Katedra In»ynierii Systemów Sterowania Wydziaª Elektrotechniki i Automatyki Podstawy Automatyki Laboratorium Zadania do wicze«laboratoryjnych T10 Sterowanie pr dko±ci obrotow silnika pr du staªego Opracowanie dr hab. in». Kazimierz Duzinkiewicz mgr in». Tomasz Zubowicz dr in». Rafaª Šangowski dr in». Robert Piotrowski Gda«sk
Wprowadzenie Informacje ogólne Maksymalna liczba punktów do zdobycia za: przygotowanie do zaj 5 pkt. realizacj zada«wiczeniowych: 10 pkt. Zadania wykonaj analitycznie i z wykorzystaniem ±rodowiska MATLAB. Materiaªy pomocnicze zwi zane z tematyk wiczenia zostaªy opublikowane w [1, 2]. Ponadto w celu usystematyzowania nabytej do tej pory wiedzy proponuje si zapoznanie z [4]. Filtr przeciwnasyceniowy (lit. antiwindup lter) umiejscowiony w strukturze regulatora ma za zadanie ograniczenie lub wyeliminowanie stanów nasycenia urz dze«wykonawczych pojawiaj cych si w ukªadzie regulacji najcz ±ciej w wyniku dziaªania nietypowo uci»liwych oddziaªywa«zewn trznych zakªóce«. Ograniczenia mog przyjmowa ró»ne postaci. W omawianym przypadku poprzez ograniczenie ukªadów wykonawczych rozumie si zakres warto±ci danej wielko±ci zycznej, któr ukªad wykonawczy oddziaªuje (bezpo±rednio lub po±rednio) na obiekt w celu zmiany jego stanu i w konsekwencji wyj±. Sytuacj tak obrazuje przedstawiony poni»ej przykªad. Przykªad 1. Niech obiektem sterowania b dzie zbiornik ze swobodnym wypªywem i pojedynczym dopªywem wyposa»onym w zawór steruj cy. Celem sterowania jest utrzymywanie poziomu medium w zbiorniku zgodnie z trajektori referencyjn. Zakªada si,»e kontroluj c dopªyw, wykorzystuj c do tego celu zawór, jest si w stanie zrealizowa zadan trajektori referencyjn poziomu medium w zbiorniku. Zatem, wpªywaj c na poªo»enie trzpienia zaworu w sposób po±redni wpªywa si na ilo± dopªywaj cego medium. Fizycznym ograniczeniem w tym przypadku jest zakres, w którym mo»na zmienia poªo»enie zaworu, co natomiast w naturalny sposób ogranicza mo»liwe do uzyskania warto±ci dopªywu medium. Co wi cej szybko± z jak mo»na dokona zmian w poªo»eniu trzpienia zaworu podlega równie» ograniczeniu. Wynika to mi dzy innymi z typu zaworu, technologii jego wykonania oraz zastosowanych materiaªów (ich wytrzymaªo±ci). Stany nasycenia pojawiaj si w ukªadzie w sytuacji, kiedy nieograniczony regulator generuje sygnaª steruj cy wykraczaj cy sw warto±ci poza zakres mo»liwy do zrealizowania przez ukªad wykonawczy. Sytuacj tak mo»na spotka, gdy do celów sterowania wykorzystywany jest np. regulator typu PID, a ukªad wykonawczy posiada pewne ograniczenia (fakt: ka»dy rzeczywisty ukªad wykonawczy ma mo»liwo± dostarczenia tylko pewnej ograniczonej porcji energii w jednostce czasu). Wynika ona bezpo±rednio z charakteru dziaªania czªonu I regulatora. W momencie, gdy warto± referencyjna nie jest osi gni ta, a ukªad wykonawczy pracuje przy maksymalnej wydajno±ci czªon caªkuj cy nadal caªkuje uchyb sterowania i generuje coraz to wi kszy sygnaª (zakªadaj c dodatnia warto± uchybu), który w rzeczywisto±ci nie jest mo»liwy do realizacji. Zaªó»my,»e trajektoria referencyjna jest staªowarto±ciowa i osi galna (mo»liwa do zrealizowania). Przyjmuj c regulator PID bez ltra antiwindup sygnaª steruj cy generowany jest w oparciu o uchyb w wyniku proporcjonalnego jego wzmocnienia, wzmocnienia