H.: Nonlinear dynamics of triple pendulum with impacts, Journal of Technical Physics, 43(), 00, 97-11. [6] Awrejcewicz J., Kudra G., Lamarque C.-H.: Dynamics investigation of three coupled rods with a horizontal barrier, Special Issue of Meccanica, 38(6), 003, 687-698. [7] Kudra G.: Analiza drgań bifurkacyjnych i chaotycznych w układzie potrójnego wahadła fizycznego z uderzeniami. Rozprawa Doktorska, Politechnika Łódzka, Łódź, 003. [8] Awrejcewicz J., Kudra G., Wasilewski G., Doświadczalne wyznaczanie obszarów chaosu potrójnego wahadła fizycznego, Materiały XI Konferencji Naukowej Wibroakustyki i Wibrotechniki WibroTech 005, Warszawa, 3-4 listopada 005, 7-3. [9] Awrejcewicz J., Kudra G., Wasilewski G.: Potrójne wahadło fizyczne wybrane aspekty eksperymentalne i numeryczne, Materiały XII Konferencji Naukowej Wibroakustyki i Wibrotechniki oraz VII Ogólnopolskiego Seminarium Wibroakustyka w Systemach Technicznych WibroTech 006, Kraków, 8-9 września 006, CD - 10 str. [10] Moore D. F., Principles and applications of tribology. Oxford, Pergamon Press, 1975. Summary in English In this work we study full rotational regular and chaotic dynamics of the constructed triple physical pendulum rig. The first link is externally excited via a rectangular type torque. Dynamical responses in the forms of time histories, Poincaré sections and bifurcation diagrams obtained from experiment are compared with those obtained via numerical simulation. In addition, an influence of asymmetry of the rectangular excitations on the obtained results is addressed.