Autorzy ćwiczenia: J. Grabski, K. Januszkiewicz Ćwiczenie 10 KOPUTEROWA SYULACJA RUCHU CIAŁA SZTYWNEGO. WSPÓŁCZYNNIK RESTYTUCJI 10.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest rzedstawienie możliwości wykorzystania komutera do rozwiązywania zagadnień dynamiki ciała sztywnego. Równania oisujące ruch ciała mogą być rozwiązywane numerycznie, a uzyskane wyniki nastęnie rzedstawiane graficznie (tworzenie animacji). Jako rzykład rezentowana jest symulacja ruchu sztywnej, chroowatej kulki w lekim łynie. 10.2. Wrowadzenie Program komuterowy ing-ong ozwala na symulację ruchu kulki w lekim łynie umieszczonym w zamkniętym naczyniu z uwzględnieniem zderzeń ze ścianami. amy tutaj do czynienia między innymi z zagadnieniem oływu ciała oraz zjawiskiem uderzenia. Zadanie wyznaczenia oływu bryły zawiera zagadnienia rozkładu ciśnienia wokół obiektu, searacji warstwy rzyściennej, tworzenia się i sływania wirów oraz ooru czołowego. Ruch ciała odbywa się w rzestrzeni ograniczonej sztywnymi ścianami. Program uwzględnia wystęowanie zderzeń, rzy czym zakłada się, że czas trwania kontaktu (kulki ze ścianą) nie zależy od szybkości, z jaką odbywa się zderzenie. Istnieje możliwość zmiany wartości takich arametrów jak wsółczynnik restytucji, wsółczynnik tarcia oślizgowego i tocznego oraz czasu trwania kontaktu. Program daje także możliwości: badania ruchu ciała w różni oraz owietrzu, analizy wływu sił tarcia oślizgowego i tocznego na rędkości o uderzeniu środka kulki oraz jej rędkości kątowej, obserwacji zjawiska agnusa. 10.3. Podstawowe zależności teoretyczne 10.3.1. Siły działające na ciało sztywne oruszające się w łynnym ośrodku Przyjęto, że ruch ciała jest efektem działania na niego: siły ciężkości F r G, siły ooru czołowego F r R, siły nośnej Fr i momentu ooru lekiego r (rys.10.1). Siła ciężkości F r G = m g. (10.1) F G gdzie: m masa ciała [kg], g r wektozysieszenia ziemskiego ( g= jg, gdzie g=9,81 [m/s 2 ]; rzyjmując g = 0 można ominąć wływ sił ciężkości).
Fig. 10.1. Siły działające na kulkę oruszającą się w łynie Ćwiczenie nr 10 Oór czołowy F r R Przyjęto liniową zależność wartości siły ooru od rędkości kulki. Zwrot siły F r R jest rzeciwny do rędkości łynu, a oisuje ją zależność F R = α m v, (10.2) gdzie: α - wsółczynnik ooru czołowego [1/s] (α 0), v r wektoędkości środka kulki (v [m/s]). Siła nośna F r W rzyadku, gdy oruszająca się w lekim łynie (owietrzu) kulka wiruje również wokół swojej osi mamy do czynienia z oływem cyrkulacyjnym, czego efektem jest boczny ruch kulki. Zjawisko to zostało odkryte w 1852 roku rzez agnusa i jest dziś nazwane jego imieniem. Jego wyjaśnienie może być nastęujące. Przyjmuje się, że w wyniku adhezji (efekt lekości łynu) rędkość cząstek owietrza znajdujących się na owierzchni kuli względem jej środka wynosi ω r r ( r wektor ołożenia cząstki, ω r rędkość kątowa kulki). Oznacza to, że bezwzględna rędkość łynu o jednej stronie kulki jest inna niż o stronie rzeciwnej. Różnice rędkości łynu owodują wystąienie różnicy ciśnień (wzrost rędkości skutkuje sadkiem ciśnienia i na odwrót) związek ten