!"#%$'&(*)$'+(*,-(*!.0/10(*,34!(*)561879: 104+(*,%; < 10: 10=>@?A)/4BC! <!:D?A")+(*, EGFIHKJ L MON J P In the first part of the paper the authors, using general formulas, determine and describe a class of infinite series of natural numbers pairs of which are relatively prime. The second part of the paper contains as a proposition a set of problems concerning prime numbers and pairs of relatively prime numbers suggested for use during the process of wor with Mathematics students, as well as some didactic comments concerning these problems. W procesie ształcenia nauczycieli matematyi w Polsce teoria liczb wraca do łas. Ponad 30 lat temu, na nauczycielsich studiach matematycznych przedmiot Arytmetya teoretyczna został wchłonięty przez przedmiot Algebra ogólna (nazywany też Algebrą abstracyjną czy rócej Algebrą ) i w onsewencji wiedza z teorii liczb w nim zawarta była zmarginalizowana. Absolwenci studiów matematycznych dopiero w czasie pracy w szołach podstawowych i średnich starali się uzupełniać swoje wyształcenie z tego działu matematyi na podstawie literatury popularnonauowej (z lat 1950-1970, Sierpińsi, 1959a; Sierpińsi, 1959b; Sierpińsi, 1964). Obecnie znajdujemy elementy teorii liczb wśród standardów nauczania na ierunu matematya oraz w programach nauczania przedmiotu Algebra z teorią liczb. Pojawiło się ila pięnie napisanych siąże o tematyce związanej z teorią liczb (Ribenboim, 1997; Yan, 006; Marzantowicz, Zarzyci, 006; Graham, Knuth, Patashni, 00). Song Y. Yan podreślał w 000 rou: Obecnie teoria liczb znajduje zastosowania w ta odległych dziedzinach, ja fizya, chemia, austya, biologia, informatya, ryptografia, transmisja cyfrowa, a nawet muzya i biznes. (Yan, 006, s. XII) Martin E. Hellman pisał w 001 rou we wstępie do siążi Song Y. Yana (Yan, 006, s. IX): To było bardzo satysfacjonujące obserwować, ja w ciągu ostatnich dwudziestu pięciu lat ryptografia i teoria liczb wpływały na siebie. Teoria liczb stała się źródłem wielu błysotliwych pomysłów stosowanych
QSRUTIV4Ẅ XSYZ\[^]`_^acb degf^v4hjic[hdw^b Iacb w systemach ryptograficznych i protoołach, a ryptografia z olei oazała się pomocna w zdobywaniu funduszy na badania w teorii liczb nazywanej często rólową matematyi bez zastosowań w rzeczywistości. Ja bardzo mało wiedzieli ci, tórzy ta myśleli! Wacław Marzantowicz i Piotr Zarzyci uważają, że: Teoria liczb, jedna z dwóch (obo geometrii) najstarszych dziedzin matematyi, to ogromny, budowany od ponad dwóch tysięcy lat dział matematyi, pełen pięnych rezultatów i różnorodnych metod. (Marzantowicz, Zarzyci, 006) To spojrzenie na teorię liczb jest dla dydatyów matematyi niemniej ważne od uznawania wagi jej zastosowań. Przed dydatyami matematyi stoi zadanie wyorzystania zmian w standardach nauczania dla ulepszenia procesu ształcenia nauczycieli matematyi. Wyróżnić należy te treści (rezultaty i metody), tóre są nauczane lub stanowić mogłyby horyzont dla matematyi nauczanej w szołach niższych szczebli, zaproponować ich ujęcie w formie sprzyjającej atywizowaniu studiujących, ja też ułatwiającej wyzwalanie różnych atywności matematycznych. W pierwszej części artyułu przedstawiamy ila uzysanych przez nas twierdzeń o niesończonych ciągach liczb naturalnych, parami względnie pierwszych. Chcemy w ten sposób poazać, że lasyczny, znany od sete lat materiał może być źródłem wyzwalającym twórczość matematyczną na poziomie dostępnym dla uzdolnionych matematycznie absolwentów szół średnich. Poznawanie i obserwacje znanych od lat zależności, analiza różnych dowodów znanych twierdzeń prowadzić może do poszuiwań podobnych zależności, do stawiania hipotez, prób ich weryfiacji, do poszuiwania dowodów. W drugiej części artyułu zamieszczamy propozycję serii zadań opracowanych do zajęć ze studentami matematyi na temat liczb pierwszych i liczb parami względnie pierwszych. Wyorzystujemy pomysły zadań problemowych, tóre uładaliśmy, pisząc srypt Arytmetya i algebra na początu lat 90. dla studentów Kolegiów Nauczycielsich (Górowsi, Łomnici, 1993), ja również zadań, tóre egzemplifiują rezultaty z części pierwszej tego artyułu. lcmonp qgrgs tgugvgwgtgxgqyvgp z {gp } p vgwg~yxg K gƒo } xg gvg g g ƒo ˆ p Šywg{g} gœgxgp q% gp qgƒišyrgwg gvg Bardzo znanym niesończonym ciągiem liczb naturalnych, parami względnie pierwszych, tóry można oreślić wzorem, jest ciąg (F n ) liczb Fermata 1. O liczbach Fermata, czyli o liczbach postaci F n = n + 1, gdzie n N wiadomo i dużo, i mało, np. F 0, F 1, F, F 3, F 4 są liczbami pierwszymi, F 5 jest liczbą złożoną, podzielną przez 641, liczby pierwsze Fermata występują w twierdzeniu Gaussa o onstruowalności n-ąta foremnego. Nie wiemy natomiast, ile jest 1 Dowód tego fatu można znaleźć m.in. w siążce (Sierpińsi, 1969, s. 87).