caªki tego sygnaªu oraz jego pochodnej. Gdy odpowied¹ ukªadu zbli»a si do warto±ci referencyjnej gªówny ci»ar regulacji spoczywa na czªonie caªkuj cym. Zgodnie z denicj czªon ten nieustannie caªkuje bª d sterowania generuj c proporcjonalnie do swojego wzmocnienia sygnaª steruj cy. Nie ma tu»adnego mechanizmu, który powstrzymaªby algorytm sterowania (regulator PID) od za» dania od urz - dzenia wykonawczego realizacji wielko±ci steruj cej wi kszej ni» wynosi jego wydajno±. Zatem, gdy warto± sterowana osi ga poziom referencyjny, mo»e si okaza,»e stan czªonu I (warto± 1
zakumulowana przez dziaªanie caªkuj ce) jest na tyle du»y,»e pomimo osi gni cia przez ukªad poziomu referencyjnego warto± sterowana ci gle ro±nie, poniewa» sygnaª steruj cy generowany przez regulator jest wi kszy od górnego ograniczenia amplitudy sygnaªu steruj cego wynikaj - cego z wydajno±ci urz dzenia wykonawczego pojawia si tzw. nasycenie sygnaªu steruj cego. Konsekwencj przekroczenia warto±ci referencyjnej jest zmiana znaku uchyb na przeciwny ni» poprzednio. W wyniku tej zmiany stan czªonu I zaczyna si zmienia male. Niemniej, zanim warto± zakumulowana ulegnie dostatecznej zmianie tj. obni»y si poni»ej ograniczenia górnego tak, aby zmiana ta mogªa by widoczna na wyj±ciu z obiektu mija pewien (z reguªy do± dªugi) okres czasu. W efekcie odpowied¹ ukªadu cechowa si b dzie znacznym przeregulowaniem, które w praktyce jest zdecydowanie wi ksze ni» w przypadku gdyby do nasycenia nie doszªo. Najpowa»niejsz konsekwencj nasyce«w ukªadzie steruj cym jest, oprócz ewidentnego pogorszenia si warto±ci wska¹ników opisuj cych jako±ci sterowania, utrata stabilno±ci. Analiza stabilno±ci ukªadów z ograniczeniami jest zagadnieniem analizy stabilno±ci ukªadów nieliniowych rozwi zywanych np. na bazie teorii stabilno±ci Lyapunova i jest problemem nietrywialnym. W celu unikni cia niepo» danych efektów nasycenia wykorzystuje si ltry przeciwnasyceniowe/antiwindup, które ograniczaj, gdy jest to konieczne, dziaªanie czªonu I. W literaturze spotyka si wiele rozwi za«realizacji ltrów antiwindup. Mo»na do nich zaliczy ltry zrealizowane jako czªony statyczne przedstawione przykªadowo w [3] lub dynamiczne, co zaprezentowano mi dzy innymi w [5]. Analogowy regulator PID ze statycznym ltrem antiwindup. W trakcie laboratorium zgodnie z tre±ci zadania nale»y zaimplementowa statyczny ltr antiwindup dla dobranego typu regulatora. Jak wspomniano w poprzednim punkcie istnieje wiele schematów realizacji statycznych ltrów antiwindup [3]. W niniejszym punkcie zaprezentowane zostanie rozwi zanie, które wykorzystane zostanie w trakcie realizacji laboratorium. Na Rysunku 1a zaprezentowany zostaª schemat blokowy analogowego regulatora PID, natomiast na Rysunku 1b ten sam typ regulatora wyposa»ono w ograniczenie amplitudy zmian sygnaªu steruj cego oraz jedno z mo»liwych rozwi za«ltru antiwindup (schemat dedykowany do wykorzystania w trakcie realizacji laboratorium), gdzie: P - czªon proporcjonalny; I - czªon caªkuj cy; D - czªon ró»niczkuj cy; AW - ltr antiwindup charakteryzuj cy si wzmocnieniem K aw ; e(t) - uchyb sterowania; u(t) - sygnaª steruj cy wychodz cy z regulatora; u i (t) - sygnaª w torze caªkuj cym; u p (t) - sygnaª steruj cy przed ograniczeniem. (a) Nieograniczony regulator PID (b) Regulator PID z ltrem przeciwnasyceniowym Rysunek 1: Struktury regulatorów PID Blok Ograniczenie amplitudy jest statycznym modelem urz dzenia wykonawczego w strukturze regulatora, a jego zadaniem jest przepuszczanie sygnaªu w niezmienionej postaci za ka»dym razem, gdy jego amplituda znajduje si w uprzednio zdeniowanym zakresie lub nadawanie mu warto±ci (zdeniowanych uprzednio) granicznych, gdy warunek ten nie jest speªniony. Poni»ej na Rysunku 2 pokazany zostaª przykªad dziaªania takiego ograniczenia. 2
Rysunek 2: Obraz dziaªania bloku Ograniczenie amplitudy Zadaniem statycznego ltru antiwindup, reprezentowanego przez blok AW, jest wzmocnienie K aw razy ró»nicy sygnaªów u p (t) i u(t), buduj c w ten sposób sygnaª u»ywany dalej do ograniczania dziaªanie czªonu I regulatora. Przykªad dziaªania czªonu AW zostaª zilustrowany na Rysunku 3. Rysunek 3: Dziaªanie ltru AW Zalet takiego rozwi zania jest dobra skuteczno± dziaªania przy zachowaniu du»ego stopnia prostoty ukªadu. Eksperymentalna kalibracja ltru przeciwnasyceniowego. W celu eksperymentalnego skalibrowania statycznego ltru antiwindup nale»y porównuj c sygnaªy u p (t) oraz u(t) dokona doboru warto±ci wzmocnienia K aw. W trakcie eksperymentów obserwuj sygnaª u i (t). Staraj si nie zmieni jego polaryzacji. Implementacja w ±rodowisku MATLAB/Simulink. W celu zamodelowania ograniczenia sygnaªu steruj cego nale»y posªu»y si funkcj nasycenia (patrz Rys. 4). Wykorzysta do tego celu mo»na blok o nazwie Saturation z przybornika Discontinuities. Parametrami tego bloku s ograniczenia górne u L (lit. upper limit) i dolne l L (lit. lower limit). Realizacja dziaªania tego 3
odbywa si w oparciu o funkcje warunkow : u L, if x > u L sat( ) def = l L, if x < l L. (1) ( ), else Funkcj nasycenia mo»na zapisa równie» analitycznie za pomoc zale»no±ci: sat( ) def = a sign( ) min ( ), 1 + b, (2) gdzie: a i b s to wspóªczynniki skaluj ce, które w prosty sposób mo»na wyznaczy w oparciu o parametry l L oraz u L. Rysunek 4: Funkcja nasycenia zale»no± wyj±cia od wej±cia dla l L = 0.5 i u L = 0.5 Zaªo»enia: Zakªada si,»e: silnik pracuj cy w p tli sprz»enia zwrotnego od pr dko±ci obrotowej pobudzany jest sygna- ªami staªowarto±ciowymi (lit. constant) lub przedziaªami-staªowarto±ciowymi (lit. piecewise constant), regulator nale»y do rodziny PID. Parametry silników znajduj cych si w laboratorium s znane i pewne. Warto±ci tych parametrów zamieszczono w Zaª czniku A. 4
Zadanie 1: (przygotowanie do zaj T10) [5 pkt] Celem zadania jest zapoznanie si z obiektem regulacji. Przedstaw struktur blokow wewn trznej budowy silnika pr du staªego z magnesami trwa- ªymi. Prac rozpocznij od narysowania w zªa sumacyjnego bilansu momentów. Kolejno w strukturze postaraj si zawrze informacje o: dziaªaniu cz ±ci elektrycznej silnika, dziaªaniu cz ±ci mechanicznej silnika. Bloki struktury powinny odzwierciedla fundamentalne procesy zachodz ce wewn trz silnika: generacj pr du w uzwojeniach silnika, generacj momentu elektrycznego w wyniku oddziaªywania z polem magnetycznym od magnesów trwaªych (jaka siªa zostaje pobudzona i jak to si dzieje»e mowa tu o momencie?), efekty temperaturowe w uzwojeniach silnika (jak one powstaj i jakie s ich konsekwencje?), bilans momentów i moment wypadkowy, inercyjny charakter cz ±ci