oisuje równanie ernoulliego. W rezultacie owstaje siła o kierunku rostoadłym do toru środka kulki. W analizowanym modelu siła Fr jest oisana zależnością r F = γ mω v, (10.3) gdzie: γ wsółczynnik siły nośnej (zależny od romienia kuli i lekości łynu, γ > 0), ω r wektoędkości kątowej kulki (ω [rad/s]), v r wektoędkości środka kulki (v [m/s]). Efekt agnusa odgrywa ważną rolę w wielu raktycznych sytuacjach (wływa na tor ocisku, iłki futbolowej it.) oment ooru lekiego r Na obracające się w lekim łynie ciało działają siły styczne do owierzchni ciała. Powodują one zmniejszanie jego szybkości wirowania. W analizowanym rzyadku rzyjmuje się, że wartość momentu tych siły jest liniowa funkcją szybkości wirowania kulki. Siły ooru lekiego są rozłożone na całej owierzchni kulki, a ich moment względem środka kulki r wyraża się zależnością = τ mrω, (10.4) gdzie: τ - wsółczynnik lekości [m/s] (τ > 0). 2
Komuterowa symulacja ruchu ciała sztywnego. Wsółczynnik restytucji. 10.3.2. Równania ruchu kulki Równania ruchu (w zaisie wektorowym) analizowanego modelu są nastęujące (zobacz rys.10.1): r dv r m = FG + FR + F (10.5) dt r dω J = r k. (10.6) dt Wykonując niezbędne odstawienia i dzieląc obydwie strony równań rzez masę m uzyskuje się nastęującą ich ostać zaisaną w składowych rostokątnych: dvx = α vx γ ω vy, dt dvy = g α vy + γ ω vx, (10.7) dt 2 2 dω r = τ rω sgn( ω). 5 dt Jest to układ srzężonych, nieliniowych równań różniczkowych względem rędkości ν x, ν y, ω. Analityczna ostać rozwiązania owyższego układu nie jest możliwa do uzyskania. Składowe rędkości wyznaczono wobec tego metodą całkowania numerycznego krok o kroku. Daje to możliwość wyznaczenia składowych rzemieszczenia środka kulki x, y oraz jej kąta obrotu ϕ. 10.3.3. Zderzenia kulki ze ścianą odelując zjawisko zderzania się kulki ze ścianami założono, że czas ozostawania kulki w kontakcie ze ścianą (arametr T w rogramie) nie zależy od rędkości kulki (w rzeczywistości zależy on od szybkości roagacji fal mechanicznych w ciele). Wsółczynnik restytucji k, oznaczający stosunek wartości imulsów w fazie restytucji do fazy deformacji rzyjmuje wartości od 0 (zderzenie idealnie lastyczne) do 1 (zderzenie idealnie srężyste). Zależy on głównie od rodzaju materiału zderzających się ciał. Na wartość wsółczynnika mają także wływ szybkość zderzenia i kształty ciał (w rogramie zakłada się niezmienną wartość k). Niech v r r oznacza składową rędkości unktu styku kulki ze ścianą (unkt A na rys. 10.2) równoległą do ściany. Składowa rędkości kulki rostoadła do ścianki oznaczona jest rzez v r. Fig. 10.2. Prędkości kulki w trakcie uderzenia ' Ponieważ ściana jest nieruchoma, zatem zależność między rzutami rędkości o uderzeniu ( v ) i rzed uderzeniem ( v ) na oś skierowaną wzdłuż linii uderzenia ma ostać ( v 0) gdzie k wsółczynnik restytucji. Znak minus wskazuje na rzeciwne zwroty obu wektorów rędkości. ' 0 v = k, (10.8) 3