W^b Ž^_^ac[ ^I ^[W^ ^I `Ib 4 ^V4I b I ^ W^VO ^Z\V4 W^ ^I Od4š^V4Z\V4hDbO]` ^ ^ ^f^w^b Žœš^b Ž^Z ]`_^ ^ ^I žqsÿ liczb pierwszych wśród wyrazów ciągu (F n ) (zob. Yan, 006, s. 35; Nariewicz, 003, s. 16). Oczywiście ażdy niesończony podciąg ciągu olejnych liczb pierwszych (lub potęg olejnych liczb pierwszych) jest niesończonym ciągiem liczb naturalnych, parami względnie pierwszych. Manamentem tego ciągu jest to, że nie można podać wzoru na jego n-ty wyraz oraz, iż wcześniej trzeba wiedzieć, że liczb pierwszych jest niesończenie wiele. Paulo Ribenboim (Ribenboim, 1997, s. ), omawiając różne dowody twierdzenia mówiącego, że liczb pierwszych jest niesończenie wiele, podaje m.in. następujące rozumowanie: wystarczy znaleźć ciąg (a n ) liczb naturalnych więszych od 1, tóre są parami względnie pierwsze; symbolem q i oznaczmy dzielni pierwszy liczby a i ; oczywiście ciąg (q i ) jest niesończonym i różnowartościowym ciągiem liczb pierwszych; to dowodzi, że liczb pierwszych jest niesończenie wiele. Ribenboim podaje przyład ciągu liczb parami względnie pierwszych, oreślonego reurencyjnie i zauważa: Chciałoby się znaleźć inne ciągi niesończone o wyrazach parami względnie pierwszych, nie załadając istnienia niesończenie wielu liczb pierwszych. (Ribenboim, 1997, s. 3) Referuje wynii uzysane na ten temat, podaje przyłady taich ciągów, są one jedna zawsze oreślone reurencyjnie (zob. Edwards, 1964). W tej części artyułu podejmujemy próbę opisania pewnej lasy ciągów niesończonych o wyrazach parami względnie pierwszych, oreślonych wzorami ogólnymi (ta, ja ciąg liczb Fermata), tóre udało się nam uzysać. Będziemy dalej mówili róto, że niesończony ciąg liczb naturalnych ma własność wp, gdy ażde dwa jego różne wyrazy są liczbami względnie pierwszymi. Wymieniony powyżej ciąg (F n ) ma własność wp i dodatowo można go oreślić wzorem. Oczywiście ciąg (a n ) tai, że a n = 3 n + 1 dla n N (i ogólnie a n = b cn + 1 dla n N, gdzie b jest ustaloną liczbą naturalną nieparzystą, a c ustaloną liczbą naturalną dodatnią), jest ciągiem o wyrazach parzystych, a więc nie ma własności wp. Rozważmy teraz ciąg (c n ) tai, że c n = 6 n +1 dla n N. Wyrazy tego ciągu są liczbami nieparzystymi (bo dodatnia potęga szósti jest liczbą parzystą). Przypuśćmy, że ciąg (c n ) nie ma własności wp, czyli NWD(c n, c m ) 1 dla pewnych n, m N taich, że m > n. Stąd dla pewnych α n, α m N \ {0} oraz pewnej nieparzystej liczby pierwszej q mamy: 6 n + 1 = qα n oraz 6 m + 1 = qα m,
QSUTIV4Ẅ XSYZ\[^]`_^acb degf^v4hjic[hdw^b Iacb 6 m + 1 = (6 n ) + 1 = (qα n 1) + 1 ( ) = (qα n ) ( 1) + 1 = =0 =1 ( ) (qα n ) ( 1) +. Otrzymana suma w dzieleniu przez q daje resztę, gdyż jej sładni =1 ( ) (qα n ) ( 1) jest podzielny przez q. Otrzymaliśmy sprzeczność z tym, że 6 m + 1 jest podzielne przez nieparzystą liczbę pierwszą q. Udowodniliśmy zatem Twierdzenie 1 Ciąg (c n ) oreślony wzorem c n = 6 n + 1 dla n N ma własność wp. Zauważmy, że prowadząc analogiczne rozumowanie, można udowodnić ogólniejsze Twierdzenie Ciąg (a n ) oreślony wzorem a n = a sn +1, gdzie a oraz s są ustalonymi liczbami parzystymi dodatnimi, ma własność wp. Warto odnotować, że występujące w twierdzeniu założenie parzystości liczby s jest istotne. Np. olejnymi wyrazami ciągu (e n ), taiego że e n = 3n +1 dla n N są 3, 9, 513, a więc ciąg ten nie ma własności wp (ponieważ np. NWD(9, 513) 1). Od tego miejsca literą P oznaczać będziemy zbiór liczb pierwszych. Analiza przeprowadzonego dowodu twierdzenia 1 podpowiada następujące Twierdzenie 3 Jeżeli p P\{}, to ciąg (a n ) oreślony wzorem a n = 1 (pn +1) dla n N\{0} ma własność wp. Dowód. Najpierw poażemy na dwa sposoby że wyrazy ciągu (a n ) są liczbami nieparzystymi.
