SKOMPLIKOWANYCH INSTRUMENTÓW

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody ZMIENNOŚĆ IMPLIKOWANA W WYCENIE SKOMPLIKOWANYCH INSTRUMENTÓW Andrzej Palczewski Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski Warszawa 25 kwietnia 2014 Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 1 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody Plan wystapienia 1 Wprowadzenie. Praktycy lubia proste wzory. Zmienność implikowana (implied volatility) a zmienność lokalna. 2 Jak przybliżać zmienność implikowana? Model Berestycki-Busca-Florent. Rozwinięcia asymptotyczne. 3 Ścisłe wyniki dla rozwinięć asymptotycznych. 4 Inne metody przybliżania zmienności implikowanej. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 2 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody proste wzory zmienność implikowana Dlaczego proste wzory sa ważne? Cytat z artykułu Mike Giles & Ronnie Sircar Siam NEWS, October 2007: The major challenges in computational finance arise not from difficult geometries, as in many physical problems, but from the need for rapid calculation of an EXPECTATION or the solution of its associated Kolmogorov partial differential equation. Efficiency is at the forefront, because models are re-estimated as new market data arrives and calibration (or marking to market ) embeds the expectation/pde calculation in an iterative solution to an inverse problem. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 3 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody proste wzory zmienność implikowana Najlepszy jest wzór Blacka (Blacka-Scholesa) W log-normalnym modelu cen instrumentów finansowych cena opcji (call lub put) dana jest zamkniętym wzorem (wzorem Blacka): V call = V call (F 0, K, T, σ B ), gdzie F 0 cena forward instrumentu, K cena realizacji (strike), T czas do zapadalności (expiry) a σ B zmienność. Z wyjatkiem σ B wszystkie parametry wyznaczajace cenę opcji sa znane! σ B można wyznaczyć z cen opcji kwotowanych na rynku. Taka σ B nazywa się zmiennościa implikowana. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 4 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody proste wzory zmienność implikowana Problem ze zmiennościa implikowana Ceny instrumentów maja rzadko rozkład log-normalny. W efekcie σ B nie jest stała dla danego instrumentu, ale zmienia się z K oraz T. Otrzymujemy tzw. uśmiech zmienności Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 5 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody proste wzory zmienność implikowana Zmienność implikowana dla portfela instrumentów Zmiana σ B w zależności od K i T oznacza, że praktycznie dla każdego K i T mamy inny model rynku. To sprawia ogromne problemy przy zarzadzaniu ryzykiem dużych portfeli opcyjnych. Jakie σ B użyć przy wyliczaniu pozycji zabezpieczajacych? (liczenie Delta lub Vega portfela) Należy wyjść poza model log-normalny (model Blacka-Scholesa) rynku. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 6 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody proste wzory zmienność implikowana Rozszerzenie modelu Blacka-Scholesa Model log-normalny (model Blacka-Scholesa) W tym modelu σ B jest stałe. df t = σ B F t dw t, F(t 0 ) = F 0. Model lokalnej (stochastycznej) zmienności df t = σ(t, F t, y t )F t dw t, F(t 0 ) = F 0. W tym modelu σ(t, F t, y t ) jest funkcja czasu, ceny instrumentu bazowego, ale także zmiennej y t, która może być innym procesem stochastycznym. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 7 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody proste wzory zmienność implikowana Problemy obliczeniowe Model lokalnej (stochastycznej) zmienności df t = σ(t, F t, y t )F t dw t, F(t 0 ) = F 0 (1) nastręcza poważne problemy obliczeniowe. Aby znaleźć cenę opcji należy znaleźć rozwiazanie równania (1) metoda symulacji Monte Carlo (to może być poważne wyzwanie, jeśli proces y t jest wielowymiarowy); albo rozwiazać numerycznie równanie różniczkowe czastkowe odpowiadajace modelowi (1) (odpowiednik równania Blacka-Scholesa); to także może być poważne zadanie numeryczne, jeśli problem jest wielowymiarowy. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 8 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody proste wzory zmienność implikowana Problemy obliczeniowe c.d. Opisane metody obliczeniowe na pewno nie daja możliwości wykonywania szybkich obliczeń, o których była mowa na poczatku. Praktycy najchętniej używaja wzoru Blacka, do którego chcieliby wstawić właściwa wartość zmienności implikowanej. Problem: Jak z modelu lokalnej (stochastycznej) zmienności wyznaczyć zmienność implikowana? Odpowiedź na to pytanie zajmuje teoretyków przez ostatnie 15 lat. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 9 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody model BBF rozwinięcia asymptotyczne Model Berestycki-Busca-Florent Zróbmy pewne uproszczenie modelu zakładajac, że σ(t, F, y) = σ(t, F), tzn. pozbywamy się dodatkowego procesu stochastycznego y t. Niech C loc (t, F) będzie cena opcji call w modelu (1) po tym uproszczeniu. Funkcja ta spełnia następujace równanie C loc t + 1 2 σ2 (t, F)F 2 C loc FF = 0, Cloc (T, F) = (F K ) +. (2) Rozwiazanie to będziemy oznaczać C loc (t 0, F 0 ; T, K ) aby podkreślić zależność od wszystkich istotnych parametrów. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 10 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody model BBF rozwinięcia asymptotyczne Model Berestycki-Busca-Florent c.d. Jeśli w równaniu poprzedniego slajdu wstawimy zamiast funkcji σ(t, F) stała θ, to otrzymamy rozwiazanie dane wzorem Blacka. To rozwiazanie będziemy oznaczać C BS (t 0, F 0 ; T, K, θ). Zmiennośc implikowana możemy teraz zdefiniować jako funkcję θ = θ(t 0, F 0 ; T, K ), taka że C loc (t 0, F 0 ; T, K ) = C BS (t 0, F 0 ; T, K, θ) (3) Wykorzystujac równość (3) oraz równanie (2), które spełniaja funkcje C loc (t 0, F 0 ; T, K ) i C BS (t 0, F 0 ; T, K, θ), możemy znaleźć równanie, jakie spełnia funkcja θ(t 0, F 0 ; T, K ). Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 11 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody model BBF rozwinięcia asymptotyczne Model Berestycki-Busca-Florent c.d. Ponieważ równanie jest skomplikowane, napiszemy je w nowych zmiennych, które nieco upraszczaja zapis. Nowe zmienne niezależne: x = log(f/k ), τ = T t. W nowych zmiennych równanie dla funkcji θ(τ, x) ma postać 2τθθ τ σ 2( x θ x θ 1 ) 2 + 1 4 τ 2 σ 2 θ 2 θ 2 x τσ 2 θθ xx + θ 2 = 0. (4) W tym wzorze σ = σ(τ, x) jest oczywiście zmiennościa lokalna z modelu (1). Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 12 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody model BBF rozwinięcia asymptotyczne Model Berestycki-Busca-Florent c.d Równanie (4) jest jeszcze bardziej skomplikowane niż równanie (2), nie widać więc zalet wprowadzania takiego modelu. Na dodatek rozwiazanie równania (4) interesuje nas w przedziale τ [0, T ] a dla τ = 0 równanie (4) staje się osobliwe. Z drugiej strony, gdyby interesować się jedynie rozwiazaniem dla małych wartości τ, to równanie (4) możnaby traktować jako zaburzenie dużo prostszego równania σ 2( x θ x θ 1 ) 2 + θ 2 = 0. Czy takie postępowanie można sformalizować matematycznie? Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 13 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody model BBF rozwinięcia asymptotyczne Metoda rozwinięć asymptotycznych Odpowiedź na postawione pytanie jest pozytywna! Poczatek tego typu badaniom dał Euler, który zajmował się problemem sumowalności szeregów potęgowych. W przypadku rozwiazań równań różniczkowych teoria ta nazywa się metoda rozwinięć asymptotycznych. Polega ona na poszukiwaniu rozwiazania równania w postaci szeregu potęgowego (względem małego parametru). Taki szereg potęgowy nie musi oczywiście być zbieżny (najczęściej nie jest!), ale można starać się pokazać, że skończona suma częściowa takiego szeregu przybliża właściwe rozwiazanie. Dla naszego problemu poszukiwać będziemy rozwiazania równania (4) w postaci szeregu θ(τ, x) = θ 0 (x) + τθ 1 (x) + τ 2 θ 2 (x) +.... Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 14 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody model BBF rozwinięcia asymptotyczne Przybliżenie zerowego rzędu Robimy dalsze uproszczenie zakładajac, że lokalna zmienność σ(τ, x) jest jednorodna w czasie, czyli σ = σ(x). Wstawiajac szereg potęgowy z poprzedniego slajdu do równania (4) oraz grupujac wyrazy odpowiadajace różnym potęgom τ dostajemy jako współczynnik przy zerowej potędze równość σ 2 (x) ( xθx 0 θ 0) 2 (θ 0 ) 4 = 0. (5) To jest równanie przybliżenia zerowego rzędu. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 15 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody model BBF rozwinięcia asymptotyczne Rozwiazanie zerowego rzędu Przy odpowiednich założeniach na temat gładkości funkcji σ(x) rozwiazanie równania (5) dane jest wyrażeniem ( θ 0 x (x) = x 0 du ) 1. (6) σ(u) Przy tym funkcja θ 0 (x) jest klasy C 2 (R) i jest ograniczona razem ze swoimi pochodnymi. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 16 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody model BBF rozwinięcia asymptotyczne Przybliżenie pierwszego rzędu Jako współczynnik przy pierwszej potędze τ dostajemy wyrażenie σ ( xθ 1 x θ 1) + 3θ 0 θ 1 1 2 σ2 θ 0 θ 0 xx = 0. (7) To jest równanie przybliżenia pierwszego rzędu. Zauważmy, że jest to liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu, łatwo więc powinno być znaleźć jego rozwiazanie. Uwaga Równania na przybliżenia wszystkich wyższych rzędów sa też liniowymi równaniami pierwszego rzędu. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 17 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody model BBF rozwinięcia asymptotyczne Rozwiazanie pierwszego rzędu Przy odpowiednich założeniach na temat gładkości funkcji σ(x) rozwiazanie równania (7) dane jest wyrażeniem θ 1 (x) = (θ0 (x)) 3 σ(0)σ(x) x 2 ln θ 0. (8) (x) Przy tym funkcja θ 1 (x) jest klasy C 2 (R) i jest ograniczona razem ze swoimi pochodnymi. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 18 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody rzad zerowy rzad pierwszy Wyniki BBF dla przybliżenia zerowego rzędu zależność od czasu Twierdzenie (Berestycki, Busca, Florent 2002) W granicy τ 0 mamy zbieżność lim θ(τ, x) = τ 0 θ0 (x), przy czym zbieżność jest jednostajna dla x R. Analogiczny wynik został udowodniony także bez upraszczajacego założenia, że σ jest jednorodna w czasie, tj. dla przypadku, gdy σ = σ(τ, x) (Berestycki, Busca, Florent 2004). Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 19 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody rzad zerowy rzad pierwszy zależność od czasu Nowe wyniki dla przybliżenia zerowego rzędu Twierdzenie Załóżmy, że funkcja σ(x) jest klasy C 2 (R) i ma ograniczone pochodne. Dodatkowo niech będa spełnione oszacowania 0 < σ L σ(x) σ U <, gdzie σ L, σ U sa stałe. Wtedy istnieja stałe κ > 0 i τ 0 > 0, takie że dla rozwiazania równania (4) dla zmienności implikowanej zachodzi oszacowanie θ(τ, x) θ 0 (x) κτ θ 0 (x). Oszacowanie to zachodzi dla wszystkich τ < τ 0. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 20 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody rzad zerowy rzad pierwszy Wyniki dla przybliżenia pierwszego rzędu zależność od czasu Twierdzenie Niech spełnione będa założenia poprzedniego twierdzenia wzmocnione założeniem, że funkcja σ(x) jest klasy C 4 (R) i ma ograniczone pochodne. Wtedy istnieja stałe κ > 0 i τ 0 > 0, takie że dla rozwiazania równania (4) dla zmienności implikowanej zachodzi oszacowanie θ(τ, x) θ 0 (x) τθ 1 (x) κτ 2 θ 0 (x). Oszacowanie to zachodzi dla wszystkich τ < τ 0. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 21 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody rzad zerowy rzad pierwszy zależność od czasu Rozwiazanie dla zmienności zależnej od czasu Jak postępować w przypadku, gdy σ = σ(τ, x)? Wtedy należy także funkcję σ rozwinać w szereg potęgowy względem τ σ(τ, x) = σ 0 (x) + τσ 1 (x) +.... (9) Wstawiajac to rozwinięcie oraz rozwinięcie θ do równania dla zmienności implikowanej oraz grupujac wyrazy z odpowiednimi potęgami τ dostaniemy w przybliżeniu zerowego rzędu analogiczne równanie jak w przypadku jednorodnym (jedynie funkcję σ(x) zastapi funkcja σ 0 (x)). Rozwiazanie zerowego rzędu będzie miało wtedy postać ( θ 0 x (x) = x 0 du ) 1. (10) σ 0 (u) Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 22 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody rzad zerowy Przybliżenie pierwszego rzędu rzad pierwszy zależność od czasu W przybliżeniu pierwszego rzędu dostajemy równanie istotnie różne niż w przypadku jednorodnym w czasie σ 0( xθ 1 x θ 1) + 3θ 0 θ 1 = 1 2 (σ0 ) 2 θ 0 θ 0 xx + σ1 σ 0 (θ0 ) 2. (11) Rozwiazanie tego równania dane jest wzorem θ 1 (x) = (θ0 (x)) 3 ( σ x 2 ln 0 (0)σ 0 (x) x uσ 1 ) (u) θ 0 + (x) 0 (σ 0 (u)) 2 θ 0 (u) du. (12) Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 23 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody rzad zerowy rzad pierwszy Wyniki dla przybliżenia pierwszego rzędu zależność od czasu Twierdzenie Niech dla funkcji σ 0 (x) spełnione będa założenia analogiczne jak w przypadku jednorodnym w czasie spełniała funkcja σ(x). Dodakowo załóżmy, że funkcja σ 0 (x) jest klasy C 4 (R) a funkcja σ 1 (x) jest klasy C 2 (R) i obie maja ograniczone pochodne. Wtedy istnieja stałe κ > 0 i τ 0 > 0, takie że dla rozwiazania równania (4) dla zmienności implikowanej zachodzi oszacowanie θ(τ, x) θ 0 (x) τθ 1 (x) κτ 2 θ 0 (x), gdzie θ 0 dana jest wzorem (10) a θ 1 wzorem (12) przy czym oszacowanie to zachodzi dla wszystkich τ < τ 0. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 24 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody metody geometrii różniczkowej Cena opcji ze wzoru Tanaki Wracamy do poczatkowego modelu rynku z lokalna zmiennościa (deterministyczna a nie stochastyczna dla uproszczenia prezentacji). df t = σ(t, F)F t dw t, F(0) = F 0. (13) Zastosowanie formuły Tanaki prowadzi do następujacego wzoru na cenę opcji C loc (0, F 0 ; T, K ) = ( P(0, T ) (F 0 K ) + + 1 2 T 0 ) σ(t, K ) 2 K 2 p(t, K F 0 )dt. (14) p(t, K F 0 ) jest tu rozkładem prawdopodobieństwa dla procesu (13) warunkowanego na F 0. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 25 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody metody geometrii różniczkowej Równanie wsteczne Kołmogorowa Funkcja p(t, F F 0 ) spełnia wsteczne równanie Kołmogorowa t p(t, F F 0 ) = 1 ( 2 2 F σ(t, F ) 2 F 2 p(t, F F 0 ) ) = 1 2 σ(t, F)2 F 2 2 F p(t, F F 0) + 2σ(t, F)F F ( σ(t, F)F ) F p(t, F F 0 ) + σ(t, F)F F 2 ( ) σ(t, F)F p(t, F F0 ) ( + F 2 ( ) ) 2 σ(t, F)F p(t, F F0 ). (15) Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 26 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody metody geometrii różniczkowej Uogólnienie Rozważmy wielowymiarowy proces stochastyczny X t spełniajacy układ równań dx i t = j σ i j (X t)dw j t, d W i t, W j t = ρi,j dt. Prawdopodobieństwo przejścia dla tego procesu G T,X (t, x) spełnia wsteczne równanie Kołmogorowa t G T,X (t, x) + i,j G T,X (T, x) = δ(x X), g i,j (x) 2 x i,x j G T,X (t, x) = 0, gdzie macierz g i,j jest dodatnio określona i dana wzorem g i,j (x) = 1 ρ k,l σk i 2 (x)σj l (x). k,l Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 27 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody metody geometrii różniczkowej Uogólnienie c.d. Dokonujac zamiany zmiennych τ = T t sprowadzamy równanie Kołmogorowa do równania przewodnictwa cieplnego τ G X (τ, x) = i,j g i,j (x) 2 x i,x j G X (τ, x), G X (0, x) = δ(x X). Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 28 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody metody geometrii różniczkowej Uogólnienie c.d. Niech M oznacza przestrzeń stanów procesu X t. M jest rozmaitościa Riemanna, jeśli metrykę Riemanna zdefiniujemy przez podanie wzoru na element długości ds 2 = i,j g i,j (x)dx i dx j, gdzie g i,j (x) = 2 k,l ρ k,l σ k i (x)σ l j (x) a ρ k,l jest odwrotnościa ρ k,l. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 29 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody metody geometrii różniczkowej Uogólnienie c.d. Twierdzenie (Varadhan 1967) lim 2τ ln G X (τ, x) = d 2 (x, X). τ 0 d(x, y) jest odległościa geodezyjna punktów x i y na rozmaitości Riemanna M wyznaczona przez ds d(x, y) = inf z(t):z(0)=x,z(1)=y 1 0 i,j g i,j (z(t)) dzi dt dz j dt dt. Uwaga Asymptotyczna zbieżność z pracy Berestycki, Busca, Florent (2002) pokrywa się z twierdzeniem Varadhana (należy tylko zdefiniować właściwa strukturę riemannowska). Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 30 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody metody geometrii różniczkowej Uogólnienie c.d. Równanie Kołmogorowa dla rozkładu prawdopodobieństwa p(t, F F 0 ) jest bardziej skomplikowane niż równanie przewodnictwa cieplnego t p F0 (t, F) = i,j g i,j (F ) 2 F i,f j p F0 (t, F) + i b i (F) F i p F0 (t, F) + q(f)p F0 (t, F), p F0 (0, F) =δ(f F 0 ). (16) Aby badać takie równania na rozmaitości Riemanna należy zdefiniować wiazkę liniowa nad rozmaitościa M, a następnie koneksję w tej wiazce A oraz przekroje wiazki Q. Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 31 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody metody geometrii różniczkowej Uogólnienie c.d. Wtedy równanie takiego typu jak równanie (16) można zapisać w postaci inwariantnej t p(t, x y) = Dp(t, x y), gdzie D jest operatorem eliptycznym na rozmaitości Riemanna D = g 1/2 i,j g 1/2 g i,j ( i + A i )( j + A j ) + Q a g = det(g i,j ). Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 32 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody metody geometrii różniczkowej Uogólnienie c.d. W przypadku deterministycznej lokalnej zmienności równanie (16) jest jednowymiarowe. Można więc łatwo znaleźć koneksję A (jednowymiarowa) oraz przekrój Q oraz wykorzystać pochodzace od Yosidy (1953) rozwinięcie asymptotyczne rozwiazania równania (16). W przybliżeniu pierwszego rzędu daje to nastepujacy wzór na cenę opcji call σ(0, K )σ(0, P(0, T ) 1 C loc (0, F 0 ; T, K ) = (F 0 K ) + F0 )T + 2 2π ( ( H 1 (ω) + Q(F av ) + 3 ) ) 4 G(F av) TH 2 (ω), gdzie H 1, H 2, Q i G sa znanymi funkcjami a F av = (F 0 + K )/2, ω = K F 0 dx 2T xσ(0, x). Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 33 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody metody geometrii różniczkowej Uogólnienie c.d. Wykonujac analogiczne obliczenia dla modelu Blacka (stała zmienność) oraz porównujac otrzymane wzory możemy wyprowadzić przybliżenie pierwszego rzędu dla zmienności implikowanej θ(k, T ) σ(0, K )σ(0, F0 ) H θ(k, T ) = 1 (ω) F0 K H 1 ( ω) ( ( H 1 (ω) + Q(F av ) + 3 4 G(F av) + θ(k, T )2 8 ) H 2 ( ω), H 1 ( ω) ) T H 2(ω) H 1 (ω) gdzie ω = ln(k /F 0) 2T θ(k, T ). Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 34 / 35

wstęp aproksymacja ścisłe wyniki inne metody metody geometrii różniczkowej DZIEKUJ E Andrzej Palczewski ( UW) Zmienność implikowana 35 / 35