Niech F r oznacza składową normalną siły oddziaływania ściany na kulkę w unkcie ich styku A. N Ćwiczenie nr 10 Fig. 10.3. Siły działające na kulkę w trakcie uderzenia Imuls S r siły normalnej F r N można zaisać jako: r t r S = 2 F dt t N. (10.9) 1 Oznaczając t 2 t 1 = T i zakładając, że siła = const w trakcie uderzenia (stała zarówno, co do wartości jak i kierunku) otrzymuje się F N S = F N T. (10.10) Przyrost ędu kulki w wyniku uderzenia wyraża się nastęująco ' r Q = m v v. (10.11) ( ) Porównując (10.10) i (10.11) otrzymuje się, zatem ' r F T = m v v. (10.12) N ( ) W rezultacie, używając składowych skalarnych wzdłuż linii uderzenia i wykorzystując zależność (10.8) wartość reakcji normalnej określona jest nastęująco m v ( k +1) FN =. (10.13) T Uwzględnienie tarcia oślizgowego i tocznego. Niech f, f t oznaczają odowiednio wsółczynniki tarcia oślizgowego i oorów toczenia. Jeśli v r 0 oznacza to, że ma miejsce toczenie się kulki z oślizgiem, a wartość siły tarcia kinetycznego F r może być wyznaczona z zależności F = f FN. (10.14) oment ( r ) siły F r względem środka kulki ma wartość = rf = r f FN. (10.15) Zwrot siły F r jest rzeciwny do rędkości v r r (zobacz rys. 10.3). Oznacza to, że siła tarcia działa tak, aby zrównać szybkość środka kulki (v) z szybkością unktu kontaktu A względem środka kulki (ω r). Z chwilą, gdy v = v kulka toczy się już bez oślizgu (ewentualnie z oorem toczenia f t ). Jeśli tylko czas zderzenia jest C A / C wystarczająco długi, może nastąić jej zatrzymanie się. Zmianę zwrotu składowej rędkości równoległej do ściany sowodowaną działaniem sił tarcia w trakcie zderzenia wirującej kulki nazywa się efektem ingongowym. 10.3.4. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Do rozwiązania układu równań różniczkowych ierwszego rzędu oisujących ruch kulki, w rogramie używana jest metoda numeryczna tzw., dwustoniowa metoda Eulera. Należy ona do klasy metod różnicowych, które olegają na określaniu wartości nieznanej funkcji ν(t) w szeregu unktach t i rzedziału całkowania [a,b]. Według tej metody rędkość ν n+1 w unkcie t n+1 wyznacza się rzy założeniu, że siła F ozostaje niezmienna w rzedziale czasu [t n, t n+1 ], tzn: 1 vn+ 1 vn = Fn+ 1/ 2dt, (10.16) m 4
Komuterowa symulacja ruchu ciała sztywnego. Wsółczynnik restytucji. gdzie dt = t n+1 t n. (10.17) 1 Wartość siły F w rzedziale czasu [t n, t n+1 ] obliczana jest dla rędkości w chwili tn+ 1 / 2 = tn + dt, rzy czym 2 mamy 1 1 vn+ 1 / 2 vn = Fn dt. (10.18) m 2 Rozwiązanie dla każdego rzedziału (kroku całkowania) dt wyznacza się, zatem w dwóch etaach: najierw obliczana jest rędkość w ołowie rzedziału i odowiadająca jej siła, a nastęnie obliczana jest rędkość na końcu danego rzedziału. 10.4. Program komuterowy ing-ong Program ten naisany jest w języku PASCAL i rzeznaczony jest dla komuterów PC. Powstał on w Instytucie Fizyki UW w ramach PRI.14; autorem ierwotnej wersji jest Jacek Szwed. Celem rozoczęcia racy z rogramem należy uruchomić lik _vga.exe. enu rogramu zawiera nastęujące ocje: START/STOP, WYJŚCIE, ZIANA DANYCH, DEO, INFO, które wybiera się rzez naciśnięcie klawisza z ierwszą literą nazwy ocji (klawisze: s, w, z, d oraz i). Klawisz (s) ozwala na uruchomianie, jak i wstrzymywanie symulacji. Po ierwszym naciśnięciu klawisza (s) ojawia się nais Ślad? (t/n). Wciśnięcie (t) oznaczać będzie tworzenie śladu trajektorii środka kulki. Na ekranie ukazuje się kulka w jej oczątkowym ołożeniu (oczątek układ Oxy w ewym dolnym rogu ekranu). Naciśnięcie dowolnego klawisza uruchamia symulację. Dla jej wstrzymania naciskamy klawisz (s), a dla wznowienia symulacji naciskamy onownie (s). Klawisz (w) umożliwia ouszczenie każdej z ocji oraz wyjście z rogramu. Klawisz (z) ozwala na zmianę wartości arametrów modelu. Wykaz arametrów zawiera dwie strony. Do wyboru arametru, którego wartość chcemy zmienić osługujemy się klawiszami strzałek (, ). Po wciśnięciu klawisza ENTER możliwe staje się wrowadzenie nowej wartości odświetlonego arametru. Użytkownik może zmieniać wartości nastęujących arametrów: Symbol Wielkość Jednostka Zakres wartości g Przysieszenie ziemskie [m/s 2 ] -50, 50 k Wsółczynnik restytucji [-] 0, 1 α Wsółczynnik ooru czołowego [1/s] 0, 10 v x Składowa x oczątkowej rędkości środka kulki [m/s] -100, 100 v y Składowa y oczątkowej rędkości środka kulki [m/s] -100, 100 ω Początkowa rędkość kątowa [rad/s] - 99E3, 99E3 f Wsółczynnik tarcia oślizgowego [-] 0, 1 f t Wsółczynnik tarcia tocznego [-] 0, 1 γ Wsółczynnik siły nośnej [-] 0, 1 τ Wsółczynnik lekości łynu [m/s] 0, 100 T Czas trwania zderzenia [s] 0, 1 x Położenie oczątkowe środka kulki x [m] 0.8, 26.9 y Położenie oczątkowe środka kulki y [m] 0.8, 21.9 dt Krok całkowania [s] 0.001, 0.1 r Promień kulki [m] 0.5, 4.0 tr Długość śladu trajektorii środka kulki [iksel] 1, 500 Klawisz (d) uruchamia ocję DEO, która ozwala na wybór jednego z ięciu rzykładowych wariantów danych. Naciśnięcie klawisza (w) umożliwia owrót do menu głównego. 5
Ćwiczenie nr 10 Pięć rzygotowanych wstęnie zestawów danych demonstruje nastęujące rzyadki. 1. Rzut ukośny: kąt rzutu równy 45 0, ruch kulki w różni, tarcie omijane. 2. Rzut ukośny: kąt rzutu mniejszy niż 45 0, uwzględniony oór czołowy, lekość łynu jak i tarcie ścian omijane. 3. Rzut ukośny: kąt rzutu większy niż 45 0, ruch w różni, tarcie ścian uwzględnione. 4. Efekt ingongowy. 5. Efekt agnusa. Klawisz (i) ukazuje odstawowe informacje dotyczące samego modelu zjawiska oraz zastosowanej metody rozwiązania numerycznego. 10.5. Przebieg ćwiczenia Ćwiczenie składa się z dwóch części: komuterowej symulacji ruchu sztywnej kulki oraz wyznaczania wsółczynnika restytucji dla trzech rzeczywistych iłek. 10.5.1. Symulacja ruchu kulki Rozoczynamy od zaznajomienia się z rogramem, i w tym celu należy wykonać nastęujące czynności: a) Uruchomić rogram komuterowy (wybrać lik -vga.exe). b) Wybrać ocję START, uważnie rzyjrzeć się danym wyświetlonym na ekranie, a nastęnie uruchomić symulację i obserwować jej rzebieg do momentu, gdy obraz na ekranie rzestanie się istotnie zmieniać. c) Przejść do ocji DEO i obejrzeć o kolei 5 wariantów ruchu kulki, za każdym razem zwracając baczną uwagę na rodzaj sił działających na kulkę. Dalsza raca z rogramem odzielona jest na ięć etaów: krok całkowania, zderzenie ukośne, efekt agnusa, efekt ingongowy, rzykład wykorzystania siły F. Dane liczbowe odnoszące