W^b Ž^_^ac[ ^I ^[W^ ^I `Ib 4 ^V4I b I ^ W^VO ^Z\V4 W^ ^I Od4š^V4Z\V4hDbO]` ^ ^ ^f^w^b Žœš^b Ž^Z ]`_^ ^ ^I žqsq I sposób: Symbolem cjlx oznaczmy cyfrę jedności liczby naturalnej x, zapisanej w systemie dziesiątowym. Poniższa tabela może stanowić źródło wiadomości o cyfrach jedności wielu liczb naturalnych. cjln 0 1 3 4 5 6 7 8 9 cjln 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 cjln 3 0 1 8 7 4 5 6 3 9 cjln 4 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 cjln 5 0 1 3 4 5 6 7 8 9 Łatwo zauważyć, że cjln 4 = cjln 4 dla n N i N \ {0}. Symbolem N r oznaczać będziemy zbiór liczb naturalnych więszych lub równych r. Ustalmy dowolnie liczbę pierwszą p, więszą od. Zatem p nie jest parzysta, a więc jej cyfrą jedności jest 1 lub 3, lub 5, lub 7, lub 9. Stąd i z fatu, że n dla n N jest liczbą podzielną przez 4, otrzymujemy iż cjlp n jest 1 lub 5 dla n N i z olei cjl(p n + 1) jest lub 6. Dla rozstrzygnięcia jaa jest cjl 1 (pn +1) wystarczy zauważyć, że cyfra dziesiąte liczby p n jest zawsze parzysta (istotnie: p n jest liczbą wadratową nieparzystą, a liczba wadratowa nieparzysta w dzieleniu przez 4 daje resztę 1, a więc jej cyfra dziesiąte jest parzysta). Stąd, uwzględniając przypade n = 1, otrzymujemy, że wszystie wyrazy ciągu (a n ) mają cyfrę jedności 1 lub 3, lub 5. II sposób (uzasadnienia, że wyrazy ciągu (a n ) są liczbami nieparzystymi): Wyorzystując wzór Newtona, mamy: 1 ( ) p n + 1 = 1 [ [ = 1 n = 1 = 1 ] ((p 1) + 1) n + 1 =0 [ n ( n ( n =1 n =1 ( n ) (p 1) + 1 ) (p 1) + ) (p 1) + 1. Zauważmy, że dla n N \ {0} i p P \ {} liczba 1 n ( n) =1 (p 1) jest parzysta, a więc liczba 1 (pn + 1) jest nieparzysta. Poażemy teraz, że NWD(a n, a m ) = 1 dla n, m N \ {0} i n m. Przypuśćmy, że ta nie jest, tzn. NWD(a n, a m ) > 1 dla pewnych n, m N \ {0} i taich, że n < m. Stąd wynia, że znajdzie się liczba pierwsza q, taa że q a n i q a m. Ponadto z pierwszej części przeprowadzonego dowodu wynia, że q jest ] ]
QS UTIV4Ẅ XSYZ\[^]`_^acb degf^v4hjic[hdw^b Iacb liczbą nieparzystą. Mamy zatem 1 (pn + 1) = qα n, 1 (pm + 1) = qα m, gdzie α n, α m są pewnymi liczbami naturalnymi. Stąd p n + 1 = qα n, p m + 1 = qα m, p m + 1 = (p n ) + 1 = (qα n 1) + 1 ( ) = (qα n ) ( 1) + 1 = =0 =1 ( ) (qα n ) ( 1) +, a więc resztą z dzielenia liczby p m + 1 przez q jest, co przeczy równości p m +1 = qα m. Zatem NWD(a n, a m ) = 1 dla ażdych n, m N\{0} i n m. Twierdzenie 3 zostało tym samym udowodnione. Symbolem (an) będziemy w dalszym teście oznaczać zbiór wartości ciągu (a n ). Związe między ciągami oreślonymi ja w twierdzeniu 3 ujmuje (łatwe do udowodnienia) Twierdzenie 4 Jeśli a n = 1 (pn + 1) dla n N \ {0}, b n = 1 (qn + 1) dla n N \ {0}, gdzie p q i p, q P \ {}, to (an) (bn) =. Prawdziwe jest twierdzenie ogólniejsze od twierdzenia 3, a mianowicie Twierdzenie 5 Jeśli m jest liczbą nieparzystą więszą od 1, a s jest liczbą parzystą dodatnią, to ciąg (c n ) oreślony wzorem c n = 1 (msn + 1) dla n N \ {0} ma własność wp. Dowód tego twierdzenia niczym nie różni się od dowodu twierdzenia 3 (sposób II). Wystarczy w dowodzie twierdzenia 3 liczbę pierwszą p zastąpić liczbą nieparzystą m, więszą od 1, a liczbę liczbą parzystą s. Zauważmy też, że prawdziwe jest ogólniejsze od twierdzenia 4 Twierdzenie 6 Jeśli c n = 1 (msn + 1) dla n N \ {0}, d n = 1 (rtn + 1) dla n N \ {0}, gdzie m, r są liczbami nieparzystymi więszymi od 1 taimi, że NWD(m, r) = 1, zaś s, t liczbami parzystymi dodatnimi, to (cn) (dn) =.
W^b Ž^_^ac[ ^I ^[W^ ^I œib 4 ^V4I b I ^ `W^VO ^Z\V4 W^ ^I Od4š^V4Z\V4hDbO]` ^ ^ ^f^w^b Žœš^b Ž^Z ]`_^ ^ ^I žqs Pozostaje otwarty problem ile jest liczb pierwszych wśród wyrazów oreślonych w tym artyule niesończonych ciągów liczb naturalnych, parami względnie pierwszych? mo KqgƒOp! Œgtwg^ K g wgqrg K gœgqgxg K ˆ poˆ Kqgˆ K gs poxg` Kqgˆ g} p vgwg~ gp qgƒišyrgwg gvg po} p vgwg~ g ƒo ˆ pošywg{g} gœgxgp q gp qgƒišyrgwg gvg ŠªƒO ˆ vg gƒowgqgœgˆ p tg K œ «} {gqg~gƒo*w KqgtgƒOp z*} p vgwg~ I Poniżej przedstawiamy zestaw 9 zadań na ćwiczenia z przedmiotu Algebra z teorią liczb dla studentów matematyi (głównie z myślą o studentach ierunów nauczycielsich). Celem tych zajęć jest ugruntowanie i pogłębienie wiadomości studiujących o liczbach pierwszych i liczbach względnie pierwszych, ja również pogłębienie umiejętności analizowania testu matematycznego, prowadzenia rozumowań, stworzenie sytuacji do stawiania hipotez, uogólniania twierdzeń, rozumowania przez analogię. Staramy się na przyładzie proponowanych zajęć potwierdzić opinie dydatyów matematyi, tórzy uważają, że rozwijanie różnych atywności matematycznych jest ważniejsze od przeazywania przyszłym nauczycielom matematyi obszernych porcji wiadomości gotowej matematyi. Zadanie 1 a) Przypomnieć definicje liczby pierwszej i liczby złożonej, a następnie zilustrować je przyładami. b) Czy liczba 0 jest pierwsza (złożona)? c) Czy liczba 1 jest pierwsza (złożona)? d) Zbadać, tóra z liczb 51, 11351467, 641 113, 7777+1 008 jest pierwsza, a tóra złożona. e) Zaproponować plan badania, czy liczba 5 +1 jest pierwsza. Wyjaśnić, jaie mogłyby zaistnieć trudności przy realizacji tego planu. f) Uzasadnić, że następująca wypowiedź nie może być przyjęta za definicję liczby pierwszej: Liczbą pierwszą nazywamy liczbę naturalną, tóra jest podzielna tylo przez 1 i przez samą siebie. Zadanie (wg Górowsi, Łomnici, 1993) a) Sprawdzić, że są liczbami pierwszymi sumy: + 1, 3 + 1, 3 5 + 1, 3 5 7 + 1. b) Ja powstały te liczby? Oreślić olejne liczby według tej zasady. c) Zasadę odrytą w rozwiązaniu zadania b), oznaczmy ją przez (Z), można sformułować ta: wyraz a s, gdzie s N\{0}, tworzonego ciągu otrzymujemy, zwięszając iloczyn olejnych s liczb pierwszych (poczynając od liczby ) o 1.