mechanicznej silnika, siªy tarcia waªu silnika o stojan (Czy jest to cz ± dynamiki silnika czy zakªócenie? Jaka jest denicja zakªócenia?), Uwaga: okre±l jasno wszystkie wej±cia i wyj±cia w tej strukturze (jest ich wi cej ni» jedno w ka»dym przypadku). Okre±l co jest zakªóceniem, a co sygnaªem steruj cym, co wyj±ciem a co wyj±ciem sterowanym. W trakcie laboratorium: Nale»y zapozna si z ukªadem NI Elvis 2 z doª czonym silnikiem pr du staªego. Na podstawie obserwacji i dotychczasowej wiedzy okre±l: struktur ukªadu regulacji, wszystkie istotne sygnaªy w tej strukturze, czy w przypadku poszczególnych sygnaªów wyst puj jakie± ograniczenia? Je»eli tak, to jakie jest ich ¹ródªo i jakie s ich warto±ci. Zadanie 2: [2 pkt] Niech dany b dzie (u»ytkowy) model typu wej±cie-wyj±cie, opisany w przestrzeni zmiennej zespolonej s, dynamiki obiektu regulacji: T e (s) = K m R m u(s) T w (s) = T e (s) z(s) G ob = ω(s) T w (s) = R m K 2 m J eqr m s + 1 Km 2 gdzie: T e (s), T w (s) oznaczaj odpowiednio moment elektryczny (nap dowy) i moment wypadkowy, z(s) jest zewn trznym momentem zakªócaj cym, ω(s) oznacza pr dko± obrotow silnika, (3) J eq = J + J L, (4) gdzie: J, J L oznaczaj odpowiednio moment bezwªadno±ci waªu i obci»enia. 5
Polecenia: przyjmuj c wej±cie referencyjne jak na Rysunku 5 oraz szumów pomiarowych v(t) 0 dobierz regulator P tak, aby uchyb regulacji w stanie ustalonym nie przekraczaª 5% warto±ci zadanej (dla wymuszenia b d cego skokiem jednostkowym) napisz równanie opisuj ce prawo sterowania w dziedzinie czasu t (tj. algorytm generuj cy sygnaª steruj cy u(t)) dla przypadku v(t) 0 oraz v(t) 0 zaimplementuj ukªad regulacji w ±rodowisku symulacyjnym MATLAB/Simulink i napisz m-plik ilustruj cy prac ukªadu zamkni tego. Je»eli jako± regulacji b dzie zadowalaj ca, zaimplementuj regulator na platformie sprz towej. Nast pnie: porównaj wyniki symulacyjne z wynikami otrzymanymi na obiekcie rzeczywistym, wytªumacz przyczyn ewentualnych ró»nic. Rysunek 5: Sygnaª referencyjny Zadanie 3: [2 pkt] Przyjmij,»e wymagania odno±nie jako±ci regulacji zostaªy zmienione. Zakªada si, ze uchyb w stanie ustalonym ma by równy 0. Polecenia: czy regulator z zadania poprzedniego b dzie w stanie sprosta takim wymaganiom? Odpowied¹ uzasadnij jako±ciowo w oparciu o wiedz z poprzednich zaj, zmodykuj regulator z zadania poprzedniego tak, aby speªniaª postawione wymagania, napisz równanie regulatora w dziedzinie czasu dla przypadku v(t) 0 oraz v(t) 0. Jakie cechy szczególne posiada wprowadzona modykacja wzgl dem regulatora z poprzednich zaj?, przed zaimplementowaniem regulatora na platformie sprz towej, sprawd¹ jego dziaªanie w trakcie symulacji (wykorzystaj do tego celu kopi m-pliku z Zadania 1), porównaj wyniki symulacji i rzeczywistej realizacji sterowania. Wyja±nij wyst puj ce ró»- nice. Zwró uwag na przebieg sygnaªu steruj cego. Co mo»na o nim powiedzie? 6