się do każdego z nich zawarte są w tabeli 10.1, a obserwacje jak i wyniki obliczeń zaisywane będą w odowiednich miejscach arkusza srawozdania. Nr Tabela 10.1. Zestawy danych do rogramu ing-ong g k α v x v y ω f f t γ τ T x y r tr dt m/s 2 -- 1/s m/s m/s rad/ -- -- m/s m m m -- s -- s s 1a 0 0.5 0 0 14-15 0 0 0.1 0 0.1 22 15 1.2 500 2b 9.8 0.5 0 5 10 0 0 0 0 0 0.1 5 3 1.2 500 2 0 0.5 0 3 0 1 0.01 a) a) 0-1 b) 0.500-0.866 c) 0.866-0.500 1 c) -1 b) -1 0 0 5-5 d) 0 0 1 5-5 a) 0.1 c) 0.01 a) 0.1 c) 0.01 0 0 0 0 0 0.1 7 9 1.2 500 0.01 0 0 0.04 0.01 0.1 15 15 1.2 500 0.01 4a 9.8 0.9 0.1-2.5 5 60 0.28 0.07 0 0 0.07 10 10 1.2 500 0.002 4b 5 0.9 0 10 0.2 0.07 0 0 0.07 18 2 1.2 500 0.002 5 0 0 0.2 0 0 0.01 0.1 1.2 500 0.01 b) 0.08 d) 0.008 b) 0.08 d) 0.008 6
Komuterowa symulacja ruchu ciała sztywnego. Wsółczynnik restytucji. 1. Krok całkowania Dla zbadania wływu kroku całkowania na rozwiązanie numeryczne (uzyskiwany obraz ruchu kulki) należy wykonać obliczenia dla danych Nr 1a oraz Nr 1b zawartych w tabeli 10.1. Zaamiętać wygląd ekranu dla kolejnych wartości kroku dt, wyciągnąć wnioski. W tym celu należy zidentyfikować obydwa analizowane rzyadki ruchu kulki oraz rzyjrzeć się uważnie ostaciom równań różniczkowych (10.7). Szczególną uwagę zwrócić na charakter sił działające na kulkę w każdym z tych dwóch rzyadków (składowe sił wyszczególnić w odowiedniej rubryce formularza srawozdania). Wyjaśnić rzyczynę zaobserwowanego zjawiska - zwrócić uwagę na zależność (10.16). 2. Zderzenie ukośne Wrowadzić dane Nr2 (gładka kulka w różni, uderzająca w rzeszkodę odowiednio od kątem w względem normalnej do rzeszkody: α = 0, α = 30, α = 60 ). Naszkicować tor środka kulki rzed i o zderzeniu. Obliczyć rędkość kulki tuż o zderzeniu, narysować wektory rędkości rzed i o zderzeniu (zachowując roorcje). Wyznaczyć kąt odbicia β. Porównać ze sobą te trzy rzyadki. 3. Efekt agnusa Wrowadzić dane Nr 3, narysować wektoędkości środka kulki i zaznaczyć kierunek rędkości kątowej. Po wykonaniu symulacji naszkicować trajektorie środka kulki (oczątkową fazę), zaznaczyć kierunek obiegu oraz narysować wektor siły nośnej Fr w oczątkowej chwili ruchu. 4. Efekt ingongowy a) Po ierwsze, wrowadzić dane Nr 4a i o wykonaniu symulacji narysować tor środka kulki rzed i o ierwszym oraz drugim zderzeniu. Zaznaczyć kąty adania α i odbicia β względem linii uderzenia (normalnej do rzeszkody). Na odstawie uzyskanego obrazu ruchu kulki wydedukować i naszkicować (zachowując roorcje) wektory rędkości unktu kontaktu A i środka C kulki oraz rędkości kątowe kulki tuż rzed zderzeniem i o zderzeniu. Porównać ze sobą ierwsze i drugie zderzenie (trajektorie, kąty adania i odbicia, rędkości liniowe i kątowe ). b) Po drugie, uzuełnić brakujące dane w wierszu 4b tabeli 10.1 w taki sosób, aby sełnione były jednocześnie dwa oniższe warunki odnośnie składowych skalarnych wzdłuż osi x wektora rędkości unktu kontaktu kulki z rzeszkodą (zobacz rys. 10.2): v ω r <, v < v 0. A/ C = 0 A/ C r < Nastęnie wykonać symulację, naszkicować tor kulki rzed i o zderzeniu, zaznaczyć kąty (względem linii uderzenia) adania α i odbicia β. Na odstawie uzyskanego obrazu ruchu kulki wydedukować i naszkicować (zachowując roorcje) wektory rędkości unktu kontaktu A i środka C kulki oraz rędkości kątowe kulki tuż rzed i o zderzeniu. 