QS UTIV4Ẅ XSYZ\[^]`_^acb degf^v4hjic[hdw^b Iacb Uzasadnić, że prawdziwe jest zdanie: jeśli tworzone według zasady (Z) liczby są zawsze pierwsze, to liczb pierwszych jest niesończenie wiele. Uzasadnić też, że ze zdania tego nie wynia, że liczb pierwszych jest niesończenie wiele. d) Uzasadnić, że 3 5 7 11 13 + 1 nie jest liczbą pierwszą. Zadanie 3 Od 000 lat wiadomo, że liczb pierwszych jest niesończenie wiele. a) Uzupełnić lui w następującym rozumowaniu (tzw. dowodzie Eulidesa). Przypuśćmy, że p 1, p,..., p r, gdzie p 1 = < p = 3 < p 3 <... < p r, są wszystimi liczbami pierwszymi. Utwórzmy liczbę p 1 p... p r + 1. Literą p oznaczmy jeden z dzielniów liczby p 1 p... p r +1 będący liczbą pierwszą. Stąd p jest jedną z liczb p 1, p,..., p r, zatem p p 1 p... p r, a soro p p 1 p... p r +1, więc p 1. Otrzymaliśmy sprzeczność. Liczb pierwszych jest zatem niesończenie wiele. b) Udowodnić twierdzenie: a,b,c Z a (b + c) = (a b a c). Jai jest związe tego twierdzenia z dowodem podanym w zadaniu a)? Zadanie 4 a) Przypomnieć definicję liczb względnie pierwszych, a następnie zilustrować ją przyładami. b) Zaproponować definicję ciągu sończonego liczb parami względnie pierwszych, a następnie zilustrować ją przyładami. c) Zaproponować definicję ciągu niesończonego liczb parami względnie pierwszych, a następnie zilustrować ją przyładami. d) Uzasadnić, że ciąg (a n ) oreślony wzorem a n = n! dla n N \ {0} nie jest niesończonym ciągiem liczb parami względnie pierwszych? e) Podać przyłady ciągów niesończonych, tóre nie są ciągami liczb parami względnie pierwszych. Które z tych ciągów są oreślone reurencyjnie, a tóre wzorami ogólnymi? Zadanie 5 (wg Ribenboim, 1997; Graham, Knuth, Patashni, 00) Rozważmy ciąg (w n ) oreślony reurencyjnie: w 1 =, w n+1 = w 1 w... w n +1 dla n 1. a) Wymienić sześć początowych wyrazów ciągu (w n ). b) Czy wszystie wyrazy ciągu (w n ) są liczbami pierwszymi? c) Uzasadnić, że (w n ) jest niesończonym ciągiem liczb parami względnie pierwszych, uzupełniając lui w następującym rozumowaniu: Dla dowolnie ustalonych liczb n, m N \ {0} taich, że n < m, mamy: NWD(w n, w m ) = NWD(w n, aw n + 1) dla pewnego a N \ {0}
W^b Ž^_^ac[ ^I ^[W^ ^I œib 4 ^V4I b I ^ `W^VO ^Z\V4 W^ ^I Od4š^V4Z\V4hDbO]` ^ ^ ^f^w^b Žœš^b Ž^Z ]`_^ ^ ^I žqs i dalej Zatem NWD(w n, w m ) = 1. NWD(w n, aw n + 1) = NWD(w n, 1). Zadanie 6 Liczby postaci n +1, gdzie n N, nazywamy liczbami Fermata. Przyjmujemy oznaczenie F n = n + 1, gdzie n N. a) Dlaczego zbadanie, czy ciąg (F n ) jest ciągiem liczb pierwszych, jest zadaniem trudnym? b) Uzasadnić, że ciąg (F n ) jest niesończonym ciągiem liczb parami względnie pierwszych, uzupełniając lui w następującym rozumowaniu: Oczywiście ażda liczba Fermata jest nieparzysta. Przypuśćmy, że NWD(F m, F n ) 1 dla pewnych m, n N taich, że m > n. Stąd dla pewnych α n, α m N oraz pewnej nieparzystej liczby pierwszej q mamy: n + 1 = qα n oraz m + 1 = qα m, m + 1 = ( n) + 1 = (qα n 1) + 1 ( ) = (qα n ) ( 1) + 1 = =0 =1 ( ) (qα n ) ( 1) +. Otrzymana suma w dzieleniu przez q daje resztę, gdyż jej sładni =1 ( ) (qα n ) ( 1) jest podzielny przez q. Otrzymaliśmy sprzeczność z tym, że m + 1 jest podzielne przez nieparzystą liczbę pierwszą q. c) W 1640 rou w liście do Mersenne a Fermat postawił hipotezę, że wszystie liczby F n są pierwsze, chociaż sprawdził to tylo dla n = 0, 1,, 3, 4. W 173 rou Euler wyazał, że liczba F 5 nie jest pierwsza, jest podzielna przez 641. Czy, używając alulatora, można sprawdzić, że 641 F 5? Uzasadnić ażdy ro w następującym dowodzie tego, że liczba F 5 jest złożona. Oczywiście 641 = 5 4 + 4 = 5 7 + 1. Zatem 641 (5 4 + 4 ) 8 oraz 641 (5 7 ) 4 1, czyli 641 5 4 8 + 3 oraz 641 5 4 8 1, a więc 641 [(5 4 8 + 3 (5 4 8 1)]. Stąd 641 3 + 1.
