Rozwijanie uzdolnień matematycznych uczniów. semestr letni, 2018/2019 wykład nr 8

Transkrypt

1 Rozwijanie uzdolnień matematycznych uczniów semestr letni, 2018/2019 wykład nr 8

2 OMJ 2018/19 część korespondencyjna, zadanie 2 Będzie korekta B.S. na następnym wykładzie!

3 OMJ 2018/19 część korespondencyjna, zadanie 4

4 cd. a=2, to reszta z dzielenia c przez a jest równa 0 lub 1 b=2, to reszta z dzielenia a przez b jest równa 0 lub 1

5 OMJ 2018/19 część korespondencyjna, zadanie 6 Podpowiedź wygodnego zapisu (odwróć kartkę). Sprawdź dla kwadratów 2 2, 4 4, 6 6, 8 8. Spróbujcie rozwiązać. Nie zaglądajcie do odpowiedzi. Można skorzystać ze wskazówki.

6 OMJ 2018/19 część korespondencyjna, zadanie 6, wskazówka

7 Problem Flawiusza wersja co 2 h n = 2 n 2 [log 2 n] + 1 h 2n = 2h n 1, h 2n + 1 = 2h n + 1 Uzasadnienie wzoru jawnego (teoria na egzamin).

8 Olimpiada Matematyczna historia 1949/1950 Do 2008 PTM, od 2009 Stowarzyszenie na Rzecz Edukacji Matematycznej. Zero punktów, dwa punkty, pięć punktów lub sześć punktów.

9 Olimpiada Matematyczna struktura Zawody stopnia I (wstępne): samodzielne rozwiązywaniu zadań w domu. Zadania te są w trzech seriach po cztery; rozwiązania zadań z kolejnych serii należy dostarczyć do odpowiedniego komitetu okręgowego w ustalonym terminie. Lista uczestników zakwalifikowanych do zawodów stopnia II ogłaszana jest przed końcem stycznia. Żeby zakwalifikować się do zawodów II stopnia, nie trzeba rozwiązać wszystkich zadań. Zawody stopnia II (okręgowe) odbywają się pod koniec lutego i mają formę egzaminu. Organizowane są przez komitety okręgowe (zadania są takie same w całej Polsce). Trwają dwa dni, każdego jest pięć godzin na rozwiązanie trzech zadań. Lista zakwalifikowanych do zawodów stopnia III pojawia się w połowie marca. Zawody stopnia III (centralne) odbywają się w pierwszej połowie kwietnia. Od L Olimpiady mają formę czterodniowego wyjazdu, pierwsze dwa dni poświęcone są na rozwiązywanie zadań (podobnie jak w zawodach II stopnia), a dwa następne na różne atrakcje (w tym czasie komisja sprawdza rozwiązania). Ostatniego dnia odbywa się uroczyste zakończenie Olimpiady ogłoszenie wyników i rozdanie nagród.

10 Co daje OM? Udział w finale Olimpiady Matematycznej daje: szóstkę z matematyki na koniec roku, 100% z matematyki na maturze (na poziomie rozszerzonym), wolny wstęp na wiele wydziałów wyższych uczelni, nie tylko matematycznych. Laureaci mają zapewniony wstęp bez egzaminu na jeszcze większą liczbę wydziałów niż finaliści. Prócz tego sześcioro najlepszych stanowi delegację polską na Międzynarodową Olimpiadę Matematyczną, a kilkoro następnych na Środkowoeuropejską Olimpiadę Matematyczną i Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich. Kilkanaście najlepszych osób jedzie na dwutygodniowy obóz naukowy Olimpiady Matematycznej.

11 Jak powinny wyglądać rozwiązania? Rozwiązania zadań z zawodów stopnia I należy dostarczyć do siedziby odpowiedniego (czyli tego, w którym znajduje się szkoła, do której się uczęszcza) komitetu okręgowego. Rozwiązania poszczególnych zadań powinny być na oddzielnych arkuszach, zapisanych jednostronnie. W lewym górnym rogu każdego arkusza powinno znajdować się imię i nazwisko. Dodatkowo, w lewym górnym rogu każdego pierwszego arkusza danego zadania powinny znajdować się: adres domowy aktualny adres , na który zostało założone konto w serwisie Olimpiady pełna nazwa szkoły adres szkoły klasa, do której się uczęszcza

12 Przygotowanie do Olimpiady Alex Ferguson niezbędnik schemat:

13 Teorioliczbowy niezbędnik m, n Z, n > 0, to istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby całkowite q, r takie, że m = qn + r; q iloraz, r reszta (0 r < n); np. każda liczba całkowita jest postaci 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3 relacja podzielności reszta z dzielenia wynosi 0 liczby pierwsze, liczby złożone, rozkład na czynniki pierwsze; dowód nieskończoności zbioru liczb pierwszych warto zapamiętać, bo podobne rozumowanie pojawia się w niektórych zadaniach olimpijskich (ten dowód może być na egzaminie)

14 Teorioliczbowy niezbędnik p liczba pierwsza, a, b liczby całkowite; jeśli p ab, to p a lub p b a c, b c, a, b = 1, to ab c NWD, NWW; a, b Z, a 0 lub b 0, to istnieją liczby całkowite x, y takie, że NWD(a, b) = ax + by kongruencje: a b (mod m), własności kongruencji; małe twierdzenie Fermata: p P, x, p = 1, wówczas x p 1 1 (mod p), tzn. p x p 1 1

15 Zadania olimpijskie lektura rozwiązań Fabryka wysyła towar w paczkach po 3 kg i po 5 kg. Wykaż, że można w ten sposób wysłać każdą całkowitą ilość kilogramów większą niż 7. 0 tak nie 1 nie 8 tak nie 9 tak tak tak nie 11 tak tak tak tak tak

16 Rozwiązanie cd. Dowód indukcyjny rozpocznijmy od n = 8, 9, 10, 11, 12, mamy wtedy przedstawienia zamieszczone w tabelce. Załóżmy prawdziwość tezy dla wszystkich liczb 8 k n; pokażemy jej prawdziwość dla n + 1: n , n n , stąd z założenia indukcyjnego n = 3s + 5t, s, t N, więc: n + 1 = 3s + 5(t + 1).

17 Teraz Wy Sformułuj i udowodnij podobny fakt, jeśli liczby 3 oraz 5 zastąpimy innymi liczbami względnie pierwszymi. Twierdzenie Sylvestera Liczby naturalne a, b są względnie pierwsze, wówczas każdą liczbę naturalną n > ab a b można przedstawić w postaci n = ax + by, x, y N.

18 Praca w grupach Zadanie 1 BS Udowodnij, ze spośród siedmiu liczb całkowitych tworzących ciąg arytmetyczny o różnicy 30 dokładnie jedna jest podzielna przez 7. Zadanie 2 KS+PD+WK Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 78. Zadanie 3 AB+DP Udowodnij, że jeśli a Z, a 1, a 1, to liczba a jest liczbą złożoną.

19 Zadanie 4 KK+KG Praca w grupach Udowodnij, jeśli n Z, to liczba n6 całkowita. 120 n n 30 jest Zadanie 5 AS+IZ+DT Znajdź liczbę naturalną n, wiedząc, że suma n jest liczbą trzycyfrową o jednakowych cyfrach. Zadanie 6 AM+ŻS+PF Udowodnij, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których środkowa jest sześcianem liczby naturalnej, jest podzielny prze 504.

20 Zadanie domowe Przygotować rozwiązanie jednego z zadań 1-6.

21 Przypomnienie Za tydzień zbieram prace semestralne.