5. Przykład wykorzystania siły Fr Symulacja strzału na bramkę z rzutu rożnego (oziomy lot iłki, narożnik boiska lewy dolny róg ekranu, słuek bramki rawy dolny róg ekranu). Najierw uzuełnić brakujące dane w wierszu 5 tabeli 10.1 (ostarać się dobrać - w miarę możliwości - realne wartości tych danych). Nastęnie wrowadzić dane do rogramu, naszkicować uzyskaną trajektorie środka iłki i zaznaczyć rędkości v r, ω oraz siłę nośną Fr w oczątkowej fazie ruchu. Na zakończenie wykonać symulację rzyjmując wartość wsółczynnika γ = 0, rzy niezmienionych ozostałych arametrach (omijany jest w ten sosób efekt agnusa). Zaznaczyć na tym samym rysunku, co orzednio uzyskaną teraz trajektorię iłki. 10.5.2. Wyznaczanie wsółczynnika restytucji Wsółczynnik restytucji wyznaczany jest dla trzech różnych iłek (tenisowej, gumowej i golfowej) uderzających w dwa rodzaje owierzchni (twardą gumę G oraz terakotę - TC). 1. Umieścić iłkę tenisową na wskazanej wysokości, uścić ją swobodnie i zmierzyć wysokość, na jaką odbije się ona od odłoża (terakota TC lub twarda guma G grubość gumy wynosi 20 mm). 7
Ćwiczenie nr 10 2. Pomiary owtórzyć trzykrotnie dla terakoty TC oraz twardej gumy G (grubość gumy wynosi 20 mm), a wyniki zanotować wyniki w tabeli 10.2. 3. Wykonać oisane wyżej czynności dla iłki gumowej i golfowej. Tabela 10.2. Wyniki omiarów i obliczeń Rodzaj iłki oraz jej masa Tenisowa m = 58 g Gumowa m = 41 g Golfowa m = 46 g Wysokość odbicia się Stosunek Wysokość Szybkość iłki Siła iłki Wsółczynnik siły do swobodneg uderz wynik wartość rzed o restytucji ciężaru o sadku enia omiaru średnia uderzeniem uderzeniu iłki h 1 h 2i h 2 v 1 v 2 k F F/mg cm cm cm m/s m/s -- N -- TC G TC G TC G TC G TC G TC G TC TC 10.6. Oracowanie wyników i srawozdanie Po zakończeniu omiarów należy wykonać obliczenia niezbędne do wyznaczenia wsółczynnika restytucji. Proszę także oszacować wartość średniej siły uderzenia F (oddziaływania na iłkę odłogi w momencie zderzenia). W tym celu wykorzystać zależność (10.13) rzyjmując nastęujące czasy trwania zderzenia iłek z terakotą: iłka tenisowa 4 ms, iłka gumowa 6 ms, iłka golfowa 2 ms. 10.6.1. Srawozdanie Srawozdanie, które winno być sorządzone w sosób staranny ma zawierać: a) temat i cel ćwiczenia, b) wyełnioną tabelę 10.1, c) szkice trajektorii kulki, wektorów rędkości oraz wyniki wymaganych obliczeń, d) wyełniona tabelę 10.2, e) obserwacje i wnioski. 10.7. Pytania kontrolne 1. Wymienić główne siły działające na ciało sztywne oruszające się w łynie. 2. Zdefiniować ojęcia: siła chwilowa, linia uderzenia, uderzenie centralne. 3. Zdefiniować ojęcia: uderzenie roste, uderzenie ukośne, uderzenie mimośrodowe. 4. Wsółczynnik restytucji: definicja, czynniki wływające na jego wartość. 5. Wyrowadzić zależność na wartość składowej normalnej reakcji w czasie uderzenia. 6. Objaśnić wływ tarcia na zjawisko uderzenia. 8