g UTIV4W XSYZ\[^]`_^acb degf^v4hyic[hdw^b Iacb d) (wg Graham, Knuth, Patashni, 00, s. 157) Wniose, że F 5 nie jest liczbą pierwszą, można wyciągnąć z twierdzenia Fermata (tóre mówi, że n p 1 1(mod p), jeśli p jest liczbą pierwszą oraz NWD(n, p) = 1). Przypuśćmy, że F 5 jest liczbą pierwszą. Uzasadnić, że wtedy 3 3 30906160(mod F 5 ), a więc że uzysujemy sprzeczność. Zadanie 7 Rozwiązując zadanie 6, poznaliśmy ciąg (F n ) liczb Fermata, niesończony ciąg liczb parami względnie pierwszych. a) Zbadać, czy ciąg (a n ), tai że a n = 3 n + 1 dla n N, jest ciągiem liczb parami względnie pierwszych. b) Rozważmy ciąg (c n ), tai że c n = 6 n + 1 dla n N. Uzasadnić, że (c n ) jest ciągiem liczb parami względnie pierwszych, prowadząc rozumowanie podobne do dowodu tego, że ciąg (F n ) liczb Fermata jest ciągiem liczb parami względnie pierwszych. c) Sformułować i rozwiązać zadanie analogiczne do zadania b). d) Czy prawdziwa jest hipoteza: Ciąg (d n ) oreślony wzorem d n = a sn + 1, gdzie a jest ustaloną liczbą naturalną parzystą dodatnią, a s ustaloną liczbą naturalną dodatnią, jest niesończonym ciągiem liczb względnie pierwszych? e) Ja wzmocnić założenia podane w hipotezie postawionej w zadaniu d), by uzysać twierdzenie ogólniejsze od twierdzenia urytego w zadaniu b)? Sformułować i udowodnić to twierdzenie. Zadanie 8 ( Rozważmy ciąg (a n ) oreślony wzorem a n = 1 p n + 1 ) dla n N \ {0}, gdzie p jest ustaloną liczbą pierwszą nieparzystą. ( a) Podać cztery początowe wyrazy ciągu oreślonego wzorem b n = 1 3 n + 1 ). ( b) Podać cztery początowe wyrazy ciągu oreślonego wzorem c n = 1 5 n + 1 ). c) Czy dla ażdej liczby pierwszej p, różnej od, wyrazy ciągu (a n ) są liczbami nieparzystymi? d) Prowadząc rozumowanie podobne do przedstawionego w zadaniu 6b), wyazać, że (a n ) jest ciągiem liczb parami względnie pierwszych. e) Sformułować twierdzenie, tórego dowodem mogłoby być rozumowanie postulowane w zadaniu d). f) Podjąć próby uogólnienia twierdzenia, będącego tematem zadania e). Zadanie 9 Czy można wyazać równoważność zdań: (1) istnieje niesończenie wiele liczb pierwszych, () istnieje niesończony ciąg liczb parami względnie pierwszych, nie znając wartości logicznej żadnego z nich?
W^b Ž^_^ac[ ^I ^[W^ ^I `Ib 4 ^V4I b I ^ `W^VO ^Z\V4 W^ ^I Od4š^V4Z\V4hDbI]` ^ ^ ^f^w^b Žœš^b Ž^Z ]`_^ ^ ^I ž S± Uwagi natury dydatycznej o zadaniu 1 Nauczyciel matematyi powinien już na studiach (a nie dopiero w tracie pracy zawodowej) poznać wiele wiadomości o liczbach pierwszych dla dobrej realizacji programów nauczania matematyi, a zwłaszcza dla przygotowania się do rozbudzania zainteresowania matematyą uczniów uzdolnionych. Poznawanie elementów teorii liczb, nasyconych różnymi cieawostami, też natury historycznej, może stanowić dla uczniów szół średnich (a nawet gimnazjów) wspaniałą zachętę do studiowania matematyi. Zbyt często absolwenci szół średnich podają błędną definicję liczby pierwszej oraz błędną definicję liczby złożonej. Dobrym odruchem jest ilustrowanie definicji przyładami i ontrprzyładami. W zadaniu b) oczywiście należy uzasadnić, że liczba 0 (podobnie liczba 1) ani nie jest pierwsza, ani nie jest złożona. Liczba 1 nie jest pierwsza, mimo że spełnia warune: jest podzielna tylo przez 1 i przez samą siebie (zob. zadanie f)). Warto podjąć dysusję ze studentami, jaie byłyby onsewencje poszerzenia zbioru liczb pierwszych o liczbę 1. Zadanie d) prowouje do orzystania bądź z definicji liczby pierwszej (liczby złożonej), bądź z cech podzielności