Zadanie 4: [3 pkt] Przyjmij trajektori zakªóce«jak zaprezentowano na Rysunku 6. Rysunek 6: Realizacja sygnaªu zakªócenia Polecenia: czy sygnaª steruj cy wchodzi w obszar nasycenia? Je»eli tak, eksperymentalnie dobierz parametry ltru przeciwnasyceniowego tak, aby mo»liwie zmniejszy czas, kiedy nasycenie wyst puje, z czego wynika nasycenie sygnaªu steruj cego? Wyja±nij, jak dziaªa ltr przeciwnasyceniowy. czy ltr przeciwnasyceniowy poprawi prac ukªadu regulacji z regulatorem P? Odpowied¹ uzasadnij, zaimplementuj regulator na platformie sprz towej. Wykonaj eksperyment testuj cy dziaªanie ltru przeciwnasyceniowego poprzez przyªo»enie do waªu silnika zewn trznego momentu zakªócaj cego. Zadanie 5: [3 pkt] Wymagania odno±nie jako±ci regulacji zostaªy ponownie zmienione. Wymagany jest bardzo krótki czas regulacji oraz maªe przeregulowanie. Polecenia: zmodykuj struktur regulatora z zadania poprzedniego (z ltrem przeciwnasyceniowym) tak, aby mógª speªni postawione wymagania (schemat), napisz równanie opisuj ce prawo sterowania w dziedzinie czasu t dla przypadku v(t) 0 oraz v(t) 0. W obu przypadkach pomi«w strukturze ltr przeciwnasyceniowy. Krok ten nie powoduje utraty na jako±ci przeprowadzonych rozwa»a«, przed zaimplementowaniem regulatora na platformie sprz towej, sprawd¹ jego dziaªanie w trakcie symulacji, czy regulator dziaªa poprawnie na platformie sprz towej? Wyja±ni przyczyn ewentualnych nieprawidªowo±ci. W jaki sposób mo»na poprawi prac ukªadu? 7
Zadanie 6: (praca wªasna) Przyjmuj c,»e szumy pomiarowe v(t) maj charakter wysokocz stotliwo±ciowy, uzasadnionym jest wprowadzenie ltru dolnoprzepustowego w celu redukcji ich wpªywu (penetracji ukªadu). Niech zatem dana b dzie transmitancja opisuj ca dziaªanie ltru dolnoprzepstowego pierwszego rz du: 1 G f (s) = ωc 1 s + 1, (5) gdzie: cz stotliwo± odci cia ltru f c [2, 20] [Hz]. Polecenia: Przyjmuj c z(t) 0: wª cz model ltru do struktury ukªadu sterowania (schemat i implementacja) niezmieniaj c warto±ci wzmocnie«regulatora sprawd¹ jak zmiany cz stotliwo±ci f c wpªyn na parametry jako±ciowe odpowiedzi ukªadu regulacji. W trakcie symulacji obserwuj porównawczo (na dodatkowym wykresie w tym samym oknie) sygnaª przed ltrem i za ltrem czy projektuj c ukªad regulacji mo»na podej± do projektu regulatora i ltru pomiarowego w p tli sprz»enia zwrotnego jako osobnych (rozª cznych) zagadnie«? Czy te» nale»y problem rozwa»a ª cznie? Odpowied¹ uzasadnij jako±ciowo na bazie poczynionych obserwacji. Literatura [1] Materiaªy do wicze«audytoryjnych z przedmiotu Podstawy Automatyki, 2015. [2] Materiaªy wykªadowe z przedmiotu Podstawy Automatyki, 2015. [3] C. Bohn and D. Atherton. An analysis package comparing PID anti-windup strategies, 1995. [4] J. J. Distefano, A. J. Stubberud, and I. J. Williams. Schaum's Outline of Feedback and Control Systems. McGraw-Hill Professional, 2nd edition, 1997. [5] G. Grimm, J. Hateld, I. Postlethwaite, A. Teel, M. Turner, and L. Zaccarian. Antiwindup for stable linear systems with input saturation: An lmi-based synthesis. 48(9), 2003. 8
Zaª cznik A Parametry silnika (duży silnik) Symbol Description Value Unit Motor: R m Motor armature resistance. 2.675 ohms K m Motor back-emf constant (same as K t in SI units). 0.0257 V/(rad/s) J m Moment of inertia of motor rotor. 9.64e-6 kg.m 2 M l Inertial load disc mass 0.033 kg r l Inertial load disc radius 0.0262 m Parametry silnika (mały silnik) Symbol Description Value Unit Motor: R m Motor armature resistance. 8.70 ohms K m Motor back-emf constant (same as K t in SI units). 0.0333 V/(rad/s) J m Moment of inertia of motor rotor. 1.80e-6 kg.m 2 M l Inertial load disc mass 0.033 kg r l Inertial load disc radius 0.0242 m 9