liczb, bądź z twierdzeń podających waruni wystarczające na podzielność iloczynu lub sumy liczb naturalnych. W zadaniu e) wcale nie jest najważniejsze, by rozstrzygnąć, czy liczba Fermata 5 + 1 (tórą poznamy bliżej w zadaniu 6) jest pierwsza. Ważne, by zdać sobie sprawę z trudności, jaie trzeba poonać, by uzysać wyni taiego badania (pozwoli to łatwiej zrozumieć, dlaczego Fermat w 1640 rou pomylił się, a Euler dopiero w 173 rou uzasadnił, że liczba 5 + 1 nie jest pierwsza). Uwagi natury dydatycznej o zadaniu Oczywiście zadania a) oraz b) nie są trudne. Paradosalnie, znajomość dowodu Eulidesa tego, że liczb pierwszych jest niesończenie wiele (zob. zadanie 3) może być źródłem błędnego sądu, że liczby tworzone na wzór sum wymienionych w zadaniu a) są zawsze pierwsze. Oczywiście zrozumienie tego dowodu nie impliuje taiego błędu; w dowodzie tym tworzy się liczbę p 1 p... p r +1, tórej postać przypomina liczby z zadania a), ale nie twierdzi się, że jest ona pierwsza. Ostatnie polecenie zadania c) byłoby trudne dla studentów I rou matematyi, tórzy jeszcze nie opanowali elementów logii (tóre zninęły z więszości programów nauczania matematyi w szołach średnich), ale nie jest trudne dla studentów wyższych lat, zgłębiających elementy teorii liczb. W zadaniu d) podano sucho i ategorycznie, że liczba 3 5 7 11 13 + 1 nie jest pierwsza. Można ten fat uzasadnić, orzystając np. z alulatora oraz listy liczb pierwszych mniejszych od 1000. Zauważmy, że studenci mogą postawić hipotezę, że ciąg (a s ) jest niesończonym ciągiem liczb parami względnie pierwszych. Nie wiemy, czy hipoteza
grutiv4w XSYZ\[^]`_^acb degf^v4hyic[hdw^b Iacb ta jest prawdziwa i wydaje się, że jest to trudne do rozstrzygnięcia. Ważne, by student matematyi zdawał sobie sprawę, że wielu problemów nie można od razu rozwiązać, a szczególnie inspirujące są te pytania, na tóre całymi latami nie ma odpowiedzi. Uwagi natury dydatycznej o zadaniu 3 Będąc nauczycielem matematyi, nie tylo trzeba wiedzieć, że liczb pierwszych jest niesończenie wiele, ale wypada znać dowód Eulidesa podany w tym zadaniu. Dobrym sposobem na poznanie dowodu jest uzupełnianie lu w jego redacji. Rozwiązując zadania a) i b), uświadamiamy sobie, z czego w istocie orzystamy w tym dowodzie. W szczególności orzystamy z tego, że liczba naturalna więsza od 1 ma dzielni będący liczbą pierwszą. Uwagi natury dydatycznej o zadaniu 4 Pojęcie liczb względnie pierwszych nie jest powszechnie znane absolwentom szół średnich. Nawet ci studenci, tórzy po raz pierwszy usłyszą odpowiednią definicję, nie będą mieć trudności ze zilustrowaniem jej przyładami. Zadanie b) powinno oazać się łatwe (choć wymaga sprecyzowania zwrotu parami ). W zadaniu c) pojawia się onieczność zaproponowania definicji nowego pojęcia. Rosnący ciąg olejnych liczb pierwszych jest oczywiście niesończonym ciągiem liczb parami względnie pierwszych. Każdy niesończony podciąg tego ciągu jest też niesończonym ciągiem liczb parami względnie pierwszych. d) Dla uzasadnienia, że ciąg (a n ) nie jest niesończonym ciągiem liczb parami względnie pierwszych, wystarczy zauważyć, że np. NWD(!, 3!) = 1. Zadanie e) jest łatwe. Mogą paść przyłady ciągów oreślonych wzorami ogólnymi (np. a n = n, b n = 3 n dla n N) lub oreślonych reurencyjnie (np. c 1 = 4, c n+1 = 3c n + dla n N \ {0}). Uwagi natury dydatycznej o zadaniu 5 a) Natychmiast otrzymujemy: w 1 =, w = + 1 = 3, w 3 = 3 + 1 = 7, w 4 = 3 7 + 1 = 43, w 5 = 3 7 43 + 1 = 1807, w 6 = 3 7 43 1807 + 1 = 363443.
W^b Ž^_^ac[ ^I ^[W^ ^I œib 4 ^V4I b I ^ `W^VO ^Z\V4 W^ ^I Od4š^V4Z\V4hDbO]` ^ ^ ^f^w^b Žœš^b Ž^Z ]`_^ ^ ^I ž gÿ b) Nietrudno sprawdzić, że w 5 jest liczbą złożoną; 1807 = 13 139. Tu można podać studentom cieawosti z literatury: w 6 jest liczbą pierwszą, natomiast w 7, w 8,..., w 17 są liczbami złożonymi (Graham i inni, 00, s. 13). Znanymi liczbami pierwszymi w ciągu (w n ) są:,3,7,43,363443. c) Pierwsza równość wynia wprost z oreślenia ciągu (w n ), druga z lematu: NWD(a, b) = NWD(a, a b) dla a, b N, a > b. Uwagi natury dydatycznej o zadaniu 6 a) Za trudne do natychmiastowego rozstrzygnięcia wydaje się nawet pytanie, czy liczba F 5 jest pierwsza (postawione wcześniej w zadaniu 1 e)). Głównym powodem trudności jest to, że dla n 5 liczby F n są ta duże (wielocyfrowe), że znalezienie ich dzielniów właściwych (gdyby taie istniały) graniczy z cudem. Powstaje naturalne pytanie: na jaiej drodze wyazać, że liczba F 5 jest złożona? Jeszcze więsze trudności wystąpią zapewne przy rozważaniu liczb F 6, F 7 itd. A co wiadomo z literatury, do tórej warto odesłać studentów? Z literatury wiemy, że znanymi dotychczas liczbami pierwszymi Fermata są: F 0, F 1, F, F 3, F 4. O wielu liczbach Fermata wiadomo, że są złożone. Znane są rozłady anoniczne nietórych z nich (Yan, 006, s. 34, 35). Nie wiadomo, czy istnieje niesończenie wiele liczb pierwszych Fermata, ani czy istnieje niesończenie wiele liczb złożonych Fermata. Wszystie te wiadomości uczą poory, uczą szacunu dla tych, tórzy zmagają się z problemami teorii liczb. b) W. Nariewicz poinformował P. Ribenboima, że już w 1730 rou Goldbach w liście do Eulera zawarł dowód tego, że liczby Fermata są parami względnie pierwsze, by wyciągnąć wniose, że liczb pierwszych jest niesończenie wiele (zob. Ribenboim, 1997, s. ). Interesujące jest, że w podobny sposób wiele lat później różni matematycy (może niezależnie od siebie) dowodzili, że liczb pierwszych jest niesończenie wiele. Dowody tego, że (F n ) jest niesończonym ciągiem liczb parami względnie pierwszych, można znaleźć w wielu podręczniach aademicich (Ribenboim, 1997; Sierpińsi, 1969; Graham i inni, 00). Paulo Ribenboim (1997, s. ) podaje taie rozumowanie: Łatwo poazać przez inducję ze względu na m, że F m = F 0 F 1... F m 1 ; stąd, jeżeli n < m, to F n dzieli F m. Gdyby liczba pierwsza p dzieliła zarówno F n, ja i F m, to dzieliłaby F m i F m, dzieliłaby więc i mielibyśmy p =. Jedna ażda liczba F n jest nieparzysta, a więc nie jest podzielna przez. Dowodzi to, że liczby Fermata są parami względnie pierwsze. W przedstawionym w temacie zadania b) rozumowaniu orzystamy m.in. z twierdzenia o potęgowaniu potęgi oraz ze wzoru na dwumian Newtona. c) Korzystając z alulatora, łatwo sprawdzić, że F 5 = 3 +1 = ((16 ) ) + 1 = 49496797 = 641 6700417. Warto zwrócić uwagę, ile lat minęło od pomyłi Fermata do rezultatu Eulera, o tórych mowa w temacie zadania 6 c).
gutiv4w XSYZ\[^]`_^acb degf^v4hyic[hdw^b Iacb Mogliśmy ta łatwo sprawdzić, że F 5 jest liczbą złożoną, bo podany został jej dzielni. W rozumowaniu cytowanym w temacie zadania c) orzystamy m.in. z lematów: (1) a 4 1 = (a + 1)(a 1)(a + 1) dla a R, () a b a bc dla a, b, c N, (3) a b a c a b c dla a, b, c N. d) Uzupełnienie istotnych lu w dowodzie naszicowanym w temacie zadania 6d) wymaga m.in. podnoszenia olejnych liczb do wadratu, poczynając od liczby 3. Wystarczy brać pod uwagę jedynie reszty z dzielenia modulo F 5, czyli modulo 3 + 1. Dowód ończy zauważenie, że 30906160 1(mod F 5 ). Uwagi natury dydatycznej o zadaniu 7 W zadaniu a) oreślony jest wzorem ogólnym ciąg, tórego olejnymi wyrazami są 4, 10, 8,.... Oczywiście np. NWD(4, 10) 1. Ciąg (a n ) nie jest więc ciągiem liczb parami względnie pierwszych. b) Oczywiście wyrazy ciągu (c n ) są liczbami nieparzystymi, w dzieleniu przez dają bowiem resztę 1. Rozwiązanie zadania b) uzysamy natychmiast, zamieniając w podanym w zadaniu 6 b) dowodzie twierdzenia o liczbach Fermata liczbę n na liczbę 6 n i uzasadniając, że zamiana ta nie zmienia (nie psuje) rozumowania. Zadanie c) mogłoby dotyczyć ciągu (e n ) oreślonego wzorem e n = 8 n + 1 dla n N. Już teraz można byłoby się pousić o odrycie twierdzenia ogólniejszego (u tóremu zmierzamy, proponując zadania d) i e)). W zadaniu d) proponujemy zbadanie prawdziwości postawionej tam hipotezy. Szczególnym przypadiem ciągu (d n ) jest np. ciąg (t n ) oreślony wzorem t n = 3n + 1 dla n N, a nietrudno zauważyć, że NWD(t 1, t ) = NWD(3, 9) 1. Hipoteza podana w zadaniu d) zostałaby w ten sposób obalona. Do rozwiązania zadania e) wystarczyłoby wzmocnić założenia w hipotezie podanej z zadaniu d) następująco: zarówno a ja i s są ustalonymi liczbami parzystymi dodatnimi. Dowód w istocie niczym się nie różni od przeprowadzonego w rozwiązaniu zadania b). Uwagi natury dydatycznej o zadaniu 8 a) Korzystając z alulatora, natychmiast otrzymujemy: b 1 = 1 ( 3 + 1 ) = 5, b = 1 ( 3 4 + 1 ) = 41,
W^b Ž^_^ac[ ^I ^[W^ ^I œib 4 ^V4I b I ^ `W^VO ^Z\V4 W^ ^I Od4š^V4Z\V4hDbO]` ^ ^ ^f^w^b Žœš^b Ž^Z ]`_^ ^ ^I ž gq b) Nietrudno otrzymać: b 3 = 1 ( 3 8 + 1 ) = 1 (81 81 + 1) = 381, b 4 = 1 ( 3 16 + 1 ) = 153361. c 1 = 1 ( 5 + 1 ) = 13, c = 1 ( 5 4 + 1 ) = 313, c 3 = 1 ( 5 8 + 1 ) = 195313, c 4 = 1 ( 5 16 + 1 ) = 7693945313. c) Rozwiązania zadań a) i b) sugerują hipotezę-odpowiedź ta na postawione pytanie. Wydaje się, że znalezienie dowodu na to, że wyrazy ciągu (a n ) są liczbami nieparzystymi, może sprawić istotne trudności studentom. W pierwszej części artyułu podaliśmy dwa taie dowody. Na ćwiczeniach z algebry z teorią liczb trzeba byłoby zapewne podać wsazówi lub zadać pytania prowadzące do odrycia tych dowodów. Krótszy i łatwiejszy do zrozumienia (i zapamiętania) jest dowód przedstawiony w sposobie II, jedna do odrycia go onieczny był pomysł (mógłby być sprowoowany znajomością dowodu podanego w zadaniu 6 b)). Bardziej naturalne, choć dłuższe wydaje się rozumowanie przedstawione w sposobie I (s. 55). Dla przyszłego nauczyciela matematyi zrozumienie rozważań dotyczących cyfr jedności liczby mogłoby być przydatne w pracy z uczniami uzdolnionymi szół średnich (a nawet gimnazjów), przygotowującymi się do onursów matematycznych. d), e) Wsazówa podana w temacie zadania d) powoduje, że z zadania bardzo trudnego staje się zadaniem łatwym. Oczeujemy od studenta rozumowania przez analogię i redacji dowodu, podobnej do tej, tórą podaliśmy w pierwszej części artyułu (dowód twierdzenia 3, s. 5 i 6). Trywialne polecenie w zadaniu e) ma wyrabiać u studenta nawy podsumowywania osiągnięć, sporządzania listy rezultatów badań. Oczeujemy np. taiej redacji twierdzenia: ( jeżeli p P \ {}, to wyrazy ciągu (a n ) oreślonego wzorem a n = 1 p n + 1 ) są parami względnie pierwsze. f) Oazuje się, że prawdziwe jest twierdzenie: jeżeli m jest liczbą nieparzystą więszą od 1, a s jest ( liczbą parzystą dodatnią, to wyrazy ciągu (c n ) oreślonego wzorem c n = 1 m s n + 1 ) dla n N \ {0} są parami względnie pierwsze. Twierdzenie to jest oczywiście ogólniejsze od twierdzenia podanego w zadaniu e), bo liczba pierwsza różna od jest liczbą nieparzystą więszą od 1, a liczba jest liczbą parzystą dodatnią.
g UTIV4W XSYZ\[^]`_^acb degf^v4hyic[hdw^b Iacb Warto może powiedzieć, że ciągi oreślone w zadaniu 8 udało się odryć po próbie taiego poprawiania definicji ciągu podanego w zadaniu 7 a), by uzysać ciągi liczb parami względnie pierwszych. W wyrazach ciągu z zadania 7 a) został wyeliminowany ich wspólny czynni. Na ćwiczeniach ze studentami można by było podjąć wspólne próby taiego przedłużania zadania 7, tóre doprowadziłyby do sformułowania hipotez będących tematem zadania 8. Uwagi natury dydatycznej o zadaniu 9 Wynianie (1) () zostało w istocie uzasadnione w zadaniu 5 d). Dowód impliacji () (1) mógłby być następujący: Symbolem (b n ) oznaczmy niesończony ciąg liczb parami względnie pierwszych. Niech q j będzie dzielniiem pierwszym liczby b j dla j N \ {0}. Oczywiście (q n ) jest niesończonym ciągiem różnowartościowym liczb pierwszych. Istotnie, przypuszczenie, iż (q n ) nie jest ciągiem różnowartościowym prowadzi natychmiast do sprzeczności z tym, że (b n ) jest ciągiem liczb parami względnie pierwszych. Soro (b n ) jest ciągiem niesończonym, to i (q n ) jest ciągiem niesończonym. Wynia stąd, że liczb pierwszych jest niesończenie wiele. Komentarze do zadań w tym artyule w żadnym stopniu nie powinny rępować prowadzącego zajęcia, tóry w szczególności może zrezygnować z nietórych zadań, zmienić olejność ich rozwiązywania, dać więcej swobody zdolnym studentom, tórzy mieliby szansę na w pełni samodzielne szuanie rozwiązań, samodzielne formułowanie olejnych zadań, może przy nietórych zadaniach wdrażać studentów do studiowania literatury i szuania w niej nie tylo wiadomości, ale i inspiracji do formułowania pytań i stawiania hipotez. ²^³ µs ¹ 4 ºS ¹ Edwards, A. W. F.: 1964, Infinite coprime sequences, Math. Gazette 48, 416-4. Graham, R. L., Knuth, D. E., Patashni, O.: 00, Matematya onretna, PWN, Warszawa. Górowsi, J., Łomnici, A.: 1993, Arytmetya i algebra, Wojewódzi Ośrode Metodyczny w Bielsu-Białej, Bielso- Biała. Marzantowicz, W., Zarzyci, P.: 006, Elementarna teoria liczb, PWN, Warszawa. Ribenboim, P.: 1997, Mała sięga wielich liczb pierwszych, Wydawnictwo Nauowo- Techniczne, Warszawa. Sierpińsi, W.: 1959a, O stu prostych ale trudnych zagadnieniach arytmetyi, PZWS, Warszawa. Sierpińsi, W.: 1959b, Teoria liczb, cz., PWN, Warszawa. Sierpińsi, W.: 1964, 00 zadań z elementarnej teorii liczb, PZWS, Warszawa. Sierpińsi, W.: 1969, Arytmetya teoretyczna, PWN, Warszawa.
W^b Ž^_^ac[ ^I ^[W^ ^I `Ib 4 ^V4I b I ^ `W^VO ^Z\V4 W^ ^I Od4š^V4Z\V4hDbI]` ^ ^ ^f^w^b Ž»š^b Ž^Z ]`_^ ^ ^I ž g Yan, S. Y.: 006, Teoria liczb w informatyce, PWN, Warszawa. Instytut Matematyi Uniwersytet Pedagogiczny ul. Podchorążych PL-30-084 Kraów e-mail alomnici@poczta.fm e-mail jangorowsi@interia.pl